八年级数学竞赛讲座代数证明附答案
代数证明题超难奥林匹克初二
代数证明题超难奥林匹克初二引言奥林匹克数学竞赛是全球范围内最具权威性和难度的数学竞赛之一。
对于初中生而言，参加奥林匹克数学竞赛是一种挑战和锻炼。
在这篇文章中，我们将探讨一道超难的代数证明题，旨在帮助初二学生提高解题能力和思维逻辑。
题目题目： 设实数 a,b,c 满足 a +b +c =0，证明 a 3+b 3+c 33abc =(a−b )2+(b−c )2+(c−a )26(ab+bc+ca )。
解题思路要证明这个等式，我们可以从两个方面入手。
首先，我们可以将等式两边进行化简，然后进行比较。
其次，我们可以利用已知条件，通过代数运算进行证明。
方法一：化简比较首先，我们对等式两边进行化简。
对于左边的分式 a 3+b 3+c 33abc ，我们可以将分子进行因式分解，得到 a 3+b 3+c 3=(a +b +c )(a 2+b 2+c 2−ab −bc −ca )。
由已知条件 a +b +c =0，我们可以得到 a 3+b 3+c 3=3abc 。
因此，左边的分式可以化简为 3abc 3abc =1。
对于右边的分式 (a−b )2+(b−c )2+(c−a )26(ab+bc+ca )，我们可以展开分子，并利用已知条件进行化简。
展开分子后，我们得到 (a −b )2+(b −c )2+(c −a )2=a 2−2ab +b 2+b 2−2bc +c 2+c 2−2ca +a 2+b 2+c 2。
将 a +b +c =0 代入，我们可以得到 (a −b )2+(b −c )2+(c −a )2=2(a 2+b 2+c 2)。
将化简后的分式代入等式中，我们得到 1=2(a 2+b 2+c 2)/6(ab +bc +ca )。
进一步化简，我们可以得到 ab +bc +ca =3(a 2+b 2+c 2)/2。
现在，我们需要证明 ab +bc +ca =3(a 2+b 2+c 2)/2。
我们可以将等式两边进行展开，得到 ab +bc +ca =a 2+b 2+c 2。
初中奥数竞赛代数恒等式的证明
1 / 1 初中奥数竞赛：代数恒等式的证明 练习201． 求证： ①<a+b+c>2+<a+b-c>2－<a-b-c>2－<a-b-c>2＝8ab②〔x+y 〕4+x 4+y 4=2<x 2+xy+y 2>2 ③<x-2y>x 3－<y-2x>y 3=<x+y><x-y>3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24<5 n +3 n-1> ⑤a 5n +a n +1=<a 3 n －a 2 n +1><a 2 n +a n +1>2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：〔a+b+c 〕2+a 2+b 2+c 2=2<a+b+c><a+c>8.己知：abc ≠0,ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111-=- 9．己知：ac z c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：〔2x －3〕〔2x+1〕<x 2－1>＋1是一个完全平方式 11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc答案：练习201. ④左边＝5 n <5 2-1>+3n －1<33-3>= 24<5 n +3 n-1> 注意右边有3n-12. 左边－右边＝〔a-b 〕23. ②左边－右边＝〔a 2+b 2-c 2〕2-4a 2b 2=……4. ∵a 5=a 2a 2a,用a 2=a+1代入5. 用z=x+2y 代入右边6. 用已知的〔左－右〕×27. 用b 2=ac 分别代入左边,右边化为同一个代数式8. 在已知的等式两边都除以abc9. 设三个比的比值为k,10. <2x 2-x-2>2 11. 用待定系数法。
【八年级数学代数培优竞赛专题】专题8 分式的运算技巧【含答案】
专题8 分式的运算技巧知识引入一天，数学家觉得自己受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。
消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试.”消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管.消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙，把火浇灭.”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着.”消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。
”这则笑话看起来很荒谬，但却道出了解决数学问题的重要思想，那就是转化思想，转化思想在数学中有着广泛的应用，比如在进行分式除法运算的时候，首先要运用除法法则，将除法运算转化为乘法运算，然后再解决。
知识解读1.分式乘除法运算的一般步骤：（1）利用除法法则，先将除法运算转化为乘法运算；（2）运用分式的乘法法则，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母；（3）把分式的分子、分母分别写成它们的公因式与另一因式的积的形式，如果分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解；（4）约分，得到最后的结果.2.异分母分式加减法的步骤：（1）正确地找出各分式的最简公分母；（2）准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式；（3）通分后，进行同分母分式的加减运算；（4）公分母保持积的形式，将各分子展开；（5）将得到的结果化成最简分式。
3.正确进行分式的混合运算，需弄清以下各要点：（1）分清运算级别，按照“从高到低，从左到右，括号从小到大”的运算顺序进行；（2）将各分式的分子、分母分解因式后再进行运算；（3）遇到除法运算时，可以先化成乘法运算；（4）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（5）最后结果要注意化简；（6）在运算过程中，每进行一步都要检验一下，不要到最后才检验。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
华杯赛讲义初二组第三讲代数式
第三讲 代数式1、无理数的计算，新定义，对学生的思维迁移能力，灵活应变能力都有较高要求。
2、平方差公式和完全平方公式的应用，技巧性很高。
