(浙江专用)2020高考数学二轮复习特色专题高考新元素教案

合集下载

(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何高考解答题的审题与答题示范(五)教案

高考解答题的审题与答题示范(五)
解析几何类解答题
[思维流程]——圆锥曲线问题重在“设”与“算”
[审题方法]——审方法
数学思想是问题的主线，方法是解题的手段．审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题的解决事半功倍．审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍．
典
例 (本题满分15分)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2
2＋y 2
＝1上，过点M 作x 轴的垂
线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →
.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →
＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 审题路
线 (1)要求P 点的轨迹方程⇒求点P (x ，y )的横坐标x 与纵坐标y 的关系式⇒利用条件NP →
＝2 NM →
求解．
(2)要证过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ⇒证明OQ →⊥PF →⇒OQ →·PF →
＝0.
标准答案
阅卷现场
(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，N (x 0，0)，则NP →
＝
(x －x 0，y )，
NM →
＝(0，y 0)，① 第(1)问第(2)问得分点 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
2 2 2 1 2 1 1 1 2 1
7分 8分。

2020版新高考二轮复习理科数学教学案：第一部分第2讲数形结合思想

由图可知，－3≤t1<－2，t2> .
设g(t)＝t2－2t＋a，则
解得－15≤a<－8，故选A.
答案：A
方法点睛
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象的直观性，写出满足的条件，进而求出参数的取值范围．
调研三利用数形结合思想求解平面向量问题
A．①B．②
C．①②D．①②③
解析：曲线的方程x2＋y2＝1＋|x|y可看成关于y的一元二次方程y2－|x|y＋x2－1＝0，由题图可知该方程必有两个不相等的实根，∴Δ＝|x|2－4(x2－1)>0，∴x2< ，满足条件的整数x可取－1,0,1.
当x＝－1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(－1,0)，(－1,1)；当x＝0时，y＝－1或1，∴曲线C经过的整点有(0，－1)，(0,1)；当x＝1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(1,0)，(1,1)．故曲线C恰好经过6个整点，①正确；∵x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋，∴x2＋y2≤2，∴ ≤ ，当且仅当|x|＝y，即或时取等号，则曲线上的点到原点的最大距离为，故②正确；顺次连接(－1,0)，(－1，1)，(0,1)，(1,1)，(1,0)，(0，－1)，(－1,0)，所围成的区域如图中阴影部分所示，其面积为3，显然曲线C所围成的“心形”区域的面积要大于3，故③不正确，故选C.
当x＝0时，h(0)＝－a.
由图象可知要满足y＝f(x)与h(x)的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1，故选C.
答案：C
(3)[2019·山东四校联考]已知函数f(x)＝当a<0时，f2(x)－2f(x)＋a＝0有4个不相等的实数根，则a的取值范围是()

【2020高考数学《大二轮专题复习与增分策略》浙江版】专题三第2讲

第2讲数列的求和问题热点一分组转化法求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列的通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例1 已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{c n }的前n 项和为T n ，且c n＝⎩⎨⎧1b n b n ＋2，n 为奇数，－1a n ，n 为偶数，①求T 2n ；②若对n ∈N *，T 2n ≥T 2k 恒成立，求正整数k 的值．解 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n ，当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2，当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1b n ＝n ＋1n，所以b n ＋1n ＋1－b n n＝0，所以b n ＝n .当n ＝1时，满足b 1＝1，故b n ＝n .(2)①T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n＝1b 1b 3－1a 2＋1b 3b 5－1a 4＋…＋1b 2n －1b 2n ＋1－1a 2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋...＋12n －1－12n ＋1 －⎝⎛⎭⎫122＋124＋ (122)＝13·4n －14n ＋2＋16. ②当n ≥2时，∵T 2n －T 2n －2＝13·4n －14n ＋2＋16－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13·4n －1－14n －2＋16＝14n 2－1－14n >0， ∴T 2最小，∴k ＝1.思维升华在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．跟踪演练1 已知{a n }为等差数列，且a 2＝3，{a n }前4项的和为16，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝88，且数列{}b n －a n 为等比数列(n ∈N *)．(1)求数列{a n }和{}b n －a n 的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，因为a 2＝3，{a n }前4项的和为16，所以a 1＋d ＝3,4a 1＋4×32d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ∈N *)．设{}b n －a n 的公比为q ，则b 4－a 4＝()b 1－a 1q 3，所以q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝88－74－1＝27，得q ＝3，所以b n －a n ＝()4－1×3n －1＝3n (n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝3n ＋2n －1，所以S n ＝(3＋32＋33＋…＋3n )＋(1＋3＋5＋…＋2n －1)＝3()1－3n 1－3＋n ()1＋2n －12 ＝32()3n －1＋n 2＝3n ＋12＋n 2－32(n ∈N *)．热点二错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝t n ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，且a 1,2a 2,3a 3成等差数列，求{a n }的通项公式；(2)在(1)的条件下，令b n ＝n ·(3－2a n )，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)a 1＝1，a n ＋1－a n ＝t n ，a 2＝1＋t ，a 3＝a 2＋t 2＝t 2＋t ＋1，由a 1，2a 2，3a 3成等差数列可得4a 2＝a 1＋3a 3，得3t 2－t ＝0，所以t 1＝0，t 2＝13，又因为{a n }是递增数列，所以t ＝13. 所以a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫13n ，则a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，所以a n ＝1＋13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －1＝1－13n 1－13＝32⎝⎛⎭⎫1－13n (n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝n ·(3－2a n )＝n ·13n －1. 则T n ＝1×130＋2×131＋3×132＋…＋n ×13n －1，① 13T n ＝1×131＋2×132＋3×133＋…＋n ×13n ，②由①－②可得，23T n ＝1＋131＋132＋…＋13n －1－n ·13n ＝1－13n 1－13－n ·13n ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n －n ·13n ， ∴T n ＝94－⎝⎛⎭⎫32n ＋94·13n (n ∈N *)．思维升华 (1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．跟踪演练2 已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．数列{b n }是公差d 不等于0的等差数列，且满足：b 1＝32a 1，b 2，b 5，b 14成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＋12a 1＝1，a 1＝23，当n ≥2时，⎩⎨⎧ S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，S n －S n －1＝12()a n －1－a n ，所以a n ＝13a n －1(n ≥2)，所以{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列，所以a n ＝23×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×⎝⎛⎭⎫13n . 由b 1＝1，又b 25＝b 2b 14，得()1＋4d 2＝()1＋d ()1＋13d ，d 2－2d ＝0，因为d ≠0，所以d ＝2，所以b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得c n ＝4n －23n ，则T n ＝23＋632＋1033＋…＋4n －23n ，①13T n ＝232＋633＋1034＋…＋4n －63n ＋4n －23n ＋1，② ①－②得，23T n ＝23＋4⎝⎛⎭⎫132＋133＋…＋13n －4n －23n ＋1，＝23＋4×19－13n ＋11－13－4n －23n ＋1＝43－23n －4n －23n ＋1，所以T n ＝2－2n ＋23n (n ∈N *)．热点三裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和．例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a (S n －a n ＋1)(n ∈N *)(a 为常数，a ≠0，a ≠1)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋S n ，若数列{b n }为等比数列，求a 的值；(3)在满足条件(2)的情形下，c n ＝a n ＋1()a n ＋1()a n ＋1＋1.若数列{}c n 的前n 项和为T n ，且对任意n ∈N *满足T n <λ2＋23λ，求实数λ的取值范围．解 (1)∵S n ＝a ()S n －a n ＋1，∴n ＝1时，a 1＝a .n ≥2时，S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)，∴S n －S n －1＝a n ＝a (S n －S n －1)－aa n ＋aa n －1，∴a n ＝aa n －1，即a n a n －1＝a 且 a ≠0，a ≠1， ∴数列{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列，∴a n ＝a n (n ∈N *)．(2)由b n ＝a n ＋S n 得，b 1＝2a ，b 2＝2a 2＋a ，b 3＝2a 3＋a 2＋a .∵数列{b n }为等比数列，∴b 22＝b 1b 3，即(2a 2＋a )2＝2a (2a 3＋a 2＋a )，解得a ＝12. (3)由(2)知c n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋1 ＝2n(2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1， ∴T n ＝121＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1<13， ∴13≤λ2＋23λ，解得λ≥13或λ≤－1. 即实数λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，＋∞∪(－∞，－1]．思维升华 (1)裂项相消法的基本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．(2)常用的裂项公式①若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2； ②1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； ③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ④1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2n ＋1＋1n ＋2；⑤1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，1n ＋n ＋k ＝1k (n ＋k －n )．跟踪演练3 (2019·杭州模拟)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝60，且a 6为a 1和a 21的等比中项．(1)求a n 和S n ；(2)设数列{b n }满足b n ＋1－b n ＝a n ，若b 1＝3，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 6a 1＋15d ＝60，a 1(a 1＋20d )＝(a 1＋5d )2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝5，∴a n ＝2n ＋3(n ∈N *)． S n ＝n (8＋2n )2＝n (n ＋4)(n ∈N *)． (2)由b n ＋1－b n ＝a n ，∴b n －b n －1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)．当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1＋b 1＝(n －1)(n －1＋4)＋3＝n (n ＋2)(n ≥2)．对b 1＝3也适合，∴b n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)．∴1b n ＝1n (n ＋2)＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. T n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n 4(n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)．真题体验1．(2017·全国Ⅱ，理，15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k＝________. 答案 2n n ＋1解析设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2， 1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴∑k ＝1n1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 2．(2017·天津，文，18)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12.而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0，解得q ＝－3或q ＝2. 又因为q ＞0，所以q ＝2.所以b n ＝2n .由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.①由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .(2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n .由a 2n ＝6n －2，得T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ， 2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1. 上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋1 ＝12×(1－2n )1－2－4－(6n －2)×2n ＋1 ＝－(3n －4)2n ＋2－16，所以T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16.3．(2018·浙江，20)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n .(1)求q 的值；(2)求数列{b n }的通项公式．解 (1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项，得a 3＋a 5＝2a 4＋4，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8.由a 3＋a 5＝20，得8⎝⎛⎭⎫q ＋1q ＝20，解得q ＝2或q ＝12. 因为q ＞1，所以q ＝2.(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n .由c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1. 由(1)可得a n ＝2n －1，所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)×⎝⎛⎭⎫12n －2，n ≥2，b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)×⎝⎛⎭⎫12n －2＋(4n －9)×⎝⎛⎭⎫12n －3＋…＋7×12＋3. 设T n ＝3＋7×12＋11×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(4n －5)×⎝⎛⎭⎫12n －2，n ≥2，① 则12T n ＝3×12＋7×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(4n －9)×⎝⎛⎭⎫12n －2＋(4n －5)×⎝⎛⎭⎫12n －1，n ≥2，② ①－②，得12T n ＝3＋4×12＋4×⎝⎛⎭⎫122＋…＋4×⎝⎛⎭⎫12n －2－(4n －5)×⎝⎛⎭⎫12n －1，n ≥2，因此T n ＝14－(4n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n －2，n ≥2.又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n －2，n ≥2，当n ＝1时，b 1＝1也满足上式，所以b n ＝15－(4n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n －2(n ∈N *)．押题预测1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋22n n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若存在M ∈Z ，满足对任意的n ∈N *，都有S n <M 恒成立，则M 的最小值为________．答案 1解析因为a n ＝n ＋22n n (n ＋1)＝2(n ＋1)－n 2n n (n ＋1)＝12n －1n －12n (n ＋1)，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫120×1－121×2＋⎝⎛⎭⎫121×2－122×3＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －1n －12n (n ＋1)＝1－12n (n ＋1)，由于1－12n (n ＋1)<1，所以M 的最小值为1. 2．已知在等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝1a n＋2log 2a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，a 2，a 3－2成等差数列，∴2a 2＝a 1＋(a 3－2)＝2＋(a 3－2)＝a 3，∴q ＝a 3a 2＝2，即a n ＝a 1q n －1＝2n (n ∈N *)． (2)∵b n ＝1a n＋2log 2a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n ＋2log 22n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋2n －1，∴S n ＝⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)] ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋n ·[1＋(2n －1)]2 ＝n 2－⎝⎛⎭⎫12n ＋1(n ∈N *)． 3．已知数列{a n }为等差数列，a 7－a 2＝10，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n ＝225，求n 的值．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，因为a 7－a 2＝10，所以5d ＝10，解得d ＝2.因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以a 26＝a 1a 21，即(a 1＋5×2)2＝a 1(a 1＋20×2)，解得a 1＝5.