第3章 土中应力计算
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土力学3.土中应力计算
h1
γ1 γ2 γ′3
γ1 h 1
h2
水位面
γ1 h 1 + γ 2 h 2
1.地下水位以上土层 地下水位以上土层 采用天然重度， 采用天然重度，地下 水位以下土层采用浮 重度 2.非均质土中自重应 非均质土中自重应 力沿深度呈折线分布
h3
γ1 h1 + γ 2h2 + γ′3h3
三、水平向自重应力
pmin=0
基底压力重分布
偏心荷载作用在 基底压力分布图 形的形心上
1 l F + G = pmax × 3 − e b 2 2
p max
2 (F + G ) = l 3 − e b 2
三、基底附加压力 基底附加压力：作用于地基表面， 基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而
附加应力分布规律 距离地面越深， 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大， 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上， →∞， 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加， 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（ 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
I o o
III IV II
σ z = (K c Ⅰ− K c Ⅱ − K c Ⅲ + K c Ⅳ ) p
垂直三角形分布荷载 dp布辛涅斯克解 积 分
σ σ
z1
= K t1 p = K t2 pt
z2
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数， 应力系数，均 为m,n的函数 , 的函数
γ1 γ2 γ′3
γ1 h 1
h2
水位面
γ1 h 1 + γ 2 h 2
1.地下水位以上土层 地下水位以上土层 采用天然重度， 采用天然重度，地下 水位以下土层采用浮 重度 2.非均质土中自重应 非均质土中自重应 力沿深度呈折线分布
h3
γ1 h1 + γ 2h2 + γ′3h3
三、水平向自重应力
pmin=0
基底压力重分布
偏心荷载作用在 基底压力分布图 形的形心上
1 l F + G = pmax × 3 − e b 2 2
p max
2 (F + G ) = l 3 − e b 2
三、基底附加压力 基底附加压力：作用于地基表面， 基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而
附加应力分布规律 距离地面越深， 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大， 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上， →∞， 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加， 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（ 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
I o o
III IV II
σ z = (K c Ⅰ− K c Ⅱ − K c Ⅲ + K c Ⅳ ) p
垂直三角形分布荷载 dp布辛涅斯克解 积 分
σ σ
z1
= K t1 p = K t2 pt
z2
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数， 应力系数，均 为m,n的函数 , 的函数
第三章 土体中的应力计算(1-3节)
4
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x
K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x
K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29
第3章 土体中的应力计算
1. M(x、y、z)点的应力： ( 、 、 )点的应力：
3P z3 3P σz = ⋅ 5 = ⋅ cos3 θ 2π R 2π R2 3P z2 x 3Px τzx = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3 3P z2 y 3Py τzy = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3
mn 1 n2 ] * ⋅[ − 2π m2 + n2 (1+ n2 ) m2 + n2 +1
同理，可以求得最大荷载角点下任意深度z处 的竖直附加应力σz 为： σz = α tc' p0 = (α c- α tc) p0 （3-7）
3P z5 P 3 σz = = 5 z2 2π R 2π
5
其中 = x2 + y2 + z2 R
(3-3)
P =α P 2 2 z2 ( r z) +1 z 1
(3-4)
其中α = α (r/z)称为集中荷载作用下的应力分布系数 具体的α 值见教材p79表3.5.1
b
图3-11 矩形面积上作用 三角形分布时角 点下的附加应力
根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点 引起的竖向附加应力dσz为：
3p0 xz3 dσ z = 2π b x2 + y2 + z 2
(
)
5
dxdy
2
将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形 荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度 z处所引起的竖直附加应力σz为： σz = α tc p0 （3-6） 式中 α tc =
y z
x
图3-4
2. 与材料力学比较 与材料力学比较（用摩尔圆解决问题时）
土力学与地基基础-(第三章-土的自重应力计算)
3.2 土的自重应力计算
在荷载作用之前，地基中存在初始应力场。初始应力场常与土体自重、 地基土地质历史以及地下水位有关。在工程应用上，计算初始应力场时常 假设天然地基为水平、均质、各向同性的半无限空间，土层界面为水平面。 于是在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。 假设前提： 假设土（岩）体为均匀连续介质，并为半无限空间弹性体。 地面
应力泡
一、竖向集中力下的地基附加应力
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
z
F
d
z
3z3
2
p(x, y)dd F ((x )2 ( y )2 z 2 )5/ 2
二、均布矩形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
p c ——均布矩形荷载角点下的竖向附加应力
/
2
p0
[1
(r02
z3 z
2
)3
/
2
p 0 [1
(
p0[1 (
1
1
z
] r p0
z3 R5
1
R (r 2 z2 )2 整理得：
z
3P
2 z2
1
1
r z
5
2 2
则：
z
P z2
z
tzyபைடு நூலகம்
tzx txz
tyz
y
tyx
txy
x
M点处的微单元体
令α为附加应力系数,计算时查表
3
2
1
1 r z
2
5
2
一、竖向集中力下的地基附加应力 2、多个竖向集中力下的地基附加应 力
一、竖向集中力下的地基附加应力
土力学课件 第3章 土中应力分布及计算.
