苏教版数学必修五：1.1正弦定理(二)【教师版】
高一数学苏教版必修5《1.1正弦定理》教案2
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
一、复习回顾
、正弦定理：
正弦定理的变形形式
（）；；
（）
（）
、正弦定理可以解哪两类三角形问题
二、例题
【例】根据下列条件，判断△的形状
（） ，
（） ，
解题小结：
练习：．△中， ，则三角形为．
回忆公式
基础练习：
、
在△中，
已知 ，则
、在△中，已知 ，则
．在△中，角、均为锐角且＞，则△是．
教学过程设计
教
学
二次备课
【例】在△中， 是∠的平分线，用正弦定理证明：
练习：在△中，∠的外角平分线交的延长线与，用正弦定理证明：
三、巩固练习
．在△中， ， ，则
．若△中， ，则△
是三角形
四、课堂小结
、比值的意义：
、正弦定理的变形形式
（） ；
（） ；
（）
课外作业
教学小结
备课时间
年月日
上课时间
第周周月日
班级节次
课题
正弦定理（）
总课时数
第节
教学目标
.会熟练应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识；
．初步掌握正弦定理的变形形式，并会应用
教学重难点
.会熟练应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识；
．初步掌握正弦定Hale Waihona Puke 的变形形式，并会应用教学参考
教材、教参
授课方法
合作探究、讲练结合
2015年高二数学教案《正弦定理》(2)(苏教版必修五)
第一章 解三角形 第2课时 正弦定理(2)
教学目标：
1.会应用正弦定理确定三角形解的情况；
2.能够应用正弦定理求三角形的面积及解决其它一些综合问题.
教学重点：
正弦定理及其应用
教学难点：
正弦定理及其应用
教学过程：
Ⅰ.问题情境
设在ABC ∆中,AB=3,AC=4,A=︒60,你能求出ABC ∆的面积吗?
Ⅱ.建构数学
三角形面积公式：
Ⅲ.数学应用
例1.某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为︒30,沿倾斜角为︒15的斜坡前进 1000m 后到达D 处,又测得山顶的仰角为︒60,求山的高度BC.
练习.如图，有长100米的斜坡AB ，它的倾斜角是40°,现在要把斜坡的倾斜角改为 25°，求伸长的坡底的长.（sin15°＝0.2588，sin25°＝0.4226）
例2.在△ABC 中，已知
C
c B b A a cos cos cos ==,试判断△ABC 的形状.
练习：在△ABC 中，若a cos A 2 ＝b cos B 2 ＝c cos C 2 ，则△ABC 的形状是____________.
Ⅳ.课堂检测
Ⅴ.课时小结
Ⅵ.课后作业
书本P11习题5,6,7。
江苏省高一数学苏教版必修5《1.1正弦定理》教案3
教学 教材 、教参
参考
授课 讲练结合 方法
教学辅助手段
多媒体 专用教室
教学
教
学
过程
设计
二次备课
2
1
一、 复习回顾
回顾基础知识
1、正弦定理：
2、正弦定理的变形形式
二、基础练习
1．△ABC 中， b 3,B 600 , c 1 ，则 a =
．
2．△ABC 中， c 6, A 450 , a 2 ，则 B =
4．△ABC 中，
a = 4 ，∠B＝45º，
若解此三角形时有且
设计
仅有唯一解，则 b 的
值满足____________
练习：为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸 ．
打上两个桥位桩 A,B 。要测算出 A,B 两点间的距离， 测量人员在岸边定出基线 BC，测得 BC=78m，
B 60 , C 45 , 试计算 AB 的 长（精确到
1
备课 时间
2016 年 2 月 26 日
上课时间
第 周周
月日
班级
节次
课题
正弦定理（3）
总课时数 第 节
教学 1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形． 目标 2．熟练应用正弦定理及其变形形式
教学 重难 点
1．掌握正 弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形． 2．熟练应用正弦定理及其变形形式
果 A 30
∠A、∠B、
B 120 ， b 12 ∠C 的对边，
，那么 a
S 是△ABC 的
， ABC 的面积是 面积，若
．
a =4， b =5
，S =5 3
苏教版数学必修五同步讲义：1.1正弦定理(2)
1．1 正弦定理(2)1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能．2.理解三角形面积公式及解斜三角形．3．掌握把实际问题转化成解三角形问题．, [学生用书P3])1．三角形中常用的结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中，大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．三角形面积公式(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .1．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________． 解析：由BC sin A ＝ABsin C ，知sin C ＝1，则C ＝90°，所以B ＝60°，从而S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32.★答案★：322．若△ABC 中，cos A ＝13，cos B ＝14，则cos C ＝________．解析：由cos A ＝13得sin A ＝223；由cos B ＝14得sin B ＝154.所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－()cos A cos B －sin A sin B＝－⎝⎛⎭⎫13×14－223×154＝230－112.★答案★：230－1123．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 解析：由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， 所以3＝12×2·AC ·32，所以AC ＝2，所以△ABC 为正三角形， 所以AB ＝2. ★答案★：2三角形面积公式的应用[学生用书P4]在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． 【解】 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，又AB ·sin B ＜AC ＜AB ，故该三角形有两解：C ＝60°或120°，所以当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°， S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.所以△ABC 的面积为23或 3.把本例中的B ＝30°改为B ＝45°，AB ＝2 3 改为AB ＝3，其他条件不变，求△ABC 的面积．解：由正弦定理c sin C ＝bsin B ，得AB sin C ＝AC sin B ，则sin C ＝64， 又AC ＞AB ，故该三角形有一解，且C 为锐角，cos C ＝104，由sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝22×104＋22×64＝5＋34，则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×3×2×5＋34＝3＋154.三角形的面积公式是在解三角形中经常用到的一个公式，其应用关键是根据题目条件选择合适的两边及其夹角．1.在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于________．解析：b ＝a sin B sin A ＝2×sin 105°sin 30°＝6＋2，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝(6＋2)×22＝3＋1.★答案★：3＋1正弦定理在几何图形中的运用[学生用书P4]如图所示，D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，且AB ＝AD ，记∠CAD＝α，∠ABC ＝β.(1)求证：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β的值．【解】 (1)证明：因为AB ＝AD ，所以∠ADB ＝∠ABD ＝β.