所以a n ＝2n ＋3(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋3)(2n ＋5)，所以b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫15－17＋⎝⎛⎭⎫17－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5＝n 5(2n ＋5)(n ∈N *)，由n5(2n ＋5)＝225，得n ＝10.A 组专题通关1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64答案 D解析由已知有a n a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，则a n ＋2a n＝2， ∴数列{a n }的奇数项、偶数项均为公比为2的等比数列，可以求出a 2＝2，∴数列{a n }的项分别为1,2,2,4,4,8,8,16,16,32,32，…，而b n ＝a n ＋a n ＋1，∴b 10＝a 10＋a 11＝32＋32＝64.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1＋m ，且a 1，a 4，a 5－2成等差数列，b n ＝a n (a n －1)(a n ＋1－1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >2 0182 019的最小正整数n 的值为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8答案 B解析根据S n ＝2n ＋1＋m 可以求得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4，n ＝1，2n ，n ≥2，所以有a 1＝m ＋4，a 4＝16，a 5＝32，根据a 1，a 4，a 5－2成等差数列，可得m ＋4＋32－2＝32，从而求得m ＝－2，所以a 1＝2满足a n ＝2n ，从而求得a n ＝2n (n ∈N *)，所以b n ＝a n (a n －1)(a n ＋1－1)＝2n(2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1，所以T n ＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，令1－12n ＋1－1>2 0182 019，整理得2n ＋1>2 020，解得n ≥10.3．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝12，n ＋1a n ＋1＝n a n＋2n (n ∈N *)，则S 100等于( ) A ．2－492100 B ．2－49299 C ．2－512100 D ．2－51299 答案 D解析由n ＋1a n ＋1＝n a n ＋2n ，得n ＋1a n ＋1－n a n＝2n ，则n a n －n －1a n －1＝2n －1，n －1a n －1－n －2a n －2＝2n －2，…，2a 2－1a 1＝21，将各式相加得n a n －1a 1＝21＋22＋…＋2n －1＝2n －2，又a 1＝12，所以a n ＝n ·12n ，因此S 100＝1×12＋2×122＋…＋100×12100，则12S 100＝1×122＋2×123＋…＋99×12100＋100×12101，两式相减得12S 100＝12＋122＋123＋…＋12100－100×12101，所以S 100＝2－⎝⎛⎭⎫1299－100·⎝⎛⎭⎫12100＝2－51299. 4．在等比数列{a n }中，a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为17，设b n ＝(－1)n a n ，n ∈N *，则数列{b n }的前2 020项的和为________．答案 41 0093－112解析设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .∵a 2·a 3＝2a 1，∴a 1·q 3＝2，即a 4＝2.∵a 4与2a 7的等差中项为17，∴a 4＋2a 7＝34，即a 7＝16，∴a 1＝14，q ＝2，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫14·2n －1＝2n －3(n ∈N *)． ∵b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n ·2n －3，∴数列{b n }的前2 020项的和为S 2 020＝－(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 020)＝－(2－2＋20＋22＋…＋22 016)＋(2－1＋21＋23＋…＋22 017)＝－14(1－41 010)1－4＋12(1－41 010)1－4＝41 0093－112. 5．数列{a n }满足a 1>32，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1，且∑i ＝12 017 1a i＝2，则4a 2 018－a 1的最大值为________．答案－32解析由题设知，a n ＋1－1＝a n (a n －1)，∴1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n ，∴1a n －1－1a n ＋1－1＝1a n ，通过累加得：∑i ＝12 017 1a i ＝ 1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017＝1a 1－1－1a 2 018－1＝2，即1a 2 018－1＝1a 1－1－2⇒a 2 018＝1＋a 1－13－2a 1＝2－a 13－2a 1，∴4a 2 018－a 1＝8－4a 13－2a 1－a 1＝6－4a 1＋23－2a 1－a 1＝23－2a 1＋12(3－2a 1)＋12＝－22a 1－3＋⎣⎡⎦⎤－12(2a 1－3)＋12≤－32，故填－32. 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1,2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1，b n ＝(－1)n ·(log 3a n )2，则数列{b n }的前2n 项和为________．答案 2n 2－n解析根据题意，数列{a n }满足2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1，① 则当n ≥2时，2S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1a n ，② 由①－②可得⎝⎛⎭⎫1－13n (a n ＋1－3a n )＝0，则有a n ＋1－3a n ＝0，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1，a 1＝1，所以a 2＝3. 则数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，则a n ＝3n －1(n ∈N *)．b n ＝(－1)n ·(log 3a n )2＝(－1)n ·(log 33n －1)2＝(－1)n (n －1)2，则b 2n －1＋b 2n ＝－(2n －2)2＋(2n －1)2＝4n －3；数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝1＋5＋9＋…＋(4n －3)＝n ×(1＋4n －3)2＝2n 2－n (n ∈N *)． 7．已知数列{a n }与{b n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n (n ∈N *)，且{a n }为正项等比数列，a 1＝2，b 3＝b 2＋4.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝a n b n b n ＋1(n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和，证明：T n <1. (1)解由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n ，①当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝2b n －1，②由①－②可得a n ＝2(b n －b n －1)，即a 3＝2(b 3－b 2)＝2×4＝8，∵a 1＝2，a n >0，设{a n }的公比为q ，∴a 1q 2＝8，解得q ＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *)．∴2b n ＝21＋22＋23＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明由已知c n ＝a n b n ·b n ＋1＝2n(2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝121－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1 ＝1－12n ＋1－1，当n ∈N *时，2n ＋1>1，∴12n ＋1－1>0，∴1－12n ＋1－1<1，即T n <1.8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 6＝36.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n ·a n ，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵a 2＝3，∴a 1＋d ＝3，S 6＝36，∴6a 1＋15d ＝36，则a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，b n ＝2n (2n －1)，T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①①×2，得2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1，②①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)·2n ＋1 ＝－6＋2n ＋2－(2n －1)·2n ＋1＝－6＋2n ＋1(3－2n )，∴T n ＝6＋(2n －3)·2n ＋1(n ∈N *)．9．(2019·湖州三校模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，公差d ≠0，且S 1，S 3，S 9成等比数列，数列{b n }满足b 1S 1＋b 2S 2＋…＋b n S n ＝6－n 2＋4n ＋62n (n ∈N *)，{b n }的前n 项和为T n .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)记R n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1，试比较R n 与12T n 的大小．解 (1)由已知得S 23＝S 1·S 9，即(3＋3d )2＝9＋36d ，又d ≠0，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1，S n ＝n 2.由b 1×12＋b 2×22＋…＋b n ×n 2＝6－n 2＋4n ＋62n，得b 1＝12，当n ≥2时，b n ×n 2＝6－n 2＋4n ＋62n－ 6＋(n －1)2＋4(n －1)＋62n －1＝n 22n ， ∴b n ＝12n (n ≥2，n ∈N *)，显然b 1＝12也满足， ∴ b n ＝12n (n ∈N *)． (2)T n ＝1－12n ，12T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n . R n ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1. 当n ＝1时，21<2×1＋1＝3，R 1>12T 1，当n ＝2时，22<2×2＋1＝5，R 2>12T 2，当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝1＋C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…>1＋n ＋n (n －1)2≥2n ＋1， ∴R n <12T n ，综上，当n ≤2时，R n >12T n ；当n ≥3时，R n <12T n . 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1(n ∈N *)，数列{b n }满足nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)，且b 1＝1，(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 为等差数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝(－1)n －14(n ＋1)(3＋2log 2a n )(3＋2log 2a n ＋1)，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ； (3)若d n ＝a n ·b n ，数列{}d n 的前n 项和为D n ，对任意的n ∈N *，都有D n ≤nS n －a ，求实数a 的取值范围．解 (1)由nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)两边同除以n (n ＋1)，得b n ＋1n ＋1－b n n ＝1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 为首项b 11＝1，公差d ＝1的等差数列，所以b n n＝n (n ∈N *)，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2(n ∈N *)．当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1.当n ≥2时，S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －1，又a 1＝1≠0，所以a n a n －1＝2，从而数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，从而数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)c n ＝(－1)n －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(n ＋1)(2n ＋1)(2n ＋3) ＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋12n ＋3，T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2n －1＋c 2n＝13＋15－15－17＋…－14n ＋1－14n ＋3＝13－14n ＋3(n ∈N *)． (3)由(1)得d n ＝a n ·b n ＝n ·2n －1，D n ＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋(n －1)·2n －2＋n ·2n －1，①①×2得，2D n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .②①－②，得－D n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n 1－2－n ·2n ，所以D n ＝(n －1)·2n ＋1，由(1)得S n ＝2a n －1＝2n －1，因为对任意n ∈N *，都有D n ≤nS n －a ，即(n －1)·2n ＋1≤n ()2n －1－a 恒成立，所以a ≤2n －n －1恒成立，记e n ＝2n －n －1，所以a ≤()e n min ，因为e n ＋1－e n ＝[]2n ＋1－(n ＋1)－1－()2n －n －1＝2n －1>0，从而数列{}e n 为递增数列，所以当n ＝1时，e n 取最小值e 1＝0，于是a ≤0.即实数a 的取值范围是(－∞，0]．B 组能力提高11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫12n －12，n 为奇数，⎝⎛⎭⎫12n 2，n 为偶数，则数列{}3a n ＋n －7的前2n 项和的最小值为( )A ．－514B ．－1854C ．－252D ．－1058答案 D解析设b n ＝3a n ＋n －7，则S 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n＝3⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋(1＋2＋3＋…＋2n )－14n ＝9⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ＋2n 2－13n ，又2n 2－13n ＝2⎝⎛⎭⎫n －1342－1698，当n ≥4时，∵f (n )＝2⎝⎛⎭⎫n －1342－1698是关于n 的增函数，又g (n )＝9⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 也是关于n 的增函数， ∴S 8<S 10<S 12<…，∵S 8＝－18516，S 6＝－1058，S 4＝－454，S 2＝－132， ∴S 6<S 8<S 4<S 2，∴S 6最小，S 6＝－1058. 12．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )A ．3 660B ．3 690C ．1 830D ．1 845答案 C解析由a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，当n 为奇数时，有a n ＋1－a n ＝2n －1，a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋1，两式相减得a n ＋2＋a n ＝2；当n 为偶数时，有a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，两式相加得a n ＋2＋a n ＝4n ，所以可将数列{a n }的所有奇数项连续两项看成一个整体，构成每一项都为2的常数数列，所有偶数项连续两项看成一个整体，构成首项为8，公差为16的等差数列，则S 60＝15×2＋15×8＋15×142×16＝1 830. 13．设数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，a n ，S n ，a 2n 成等差数列，设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n ＝()ln x n a 2n ，若对任意的实数x ∈(]1，e (e 是自然对数的底数)和任意正整数n ，总有T n <r ()r ∈N *，则r 的最小值为________．答案 2解析由题意得，2S n ＝a n ＋a 2n ，当n ≥2时，2S n －1＝a n －1＋a 2n －1，∴2S n －2S n －1＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝1，即数列{a n }是等差数列，又2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21，∴a 1＝1，∴a n ＝n (n ∈N *)．又x ∈(1，e]，∴0<ln x ≤1，∴T n ≤1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n<2，∴r ≥2，即r 的最小值为2. 14．设数列{a n }的首项为1，前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，均有S n ＝a n ＋k －k (k 是常数且k ∈N *)成立，则称数列{a n }为“P (k )数列”．(1)若数列{a n }为“P (1)数列”，求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在数列{a n }既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{a n }的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；(3)若数列{a n }为“P (2)数列”，a 2＝2，设T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n 2n ，证明：T n <3. (1)解因为数列{a n }为“P (1)数列”，则S n ＝a n ＋1－1，故S n ＋1＝a n ＋2－1，两式相减得，a n ＋2＝2a n ＋1，又n ＝1时，a 1＝S 1＝a 2－1，所以a 2＝2，故a n ＋1＝2a n 对任意的n ∈N *恒成立，即a n ＋1a n＝2(常数)，故数列{a n }为等比数列，其通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)解假设存在这样的数列{a n }，则S n ＝a n ＋k －k ，故S n ＋1＝a n ＋k ＋1－k ，两式相减得，a n ＋1＝a n ＋k ＋1－a n ＋k ，故a n ＋3＝a n ＋k ＋3－a n ＋k ＋2，同理由{a n }是“P (k ＋2)数列”可得， a n ＋1＝a n ＋k ＋3－a n ＋k ＋2，所以a n ＋1＝a n ＋3对任意n ∈N *恒成立．所以S n ＝a n ＋k －k ＝a n ＋k ＋2－k ＝S n ＋2，即S n ＝S n ＋2，又S n ＝a n ＋k ＋2－k －2＝S n ＋2－2，即S n ＋2－S n ＝2，两者矛盾，故不存在这样的数列{a n }既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”．(3)证明因为数列{a n }为“P (2)数列”，所以S n ＝a n ＋2－2，所以S n ＋1＝a n ＋3－2，故有a n ＋1＝a n ＋3－a n ＋2，又n ＝1时，a 1＝S 1＝a 3－2，故a 3＝3，满足a 3＝a 2＋a 1，所以a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为1,2,3,5,8.故T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n 2n ＝12＋222＋323＋524＋825＋…＋a n 2n ，所以12T n ＝122＋223＋324＋525＋…＋a n －12n ＋a n 2n ＋1，两式相减得12T n ＝12＋122＋123＋224＋…＋a n －22n －a n 2n ＋1＝34＋14T n －2－a n 2n ＋1，显然T n －2<T n ，a n 2n ＋1>0，故12T n <34＋14T n ，即T n <3.。