计算如图所示水下地基土中的自重应力分布
水面 a 8m
粗砂 r=19KN/m3 rsat=19.5KN/m3
黏土r=19.３KN/m3 4m rsat=19.４KN/m3 W=20%,WL=55%,WP=24%
b 76KPa 176KPa c 253.2KPa
解：水下的粗砂层受到 水的浮力作用， 其有效重度： r , rsat rw 19.5 10 9.5 KN / m 3 粘土层因为W WP , 所以I L 0, 故认为土层 不受到水的浮力作用， 土层面上还受到 上面的静水压力作用。 a点：Z 0， CZ 0 KPa； b点：Z 8m, 该点位于粗砂层中，
应力符号规定
法向应力以压为正，剪应力方向的符号规定则与材料力 学相反。材料力学中规定剪应力以顺时针方向为正，土力学 中则规定剪应力以逆时针方向为正。
压为正，拉为负，剪应力以逆时针为正
土中的自重应力计算
土中应力按其起因可分为自重应力和附加应力两种。
自重应力是土受到重力作用产生的应力，自重应力一般是自 土体形成之日起就产生于土中。
二.成层土自重应力计算 地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层 的厚度为hi，重度为ri，则在深度z处土的自重应力计算公 式为：
cz i hi
i 1
n
z hi
i 1
n
n—从地面到深度z处的土层数； hi—第i层土的厚度，m。 成层土的自重应力沿深度呈折线分布，转折点位于r值 发生变化的土层界面上。
◇若0＜IL＜1，土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的 浮力作用就较难肯定，在工程实践中一般均按土体受 到水浮力作用来考虑。
四．存在隔水层时土的自重应力计算
当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重应力应 考虑其上的静水压力作用。
第3章-土应力计算
z z1 z 2
2 均布荷载时， p0 2kN / m
2 三角形荷载时， p0max 98 2 96kN / m
35/74
A点附加应力计算表格
均布荷载时 p0=2.000kN/m2 Kz1 3 0.6 0.234 z1 (kN/m2) 0.468 三角荷载时
Z(m)
z
3/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
沿水平面均匀分布，且与z成正比，即随深度 按直线规律分布。
天然地面 σcz
cz
cz z
σcz= z
z
cy
cx
1 1
z
4/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
cz i hi
i 1
n
天然地面
2/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
研究目的：确定土体的初始应力状态。 研究方法：土体简化为连续体，应用连续体 力学(例如弹性力学)方法来研究土中应力的 分布。
假设天然土体是一个半无限体，地面以下土质 均匀，天然重度为 (kN/m3)，则在天然地面下任 意深度z(m)处的竖向自重应力 cz (kPa)可取作用于 该深度水平面上任一单位面积上土柱的重量 z l 计算 即： cz
p II I z M
III IV
o
III IV
o
II I
z K cⅠ KcⅡ Kc Ⅲ K cⅣ p
25/74
均布矩形荷载下任意点的应力计算
计算点在基底边缘 II I
o
o
z K cⅠ KcⅡ p
计算点在基底边缘外
o III I
土力学与地基基础——第3章 地基土中的应力计算
2021/1/5
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa
n
cz1h12h2nhn ihi i1
194.1kPa
第三节 基底压力分布和计算
基底压力：建筑物荷载通过基础传递给地基的压力，也是地 基作用于基础底面的反力，因此又称为地基反力。为计算上部荷载 在地基土层中引起的附加应力，必须首先研究基础底面处接触面的 压力大小与分布情况。
l
l/2-e e>l/6
2021/1/5
偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
合力作用线重合
FG1 2pma x32l eb
pmax
2F G
3 l eb
2
三、基底附加压力
• 基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而新增加的压力 称为基底附加压力。
• 建筑物建造前，土中早已存在自重应力，天然土层在自重应力作用 下的变形早已结束，只有基底附加应力才能引起地基的附加应力和 变形
有集中力的，但它在土的应力计算中是一个基本公式，应用集中力的解 答，通过叠加原理或者数值积分的方法可以得到各种分布荷载作用时的 土中应力计算公式。
• 集中荷载作用下的附加应力 • 矩形分布荷载作用下的附加应力 • 条形分布荷载作用下的附加应力 • 圆形分布荷载作用下的附加应力
基本解 叠加原理
2021/1/5
砂性土： 应考虑浮力作用。 液性指数 IL >=1 流动状态，自由水，考虑浮力；
粘性土： 液性指数 IL <=0 固体状态，结合水，不考虑浮； 液性指数 0<IL <1塑性状态，难确定，按不利状态。
液性指数 IL <=0，认为是不透水层（坚硬粘土或岩层），对于不 透水层，由于不存在水的浮力，所以层面和层面以下的自重应力按 上覆土层的水土总重计算。
第3章土中应力计算
n z/b
