1-2线性空间的基底

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1-2 空间向量基本定理(教学课件)—— 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

D.则 a b ， b c ， c a 一定能构成空间的一个基底
解析：在 A 中，若 a b ， b c ，则 a 与 c 相交或平行，故 A 错误；在 B 中，a，b，c 两两共面，但 a，b，c 不可能共面，故 B 正确；在 C 中，对空间任一向量 p，总存在有序实数组(x, y, z) ，使 p xa yb zc ，故 C 正确；在 D 中， a b ， b c ， c a 一定能构成空间的一个基底，故 D 正确. 故选 BCD.
（2）因为 CE
CC CE
1 2
jk
，
AG
AD
DG
i
1 2
k
，
所以 cos
CE ，AG
|
CE AG CE || AG
|
1 2
j
k
i
5 5
1 2
k
2 5
.
22
2 所以 CE 与 AG 所成角的余弦值为 5 .
1.已知 M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，且
A 为( )
A. 5 ， 1， 1
2
2
B. 5 ，1， 1
2
2
C.
5 2
，1，
1 2
D.
5 2
，1，
1 2
解析：由题意知 d a b c e1 e2 e3 e1 e2 e3
e1 e2 e3 ( )e1 ( )e2 ( )e3 ，
又d
e1
（1）求证： EF //AC ；
（2）求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
解：（1）设，k}构成空间的一个单位正交基底.
所以
EF
DF

矩阵分析引论--第一章线性空间与线性变换-线性空间的概念、基变换与坐标变换

二、线性空间的定义 1、数域
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1；有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间）设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.

线性代数第六章第一节——线性空间的定义与性质

0 c

解 (1)不构成子空间. 因为对
1
A B
0
2
有 A B
0
0 0
W1
0 0
0 0
W1 ,
0 0
线性代数
即 W1对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
0 0 0
W2 , 即W2非空.
( 2) 因
0 0 0
对任意
a1 b1 0
定义１设 V是一个非空集合，R为实数域．如果
对于任意两个元素 , V，总有唯一的一个元
素 V 与之对应，称为与的和，记作

若对于任一数 R 与任一元素 V ，总有唯
一的一个元素 V 与之对应，称为与的积，记作

( 3) 在V中存在零元素0, 对任何 V , 都有有零元素
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使有负元素
0;
(5) 1 ;
(6) ; 对数乘运算的结合律和分配律
(7) ;
数乘 : k (a , b) (lg a , bk ), k R
V是不是向量空间
? 为什么?
线性代数
解
V不是向量空间
.
显然,V对加法封闭,因为两个正实数的和与
积
还是正实数.
但V对乘法不封闭
.
比如V中的元素(1, b), 对任意实数k ,
k (1, b) (lg 1, bk ) (0, bk ) V .
1 ; 0 0.
4．如果 0 ，则 0 或 0 .

线性空间的维数基底

第二节线性空间的维数基底
线性空间是n维向量空间的推广, 这样向量空间中的线性相关、线性无关、最大线性无关组等概念及有关性质在线性空间中仍然成立. 根据这些概念推导出的定理在线性空间中也是成立的.
n维向量空间的最大线性无关组只含有n个向量. 而实系数多项式全体构成的实线性空间的最大无关组可为
1, x, x2 ,, xn ,
含有无穷多个元素.
定义在线性空间V中，如果存在n个线性无
关的向量 1,2 ,,n 使V中任一元素
都可由这n个线性无关的元素线性表出, 则这n个线性无关的元素称为线性空间 V的一组基底(简称基base)
注在向量组中, 最大线性无关组不唯一, 线性空间的基也不唯一, 但任意两组不相同的基所含元素的个数相同.
定义非零线性空间V的基中所含元素的个数, 称为线性空间的维数, 记为dimV.
例如全体n阶方阵组成的线性空间Mn n是n2维的.
对只含有零元素的线性空间----零空间, 没有基, 规定dimV=0.实系数多项式的体构成的实线性空间是无限维的.
n元齐次线性方程组Ax=0的解空间是n R(A) 维的.