2020年浙江新高考数学二轮复习教师用书：第1部分 1 第1讲高考客观题的解法

第1讲高考客观题的解法1．在“限时”的高考考试中，解答选择题不但要“准”，更要“快”，只有“快”，才能为后面的解答题留下充足的时间．而要做到“快”，必然要追求“巧”，“巧”即“不择手段、多快好省”．由于数学选择题是四选一的形式，因而在解答时应突出一个“选”字，要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量减少书写解题过程，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速解答．一般来说，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法的，就不必采用直接法；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；初选后要认真检验，确保准确．2．数学填空题只要求写出结果，不要求写出计算和推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．解题时，要有合理地分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确地解答填空题的基本要求．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．技法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[典型例题](1)(2019·杭州市学军中学高考模拟)⎝⎛⎭⎫x ＋1x n展开式中所有奇数项的系数之和为 1024，则展开式中各项系数的最大值是( )A ．790B ．680C ．462D ．330(2)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________．【解析】 (1)由题意可得2n －1＝1 024，即得n ＝11，则展开式中各项系数的最大值是C 511或C 611，则C 511＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462，故选C.(2)由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.【答案】 (1)C (2)2 1直接法是解决选择题，填空题最基本的方法，直接法适用范围较广．在计算过程中，要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解问题的关键．[对点训练]1．(2018·高考浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：选B.因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i.故选B.2．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1.答案：1技法二特例法当已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．[典型例题](1)若函数f (x )＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(2)已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13【解析】 (1)因为最值在f (0)＝b ，f (1)＝1＋a ＋b ，f (－a 2)＝b －a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，故选B.(2)由于直线PQ 是过点E 的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，令PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时，m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，直线BE 与直线PQ 重合，此时，AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n＝3.故选A.【答案】 (1)B (2)A特例法具有简化运算和推理的优点，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但用特例法解题时，要注意以下几点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；第三，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，不能使用该种方法求解．[对点训练]如图，点P 为椭圆x 225＋y 29＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右项点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线，它们相交于点C ，过点P 引BC ，AC 的平行线交AC 于点N ，交BC 于点M ，交AB 于D 、E 两点，记矩形PMCN 的面积为S 1，三角形PDE 的面积为S 2，则S 1∶S 2＝( )A ．1B ．2 C.12 D.13解析：选A.不妨取点P ⎝⎛⎭⎫4，95，则可计算S 1＝⎝⎛⎭⎫3－95×(5－4)＝65，由题易得PD ＝2，PE ＝65，所以S 2＝12×2×65＝65，所以S 1∶S 2＝1. 技法三图解法对于一些含有几何背景的问题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．V enn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．[典型例题](1)如图，已知正四面体D -ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP ＝PB ，BQ QC ＝CRRA ＝2.分别记二面角D -PR -Q ，D PQ R ，D QR P 的平面角为α，β，γ，则( )A ．γ＜α＜βB ．α＜γ＜βC ．α＜β＜γD ．β＜γ＜α(2)(2019·宁波高考模拟)定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b b ，a <b，已知函数f (x )＝max{|2x －1|，ax 2＋b }，其中a <0，b ∈R ，若f (0)＝b ，则实数b 的范围为________，若f (x )的最小值为1，则a ＋b ＝________．【解析】 (1)如图1，设O 是点D 在底面ABC 内的射影，过O 作OE ⊥PR ，OF ⊥PQ ，OG ⊥RQ ，垂足分别为E ，F ，G ，连接ED ，FD ，GD ，易得ED ⊥PR ，所以∠OED 就是二面角D -PR -Q 的平面角，所以α＝∠OED ，tan α＝OD OE ，同理tan β＝OD OF ，tan γ＝ODOG.底面的平面图如图2所示，以P 为原点建立平面直角坐标系，不妨设AB ＝2，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，3)，O ⎝⎛⎭⎫0，33，因为AP ＝PB ，BQ QC ＝CR RA ＝2，所以Q ⎝⎛⎭⎫13，233，R ⎝⎛⎭⎫－23，33，则直线RP 的方程为y ＝－32x ，直线PQ 的方程为y ＝23x ，直线RQ 的方程为y ＝33x ＋539，根据点到直线的距离公式，知OE ＝22121，OF ＝3939，OG ＝13，所以OE >OG >OF ，所以tan α<tan γ<tan β，又α，β，γ为锐角，所以α<γ<β，故选B.(2)因为f(0)＝max{1，b}＝b，所以b≥1；作出y＝|2x－1|与y＝ax2＋b的函数图象，如图所示：因为f(x)的最小值为1，所以y＝ax2＋b恰好经过点(1，1)，所以a＋b＝1.【答案】(1)B(2)[1，＋∞) 1图解法实质上就是数形结合的思想方法在解题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．[对点训练]a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b 都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)解析：由题意知，a，b，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC＝1，AB＝2，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CA →的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则D (1，0，0)，A (0，0，1)，直线a 的单位方向向量a ＝(0，1，0)，|a |＝1. B 点起始坐标为(0，1，0)，直线b 的单位方向向量b ＝(1，0，0)，|b |＝1. 设B 点在运动过程中的坐标B ′(cos θ，sin θ，0)，其中θ为CB ′→与CD →的夹角，θ∈[0，2π)．那么AB ′在运动过程中的向量AB ′→＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB ′→|＝ 2.设直线AB ′与a 所成的夹角为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos α＝|（cos θ，sin θ，－1）·（0，1，0）||a ||AB ′→|＝22|sin θ|∈⎣⎡⎦⎤0，22.故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以③正确，④错误．设直线AB ′与b 所成的夹角为β，则β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos β＝|AB ′→·b ||b ||AB ′→|＝|（cos θ，sin θ，－1）·（1，0，0）||b ||AB ′→|＝22|cos θ|.当AB ′与a 成60°角时，α＝π3，|sin θ|＝2cos α＝2cos π3＝2×12＝22.因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以|cos θ|＝22. 所以cos β＝22|cos θ|＝12. 因为β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以β＝π3，此时AB ′与b 成60°角．所以②正确，①错误．答案：②③ 技法四构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．[典型例题](1)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图所示，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32(2)已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2＜ln mn ，则( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＞2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定【解析】 (1)由题意，可补成正方体，如图，异面直线AC 与BD 所成角就是ED 与BD 所成角，而△BDE 为等边三角形，所以ED 与BD 所成角为π3，cos π3＝12.故选A. (2)由不等式可得1n 2－1m 2＜ln m －ln n ，即1n 2＋ln n ＜1m 2＋ln m ．设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )＞0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增．因为f (n )＜f (m )，所以n ＜m .故选A.【答案】 (1)A (2)A构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向．一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等．[对点训练]1．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( ) A ．3f (ln 2)>2f (ln 3) B ．3f (ln 2)＝2f (ln 3) C ．3f (ln 2)<2f (ln 3)D ．3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小关系不确定解析：选C.令g (x )＝f （x ）e x ，则g ′(x )＝f ′（x ）e x －f （x ）e x e 2x ＝f ′（x ）－f （x ）e x.因为对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，所以g ′(x )>0，即g (x )在R 上单调递增．又ln 2<ln 3，所以g (ln 2)<g (ln 3)，即f （ln 2）e ln 2<f （ln 3）e ln 3，即f （ln 2）2<f （ln 3）3，所以3f (ln 2)<2f (ln 3)．故选C.2．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：因为a n ＋1＝2S n ＋1，所以S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，所以S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，所以S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，所以S 1＝1，所以a 1＝1，所以S 5＋12＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，所以S 5＝121. 答案：1 121 技法五排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，此法适用于选择题，它是充分利用选择题的特征，即有且只有一个正确的选项，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选择支，从而得出正确结论的一种方法．[典型例题](2018·高考浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )【解析】设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，所以sin 2x ＝0，所以2x ＝k π(k ∈Z )，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.【答案】 D排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，在近几年高考选择题中占有很大的比重．[对点训练]1．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a解析：选B.根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b2a .2．(2019·汕头一模)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[0，1]B ．(0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选A.k ＝0时，8≥0，满足条件，排除B 、C ，当k ＝2时，不等式变为x 2－6x ＋5≥0，即x ≥5或x ≤1不满足条件，排除D.技法六估值法估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量．[典型例题]如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面AC 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6D.152【解析】该多面体体积直接求比较困难，可连接BE 、CE ，原体积转化为四棱锥E -ABCD 和三棱锥E -BCF 的体积之和，而V E ABCD ＝6，故由局部估算出整体，原多面体体积大于6，只有D 符合．故选D.【答案】 D对于选项是数值的选择题，可以通过估计所要计算值的范围来确定唯一的正确选项．有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算或严格推演而浪费时间．[对点训练]某班设计了一个八边形的班徽(如图所示)，它由四个腰长为1，顶角为α的等腰三角形和一个正方形组成，则该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1D ．2sin α－cos α＋1解析：选A.当顶角α→π时，八边形几乎是边长为2的正方形，面积接近于4，四个选项中，只有A 符合，故选A.专题强化训练 [基础达标]1．(2019·宁波高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( )A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C ．{0，2，4，6}D ．{x ∈Z |0≤x ≤6}解析：选C.因为全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，所以B ＝{0，2，4，6}，故选C.2．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1－iD ．－1＋i解析：选A.由题意知：(1＋i)z ＝2，设z ＝a ＋b i ，则(1＋i)z ＝(1＋i)(a ＋b i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a －b ＝2，解得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1＋i ，故选A.3．(2019·温州市高考数学模拟)已知数列{a n }是递增数列，且满足a n ＋1＝f (a n )，a 1∈(0，1)，则f (x )不可能是( )A ．f (x )＝x B ．f (x )＝2x －1 C ．f (x )＝2x －x 2D ．f (x )＝log 2(x ＋1)解析：选B.对于A ：因为a 1∈(0，1)，所以a n ＋1＝a n >a n ，可得数列{a n }是递增数列；对于B ：因为a 1∈(0，1)，不妨取a 1＝12，则a 2＝212－1＝2－1<12，因此数列{a n }不是递增数列；对于C ：f (x )＝2x －x 2，令2x －x 2≥0，解得0≤x ≤2.由f (x )＝2x －x 2＝1－（x －1）2，可知：当0≤x ≤1时，函数f (x )单调递增；当1≤x ≤2时，函数f (x )单调递减．因为a 1∈(0，1)，所以数列{a n }是递增数列；对于D ：画出图象y ＝log 2(x ＋1)，y ＝x ，可知：在x ∈(0，1)时，log 2(x ＋1)>x ，所以a n ＋1＝log 2(a n ＋1)>a n ，因此数列{a n }是递增数列．故选B.4．已知点x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0，x －2≤0则z ＝3x ＋y 的最大值与最小值之差为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0x －2≤0对应的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x 并平移知，当直线经过点A 时，z 取得最大值，当直线经过点B 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，即A (2，3)，故z max ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，即B (0，2)，故z min ＝2，故z 的最大值与最小值之差为7，选C.5．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (3n －1) B.n （n ＋3）2C ．n (n ＋1)D.n （3n ＋1）2解析：选C.依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)．6．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 7．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：选B.函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f ⎝⎛⎭⎫12＝cos 12log 2⎪⎪⎪⎪12＝－cos 12， f ⎝⎛⎭⎫－12＝cos ⎝⎛⎭⎫－12·log 2⎪⎪⎪⎪－12＝－cos 12，所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，排除A 、D ，又f ⎝⎛⎭⎫12＝－cos 12<0，故排除C.综上，选B. 8．(2019·嘉兴市高三期末)已知圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－4＝0恰有三条公共切线，则（a －3）2＋（b －4）2的最小值为( )A ．1＋ 2B ．2C ．3－ 2D ．4解析：选B.圆C 1的圆心为C 1(a ，0)，半径为r 1＝1，圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝2，因为两圆有三条公共切线，所以两圆外切．所以a 2＋b 2＝3，所以点(a ，b )在半径为3的圆x 2＋y 2＝9上．而（a －3）2＋（b －4）2表示点(a ，b )到点(3，4)的距离．所以（a －3）2＋（b －4）2的最小值为32＋42－3＝2.故选B.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：选C.由三视图可知该几何体是由如图所示的直三棱柱ABC A 1B 1C 1截掉一个三棱锥D A 1B 1C 1得到的，其中AC ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，AD ＝2， BC ⊥AC ，S △A 1B 1C 1＝12×4×3＝6，所以该几何体的体积V ＝S △A 1B 1C 1·AA 1－ 13S △A 1B 1C 1·DA 1＝6×5－13×6×3＝24. 10．(2019·台州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋a ＝0与点A (0，2)，若直线l 上存在点M 满足|MA |2＋|MO |2＝10(O 为坐标原点)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5－1，5－1)B ．[－5－1，5－1]C ．(－22－1，22－1)D ．[－22－1，22－1]解析：选D.设M (x ，y )，因为|MA |2＋|MO |2＝10，所以x 2＋(y －2)2＋x 2＋y 2＝10，即x 2＋(y －1)2＝4，由于点M 在直线l 上，所以直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋(y －1)2＝4相交或相切时满足题意，即|1＋a |2≤2，解得－22－1≤a ≤22－1.11．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为________，单调递增区间为________．解析：函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2kπ得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z .答案：π ⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z12．(2019·金丽衢十二校高三联考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3，表面积为________cm 2.解析：根据三视图可知，该几何体为如图所示三棱锥P -ABC ，所以其体积V ＝13Sh ＝13×12×4×3×1＝233，表面积S ＝12×4×3＋12×4×1＋12×2×2＋12×23×2＝4＋23＋ 6.答案：2334＋23＋ 613．(2019·河南八市重点高中质检)已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是________．解析：由题可得，圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，其圆心为(0，－1)，半径r ＝2.设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×（－1）＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.故直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0.答案：3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝014．对于任意两个正实数a ，b ，定义a *b ＝λ×a b .其中常数λ∈⎝⎛⎭⎫1，62，若8*3＝3，则λ＝________；若a ≥b >0，a *b 与b *a 都是集合{x |x ＝n2，n ∈Z }中的元素，则a *b ＝________．解析：由8*3＝3得λ×83＝3⇒λ＝98；λ×a b ＝m 2，λ×b a ＝n 2(m ，n ∈Z ，m >n )⇒λ2＝mn 4∈⎝⎛⎭⎫1，32⇒mn ＝5⇒m ＝5，n ＝1，所以a *b ＝52.答案：98 5215．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．解析：函数f (x )的大致图象如图所示，根据题意知只要m >4m －m 2即可，又m >0，解得m >3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)16．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．解析：若在[－1，1]内不存在c 满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0，即⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.解得p ≤－3或p ≥32，取补集得－3<p <32，即满足题意的实数p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32. 答案：⎝⎛⎭⎫－3，32 17．小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法种数为________．解析：根据题意，分3种情况讨论：①若小明的父母中只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C 12＝2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A 22＝2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A 22×A 23＝12种安排方法，此时有2×2×12＝48种不同坐法；②若小明的父母中只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2＝4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A 33＝6种情况，此时有2×2×6＝24种不同坐法；③小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A 22＝2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A 33＝6种情况，此时，共有2×6＝12种不同坐法；则一共有48＋24＋12＝84种不同坐法．答案：84[能力提升]1．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a ＜1b B ．a 2＞b 2 C.a c 2＋1＞b c 2＋1D ．a |c |＞b |c |解析：选C.取a ＝1，b ＝－1，排除A ，B ；取c ＝0，排除D ，故选C.2．(2019·金华市东阳二中高三调研)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A.由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 3．(2019·杭州市学军中学模拟)已知q 是等比数列{a n }的公比，则“q <1”是“数列{a n }是递减数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.数列－8，－4，－2，…，该数列是公比q ＝－4－8＝12<1的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数列{a n }的公比q <1，不能得出数列{a n }是递减数列；而数列－1，－2，－4，－8，…，是递减数列，但其公比q ＝－2－1>1，所以，由数列{a n }是递减数列，不能得出其公比q <1.所以，“q <1”是“等比数列{a n }是递减数列”的既不充分也不必要条件．故选D. 4．当a ＞0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 的图象大致是( )解析：选B.由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，因为a ＞0，所以x ＝－2a ＜0，故排除A ，C ；当x 趋向于－∞时，e x 趋向于0，故f (x )趋向于0，排除D.5．已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值为145B ．有最小值为145C ．没有最小值D ．有最大值为3解析：选B.因为a 2－b ＋4≤0，所以b ≥a 2＋4，a ，b >0.所以a ＋b ≥a 2＋a ＋4，所以a a ＋b ≤a a 2＋a ＋4，所以－a a ＋b ≥－a a 2＋a ＋4，所以u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a ＋1≥3－12a ·4a＋1＝145，当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.6．(2019·瑞安四校联考)已知Rt △AOB 的面积为1，O 为直角顶点，设向量a ＝OA→|OA →|，b ＝OB →|OB →|，OP →＝a ＋2b ，则P A →·PB →的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设A (m ，0)，B (0，n )，则a ＝(1，0)， b ＝(0，1)，OP →＝a ＋2b ＝(1，2)， P A →＝(m －1，－2)，PB →＝(－1，n －2)，Rt △AOB 的面积为1，即有mn ＝2，则P A →·PB →＝1－m －2(n －2)＝5－(m ＋2n )≤5－22mn ＝5－2×2＝1，当且仅当m ＝2n ＝2时，取得最大值1.7．(2019·绍兴一中高三期中)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为( )A ．相交直线B ．双曲线C ．抛物线D ．椭圆弧解析：选C.如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA ，BC ，设OB ＝a ，P (x ，y ，z )到直线OA ，BC 的距离相等，所以x 2＋z 2＝(x －a )2＋y 2，所以2ax －y 2＋z 2－a 2＝0，若被平面xOy 所截，则z ＝0，y 2＝2ax －a 2；若被平面xOz 所截，则y ＝0，z 2＝－2ax ＋a 2，故选C.8．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同分配方案的种数为( )A ．50B ．80C ．120D ．140解析：选B.根据题意，分2种情况讨论：①甲组有2人，首先选2个放到甲组，共有C 25＝10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C 23A 22＝6种结果，所以根据分步乘法计数原理知共有10×6＝60种结果，②当甲中有三个人时，有C 35A 22＝20种结果，所以共有60＋20＝80种结果，故选B. 9．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：选D.由x ＜g (x )得x ＜x 2－2，所以x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，所以－1≤x ≤2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74，x ＜－1或x ＞2，⎝⎛⎭⎫x －122－94，－1≤x ≤2.当x ＜－1时，f (x )＞2；当x ＞2时，f (x )＞8.所以当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.所以当x ∈[－1，2]时，函数的值域为⎣⎡⎦⎤－94，0. 综上可得f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)． 10．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，且f (e)＝1e ，其中e 为自然对数的底数，则不等式f (x )＋e>x ＋1e的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 解析：选B.根据题意，令g (x )＝xf (x )，则有g ′(x )＝[xf (x )]′＝xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，则g (x )＝12(ln x )2＋C ，即xf (x )＝12(ln x )2＋C ，则有f (x )＝12x (ln x )2＋Cx，又由f (e)＝1e ，即f (e)＝12e ＋C e ＝1e ，解可得C ＝12，故f (x )＝12x (ln x )2＋12x ，令h (x )＝f (x )－x ，则h ′(x )＝f ′(x )－1＝－（ln x ＋1）22x 2－1<0，故函数h (x )＝f (x )－x 在(0，＋∞)上递减，不等式f (x )＋e>x ＋1e ，即f (x )－x >1e －e ＝f (e)－e ，则有0<x <e ，即不等式f (x )＋e>x ＋1e的解集为(0，e)．故选B.11．比较lg 2，(lg 2)2，lg(lg 2)的大小，其中最大的是________，最小的是________．解析：因为lg 2∈(0，1)，0<(lg 2)2<lg 2，lg(lg 2)<0，所以最大的是lg 2，最小的是lg(lg 2)．答案：lg 2 lg(lg 2)12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是________；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，则EX ＝________．解析：抽奖1次，不中奖的概率为610×510＝310，所以抽奖1次能获奖的概率为1－310＝710；抽奖1次获一等奖的概率为410×510＝15，所以随机变量X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15，所以EX ＝3×15＝35.答案：710 3513．在△ABC 中，D 是AC 边的中点，A ＝π3，cos ∠BDC ＝－27，△ABC 的面积为33，则sin ∠ABD ＝________，AC ＝________．解析：过B 作BH ⊥AC 于H ，则cos ∠BDH ＝DH BD ＝27，设DH ＝2k (k >0)，则BD ＝7k ，所以BH ＝BD 2－DH 2＝3k ，在Rt △ABH 中，∠A ＝π3，所以AH ＝BH3＝k ，所以AD ＝3k ，AC ＝6k ，又S △ABC ＝12×AC ×BH ＝12×6k ×3k ＝33k 2＝33，解得k ＝1，所以AC ＝6，在△ABD 中，BD sin A ＝ADsin ∠ABD，所以732＝3sin ∠ABD 解得sin ∠ABD ＝32114.答案：32114614．(2019·杭州市七校高三联考)抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，则m 等于________．解析：由条件得A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点连线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1，而y 2－y 1＝2(x 22－x 21)，得x 1＋x 2＝－12，且(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在直线y ＝x ＋m 上，即y 1＋y 22＝x 1＋x 22＋m ，即y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m .又因为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，所以有2(x 21＋x 22)＝x 1＋x 2＋2m ，即2[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＝x 1＋x 2＋2m ，可得2m ＝3，解得m ＝32.答案：3215．用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1 524)的概率＝________．解析：用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，基本事件总数n ＝A 45＝120，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的基本事件有：1 352，1 425，1 524，3 142，3 524，3 514，3 152，5 241，5 314，5 142，共10个，所以千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1 524)的概率：p ＝10120＝112.答案：11216．已知a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，若向量λa ＋b 与a ＋λb 夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析：因为a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，所以λa ＋b ＝(3λ＋2，2λ－1)，a ＋λb ＝(3＋2λ，2－λ)，因为向量λa ＋b 与a ＋λb 夹角为锐角，所以(λa ＋b )·(a ＋λb )＝(3λ＋2)×(3＋2λ)＋(2λ－1)×(2－λ)>0. 且(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)≠0，整理可得，4λ2＋18λ＋4>0且λ≠±1.解不等式可得，λ>－9＋654或λ<－9－654且λ≠1.答案：λ>－9＋654或λ<－9－654且λ≠117．(2019·广州市综合测试(一))设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________．解析：a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝1，q ＝n ，则有a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n ＋2，故{a n }是等差数列，所以a n ＝2n ，S n ＝2×（1＋n ）n 2＝n 2＋n ，f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝（n ＋1）2－（n ＋1）＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1.当n ＋1＝8时，f (7)＝8＋608－1＝292；当n ＋1＝7时，f (6)＝7＋607－1＝1027，因为292<1027，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292.答案：292。