又因为α＝π2－∠BAD ＝π2－(π－2β)＝2β－π2，所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫2β－π2＝－cos 2β， 即sin α＋cos 2β＝0.(2)在△ADC 中，由正弦定理得DC sin α＝ACsin ∠ADC， 即DC sin α＝ACsin （π－β）， 即DC sin α＝3DCsin β，所以sin β＝3sin α. 由(1)知sin α＝－cos 2β，所以sin β＝－3cos 2β＝－3(1－2sin 2β)， 即23sin 2β－sin β－3＝0. 解得sin β＝32或－33.因为0＜β＜π2，所以sin β＝32，所以β＝π3.(1)先找出α与β之间的关系，再取正弦即得要证明的结论．(2)利用正弦定理先找出三角函数之间的关系，再利用(1)的结论将其化简，最后求得sin β的值，从而求出角β.2.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝________．解析：由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55， 所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. ★答案★：1010正弦定理的实际应用[学生用书P5]为了求底部不能到达的水塔AB 的高，如图，在地面上引一条基线CD ＝a ，这条基线延长后不过塔底，若测得∠ACB ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，求水塔AB 的高．【解】 在△BCD 中，BC sin γ＝a sin ∠CBD ＝asin （β＋γ），所以BC ＝a sin γsin （β＋γ），在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝a sin γ·tan αsin （β＋γ）.根据具体问题画出符合题意的示意图，把角、距离在示意图中表示出来，借助图形审题．在三角形中，利用正弦定理解决问题．3.在埃及，有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了．考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶部已经坍塌了)，A ＝50°，B ＝55°，AB ＝120 m ，则此金字塔的高约为________米．(sin 50°≈0.766，sin 55°≈0.819，精确到1米)解析：先分别从A ，B 出发延长断边，确定交点C ， 则C ＝180°－A －B ＝75°，AC ＝AB sin C ·sin B ＝120sin 75°×sin 55°≈101.7.设高为h ，则h ＝AC ·sin A ＝101.7×sin 50°≈78米．★答案★：781．三角形中的诱导公式sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C2，cos A ＋B 2＝sin C2.2．三角形中边角转化的等价关系 a >b >c ⇔A >B >C ⇔sin A >sin B >sin C . 3．三角形面积公式S ＝12(a ＋b ＋c )r (r 为三角形内切圆半径)．在△ABC 中，若C ＝3B ，求cb 的取值范围．[解] 由正弦定理可知c b ＝sin 3B sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2B sin B ＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.又因为A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ， 所以0°<B <45°，22<cos B <1， 所以1<4cos 2B －1<3， 故1<c b<3.即cb的取值范围是(1，3)．(1)错因：在解决有关三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误．本题隐含条件0°<4B<180°，即0°<B<45°.(2)防范：①注意隐含条件，记住三角形中的常用结论，理清三角形中基本量的关系，②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为求函数的值域或最值的问题．1．在△ABC中，B＝60°，b＝76，a＝14，则A＝________．解析：由正弦定理得sin A＝2 2，所以A＝45°或135°，又B＝60°，b＞a，所以B＞A，即A＜60°，故A＝45°.★答案★：45°2．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．解析：因为2R＝4sin 45°＝42，所以R＝2 2.所以S＝πR2＝8π.★答案★：8π3．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________三角形．解析：由已知，可得2R sin A＝2·2R sin B·cos C，即sin(B＋C)＝2sin B cos C，所以sin B cos C－cos B sin C＝0，sin(B－C)＝0，所以B＝C，即△ABC为等腰三角形．★答案★：等腰,[学生用书P71(单独成册)])[A 基础达标]1．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于________． 解析：由条件知A ＝2π3，B ＝C ＝π6，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1.★答案★：3∶1∶12．在△ABC 中，已知B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则A 的值是________．解析：由正弦定理，得sin C ＝32，从而C ＝60°或120°，故A ＝15°或75°. ★答案★：15°或75°3．在△ABC 中，c b ＝cos Ccos B ，则此三角形为________三角形．解析：由正弦定理得c b ＝sin Csin B ，所以sin C sin B ＝cos C cos B.所以sin B cos C －sin C cos B ＝0. 所以sin(B －C )＝0. 所以B ＝C .所以△ABC 为等腰三角形． ★答案★：等腰4．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________．解析：由题意得cos 2B －3cos B ＋2＝0， 即2cos 2B －3cos B ＋1＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝1(舍去)，所以sin B ＝32，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2. ★答案★：25．如图，△ABC 是半径为R 的⊙O 的内接正三角形，则△ABC 的边长为________，△OBC 的外接圆半径为________．解析：因为ABsin 60°＝2R ，所以AB ＝3R .设△OBC 外接圆半径为x ，BC sin 120°＝2x ，x ＝3R2·32＝R .★答案★：3R R6．在△ABC 中，若a ＝c sin A ，sin C ＝2sin A sin B ，则△ABC 的形状为________三角形． 解析：由已知，2R sin A ＝2R sin C sin A ， 因为sin A ≠0，所以sin C ＝1，C ＝90°，又sin C ＝2sin A sin B ＝2sin A cos A ， 所以sin 2A ＝1，2A ＝90°，A ＝45°， 即△ABC 为等腰直角三角形． ★答案★：等腰直角7．海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，C ＝180°－(B ＋A )＝45°，由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56(海里)． ★答案★：5 6 海里8．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________．解析：因为c sin C ＝a sin A ＝403，所以c ＝403sin C .所以0<c ≤403.★答案★：⎝⎛⎦⎤0，403 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b c ＝233，A ＋3C ＝π.(1)求cos C 的值；(2)若b ＝33，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＋3C ＝π， 所以B ＝2C .