高等代数第6章线性空间 6.2 基底、坐标与维数

任一不超过4次的多项式 p a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x a 0 可表示为 p a 0 p1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p 4 a 4 p 5
因此 p 在这个基下的坐标为 ( a 0 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 )
T
若取另一基q1 1, q 2 1 x , q 3 2 x 2 , q 4 x 3 , q5 x4 , 则 1 p (a 0 a 1 )q1 a 1 q 2 a 2 q 3 a 3 q 4 a 4 q 5 2 因此 p 在这个基下的坐标为
1 ( a 0 a 1, a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．
T
例２所有二阶实矩阵组成的集合 V ，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性空间．对于 V 中的矩阵
有
1 E 11 0 0 E 21 1
0 0 1 , E 12 , 0 0 0 0 0 0 , E 22 0 0 1
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a 11, a 12, a 21, a 22) .
T
例3 在线性空间R, 2 ( x a ), 3 ( x a ) , , n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是

矩阵论_第一章_线性空间和线性映射

（3）零元素在 V 中存在一个元素 0 ，使得对于任意的 V 都有
0
（4）负元素对于 V 中的任意元素都存在一个元素使得
0
1
则称是的负元素. （ 5）数 1
（ 6）
（ 7）
k (l ) (kl ) (k l ) k l

[a1 , a2 , a3 , ] [b1, b2 , b3 , ] [a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 , ] k[a1, a2 , a3 , ] [ka1, ka2 , ka3 , ]
则
R

为实数域
R上的一个线性空间。
二线性空间的基本概念及其性质
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1 1 1 1 1 x3 x4 0 1 1 0
解得
7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3
称 n 阶方阵
a1n a22 a2 n an 2 ann a12
a11 a12 a a22 21 P a n1 a n 2
a1n a2 n ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成
1
x1 1 x 1 2 x3 1 x4 4
第三节线性空间的子空间
定义设
V 为数域 F 上的一个 n 维线性空间，
W 为 V 的一个非空子集合，如果对于任意的 , W 以及任意的 k , l F 都有
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案第1章线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间.同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一设11223344x x x x =+++A E E E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.方法二应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++=1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一（用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些. 1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ.方法一设1212{,}{,}span span ∈ξααββI ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -. 方法二不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T -，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span αααL 的基底就是12,,,n αααL 的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n αααL .1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββI 就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==L L ,则11,,,,,k l ααββL L 的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξL A AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξL A A A②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===L ，于是21,(),(),,()k -ξξξξL A AA 线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξL A AA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]00000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξL L L L L L L M M M M L LA A A AA A A A AAA A A 所以A在21,(),(),,()n -ξξξξL A AA下矩阵表示为n 阶矩阵00001000010000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M M M L L评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξL A A A是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==L L L L L 设11,,,,,,r r s ξξξξξL L L 是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s αααααL L L 是的极大无关组. 1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα 设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:对k 用数学归纳法证。

线性空间维数与基的求法

线性空间维数与基的求法维数与基是线性空间V 的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用.因为确定了维数和基以后n 线性空间V 上任意向量的坐标（即n 元数组）也就相应确定了,在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意n 维线性空间V 都与n P 同构,这样，我们可以通过n P 的性质来研究任意n 线性空间V 的性质。

同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。

但是,鉴于它是线性空间的一个基本概念,多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文献1250P 例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍.虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即要符合定义。

本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结,同时也是对《高等代数》250P 例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。

一、数域P 上的线性空间V ——数域P 的作用和角色凡是涉及数与空间中向量（取自集合V 中的元素)的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域P 。

例如:线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法,判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域P 的。

同一线性空间V 指定数域的不同，通常对于我们的结果也会造成很大差别。

1.数域P 对线性空间V 的线性变换判别的影响例1：把复数域看作复数域上的线性空间，ξξ=A解：举反例如下，系数k 取自复数域i k =，)())(()(ai b bi a i k +-A =+A =A αai b --=，而ai b bi a i bi a i k +=-=+A =A )())(()(α，显然)()(ααA ≠A k k ，故变换A 不是线性的。

例2：把复数域看作实数域上的线性空间，ξξ=A解:系数k 取自实数域R k ∈，kbi ka kbi ka bi a k k -=+A =+A =A )())(()(α，kbi ka bi a k bi a k k -=-=+A =A )())(()(α，容易验证A 也保持向量的加法，故A 是线性的. 可见，同一线性空间的同一变换在不同数域上有些是线性的，有些不是线性的。

高考数学向量基底知识点

高考数学向量基底知识点在高考数学中，向量是一个非常重要的概念。

而向量基底又是向量空间中的一个关键要素。

掌握向量基底的相关知识点，不仅有助于理解向量的性质和运算法则，还能更好地应用于解决各种数学问题。

一、向量基底的定义及性质向量基底是向量空间的一组基本向量，它可以线性组合成该向量空间中的任意向量。

具体来说，设V为一个向量空间，如果存在V中的n个向量，记作{v₁, v₂, ..., vn}，且这些向量之间线性无关，那么{v₁, v₂, ..., vn}就称为向量空间V的一个基底。

