一元二次不等式的解法(新版教材)

一元二次不等式的解法

基础知识

1．一元二次不等式的概念

一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． 2．一元二次不等式的解法 (1)因式分解法

如果x 10__的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)． (2)配方法：

一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为__(x －h )2>k 或(x －h )2

1．不等式6－x －2x 2<0的解集是( D ) A ．{x |－3

2

B ．{x |－2

2}

C ．{x |x <－3

2

或x >2}

D ．{x |x >3

2

或x <－2}

解析：不等式变形为2x 2＋x －6>0，即(2x －3)(x ＋2)>0，∴不等式的解集为{x |x <－2或x >3

2}．故

选D ．

2．不等式3x ＋1

1－4x ≥0的解集是( B )

A ．{x |－13≤x ≤1

4}

B ．{x |－13≤x <1

4}

C ．{x |x >14或x ≤－1

3

}

D ．{x |x ≥14或x ≤－1

3

}

解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧

(3x ＋1)(4x －1)≤0，

1－4x ≠0，

解得－13≤x <1

4

，

故其解集为{x |－13≤x <1

4

}．故选B ．

3．①x 2＋x ＋1<0，②－x 2－4x ＋5≤0，③x ＋y 2＋1>0，④mx 2－5x ＋1>0，⑤－x 3＋5x ≥0，⑥(a 2＋1)x 2＋bx ＋c >0(m ，n ∈R )．其中关于x 的不等式是一元二次不等式的是__①②⑥__.(请把正确的序号都填上)

解析：①②是；③不是；④不一定是，因为当m ＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x 2的系数含有字母，但a 2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥.

4．不等式组0≤x 2－2x －3<5的解集为__(－2，－1]∪[3,4)__. 解析：由x 2－2x －3≥0得x ≤－1或x ≥3； 由x 2－2x －3<5得－2

5．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，则k 的取值范围是__(2,4)__.

解析：x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，把x ＝1代入不等式，得k 2－6k ＋8<0，解得2

关键能力·攻重难

类型 解不含参数的一元二次不等式 ┃┃典例剖析__■ 典例1 解下列不等式： (1)x 2＋x ＋1>0； (2)(3x －1)(x ＋1)>4.

思路探究：(1)用配方法解不等式即可；(2)利用因式分解法求解． 解析：(1)由题意，可得x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋3

4>0，

所以不等式的解集为R .

(2)由不等式(3x －1)(x ＋1)>4，可化为3x 2＋2x －5>0，即(x －1)(x ＋5

3)>0，

所以不等式的解集为{x |x <－5

3或x >1}．

归纳提升：一元二次不等式的解题策略

1．因式分解法：不等式的左端能够进行因式分解的可用此法，它只能适应于解决一类特殊的不等式．

2．配方法：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总可以化为(x －h )2>k 或(x －h )2

┃┃对点训练__■ 1．解下列不等式：

(1)2x 2＋5x －3<0；(2)4x 2－12x ＋9>0. 解析：(1)原不等式可化为(2x －1)(x ＋3)<0， ∴原不等式的解集为(－3，1

2)．

(2)原不等式可化为x 2－3x ＋9

4>0，

因为x 2－3x ＋94＝(x －3

2)2，

所以原不等式可化为(x －3

2)2>0，

所以只要x ≠3

2

，不等式即成立，

所以原不等式的解集为(－∞，32)∪(3

2，＋∞)．

类型 分式不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 典例2 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x

x ＋3

>1. 思路探究：(1)解分式不等式的关键是把分式不等式等价转化为整式不等式求解，特别注意不能直接去分母．(2)当分式不等式的右边不为0时，要先移项、通分、合并同类项，再进行等价转化．

解析：(1)∵2x －13x ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧

(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0，

∴⎩⎨⎧

x ≤－13或x ≥12

，

x ≠－1

3，

即x <－13或x ≥1

2

.

∴原不等式的解集为{x |x <－13或x ≥1

2}．

(2)原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)

x ＋3>0，

即2x ＋1x ＋3

<0，