1、已知二次三项式 ax 2 + bx + c 当 x = 2 时, 取到最小值 -1；且它的两根的立方和为 24. 如果 x = -1 ,那么这个二次三项式的值是________. 【解析】:225设 y = ax ²+bx+c,当x=2时,取到最小值-1,所以有：a b2-= 2, a 4 b -4ac 2= -1即｛4a+b =0 ①｛4a = b ²-4ac ②由①,得 a b = -4由②,得 c =a 4 b -4ac 2 ③两边同时除以 a,得 a c = 224a b - a 1，把 ab= -4 代入,得a c = 4 -a 1，对 ax ²+bx+c =0,设两根为 m 和 n,则 m+n = -ab ,mn = ac,所以有：m ³+n ³= (m+n)(m ²-mn+n ²)= (m+n)(m ²+n ²+2mn-3mn)= (m+n)((m+n)²-3mn)= -a b (22b a -3a c )= 4×(16-3×(4-a 1))= 64-48+a12= 16+a 12，因为 m ³+n ³ =24所以 16+a 12 =24，解得 a = 23把 a =23代入 ①,得 b = -6把 a = 23,b = -6 代入 ③,得 c =5所以原二次三项式为 23x ² -6x+5当 x= -1时,原式= a-b+c=23+6+5= 12.52、若在实数范围内有因式分解: x 3 + px + q = (x - a )(x - b )(x - c ) , 且 q ≠ 0 , 则abccb a 333++=【解析】:33、若互不相等的实数 a ,b , c 满足a b a a c b a c c c b a ++=++++=++22,22及）等于（则（))()(a c c b b a +++（A ）1（B（ 222（C（± 1（D（ ±22【解析】:D4、(第21届决赛第14题)已知S 0=5，对于任意的自然数k ，13511k k k S S k k ++=-++，求S 100。
2020-2021学年初中数学竞赛专题专讲及练习20：代数恒等式的证明
2020-2021学年初中数学竞赛专题专讲及练习（20）代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)∵:a+b+c=0∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知 a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+ac c b b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=bc c b b c −=−11 ∴bc=ba cb −− b-c=ca ac c a −=−11 ∴ca=c b a c −− 同理ab=ac b a −− ∴ab bc ca ＝a c b a −−b a c b −−c b a c −−＝1 即a 2b 2c 2=1 例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质 得⎪⎩⎪⎨⎧===222n c mn b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0三、练习201． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1)2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111−=− 9．己知：ac z c b y b a x −=−=− 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc练习20参考答案：1. ④左边＝5 n (5 2-1)+3 n －1(33-3)= 24(5 n +3 n-1) 注意右边有3 n-12. 左边－右边＝（a-b ）23. ②左边－右边＝（a 2+b 2-c 2）2-4a 2b 2=……4. ∵a 5=a 2a 2a,用a 2=a+1代入5. 用z=x+2y 代入右边6. 用已知的（左－右）×27.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8.在已知的等式两边都除以abc9.设三个比的比值为k,10.(2x2-x-2)2 11. 用待定系数法。
(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学竞赛专题［配方法］一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2土2ab+b2写成完全平方式(a土b) 2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a +b配上2ab, ②由 2 ab 配上a +b ,③由a2土2ab配上b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.2 2 2 2 2母乱=x +4 + 4x — 4x =(x +2) — 4x = ...........这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：福|a ,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简、一5一2 6.我们把5-2*写成2 - 2逐+ 3=(克V - ^ 2^3 + (V3)2=(V2 —V3 ).这是由2 ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a >0, .,•当a=0时, a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a — 2的最值... a2+2a— 2= a2+2a+1 - 3=(a+1) 2- 3当a=— 1时,a +2a— 2有最小值—3.这是由a2土2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.解：方程x2+y2+2x-4y+1 + 4= 0.配方的可化为(x+1) 2+(y - 2) 2=0.要使等式成立，必须且只需x 1 0y 2 0x 1 y2解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题2 2 2 2例 1.因式分解：a b —a +4ab— b +1.解：a b — a +4ab — b +1 = a b +2ab+1+( — a +2ab — b ) (折项，分组)=(ab+1 ) 2 - (a - b)：(配方)= (ab+1+a-b ) (ab+1-a+b) (用平方差公式分解)本题的关键是用折项，分组，树立配方的思想^例2.化简下列二次根式：①J7 5 ；②*2焰；③了10时3 2豆. 解：化简的关键是把被开方数配方①(7 4>/3 = J4 2 2/3 3 = J(2 V3)2=2 < 3 = 2 + 43.②户=居=疗=\吁<2（73 1）=无V2 2 . 2③\；10 4^3 2龙=寸10 4》（。
