非齐次线性微分方程通解的证明
二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
y1 *
y2 *
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
1 2 x , Rm x 都是 m 次多项式， m = max{ l , n }，且 其中Rm
0
λ±iω不是特征根 λ±iω是特征根
9
k=
1
例 3 求方程 y' ' y x cos 2 x 的通解。 解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 于是齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 由于 f ( x ) x cos 2 x, ( 0, 2, Pl ( x ) x, Pn ( x ) 0即m 1) λ±iω=±2i不是特征方程的根，取 k 0, 故原方程特解设为： y* (ax b) cos2 x (cx d ) sin2 x 代入所给方程，得 y py qy e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微ຫໍສະໝຸດ 方程一般式是y" py' qy f x
(1)
其中p、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py' qy 0
* y Y y . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 :
对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2 , m,
x y * Q ( x ) e . 进而得(1)的特解
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11； （21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。
（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。
由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。
我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。
例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。
解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。
（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。
§4.6 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
1 2 增 广 矩 阵 A = ( A, β ) = 1 4
1 1 1 1 2 3 1 1 −3 a 0 2 2 6 6 5 3 3 −1 b
1 0 ∼ 0 0
1 −1 −1 −5 a-4 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a-b+4 1 1 1 1 2
r +1
有唯一解；
ɶ 当d r +1 = 0时R( A) = R( A) = r < n, AX = β 有无求多解.
例1 解 线 性 方 程 组 x1 + x 2 + x 3 − 2 x4 + x5 = 2 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 + x 4 + 2 x 5 = 3 2 x + 4 x + 3 x − x + 3 x = 5 1 2 3 4 5 1 1 1 −2 1 2 ɶ = ( Aβ ) = 1 3 2 1 2 3 解 :A 2 4 3 −1 3 5
λ −λ 2 (1 + λ )
2
这时又分两种情形： 这时又分两种情形：
1) λ ≠ −2时, R( A) = R( B) = 3,方程组有唯一解 :
(λ +1) λ +1 1 x1 = − , x2 = , x3 = . λ +2 λ +2 λ +2
2
2) λ = −2时,
1 B ~ 0 0 1 − 3 0 − 2 3 0 4 − 6 3
§6 非齐次线性方程组有解的条 件及解的结构
定义1 齐次线性方程组AX=0称为非齐次线性方 程组AX=β的导出组(或对应的齐次线性方程组） .
非齐次方程特解xsinx_解释说明
非齐次方程特解xsinx 解释说明1. 引言1.1 概述在数学领域中，非齐次方程是一类重要的方程形式，其解决了很多实际问题。
而本文将着重讨论非齐次线性微分方程特解中的一个特例- 特解$x\sin(x)$。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分，包括引言、非齐次方程特解$x\sin(x)$的意义与背景、解释非齐次方程特解$x\sin(x)$的方法和步骤、实例分析与数值模拟结果展示以及结论和进一步研究展望。
每个部分都将对该题目进行详细阐述和探讨。
1.3 目的本文主要旨在解释并探索非齐次方程特解$x\sin(x)$的性质和推导过程，并通过实例分析和数值模拟来验证其有效性。
同时，亦展示该特解在实际问题中的应用前景和启示，并对未来进一步研究提出可能的发展建议。
以上为文章“1. 引言”部分内容。
2. 非齐次方程特解xsinx 的意义与背景2.1 非齐次方程的定义和特点在数学中，非齐次方程是指含有非零右端项的微分方程。
与齐次方程相比，非齐次方程具有更广泛的应用背景和研究对象。
非齐次方程通常包含一些外部因素或驱动力，对于描述现实世界中各种物理、化学、经济等系统的行为起着重要作用。
2.2 xsinx 的性质与重要性函数xsinx是一种特殊的周期函数，它在数学分析和物理学领域有着广泛的应用。
xsinx函数具有周期为2π，在每个周期内正负交替的性质；同时其导数为cosx，在不同区间上呈现出不同的增减性质。
特解xsinx具有独特的形式和特点，它既兼具线性增长趋势又包含了正弦函数的振荡部分。
这使得特解xsinx能够较好地描述某些问题中存在线性趋势和振荡行为的情况。