又由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b c ＝sin B sin C ，233＝2sin C cos C sin C，化简得，cos C ＝33. (2)由(1)知B ＝2C ，所以cos B ＝cos 2C ＝2cos 2C －1＝2×13－1＝－13.又因为C ∈(0，π)， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－13＝63. 所以sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223. 因为A ＋B ＋C ＝π.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝⎛⎭⎫－13×63＝69. 因为b c ＝233，b ＝33，所以c ＝92.所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×33×92×69＝924.10．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，b ＝1，求a ＋c 的范围．解：由已知，B ＝60°，b ＝1， 所以△ABC 外接圆半径R ＝12sin 60°＝33.a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C ) ＝2R [sin A ＋sin(120°－A )] ＝2×33×3sin(A ＋30°) ＝2sin(A ＋30°)． 因为0°<A <120°，所以a ＋c 的取值范围为(1，2]．[B 能力提升]1．已知锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，则△ABC 的面积＝______．解析：因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，根据根与系数的关系得ab ＝2，由2sin(A ＋B )－3＝0得sin(A ＋B )＝32.因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B ＝120°，C ＝60°.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2sin 60°＝32.★答案★：322．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． ★答案★：100 63．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，c cos A ＝b ，则△ABC 的形状为________．解析：因为c cos A ＝b ， 所以sin C cos A ＝sin B .而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝0.因为0°<A <180°，所以sin A >0， 所以cos C ＝0，且0°<C <180°.所以C ＝90°，即△ABC 是角C 为直角的直角三角形． ★答案★：直角三角形4. (选做题)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？解：如图，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1 km.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32， 所以∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，所以∠BAC ＝30°，所以BC ＝AC ＝1， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， 所以△ACD 为等边三角形，所以CD ＝1. 因为BC12×60＝5(min)，所以在BC 上需5 min ，CD 上需5 min.最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 才算合格．。
苏教版高中数学必修五1.1正弦定理(二).docx
§1.1 正弦定理(二)课时目标1.熟记正弦定理的有关变形公式；2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝______； (3)a ＝__________，b ＝________，c ＝____________；(4)sin A ＝__________，sin B ＝__________，sin C ＝__________. 2．三角形面积公式：S ＝____________＝____________＝____________.一、填空题1．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于________．2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 的形状是________．3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________．4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是________三角形．5．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为________．7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 二、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B2＝255，求△ABC的面积S.答案知识梳理1. (1)a∶b∶c (2)2R (3)2R sin A 2R sin B 2R sin C (4)a2Rb2Rc2R2.12ab sin C12bc sin A12ca sin B作业设计1. 7∶5∶3解析∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴b＋c4＝c＋a5＝a＋b6.令b＋c4＝c＋a5＝a＋b6＝k (k>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4kc ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k b ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3. 2．等边三角形解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C.3.⎝⎛⎦⎥⎤0，403解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.4．等腰解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin (B ＋C)＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin (B －C)＝0，∴B ＝C. 5．8π解析 ∵2R ＝4sin 45°＝42，∴R ＝2 2.∴S ＝πR 2＝8π.6．1解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1. 7．2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3.8．2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a>b ，得A>B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2. 9．7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.11．证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A ⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 13．75°解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°， ∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．解 cos B ＝2cos 2 B2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin (π－B －C)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.。
高中数学 1.1正弦定理课件 苏教版必修5
解析：(1)∵sinaA＝sinc C，∴sin
A＝asicn
C＝
2 2.