2020届高考数学大二轮复习下篇指导四高考创新题型揭秘教学案

指导四高考创新题型揭秘创新型数学问题的命制是以集合、函数图象与性质、立体几何、数列、复数等常规知识为基础,并用新的背景、新的情境等进行“包装"，使平淡的数学题焕发出新的活力,充满了无穷的魅力．此类问题有利于考查考生在新情境下分析问题、解决问题的实际能力，有利于考查考生的发散性思维能力和探索、创新精神，是各级各类考试中一道亮丽的风景线．设置“新定义”“新定义”试题是指给出一个考生从未接触过的新规定、新概念，要求考生现学现用，其目的是考查考生的阅读理解能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质．此类问题可能以文字的形式出现，也可能以数学符号或数学表达式的形式出现，要求考生要先准确理解“新定义"的特点,再加以灵活运用．特别提醒：“给什么，用什么”是应用“新定义”解题的基本思路．［例1］（2020·唐山调研）若函数e x f(x）(e＝2。

718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．①f(x）＝2－x②f（x)＝3－x③f（x)＝x3④f(x)＝x2＋2[解析] 设g(x）＝e x f（x）．对于①，g(x)＝e x·2－x(x∈R)，g′(x）＝e x·2－x－e x·2－x·ln 2＝(1－ln 2)·e x·2－x＞0,∴函数g(x)在R上单调递增，故①中f（x)具有M性质．对于②，g（x)＝e x·3－x(x∈R），g′(x)＝e x·3－x－e x·3－x·ln 3＝（1－ln 3）·e x·3－x＜0，∴函数g(x)在R上单调递减，故②中f(x）不具有M性质．对于③，g(x)＝e x·x3（x∈R），g′（x)＝e x·x3＋e x·3x2＝(x＋3)·e x·x2，当x＜－3时,g′(x)＜0，g（x)单调递减,故③中f（x）不具有M性质．对于④，g（x)＝e x·（x2＋2)(x∈R)，g′(x)＝e x·（x2＋2）＋e x·2x＝(x2＋2x＋2）·e x＝[(x＋1)2＋1］·e x＞0，∴函数g(x)在R上单调递增，故④中f(x)具有M性质．综上，具有M性质的函数的序号为①④.[答案] ①④解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对函数f（x)所具有M性质的理解，将问题转化为判定函数是否具有此性质．［活学活用1](2019·青岛三模）已知函数y＝f（x)(x∈R）．对于函数y＝g(x)（x∈I），定义g(x）关于f(x）的“对称函数”为函数y＝h（x)（x∈I),y＝h（x）满足：对任意x∈I，两个点(x,h(x）)，（x，g（x))关于点（x，f（x）)对称．若h(x)是g(x)＝错误!关于f（x）＝3x＋b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是____________．解析：由于g(x）＝错误!的图象是圆x2＋y2＝4在x轴上方的半圆(包括与x 轴的交点)，设这个半圆的一条切线方程为y＝3x＋b1，则有错误!＝2，解得b1＝2错误!,要使得h(x)＞g(x)恒成立，则需b＞b1＝2错误!。