初中数学竞赛专题选讲-代数恒等式的证明
初中数学竞赛专题选讲代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1) ∵:a+b+c=0∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+ac c b b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=bc c b b c -=-11 ∴bc=ba cb -- b-c=ca ac c a -=-11 ∴ca=c b a c -- 同理ab=ac b a -- ∴ab bc ca ＝a c b a --b a c b --c b a c --＝1 即a 2b 2c 2=1 例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质 得⎪⎩⎪⎨⎧===222nc mn b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0三、练习1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1)2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111-=- 9．己知：ac z c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc练习题参考答案1.④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右边有3n-12.左边－右边＝（a-b）23.②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入5.用z=x+2y代入右边6.用已知的（左－右）×27.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8.在已知的等式两边都除以abc9.设三个比的比值为k,10.(2x2-x-2)211.11. 用待定系数法[文章来源：教师之家/转载请保留出处] [相关优质课视频请访问：教学视频网/]。
代数证明题超难奥林匹克初二
代数证明题超难奥林匹克初二摘要：一、问题背景介绍二、解题思路分析1.问题拆解2.相关知识点运用3.解题步骤三、易错点与注意事项四、总结与提高正文：代数证明题一直是数学竞赛中的一大难点，尤其是对于初二的学生来说，更是具有挑战性。
但是，只要我们掌握了一定的解题技巧和方法，就能攻破这一难题。
下面，我们就来分析一道超难的奥林匹克代数证明题，看看如何一步步解决。
一、问题背景介绍这道题目是一道初二奥林匹克数学竞赛的选拔试题，题目要求解出一道代数证明题。
题目如下：已知函数f(x) = (x - 1) ^ 2 - 3(x - 1) + 2，求证：f(x)在区间[0, 3]上单调递增。
二、解题思路分析1.问题拆解首先，我们需要分析题目，可以将问题拆分为两部分：一是分析函数f(x)的性质，二是判断其在区间[0, 3]上的单调性。
2.相关知识点运用为了证明f(x)在区间[0, 3]上单调递增，我们需要运用函数单调性的判定方法。
具体来说，我们需要找到函数f(x)的导数，然后判断导数的正负性。
3.解题步骤（1）求导数：对函数f(x)求导，得到f"(x) = 2(x - 1) - 3。
（2）分析导数的正负性：当x∈[0, 1]时，f"(x) < 0；当x∈[1, 3]时，f"(x) > 0。
（3）得出结论：由于f"(x)在[0, 1]上小于0，表示f(x)在[0, 1]上单调递减；而在[1, 3]上大于0，表示f(x)在[1, 3]上单调递增。
因此，f(x)在区间[0, 3]上单调递增。
三、易错点与注意事项1.求导数时，要注意符号和计算精度；2.分析导数正负性时，要全面考虑区间[0, 3]的每一个点；3.在得出结论时，要确保论证严密，避免遗漏。
四、总结与提高通过这道题目的解答，我们可以发现，解决代数证明题的关键在于分析问题、运用相关知识点和严谨的论证。
在今后的学习和竞赛中，我们要多加练习和总结，提高自己的解题能力和思维敏捷度。
初中数学竞赛韦达定理及其应用(含答案)
韦达定理及其应用设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
例1若a，b为实数，且，，求的值。
思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。
解（1）当a=b时，；（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得， ab=1.说明此题易漏解a=b的情况。
根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。
一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。
其中n为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
例2若，且，试求代数式的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，∴2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
例3设一元二次方程的二实根为和。
（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。
求所有这样的一元二次方程。
解（1）由韦达定理知，。
，。
所以，所求方程为。
（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0)，(1-)。
-,1)或(0, 1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2于是，得以下七个方程，，，，，-，其中0x2=11x2=+无实数根，舍去。
其余六个方程均为所求。
x2=+，01x2+3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。
证明由已知得，。
初中数学竞赛代数专题讲义之高斯函数例题习题及详解
初中数学竞赛之高斯函数对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。
符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。