栏 目
链
π
接
∵c＞a，∴C＞A.∴A＝ 4 .
∴B＝51π2 ，b＝cssiinnCB＝ 6×sπin51π2 ＝ 3＋1. sin 3
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(2)∵sina A＝sinc
C，∴sin
C＝csian
A＝
3 2.
又∵a＜c，∴C＝π3 或2π3 .
1．1 正弦定理
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情景导入
栏 目
链
接
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在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼”(战士语)， 即准确地发现敌台的位置．在该项目训练中，追寻方的 安排都是两个小组作为一个基本单位去执行任务，用战 士的话说就是两条线(即两台探测器分别探出了敌台的 方向)一交叉就把敌人给叉出来了，想藏想跑，门都没 有．其实这里面不仅仅是两线交叉确定交点的问题，还 隐藏了一个数学问题，即两个探寻小组之间的位置是已 知的，它们和敌台构成了一个三角形，在战士探明了敌 台方向的时候，也就是知道了该三角形的两个内角，再 利用正弦定理就可以算出敌人的准确位置．
(2)在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60˚ ，C＝75˚ ，求 A，b，c.
解析：(1)∵A＝30˚ ，C＝45˚ ，
∴B＝180˚ －(A＋C)＝105˚ .
由正弦定理得
b
＝
assiinnAB＝
20sin 105˚ sin 30˚
＝
40sin
(45˚
＋ 60˚
)＝
10( 6＋ 2),
c＝assiinnAC＝2s0isnin340˚5˚＝20 2，
苏教版高中数学必修五《正弦定理》教案2
1.1 正弦定理教学目标：(1)掌握正弦定理及其证明，会初步运用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识；(2)在问题解决中，培养学生的自主学习和自主探索能力；(3)提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣，在合作学习中，学会学习，学会交流，相互评价，提高学生的合作意识与交流能力。
教学重点：正弦定理及其证明过程 教学难点：正弦定理的推导与证明教学过程： 一．问题情境引言：从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量，设计和计算。
测量河流两岸码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等问题，都可以转化为求三角形的边与角的问题，这就需要我们进一步探索三角形的边角关系。
探索1：在Rt △ABC ，C=900，那么边角之间有哪些关系？sinA=c a ，sinB=c b，sinC=cc =1，……即c=A a sin ，c=B b sin ，c=Ccsin ， ∴A a sin =B b sin =Cc sin 探索2：在任意三角形里, A a sin =B b sin =Ccsin 还成立吗？ （几何画板演示） 二.学生活动 数学实验：分组一：对于锐角三角形验证结论是否成立？c b a DBA C分组二：对于钝角三角形验证结论是否成立？数学猜想：A a sin =B b sin =Ccsin ; 三.建构数学:数学证明: 证法一：证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21== 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）a bcOBCADb ac DA BC b ac 过程：sinB=AD c ，sinC=sin （1800-C ）=ADb，得csinB=bsinC ，得b sinB =c sinC 同理可得：a sinA =csinC 所以a sinA =b sinB =c sinC所以a sinA =b sinB =c sinC同理可得：a sinA =csinC得b sinB =csinC 得csinB=bsinC ，sinB=AD c ，sinC=AD b，过程：cba DDBACBC证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD DaA a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 证明四：（向量法）探索3：观察正弦定理的结构，看它有什么特点？你能用语言把它叙述出来吗？定理中的正弦改成余弦，结论还成立吗？正弦定理结构和谐、对称，体现了数学的和谐美与对称美； 若改成余弦，除正三角形外，其余三角形都不成立。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》
《正弦定理与解三角形》教学设计一、教学目标：（1）知识与技能目标：通过自主学习正弦定理，学生能够解斜三角形（2）过程与方法目标：培养学生学会分析问题，合理运用定理解决三角形问题。
培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
（3）情感、态度、价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。
二、教学的重点和难点：本课的教学重点：正弦定理的运用、解三角形中边角互化问题；本课的教学难点：解三角形中恒等变换及综合问题。
三、教学方法：主要采取的教学方法：引导启发法。
在本节课的教学中主要渗透自主探究法、小组讨论法等。
四、教学过程：（一）导入新课本课主要采用：直接导入，情境导入等等本节课由初中的解直角三角形引入如何解斜三角形，让学生复习回顾正弦定理的内容，进而引入正弦定理的证明。
这种方法，不仅能引起学生的兴趣，而且能够引导学生思考，并且引出新课题。
（二）讲授新课在讲授新课时，为了突出本节课的第一维知识与技能目标，首先引导学生自主学习，学生对基本的概念和知识初步感知，学习完成后，会解斜三角形，注意多解的情况，具体过程如下：（讲授第一维目标）通过这种方法，既体现了新课改中以学生为主体的思想，又调动了学生学习的积极性。
这部分讲授完成后，开始讲解本节课的难点，也就是第二维过程与方法目标，引导学生进行探究学习，学生先进行探究学习，具体过程如下：（讲授第二维目标）通过这种方法，既让学生能够深入理解这种方法，也可以增进学生之间相互帮助的情感。
（三）巩固练习完成变式１（四）小结（五）作业布置布置课后作业，包括必做题和选做题，必做题主要以基础算式为主，选做题会选用一些开放性较高，需要学生进行发散思考的问题，以满足那些学有余力的同学。
五、板书设计板书设计采用图文并茂的形式，清晰展示全文整体结构，突出重点，彰显文章主题。
高一数学苏教版必修5教师用书：第1章 1 正弦定理 第2课时 正弦定理(2)