2020版高考数学二轮复习专题教案汇编全集理

第1讲三角函数的图象与性质[做小题——激活思维]1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．πD ．π2C [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π.故选C.] 2．函数y ＝cos 2x 图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2D [由题意易知其一条对称轴的方程为x ＝π2，故选D.]3．函数g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值为________．－32 [因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.]4．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) [由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．]5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该函数的解析式为________．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3[由题图易知A ＝2，由T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，可知ω＝2πT ＝2ππ＝2.于是y ＝2sin(2x＋φ)，把⎝⎛⎭⎪⎫π6，0代入y ＝2sin(2x ＋φ)得，0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ，故π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|＜π2，故φ＝－π3，综上可知，该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.]6．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为________．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12 [将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6――――――――――――→函数图象上所有的点向左平移π4个单位长度y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12―――――――――――→横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin 12x ＋5π12.][扣要点——查缺补漏]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)表达式的确定A 由最值确定；ω由周期确定T ＝2πω；φ由五点中的零点或最值点作为解题突破口，列方程确定即ωx i ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，如T 5.2．三种图象变换：平移、伸缩、对称注意：由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需向左或向右平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位，如T 6.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的性质研究三角函数的性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正、余弦函数与复合函数的性质求解．(1)T ＝2πω，如T 1.(2)类比y ＝sin x 的性质，将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看作一个整体t ，可求得函数的对称轴、对称中心、单调性、最值．①y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得，对称中心可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．②y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得，对称中心可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．注意对称中心必须写成点坐标．如T 2.③y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数，对称中心可由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )求得．④单调性、最值，如T 3，T4.三角函数的值域、最值问题(5年3考)[高考解读] 高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，求最值时，一般化为f x ＝A sin ωx ＋φ＋B 的形式或化f x 为二次函数形式，难度中等.预测2020年会依旧延续该命题风格.1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．－4 [∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴f (x )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (x )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，f (x )有最小值－4.]2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．1 [f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.] 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．－332[因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos x ＋1)，由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12，2k π＋π3≤x ≤2k π＋π或2k π－π≤x ≤2k π－π3，k ∈Z ，所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332.] [教师备选题]1．(2013·全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.－255 [y ＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，设15＝cos α，25＝sin α，则y ＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)． ∵x ∈R ∴x －α∈R ，∴y max ＝ 5. 又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.]2．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φ·cos(x ＋φ)的最大值为________．1 [∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.]三角函数值域(最值)的3种求法(1)直接法：利用sin x ，cos x 的有界性直接求．(2)单调性法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，采用整体思想，求出ωx ＋φ的范围，根据y ＝sin x 的单调性求出函数的值域(最值)．(3)换元法：对于y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 和y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x cos x ＋c 型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．1．(求取得最值时的变量x )当函数y ＝3sin x －cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.2π3 [∵y ＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∵0≤x ＜2π，∴－π6≤x －π6＜11π6.∴当x －π6＝π2，即x ＝2π3时，函数取得最大值．]2．(求参数的范围)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π3上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，3 [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π3上有最大值，但没有最小值，所以ω·π12＋π4＜π2＜ω·π3＋π4≤3π2⇒ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，3.] 3．(与导数交汇求最值)已知函数f (x )＝2cos x ＋sin 2x ，则f (x )的最大值为________． 332 [∵f ′(x )＝－2sin x ＋2cos 2x ＝2－4sin 2x －2sin x ＝－2(2sin x －1)(sin x ＋1)，由f ′(x )＝0得sin x ＝12或sin x ＝－1.∴当－1＜sin x ＜12时，f ′(x )＞0，当12＜sin x ＜1时，f ′(x )＜0.∴当sin x ＝12时，f (x )取得极大值．此时cos x ＝－32或cos x ＝32. 经验证可知，当cos x ＝32时，f (x )有最大值，又f (x )＝2cos x (sin x ＋1)， ∴f (x )max ＝2×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝332.]三角函数的图象(5年5考)[高考解读] 高考对该点的考查主要有两种：一是由图象求解析式；二是图象的平移变换.前者考查图象的识别和信息提取能力，后者考查逻辑推理能力.估计2020年高考会侧重考查三角函数图象变换的应用.1.(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 A [根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A ，ω与φ的值．由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.]2．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2D [因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选D.] [教师备选题](2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．2π3 [因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋Β(Α＞0，ω＞0)解析式的方法字母确定途径说明A 、B 由最值确定 A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min2ω由函数的周期确定利用图象中最高点、最低点与x 轴交点的横坐标确定周期φ由图象上的特殊点确定代入图象上某一个已知点的坐标，表示出φ后，利用已知范围求φ提醒：三角函数图象的平移问题(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，如T 2. (2)将y ＝sin ωx (ω＞0)的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应把ωx ＋φ变换成ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω，根据⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω确定平移量的大小，根据φω的符号确定平移的方向．1.(知图求值)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f (2 019)的值为________．－1 [由题图易知，函数f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－1＝6，所以ω＝2πT ＝π3，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，将(0,1)代入，可得A sin φ＝1，所以f (2 019)＝f (6×336＋3)＝f (3)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝－A sin φ＝－1.]2．(平移变换的应用)将偶函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π12个单位长度后，得到的曲线的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π12，0(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋π6，0(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋7π36，0(k ∈Z )A [因为函数f (x )＝sin(3x ＋φ)为偶函数且0＜φ＜π，所以φ＝π2，f (x )的图象向右平移π12个单位长度后可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，分析选项知⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )为曲线y ＝g (x )的对称中心．故选A.]3．(与函数的零点交汇)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]，|cos x |，x ∈π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[1,2]C ．(0,1]D ．(1,2)A [画出函数f (x )在[0,2π]上的图象，如图所示：若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，即y ＝f (x )和y ＝m 在[0,2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，知0＜m ＜1.]三角函数的性质及应用(5年7考)[高考解读] 高考对该点的考查主要立足两点，一是函数性质的判断或求解，二是利用性质求参数的范围值，准确理解y ＝sin x y ＝cos x 的有关性质是求解此类问题的关键.预测2020年以考查函数性质的应用为主.1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 D [A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，由f ⎝⎛⎭⎪⎫8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋π3＝cos 3π＝－1，可知B 正确；C 项，由f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π＝－cos π2＝0，故C正确．D 项，由f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝cos π＝－1可知，D 不正确．]2．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2C.3π4D ．πA [法一：(直接法)f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0＜a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.法二：(单调性法)因为f (x )＝cos x －sin x ，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立，即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象(图略)，可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4，所以0＜a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.]3．[重视题][一题多解](2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③C [法一：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确；当π2＜x ＜π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.法二：∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2＜x ＜π时，f (x )＝sin x ＋sin x＝2sin x ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确，排除A ；∵y ＝sin |x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )的最大值为2，故④正确．故选C.法三：画出函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的图象，由图象可得①④正确，故选C.][教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D [由图象知，最小正周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.]2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5B [先根据函数的零点及图象、对称轴，求出ω，φ满足的关系式，再根据函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36的区间长度不大于函数f (x )周期的12，然后结合|φ|≤π2计算ω的最大值．因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调的条件．故选B.]1．求三角函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线(余弦曲线)相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．1．(求单调区间)(2019·武昌调研)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) B [因为f (x )＝232sin ωx －12cos ωx ＝2sin ωx －π6，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B.]2．(求参数的值)已知函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92D ．6A [依题意，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＝0，∴2π3ω＝k π(k ∈Z )． ∴ω＝3k2(k ∈Z )．又f (x )＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，∴0＜ω·π4≤π2，即0＜ω≤2.∴k ＝1，ω＝32，故选A.]3．(求参数的范围)(2019·攀枝花模拟)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3(ω＞0)同时满足下列三个条件：①|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π2；②y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3是奇函数；③f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6.若f (x )在[0，t )上没有最小值，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，5π12B.⎝⎛⎦⎥⎤0，5π6C.⎝⎛⎦⎥⎤5π12，11π12D.⎝⎛⎦⎥⎤5π6，11π12D [由①得周期为π，ω＝2.由y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3是奇函数且f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，可得其中一个φ＝－2π3，那么f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵x ∈[0，t )，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，2t －π3.因为f (x )在[0，t )上没有最小值，可得t ＞0，且f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－32，4π3＜2t －π3≤3π2，解得5π6＜t ≤11π12，故选D.]第2讲恒等变换与解三角形[做小题——激活思维]1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15 B.59 C.53D ．1B [根据a sin A ＝bsin B，有313＝5sin B ，得sin B ＝59.故选B.] 2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3D.π3或2π3C [由a 2＝b 2＋bc ＋c 2，得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，由余弦定理的推论得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝2π3.]3．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．17C ．－7D ．－17B [sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝－[cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β]＝－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.] 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，C ＝π3，△ABC 的面积为334，则c ＝( )A ．13B ．3 3C ．7D ．13C [∵△ABC 的面积为334，∴12ab sin C ＝12×3×b ×32＝334，∴b ＝1，∴由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝32＋12－2×3×1×12＝7.故选C.]5．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.－56 [sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1 ＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.] 6．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． π [∵y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.][扣要点——查缺补漏]1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，如T 1. 2．余弦定理及其变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，如T 2.3．如图所示，在△ABC 中，AD 平分角A ，则AB AC ＝BDDC.4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan α1∓tan αtan β，如T 3.5．面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )·r (其中r 为△ABC 内切圆的半径)，如T 4.6．二倍角公式及其变形 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.如T5. 7．辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2，如T6.三角恒等变换(5年3考)[高考解读] 高考对该点的考查突出一个“变”字，即“变角、变名、变形”.从“角”入手，用活三角恒等变换公式是破解此类问题的关键.预测2020年高考还是以给值求值为主.1．[一题多解](2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α ＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－725D [法一：(公式法)cos π4－α＝35，sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－725，故选D.法二：(整体代入法)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(sin α＋cos α)＝35，得sin α＋cos α＝352，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1825，即sin 2α＝2sin αcos α＝－725.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.－12 [∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.][教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]2．[一题多解](2014·全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2B [法一：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2， ∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z ，∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z . 当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.]三角函数式化简求值的“三看”原则(1)看“角”：分析未知角与已知角间的差别与联系，实现角的合理拆分； (2)看“名”：常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一；(3)看“形”，常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一．1．(给值求值)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525B.255 C.2525或255D.55或525A [因为α，β都是锐角，且cos α＝55＜12，所以π3＜α＜π2，又sin(α＋β)＝35＞12，所以π2＜α＋β＜5π6，所以cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255，cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝2525，故选A.]2．(给角求值)(2019·安阳模拟)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°等于( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1C [sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－cos 70°sin 20°＝－1.]3.(给值求角)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255，则α＋2β的值为________．3π4 [∵cos α＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝7210，∴tan α＝7；cos β＝255，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝55， ∴tan β＝12，∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝43， ∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋2β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2，∴α＋2β＝3π4.]利用正、余弦定理解三角形(5年11考)[高考解读] 高考对该点的考查常以平面几何图形为载体，借助三角恒等变换公式及正余弦定理实现边角的相互转化，从而达到求值的目的，预测2020年高考依旧这样考查. 1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6C [根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab＝cosC ，所以在△ABC 中，C ＝π4.]2．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．切入点：△ABC 面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .关键点：余弦定理公式的变形：a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A. [解](1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A.故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33. [教师备选题]1．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为____________．63 [法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.]2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解](1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin∠ADB .由题设知，5sin 45°＝2sin∠ADB ，所以sin∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB ＜90°，所以cos∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos∠BDC ＝sin∠ADB ＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×2 5＝25.即BC＝5.用正、余弦定理求解三角形注意2点,1分析已知的边角关系，选择恰当的公式、定理.,结合三角形固有的性质三角形内角和，大边对大角等求解三角形.2在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A中，有b2＋c2和bc两项，二者的关系b2＋c2＝b＋c2－2bc经常用到.提醒：解三角形时忽视对三角形解的个数讨论而出错.1．(以平面图形为载体)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B. 6C.7D ．2 2C [如图，在△ACD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以∠CAD ＝60°.又∠BAD ＝120°，所以∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos∠BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.]2．(知识间的内在联系)已知△ABC 的面积为S ，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4S ＝a 2－(b －c )2，bc ＝4，则S ＝( )A ．2B ．4 C. 3D ．2 3A [由4S ＝a 2－(b －c )2可得4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，∴2bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，即sin A ＋cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝22，又0＜A ＜π，所以π4＜A ＋π4＜5π4，即A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4＝2.故选A.]3．(以空间图形为载体)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.1039 [设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h .在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，则由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m ．]4．(恒等变换与解三角形)(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．[解](1)∵a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.∴由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝9＋(b －2)2－2×3×(b －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∴b ＝7，∴c ＝b －2＝5.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－12，∴s in B ＝32，由正弦定理：c sin C ＝bsin B ，∴sin C ＝c sin Bb ＝5×327＝5314，∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C ＝1114，∴sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝32×1114－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×5314＝437. 与三角形有关的最值(范围)问题(5年1考)[高考解读] 与三角形有关的最值范围问题主要涉及三角形的内角、边长、周长、面积等的最大、最小值问题，借助三角函数的有界性及均值不等式建立不等关系是解答此类问题的关键所在.(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A.(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．切入点：(1)借助正弦定理及三角形内角和定理求解；(2)由△ABC 为锐角三角形求得C 的范围，借助正弦定理及三角函数的有界性求面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A.因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cosB 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin 120°－C sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C <90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32. [教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．(6－2，6＋2) [如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，B Esin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.]2．(2013·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．[解](1)由题意及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， ① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ②由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.与三角形有关的最值(范围)问题的求解策略策略一：可选择适当的参数将问题转化为三角函数的问题处理，解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的函数的最值问题，然后根据参数的范围求解．策略二：借助正、余弦定理，化角为边，然后借助均值不等式对含有a 2＋b 2，a ＋b ，ab 的等式求最值．1．(角度的最值范围问题)(2019·武汉模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，则角B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πC [∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又B ∈(0，π)，∴B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，故选C.] 2．(长度的最值范围问题)在△ABC 中，若C 是钝角，且B ＝π3，则ca 的取值范围是________．(2，＋∞) [∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6.由正弦定理，得c a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0＜tan A ＜33，∴1tan A＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2，即ca＞2.] 3．(综合应用)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(sin C ，sin A )，且m ∥n .(1)若cos A ＝12，b ＋c ＝6，求△ABC 的面积；(2)求absin B 的取值范围．[解] 因为m ∥n ，所以sin 2A ＝sinB sinC ，结合正弦定理可得a 2＝bc . (1)因为cos A ＝12，所以b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即b ＋c 2－3bc 2bc ＝12，解得bc ＝9.从而△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝12×9×32＝934，故△ABC 的面积为934.(2)因为a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时，取等号)．因为0<A <π，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.由正弦定理，知0<absin B ＝sin A ≤32，所以a b sin B 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，32.解密高考① 三角函数问题重在“变”——变式、变角————[思维导图]————————[技法指津]————1．常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换，如：75°＝30°＋45°； (2)已知角与目标角的变换，如：π3＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α； (3)角与其倍角的变换，如：α＋β＝2·α＋β2；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β等．2．常用的变式技巧(1)解决与三角函数性质有关的问题，常先将它的表达式统一化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；(2)涉及sin x ±cos x 、sin x ·cos x 的问题，常做换元处理，如令t ＝sin x ±cos x ∈[－2，2]，将原问题转化为关于t 的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sin C. 本题考查：三角恒等变换、正(余)弦定理等知识，等价转化、转化化归的能力，数学运算、逻辑推理等核心素养.[审题指导·发掘条件](1)看到sin A、sin B、sin C的等量关系，想到利用正(余)弦定理求A；(2)看到边a，b，c的等量关系想到利用正弦定理化边为角，看到求sin C想到B＝180°－A－C；缺与角C的相关的三角函数值，借助同角三角函数的关系补找该条件．[构建模板·四步解法] 三角函数类问题的求解策略第一步找条件第二步巧转化第三步得结论第四步再反思分析寻找三角形中的边角关系根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化利用三角恒等变换进行变形，得出结论审视转化过程的等价性与合理性母题突破：2019年天津高考，本小题满分12分在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C . (1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． [解](1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sinC ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a . 1分又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a . 2分由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.4分(2)由(1)得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 5分从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158， 6分 cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，8分故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6 10分＝－158×32－78×12＝－35＋716. 12分第1讲等差数列、等比数列[做小题——激活思维]1．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( ) A ．9 B ．22 C ．24D ．32C [依题意得，数列{a n }是公差为2的等差数列，a 1＝a 2－2＝3，因此数列{a n }的前4项和等于4×3＋4×32×2＝24，选C.]2．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2nA [设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n n －12d ＝n 2－4n .故选A.]3．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28D ．35C [∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.]4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－13，则{a n }的前10项和等于________．34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1310 [由3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－13得{a n }成首项为1，公比q ＝－13的等比数列，∴S 10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1310.] 5．在等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 4a 6等于________．32 [因为a 2a 8＝a 4a 6＝6 ①，又a 4＋a 6＝5 ②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 6＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 6＝3(舍)，所以a 4a 6＝32.][扣要点——查缺补漏]1．判断等差(比)数列的常用方法 (1)定义法：若a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ＝q ，q 为常数，q ≠0，则{a n }为等差(比)数列，如T 1，T 4.(2)中项公式法． (3)通项公式法．2．等差数列的通项公式及前n 项和公式 (1)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ； (2)S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d .如T 2.3．等比数列的通项公式及前n 项和公式 (1)a n ＝a 1qn －1＝a m ·qn －m(q ≠0)；(2)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.如T 4.4．等差数列与等比数列的性质(1)在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .如T 3.(2)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．(3)在等差数列{a n }中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等差数列．(4)在等比数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .如T 5. (5)在等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外).等差(比)数列的基本运算(5年9考) [高考解读] 高考对该点的考查以等差数列、等比数列的通项公式与求和公式为考查目。

2020浙江新高考数学二轮复习课件：专题一 6 第6讲导数的综合应用

上一页
返回导航
下一页
专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
14
[典型例题] (2019·高考浙江卷)已知实数 a≠0，设函数 f(x)＝aln x＋ 1＋x，x>0. (1)当 a＝－34时，求函数 f(x)的单调区间； (2)对任意 x∈e12，＋∞均有 f(x)≤2ax，求 a 的取值范围．注：e＝2.718 28…为自然对数的底数．
上一页
返回导航
下一页
专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
24
所以 φ(x)＝ln xx－2在[1，e]上单调递增，φ(x)∈[－2，－1e]，所以 h(x)∈[12，e]，即12≤xm2＋ln x≤e，在[1，e]上恒成立，即x22－x2ln x≤m≤x2(e－ln x)，在[1，e]上恒成立，设 p(x)＝x22－x2ln x，则 p′(x)＝－2xln x≤0，在[1，e]上恒成立，
上一页
返回导航
下一页
专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
27
[典型例题] (2019·浙江省重点中学高三联考)已知方程|coxs x|＝k(k＞0)有且仅有两个不同的实数解 θ，φ(θ＞φ)，则以下有关两根关系的结论正确的是( ) A．cos φ＝φsin θ B．sin φ＝－φcos θ C．cos θ＝θcos φ D．sin θ＝－θsin φ
x
故 q(x)在e12，17上单调递增，所以 q(x)≤q17.
上一页
返回导航
下一页
专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
20
由①得，q17＝－27 7p17<－27 7p(1)＝0.
所以 q(x)<0.因此，g(t)≥g

(浙江专版)2020版高考数学复习第二章不等式第二节一元二次不等式及其解法学案(含解析)