一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。
一、专题知识1.R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。
记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。
2.设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：（1）[][]1+≤≤x x x .（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.（3）[][]x n x n +≤+.（4）[][][]⎩⎨⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.二、例题分析例题1若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161的值。
【解】27379176161+=-=-，而372<<，从而327325<+<，从而276161=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-例题2[]x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。
若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。
【解】由已知条件知65<≤x ，23-<≤-y ，01<≤-z ，32≤-<y ，10≤-<z ，107<--<z y x []z y x --的值为7，8，9。
例题3已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 。
【证明】由于[][][]1+⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，变形得[][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n 对于任意实数x ，有[][]1-<≤x x x 或[]x x x ≤<-1，由于[]⎪⎭⎫⎝⎛n x n 和[]⎪⎭⎫⎝⎛+1n x n 都是整数，且[][]1-<≤x x x ，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n ，故[][][]1+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，所以[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 例题4解方程4)12(3534+=⎦⎤⎢⎣⎡+x x .【解】设m x =+4)12(3，则634-=m x ，则原方程化为m m =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅536344，化简得m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1538因为[]10<-≤x x ，所以115380<-+≤m m ，解得73712≤<-m ，由于Z ∈m ，所以0=m 或1-=m ，代入634-=m x 得，21-=x 或67-=x 原方程的解为21-=x 或67-=x三、专题训练1.已知n 为正整数，222131211nS n ++++= ，求[]n S 的值。
代数竞赛试题及答案
代数竞赛试题及答案试题一：解方程：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]解答：这是一个二次方程，我们可以使用因式分解的方法来解决。
首先找到两个数，它们的乘积等于6，而它们的和等于-5。
这两个数是-2和-3。
因此，我们可以将方程分解为：\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]这意味着\( x - 2 = 0 \) 或 \( x - 3 = 0 \)，所以解为 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。
试题二：如果 \( a \) 和 \( b \) 是两个正整数，且 \( a^2 + b^2 = 25 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的所有可能值。
解答：我们需要找到所有满足条件的正整数对 \( (a, b) \)。
由于 \( a \) 和 \( b \) 是正整数，我们可以从 \( a = 1 \) 开始尝试，并检查\( b \) 是否为正整数。
以下是所有可能的组合：- \( a = 1 \)，\( b^2 = 24 \)，没有正整数解。
- \( a = 2 \)，\( b^2 = 21 \)，没有正整数解。
- \( a = 3 \)，\( b^2 = 16 \)，\( b = 4 \)。
- \( a = 4 \)，\( b^2 = 9 \)，\( b = 3 \)。
因此，满足条件的正整数对有 \( (a, b) = (3, 4) \) 和 \( (4, 3) \)。
试题三：证明：如果 \( a \)，\( b \)，\( c \) 是实数，并且 \( a + b +c = 0 \)，那么 \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)。
解答：我们可以使用已知条件 \( a + b + c = 0 \) 来简化表达式。
首先，我们可以将 \( c \) 表示为 \( -a - b \)。
将这个表达式代入\( a^3 + b^3 + c^3 \) 中，我们得到：\[ a^3 + b^3 - (a + b)^3 \]利用差立方公式 \( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \)，我们可以将上述表达式重写为：\[ -3ab(a + b) \]由于 \( a + b + c = 0 \)，我们知道 \( a + b = -c \)。
初中数学竞赛代数专题之一元二次方程培优讲义例题练习及解答
初中数学竞赛之一元二次方程培优讲义形如0=a 的方程叫做一元二次方程。
当240b ac -≥时，一元二次方程的两根为1242b x a-±=、一、专题知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解发是一元二次方程的四种基本解法。