一个向量空间的基底具有以下性质：1.基底中的向量个数n是确定的；2.基底中的向量必须线性无关；3.基底所张成的向量空间是整个向量空间V。

二、向量基底的存在性对于一个给定的向量空间V，是否存在某个基底，这涉及到一个重要的结论——任意向量空间都有基底存在。

这是一个非常重要的结论，我们可以利用这个结论来解决各种数学问题。

在数学中，一个命题通常都有多种证明方法。

而对于任意向量空间都有基底存在这个命题，我们可以用反证法来证明：假设向量空间V没有基底存在，即无法找到一组线性无关的向量张成整个向量空间V。

那么我们可以不断往V中添加新的向量，要么这些新的向量线性相关，要么线性无关但无法张成整个向量空间V。

因为向量的个数是有限的，所以这个过程必定在某一步达到一个矛盾，找到了一组线性无关的向量，它们能够张成整个向量空间V。

因此，反证法证明了任意向量空间都有基底存在。

三、向量基底的选择在实际应用中，为了方便计算和表示，我们通常会选择一组特定的基底。

最常见的基底有标准基底、单位基底和正交基底等。

1.标准基底：对于n维向量空间Rⁿ，它的标准基底由n个基本单位向量组成。

例如：R²的标准基底是{(1,0), (0,1)}；R³的标准基底是{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}。

2.单位基底：单位基底的特点是向量的模长都为1。

高二数学选修课件：3-1-2空间向量的基本定理

人教 B 版数学
第三章
空间向量与立体几何
重点：共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理．
人教 B 版数学
难点：空间向量分解定理．
第三章
空间向量与立体几何
人教 B 版数学
第三章
空间向量与立体几何
1．共线向量定理 (1)在前面，我们学习了平面向量共线的充要条件，这
个条件在空间也是成立的，即有：共线向量定理：对空间
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第三章
空间向量与立体几何
3．空间向量基本定理
①用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． ②空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
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③由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两
第三章
空间向量与立体几何
4．如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，
b，c的线性组合xa＋yb＋ zc能生成所有的空间向量，a，b， c叫做空间的一个________，记作________________，其中 a，b，c都叫做________． 5．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
连结 AC，AD′.
→ ＝1(AC＋AA′)＝1(AB＋A→＋AA′) → → → (1)AP 2 → D 2 1 ＝ (a＋b＋c)； 2 → ＝1(AC＋AD＋AA′)＝1(a＋2b＋c)＝1a＋b＋1 → (2)AM 2 → → 2 2 2 c； → ＝1 (AC′＋AD′ )＝1 [(AB＋AD＋AA′ )＋(AD → → → → → → (3)AN 2 2 → )]＝1(AB＋2AD＋2AA′)＝1a＋b＋c； → → → ＋AA′ 2 2

第一章线性空间与线性变换

第⼀章线性空间与线性变换第⼀章线性空间和线性变换§1.1线性空间集合v 集合:作为整体看的⼀堆东西元素?⼦集Sa ?21S S ì?集合相等运算交并和122121S S S S S S ìì?=且21S S I 21S S U },|{2121S y S x y x S S ??+=+数域v数域: 如果⼀个数集中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍在该数集中v常⽤数域有：有理数域、实数域、复数域v奇数集和偶数集不能形成数域映射v映射：集合S到集合S’的⼀个映射是指⼀个法则(规则)f: S →S’，对S中任何元素a，都有S’中的元素a’与之对应，记为：f(a)=a’或a→a’。