第2课时正弦定理(2)1．利用正弦定理判断三角形的形状，计算三角形的面积．(重点) 2．正弦定理与三角恒等变换的综合应用．(难点)3．利用正弦定理解题时，忽略隐含条件而致误．(易错点)[基础·初探]教材整理 正弦定理的应用 阅读教材P 9～P 12，完成下列问题． 1．正弦定理的深化与变形 (1)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C.(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (3)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C . (4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在有些三角形中，a＝sin A，b＝sin B，c＝sin C．()(2)在△ABC中，asin A＝b＋csin B＋sin C.()(3)在△ABC中，a＝2，b＝1，C＝30°，则S△ABC＝1.()【解析】由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C可知(1)，(2)正确；又S△ABC＝12×2×1×sin 30°＝12，故(3)错误．【★答案★】(1)√(2)√(3)×[小组合作型]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B ＝30°，c ＝23，b ＝2，求△ABC 的面积S .【精彩点拨】 先求C ，再求A ，最后利用S △ABC ＝12bc sin A 求解． 【自主解答】 由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝23sin 30°2＝32.又∵c >b ，∴C＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，∴S ＝12bc sin A ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，∴S ＝12bc sin A ＝3，∴△ABC 的面积S 为23或 3.求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用.另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误.[再练一题]1．在△ABC中，cos A＝－513，cos B＝35.(1)求sin C的值；(2)设BC＝5，求△ABC的面积.【导学号：92862005】【解】(1)在△ABC中，0<A<π，0<B<π，A＋B＋C＝π，由cos A＝－513，得sin A＝1213，由cos B＝35，得sin B＝45，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝1213×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－513×45＝1665.(2)在△ABC中，由正弦定理得，AC＝BC×sin Bsin A＝5×451213＝133，∴S△ABC ＝12×BC×AC×sin C＝12×5×133×1665＝83.在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．【精彩点拨】根据正弦定理可以把问题转化为角的问题，借助三角恒等变换知识化简得到角与角的等量关系，再进一步判断．【自主解答】由已知得a2sin Bcos B＝b2sin Acos A.由正弦定理得sin2A sin Bcos B＝sin2B sin Acos A，即sin A cos A＝sin B cos B，亦即sin 2A＝sin 2B.∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＝π2－B，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．根据边角关系判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦定理实施边、角转换．[再练一题]2．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．【解】 法一 在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R . ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )， ∴sin 2B ＝12，∵B 是锐角， ∴sin B ＝22，∴B ＝45°，C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二 在△ABC 中，根据正弦定理： sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°. ∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C－cos B sin C＝0，即sin(B－C)＝0，∴B－C＝0，即B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．[探究共研型]图1-1-1【提示】如图，在B侧选一条基线BC，测得BC＝a，∠ABC＝α，∠ACB ＝β，则由正弦定理可知AB sin β＝BCsin(α＋β)，即AB＝BC sin βsin(α＋β).探究2你能画出下列各角吗？(1)南偏西30°；(2)仰角30°，俯角45°. 【提示】如图1-1-2，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.图1-1-2【精彩点拨】先求出∠CBD，利用正弦定理求BC，再在△ABC中，求AB.【自主解答】在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴BCsin β＝ssin[180°－(α＋β)]，即BCsin β＝ssin(α＋β)，∴BC＝sin βsin(α＋β)·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tan θ，∴AB＝BC·tan θ＝sin β·tan θsin(α＋β)·s.解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.[再练一题]3．一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，0.5 h后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离．【解】如图所示，在△ABC中，A＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝30×0.5＝15(n mile)．由正弦定理，得AC sin∠ABC ＝ABsin∠ACB，∴AC＝AB sin∠ABCsin∠ACB＝15×sin 120°sin 15°＝32＋62×15(n mile)．在△ACD中，∵A＝D＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝2AC＝15(3＋3)(n mile)．∴A，D两处之间的距离是15(3＋3)n mile.答A，D两处的距离为15(3＋3)n mile.1．在△ABC中，AB＝3，BC＝1，B＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝.【解析】S△ABC ＝12×AB×BC×sin B＝12×3×1×12＝34.【★答案★】3 42．在△ABC中，若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC是三角形．【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 可知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .由a cos A ＝b cos B ＝c cos C 可知tan A ＝tan B ＝tan C ，即A ＝B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形．【★答案★】 等边3．如图1-1-3所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为 m.【导学号：92862006】图1-1-3【解析】 由题意可知∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理，得AB＝AC ·sin ∠ACB sin ∠ABC＝50×2212＝502(m)． 【★答案★】 50 24．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C ＝ .【解析】由正弦定理可知asin A＝bsin B＝csin C，故2asin A－bsin B－csin C＝0.【★答案★】05．如图1-1-4，A，B是海平面上的两个点，相距800 m．在A点测得山顶C 的仰角为30°，∠BAD＝105°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足．求山高CD.图1-1-4【解】在△ABD中，由正弦定理，得AD＝AB sin∠ABDsin∠ADB＝800sin 45°sin(180°－105°－45°)＝8002，在Rt△ACD中，CD＝AD·tan 30°＝8002×33＝80063(m)．答山高CD为80063m.。