2.公式法是解一元二次方程最一般地方法：（1）240b ac ->时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根122b x a-±=、（2）240b ac -=时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-（3）240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根二、经典例题例题1已知m n 、是有理数，方程20x mx n ++=2-，求m n +的值。
解：由题意得22)2)0m n ++=即(92)(0m n m -++-而m n 、是有理数，必有92040m n m -+=⎧⎨-=⎩，解得41m n =⎧⎨=-⎩，所以m n +的值为3.例题2求证：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
证明：用反证发假设方程20(0)ax bx c a ++=≠有三个不同的实数根1x 、2x 和3x ，则有2110(0)ax bx c a ++=≠①2220(0)ax bx c a ++=≠②2330(0)ax bx c a ++=≠③①—②得22121212()()0,a x x b x x x x -+-=≠有12()0a x xb ++=④同理②—③有23()0a x xb ++=⑤④—⑤得1313()0()a x x x x -=≠必有0a =，与已知条件矛盾，所以一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
例题3已知首项系数不相等的两个一元二次方程222(1)(2)(2)0a x a a a --+++=及222(1)(+2)(+2)0(,)b x b x b b a b Z -++=∈有一个公共根，求a bb aa b a b --++的值。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。
初二竞赛数学讲义试卷答案
1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.101001…D. 2/3答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，所以2/3是有理数。
2. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √25答案：A解析：无理数是不能表示为两个整数之比的数，√4=2，√9=3，√16=4，√25=5，都是整数，所以A选项√2是无理数。
3. 已知a、b是方程x^2-4x+4=0的两根，则a+b的值是（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B解析：根据韦达定理，方程x^2-4x+4=0的两根之和等于系数b的相反数，即a+b=-(-4)=4。
4. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：C解析：三角形内角和为180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。
5. 已知a+b=5，ab=6，则a^2+b^2的值是（）A. 11B. 16C. 25D. 36答案：A解析：根据公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，将a+b=5，ab=6代入，得a^2+b^2=(5)^2-26=25-12=13，所以a^2+b^2=11。
1. 若x=2，则x^2-3x+2=（）答案：1解析：将x=2代入x^2-3x+2，得2^2-32+2=4-6+2=1。
2. 在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，则BC的长度是AB的（）答案：√3/2解析：在直角三角形中，30°角所对的直角边长度是斜边长度的√3/2。
3. 若x=3，则x^3-3x^2+3x-1的值是（）答案：1解析：将x=3代入x^3-3x^2+3x-1，得3^3-33^2+33-1=27-27+9-1=1。
八年级数学竞赛讲座：第六讲 代数式的求值
第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x－1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3－2x2)+(9x3+9x2－3x)+(3x2+3x－1)+1=(3x2+3x－1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，－1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a－b)k，y＝(b－c)k，z＝(c－a)k．所以x+y+z=(a－b)k＋(b－c)k+(c－a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2－4x+|3x－y|=－4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2－4x+|3x－y|=－4，所以x2－4x＋4＋|3x－y|=0，即 (x－2)2+|3x－y|=0．所以y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2－2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2－2mxy－2mny+y2+n2=0，(m2x2－2mxy+y2)+(m2y2－2mny+n2)=0，即 (mx－y)2+(my－n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a－b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m－a)3+(m－b)3+(m－c)3－3(m－a)(m－b)(m－c)的值．8．已知13x2－6xy+y2－4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。
人教版八年级数学下册竞赛专题03-从算术到代数