例如，在电路工程中，当考虑到外部输入信号对电路响应时，特解xsinx能够描述电路中线性响应和振荡部分的相互作用。
此外，特解xsinx还在信号处理、振动力学、波动学等领域有着广泛而重要的应用。
在这些领域中，我们经常需要考虑非齐次方程及其特解来描述和分析各种现象和系统的行为。
一类三阶线性非齐次微分方程的通解公式
个解 y1 ≠ 0 的情况下，利用降阶和常数变易法能求出其通 解公式 [4]。本文对其进行研究，最后验证结论的有效性。
令 t(x)=y''+a(x)y'+z(x)y
（2）
则上式可化简为 t'(x)+ar(x()At2()x)==r f((Ax))⇒ r(A) = r(A2) = r(A3) =
∫ 1
将（3）代入（2）得 y''+a(x)y'+z(x)y
∫ y1 ≠ 0是 y''+a(x)y'+z(x)y=0的一个特解，则= y三′′ +阶a线(x性) y′ + z(x) y = e∫−a(x)dx[ = f (x)e∫a(x)dxdx + c1] f *(x)
非齐次微分方程（1）的通解公式为：
*基金项目：江苏省高等学校自然科学基金项目“宿迁林业有害生物的建模防控研究”（项目编号：18KJB180027）；宿迁市产业发展 引导资金（科技创新专项）“生物数学在宿迁有害生物防控上的应用”（项目编号：S201818）研究成果。
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的一个特解为 y1 ≠ 0，令 y =y1u是（5）的与 y1 线性
c3′(x) y1 + c2′(x)z1 = 0 c3′(x) y1′ + c2′(x)z1′ = f *(x) 确定，且
∫ = f * (x) e∫−a(x)dx[ f (x)e∫a(x)dxdx + c1] 。
无关的特解，则 y = y 1u，y ' = y 1u' + y 1' u，将 y ' ' = y 1u' ' +
高考数学中的一阶线性微分方程
高考数学中的一阶线性微分方程微积分是高中数学的一门重要的学科，其中涉及到微分及其应用。
在微分学中，微分方程是一类非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决各种不同的问题。
在高考数学中，微分方程也是一个非常重要的考点，其中一阶线性微分方程更是高考数学的热点难点。
一阶线性微分方程是指形如：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数，$\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数。
这个方程的解决方法非常重要，因为一阶线性微分方程是众多微分方程中比较简单的一种。
下面我们将详细介绍一阶线性微分方程的解法。
一、非齐次线性微分方程的解法对于形如$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的非齐次线性微分方程，我们可以使用变量分离法来解决。
1. 求出齐次线性微分方程的通解首先我们要求出非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解，即$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$的通解。
设齐次线性微分方程的通解为$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是待定系数，$e$为自然对数的底数。
下面我们来证明这个解法的正确性。
将$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$代入到$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$中，即可得到：$\frac{d(Ce^{-\int p(x)dx})}{dx}+p(x)(Ce^{-\int p(x)dx})=0$$\Rightarrow -Cp(x)e^{-\int p(x)dx}+C(e^{-\intp(x)dx})\frac{d}{dx}(e^{-\int p(x)dx})+p(x)Ce^{-\int p(x)dx}=0$ $\Rightarrow \frac{d}{dx}(Ce^{-\int p(x)dx})=0$根据微积分基本定理可知，如果$\frac{d}{dx}(Ce^{-\intp(x)dx})=0$，那么$Ce^{-\int p(x)dx}$就是一个常数，不妨设为$C_1$。
非齐次线性微分方程的特解
非齐次线性微分方程的特解
这是一类具有非齐次项的线性微分方程。
非齐次线性微分方程(non-homogeneous lineardifferential equation)n."一阶线性微分方程。
线性微分方程分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为
\dot x=A x
形式，其中A表示一个矩阵。
另一类就是非齐次形式的，它可以表示为
\dot x=A x+f(t)
形式，其中g(t)是一个已知的关于自变量t的函数。
与齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微
分方程是有利的。
齐次线性方程的形式是
Ax=0
非齐次线性方程的形式是
Ax=b
对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。
就是:
非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一
个非齐次方程的特解。
非齐次线性微分方程，是具有非齐次项的线性微分方程。
其中，一阶非齐次线性微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x)
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x) 非齐次线性微分方程的通解，是由其对应的齐次方程的通解加上非齐次线性微分方程的一个特解组成。
n阶常系数非齐次线性微分方程的通解
( ∫ L( ∫ e
( r1 − r2 ) x
(−1)i x n −1 −i +i i −r x ( ∫ x e f ( x ) d x) d x ) L d x ) d x ) d x ∑ i = 0 ( n1 − 1 − i1 )!i1 !