角点法求矩形面积均布荷载下竖向应力 一般计算步骤 （1）将待求点水平投影在荷载作用面上； （2）过投影点将荷载作用面划分为若干矩形 面积，且投影点必须是各矩形的公共角点； （3）计算单个矩形作用下某深度处的附加应 力并求代数和。 （4）p55，见例3.3，3.4。
计算点在基础内部
p
III IV
3F
2
yz 2 R5
zx
3F
2
xz 2 R5
单个竖向集中力作用 集中力作用下的地基竖向
应力系数
oF
xq r
R
x y
M(x,y,0)
z
z
F z2
y M(x,y,z)
z
对竖向应力进行推导可得
3
1
2
1
(
r z
)
2
5
/
2F
2 z 2
1
1
(
r z
)
2
5
/
2
F
z2
（P52，例3.2）
（5）竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四 周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低 （应力扩散）
力的叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、 应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参 数值的代数和
F1
F2
两个集中力
作用下σz的
z
叠加
1
2
多个集中力及不规则分布荷载作用
等代荷载法
（3）侧限应力状态：侧向应变为0的状态。地基在
自重作用下的应力状态。对于半无限弹性体，同深度处的 土单元受力相同，仅能发生竖向变形，不能发生侧向变形； 任何竖直面均为对称面，故任何竖直面和水平面均不会有 剪应力存在。
第3章土中的应力计算汇总
第3章⼟中的应⼒计算汇总第三章地基中的应⼒计算§3-1 概述⼀、⼟体应⼒计算的⽬的：1、⽤于计算⼟体的变形，如建筑物的沉降；2、⽤于验算⼟体的稳定，如边坡的稳定性。
⼆、相关的概念1、⽀撑建筑物荷载的⼟层称为地基。
2、建筑物的下部通常要埋在地下⼀定的厚度，使之坐落在较好的地层上。
由天然⼟层直接⽀撑建筑物的称为天然地基3、软弱地基其承载⼒和变形不能满⾜设计要求，经加固后⽀撑建筑物的称为⼈⼯地基。
4、⽽与地基相接触的建筑物底部称为基础。
5、与建筑物基础底⾯直接接触的⼟层称为持⼒层。
6、将持⼒层下⾯的⼟层称为下卧层。
7、分类：（1）⼟体的应⼒按引起的原因分为⾃重应⼒和附加应⼒；⾃重应⼒——在未建造基础前，由⼟体⾃⾝的有效重量所产⽣的应⼒。
附加应⼒——由于建筑物荷载在地基内部引起的引⼒。
由外荷（静的或动的）引起的⼟中应⼒。
（2）按⼟体中⼟⾻架和⼟中孔隙（⽔、⽓）的应⼒承担作⽤原理或应⼒传递⽅式可分为有效应⼒和孔隙应（压）⼒。
有效应⼒——由⼟⾻架传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒——由⼟中孔隙流体⽔和⽓体传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒分为：静孔隙应⼒和超静孔隙应⼒。
对于饱和⼟体由于孔隙应⼒是通过⼟中孔隙⽔来传递的，因⽽它不会使⼟体产⽣变形，⼟体的强度也不会改变。
由于⼟层有其特殊的性质，作为地基的⼟层在上部荷载作⽤下将产⽣应⼒和变形。
从⽽给建筑物带来⼀系列⼯程问题，最主要的是地基的稳定问题和变形问题。
如果地基内部产⽣的应⼒在途的强度所允许的范围内时，⼟体是稳定的；反之，如果地基内部某⼀区域中的应⼒超过了⼟的强度，那么，哪⾥的⼟体将发⽣破坏，并可能会引起整个地基产⽣滑动⽽失去稳定，从⽽导致建筑物倾倒。
如果地基⼟的变形量超过了允许值，即使⼟体尚未破坏，也会造成建筑物毁坏或失去使⽤价值。
因此，为保证建筑物的安全和正常使⽤，设计时必须对地基进⾏强度和稳定性分析并计算基础的沉降量。
为此，就要研究在各种荷载作⽤下地基内部的应⼒分布规律。
土力学 第三章、土的应力计算(2)
z2
arctan z
lb 令 m =l/b,n = z/b
l 2 b2 z2
c
1 2
m2
mn m2 2n2 1 n2 12 n2 m2 n2
12
arctan
n
m
m2 n2 1
z c p0
任意点的应力应力计算—角点法
利用角点下的应力计算公式和应力叠加 原理，推求地基中任意点的附加应力的方法 称为角点法。
1 2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
x2 (2R z)
R3
(R
z)2
布辛奈斯克解 y
3P
2
y2z
R5
1 2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
y2(2R z)
R3
(R
z)2
z
3P
2
z3 R5
3P
2R 2
cos3
xy
yx
3P
2
xyz
R5
1 2
3
xy(2R z)
3 土中应力计算
3.2.3 基底附加压力
一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重 作用下的变形早已结束。因此，只有基底附加 压力才能引起地基的附加应力和变形。
p0= p - cd = p- 0d
0 ihi / hi
基础砌置天然地面 : 全部基底压 力=基底附加压力。 埋置一定深度，扣除基底标高处 原有的土中自重应力
1.在集中力P作用线上的z分布 2.在r＞0的竖直线上的z分布 3.在z ＝常数的水平面上i
Z
M Z
等代荷载法计算 z
z
1
F1 z2
2
F2 z2
第3章土体应力计算
3
σ v = σ cz + u0 = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ ' h3 + γ w h3 = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ 3 sat h3