苏教版数学高二- 必修5教案 1.1.1正弦定理
1.1 正弦定理一、学习目标1. 掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2. 提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣．二、教学过程1、复习旧知：三角形函数定义2、问题情境从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =，那么边角之间有哪些关系？探索2 在Rt ABC ∆中，我们得到sin sin sin a b c A B C==，对于任意三角形，这个结论还成立吗？3、学生活动把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立．学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立．教师再通过几何画板软件进行验证（如图1）．对于验证的结果不成立的情况，指出这是由于测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理． 四、问题解决探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证明结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论成立？师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，进而探索证明过程．探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法，我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式，我们运用不同的方法证明了三角形中的一个重要定理．探索5 这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角型中的哪些类型的问题？正弦定理可以解决两类三角形问题：（1）（2）五、数学运用例题 在ABC ∆中：（1）已知16a =，26b =，30A =，求B ，C ，c ；（2）已知30a =，26b =，30A =，求B ，C ，c ；（3）已知25a =，11b =，30B =，解这个三角形．学生思考：已知三角形的两边和其中一边的对角，为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢？六、.课堂练习1.（口答）一个三角形的两角和边分别是30和45，若45角所对边的长为8，那么30角所对边的长是 .2. 在ABC ∆中：（1）已知75,45,32A B c ===C ，b ；（2）已知30,120,12A B b ===，求a ，c ．3.根据下列条件解三角形：（1）40b =，20c =，25C =（2）15a =，20b =，108A =七、课堂小结八、课后作业1、在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ． 2、在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．3、在ABC ∆中，30bc =，ABC S ∆=，则A ∠= ．4、在△ABC 中，已知∠B=045，334b 22==，c ,则∠A 的值是 5、△ABC 中6=a ，36=b ，A=030，则边c =6、在△ABC 中，已知2=a ，22=b ，∠A=030，则∠B=7、在△ABC 中，B a b 222sin 4=，则∠A= ____8、在三角形ABC 中，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且Ac C b B a sin sin sin ==，则△ABC 是 三角形。
苏教版数学高二- 必修5教案 1.1.1正弦定理(2)
解： ∴ 由 得
由 得
例2（已知两边和其中一边的对角的问题）
在
解：∵ ， 为锐角，
∴
（只有一解）
例3
解：
，
（有两解，要提醒学生不要漏解）
四、矫正反馈
1.在 中，三个内角之比 ，那么 等于____
2.在 中， ,则此三角形的最大边长为_____
五、迁移应用
在 中，已知 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是_____
课外作业
课本10页1、2
教学反思
1
教学
目标
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；
2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；
重点
难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
教学过程
一、问题情境
在直角三角形中的边角关系是怎样的？这种关系在任意三角形中也成立吗？
二、互动探究
1．正弦定理的推导
（1）在直角三角形中： , ，
即 ， ， ∴ = =
能否推广到斜三角形？
（2）斜三角形中
证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ 中，先作出三边上的高 、 、 ，则 ， ， ．所以 ，每项同除以 即得： ．
证明二：（外接圆法）如图所示，∠ ＝∠∴Leabharlann 同理 ，证明三：（向量法）
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
2．正弦定理的作用：
（1）已知两角与任一边，求其他两边和一角
苏教版高中数学(必修5)1.1《正弦定理》精品教案.doc
1.1正弦定理教学过程（二）推进新课［合作探究］师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当AABC是锐角三角形时，设边ABk的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有CD=/sinS=BsirU,贝U —-—=—-—,同理，可得一-—=—-—.从而sin/ sin 5 sinC sin 5a _b _ csin/ sin 5 sinC（当AABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a _b _ csin/ sin 5 sinC师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作AABC的外接圆，在AABC中，令BC=AAC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明—=—=这一关系•sin/ sin 5 sinC师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在厶ABC 中，已知BC=AAC=BAB=C,作厶ABC的外接圆,O为圆心，连结BO并延长交圆于B', 设B夕=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到ZBAB'=90°, ZC=ZB',sinC=siiiB - sin C = sinB'= ------ .2R :.= 2R .sinC同理，可得 ~^— = = 2R .sin/ sin 5sin A sin B sin C这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式a _b _ csin/ sin 5 sinC点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. ［知识拓展］师接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一知识点体现边角关系呢？生向量的数量积的定义式A-B=\A\\B\Co^,^中9为两向量的夹角.师回答得很好，但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢？生可以通过三角函数的诱导公式sin0=Cos(9O°-6)进行转化.师这一转化产生了新角90。