1 1 2 1 1 1
证明 1 当 n = 2 时 因为 r1 ≠ r2 由定理 1 知其通解为 y 2 =
一般常微分方程教材中 用特征根法求 n 阶常系数非齐次线性微分方程的通解的方法已很成熟[1 用积分表示方程的通解在文献[3]~[5] 中进行了探讨 设 n 阶常系数非齐次线性微分方程 但还不完善 仍值得研究
2]
y ( n) + a1 y (n−1) + L + an−1 y ′ + an y = f ( x )
关 键 词
n 阶常系数非齐次线性微分方程
通解 特解
韦达定理 A
中图分类号 O175.1
文献标识码
The General Solution Derivation of Order n Non-homogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficients
所 对 应 的 齐 次 方 程 的 特 征 根 为 r1 , r2 , L , rn
( f ( x )连续)
(1)
由 韦 达 定 理 可 将 方 程 (1) 化 为
( y ′ − rn y )( n−1) + L + ( −1) k
令 y1 = y ′ − rn y
1≤i1<i2 <L<ik ≤ n−1
设方程(1)所对应的齐次方程的特征根为 r1 , r2 , L , rn
非齐次线性微分方程的解的叠加原理
非齐次线性微分方程的解的叠加原理
y1,y2,y3是二阶微分方程的三个解，则：y2-y1,y3-y1为该方程的两个线性无关解，因此通解为：y=y1+c1(y2-y1)+c2(y3-y1)。
方程通解为：y=1+c1(x-1)+c2(x^2-1)
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。
自由项f(x)为定义在区间i上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。
特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
常微分方程在高等数学中尚无古老的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以稳步维持着行进的动力。
二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占据关键地位，在工程技术及力学和物理学中都存有十分广为的应用领域。
比较常用的解方法就是未定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。
非齐次线性微分方程
非齐次线性微分方程本章涉及知识点1、微分方程的定义2、一阶线性微分方程的定义3、求齐次线性方程通解的算法4、求非齐次线性方程通解的算法5、伯努利方程的变化算法6、案例微分方程的分析7、纯数学算法推导案例的微分方程8、Euler算法的推导9、编程实战案例微分方程在不同算法下的计算结果和误差一、微分方程的定义在许多实际问题，尤其是金融问题，往往不能直接列出所需要研究的函数的具体表达式，但是根据使用场景，却可以列出待研究的函数与其导数的关系式，而关于函数和其导数的方程就称之为微分方程，那么从这个方程中找出未知函数，就是求解微分方程的解。
一般的，在满足初始条件下，微分方程包含未知函数的一阶导数一阶微分方程上述微分方程就叫做一阶微分方程二、一阶线性微分方程的定义方程是齐次的定义为齐次而方程是非齐次的定义为非齐次求解非齐次微分方程的解，我们需要(1)、写出对应于非齐次线性方程的齐次线性方程，求出齐次线性方程的通解(2)、通过常数易变法，求出非齐次线性方程的通解三、求齐次线性方程通解的算法对于齐次方程，我们用分离变量法，得到求解齐次方程提出常数C1化简得齐次方程的通解四、求非齐次线性方程通解的算法得到齐次方程的通解后，我们使用常数易变法，将齐次方程通解中的常数C换做未知函数u(x)，变化得常数易变法我们对y进行求导，得到y的导数将导数带入非齐次线性方程中，得两端积分得将求解到的u带入y，就得到了非齐次方程的通解非齐次方程的通解我们将通解写成两项之和，得到非齐次方程的通解意义观察分析上式可以看到，一阶非齐次线性微分方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解五、伯努利方程的变化算法从一阶线性微分方程中可以看到，P(x)和Q(x)当只有P(x)是关联未知函数y，我们可以用上述算法求解该方程。