⼀般称a’为a的象，a为a’的原象。

v若S =S’，则称映射为变换。

v映射的相等：设有两个映射f: S →S’和g: S →S’，若对任何元素a∈S都有f(a)=g(a)则称f与g相等。

映射的例⼦v例⼦1：设集合S是数域F上所有⽅阵的集合，则f(A)=det(A)为S到F的映射。

v例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算：δ(f(t))=f’(t)为S到S的变换。

映射的乘积v映射的乘积(复合)：若f : S1→S2 和g: S 2→S3，则映射的乘积g○f定义为：g○f(a)=g(f(a))。

v在不⾄混淆的情况下，简记g ○f为gfv映射的乘积满⾜结合律,即(fg)h=f(gh)v映射的乘积不满⾜交换律,⼀般⽽⾔fg≠gf线性空间的定义v定义：设V是⼀个⾮空的集合，K是⼀个数域，在集合V 中定义两种封闭的代数运算, ⼀种是加法运算，⽤+ 来表⽰，另⼀种是数乘运算, ⽤?来表⽰, 并且这两种运算满⾜下列⼋条运算律：（1）加法交换律：α+β= β+α（2）加法结合律：(α+β)+γ= α+(β+γ)（3）零元素：在V中存在⼀个元素0，使得对于任意的α∈V 都有α+0 =α（4）负元素:对于V中的任意元素α都存在⼀个元素β使得：α+β= 0线性空间的定义（续）（5）数1：对α∈V，有：1?α=α（6）结合律:对k,l∈K, α∈V有：(kl) ?α= k?(l?α)（7）分配律:对k,l∈K, α∈V有：(k+l) ?α= k?α+l?α（8）数因⼦分配律:对k∈K, α, β∈V有：k?(α+β)= k?α+k?β称这样的集合V为数域K上的线性空间。

空间基底知识点归纳总结

空间基底知识点归纳总结一、空间基底的概念及性质1.1 空间基底的概念空间基底是指在一个向量空间V中，取一个线性无关的向量组E={e1,e2,...,en}，使得空间V中的任意向量都可以由这个向量组线性表示出来，并且表示方法唯一。

这个向量组E就称作空间V的一个基底。

1.2 空间基底的性质（1）空间基底是线性无关的。

即向量组E={e1,e2,...,en}线性无关。

（2）空间基底是生成空间的。

即空间V中的任意向量都可以由向量组E线性表示。

（3）空间基底的表示唯一。

即空间V中的任意向量只有唯一的一组基底表示。

1.3 空间基底的选取在确定一个向量空间的基底时，通常有多种选择方法。

常用的基底选取方法有：求解线性方程组、对角化、特征向量等。

二、空间基底的应用2.1 空间基底的表示向量在空间基底下的表示是向量分析中重要的内容，通过基底的线性组合可以得到向量在基底下的表示。

例如，空间V中的向量v，可以表示为v=x1e1+x2e2+...+xnen，其中x1,x2,...,xn为实数，e1,e2,...,en为空间V的基底。

2.2 空间基底的求解对于给定的向量空间V，可以通过一些方法求解空间V的基底，从而更好地理解和描述向量空间的性质。

例如，对于平面向量空间R2，可以通过求解线性方程组或者寻找线性无关的向量组来求解得到基底。

2.3 空间基底的应用空间基底的求解和表示在各个领域都有重要的应用，如计算机图形学、工程技术、物理学、经济学等。

基底的选取和表示可以简化计算过程，提高计算效率。

三、空间基底的相关定理3.1 空间基底的存在定理在一个有限维向量空间V中，任意一个基底的向量个数都相同，称为维数。

这个定理表明，任意有限维向量空间都存在一个基底。

3.2 空间基底的替换定理任意有限维向量空间V中的基底可以相互替换。

即对于空间V的任意两个基底E1={e1,e2,...,en},E2={f1,f2,...,fn}，存在一个可逆的线性变换T，使得E2=T*E1。

第四章线性空间

第四章线性空间线性空间是二维、三维几何空间及n 维向量空间的推广。

线性空间中的元素统称为向量，但此时的向量除了可以是n 维向量以外，还可以是矩阵、多项式、函数、数等，这体现了这个概念的一般性。

另一方面，线性空间要规定两种运算：加法与数乘，但这一概念是抽象的。

4．1 线性空间线性空间是线性代数的基本概念，它是通过对不同的数学对象的共同本质（线性的）进行的抽象。

所谓线性空间，就是定义了两种运算（加法与数乘）的非空集合，该集合在这两种运算下保持封闭性。

1．定义：设V 是一个非空集合，P 为一个数域。

在集合V 的元素之间定义了一种代数运算叫做加法，即任取γβαγβα=+∈∈使有唯一,,,V V ，在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即任取αV ∈，有唯一的.,ηαη=∈k V 使得如果加法与数乘满足下面的规则：（1）αββα+=+；（2）)()(γβαγβα++=++；（3）在V 中有一个元素0，对V 中任意元素α，有α+0=α；（4）对V 中任意元素α，都有V 中元素β，使得=+βα0；（5）1α=α；（6）αα)()(kl l k =；（7）αααl k l k +=+)(；（8）αββαk k k +=+)(；则称V 为数域P 上线性空间。