(浙江专版)2020版高考数学复习第二章不等式第二节一元二次不等式及其解法学案(含解析)第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系鉴别式＝ b 2－ 4ac＞ 0＝ 0＜0二次函数 y ＝ ax 2＋ bx＋ c ( a ＞ 0) 的图象一元二次方程 ax 2＋有两相异实根有两相等实根bx ＋ c ＝ 0 ( a ＞ 0) 的没有实数根x 1， x 2 ( x 1＜ x 2)x 1＝ x 2＝－ b2根a一元二次不等式ax 2＋ bx ＋ c ＞ 0{ x | x ＜x 1 或 x ＞ x 2}x x ≠－bR2a ( a ＞ 0) 的解集一元二次不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＜ 0 ( a ＞ 0){ x | x ＜ x ＜ x }??12的解集[ 小题体验 ]1．(2019 ·温州模拟 ) 已知会合 A ＝ { x | x 2－ 3x ＋ 2＜ 0} ，B ＝ { x | x ≥1} ，则 A ∩ B ＝( )A ． (1,2)B ． (2 ，＋∞)C ． (1 ，＋∞)D ． ?分析：选A由题意知，A ＝ { x |1 ＜x ＜ 2} ，故 A ∩B ＝{ x |1 ＜ x ＜2} ．2． ( 教材习题改编 ) 不等式－ x 2＋ 2x －3＞ 0 的解集为 ________．答案： ?3．不等式 ax 2＋ abx ＋ b ＞ 0 的解集为 { x |2 ＜ x ＜3} ，则 a ＝ ________， b ＝ ________. 分析：由题意知 2,3 是 ax 2＋ abx ＋ b ＝ 0 的两根，ab2＋ 3＝－ a ＝－ b ，则b2×3＝ a ，(浙江专版)2020版高考数学复习第二章不等式第二节一元二次不等式及其解法学案(含解析)b ＝－ 5，得5 a ＝－6.5答案：－ 6 －51．对于不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞ 0，求解时不要忘掉议论 a ＝0 时的情况．2．当＜ 0 时， ax 2＋ bx ＋c ＞ 0( a ≠0) 的解集为R 仍是 ?，要注意差别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，防止盲目议论．[ 小题纠偏 ]x － 31．不等式 x － 1≤0的解集为 ( )A ． { x | x ＜ 1 或 x ≥3}B ． { x |1 ≤ x ≤3}C ． { x |1 ＜ x ≤3}D ． { x |1 ＜ x ＜3}x － 3x －x －，分析：选C由x － 1≤0，得x －1≠0，解得 1＜ x ≤3.2的解集为 R ，则 m 的取值范围是 ________． 2．若不等式 mx ＋2mx ＋ 1＞0 分析：①当 m ＝0 时， 1＞0 明显建立．m ＞ 0，m ＜得 0＜m ＜ 1.②当 m ≠0时，由条件知2－0.＝ 4m4由①②知 0≤ m ＜ 1.答案： [0,1)考点一一元二次不等式的解法基础送分型考点——自主练透[ 题组练透 ]2x 2 ＋1， x ≤0，则不等式 f ( x ) － x ≤2的解集是 ________．1．已知函数 f ( x ) ＝－ 2x ， x ＞ 0，21分析：当 x ≤0时，原不等式等价于2x ＋1－ x ≤2，∴－ 2≤ x ≤0；当 x ＞ 0 时，原不等式等价于－ 21 x － x ≤2，∴ x ＞0. 综上所述，原不等式的解集为x x ≥－.21答案：x x ≥－ 22x＋ 12．不等式x－5≥－1的解集为 ________．3 － 4分析：将原不等式移项通分得x－5≥0，x－x－5，4.等价于解得 x＞5或 x≤x－5≠0，3因此原不等式的解集为4x x≤或 x＞5.3答案： x4x≤或 x＞533．解以下不等式：(1)( 易错题 ) － 3x2－ 2x＋8≥0；x＋5(2)x－2≥2.解： (1)原不等式可化为3x2＋ 2x－8≤0，即 (3 x－ 4)( x＋2) ≤0. 解得－ 2≤x≤4 3，因此原不等式的解集为x －2≤ x≤4. 3(2) 不等式等价于x≠1，x＋x－2，即x≠1，2x2－ 5x－3≤0，1解得－2≤ x＜1或1＜ x≤3.1因此原不等式的解集为x －2≤x＜1或1＜ x≤3.[ 牢记通法 ]解一元二次不等式的 4 个步骤考点二含参数的一元二次不等式的解法要点保分型考点——师生共研[ 典例引领 ]解对于 x 的不等式 ax2－( a＋1) x＋1＜0( a＞0)．解：原不等式变成( ax－ 1)( x－ 1) ＜ 0，1因为 a＞0，因此 a x－a( x－1)＜0，1因此当 a＞1时，解为a＜x＜1；当 a＝1时，解集为 ?；1当 0＜a＜ 1 时，解为 1＜x＜a.综上，当 0＜a＜ 1 时，不等式的解集为1. x 1＜ x＜a当 a＝1时，不等式的解集为?.1当 a＞1时，不等式的解集为x a＜ x＜ 1.[ 由题悟法 ]解含参数的一元二次不等式时分类议论的依照(1)二次项中若含有参数应议论是等于 0，小于 0，仍是大于 0，而后将不等式转变成一次不等式或二次项系数为正的形式．(2) 当不等式对应方程的根的个数不确准时，议论鉴别式与0的关系．(3)确立无根时可直接写出解集，确立方程有两个根时，要议论两根的大小关系，从而确立解集形式．[提示]当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘掉议论其等于0 的状况．[ 即时应用 ]1．已知不等式ax2－－1≥0的解集是－1，－1，则不等式2－bx－＜ 0 的解集是bx23x a ()A． (2,3)B． ( －∞， 2) ∪(3 ，＋∞)1 1C.3，21 1D. －∞，3∪2，＋∞分析：选 A112－ bx－1＝0的根，因此由根与系数的关系得由题意知－，－是方程 ax2311b11122－2＋－3＝a，－2× －3＝－a. 解得a＝－ 6，b＝5，不等式x － bx－ a＜0，即为 x －5x ＋6＜ 0，解集为 (2,3) ．2．若不等式2ax＋5x－2＞0的解集是1x 2＜x＜2.(1)务实数 a 的值；(2)求不等式 ax2－5x＋ a2－1＞0的解集．解： (1)由题意知a＜0，且方程2ax＋5x－2＝0的两个根为12， 2，代入解得a＝－2.(2) 由 (1)知不等式为－2x2－ 5x＋ 3＞0，即 2x2＋ 5x－ 3＜ 0，解得－ 3＜x＜1，2即不等式1 ax2－5x＋a2－1＞0的解集为－3，2 .考点三一元二次不等式恒建立问题题点多变型考点——多角探明[ 锁定考向 ]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着亲密的联系．在解决详细的数学识题时，要注意三者之间的互相联系，并在必定条件下互相变换．对于一元二次不等式恒建立问题，常依据二次函数图象与x 轴的交点状况确立鉴别式的符号，从而求出参数的取值范围．常有的命题角度有：(1)形如 f ( x)≥0( f ( x)≤0)( x∈R)确立参数的范围；(2)形如 f ( x)≥0( x∈[ a，b])确立参数的范围；(3) 形如f ( x) ≥0( 参数m∈ [ a，b]) 确立x的范围．[ 题点全练 ]角度一：形如 f ( x)≥0( f ( x)≤0)( x∈R)确立参数的范围231．若不等式2kx＋kx－8＜0 对一确实数x都建立，则k的取值范围为 ()A． ( －3,0)B． [ － 3,0)C． [ －3,0] D ．(－ 3,0]分析：选 D当 k＝0时，明显建立；当k ≠0时，即一元二次不等式 2 2 ＋kx－3＜0 对一确实数x都建立，则kx8k＜0，＝ k2－4×2k× －3解得－ 3＜k＜ 0.＜ 0，8综上，知足不等式2kx2＋kx－3＜ 0对一确实数 x 都建立的 k 的取值范围是(－3,0]．8角度二：形如f (x) ≥0(x∈ [，])确立参数的范围a b2．已知函数f ( x) ＝－x2＋ax＋b2－b＋1( a∈ R，b∈ R) ，对随意实数x都有f (1 －x) ＝f (1＋x)建立，若当 x∈[－1,1]时， f ( x)＞0恒建立，则 b 的取值范围为________．a 分析：由 f (1－x)＝ f (1＋x)知 f ( x)的图象对于直线x＝1对称，即2＝1，解得 a＝2.又因为 f ( x)张口向下，因此当 x∈[－1,1]时， f ( x)为增函数，因此 f ( x)min＝ f (－1)＝－1－2＋ b2－ b＋1＝ b2－ b－2，f ( x)＞0恒建立，即 b2－ b－2＞0恒建立，解得＜－1或b ＞ 2.b因此 b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案： ( －∞，－ 1) ∪ (2 ，＋∞)角度三：形如f (x) ≥0( 参数∈ [a，]) 确立x的范围m b3．若不等式x2＋ ( a－6) x＋ 9－ 3a＞ 0在 | a| ≤1时恒建立，则x的取值范围是 ________．分析：将原不等式整理成对于 a 的不等式( x－3) a＋ x2－6x＋9＞0.令 f ( a)＝( x－3) a＋ x2－6x＋9.因为 f ( a)＞0在| a|≤1时恒建立，因此(1)若 x＝3，则 f ( a)＝0，不切合题意，应舍去．f－＞0，(2)若 x≠3，则由一次函数的单一性，可得f＞ 0，x2－7x＋12＞0，x ＜ 2 或x＞ 4.即2－ 5x＋ 6＞ 0，解得x故 x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．答案： ( －∞， 2) ∪ (4 ，＋∞)[ 通法在握]一元二次型不等式恒建立问题的方法3 大破解方法解读合适题型(1)ax2＋bx＋ c≥0对随意实数 x 恒建立的条鉴别式法a＞0，二次不等式在R上恒建立件是( 如“题点全练”第 1 题 )≤ 0；(2) ax2＋bx＋c≤0对随意实数x 恒建立的条a＜0，件是≤0假如不等式中的参数比较“孤独”，分别后其系数与0 能比较大小，即可将参数分别出合适参数与变量能分别且分别参数法来，利用下边的结论求解：a≥ f ( x)恒建立 f ( x)的最值易求等价于a≥ f ( x)max； a≤ f ( x)恒建立等价于( 如“操练冲关”第 2 题 )a≤ f ( x)min把变元与参数互换地点，结构以参数为变量的函数，依据原变量的取值范围列式求若在分别参数时会碰到议论解．常有的是转变成一次函数 f ( x)＝ ax＋b( a≠0)在[ m， n]恒建立问题，若参数与变量，使求函数的最值f ( x)＞0主参换位法比较麻烦，或许即便能简单分f m ＞0，恒建立 ?离出却难以求出时f n＞0，( 如“题点全练”第 3 题 )f m ＜0，若 f ( x)＜0恒建立?f n＜0[ 操练冲关]1．(2018 ·台州模拟) 不等式a2＋8b2≥ λ b( a＋ b)对于随意的a， b∈R恒建立，则实数λ 的取值范围为________．分析：因为a2＋8b2≥λ b( a＋b)对于随意的a， b∈R恒建立，因此a2＋8b2－λ b( a＋ b)≥0对于随意的a， b∈R恒建立，即a2－λba＋(8－λ) b2≥0恒建立，由二次不等式的性质可得，＝λ2 2222b ＋4(λ －8) b ＝ b (λ＋4λ －32)≤0，因此 ( λ＋ 8)(λ－4) ≤0，解得－ 8≤ λ ≤4.答案： [ － 8,4]22．设函数 f ( x)＝ mx－ mx－1( m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒建立，求m的取值范围．解：要使 f ( x)＜－ m＋5在[1,3]上恒建立，2则 mx－ mx＋ m－6＜0，1 23即 m x－2＋4m－6＜0在 x∈[1,3]上恒建立．因为x2－＋＝ x－12＋3＞，x124又因为(2－x ＋ 1) － 6＜ 0，因此＜ 26.m xmx － x＋16666因为函数 y＝x2－x＋1＝ 1 23在 [1,3]上的最小值为7，因此只需 m＜7即可．x－2＋4因为 m≠0，因此 m的取值范围是(－∞，0)∪0，6.7一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019 ·浙江名校联考 ) 已知会合＝ { |y ＝x＋1} ，＝{|x2－x－6＞ 0} ，则∩A yB x A ? B＝()RA． [1,2]B． [1,3]C． [1,2) D ． [1,3)分析：选 B由题意知 A＝[1，＋∞)， B＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故?R B＝[－2,3]，A∩? B＝[1,3]．R2．(2018 ·台州模拟 ) 不等式x2－ 2x＋5≥a2－ 3a对随意实数x恒建立，则实数a的取值范围为 ()A． [ －1,4] B ． ( －∞，－ 2] ∪ [5 ，＋∞)C． ( －∞，－ 1] ∪ [4 ，＋∞) D ．[ － 2,5]分析：选 A x2－2x＋5＝( x－1)2＋4的最小值为4，因此x2－ 2x＋5≥a2－ 3a对随意实数 x 恒建立，只需a2－3a≤4，解得－1≤ a≤4.3．(2018 ·镇海中学月考 ) 不等式ax2＋bx＋c＞ 0的解集为 { x|2 ＜x＜ 3} ，则不等式ax2－b x＋ c＞0的解集为________．分析：令 f ( x)＝ ax2＋ bx＋c，其图象以以下图所示，再画出 f (－ x)的图象即可，因此不等式ax2－ bx＋ c＞0的解集为{ x|－3＜ x＜－2}．答案： { x| － 3＜x＜－ 2}4．(2018 ·金华十校联考) 若不等式2x－ 1＞m( x2－ 1) 对知足 | m| ≤2的全部m都建立，则 x 的取值范围为___________．分析：原不等式化为 ( x2－1) m－ (2 x－1) ＜ 0.令 f ( m ) ＝ ( x 2－ 1) m － (2 x －1)( －2≤ m ≤2) ．f－＝－x 2－－ x －＜ 0，则＝x 2－－ x －＜ 0. f解得－1＋ 7＜ x ＜ 1＋ 3，2 2故 x 的取值范围为－ 1＋ 7，1＋ 3 .2 2答案：－ 1＋7， 1＋ 3222215．(2018 ·湖州五校联考 ) 已知实数 x ，y 知足 x ＋ 2y ＋ 2≤ x (2 y ＋ 1) ，则 x ＝ ________，y ＝ ________， 2x ＋ log 2 y ＝ ________.分析：法一：由已知得2 x 2 ＋ 4 2－ 4 － 2 ＋1≤0，即 ( x － 1) 2 ＋ ( x－ 2 ) 2≤0，因此yxyxyx － 1＝ 0，解得 x ＝ 1， y 1 x1x － 2y ＝0，＝，2 ＋ log2y ＝ 2＋log 2 ＝ 2－ 1＝ 1.22221法二：由已知得，对于 x 的不等式 x －(2 y ＋ 1) x ＋ 2y ＋ 2≤0(*) 有解，因此＝ [ － (2 y2 2 1 2 1＋1)] － 4 2y ＋2 ≥0，即＝－ (2 y － 1) ≥0，因此 2y － 1＝ 0，即 y ＝ 2 ，此时不等式 (*)可化为 x22 ≤0，因此 x ＝ 1,2 x ＋log y ＝ 2＋ log 1－ 2x ＋1≤0，即 ( x － 1) 2＝ 2－ 1＝ 1.2 2答案： 11 121．已知不等式x 2－2 x － 3＜ 0 的解集为，不等式2＋－ 6＜0 的解集为，不等式x 2Ax xB＋ax ＋ b ＜0 的解集为 A ∩ B ，则 a ＋ b 等于 ()A ．－ 3B ． 1C ．－ 1D ． 3分析：选 A由题意得， A ＝{ x | － 1＜ x ＜ 3} ， B ＝{ x | － 3＜ x ＜2} ，∴ A ∩ B ＝ { x | － 1 ＜ x＜2} ，由根与系数的关系可知， a ＝－ 1，b ＝－ 2，则 a ＋ b ＝－ 3.2．若 a ＜ 0，则对于 x 的不等式 x 2－4ax － 5a 2＞ 0 的解集是 ( )A ． ( －∞，－ a ) ∪ (5 a ，＋∞)B ． ( －∞， 5a ) ∪ ( － a ，＋∞)C ． (5 a ，－ a )D ． ( a ，－ 5a )分析：选 B 由 x 2－ 4ax －5a 2＞ 0，得 ( x － 5a )( x ＋ a ) ＞ 0，∵ a＜0，∴ x＜5a 或 x＞－ a.－2，x＞ 0，3．(2018·丽水五校联考) 设函数f ( x) ＝x2＋bx＋c，x≤0，若 f (－4)＝ f (0)，f (－2) ＝ 0，则对于x的不等式f ( x) ≤1的解集为 ()A． ( －∞，－ 3] ∪ [ － 1，＋∞) B ．[－3，－ 1]C． [ －3，－ 1] ∪ (0 ，＋∞) D ．[ － 3，＋∞)分析：选C因为 f (－4)＝f (0)，因此当 x≤0时，f ( x)的对称轴为 x＝－2，又 f (－2)＝0，则f ( x) ＝－ 2，x＞0，不等式 f ( x)≤1的解为[－3，－1]∪(0，＋∞)，故x＋2，x≤0，选 C.4．(2018 ·宁波四校联考) 设二次函数 f ( x)＝ x2－ x＋ a( a＞0)，若 f ( m)＜0，则 f ( m－1)的值为()A．正数B．负数C．非负数D．正数、负数和零都有可能分析：选A设 f ( x)＝ x2－x＋ a＝0的两个根为α ，β ，由 f ( m)＜0，则α＜ m＜β，因为二次函数2f(x)＝x－x＋a的对称轴为1x＝2，且 f (0)＝ a＞0，则|α－β|＜1，f ( m－1) ＞ 0，应选 A.5．若不等式A． [ －4,1]x2－( a＋1) x＋a≤0的解集是[－4,3]B ．[ － 4,3]的子集，则 a 的取值范围是()C． [1,3] D ．[ － 1,3]分析：选B原不等式为( x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[ a, 1] ，此时只需a≥－4即可，即－4≤ a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时切合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1 ，a] ，此时只需a≤3即可，即1＜a≤3. 综上可得－ 4≤a≤3.6．不等式x2＋ ax＋4＜0的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是________．分析：∵不等式x2＋ ax＋4＜0的解集不是空集，∴＝a2－4×4＞0，即a2＞16.∴ a＞4或a＜－4.答案： ( －∞，－4) ∪ (4 ，＋∞)7．若对于x的不等式ax＞ b的解集为－∞，15 ，则对于x的不等式24ax ＋ bx－5a＞0的解集为 ________．1b 124分析：由已知 ax ＞ b 的解集为－∞， 5 ，可知 a ＜ 0，且 a ＝ 5，将不等式 ax ＋ bx － 5a＞0 两边同除以，得 2 b 4 2 1 4 ＜0，即 5 2a x ＋ a x －＜0，即 x ＋－＋－ 4＜ 0，解得－5 5x 5 x x 4 故所求解集为－1，5 .4答案：－1，5218．(2018 ·萧山月考 ) 不等式 x ＋ ax ＋ b ＞ 0( a ，b ∈ R)的解集为 x x ≠－4 1＜ x ＜，5， x ∈ R ，若对于 x 的不等式 x 2＋ax ＋ b ＜ c 的解集为 ( m ， m ＋ 6) ，则实数 c 的值为 ________．分析：因为不等式x 2＋ ax ＋b ＞ 0( a ，b ∈ R)的解集为 x x ≠－1 ， x ∈ R ，2a因此x 2＋ax＋＝ x ＋ 12＝ 0，b2a那么不等式 x 2＋ ax ＋ b ＜ c ，即 x ＋12＜ c ，因此 c ≥0，2a11因此－c － 2a ＜ x ＜ c － 2a ，又 m ＜x ＜ m ＋ 6，c － 1－－ c － 1 ＝＋6－， 2a 2a mm即 2 c ＝ 6，因此 c ＝ 9.答案： 99．已知 f ( x ) ＝－ 3x 2＋ a (6 － a ) x ＋ 6.(1) 解对于 a 的不等式 f (1) ＞ 0；(2) 若不等式 f ( x ) ＞ b 的解集为 ( －1,3) ，务实数 a ，b 的值．解：(1) ∵ f ( x ) ＝－ 3x 2＋ a (6 － a ) x ＋6，∴ f (1) ＝－ 3＋ a (6 － a ) ＋6＝－ a 2＋ 6a ＋ 3，∴原不等式可化为 a 2－ 6a －3＜ 0，解得 3－ 2 3 ＜a ＜ 3＋ 2 3.∴原不等式的解集为 { a |3 － 2 3＜ a ＜ 3＋ 2 3} ．(2) f ( x ) ＞ b 的解集为 ( －1,3) 等价于方程－ 3x 2＋ a (6 － a ) x ＋ 6－b ＝ 0 的两根为－ 1,3 ，a－ a ，－1＋3＝3a ＝3± 3，等价于b解得6－ b ＝－ 3.－1×3＝－3 ，10．对于 x 的不等式x 2－ x － 2＞0，的整数解的会合为 { － 2} ，务实数 k2x 2＋k ＋ x ＋ 5k ＜ 0的取值范围．解：由 x 2－ x － 2＞0 可得 x ＜－ 1 或 x ＞ 2.∵ x 2－x －2＞0，的整数解为 x ＝－ 2，2x 2＋k ＋x ＋ 5k ＜ 0，25又∵方程 2x ＋ (2 k ＋ 5) x ＋5k ＝ 0 的两根为－ k 和－ 2.5①若－ k ＜－ 2，则不等式组的整数解会合就不行能为{－2}；5②若－ 2＜－ k ，则应有－ 2＜－ k ≤3. ∴－ 3≤ k ＜ 2.综上，所求 k 的取值范围为 [ － 3,2) ．三登台阶，自主选做志在冲刺名校1．若对于x 的不等式x2－4 － 2－＞0 在区间 (1,4) 内有解，则实数 a 的取值范围是xa()A ． ( －∞，－ 2)B ．(－ 2，＋∞)C ． ( －6，＋∞)D ．(－∞，－ 6)分析：选 A2－ 4x － 2－ a ＞0 在区间 (1,4) 内有解等价于 a ＜2，令不等式 x( x － 4x － 2)maxg ( x ) ＝ x 2－ 4x － 2， x ∈(1,4) ，∴ g ( x ) ＜ g (4) ＝－ 2，∴ a ＜－ 2.27212．设 f ( x ) ＝ ax ＋ bx ＋ c ，若 f (1) ＝2 ，问能否存在 a ， b ， c ∈ R ，使得不等式 x ＋ 22 3≤ f ( x ) ≤2x ＋2x ＋ 2对一确实数 x 都建立，证明你的结论．77解：由 f (1) ＝2，得 a ＋ b ＋ c ＝ 2. 令 x 2＋1＝2 2＋ 2 x ＋3，解得 x ＝－ 1.22233由 f ( x ) ≤2x＋ 2x ＋2推得 f ( －1) ≤2，由 f 21 3 ( x ) ≥ x ＋推得 f ( －1) ≥ ，2 23 3 ∴ f ( －1) ＝ 2. ∴ a － b ＋ c ＝2. 故5a ＋c ＝ 2且b ＝ 1.25∴ f ( x ) ＝ ax ＋ x ＋－ a .2 5 21 依题意 ax＋ x ＋－a ≥ x ＋对全部 x ∈R 都建立，22即 ( a －1)x2＋＋ 2－ ≥0对全部 x ∈R 都建立．xa∴ a ≠1且＝ 1－ 4( a － 1)(2 － a ) ≤0.即 (2 a － 3) 2≤0，∴ (2 a － 3) 2＝ 0，33 2由 a －1＞ 0 得 a ＝ 2. ∴ f ( x ) ＝ 2x ＋ x ＋ 1.证明以下： 3 2＋＋ 1－2 x2－2 － 3 ＝－ 1 2－－ 1 ＝－ 1 (x ＋ 1) 2≤0.2xxx 22xx 223223∴ 2x ＋ x ＋1≤2x ＋ 2x ＋ 2对 x ∈ R 都建立． 3 2 ＋1－ 2 1 1 2 1 1 ＋ 1) 2≥0，2x＋ x －＝＋ x＋＝ ( xx2 2x2 2213 2∴ x ＋ 2≤2x ＋ x ＋ 1 对 x ∈ R 都建立．32123∴存在实数 a ＝ 2，b ＝ 1，c ＝ 1，使得不等式 x ＋ 2≤f ( x ) ≤2x＋2x ＋ 2对全部 x ∈ R 都成立．。

