扭转典型习题解析

扭转

典型习题解析

1 一内径d =100mm 的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩m kN 5⋅=T ，许用切应力][τ=80MPa ，试确定空心圆轴的壁厚。

解题分析：因为不知道壁厚,所以不能确定是不是薄壁圆管。分别按薄壁圆管和空心圆轴设计。 解： 1、按薄壁圆管设计

薄壁圆管扭转时，假设切应力沿壁厚均匀分布，设壁厚为δ，平均半径为2/0）（δ+=d R ，则扭转切应力为 δ

τ20π2R T

=

强度条件为][ττ≤，于是得

]

[π22

τδδT

d =

+）（ ]

[π22223τδδδT

d d =

++ (

)

Pa

1080πm N 1052m 10100m 1010026

32

3

2

3

3××⋅××=×+××+−−δδδ

解得 mm 70.3m 1070.33=×=−δ 2、按空心圆轴设计

强度条件为 ][p

max ττ≤=

W T

将δ216π

44p +=−=

d D d D D

W ）；（代入得

][π16][π][π164444=−−≤−τττd TD D d D DT

，

）

（

0Pa)108(m 1.0πm N 10516Pa 1080π64

346=××−×⋅××−×××）（D D

解得mm 107.7m 10107.73=×=−D

mm 85.32

mm

100mm 7.1072=−=−=

d D δ 比较可知，两种设计的结果非常接近。

讨论: 当10/0R ≤δ时，即认为是薄壁圆管，可以直接使用薄壁管扭转公式。

2 图示受扭圆杆，沿平面ABCD 截取下半部分为研究对象，如图b 所示。试问截面ABCD 上的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡？

解题分析：由切应力互等定理可知截面ABCD 上的切向内力分布及其大小。该截面上切向内力形成一个垂直向上的力偶矩。在图b 中，左右两个横截面上的水平切向内力分量形成垂直于截面ABCD 的竖直向下的力偶矩，正好与截面ABCD 上切向内力的合力偶矩平衡。 解：1、计算长为 l 的纵截面ABCD 上切向内力的合力偶矩

如图c所示，在纵截面上取一微面积ρd d ⋅=l A ，其上切向内力的合力即微剪力

ρρρτd d d p

ρS ⋅⋅=

⋅⋅=l I T

l F 微剪力对 z 轴的微力矩为

ρρρτρρd d d d 2

p

ρS ⋅⋅=

⋅⋅==l I T l F M z 积分得到纵截面上切向内力对 z 轴的合力偶矩为

题2图

(c)

p

3

2p 32d 2

d I TlR l I T M M R z z =⋅⋅==∫

∫ρρ，方向竖直向上。 2、计算两端横截面切向内力的水平分量形成的力偶矩 如图d所示，微面积θρρd d d =A 上切向内力的水平分量为

θρθρθθρρτd d sin sin d d d 2

p

ρ⋅=

⋅⋅=I T F 右端横截面上剪力的水平分量为

3

p

2p 2

π0

S 32d d sin 2

R I T I T F R ==∫

∫θρθρ 左右两个横截面上水平剪力形成绕 z 轴的力偶矩为

3p

S 32lR I T

l F =

⋅，竖直向下。 所以，截面ABCD 上的切向内力所形成的力偶矩将由左右两个横截面上水平剪力形成

的力偶矩平衡。

3 空心钢轴的外径 D = 100 mm ，内径 d = 50 mm 。已知间距 l = 2.7 m 之间两截面的相对扭转角ϕ=1.8°，材料的切变模量G = 80 GPa 。试计算：(1) 轴内最大切应力；(2) 当轴以 n = 80r/min 的速度旋转时，轴传递的功率(kW)。 解题分析：由已知条件ϕ求出扭矩T ，由 T 计算x

a m τ和功率P 。

解：1、根据相对扭转角列出扭矩的表达式

π180p °

×=

GI Tl ϕ，即l

GI T °=180πp ϕ 2、计算最大切应力

MPa

6.46Pa 106.46180m

7.22m

1.0Pa π10808.11802π1802π269p p p max

=×=°

×××××°=°×=°××=⋅

=

l D G l I D GI I D

T ϕϕτ

　3、计算轴传递的功率

由{}{}r/min kW 4

12442

980954932

m 1050100πm 7.2180Pa 10808.1P T =×−××°××°=−）（

得kW 7.71=P

4 若用一内外径比值为0.6的空心轴来代替直径为 d = 400 mm 的实心轴，在两轴的许用切应力相等的条件下，试确定空心轴的外径，并比较实心轴和空心轴的重量。

解题分析：用空心轴代替实心轴，须保证二者强度相同。根据强度条件可求出D 值，再用面积比得出重量比。

解：1、根据两轴切应力相等的条件，确定空心轴外径

][P max

实P max τ==空

W T W T )1(16

π16π43

3α−=D d mm 420)

6.01(1mm

400)

1(1)

1(43

43

433

=−=−=−=

ααd

d D

2、比较实心轴和空心轴的重量

两轴重量比应等于其横截面面积空A 和实A 之比：

%71%100mm 4006.01mm 4204

π)1(4π2

222

2222

=×−=−=）（实

空d D A A α 即在强度相同条件下，空心轴可以节约近30％的材料。

讨论：在实际工程中常用空心圆轴代替实心圆轴，在保障安全运行的前提下，可以节约材料。 5 已知钻探机杆的外径D = 60 mm ，内径d = 50 mm ，功率P = 7.46 kW ，转速n =180 r/min ，钻杆入土深度l = 40 m ，G = 80 GPa ，[τ]= 40 MPa 。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布

的，试求：(1) 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M ；(2) 作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； (3) 求A 、B 两截面相对扭转角。

解题分析：根据题意，为圆轴扭转问题。土壤对钻杆的阻力形成扭力矩作用在钻杆上，并沿钻杆长度方向均匀分布。