江苏省高一数学苏教版必修5《1.1正弦定理》教案1
第 周 周 月 日
备 课 时 间 2016 年 2 月 22 日 上 课时 间
班级 节次
课题
正弦定理（1）
总课时数第 节
教学目标
1．掌握正弦定理，了解其证明方法；2．会初步应用正弦定理解斜三角形
教学重难点1．理解正弦定理的证明方法；2．会初步应用正弦定理解斜三角形
教学参考教材、教参
多 媒 体授课方法
合作探究、讲授
教学辅助手段
专用教室
教
学
二次备课
一、问题情境
1、直角三角形中的边角关系
在△中，设，则，RT ABC 0
90 C sin a A c
= ， =，sin b
B c =sin 1
C =c
c 即：， ， ， 则sin a c A =
sin b c B =sin c
c C
=．sin sin sin a b c
A B C
==对于任意三角形，这个结论还成立吗？
2、阅读书5-6页，了解正弦定理的证明过程
二、建构数学1、正弦定理：
sin sin sin a b c
A B C
==
2、正弦定理的证明
师生共同经历发现正弦定理的过程
阅读正弦定理的证明
过程
记忆公式
教学二次备课
1】在
C
：边求另两边和一角的问题
、正弦定理：
）已知两边和其中一边的对角求另一边对一角：ABC
课外作业教学小结。
高中数学 11(正弦定理(2))教案 苏教版必修5 教案
第 2 课时： §1.1 正弦定理（2）【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用正弦定理解决有关平几问题以及判断三角形的形状，掌握化归与转化的数学思想；2.能熟练运用正弦定理解斜三角形； 二、过程与方法通过解斜三角形进一步巩固正弦定理，让学生总结本节课的内容。
三、情感、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解斜三角形问题的运算能力；2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。
【教学重点与难点】：重点：利用正弦定理解斜三角形难点：灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式。
【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题 1.正弦定理：2.已知两边和其中一边的对角，如何判断三角形的形状？ 二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材9P 例4）在ABC ∆中，已知CcB b A a cos cos cos ==，试判断三角形的形状. 例2 （教材10P 例5）在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=． 证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD βα=，sin(180)sin AC DC βα︒-=，又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BDAC DC=． 例3 在ABC ∆中，已知角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若b c a 2=+,（1）求证：2cos2cos 2CA C A -=+；（2）若3π=B ，试确定ABC ∆形状例4 在ABC ∆中，c b a ,,分别为ABC ∆三边长，若31cos =A ，（1）求A C A 2cos 2sin 2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值例5 （教材9P 例3）某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)．分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆．解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒，所以160ADE ∠=︒， 于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒．又352015BAD ∠=︒-︒=︒， 所以30ABD ∠=︒．在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．四、巩固深化，反馈矫正1.在ABC ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆一定是________2.在ABC ∆中，A 为锐角，2lg sin lg 1lglg -==+A cb ，则ABC ∆形状为_______ 3.在ABC ∆中，若3,600==a A ，则_______sin sin sin =++++CB A c b a五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课的内容 （1）知识总结： （2）方法总结：六、承上启下，留下悬念。
正弦定理二 正弦定理 教案 苏教版必修5
正弦定理二一、课题：正弦定理（2）二、教学目标：1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形， 解决实际问题；2．熟记正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半 径）及其变形形式。
三、教学重点：正弦定理和三角形面积公式及其应用。
四、教学难点：应用正弦定理和三角形面积公式解题。
五、教学过程：（一）复习：1．正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：2sin sin sin a b c R A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）； 2．三角形面积公式：111sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C ∆===． （二）新课讲解：1．正弦定理的变形形式：①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； ②sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =．2．利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）。
A b a sin =b a A b <<sin b a ≥b a >一解 两解 一解 一解B c a B 2 aC A B 1 b a b a C A B a BA C b3．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化： 例如，判定三角形的形状时，经常把,,a b c 分别用2sin ,2sin ,2sin R A R B R C 来替代。
