第三讲：风险厌恶

定理：当且仅当 u(.) 是（严格）凹函数时， 参与者是（严格）风险厌恶的。
An agent is risk-averse if he dislikes all zero- mean risk at all wealth levels (Gollier 2001)
zero- mean risk=fair gamble
• 例子：
100元 （概率为3/4）
L
-40元 （概率为1/4）
E(L)=100×3/4+(-40) ×1/4=65元
选L而不是65元
E(u(L))>u(E(L))
选65而不是L
E(u(L))<u(E(L))
对两者的态度相同 E(u(L))=u(E(L))
二、风险厌恶的度量
• 通常我们假设所有经济人为风险厌恶者， 接下来我们希望知道如何量化风险厌恶， 从而能够比较不同参与者或同一参与者在 不同情况时的风险厌恶程度。
u(W )＝u[E(W )] u[E(W )](W E(W ))＋ 0.5u[E(W )](W E(W ))2＋h.o.t
u[E（W）- ]＝u[E(W )]－u[E(W )]＋h.o.t
＝-
1 2
u(W u(W
) )

2 W
Arrow-Pratt度量：
＝-
1 2
• 风险态度的图象： u(.)
风险厌恶 风险中性 风险偏爱
W
• 风险厌恶的度量： 图形分析
v(x)
v() E{v(x)}
v(x0)
x0
E{x}
v-1(E{v(x)})
x1 x
• 风险厌恶及其度量： 两种风险厌恶的度量方法;
Markowtz 度量—风险溢价 E[u(W )]＝u[W ]
要求的风险溢价 ，定义为：
E[u(w g)] u(w )
在小风险博弈下泰勒展开得到
绝对风险厌恶：
A(w) u(w) u(w)
• 相对风险厌恶：考虑如下以总财富为基数 的博弈和风险溢价：
E[u(w(1 g))] u(w(1 R )
• 这里，博弈的盈亏为 wg ，与总财富成比例
u(W u(W
) )

2 W
RRA＝- u(W ) W u(W )
ARA＝- u(W ) u(W )
风险容忍系数 （absolute risk tolerance)
Tu＝-
1 ARAu
两种方法的比较：
例子（Copeland）：
某人具有对数效用函数，初始财富为$20,000 面临两种风险决策：
风险厌恶
熊和平 2012年秋季
一、风险厌恶的定义
• 风险厌恶有多种定义方法，这里利用效用 函数定义——给定财富水平和效用函数， 定义风险厌恶。如下述定义：
• 定义：如果投资者不喜欢任何零均值（即 公平博弈）彩票，则称其为风险厌恶者。
• 效用函数的凸凹性与风险态度紧密相连
定义:凹性
• A function f:R→R is concave iff:
• 基于效用函数的定义：
• 风险态度的定义：
若对于风险投资 L投资者满足：
E[u(L)] u[E(L)]
风险厌恶
E[u(L)] u[E(L)]
风险偏爱
E[u(L)] u[E(L)]
风险中性
Risk aversion
• An agent is risk-averse if and only if his
• 定理：如果凸的连续偏好表示为上述的期 望效用函数，那么相应的效用函数u(.)是凹 的
风险厌恶的定义
• 基于公平博弈的定义： 定义：记 g为一个不确定的支付。如果E[g] 0
，则称 g 为一个公平博弈。
风险厌恶：称效用函数u(.) 的参与者是（严 格）风险厌恶的，如果
E[u(w g)] E[u(w)], E[g] 0
x, y,p [0,1] : pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y),
or equivalently, iff
Ef ( X ) f (EX ), f(EX)
with
X (x, p; y,1 p).
Ef(X)
x
px+(1-p)y y
凹函数的定义
（1）
50%
$10
A
50%
-$10
(2) B
80% 20%
-$1,000 -$10,000
Arrow-Pratt度量
A $0.0025 B $324
Markowtz 度量
A $0.0025002 B $489
请问你有何结论？
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• 绝对风险厌恶： 确定性等价：一个参与者与一个公平博弈所
utility function is concave, i.e., iff u´´ is
negative. • Example: u(w)=ln(w).
Jensen inequality
The following two conditions are equivalent: 1. f is concave. 2. X : Ef (X ) f (EX ).
确定性等价（certainty equivalent)W
＝E(W ) W
风险溢价（risk premium)
具体地：
E[u ( w0＋z )]＝u[w0＋Ce ]
C e C e (w0,u, z）
(w0,u, z）
Arrow-Pratt度量：
E[u(W )]＝u[E（W）- ]
• 定义：称函数 f:R→R为凹函数当且仅当
x, y,p [0,1]: pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y), or equivalently, iff Ef ( X ) f (EX ), with X (x, p; y,1 p).
• 风险厌恶与凸凹性有关，如果效用函数为 凹的则风险厌恶；反之凸效用函数为风险 喜好；直线为风险中性。
展开得
R

1 [ 2
wu(w)] var[g] u(w)
R(w) wu(w) u(w)
风险厌恶的例子
• 线性或风险中性效用：u(w) w
A(w) R(w) 0
• 负指数效用函数：u(w) eaw, a 0
A(w) a, R(w) aw