(浙江专用)2020高考数学二轮复习 特色专题 高考新元素教案

特色专题 高考新元素

一 创新型问题

新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”随着改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题．

创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用．高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)．此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求思维水平高，思维容量大，但运算量较小，求解此类问题，要求学生有临场阅读，提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力．

“新定义”问题

新定义问题是指在特定情景下，用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题——新定义问题的解题技法．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．

[典型例题]

(1)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且

对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )

A ．18个

B ．16个

C ．14个

D ．12个

(2)设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝－x 0，则称x 0

是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”．若函数f (x )＝ax 2

－3x －a ＋5

2

在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－ ∞，0] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12

C.⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，12 D.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，＋∞ 【解析】 (1)法一：不妨设a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，

00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个．

法二：设a 1，a 2，a 3，…，a k 中0的个数为t ，则1的个数为k －t ，

由2m ＝8知，k ≤8且t ≥k －t ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧t ≤k ≤2t k ≤8

t ≤4k ，t ∈N

.

当t ＝1时，k ＝1，2，当t ＝2时，k ＝2，3，4，

当t ＝3时，k ＝3，4，5，6，当t ＝4时，k ＝4，5，6，7，8， 所以“规范01数列”共有2＋3＋4＋5＝14(个)． 法三：前同法二．

问题即是⎩⎪⎨⎪⎧t ≤k ≤2t

k ≤8

t ≤4k ，t ∈N

表示的区域内的整点(格点)的个数，

如图整点(格点)为2＋3＋4＋5＝14(个)，即“规范01数列”共有14个．

(2)方程ax 2－3x －a ＋52＝－x 在区间[1，4]上有解，显然x ≠1，所以方程ax 2

－3x －a ＋

52＝－x 在区间(1，4]上有解，即求函数a ＝2x －

5

2

x 2－1

在区间(1，4]上的值域，

令t ＝4x －5，则t ∈(－1，11]，a ＝8t

t 2

＋10t ＋9

，当t ∈(－1，0]时，a ≤0；

当t ∈(0，11]时，0

8

t ＋10＋9

t

≤8

2

t ×9

t

＋10＝1

2

，当且仅当x ＝3时取等号． 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，故选C. 【答案】 (1)C (2)C

[对点训练]

1．定义“上升数”是一个数中右边的数字比左边的数字大的自然数(如123，568，2479等)，任取一个两位数，这个两位数为“上升数”的概率为( )

A.15

B.25

C.35

D.45

解析：选B.两位数10，11，12，…，99共90个，其中十位数为1的“上升数”为12，13，…，19共8个，十位数为2的“上升数”为23，24，…，29共7个，…十位数为8的“上升数”为89，只有1个，则所有两位数中的“上升数”共8＋7＋6＋…＋1＝8（8＋1）2＝36

个，则两位数为“上升数”的概率P ＝3690＝2

5

，选B.

2．(经典考题)定义“函数y ＝f (x )是D 上的a 级类周期函数”如下：函数y ＝f (x )，x ∈

D ，对于给定的非零常数a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有af (x )＝f (x

＋T )恒成立，此时T 为f (x )的周期．若y ＝f (x )是[1，＋∞)上的a 级类周期函数，且T ＝1，当x ∈[1，2)时，f (x )＝2x

(2x ＋1)，且y ＝f (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )

A.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫56，＋∞

B ．[2，＋∞) C.⎣⎢

⎡⎭

⎪

⎫103，＋∞

D ．[10，＋∞)

解析：选C.因为x ∈[1，2)时，f (x )＝2x

(2x ＋1)， 所以当x ∈[2，3)时，f (x )＝af (x －1)＝a ·2x －1

(2x －1)，当x ∈[n ，n ＋1)时，f (x )＝af (x

－1)＝a 2

f (x －2)＝…＝a n －1

f (x －n ＋1)＝a n －1·2x －n ＋1(2x －2n ＋3)，即x ∈[n ，n ＋1)时，f (x )

＝a

n －1

·2

x －n ＋1

(2x －2n ＋3)，n ∈N *

，同理，当x ∈[n －1，n )时，f (x )＝a

n －2

·2

x －n ＋2

(2x －2n ＋

5)，n ∈N *

.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以a >0且a

n －1

·2

n －n ＋1

(2n －2n ＋3)≥a n －2

·2

n

－n ＋2

·(2n －2n ＋5)，解得a ≥10

3

.故选C.

3．(经典考题)设S 为实数集R 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈

S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b 3|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭

集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆R 的任意集合

T 也是封闭集．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)

解析：对于整数a 1，b 1，a 2，b 2，有a 1＋b 13＋a 2＋b 23＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)3∈S ，a 1

＋b 13－(a 2＋b 23)＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)3∈S ，(a 1＋b 13)·(a 2＋b 23)＝(a 1a 2＋3b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)3∈S ，所以①正确．

若S 为封闭集，且存在元素x ∈S ，那么必有x －x ＝0∈S ，即一定有0∈S ，所以②正确． 当S ＝{0}时，S 为封闭集，所以③错误．

取S ＝{0}，T ＝{0，1，2，3}时，显然2×3＝6∉T ，所以④错误． 答案：①②