4．例题分析：例1 在ABC ∆中，1 A B > 2 sin sin A B >的 （ ）A ．1只能推出2B ．2只能推出1C ．1、2可互相推出D ．1、2不可互相推出解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ． 说明：正弦定理可以用于解决ABC ∆中，角与边的相互转化问题。
苏教版高中数学必修五第一学生教案第课时正弦定理(2)
让学生学会学习听课随笔第3课时知识网络⎪⎩⎪⎨⎧解的个数的判定平面几何中某些问题判断三角形状正弦定理的应用学习要求1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； 2．熟记正弦定理及其变形形式； 3．判断△ＡＢＣ的形状.【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin R 2, 2R sin sin sin sin sin a b a b cA B A B C±±±==±±±R 为ABC ∆的_______________2．三角形的面积公式：（1）s=_______=_______=_______ （2）s=__________________ （3）s=____________【精典范例】【例1】在△ＡＢＣ中，已知A a cos ＝Bbcos ＝C ccos ，试判断△ＡＢＣ的形状． 【解】点评: 通过正弦定理，可以实现边角互化．【例2】在△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，用正弦定理证明AC AB ＝DCBD． 【证】【例3】根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数．（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ； （3）106a =，203b =，45A =︒，求B ；（4）202a =，203b =，45A =︒，求B ；（5）4a =，103b =，60A =︒，求B ． 【解】追踪训练一1. 在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 （ ） A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不能确定让学生学会学习听课随笔2. 在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 23. 在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形【选修延伸】【例4】如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON+的最大值和最小值． 【解】追踪训练二1.在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( )A ．4:1:1B ．2:1:1C 2D 3 2.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ，b = ， c = ．3.已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ．1∶3∶2 D ．3∶1∶24.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为( )CDB阳光地面A.75°5．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(1-2k )∶3k (k≠0)，则k 的取值范围为 ( )A ．(2，＋∞)B ．(61，41)C ．)0,21(-D ．),21(+∞6．在△ABC 中， 证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-.【师生互动】学生质疑教师释疑。
苏教版高中必修五数学导学案：1.1 正弦定理2
（3）已知 ， ， ，解这个三角形．
练习：
学案1,2,3
1.已知两边一对角，为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢？
教
学
过
程
设
计
教
学
二次备课
例2、仿照正弦定理的证明，证明 ，并运用此结论解决下面问题：
（1）在 中，已知 ， ， ，求 ；
（2）在 中，已知 ， ， ，求 和 ；
备课时间
2020年8月18日
上课时间
第周周月日
班级节次
课 题
正弦定理2
总课时数
第节
教 学目 标
1. 掌握正弦定理的内容；
2.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
教 学重 难点
利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题
教 学参 考
各省高考题 教学与测试
授 课方 法
自学引导 类比
教学辅助手段
多 媒 体
三、课堂小结
1．正弦定理的内容。
2．应用正弦定理解两类三角形问题。
3.两边一角解的不确定性的判断。
1.在 中：（1）已知 ，求 ， ；
（2）已知 ，求 ， ．
2. 已知两角一边会不会出现以上情况？
学生练习：
学案：5,7
6,9板演，
课 外作 业
见学案
教 学 小 结
专用教室
教
学
过
程
设
计
教பைடு நூலகம்
学
二次备课
一、引入新课
1．正弦定理：在△ABC中
===。
2．正弦定理可解决两类问题：
（1）已知，求；
（2）已知，求。
二、学生活动
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课题：§1.1 正弦定理（二） 总第____课时
班级_______________ 姓名_______________
【学习目标】
掌握正弦定理的内容及其等价形式；会运用正弦定理、内角和定理与三角形的面积公式解决一些与测量和几何计算与证明有关的实际问题.
【重点难点】
学习重点：正弦定理的等价形式及其基本应用.
学习难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
问题1：对于任意的三角形若已知两边及夹角怎样求三角形的面积?
问题2：正弦定理还有哪些等价的变形形式?
二、知识建构与应用：
例1 在ΔABC 中,已知
C c B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状.
例2 在ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线，如图，用正弦定理证明：
DC BD AC AB =.
例 3 某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进A B 35︒20︒1000180︒-βαβαD C
B A
米后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度.
例4 判断下列三角形解的情况：
（1）已知;
（2）已知;
（3）已知.
四、巩固练习 D 65︒060,12,11
===B c b 0
110,3,7===A b a 045,9,6===B c b
1．在ΔABC 中，已知,150,3,2o ===C b a 则=∆ABC S .
2．在中，_________,sin 23==B A b a 则.
3．在中，若,60,3︒==A a 那么的外接圆的周长为____ ____.
4．在中，若，则
.
5. 在中,
______,cos cos 的形状为则ABC B
C b c ∆=.
ABC ∆ABC ∆ABC ∆ABC ∆3,600==a A _______sin sin sin =++++C B A c b a ABC ∆
6. 中，，则的形状为___ ____.
五、回顾反思:
六、作业批改情况记录及分析
ABC ∆A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅ABC ∆。