一元二次不等式的解法(新版教材)

一元二次不等式的解法基础知识1．一元二次不等式的概念一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． 2．一元二次不等式的解法 (1)因式分解法如果x 1<x 2，则不等式__(x －x 1)(x －x 2)<0__的解集是(x 1，x 2)；不等式__(x －x 1)(x －x 2)>0__的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)． (2)配方法：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为__(x －h )2>k 或(x －h )2<k __的形式，再由k 值情况，可得原不等式的解集，如下表：1．不等式6－x －2x 2<0的解集是( D ) A ．{x |－32<x <2}B ．{x |－2<x <32}C ．{x |x <－32或x >2}D ．{x |x >32或x <－2}解析：不等式变形为2x 2＋x －6>0，即(2x －3)(x ＋2)>0，∴不等式的解集为{x |x <－2或x >32}．故选D ．2．不等式3x ＋11－4x ≥0的解集是( B )A ．{x |－13≤x ≤14}B ．{x |－13≤x <14}C ．{x |x >14或x ≤－13}D ．{x |x ≥14或x ≤－13}解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(3x ＋1)(4x －1)≤0，1－4x ≠0，解得－13≤x <14，故其解集为{x |－13≤x <14}．故选B ．3．①x 2＋x ＋1<0，②－x 2－4x ＋5≤0，③x ＋y 2＋1>0，④mx 2－5x ＋1>0，⑤－x 3＋5x ≥0，⑥(a 2＋1)x 2＋bx ＋c >0(m ，n ∈R )．其中关于x 的不等式是一元二次不等式的是__①②⑥__.(请把正确的序号都填上)解析：①②是；③不是；④不一定是，因为当m ＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x 2的系数含有字母，但a 2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥.4．不等式组0≤x 2－2x －3<5的解集为__(－2，－1]∪[3,4)__. 解析：由x 2－2x －3≥0得x ≤－1或x ≥3； 由x 2－2x －3<5得－2<x <4.∴－2<x ≤－1或3≤x <4. ∴原不等式的解集为(－2，－1]∪[3,4)．5．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，则k 的取值范围是__(2,4)__.解析：x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，把x ＝1代入不等式，得k 2－6k ＋8<0，解得2<k <4.关键能力·攻重难类型 解不含参数的一元二次不等式 ┃┃典例剖析__■ 典例1 解下列不等式： (1)x 2＋x ＋1>0； (2)(3x －1)(x ＋1)>4.思路探究：(1)用配方法解不等式即可；(2)利用因式分解法求解． 解析：(1)由题意，可得x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以不等式的解集为R .(2)由不等式(3x －1)(x ＋1)>4，可化为3x 2＋2x －5>0，即(x －1)(x ＋53)>0，所以不等式的解集为{x |x <－53或x >1}．归纳提升：一元二次不等式的解题策略1．因式分解法：不等式的左端能够进行因式分解的可用此法，它只能适应于解决一类特殊的不等式．2．配方法：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总可以化为(x －h )2>k 或(x －h )2<k 的形式，然后根据k 值的正负即可求得不等式的解集．┃┃对点训练__■ 1．解下列不等式：(1)2x 2＋5x －3<0；(2)4x 2－12x ＋9>0. 解析：(1)原不等式可化为(2x －1)(x ＋3)<0， ∴原不等式的解集为(－3，12)．(2)原不等式可化为x 2－3x ＋94>0，因为x 2－3x ＋94＝(x －32)2，所以原不等式可化为(x －32)2>0，所以只要x ≠32，不等式即成立，所以原不等式的解集为(－∞，32)∪(32，＋∞)．类型 分式不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 典例2 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 思路探究：(1)解分式不等式的关键是把分式不等式等价转化为整式不等式求解，特别注意不能直接去分母．(2)当分式不等式的右边不为0时，要先移项、通分、合并同类项，再进行等价转化．解析：(1)∵2x －13x ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0，∴⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，即x <－13或x ≥12.∴原不等式的解集为{x |x <－13或x ≥12}．(2)原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，∴－3<x <－12.∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．归纳提升：解分式不等式的关注点(1)根据是实数运算的符号法则，分式不等式经过同解变形可化为四种类型，解题思路如下： ①f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； ②f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0； ③f (x )g (x )≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )>0或f (x )＝0； ④f (x )g (x )≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )<0或f (x )＝0. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先两边同时乘以分母的平方去分母，再移项，因式分解，转化为用上述方法求解． ┃┃对点训练__■2．(1)已知集合A ＝{x |x －2x ≤0}，B ＝{0,1,2,3}，则A ∩B ＝( A )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{1}D ．{1,2,3}(2)若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －3>0的解集为__(－∞，－1)∪(3，＋∞)__.解析：(1)由已知得A ＝{x |0<x ≤2}， 又B ＝{0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{1,2}．(2)由ax －b >0的解集为(1，＋∞)可得ba ＝1，且a >0，∴ax ＋b x －3>0可化为(x ＋b a)x －3>0. 解得x <－1或x >3.类型 —元二次不等式与一元二次方程之间的关系 ┃┃典例剖析__■典例3 不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( A ) A ．{x |x <－1或x >12}B ．{x |－1<x <12}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}思路探究：解答本题需从一元二次不等式的解集与不等式对应的一元二次方程根的情况的关系着手．解析：方法一：由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实根． 由一元二次方程根与系数的关系，知⎩⎨⎧－1＋2＝－b a，－1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋x －1>0的解集是{x |x <－1或x >12}．方法二：由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实根． 分别把x ＝－1，x ＝2代入方程ax 2＋bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋x －1>0的解集是{x |x <－1或x >12}．归纳提升：已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集，则可知a 的符号和ax 2＋bx ＋c ＝0的两实根，由根与系数的关系可知a ，b ，c 之间的关系．例如，若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |d <x <e }(d <e )，则说明a <0，x 1＝d ，x 2＝e 分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即d ＋e ＝－b a ，d ·e ＝ca ；若解集为{x |x <d 或x >e }(d <e )，则说明a >0，x 1＝d ，x 2＝e 分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即d ＋e ＝－b a ，d ·e ＝ca .┃┃对点训练__■3．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．52B ．72C ．154D ．152解析：方法一：x 2－2ax －8a 2<0可化为(x ＋2a )(x －4a )<0.∵a >0且解集为(x 1，x 2)，则x 1＝－2a ，x 2＝4a ，∴x 2－x 1＝6a ＝15，故a ＝52.方法二：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，结合a >0得a ＝52.易混易错警示 忽略二次项系数为负 ┃┃典例剖析__■典例4 求一元二次不等式－x 2＋5x －4>0的解集．错因探究：解一元二次不等式时易忽略二次项系数的符号，特别是当二次项系数为负数，利用因式分解法解不等式时，容易写错解集．解析：原不等式等价于x 2－5x ＋4<0，即等价于(x －1)(x －4)<0，所以原不等式的解集为{x |1<x <4}．误区警示：若一元二次不等式的二次项系数为负数，通常先把二次项系数化为正数，再求解．将二次项系数化为正数时，可以将不等式两边同乘以－1，也可以移项，具体解题时，一定要注意不等号的方向．二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，若认为当系数为0时，为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的．因为只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况． 学科核心素养 用分类讨论思想解含参不等式 ┃┃典例剖析__■对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 典例5 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0(a ∈R )．思路探究：本题考查含参数的一元二次不等式的求解，可通过分解因式、分类讨论求解． 解析：原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.当a <0时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当a ＝0时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠0，x ∈R }； 当0<a <1时，a 2<a ，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠1，x ∈R }； 当a >1时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}．综上所述，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1，x ∈R }；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0，x ∈R }．课堂检测·固双基1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( D ) A ．{x |－1<x <13}B ．{x |13<x <1}C ．∅D ．R解析：由3x 2－2x ＋1>0得x 2－23x ＋13>0，所以(x －13)2>－29显然成立，所以原不等式的解集为R .2．不等式x －1x ＋2<0的解集为( C )A ．{x |x >1}B ．{x |x <－2}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x >1或x <－2}解析：原不等式等价于(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1. 3．不等式4－x 2≥0的解集是__[－2,2]__.解析：根据题意，4－x 2≥0⇔x 2≤4⇔|x |≤2⇔－2≤x ≤2，即不等式4－x 2≥0的解集是[－2,2]． 4．不等式1－x 2＋x≥0的解集为__(－2,1]__.解析：由1－x 2＋x ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(2＋x )≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2＋x )≤0，2＋x ≠0，解得－2<x ≤1，所以不等式的解集是(－2,1]． 5．解下列不等式． (1)x 2－4x ＋3≤0； (2)x ＋22x －3≥0. 解析：(1)x 2－4x ＋3≤0，即(x －3)(x －1)≤0， 解得1≤x ≤3.所以不等式的解集为{x |1≤x ≤3}．(2)x ＋22x －3≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(2x －3)≥0，2x －3≠0，解得x ≤－2或x >32，故不等式的解集为{x |x ≤－2或x >32}．A 级 基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分) 1．不等式x (2－x )>0的解集是( D ) A ．{x |x >0} B ．{x |x <2} C ．{x |x >2或x <0}D ．{x |0<x <2}解析：原不等式化为x (x －2)<0，故0<x <2. 2．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( B ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x >5或x <－1} C ．{x |－1<x <5}D ．{x |－1≤x ≤5} 解析：由x 2－2x －5>2x ，得x 2－4x －5>0， 即(x －5)(x ＋1)>0，解得x >5或x <－1， 故x 2－4x －5>0的解集为{x |x <－1或x >5}．3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( C ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2} 解析：由已知得a (x ＋2)(x －3)>0， ∵a <0，∴(x ＋2)(x －3)<0，∴－2<x <3. ∴所求不等式的解集为{x |－2<x <3}．4．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )(x －1a )<0的解集为( A )A ．{x |x <a 或x >1a }B ．{x |x >a }C ．{x |x >a 或x <1a}D ．