绵阳东辰国际学校2018年初升高自主招生考试数学试题参考答案

2018年绵阳东辰国际学校高中招生考试数学试题参考答案

一、选择题（每题4分，共40分)

1-5 ADCDB 6-10 CDBBA 二、填空题 (每小题4分，共24分)

11、7

105.3⨯ 12、 22-<≤x 且1-≠x 13、346+

14、-6或4

25

- 15、-8 16、①②③④

三、解答题

17.（1）6 （8分） （2）()22+--

x x x （4分）当 x=1时，原式=3

1

（4分）

18、（1）600； （2分） （2）120 图略A=30% C=20% （每个1分，共3分）

（3）3200 （2分）

（4）如图：

∴共有12种情况，吃到C 粽子情况有3种，P （C 粽）=． （5分）

19、解：（1）∵某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇，在城市销售数量x （箱），

∴在乡镇销售数量t （箱）的关系为：t=60﹣x ，∴y 2=．

故答案为：t=60﹣x ，............................2分

Y 2=

；......................2分

（2）综合y1=和（1）中y2，当对应的x范围是0＜x≤

20 时，

W1=（x+5）x+（x+4）（60﹣x）=x2+5x+240；...................4分

（3）当20＜x≤30 时，

W2=（﹣x+7.5）x+（x+4）（60﹣x）=﹣x2+7.5x+240，

∵x=﹣=＞30，∴W在20＜x≤30随x增大而增大，

∴最大值x=30时取得，∴W

=382.5（百元）．....................5分

最大

20、证明：（1）连结OD，如图1，

∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，

∴=，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；........4分（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，

∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，

∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，OB=BD=2，∴∠BDF=30°，

∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，

在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，

在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，∴PE==2，

∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，

易证得△BDE∽△ACE，

∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：，∴AE=

∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，∴=，即=，解得DF=12，

在Rt△BDH中，BH=BD=，

∴S

阴影部分=S

△BDF

﹣S

弓形BD

=S

△BDF

﹣（S

扇形BOD

﹣S

△BOD

）

=•12•﹣+•（2）2=9﹣2π；.....................5分（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，

∵=，∴CD=BD=2，∵∠F=∠ABC=∠ADC，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA，∴=，即=，∴xy=4，

∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD，∴△FDB∽△FAD，

∴=，即=，整理得16﹣4y=xy，∴16﹣4y=4，解得y=3，

即BF的长为3．....................5分

21、解：（1）∵一次函数y=x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0）

∴0=﹣+m∴m=．

∴一次函数的解析式为y=x+．

∴点C的坐标为（0，）．

∵y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点且对称轴是x=2，

∴，解得

∴y=﹣x2+x+．

∴m的值为，抛物线C1的函数表达式为y=﹣x2+x+．.........5分

（2）要使△ADF的周长取得最小，只需AF+DF最小

连接BD交x=2于点F，因为点B与点A关于x=2对称，

根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小．

令y=﹣x2+x+中的y=0，则x=﹣1或5 ∴B（5，0）

∵D（0，）∴直线BD解析式为y=﹣x+，∴F（2，）．

令过F（2，）的直线M1M2解析式为y=kx+b1，则=2k+b1，∴b1=﹣2k 则直线M1M2的解析式为y=kx+﹣2k．

解法一：

由得x2﹣（4﹣4k）x﹣8k=0∴x1+x2=4﹣4k，x1x2=﹣8k

∵y1=kx1+﹣2k，y2=kx2+﹣2k∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）

∴M1M2==

==

==4（1+k2）

M1F==

=

同理M2F=

∴M1F•M2F=（1+k2）

=（1+k2）=（1+k2）

=4（1+k2）=M1M2∴+===1；....................5分解法二：

∵y=﹣x2+x+=﹣（x﹣2）2+，∴（x﹣2）2=9﹣4y

设M1（x1，y1），则有（x1﹣2）2=9﹣4y1．

B A C

D 图1

E

F

G

∴M 1F==

=﹣y 1；

设M 2（x 2，y 2），同理可求得：M 2F=

﹣y 2．

∴+===①．

直线M 1M 2的解析式为y=kx +﹣2k ，即：y ﹣=k （x ﹣2）． 联立y ﹣=k （x ﹣2）与抛物线（x ﹣2）2=9﹣4y ，得： y 2+（4k 2﹣）y +

﹣9k 2=0，∴y 1+y 2=﹣4k 2，y 1y 2=﹣9k 2，代入①式，得：

+

=

=1．.......................5分

（3）设y 2与y=﹣x 的两交点的横坐标分别为x 0，x 0′，

∵抛物线C 2：y 2=﹣（x ﹣h ）2可以看成由y=﹣x 2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x 0，x 0′的值不断增大

∴当1＜x ≤m ，y 2≥﹣x 恒成立时，m 最大值在x 0′处取得 ∴当x 0=1时，对应的x 0′即为m 的最大值

将x 0=1代入y 2=﹣（x ﹣h ）2=﹣x 得（1﹣h ）2=4，∴h=3或﹣1（舍） 将h=3代入y 2=﹣（x ﹣h ）2=﹣x 有﹣（x ﹣3）2=﹣x ∴x 0=1，x 0′=9．∴m 的最大值为9．.....................5分

22、解析：（1）如图①，设正方形BEFG 的边长为x

则BE ＝FG ＝BG ＝x

∵AB ＝3，BC ＝6，∴AG ＝AB －BG ＝3－x ∵GF ∥BE ，∴△AGF ∽△ABC ∴

AG

AB

＝

GF

BC

，即

3－x

3 ＝

x

6

解得x ＝2，即BE ＝2.............................................2分 （2）存在满足条件的t ，理由如下： 如图②，过D 作DH ⊥BC 于点H 则BH ＝AD ＝2，DH ＝AB ＝3

由题意得：BB ′＝HE ＝t ，HB ′＝|t －2|，EC ＝4－t