在线性空间里，V 中的元素称为向量，0元素称为零向量，当 =+βα0时，β为α的负向量。

2．线性空间的性质；（1）零元素是唯一的；（2）任意向量α的负向量是唯一的，记为-α；（3） 0α=0，（-1）α=-α，k0=0;（4）若k α=0，则k=0或α=0。

3．线性子空间如果线性空间V 的非空子集W ，关于V 所定义的两种运算也构成一个线性空间，则称W 维V 的一个线性子空间。

若W 是V 的非空子集，W 中的元素关于V 的两种运算自然满足八条运算规则，于是判断W 是是否构成V 的线性子空间，只要验证W 关于V 的两种运算是否封闭，即“任取→∈∈+P k W ,βαW k W ∈∈+αβα,” 是否成立。

第1章线性空间与线性变换

1.3线性子空间
定义1.3.2 设 1 , 2 ,, r 是数域K上线性空间V中的一组向量，则这组向量所有可能的线性组合所组成的集合记为 span1 , 2 ,, r 。定理1.3.2 span1 , 2 ,, r 是线性空间V的一个子空间，称为由向量组 1 , 2 ,, r 生成的子空间。定理1.3.3 两个不同向量组生成相同线性子空间的充要条件是两个向量组是等价的。并且子空间的维数是向量组的秩。证明： ① 生成相同线性子空间→两向量组是等价的 1, 2 ,, s 两个向量组，如果设 1, 2 ,, r
1.1线性空间的定义与性质
1.2线性空间的基与坐标
• 零空间---θ={0} • 问题： ① 一般线性空间有无穷多个元素组成，能否找到有限个向量使得线性空间中的任意一个向量都可以用这有限个向量表示？ ② 线性空间中的向量是抽象的，能否把向量与数域K 上的数组联系起来，将向量的线性运算转化为数域K上数组的运算？
a12 a22 an 2

a1n a2 n ann
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
A是可逆矩阵？
1.2线性空间的基与坐标
北京科技大学
第一章线性空间与线性变换
2012年11月4日
本章的主要内容
• 线性空间
– – – – – – – – 1.1 线性空间的定义与性质 1.2 线性空间的基与坐标 1.3 线性子空间 1.4 线性空间的同构 1.5 线性映射与线性变换 1.6 线性变换的值域与核 1.7 不变子空间 1.8 特征值与特征向量

2.线性空间与线性子空间

§ 2线性空间与线性子空间一、线性空间［线性运算］设F是一个域，其元素a, b, c,…作为数量；V是任一种类对象的集，其元素用希腊字母a , B , 丫，…表示•确定两个运算法则：10 V中元素的加法.对V中任二元素a, B,总有唯一确定的元素丫与它们对应，称为a与B之和，记作丫B .2°F中的数量与V中元素的乘法.对F中任一数a与V中任一元a，总有唯一确定的元素S与它们对应，称为a与a的数乘，记作3：这两个运算法则称为线性运算•［线性空间及其性质］设F是一个域，V是任一种类对象的集，若对线性运算满足以下条件，则称V为域F上的线性空间：(i)V是一个加法群；(ii)对任意元a € F与a € V,对应着唯一确定的一个元：=a：;三勺(iii)满足分配律和结合律，即对a,b・F, ： V有a(、：I ) =a_：：■ a :, (a b)：・=a二(abp - a(b ：)域F的元素称为线性空间的数量，V的元素称为它的矢量，因而线性空间又称矢量空间.加法群的单位元称为零矢量，记作0, (-1 ) a是a € V的逆元，称为负矢量.实数域上的线性空间称为实线性空间；复数域上的线性空间称为复线性空间•例1三维空间中的矢量全体组成一个实线性空间.例2数域F上的多项式环F［x］，按照通常的多项式加法与多项式乘法，组成数域F上的线性空间.例3元素属于数域F的m x n矩阵，按照矩阵的加法和矩阵与数的乘法，组成数域 F 上的线性空间.例4按照通常的加法和乘法，实数全体是实数域R上的线性空间.复数全体是复数域C 上的线性空间.任一域是用自己当作数量域的线性空间.例5把在一个实区间(a, b)中定义的每个连续实函数当作一个元素，任意两个元素 f 与g的和记作f, f g是在(a,b)中定义的一个连续实函数，它在每一点x的值规定为(f + g)(x) = f (x) +g(x)又把一个元素f乘实数c所得到的元素cf规定为(cf)(x) =cf (x), a x b则这些元素全体组成一个实线性空间.线性空间有以下性质：1o零矢量是唯一的.2。