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】专题03从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝221212222323223434＋…＋221003100410031004＋221004100510041005，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A 中第n 项22(1)(1)n n n n 的特征入手.【例4】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方形，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形.(1)用含n 的代数式表示m ；(2)当这a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a 的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m 个正方形、图②中有2n 个正方形，可设图③中有3p 个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m ，n ，p 的等式.【例5】 化简个个个n n n 9199999999+⨯. （江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n ＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*） （1）在（*）中，从左起第m 个数记为F (m )＝ 22001时，求m 的值和这m 个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在这样的两个数c 和d ，使cd ＝2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋ab＝102×ab（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B. 100a＋1C. 10a＋1D. a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）A. a10＋b19B. a10-b19C. a10-b17D. a10-b21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是（ ）A.3a b c B. 3a b cC. a ＋b －cD. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表；（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a （a ＞0）个成品，且每个每天都生产b （b ＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a 、b 的代数式表示）； （2）试求出用b 表示a 的关系式；（3）若1名质检员1天能检验54b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？ （广东省广州市中考试题）B 级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n ＋5）（n 为自然数），即求（10·n ＋5）2的值（n 为自然数），分析n ＝1，n ＝2，n ＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25； 252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25； 352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25； 452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25； ...752＝5625可写成______； 852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n ＋5）2＝______； （3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________； (2)22＋42＋…＋502＝__________________. 3.已知n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24a a ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________. (“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）(1)s a b (1)s a (1)s a b (1)sa6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比高a %，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（ ）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元（山东省竞赛试题）7.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖，那么个以同样速度所需要的数是（）A．22ca bB．2cabC．2abcD．22a bc(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的13，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的15．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）。
15年八年级数学同步培优竞赛详附答案：第二十三讲-代数证明
名师第二十三讲 代数证明代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明．恒等式的证明常用的方法有： (1)由繁到简，从一边推向另一边；(2)从左右两边人手，相向推进；(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，)0(1≠=右边右边左边． 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．例题求解【例1】(1)求证：aa z a y a x a az za ay ya ax x3111222+-+-+-=-+-+- （2）求证：)1)(1)(1(4)1()1()1(222abab b b a a ab ab b b a a ++++=+++++． 思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较．注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点．代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法．