非齐次线性微分方程通解的证明
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非齐次线性微分方程通解的证明
问题重述
如果
是区间上的连续函数，
是
区间上齐次线性微分方程
（5.21）
的基本解组，那么，非齐次线性微分方程
(5.28)
的满足初值条件
的解由下面公式给出
（5.29）
这里
是的朗斯基行列式，
是在
中的第k 行代以
后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式 ，（5.30）
这里
是适当选取的常数。
公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。
我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为
证明
考虑n 阶线性微分方程的初值问题
12(),(),...,(),()
n a t a t a t f t a t b ≤≤12x (),x (),...,x (),
n t t t a t b ≤≤()(n-11()+...+()x=0
n n x a t x a t +）()(n-11()+...+()x=()
n n x a t x a t f t +）(1)0000()0()=0()=0,[,]
n a b t t t t ϕϕϕ-'=∈，，...,0
n
12k 1
12[x (),x (),...,x ()]
()=x (){
}()[x (),x (),...,x ()]t
k n k t n W s s s t t f s ds
W s s s ϕ=∑⎰12[x (),x (),...,x ()]
k n W s s s 12x (),x (),...,x ()
n s s s 12[x (),x (),...,x ()]
k n W s s s 12[x (),x (),...,x ()]
n W s s s (0,0,...,0,1)T
1122()()()...()()
n n u t c x t c x t c x t t ϕ=++++12,,...,n
c c c 1122()()...()()
n n x c x t c x t c x t t ϕ=++++
（5.6）
其中
是区间上的已知连续函数，，
是已知常数，我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题：
（5.7）
其中
事实上，令
这时
而且
现在假设）（t ψ是在包含的区间上（5.6）的任一解，由此，我们得知
）（）（）（t ,...,t ,t n ψψψ'在上存在、连续、满足方程（5.6）且
令
()111112()...()()(),(),(),...,(),n n n n n o o o n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨
'===⎪⎩12(),(),...,(),()
n a t a t a t f t a t b ≤≤0
[,]
a b t ∈12,,...,n
ηηη12100100000100,00010()()()()()(),
n n n x x a t a t a t a t f t x t η--⎧⎡⎤⎡⎤
⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪'⎢
⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨
⎢⎥⎢⎥
⎪
⎢⎥⎢⎥⎪----⎣⎦⎣⎦
⎪=⎪
⎩111222,,n n n x x x x x x x x ηηηη'⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
'⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1)123,,,...,,
n n x x x x x x x x -''''====(1)1
2231()1121,,...,,()()...()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x a t x a t x a t x f t ---''''''======'==-----+10012002(1)00()(),()(),...,()()n n n
x t x t x t x t x t x t ηηη-'======0t
a t
b ≤≤a t b ≤≤(1)01020(),(),...,(),n n t t t ψηψηψη-'===12()()(),
()n t t t t ϕϕϕϕ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中
那么，显然有
，
此外，我们还得到
在此处键入公式。 这就表示这个特定的向量）（t ϕ是（5.7）的解，反之，假设向量u （t ）是在包含
0t 的区间上（5.7）的解，令
,)()()(t u 21⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t u t u t u n ）（
并定义函数
，由（5.7）的第一个方程，我们得到
，
(1)12()(),()(),...,()()(),
n n t t t t t t a t b ϕψϕψϕψ-'===≤≤0()t ϕη
=12()()()()()()()()n n t t t t t t t ψϕψϕϕϕψ''⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥'''⎢
⎥⎢⎥'==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦23(1)1()()()()()...()()()n n n t t t a t t a t t f t ϕϕϕψψ-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---+⎣⎦2311()()()()()...()()()n n n t t t a t t a t t f t ϕϕϕϕϕ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---+⎣⎦
121210
100()0010()0
001()()()()
()n n
n n t t t a t a t a t a t ϕϕϕ--⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎣
⎦00,0()f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦a t b ≤≤1()()
t u t ω=1
2()()()t u t u t ω''==