扭转典型习题解析
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扭转
典型习题解析
1 一内径d =100mm 的空心圆轴如图示,已知圆轴受扭矩m kN 5⋅=T ,许用切应力][τ=80MPa ,试确定空心圆轴的壁厚。
解题分析:因为不知道壁厚,所以不能确定是不是薄壁圆管。分别按薄壁圆管和空心圆轴设计。 解: 1、按薄壁圆管设计
薄壁圆管扭转时,假设切应力沿壁厚均匀分布,设壁厚为δ,平均半径为2/0)(δ+=d R ,则扭转切应力为 δ
τ20π2R T
=
强度条件为][ττ≤,于是得
]
[π22
τδδT
d =
+)( ]
[π22223τδδδT
d d =
++ (
)
Pa
1080πm N 1052m 10100m 1010026
32
3
2
3
3××⋅××=×+××+−−δδδ
解得 mm 70.3m 1070.33=×=−δ 2、按空心圆轴设计
强度条件为 ][p
max ττ≤=
W T
将δ216π
44p +=−=
d D d D D
W );(代入得
][π16][π][π164444=−−≤−τττd TD D d D DT
,
)
(
0Pa)108(m 1.0πm N 10516Pa 1080π64
346=××−×⋅××−×××)(D D
解得mm 107.7m 10107.73=×=−D
mm 85.32
mm
100mm 7.1072=−=−=
d D δ 比较可知,两种设计的结果非常接近。
讨论: 当10/0R ≤δ时,即认为是薄壁圆管,可以直接使用薄壁管扭转公式。
2 图示受扭圆杆,沿平面ABCD 截取下半部分为研究对象,如图b 所示。试问截面ABCD 上的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡?
解题分析:由切应力互等定理可知截面ABCD 上的切向内力分布及其大小。该截面上切向内力形成一个垂直向上的力偶矩。在图b 中,左右两个横截面上的水平切向内力分量形成垂直于截面ABCD 的竖直向下的力偶矩,正好与截面ABCD 上切向内力的合力偶矩平衡。 解:1、计算长为 l 的纵截面ABCD 上切向内力的合力偶矩
如图c所示,在纵截面上取一微面积ρd d ⋅=l A ,其上切向内力的合力即微剪力
ρρρτd d d p
ρS ⋅⋅=
⋅⋅=l I T
l F 微剪力对 z 轴的微力矩为
ρρρτρρd d d d 2
p
ρS ⋅⋅=
⋅⋅==l I T l F M z 积分得到纵截面上切向内力对 z 轴的合力偶矩为
题2图
(c)
p
3
2p 32d 2
d I TlR l I T M M R z z =⋅⋅==∫
∫ρρ,方向竖直向上。 2、计算两端横截面切向内力的水平分量形成的力偶矩 如图d所示,微面积θρρd d d =A 上切向内力的水平分量为
θρθρθθρρτd d sin sin d d d 2
p
ρ⋅=
⋅⋅=I T F 右端横截面上剪力的水平分量为
3
p
2p 2
π0
S 32d d sin 2
R I T I T F R ==∫
∫θρθρ 左右两个横截面上水平剪力形成绕 z 轴的力偶矩为
3p
S 32lR I T
l F =
⋅,竖直向下。 所以,截面ABCD 上的切向内力所形成的力偶矩将由左右两个横截面上水平剪力形成
的力偶矩平衡。
3 空心钢轴的外径 D = 100 mm ,内径 d = 50 mm 。已知间距 l = 2.7 m 之间两截面的相对扭转角ϕ=1.8°,材料的切变模量G = 80 GPa 。试计算:(1) 轴内最大切应力;(2) 当轴以 n = 80r/min 的速度旋转时,轴传递的功率(kW)。 解题分析:由已知条件ϕ求出扭矩T ,由 T 计算x
a m τ和功率P 。
解:1、根据相对扭转角列出扭矩的表达式
π180p °
×=
GI Tl ϕ,即l
GI T °=180πp ϕ 2、计算最大切应力
MPa
6.46Pa 106.46180m
7.22m
1.0Pa π10808.11802π1802π269p p p max
=×=°
×××××°=°×=°××=⋅
=
l D G l I D GI I D
T ϕϕτ
3、计算轴传递的功率
由{}{}r/min kW 4
12442
980954932
m 1050100πm 7.2180Pa 10808.1P T =×−××°××°=−)(
得kW 7.71=P
4 若用一内外径比值为0.6的空心轴来代替直径为 d = 400 mm 的实心轴,在两轴的许用切应力相等的条件下,试确定空心轴的外径,并比较实心轴和空心轴的重量。
解题分析:用空心轴代替实心轴,须保证二者强度相同。根据强度条件可求出D 值,再用面积比得出重量比。
解:1、根据两轴切应力相等的条件,确定空心轴外径
][P max
实P max τ==空
W T W T )1(16
π16π43
3α−=D d mm 420)
6.01(1mm
400)
1(1)
1(43
43
433
=−=−=−=
ααd
d D
2、比较实心轴和空心轴的重量
两轴重量比应等于其横截面面积空A 和实A 之比:
%71%100mm 4006.01mm 4204
π)1(4π2
222
2222
=×−=−=)(实
空d D A A α 即在强度相同条件下,空心轴可以节约近30%的材料。
讨论:在实际工程中常用空心圆轴代替实心圆轴,在保障安全运行的前提下,可以节约材料。 5 已知钻探机杆的外径D = 60 mm ,内径d = 50 mm ,功率P = 7.46 kW ,转速n =180 r/min ,钻杆入土深度l = 40 m ,G = 80 GPa ,[τ]= 40 MPa 。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布
的,试求:(1) 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M ;(2) 作钻杆的扭矩图,并进行强度校核; (3) 求A 、B 两截面相对扭转角。
解题分析:根据题意,为圆轴扭转问题。土壤对钻杆的阻力形成扭力矩作用在钻杆上,并沿钻杆长度方向均匀分布。