{x |x <1a }解析：∵a <－1，∴a (x －a )·(x －1a )<0⇔(x －a )·(x －1a )>0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .5．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( B ) A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，即(x ＋2)(x －1)<0，所以－2<x <1.二、填空题(每小题5分，共15分)6．设集合M ＝{x |x 2－x <0}，N ＝{x |x 2<4}，则M 与N 的关系为__M N __. 解析：因为M ＝{x |x 2－x <0}＝{x |0<x <1}，N ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，所以M N . 7．不等式1－x 2＋x ≥1的解集为__(－2，－12]__.解析：1－x 2＋x≥1⇔1－x 2＋x－1≥0⇔1－x －2－x 2＋x≥0⇔－2x －12＋x≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12. 8．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为__[2,8)__.解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)． 三、解答题(共20分)9．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |1x －3<a }，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解析：A ＝{x |1≤x ≤2}． 由1x －3<a ，得－ax ＋3a ＋1x －3<0. ①当a ＝0时，B ＝{x |x <3}，满足A ⊆B .②当a >0时，由－ax ＋3a ＋1x －3<0，得x －(3＋1a)x －3>0，故B ＝{x |x <3或x >3＋1a}，满足A ⊆B .③当a <0时，由－ax ＋3a ＋1x －3<0，得x －(3＋1a)x －3<0，故B ＝{x |3＋1a <x <3}．由A ⊆B ，得3＋1a <1，即－12<a <0.综上可得，a >－12，即a 的取值范围是(－12，＋∞)．10．(10分)关于x 的不等式E ：ax 2＋ax －2≤0，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式E 的解集；(2)若不等式E 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1时，不等式E ：ax 2＋ax －2≤0可化为 x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0，∴－2≤x ≤1，则不等式x 2＋x －2≤0的解集是{x |－2≤x ≤1}， ∴当a ＝1时，不等式E 的解集为[－2,1]． (2)当a ＝0时，不等式E 化为0·x 2＋0·x －2≤0， 对x ∈R 恒成立，即a ＝0时满足题意．当a ≠0时，不等式可化为：a (x ＋12)2－2－a4≤0恒成立∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0－2－a4≤0⇒⎩⎨⎧a <08＋a ≥0，解得：－8≤a <0. 综上可知，a 的取值范围为[－8,0]．B 级 素养提升一、单选题(每小题5分，共10分) 1．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( A )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}解析：因为x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以原不等式可化为x 2－2x －2<2(x 2＋x ＋1)， 化简得x 2＋4x ＋4>0，即(x ＋2)2>0， 所以原不等式的解集为{x |x ≠－2}．2．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为M ，不等式x 2＋x －6<0的解集为N ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为M ∩N ，则a ＋b 等于( A ) A ．－3 B ．1 C ．－1D ．3 解析：由题意得M ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，∴M ∩N ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可得a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3. 二、多选题(每小题5分，共10分)3．下列四个不等式中解集为R 的是( CD ) A ．－x 2＋x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．－2x 2＋3x －4<0D ．x 2＋6x ＋10>0解析：对于C 项，不等式可化为x 2－32x ＋2>0，所以(x －34)2>－2316，所以－2x 2＋3x －4<0的解集为R ；对于D 项，不等式可化为(x ＋3)2>－1，所以x 2＋6x ＋10>0的解集为R .4．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( ABC )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设y ＝x 2－6x ＋a ，其图像为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a >0，解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a 可以为6,7,8.故选ABC ． 三、填空题(每小题5分，共10分)5．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为__[－1,0]__. 解析：1∉P 有两种情形，一种是1＋11＋a≥2，解得－1<a ≤0；另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝0，解得a ＝－1，所以－1≤a ≤0.6．若关于x 的不等式ax >b 的解集为(－∞，15)，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为__(－1，45)__. 解析：由ax >b 的解集为(－∞，15)，可知a <0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a >0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45<0，即x 2＋15x －45<0，解得－1<x <45，故不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为(－1，45)． 四、解答题(共10分)7．一服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)．(1)该厂的月产量多大时，每月获得的利润不少于1 300元？(2)当月产量为多少时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？解析：(1)设该厂每月获得的利润为y ，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500，由题意知y ≥1 300，∴20≤x ≤45.∴当月产量在20～45(包含20和45)件之间时，每月获得的利润不少于1 300元．(2)由(1)知y ＝－2(x －652)2＋1 612.5. ∵x 为正整数，∴x ＝32或33时，y 取得最大值为1 612.∴当月产量为32或33件时，每月可获得最大利润，最大利润是1 612元．。