σ h = σ ch + u0 = K 0σ cz + u0
3-2
地基中的自重应力
γ
γ′
均质地基
γ1 (γ < γ ) γ2
1 2
γ′ 2
d rd
p n = p m in − γ 0 d
p t = p m ax − p m in
3-4
地基中的附加应力计算
计算假定：地基土是各项同性的、均质的、线性变形体，而 计算假定：地基土是各项同性的 均质的 线性变形体， 各项同性 且在深度和水平方向上都是无限的 深度和水平方向上都是无限的。 且在深度和水平方向上都是无限的。 应力计算可分为空间问题和平面问题。 应力计算可分为空间问题和平面问题。 空间问题
y c x b b c b p1 pmax
pmax pmin
Fv M x M y = ± ± l ⋅ b Wx Wy
a
x a d
L
p2
y
p1 Fv Mx My = ∓ ± p2 l ⋅ b W底压力与基底附加应力
二、刚性基础下基底压力分布
（二）偏心荷载下的基底压力 3. 偏心荷载下条形基础的基底压力
'
3
3-2
地基中的自重应力
无侧向变形条件下，侧向应力： 无侧向变形条件下，侧向应力：
σ ch = σ cx = σ cy = K 0σ cz
K0——静止侧压力系数，它是土体在无侧向变形条件下侧 静止侧压力系数， 无侧向变形条件下 静止侧压力系数 它是土体在无侧向变形条件下侧 向（水平向）有效应力与竖向有效应力之比。 水平向）有效应力与竖向有效应力之比。 之比
σ v = σ cz + u0 = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ ' h3 + γ w h3 = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ 3 sat h3
σ h = σ ch + u0 = K 0σ cz + u0
3-2
地基中的自重应力
γ
γ′
均质地基
γ1 (γ < γ ) γ2
1 2
γ′ 2
d rd
p n = p m in − γ 0 d
p t = p m ax − p m in
3-4
地基中的附加应力计算
计算假定：地基土是各项同性的、均质的、线性变形体，而 计算假定：地基土是各项同性的 均质的 线性变形体， 各项同性 且在深度和水平方向上都是无限的 深度和水平方向上都是无限的。 且在深度和水平方向上都是无限的。 应力计算可分为空间问题和平面问题。 应力计算可分为空间问题和平面问题。 空间问题
y c x b b c b p1 pmax
pmax pmin
Fv M x M y = ± ± l ⋅ b Wx Wy
a
x a d
L
p2
y
p1 Fv Mx My = ∓ ± p2 l ⋅ b W底压力与基底附加应力
二、刚性基础下基底压力分布
（二）偏心荷载下的基底压力 3. 偏心荷载下条形基础的基底压力
'
3
3-2
地基中的自重应力
无侧向变形条件下，侧向应力： 无侧向变形条件下，侧向应力：
σ ch = σ cx = σ cy = K 0σ cz
K0——静止侧压力系数，它是土体在无侧向变形条件下侧 静止侧压力系数， 无侧向变形条件下 静止侧压力系数 它是土体在无侧向变形条件下侧 向（水平向）有效应力与竖向有效应力之比。 水平向）有效应力与竖向有效应力之比。 之比
土体中的应力计算
1
6e l
1）当 e l / 6 时， pmin 0 ，基底压力分布呈梯形。 2）当 e l / 6时， pmin 0 ，基底压力分布呈三角形。 3）当 e l / 6时，距偏心荷载较远的基底边缘反力为负值，即 pmin 0 。
•土质点或土单元不可能有侧向位移 侧限应变条件；
•任何竖直面都是对称面;
第10页/共68页
二. 地基中常见的应力状态 4.侧限应力状态——一维问题
▪应变条件
y x 0;
xy yz zx 0
▪应力条件
xy yz zx 0;
x y;
x
x E
E
y z
0;
x
y
1
z
εp
εe
理论 ——弹性力学解 求解“弹性”土体中的应力 方法 ——解析方法 优点：简单，易于绘成图表等
第13页/共68页
加载
ε
3.2 土体自重应力的计算
水平地基中的自重应力:
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。
目的：确定土体的初始应力状态
假定：水平地基 半无限空间体 半无限弹性体 有侧限应变条件 一维问题
▪应力条件
z
x y; z xy , yz , zx 0
x y; z xy , yz , zx 0
zx
▪独立变量：x y , z ; x y , z
xy
x
y yz
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz 0zx 0 zy z
ij=
第7页/共68页
x 0xy 0xz 0yx yy 0yz
x
y yz
y z
∞
ij=
应力张量矩阵形式
第3章 土中应力计算
表3-1 z=3m处水平面上竖应力计算
r(m)
0
1
2
3
4
5
r/z
0
0.33
0.67
1
1.33
1.67
K
0.478 0.369
0.189
0.084
0.038
0.017
z(kPa)
10.6
8.2
4.2
1.9
0.8
0.4
表3-2 r=1m处竖直面上竖应力z的计算
z(m)
0
1
2
3
4
5
6
r/z
1
0.5
0.33
M(x,y,0)
z
附加应力系数
z
K
P z2
M(x,y,z) z
1885年法国学者 布辛内斯克解
z
3Pz 3
2R5
3P
2R2
cos3 q
图 直角坐标表示
❖ 讨论6个应力分量和3个位移分量：
法向应力：
z
3Fz3
2 R5
x
3F
2
zx2
R5
1 2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
x2 (2R z)
(a) 马鞍形分布 (b) 抛物线分布 (c) 钟形分布
▪上述演化只是一典型的情形，实际情况十分复杂 ▪大多数情况处于上述两种极端情况之间。
（3）情况3 弹塑性地基上有限刚性的基础
3.2.2 基底压力的简化计算
❖ 基底压力分布十分复杂；
❖ 但是，根据弹性理论中圣维南原理，在基底一定深度 处引起的地基附加应力与基底荷载分布形状无关，只与 其合力的大小和位置有关。
第三章 土中应力的计算
z 2 z 2( aeoh) z 2(ebfo) q( t 1 t 2 )
（3）三角形荷载FEC（最大值为p－q）
作用范围3，4块，对M点引起的竖向应力σz3
z 3 z 3(ofcg) z 3( hogd ) ( p q)( t 3 t 4 )
第三章
土中应力的计算
3.1 概述
土中的应力—指土体在自重、构筑物荷载以及 其它因素（如水渗流、地震等）作用下，土体中 所产生的应力，包括自重应力和附加应力。
自重应力—土体受自重作用而产生的应力。
附加应力—土体受建筑物等外荷载作用而产生 的应力。
1、土中应力计算目的 为了对建筑物地基基础进行沉降（变形）、 承载力与稳定性分析，必须掌握建筑前后土中应 力的分布和变化情况。
2、偏心荷载作用时，基底压力按偏心受压公式计算：
Pmax
min
F G M F G 6e (1 ) A W A l
式中： F＋G、M－作用在基础底面中 心的竖直荷载及弯矩， M=(F＋G)e； e－荷载偏心距； W－基础底面的抵抗矩（抗弯截 面系数），对矩形基础 W＝bl2/6; b、l－基础底面的宽度与长度。
IL w wP 50 25 1.09 1 w L w P 48 25
故受浮力作用，其浮重度为：
'
( s w ) ( 26.8 9.81) 16.8 7.1 kN/m3 s (1 w ) 26.8 (1 0.50)
a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点：z = 2 m，σcz=γz=19 ×2=38 kPa c 点：z = 5 m , σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3=68 kPa， d 点：z = 9 m，σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3＋7.1 ×4＝96.4 kPa 土层中的自重应力cz分布，如图所示。
土力学与地基基础 土3-1
第三章 土中应力计算
土体的两个基本性质：
应力～应变关系：非线性 各向异性：成层等
假定： 把地基土视为均匀的各向同性的半无限空间线性
弹性体。 这种假定虽与土体的实际情况有出入，但因弹性
理论方法计算简单，且实践证明，当基底压力在 一定范围内时，用弹性理论的计算结果能满足实 际工程的要求。所以，可认为地基土符合半无限 体的假定而引用弹性理论公式。
第三章 土中应力计算
第三章 土中应力计算
问题1：为什么要了解土中应力？ 问题2：土体中都有哪些应力？ 问题3：这些应力怎么计算？
其分布规律如何？
这场官司谁打赢? 广州有一百货公司在西关上下九某街，在将原来二层 的职工宿舍拆建后拟建成八层的宿舍楼，邻近约1米 多有一栋移居国外老华侨的三层楼房。当百货公司的 职工宿舍楼建到四层的时候，老华侨的楼房先后出现 地面沉降，楼面倾斜，墙身开裂等现象。
附加应力： • 附加应力是由于基础等外部荷载所引起的应力。在
附加应力作用下，地基土将产生压缩变形，引起地 基沉降，由于建筑物荷载差异和地基土不均匀等原 因，基础各部分的沉降往往不均匀。当不均匀沉降 超过一定限度时，将导致建筑物的开裂、倾斜甚至 破坏。
两种应力产生的原因不同，因而分布规律和计算方法也不同。
市房地资源局一位负责人告诉记者，上海市自1921年明显出现地面沉降现象以来， 至1965年市区地面平均下降1.69米，最大年均沉降量达110毫米。作为我国最早认 识地面沉降危害的城市，上海于六十年代着手对地下水开采采取总量控制，实行 计划用水，以及采用将地表水(自来水)直接灌入地下含水层，使地下水位抬高， 从而达到恢复土层弹性控制地面沉降目的的人工回灌措施。自1965年实行人工回 灌至今，累计回灌地下的水量已达六亿立方米左右。通过采取控制地下水开采、 地下水人工回灌两项措施，本市地面沉降从历史最高的100毫米，到目前控制的 10毫米左右，1966年至2000年全市地面沉降累计为0.218米，控沉效果显著。
第三章 土的应力计算-有效应力原理
毛细饱 和区
H
whc
-
H whc
sat
ht
hc
hw
H sath t
+
wh w
H sath t w h w
有效应力原理
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算
1.自重应力情况 (2) 稳定渗流条件
Δh Δh H γsat
砂层，排水 砂层，承压水
2. 附加应力情况 (1) 单向压缩应力状态 (2) 等向压缩应力状态
(3) 偏差应力状态
(1) 静水条件
地下水位 海洋土
毛细饱和区
(2) 稳定渗流条件
有效应力原理
(1) 静水条件
二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 1. 自重应力情况
地下水位
H1
σ’=σ-u =γH1+γsatH2-γwH2 =γH1+(γsat-γw)H2 =γH1+γ’H2
u sat H w ( H h)
H w h
渗透压力:
w h
有效应力原理 二. 饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算
1.自重应力情况 取土骨架为隔离体
向上渗流:
Δh
向下渗流:
H w h
H γ sat
粘土层
第三章 土的应力计算
3.4 有效应力原理
有效应力原理
一. 有效应力原理的基本概念
1.饱和土中的应力形态
A
a-a断面通过土颗 粒的接触点
A： 土单元的断面积 As： 颗粒接触点的面积 Aw： 孔隙水的断面积
a-a断面竖向力平衡：
A AS A w
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效重度。
d —基础埋深，从天然地面算起，m。
§ 3.3 地基附加应力
1885年，J. Boussinesq提出了公式求解弹性半空间表面作用一竖 向集中力时地基中任意点的应力和位移解 1882年，V. Cenitti提出了求解弹性半空间表面作用一水平集中 力时地基中任意点的应力和位移解 1936年，R. Mindlin提出了弹性半空间内某一深度处作用一竖向 集中力时地基中任意点的应力和位移解 半空间表面 布辛奈斯克解
在饱和土中有孔隙气压力吗？
二、土的特性及应力计算方法
连续介质假设——土是三相体，而不是连续介质，研究沉 降和承载力时认为土体是连续的； 线弹性体假设——土为非均质性和非理想弹性体的影响。 在实际工程中，外部荷载引起土中的应 力水平较低，应力与应变关系接近线性 关系，因而可采用弹性理论公式。 均质、等向假设——土体为各向异性，但当土层性质变化 不大时可看为均质、等向体。
p1 F G M x M y p2 A Wx W y
l
F+G
y
My
x
Mx
b
p2
pmax
式中
Mx，My—荷载合力分别对矩形基 底x，y对称轴的力矩，kN.m
Wx，Wy—基础底面分别对x，y轴的
pmin
p1
抵抗矩，m3
§3.2 基底压力
§3.2.3 基底附加压力
基底压力
p F G A
3 p x 2 z 1 2 R 2 Rz z 2 x 2 (2 R z ) x 3 5 2 R3 (R z) 2 R 3 R ( R z )
p o
r
x
2 2 2 2 3 p y z 1 2 R Rz z y (2 R z ) y 3 2 R 5 3 R 3 (R z) R ( R z ) 2 3 5 3p z 3p z 3 1 p z 5 2 2 2 R 2z 2 (r z 2 ) 5 / 2 2 (r / z ) 2 1) 5 / 2 z z 3 p xyz 1 2 xy(2 R z ) xy yx 5 3 2 2 R 3 R (R z) 2 3 p yz 3 py R x 2 y 2 z 2 yz zy 5 cos2 2 R 2R 3 r x 2 y 2 3 p xz 2 3 px 2 zx xz 5 cos 3 2 R 2R
cx cy K0 z
cz
zA cz A cz z
0 0
0 0
z
cz 线
cz ?
A 1 A
z
xy yz zx 0
cz z
—天然地面任意深度z处水平面上的竖直自重应力。
cx cy —天然地面任意深度z处竖直面上的水平自重应力。 、
l=3m 室外 室内
M
1m
0.6m 0.7m
G
F+G
e
b=1.5m
pmax
pmin
(2) M 600kN m M 600 3 e 0.64(m) m F G 830 103.5 6 属于大偏心荷载问题。 k
室外
F=830kN
室内
l 3 1m e 0.64 0.86(m) 2 2 2( F G ) 2 (830 103.5) pmax 482.4(kPa ) 3kb 3 0.86 1.5
(1) M 200kN m 1 1.3 d 1.15(m) 2 G G Ad 20 3 1.5 1.15 103.5(kN) M 200 3 e 0.21(m) m F G 830 103.5 6 属于小偏心荷载问题。 pmax F G 6e 830 103.5 6 0.21 1 1 pmin A l 3 1.5 3 294.6(kPa) 120.3(kPa)
h3
4 , 4
h4
不透水层面
z
不透水层顶面及层面以下按上覆水土总重计算
cz
i 1
n
i
hi
§3.1 土中自重应力 §3.1.3 地下水位升降时的土中自重应力 σ
cz
原地下水位
变动后地下水位
h
变动后地下水位
h
原地下水位
rwh
rwh
Z
地下水下降，有效自重应力增大 地下水上升，有效自重应力减小
浮重度（有效重度） sat w
: 土的有效重度
sat : 土的饱和重度
w : 水的重度
（2）当位于地下水位以下的土为坚硬不透水层，在坚硬不透水层土中只含有 结合水，计算不透水层顶面及以下的自重应力时按上覆土层的水重总量计算。即 采用饱和容重计算。
§3.1 土中自重应力
p
c
F
天然地面
G
A
d 基础底面
基底平均附加压力
p0
p0 p c p 0d
式中 P0 —基底附加压力，由于建筑物的建设，基底在原自重应力基础 上新增加的压应力,kPa。
c —土中自重应力标准值，kPa
σc没有考虑基底土的回弹，是近似。浅 基础可以，深基础为(0,1) σc
0 —基底以上土的天然土层重度的加权平均值，地下水位以下取有
§3.2 基底压力
§3.2.2 基底压力的简化计算
2. 偏心荷载下的基底压力
pmax F G M pmin A W
l
y e x b
或
pmax F G 6e (1 ) pmin A l
F+G
M
式中： M—作用于矩形基底力矩设计值 kN.m
bl 2 W—基础底面的抵抗矩 W , m3 6 M e—偏心荷载的偏心矩 e , m F G
§4.1 概 述
应力符号约定
应用弹性力学理论时 应力沿坐标轴的方向与其作用面外法 线沿坐标轴的方向一致时为正，否则 为负 应用摩尔圆时 正应力：压为正，拉为负 剪应力：逆时针为正，顺时针为负
土中应力
§3.1 土中自重应力 §3.1.1 均质土中自重应力
天然地面 由土柱的重量W=竖向应力合力
cz
图3-1
§3.2 基底压力
§3.2.1 基底压力的分布规律
基底压力——作用于基础底面传至地基的单位面积压力，又称接触压力。
建筑物荷重 基础 地基在地基与基础的接触面上产生的压力 （地基作用于基础底面的反力）
影响基底压力的分布和大小的因素——
（一）柔性基础
基础（刚度） 荷载（大小、分布） 地基土性质 基础的埋深
刚性基础
§3.2 基底压力
§3.2.1 基底压力的分布规律
抛物线形
(a)在砂土上（无超载） （b)在砂土上（有超载） （c）在硬黏土上（无超载）
马鞍形
（d）在硬黏土上（有超载）
圆形刚性基础模型底面反力分布图
布森涅斯克解
假定：地基是半无限弹性 体，基础底面没有摩擦力。
（1）条形基础的接触压应力
2Q 1 p ( x) B 1 (2 x / B) 2
§3.1 土的自 重应力
土中应力
自重应力(geostatic stress)
土体受自身重力作用而存在的应力
附加应力(additional stress)
土体受外荷载以及地下水渗流、地震等作用而附加产生的应力 增量
计算方法
假定地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在深度和水 平方向上都是无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变形半空 间（half space），这样就可以直接采用弹性力学中关于弹性半 空间的理论解答。
A=b× l
内墙或内柱基础
一般取
G 20kN / m3
室内地坪
F
计算地坪 室外地坪
地下水位以下应扣除水的浮力， 取 G 10kN / m3
A—基底面积,对于条形基础沿
d
G p
A=b× l 外墙或外柱基础
长度方向取1单位长度的截条计 算，此时公式中的A改为1 ,F及 G则为基础截条的相应值。
讨论题：地下水对地基的影响，利用及防治
[例题3—1] 某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于例图2· 1中。试计算地 面下深度为2.5m、5m和9m处的自重应力，并绘出分布图。 [解] 本例天然地面下第一层粉土厚6m，其中地下水位以上和以下的厚度分别 为3.6 m和2.4m，第二层为粉质粘土层。依次计算2.5m、3.6m、5m、6m、9m 各深度处的土中竖向自重应力，计算过程及自重应力分布图一并列于例图3—5中 。
自重应力两种情况
（1）在自重作用下已经完成压缩固结，自重应力不再引起 土体或地基的变形； （2）土体在自重作用下尚未完成固结，它将引起土体或地 基的变形。
土中某点总应力=土中某点的自重应力+附加应力
一、按应力传递方式分有效应力与孔隙应力
有效应力——土粒所传递的粒间应力。
孔隙应力——土中水和气体所传递的应力。水传递的应力 称为孔隙水压力；气体传递的应力称为孔隙气压力；
P
假设地基土为弹性半空间体 x
y
M(x、y、z）
z
§ 3.3 地基附加应力
§3.3.1 竖向集中力作用时的地基附加应力
1. 布辛奈斯克解
p
α r
o
xHale Waihona Puke x yM′R
θ
z
z
zx
xy
x
y
d —基础埋深，从天然地面算起，m。
§ 3.3 地基附加应力
1885年，J. Boussinesq提出了公式求解弹性半空间表面作用一竖 向集中力时地基中任意点的应力和位移解 1882年，V. Cenitti提出了求解弹性半空间表面作用一水平集中 力时地基中任意点的应力和位移解 1936年，R. Mindlin提出了弹性半空间内某一深度处作用一竖向 集中力时地基中任意点的应力和位移解 半空间表面 布辛奈斯克解
在饱和土中有孔隙气压力吗？
二、土的特性及应力计算方法
连续介质假设——土是三相体，而不是连续介质，研究沉 降和承载力时认为土体是连续的； 线弹性体假设——土为非均质性和非理想弹性体的影响。 在实际工程中，外部荷载引起土中的应 力水平较低，应力与应变关系接近线性 关系，因而可采用弹性理论公式。 均质、等向假设——土体为各向异性，但当土层性质变化 不大时可看为均质、等向体。
p1 F G M x M y p2 A Wx W y
l
F+G
y
My
x
Mx
b
p2
pmax
式中
Mx，My—荷载合力分别对矩形基 底x，y对称轴的力矩，kN.m
Wx，Wy—基础底面分别对x，y轴的
pmin
p1
抵抗矩，m3
§3.2 基底压力
§3.2.3 基底附加压力
基底压力
p F G A
3 p x 2 z 1 2 R 2 Rz z 2 x 2 (2 R z ) x 3 5 2 R3 (R z) 2 R 3 R ( R z )
p o
r
x
2 2 2 2 3 p y z 1 2 R Rz z y (2 R z ) y 3 2 R 5 3 R 3 (R z) R ( R z ) 2 3 5 3p z 3p z 3 1 p z 5 2 2 2 R 2z 2 (r z 2 ) 5 / 2 2 (r / z ) 2 1) 5 / 2 z z 3 p xyz 1 2 xy(2 R z ) xy yx 5 3 2 2 R 3 R (R z) 2 3 p yz 3 py R x 2 y 2 z 2 yz zy 5 cos2 2 R 2R 3 r x 2 y 2 3 p xz 2 3 px 2 zx xz 5 cos 3 2 R 2R
cx cy K0 z
cz
zA cz A cz z
0 0
0 0
z
cz 线
cz ?
A 1 A
z
xy yz zx 0
cz z
—天然地面任意深度z处水平面上的竖直自重应力。
cx cy —天然地面任意深度z处竖直面上的水平自重应力。 、
l=3m 室外 室内
M
1m
0.6m 0.7m
G
F+G
e
b=1.5m
pmax
pmin
(2) M 600kN m M 600 3 e 0.64(m) m F G 830 103.5 6 属于大偏心荷载问题。 k
室外
F=830kN
室内
l 3 1m e 0.64 0.86(m) 2 2 2( F G ) 2 (830 103.5) pmax 482.4(kPa ) 3kb 3 0.86 1.5
(1) M 200kN m 1 1.3 d 1.15(m) 2 G G Ad 20 3 1.5 1.15 103.5(kN) M 200 3 e 0.21(m) m F G 830 103.5 6 属于小偏心荷载问题。 pmax F G 6e 830 103.5 6 0.21 1 1 pmin A l 3 1.5 3 294.6(kPa) 120.3(kPa)
h3
4 , 4
h4
不透水层面
z
不透水层顶面及层面以下按上覆水土总重计算
cz
i 1
n
i
hi
§3.1 土中自重应力 §3.1.3 地下水位升降时的土中自重应力 σ
cz
原地下水位
变动后地下水位
h
变动后地下水位
h
原地下水位
rwh
rwh
Z
地下水下降，有效自重应力增大 地下水上升，有效自重应力减小
浮重度（有效重度） sat w
: 土的有效重度
sat : 土的饱和重度
w : 水的重度
（2）当位于地下水位以下的土为坚硬不透水层，在坚硬不透水层土中只含有 结合水，计算不透水层顶面及以下的自重应力时按上覆土层的水重总量计算。即 采用饱和容重计算。
§3.1 土中自重应力
p
c
F
天然地面
G
A
d 基础底面
基底平均附加压力
p0
p0 p c p 0d
式中 P0 —基底附加压力，由于建筑物的建设，基底在原自重应力基础 上新增加的压应力,kPa。
c —土中自重应力标准值，kPa
σc没有考虑基底土的回弹，是近似。浅 基础可以，深基础为(0,1) σc
0 —基底以上土的天然土层重度的加权平均值，地下水位以下取有
§3.2 基底压力
§3.2.2 基底压力的简化计算
2. 偏心荷载下的基底压力
pmax F G M pmin A W
l
y e x b
或
pmax F G 6e (1 ) pmin A l
F+G
M
式中： M—作用于矩形基底力矩设计值 kN.m
bl 2 W—基础底面的抵抗矩 W , m3 6 M e—偏心荷载的偏心矩 e , m F G
§4.1 概 述
应力符号约定
应用弹性力学理论时 应力沿坐标轴的方向与其作用面外法 线沿坐标轴的方向一致时为正，否则 为负 应用摩尔圆时 正应力：压为正，拉为负 剪应力：逆时针为正，顺时针为负
土中应力
§3.1 土中自重应力 §3.1.1 均质土中自重应力
天然地面 由土柱的重量W=竖向应力合力
cz
图3-1
§3.2 基底压力
§3.2.1 基底压力的分布规律
基底压力——作用于基础底面传至地基的单位面积压力，又称接触压力。
建筑物荷重 基础 地基在地基与基础的接触面上产生的压力 （地基作用于基础底面的反力）
影响基底压力的分布和大小的因素——
（一）柔性基础
基础（刚度） 荷载（大小、分布） 地基土性质 基础的埋深
刚性基础
§3.2 基底压力
§3.2.1 基底压力的分布规律
抛物线形
(a)在砂土上（无超载） （b)在砂土上（有超载） （c）在硬黏土上（无超载）
马鞍形
（d）在硬黏土上（有超载）
圆形刚性基础模型底面反力分布图
布森涅斯克解
假定：地基是半无限弹性 体，基础底面没有摩擦力。
（1）条形基础的接触压应力
2Q 1 p ( x) B 1 (2 x / B) 2
§3.1 土的自 重应力
土中应力
自重应力(geostatic stress)
土体受自身重力作用而存在的应力
附加应力(additional stress)
土体受外荷载以及地下水渗流、地震等作用而附加产生的应力 增量
计算方法
假定地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在深度和水 平方向上都是无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变形半空 间（half space），这样就可以直接采用弹性力学中关于弹性半 空间的理论解答。
A=b× l
内墙或内柱基础
一般取
G 20kN / m3
室内地坪
F
计算地坪 室外地坪
地下水位以下应扣除水的浮力， 取 G 10kN / m3
A—基底面积,对于条形基础沿
d
G p
A=b× l 外墙或外柱基础
长度方向取1单位长度的截条计 算，此时公式中的A改为1 ,F及 G则为基础截条的相应值。
讨论题：地下水对地基的影响，利用及防治
[例题3—1] 某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于例图2· 1中。试计算地 面下深度为2.5m、5m和9m处的自重应力，并绘出分布图。 [解] 本例天然地面下第一层粉土厚6m，其中地下水位以上和以下的厚度分别 为3.6 m和2.4m，第二层为粉质粘土层。依次计算2.5m、3.6m、5m、6m、9m 各深度处的土中竖向自重应力，计算过程及自重应力分布图一并列于例图3—5中 。
自重应力两种情况
（1）在自重作用下已经完成压缩固结，自重应力不再引起 土体或地基的变形； （2）土体在自重作用下尚未完成固结，它将引起土体或地 基的变形。
土中某点总应力=土中某点的自重应力+附加应力
一、按应力传递方式分有效应力与孔隙应力
有效应力——土粒所传递的粒间应力。
孔隙应力——土中水和气体所传递的应力。水传递的应力 称为孔隙水压力；气体传递的应力称为孔隙气压力；
P
假设地基土为弹性半空间体 x
y
M(x、y、z）
z
§ 3.3 地基附加应力
§3.3.1 竖向集中力作用时的地基附加应力
1. 布辛奈斯克解
p
α r
o
xHale Waihona Puke x yM′R
θ
z
z
zx
xy
x
y