但是当Q(x)也关联未知函数y，此时应该如何求解方程呢？伯努利方程上述方程叫做伯努利方程，显然当n=0或n=1时，就是非齐次线性方程，而当n不等于0和1时，这个方程就不是线性的，为此，我们需要利用上述算法求解该方程，就需要通过变量的代换，将它转化为线性的即可我们将伯努利方程两端同时除以y^n得伯努利方程变化-1因为伯努利方程变化-2为此我们引入新的因变量z引入新的因变量z则z的导数写为z的导数将伯努利方程两端同时乘以(1-n)得伯努利方程变化-2可以看到上式的P(x)与z有关联，而Q(x)已经和z没有了关联，即原方程已经变成了线性方程，我们就可以按照之前的算法求出方程的通解，在用z带回y就可以得到伯努利方程的通解六、案例微分方程的分析介绍了非齐次线性方程和伯努利方程求解通解的算法后，我们来求下面方程的通解案例方程分析可知，该方程数非线性方程，属于n=-1的伯努利方程，直接的数学解法需要做伯努利变化为线性方程，再利用非齐次线性方程的解法来求解通解，下面我们先用数学方法来求解七、纯数学算法推导案例的微分方程将案例方程两端同时乘以y得案例方程求解-1令案例方程求解-2带入y得案例方程求解-3我们从上式中写出P(x)、Q(x)以及P(x)的积分案例方程求解-4带入非齐次线性方程的通解得案例方程求解-5下面我们需要单独来求解上式中的积分，使用分部积分法得案例方程求解-6将积分的结果带入非齐次线性方程的通解得案例方程求解-7将z带回y得案例方程求解-8为此我们求出了案例方程的通解，下面带入初始条件y(0)=1得案例方程求解-9最终我们得到了案例方程的精确解为案例方程的精确解八、Euler算法的推导上面我们用纯数学知识推导出了案例方程的精确解，但是计算机显然不会分部积分法，我们任然需要从微分方程的原理出发我们回到微分方程的定义微分方程的定义我们将微分方程在区间[ti，ti+1]上积分得同时积分在区间[ti，ti+1]上将f(t，u)近似的看做常数f(ti，ui)，则有Euler算法上式称为Euler算法，可以看到这是一个递推式算法，可以由已知初值u0推导至un而Euler算法的几何意义为：过点(t0，u0)，以f(t0，u0)作为斜率作直线L0，得Euler算法的几何意义-1求出直线L0在t1=t0+h的值u1，得Euler算法的几何意义-2得到u1后，再过点(t1，u1)，以f(t1，u1)作为斜率作直线L1，得Euler算法的几何意义-3求出直线L1在t2=t1+h的值u2，得Euler算法的几何意义-4如此继续迭代下去，可以求出经过Euler算法的几何意义-5节点列表的一条直线，所以Euler算法也叫做折线法，用n段直线绘制成一条折线，来拟合函数曲线九、编程实战案例微分方程在不同算法下的计算结果和误差下面我们通过伯纯数学的努利算法和Euler迭代算法来编程比较案例方程的结果值伯努利算法Euler算法定义区间和步长为实验区间和步长作图画出两种算法的计算结果来直观比较h=0.05时两种算法的计算结果比较可以看到当步长h=0.05时，Euler算法的精确度在下降，证明了误差在迭代传播我们用伯努利理论值减去Euler值，画出Euler算法的误差曲线h=0.05时Euler算法的误差曲线当我们缩小步长h=0.01时，两种算法的计算结果和Euler算法的误差为h=0.01时两种算法的计算结果比较h=0.01时Euler算法的误差曲线可以看到步长的缩小，拟合效果更加出色，误差也在减小。
常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法
n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法1引言对形如()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）的n 阶非齐次线性方程，称()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）为其相关的齐次线性方程。
任给一个满足(1)且不带任何参数的函数x ~称为方程(1)的特解，已有下述求解定理：定理1若x ~为n 阶非齐次线性方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）在区间I 上的任一个特解，设()()()t x t x t x n ,,,21⋅⋅⋅是其相关齐次线性方程()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）的一个基本解组，则在区间I 上方程（1）的通解为：()()()x t x c t x c t x c x n n ~2211++⋅⋅⋅++=，其中()n i c i,,2,1⋅⋅⋅=为任意常数。
由定理1知，非齐次线性方程的通解由两个函数的和组成：()()()x x x t x c t x c t x c x cn n ~~2211+=++⋅⋅⋅++=，其中线性组合()()()t x c t x c t x c x n n +⋅⋅⋅++=2211称为方程（1）余函数。
定理2k x x x ~,,~,~21⋅⋅⋅为n 阶非齐次线性方程（1）在区间I 上对应于k 个不同函数()()()t f t f t f k ,,,21⋅⋅⋅的k 个特解，也就是设i x ~表示对应于方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a i n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111的特解，则kx x x x ~~~~21+⋅⋅⋅++=为()()()()()()()t f t f t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a k n n n n n n +⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++−−−2101111的特解。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
比较两端同类项的系数 得a>>>1 b0 c0d 4 3 9 同类项的系数 得a 1 b0 c0d 4 3 9 因此所给方程的特解为 y* 1 x cos 2 x + 4 sin 2 x 3 9
特解形式 结束
因此所给方程的通解为
y C1e 2 x + C2e3x 1 ( x 2 + 2 x)e 2 x 2
特解形式 首页
二、 结论 f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx] 有形如 y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx] 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1 >>>
下页
例3 求微分方程y+yxcos2x的一个特解 解 齐次方程y+y0的特征方程为r2+10 因为f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]xcos2x +iw2i不是 特征方程的根 所以所给方程的特解应设为 y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x 把它代入所给方程 得 >>> (3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x
下页
结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qyPm(x)ex 有形如 y*xkQm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征 方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取 为0、1或2
关于非齐次线性微分方程的一个证明
关于非齐次线性微分方程的一个证明作者：彭兴媛来源：《读与写·教育教学版》2019年第09期摘 ;要：n阶线性微分方程是常微分教材中非常重要的一個部分，因其理论已被深入研究，且应用也非常广泛，故在第四章中重点学习了线性微分方程的基本理论和常系数微分方程的解法。
但关于n阶非齐次线性微分方程存在且最多存在n+1个线性无关的解的证明却并未详细给出，故本文先给出该证明所涉及到的重要概念，然后再给出该结论的详细证明过程，为学习该门课程的学生提供一个参考。
关键词：非齐次线性微分方程 ;线性无关 ;解中图分类号：G644.5 ; ; ; ; 文献标识码：A ; ; ; ; ; ;文章编号：1672-1578（2019）09-0015-01在第四章里已经学习了n阶线性微分方程的概念、解的存在唯一性定理、n阶齐次线性微分方程的解的性质与结构，知道了n阶齐次线性微分方程一定存在且最多存在n个线性无关的解，以及其中的一个非常重要的定理——通解的结构定理。
所以，关于n阶齐次线性微分方程的内容基本掌握了，但是在实际情况下，碰到n阶非齐次线性微分方程的情况较多，且关于n 阶非齐次线性微分方程存在且最多存在n+1个线性无关的解这一结论，书上并没有给出详细的证明过程，所以本文先给出n阶非齐次线性微分方程的定义及性质，然后再给出证明过程。
2.1 n阶非线性微分方程（dnx/dtn）+a1（t）（dn-1x/dtn-1）+ …+an-1（t）（dx/dt）+an（t）x=f（t） ; ; ; （1）其中所有的系数ai（t）（i=1，2，…，n）及f（t）都是区间a≤t≤b上的连续函数。
当f（t）=0时，（1）式就变成n阶齐次线性微分方程，所以n阶齐次线性微分方程是n 阶非齐次线性微分方程的特殊形式，这里为书写方便，将n阶齐次线性微分方程记为（2）。
2.2 性质1如果x1（t）是方程（1）的解，而x2（t）是方程（2）的解，则x1（t）+x2（t）也是（1）的解。
一阶线性非齐次微分方程的解法探悉
我 曾对 “ 一题多改 ”法做过尝试 ，意在调动学生对评改作 文的主
动性和积极性 。
我 的做法主要分为两大步骤 ： （ ）作 文前 ，要重视 下笔前 的 “ 一 评改 ” ，即是指学生 自己或相互 推敲写作提纲 。这种 下笔前 的 “ 改”，是最 重要不 过 了。正 如盖房 评 子 ， 先要打好 图样 ，作战首先要订好 计划一样 。要 是这一步 功夫没 有用够 ，写起来就常常写不下去 ，或 者勉强写下 去了 ，结果还是 要不 得 。这种事先 “ 评改” 提纲 ，有大部分学生过去是不做 的，他 们习惯
＝ 一 ＝
１［ｘ ２
一
把Ｙ Ｍ ＋， 人 程即 Ｍ一 ＿ ］＋ ＝ １ ／代 原方 得［ ＿ （＋） ＝ ＂ｄ Ｖ Ｍ Ｔ
由“一 ＝ ， ＝ ＋ ） 由Ｕ ＝ ＋ ） ， ＝ （ — ０得“ （ １ Ｖ （ １手 得 ÷
÷ ］ 。１ ） 』 ＝（ 一 ＋ 丁
这里 Ｐ（ ， ） ） Ｑ（ 为 连续函数 ， ≠０， 是 常数 ， ｔ ｌ １ 对于 Ｙ ， Ｙ 乘 上 ≠Ｏ 用
１ （ ） （ （ 舢 ） 一 ＝ 若 测ｕ） ２ ￣ ｏ ）ｒ 叭 ｌ（ ） （￣ｔｄ ＝ ） ｙ ｅｙ ）］） ｐｘ （
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一
缸
４ ．利用积分 因子转化为可积组合法例题分析
结 论
本课题讨论 的是一 阶线性非齐次方程的解法 ， 研究 了它的几种解
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现代 企 业教 育
ＭＯＤＥ Ｅ Ｔ Ｒ Ｒ Ｓ Ｅ Ｕ Ｔ ＯＮ ＲＮ Ｎ Ｅ Ｐ ＩＥ Ｄ ＣＡ Ｉ
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学 理 现代衾 术・ 论 等
duhamel原理的证明
duhamel原理的证明Duhamel原理是一种在动力学中应用广泛的方法，它可以求解非齐次线性常微分方程的特解。
它的基本思想是将非齐次项分解为若干个时变函数的积分，然后将每个积分项转化为对初始值的依赖，最终得到一个完整的特解。
下面我们将详细介绍Duhamel原理的证明。
一、引言1.1 定义Duhamel原理是一种求解非齐次线性常微分方程特解的方法。
1.2 应用Duhamel原理广泛应用于动力学中，如振动、波动等问题，以及电路、热传导等问题。
它可以求解各种形式的非齐次线性常微分方程。
二、基本思想2.1 非齐次项分解设待求解方程为：$$y''+p(t)y'+q(t)y=f(t)$$其中$f(t)$为非齐次项。
我们将$f(t)$表示为若干个时变函数$g_i(t)$的积分形式：$$f(t)=\int_{t_0}^t g_1(\tau)d\tau+\int_{t_0}^tg_2(\tau)d\tau+...+\int_{t_0}^t g_n(\tau)d\tau$$2.2 积分转化将上式代入原方程，得到：$$y''+p(t)y'+q(t)y=\int_{t_0}^t g_1(\tau)d\tau+\int_{t_0}^tg_2(\tau)d\tau+...+\int_{t_0}^t g_n(\tau)d\tau$$对上式两边进行积分，得到：$$y(t)=y_h(t)+\int_{t_0}^t y_p(\tau)[g_1(t-\tau)+g_2(t-\tau)+...+g_n(t-\tau)]d\tau$$其中$y_h(t)$为齐次方程的通解，$y_p(t)$为非齐次方程的一个特解。
2.3 转化为初始值问题我们将上式中的积分项表示为$K(t,\tau)$，即：$$K(t,\tau)=g_1(t-\tau)+g_2(t-\tau)+...+g_n(t-\tau)$$则有：$$y_p(t)=\int_{t_0}^t K(t,\tau)f(\tau)d\tau$$将$y_p(t)$代入原式，得到：$$y(t)=y_h(t)+\int_{t_0}^ty_h(\tau)K(t,\tau)d\tau+\int_{t_0}^tK(t,\tau)\int_{t_0}^\tau f(s)dsd\tau$$我们将第一个积分项表示为$I_1$，第二个积分项表示为$I_2$，则有：$$I_1=\int_{t_0}^ty_h(\tau)K(t,\tau)d\tau$$$$I_2=\int_{t_0}^t K(t,\tau)\int_{t_0}^\tau f(s)dsd\tau$$最终得到：$$y(t)=y_h(t)+I_1+I_2$$三、证明过程3.1 齐次方程的通解我们先来求解齐次方程的通解$y_h(t)$。
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非齐次线性微分方程通解的证明问题重述如果是区间上的连续函数，是区间上齐次线性微分方程（5.21）的基本解组，那么，非齐次线性微分方程(5.28)的满足初值条件的解由下面公式给出（5.29）这里是的朗斯基行列式，是在中的第k 行代以后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式 ，（5.30）这里是适当选取的常数。
公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。
我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为证明考虑n 阶线性微分方程的初值问题12(),(),...,(),()n a t a t a t f t a t b ≤≤12x (),x (),...,x (),n t t t a t b ≤≤()(n-11()+...+()x=0n n x a t x a t +）()(n-11()+...+()x=()n n x a t x a t f t +）(1)0000()0()=0()=0,[,]n a b t t t t ϕϕϕ-'=∈，，...,0n12k 112[x (),x (),...,x ()]()=x (){}()[x (),x (),...,x ()]tk n k t n W s s s t t f s dsW s s s ϕ=∑⎰12[x (),x (),...,x ()]k n W s s s 12x (),x (),...,x ()n s s s 12[x (),x (),...,x ()]k n W s s s 12[x (),x (),...,x ()]n W s s s (0,0,...,0,1)T1122()()()...()()n n u t c x t c x t c x t t ϕ=++++12,,...,nc c c 1122()()...()()n n x c x t c x t c x t t ϕ=++++（5.6）其中是区间上的已知连续函数，，是已知常数，我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题：（5.7）其中事实上，令这时而且现在假设）（t ψ是在包含的区间上（5.6）的任一解，由此，我们得知）（）（）（t ,...,t ,t n ψψψ'在上存在、连续、满足方程（5.6）且令()111112()...()()(),(),(),...,(),n n n n n o o o n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩12(),(),...,(),()n a t a t a t f t a t b ≤≤0[,]a b t ∈12,,...,nηηη12100100000100,00010()()()()()(),n n n x x a t a t a t a t f t x t η--⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪'⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪----⎣⎦⎣⎦⎪=⎪⎩111222,,n n n x x x x x x x x ηηηη'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1)123,,,...,,n n x x x x x x x x -''''====(1)12231()1121,,...,,()()...()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x a t x a t x a t x f t ---''''''======'==-----+10012002(1)00()(),()(),...,()()n n nx t x t x t x t x t x t ηηη-'======0ta tb ≤≤a t b ≤≤(1)01020(),(),...,(),n n t t t ψηψηψη-'===12()()(),()n t t t t ϕϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中那么，显然有，此外，我们还得到在此处键入公式。
这就表示这个特定的向量）（t ϕ是（5.7）的解，反之，假设向量u （t ）是在包含0t 的区间上（5.7）的解，令,)()()(t u 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t u t u t u n ）（并定义函数，由（5.7）的第一个方程，我们得到，(1)12()(),()(),...,()()(),n n t t t t t t a t b ϕψϕψϕψ-'===≤≤0()t ϕη=12()()()()()()()()n n t t t t t t t ψϕψϕϕϕψ''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'''⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦23(1)1()()()()()...()()()n n n t t t a t t a t t f t ϕϕϕψψ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦2311()()()()()...()()()n n n t t t a t t a t t f t ϕϕϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦121210100()0010()0001()()()()()n nn n t t t a t a t a t a t ϕϕϕ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎣⎦00,0()f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦a t b ≤≤1()()t u t ω=12()()()t u t u t ω''==由第二个方程得到有第n-1个方程得到由第n 个方程得到由此即得同时，我们也得到这就是说，是（5.6）的一个解总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。
值得指出的是，每一个n 阶线性微分方程可化为n 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。
本段讨论非齐次线性微分方程组（5.14）的解的结构问题，这里是区间上已知nxn 连续矩阵，是区间上的已知的n 维连续列向量，向量通常称为强迫项，因为如果（5.14）描述一个力学系统，就代表外力。
我们容易验证（5.14）的两个简单性质性质1 如果是（5.14）的解，是（5.14）对应的其次线性微分方程组（5.15）的解，则是（5.14）的解性质2 如果和是（5.14）的两个解，则是（5.15）的解 下面的定理7给出（5.14）的解的结构定理7 设是（5.15）的基解矩阵，是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解都可表为（5.23）23()()(),...,t u t u t ω''''==(1)1()()(),n nn t u t u t ω--'==()112211n-1n-212()()()()()()...()()()()()()()()()...()()()n nn n n n n t u t a t u t a t u t a t u t a t u t f t a t t a t t a t t f t ωωωω--'==-----+=----+（）（）()n-1n-212()()()()()...()()()n n t a t t a t t a t t f t ωωωω++++=（）（）(1)1010()(),...,()()n o o n nt u t t u t ωηωη-====()t ωx ()()A t x f t '=+()A t a t b ≤≤()f t a t b ≤≤()f t ()f t ()t ϕ()t ψ()()t t ϕψ+()t ϕ()t ϕ()()t t ϕϕ-()t Φ()t ϕ()t ϕ()()()t t c t ϕϕ=Φ+这里c 是确定的常数列向量证明 由性质2我们知道是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到这里c 是确定的常数列向量，由此即得定理证毕定理7告诉我们，为了寻求（5.14）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐次线性微分方程组（5.15）的基解矩阵，现在，我们要进一步指出，在已经知道（5.15）的基解矩阵的情况下，有一个寻求（5.14）的解的简单方法，这个方法就是常数变易法。
从上一节我们知道，如果c 是常数列向量，则是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解，因此，我们将c 变易为t 的向量函数，而试图寻求（5.14）的形如（5.24） 的解，这里是待定的向量函数。
假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到因为是（5.15）的基解矩阵，所以，由此上式中含有的项消去了，因而必须满足关系式 （5.25）因为在区间上是非奇异的，所以存在，用左乘（5.25）两边，然后积分之，得到其中=0，这样，（5.24）变为（5.26）因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解，则由公式（5.26）决定。
()()t t ϕϕ-()()()t t t c ϕϕ-=Φ()()()t t c t ϕϕ=Φ+()t Φ()t ϕ()()t t c ϕ=Φ()()t t c ϕ=Φ()c t ()()()()()()()()t c t t c t A t t c t f t ''Φ+Φ=Φ+()t Φ()()()t A t t 'Φ=Φ()()()A t t c t Φ()c t ()()()t c t f t 'Φ=a t b ≤≤()t Φ1()t -Φ1()t -Φ010()()(),,[,]tc t s f s ds a b t t t -=Φ∈⎰0()c t 010()()()(),[,]t t t s f s ds a b t t t ϕ-=ΦΦ+∈⎰()t ϕ()t ϕ反之，用公式（5.26）决定的向量函数必定是（5.14）的解，事实上，微分（5.26）得到再利用公式（5.26），即得显然，还有=0，这样一来，我们就得到了下面的定理8定理8 如果是（5.15）的基解矩阵，则向量函数是（5.14）的解，且满足初值条件由定理7和定理8容易看出，（5.14）的满足初值条件的解由下面公式给出 (5.27)这里是（5.15）的满足初值条件的解，公式（5.26）或公式（5.27）称为非齐次线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。