【例2】 已知b a y x +=+，且2222b a y x +=+．求证：2001200120012001b a y x +=+．(黄冈市竞赛题)思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x 、y 与a 、b 间关系，寻找证题的突破口．【例3】 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用i a 和i b ，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：21822212182221b b b a a a +++=+++ ．(天津市竞赛题)思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键．【例4】 已知333cz by ax ==，且1111=++z y x ． 求证：3333222c b a cz by ax ++=++．思路点拨 条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式． 【例5】 已知0≠abc ，证明：四个数abc c b a 3)(++、abc a c b 3)(--、abc b a c 3)(--、abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6．(北京市竞赛题)思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于24即可．注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有：(1)将已知条件直接代入求证式；(2)变换已知条件，再代入求证式；(3)综合变形巳知条件，凑出求证式；(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等．不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识：(1)若A —B>0，则A>B ；(2)若A —B<0，则A<B ； (3)ab b a 222≥+；(4)21≥+xx （x>0）； (5)若M a a a >+++ 21，则n a a a 、、、 21中至少有一个大于n M ． 学力训练1．已知b a b a P +-=，cb c b q +-=，r=a c a c +-，求证：)1)(1)(1()1)(1)(1(r q p r q p ---=+++． 2．已知1=++c z b y a x ，0=++z c y b x a ．求证：1222222=++cz b y a x ． 3．已知：)(3)(2a c a c c b c b b a b a -+=-+=-=，求证：0598=++c b a ． 4．设43239-的小数部分为b ，求证：b b 1243239+=-． 5．设x 、y 、z 为有理数，且(y —z)2+( x －y)2+(z —x)2=(y+z －2x)2+(z+x －2y)2+(x+y —2z)2，求证：1)1)(1)(1()1)(1)(1(222=++++++z y x xy zx yz ．(重庆市竞赛题)6．已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：a ：b ：c=1：2：3．7．已知11111=++=++zy x z y x ，求证：x 、y 、z 中至少有一个为1． 8．若z y x t y x t z x t z y t z y x ++=++=++=++，记zy x t y x t z x t z y t z y x A +++++++++++=，证明：A 是一个整数． (匈牙利竞赛题)9．已知0=-+-+-b a c a c b c b a ，求证：0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a ． 10．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍，求证：12-++=pq q p x ． (天津市竞赛题)11．设a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，证明：9111≥++c b a ． 12．如果正数a 、b 、c 满足b c a 2=+，求证：a c cb b a +=+++211．(北京市竞赛题)13．设a 、b 、c 都是实数，考虑如下3个命题：①若02>++c ab a ，且c>1，则0<b<2；②若c>1且0<b<2，则02>++c ab a ；③若0<b<2，且02>++c ab a 0，则c>1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定． (武汉市选拔赛试题)。
代数证明题超难奥林匹克初二
代数证明题超难奥林匹克初二对于初二的奥林匹克代数证明题，确实可能会有一定的难度。
以下是一些可能涉及的代数证明题的例子，我将从多个角度进行回答，以尽可能地提供全面的解答。
1. 证明，对于任意实数a、b，有(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
首先，我们可以展开左边的表达式，(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2。
其次，我们可以使用分配律展开右边的表达式，a^2 + 2ab+ b^2，这与左边的结果相同。
因此，我们可以得出结论，对于任意实数a、b，有(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
2. 证明，对于任意正整数n，n^2 + n + 41是素数。
我们可以通过代入一些正整数来验证这个结论。
例如，当n=1时，n^2 + n + 41 = 1^2 + 1 + 41 = 43，是一个素数。
当n=2时，n^2 + n + 41 = 2^2 + 2 + 41 = 47，同样是一个素数。
继续计算，我们可以发现，无论n取任意正整数，n^2 + n+ 41都是素数。
但是，这并不是一个代数证明，因为我们只是通过计算验证了一些特定的情况。
要进行代数证明，我们需要使用数学的方法来推导。
一种可能的方法是使用二次方程的性质。
我们可以将n^2 + n + 41看作是一个关于n的二次方程，然后使用判别式来判断它是否有实数根。
判别式为Δ = b^2 4ac = 1^2 4(1)(41) = 1 164 = -163。
由于Δ为负数，说明这个二次方程没有实数根。
因此，我们可以得出结论，对于任意正整数n，n^2 + n +41是素数。
3. 证明，对于任意正整数n，n^3 n是3的倍数。