数学基底的概念及其作用

数学基底的概念及其作用数学基底是指在一个向量空间中，一组线性无关的向量所构成的集合。

数学基底的主要作用是可以方便地对向量进行表示，计算和运算，是线性代数中非常重要的概念。

下面将从几个角度来探讨其具体作用。

1.向量表示在一个向量空间中，任何一个向量都可以由基底中的向量线性组合表示出来，这也是数学基底的最基本作用。

例如，在三维空间中，通过三个基底向量组成的坐标轴可以表示空间中的任何向量，这样就能够方便地定位和描述向量。

2.单位向量表示在向量空间中，可以通过基底中的向量构造出一组单位向量，这些单位向量的长度均为1，且方向和基底向量相同。

这组单位向量可以方便地用于描述向量的方向，常用于计算机图形学、机器人工程等领域。

3.矩阵变换对于一个线性变换，其在基底下的矩阵表示是唯一的。

因此，在进行向量变换时，可以通过基底矩阵相乘的方式得到新的向量表示。

这也是数学基底在计算机图像处理、物理仿真等领域中广泛应用的原因之一。

4.线性代数的运算在向量空间中，数学基底可以方便地进行向量的加法、数乘运算等操作，从而进一步进行线性代数的运算。

例如，可以通过基底变换的方式来推导出线性代数方程组的解法，也可以通过基底矩阵的特征值和特征向量来解决各种线性代数问题。

5.向量空间的构造在向量空间的构造中，数学基底是一个非常重要的概念。

通过选取不同的基底组成向量空间，可以构造出不同的向量空间，从而方便进行各种分析和计算。

例如，在二次型理论中，通过基底变换可以将二次型转化为标准形式，从而更方便地分析。

总之，数学基底在线性代数中扮演着至关重要的角色，同时也是各种应用领域如图像处理、机器学习等的重要基础。

因此，深刻理解并掌握数学基底的概念及其应用具有重要的意义。

基底数学条件

基底数学条件在数学中，基底是一种非常重要的概念。

它是线性代数中向量空间的基础，也是许多其他数学领域的关键。

本文将介绍基底的定义、性质和应用，以及与基底相关的一些重要定理和概念。

一、基底的定义和性质在线性代数中，基底是指能够生成整个向量空间的一组向量。

具体来说，如果一个向量空间V中的向量组B={v1,v2,...,vn}满足以下两个条件，那么B就是V的一个基底：1. 向量组B线性无关，即不存在任何一个向量可以由其他向量线性表示出来；2. 向量组B能够生成整个向量空间V，即任何一个向量都可以由向量组B的线性组合表示出来。

基底的性质有以下几个重要的方面：1. 基底是唯一的。

即使存在多个基底，它们的向量个数是相同的；2. 基底的个数称为向量空间的维度，记作dim(V)；3. 向量空间中的任何一个向量都可以由基底的线性组合表示出来，并且表示方式是唯一的。

二、基底的应用基底在数学中有广泛的应用，下面将介绍几个典型的应用场景。

1. 线性方程组的解空间对于一个m×n的线性方程组Ax=b，解空间是所有使得Ax=b成立的向量x的集合。

如果矩阵A的列向量组成的向量组是线性无关的，那么它就是一个基底，解空间的维度就等于矩阵A的列向量的个数减去方程组的秩。

2. 基变换在向量空间中，我们可以通过变换基底来改变向量的表示方式。

基变换是一种重要的数学工具，在计算机图形学、物理学等领域有广泛的应用。

通过基变换，我们可以将一个向量在一个基底下的坐标表示转换为在另一个基底下的坐标表示。

3. 矩阵的相似性在矩阵论中，两个矩阵A和B被称为相似矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B。

相似矩阵具有相同的特征值和特征向量，因此它们在许多方面具有相似的性质。

基底的选择对于矩阵的相似性具有重要影响。

三、基底相关的定理和概念在基底的研究中，还有一些重要的定理和概念。

1. 维度定理维度定理是基底理论的重要定理之一。

它表明，对于一个n维向量空间V，如果存在一个包含m个向量的线性无关组，那么m必然小于等于n，并且m等于V的维度dim(V)。