首先，我们可以将n^3 n进行因式分解，n^3 n = n(n^2 1) = n(n-1)(n+1)。
然后，我们可以观察到，其中至少有一个数是3的倍数。
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第二十三讲 代数证明
代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．
在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明． 恒等式的证明常用的方法有： (1)由繁到简，从一边推向另一边； (2)从左右两边人手，相向推进；
(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，
)0(1≠=右边右边
左边
． 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．
代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．
例题求解 【例1】(1)求证：
a
a z a y a x a az z a ay y a ax x 3
1112
2
2
+-+-+-=
-+
-+
- （2）求证：)1
)(1)(1(4)1()1()1(222ab
ab b b a a ab ab b b a a ++++=+++++．
思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较．
注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点．
代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法．
【例2】 已知b a y x +=+，且2222b a y x +=+． 求证：2001200120012001b a y x +=+． (黄冈市竞赛题)
思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x 、y 与a 、b 间关系，寻找证题的突破口．
【例3】 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用i a 和i b ，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数． 求证：21822212182221b b b a a a +++=+++ ．
(天津市竞赛题)
思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键． 【例4】 已知333cz by ax ==，且11
11=++
z
y x
． 求证：3333222c b a cz by ax ++=++．
思路点拨 条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式．
【例5】 已知0≠abc ，证明：四个数abc c b a 3)(++、abc a c b 3)(--、abc b a c 3)(--、abc
c b a 3)(--中至少有一个
不小于6． (北京市竞赛题)
思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于24即可． 注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有： (1)将已知条件直接代入求证式； (2)变换已知条件，再代入求证式； (3)综合变形巳知条件，凑出求证式；
(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等．
不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识： (1)若A —B>0，则A>B ； (2)若A —B<0，则A<B ； (3)ab b a 222≥+； (4)21
≥+
x
x （x>0）
； (5)若M a a a >+++ 21，则n a a a 、、
、 21中至少有一个大于n
M
． 学力训练
1．已知b a b a P +-=
，c b c b q +-=，r=a
c a
c +-，求证：)1)(1)(1()1)(1)(1(r q p r q p ---=+++． 2．已知1=++c z
b y a x ，0=++z
c y b x a ．求证：1222222=++c
z b y a x ． 3．已知：
)
(3)(2a c a
c c b c b b a b a -+=-+=-=，求证：0598=++c b a ． 4．设43239-的小数部分为b ，求证：b
b 1
243239+
=-． 5．设x 、y 、z 为有理数，且(y —z)2
+( x －y)2
+(z —x)2
=(y+z －2x)2
+(z+x －2y)2
+(x+y —2z)2
，求证：
1)
1)(1)(1()1)(1)(1(222=++++++z y x xy zx yz ．
(重庆市竞赛题)
6．已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：a ：b ：c=1：2：3． 7．已知11111
=++=++z
y x z y x
，求证：x 、y 、z 中至少有一个为1． 8．若
z y x t y x t z x t z y t z y x ++=++=++=++，记z
y x t y x t z x t z y t z y x A +++++++++++=，证明：A 是一个整数． (匈
牙利竞赛题) 9．已知
0=-+-+-b a c
a c
b
c b a ，求证：0)
()()(2
22=-+-+-b a c a c b c b a ． 10．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍，求证：1
2
-++=pq q p x ． (天津市竞赛题)
11．设a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，证明：91
11≥++c
b a ． 12．如果正数a 、b 、
c 满足b c a 2=+，求证：a
c c
b b
a +=
++
+211．
(北京市竞赛题)
13．设a 、b 、c 都是实数，考虑如下3个命题： ①若02>++c ab a ，且c>1，则0<b<2； ②若c>1且0<b<2，则02>++c ab a ； ③若0<b<2，且02>++c ab a 0，则c>1．
试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定． (武汉市选拔赛试题)。