2020届高考数学二轮专题复习教案共23讲精品专题

专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3. 已知集合A、B，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A＝或B＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n －1，2n－1，2n－2.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．1. A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且∩B}，若A＝{x∈R|y＝x2－3x}，B＝{y|y ＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.2. 已知命题P：n∈N,2n＞1 000，则P为________．3. 条件p：a∈M＝{x|x2－x<0}，条件q：a∈N＝{x||x|<2}，p是q的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)4. 若命题“∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围为________．【例1】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若，求实数p的取值范围．【例2】设A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C＝？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．【例3】(2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且，b，c∈T，有abc∈T，，y，z∈V，有xyz∈V.则下列结论恒成立的是________．A. T，V中至少有一个关于乘法封闭B. T，V中至多有一个关于乘法封闭C. T，V中有且只有一个关于乘法封闭D. T，V中每一个关于乘法封闭【例4】已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.(1) 当b>0时，若∈R，都有f(x)≤1，证明：0<a≤2b；(2) 当b>1时，证明：∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2 b.1. (2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________．3.(2009·江苏)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．5.(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有正整数根的充要条件是n＝________.6.(2011·福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是________个．(2011·全国)(本小题满分14分)设a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a.若f(x)>0的解集为A，B＝{x|1<x<3}，A ∩B ≠，求实数a 的取值范围．解：由f(x)为二次函数知a ≠0，令f(x)＝0解得其两根为x 1＝1a －2＋1a 2，x 2＝1a ＋2＋1a2，由此可知x 1<0，x 2>0，(3分)① 当a>0时，A ＝{x|x<x 1}∪{x|x>x 2}，(5分) A ∩B ≠的充要条件是x 2＜3，即1a ＋2＋1a 2<3，解得a>67，(9分) ② 当a<0时， A ＝{x|x 1<x<x 2}，(10分) A ∩B ≠的充要条件是x 2>1，即1a＋2＋1a 2>1，解得a<－2，(13分) 综上，使A ∩B ≠成立的实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞.(14分)一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. (2011·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足S 且S ∩B ≠的集合S 的个数为________．A. 57B. 56C. 49D. 8【答案】 B 解析：集合A 的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23＝8个，所以集合S 共有56个．故选B.2. (2011·江苏)设集合A ＝－2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }, B ＝{(x ，y)|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }, 若A ∩B ≠，则实数m 的取值范围是________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤12，2＋2 解析：由A ∩B ≠得，A ≠，所以m 2≥m 2，m ≥12或m ≤0.当m ≤0时，|2－2m|2＝2－2m ＞－m ，且|2－2m －1|2＝22－2m ＞－m ，又2＋0＝2＞2m ＋1，所以集合A 表示的区域和集合B 表示的区域无公共部分；当m ≥12时，只要|2－2m|2≤m 或|2－2m －1|2≤m ，解得2－2≤m ≤2＋2或1－22≤m ≤1＋22，所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2＋2. 点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m 的取值范围的相关条件．基础训练1. (－∞，3) 解析：A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，A ∪B ＝(－∞，＋∞)，A ∩B ＝[3，＋∞)．∈N,2n ≤1 0003. 充分不必要解析：M ＝＝(－2,2)．4. a ≥3或a ≤－1 解析：Δ＝(a －1)2－4≥0，a ≥3或a ≤－1. 例题选讲例1 解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x ≤5. ∴ A ＝[－2,5]． ① 当B ≠时，即p ＋1≤2p －≥2.由得－2≤p ＋1且2p －1≤5.得－3≤p ≤3.∴ 2≤p ≤3. ② 当B ＝时，即p ＋1>2p －＜成立．综上得p ≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B ＝，A ∪B ＝A ，A ∪B ＝B 或等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．变式训练设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果，求实数a 的取值范围．解：有n 种情况：其一是M ＝，此时Δ＜0；其二是M ≠，此时Δ≥0，分三种情况计算a 的取值范围．设f(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a ＋8)＝4(a 2－a －2)， ① 当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M ＝成立； ② 当Δ＝0时，a ＝－1或2，当a ＝－1时，M ＝{－，当a ＝2时，M ＝；③ 当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f(x)＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，≤x 1＜x 2≤⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≥0且f (4)≥0，1≤a ≤4且Δ＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，18－7a ≥0，1≤a ≤4，a ＜－1或a ＞2，解得：2＜a ≤187，综上实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，187. 例2 解： ∵ (A ∪B)∩C ＝，∵A ∩C ＝且B ∩C ＝，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋1，y ＝kx ＋b得k 2x 2＋(2bk －1)x ＋b 2－1＝0， ∵ A ∩C ＝，∴ k ≠0，Δ1＝(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0，∴ 4k 2－4bk ＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0，即b 2>1，①∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋2x －2y ＋5＝0，y ＝kx ＋b ， ∴ 4x 2＋(2－2k)x ＋(5－2b)＝0，∵ B ∩C ＝，∴ Δ2＝4(1－k)2－16(5－2b)<0，∴ k 2－2k ＋8b －19<0, 从而8b<20，即b<2.5， ②由①②及b ∈N ，得b ＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－8k ＋1＜0，k 2－2k －3＜0， ∴ k ＝1，故存在自然数k ＝1，b ＝2，使得(A ∪B)∩C ＝．点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.变式训练已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪1－y x ＋1＝3，B ＝{(x ，y)|y ＝kx ＋3}，若A ∩B ＝，求实数k 的取值范围．解：集合A 表示直线y ＝－3x －2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合B 表示直线y ＝kx ＋3上所有点的集合，A ∩B ＝，所以两直线平行或直线y ＝kx ＋3过点(－1,1)，所以k ＝2或k ＝－3.例3 【答案】 A 解析：由于T ∪V ＝Z ，故整数1一定在T ，V 两个集合中的一个中，不妨设1∈T ，则，b ∈T ，由于a ，b,1∈T ，则a·b·1∈T ，即ab ∈T ，从而T 对乘法封闭；另一方面，当T ＝{非负整数}，V ＝{负整数}时，T 关于乘法封闭，V 关于乘法不封闭，故D 不对；当T ＝{奇数}，V ＝{偶数}时，T ，V 显然关于乘法都是封闭的，故B ，C 不对．从而本题就选A.例4 证明：(1) ax －bx 2≤1对x ∈R 恒成立，又b ＞0, ∴ a 2－4b ≤0，∴ 0＜a ≤2 b. (2) 必要性，∵ ∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx 2－ax ≤1且bx 2－ax ≥－1，显然x ＝0时成立，对x ∈(0,1]时a ≥bx －1x 且a ≤bx ＋1x ，函数f(x)＝bx －1x 在x ∈(0,1]上单调增，f(x)最大值f(1)＝b －1.函数g(x)＝bx ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，1b 上单调减，在⎣⎡⎦⎤1b ，1上单调增，函数g(x)的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1b ＝2b ，∴ b －1≤a ≤2b ，故必要性成立；充分性：f(x)＝ax －bx 2＝－b(x －a 2b )2＋a 24b ，a 2b ＝a 2b ×1b ≤1×1b≤1，f(x)max ＝a 24b≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a －b ，f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a －b 中取最小的，又a －b ≥－1， ∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立；综上命题得证．变式训练命题甲：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m 的取值范围．解：使命题甲成立的条件是： ⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0＞2.∴ 集合A ＝{m|m>2}．使命题乙成立的条件是：Δ2＝16(m －2)2－16<0，∴ 1＜m ＜3. ∴ 集合B ＝{m|1<m<3}．若命题甲、乙有且只有一个成立，则有： ① m ∈A ∩B ，② m ∈A ∩B.若为①，则有：A ∩B ＝{m|m>2}∩{m|m ≤1或m ≥3}＝{m|m ≥3}；若为②，则有：B ∩A ＝{m|1<m<3}∩{m|m ≤2}＝{m|1<m ≤2}；综合①、②可知所求m 的取值范围是{m|1<m ≤2或m ≥3}．点评：明确命题为真时的充要条件，再分类确定．高考回顾 1. {－1,2}2. 若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数3. 4 解析：A ＝(0,4]，∴ a ＞4, ∴ c ＝4.4. 8 解析：画韦恩图．设同时参加数学和化学小组的有x 人，则20－x ＋11＋x ＋4＋9－x ＝36，x ＝8.5. 3或4 解析：令f(x)＝x 2－4x ＋n ，n ∈N *，f(0)＝n ＞0, ∴ f(2)≤0即n ≤4，故n ＝1,2,3,4，经检验，n ＝3,4适合，或直接解出方程的根，x ＝2±4－n ，n ∈N *，只有n ＝3,4适合．6. 3 解析：正确的是①③④，在②中－3∈[2]才对．第2讲函数、图象及性质1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一．2. 重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．3. 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．1. 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，则f(x)＝________.2.函数f(x)＝(x ＋1)0|x|－x的定义域为________．3.函数f(x)的定义域是R ，其图象关于直线x ＝1和点(2 , 0)都对称，f ⎝⎛⎭⎫－12＝2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫20092＝________.4.函数f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝mx ＋2，对1∈[－1,2]，0∈[－1,2]，使g(x 1)＝f(x 0)，则实数m 的取值范围是________．【例1】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m 使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．【例2】已知函数f(x)＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．【例3】设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x ∈R ，常数a 为实数)． (1) 若f(x)为偶函数，求实数a 的值； (2) 设a>2，求函数f(x)的最小值.【例4】 (2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)＝x ＋a ＋a|x|，a 为实数．(1) 当a ＝1，x ∈[－1,1]时，求函数f(x)的值域；(2) 设m 、n 是两个实数，满足m ＜n ，若函数f(x)的单调减区间为(m ，n)，且n －m ≤3116，求a 的取值范围．1. (2011·辽宁)若函数f(x)＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝________.2.(2011·湖北)若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x ，则g(x)＝________.3.(2011·上海)设g(x)是定义在R 上、以1为周期的函数，若f(x)＝x ＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为____________．4.(2011·北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为________．5.(2011·上海) 已知函数f(x)＝a·2x ＋b·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若ab<0，求f(x ＋1)>f(x)时x 的取值范围．6.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1) 当0≤x ≤200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)(2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3－2log 2x ，g(x)＝log 2x. (1) 如果x ∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域； (2) 求函数M(x)＝f (x )＋g (x )－|f (x )－g (x )|2的最大值；(3) 如果对不等式f(x 2)f(x)＞kg(x)中的任意x ∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．解：令t ＝log 2x ，(1分) (1) h(x)＝(4－2log 2x)·log 2x ＝－2(t －1)2＋2，(2分) ∵ x ∈[1,4]，∴ t ∈[0,2]，(3分) ∴ h(x)的值域为[0,2]．(4分) (2) f(x)－g(x)＝3(1－log 2x)，当0＜x ≤2时，f(x)≥g(x)；当x ＞2时，f(x)＜g(x)，(5分)∴ M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ g (x )，f (x )≥g (x )，f (x )，f (x )＜g (x )， M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，3－2log 2x ，x>2，(6分)当0＜x ≤2时，M(x)最大值为1；(7分)当x ＞2时，M(x)＜1.(8分)综上：当x ＝2时，M(x)取到最大值为1.(9分)(3) 由f(x 2)f(x)＞kg(x)，得(3－4log 2x)(3－log 2x)＞k·log 2x ， ∵ x ∈[1,4]，∴ t ∈[0,2]，∴ (3－4t)(3－t)＞kt 对一切t ∈[0,2]恒成立，(10分) ①当t ＝0时，k ∈R ；(11分)②t ∈(0,2]时，k ＜(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k ＜4t ＋9t －15，(12分)∵ 4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号．(13分)∴ 4t ＋9t －15的最小值为－3.综上：k ＜－3.(14分)第2讲函数、图象及性质1. 已知a ＝5－1，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)＞f(n)，则m 、n 的大小关系为________．考查指数函数的单调性 a f(x)＝a x 在R 上递减．由f(m)＞f(n)得：m<n. 2. 设a 为实数，函数f(x)＝2x 2＋(x －a)|x －a|. (1) 若f(0)≥1，求a 的取值范围； (2) 求f(x)的最小值；(3) 设函数h(x)＝f(x)，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．点拨：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．解：(1) 若f(0)≥1，则－a|a|≥⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2≥1≤－1.∴ a 的取值范围是(－∞，－1](2) 当x ≥a 时，f(x)＝3x 2－2ax ＋a 2， f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (a )，a ≥0，f ⎝⎛⎭⎫a 3，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0，当x ≤a 时，f(x)＝x 2＋2ax －a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (－a )，a ≥0，f (a )，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 2，a ＜0，综上f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0.(3) x ∈(a ，＋∞)时，h(x)≥1得3x 2－2ax ＋a 2－1≥0，Δ＝4a 2－12(a 2－1)＝12－8a 2. 当a ≤－62或a ≥62时，Δ≤0，x ∈(a ，＋∞)；当－62＜a ＜62时，Δ＞0，得：⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －3－2a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋3－2a 23≥0，x ＞a ，讨论得：当a ∈⎝⎛⎭⎫22，62时，解集为(a ，＋∞)；当a ∈⎝⎛⎭⎫－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞ 当a ∈⎣⎡⎦⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞. 综上，当a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－62∪⎣⎡⎭⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)，当a ∈⎣⎡⎦⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞，当a ∈⎣⎡⎦⎤－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.基础训练2. (－∞，－1)∪(－1,0) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x ＞0＜0，x ≠－1.3. －4 解析：函数图象关于直线x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2 , 0)对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x ＋2)＝－f(x)，∴ f(x ＋4)＝f(x)，∴ f ⎝⎛⎭⎫2 0092＝f ⎝⎛⎭⎫1 004＋12＝f ⎝⎛⎭⎫12，又f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫4＋12＝－f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫2 0092＝2f ⎝⎛⎭⎫12＝－2f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4. 4. ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析：x ∈[－1,2]时，f(x)∈[－1,3]．m ≥0，x ∈[－1,2]时，g(x)∈[2－m,2＋2m]；m ＜0，x ∈[－1,2]时，g(x)∈[2＋2m,2－m]．m ≥0，[2－m ，2＋－1,3]；m ＜0，[2＋2m,2－－1,3]得0≤m ≤12或－1≤m<0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 例题选讲例1 解： (1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5), ∴ 可设f(x)＝ax(x －5)(a ＞0)． ∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.由已知得6a ＝12, ∴ a ＝2, ∴ f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x ∈R )．(2) 方程f(x)＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，103时，h ′(x)＜0，h(x)是减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫103，＋∞时，h ′(x)＞0，h(x)是增函数． ∵ h(3)＝1＞0，h ⎝⎛⎭⎫103＝－127＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在区间⎝⎛⎭⎫3，103，⎝⎛⎭⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根．变式训练已知函数y ＝f (x)是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f(x)(－1≤x ≤1)的图象关于原点对称．又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1) 证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y ＝f(x)，x ∈[1,4]的解析式； (3)求y ＝f(x)在[4,9]上的解析式．(1)证明： ∵ f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)，又∵ y ＝f(x)(－1≤x ≤1)关于原点对称，∴ f(1)＝－f(－1)＝－f(4), ∴ f(1)＋f(4)＝0.(2)解：当x ∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x －2)2－5(a ＞0)，由f(1)＋f(4)＝0得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴ a ＝2， ∴ f(x)＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)解： ∵ y ＝f(x)(－1≤x ≤1)是奇函数，∴ f(0)＝0，又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴ 可设f(x)＝kx(0≤x ≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴ k ＝－3，∴ 当0≤x ≤1时，f(x)＝－3x ，从而当－1≤x ＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f(x)＝－3x ，∴ 当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴ f(x)＝f(x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15，当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4，∴ f(x)＝f(x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15，4≤x ≤6，2(x －7)2－5，6＜x ≤9. 点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值．例2 解： (1) 当a ＝0时，f(x)＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x), ∴ f(x)为偶函数．当a ≠0时，f(x)＝x 2＋ax(a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a ≠0， ∴ f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴ 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2) (解法1)设2≤x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a]，要使函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x 1)－f(x 2)＜0恒成立．∵ x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵ x 1＋x 2＞4, ∴ x 1x 2(x 1＋x 2)＞16. ∴ a 的取值范围是(－∞，16]．(解法2)当a ＝0时，f(x)＝x 2，显然在[2，＋∞)为增函数．当a ＜0时，反比例函数ax在[2，＋∞)为增函数，∴ f(x)＝x 2＋ax 在[2，＋∞)为增函数．当a ＞0时，同解法1.(解法3)f ′(x)＝2x －ax 2≥0，对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴ a ≤2x 3而y ≤2x 3.在[2，＋∞)上单调增，最小值为16，∴ a ≤16.点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题．例3 解：(1) 由已知f(－x)＝f(x)，即|2x －a|＝|2x ＋a|，解得a ＝0.(2) f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x ＜12a ，当x ≥12a 时，f(x)＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a ＞2，x ≥12a ，得x ＞1，从而x ＞－1，又f ′(x)＝2(x ＋1)，故f(x)在x ≥12a 时单调递增，f(x)的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24；当x ＜12a 时，f(x)＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1＜x ＜a2时，f(x)单调递增，当x ＜1时，f(x)单调递减，a －1；0，知f(x)的最小值为a －1. 点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法．变式训练已知函数f(x)＝x|x －2|.设a ＞0，求f(x)在[0，a]上的最大值．解： f(x)＝x|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ≥2，－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，x ＜2. ∴ f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞); 单调递减区间是[1,2]．① 当0＜a ≤1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1＜a ≤2时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1＞0, 解得a ＞1＋ 2. 若2＜a ≤1＋2，则f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；若a ＞1＋2，则f(a)＞f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)．综上，当0＜a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a ≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a ＞1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．例4 解：设y ＝f(x)，(1) a ＝1时，f(x)＝x ＋1＋|x|，当x ∈(0,1]时，f(x)＝x ＋1＋x 为增函数，y 的取值范围为(1,1＋2]．当x ∈[－1,0]时，f(x)＝x ＋1－x ，令t ＝x ＋1，0≤t ≤1，则x ＝t 2－1，y ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，0≤t ≤1，y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，54.∵ 54＜1＋2， ∴x ∈[1,1]时，函数f(x)的值域为[1,1＋2]．(2) 令t ＝x ＋a ，则x ＝t 2－a ，t ≥0，y ＝g(t)＝t ＋a|t 2－a|. ① a ＝0时，f(x)＝x 无单调减区间；② a ＜0时，y ＝g(t)＝at 2＋t －a 2，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上g(t)是减函数，则在⎝⎛⎭⎫14a 2－a ，＋∞上f(x)是减函数．∴a ＜0不成立．③ a ＞0时，y ＝g(t)＝⎩⎨⎧－at 2＋t ＋a 2，0≤t ≤a ，at 2＋t －a 2，t ＞ a. 仅当12a ＜a ，即a ＞312时，在t ∈⎝⎛⎭⎫12a ，a 时，g(t)是减函数，即x ∈⎝⎛⎭⎫14a 2－a ，0时，f(x)是减函数． ∴n －m ＝a －14a 2≤3116，即(a －2)(16a 2＋a ＋2)≤0. ∴a ≤2. 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤314，2.高考回顾f(x)恒成立或从定义域可直接得到． 2. g(x)＝e 2解析：因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e －x .又因为f(x)＋g(x)＝e x，所以g(x)＝e x ＋e －x2.3. [－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，则f(x 1)＝x 1＋g(x 1)∈[－2,5]，∵ g(x)是定义域为R 周期为1的函数，∴ 当x 2∈[1,2]时，f(x 2)＝x 1＋1＋g(x 1＋1)＝1＋x 1＋g(x 1)＝1＋f(x 1)∈[－1,6]，当x 2∈[2,3]时，f(x 2)＝x 1＋2＋g(x 1＋2)＝2＋x 1＋g(x 1)＝2＋f(x 1)∈[0,7]，∴ f(x)在区间[0,3]上的值域为[－2,7]．4. 4 解析：AB ＝22，直线AB 的方程为x ＋y ＝2，在y ＝x 2上取点C(x ，y)，点C(x ，y)到直线AB 的距离为2，|x ＋y －2|2＝2，|x ＋x 2－2|＝2，此方程有四个解．5. 解：(1) 当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝a(2x 1－2x 2)＋b(3x 1－3x 2)， ∵ 2x 1＜2x 2，a ＞1－2x 2)＜0,3x 1＜3x 2，b ＞1－3x 2)＜0， ∴ f(x 1)－f(x 2)＜0，函数f(x)在R 上是增函数．当a ＜0，b ＜0时，同理函数f(x)在R 上是减函数．(2) f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x ＞0，当a ＜0，b ＞0时，⎝⎛⎭⎫32x ＞－a2b ，则 x ＞log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ；当a ＞0，b ＜0时，⎝⎛⎭⎫32x ＜－a2b，则x ＜log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 6. 解：(1) 由题意：当0≤x ≤20时，v(x)＝60；当20≤x ≤200时，设v(x)＝ax ＋b ，显然v(x)＝ax ＋b 在[20,200]是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20<x ≤200.(2) 依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎡⎦⎤x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．第3讲基本初等函数1. 掌握指数函数的概念、图象和性质．2. 理解对数函数的概念、图象和性质．3. 能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题．4. 了解幂函数的定义，熟悉常见幂函数的图形与性质．1. 函数y ＝log a (x ＋2)＋1(a>0，a ≠1)的图象经过的定点坐标为________．2.函数y ＝lg(x 2－2x)的定义域是________.3.函数y ＝a x (a>0，a ≠1)在R 上为单调递减函数，关于x 的不等式a 2x －2a x －3>0的解集为________．4.定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x|定义域为[a ，b]，值域为[0,2]，则区间[a ，b]的长度的最大值为________．【例1】函数f(x)＝ax 2＋1bx ＋c (a ，b ，c ∈Z )是奇函数，且f(1)＝2，f(2)<3.(1) 求a ，b ，c 的值；(2) 当x<0时，讨论f(x)的单调性．【例2】已知函数f(x)＝2x －12|x|. (1) 若f(x)＝2，求x 的值；(2) 若2t f(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．【例3】已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a ≠0，b<1)，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设f(x)＝g (x )x. (1) 求a ，b 的值； (2) 不等式f(2x )－k·2x ≥0在x ∈[－1,1]上恒成立，求实数k 的取值范围；(3) 方程f(|2x －1|)＋k ⎝⎛⎭⎫2|2x －1|－3＝0有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．【例4】 (2011·盐城二模)已知函数f(x)＝x ＋a x 2＋b 是定义在R 上的奇函数，其值域为⎣⎡⎦⎤－14，14. (1) 试求实数a 、b 的值；(2) 函数y ＝g(x)(x ∈R )满足：当x ∈[0,3)时，g(x)＝f(x)；g(x ＋3)＝g(x)lnm(m ≠1)． ① 求函数g(x)在x ∈[3,9)上的解析式；② 若函数g(x)在x ∈[0，＋∞)上的值域是闭区间，试探求实数m 的取值范围，并说明理由．1. (2011·广东)设函数f(x)＝x 3cosx ＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.2.(2011·江苏)函数f(x)＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．3.(2011·辽宁)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x>1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是________．4.(2011·山东)已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a>0且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.5.(2009·山东)已知函数f(x)＝x －2x ＋a(2－lnx)(a>0)，讨论f(x)的单调性．6.(2011·陕西)设f(x)＝lnx ，g(x)＝f(x)＋f ′(x)． (1) 求g(x)的单调区间和最小值； (2) 讨论g(x)与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3) 求实数a 的取值范围，使得g(a)－g(x)＜1a 对任意x ＞0成立．(2011·常州模考)(本小题满分16分)已知a 为实数，函数f(x)＝(1＋ax)e x ，函数g(x)＝11－ax，令函数F(x)＝f(x)·g(x)．(1) 若a ＝1，求函数f(x)的极小值；F(x)＜1；时，求函数F(x)的单调区间．解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝(1＋x)e x .则f ′(x)＝(x ＋2)e x .令f ′(x)＝0，得x ＝－2.(1分)∴ 当x ＝－2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(－2)＝－e .(3分) (2) 当a ＝－12时，F(x)＝2－x 2＋xe x ，定义域为{x|x ≠－2，x ∈R }．∵ F ′(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2＋x ′e x ＋2－x 2＋x (e x )′＝－x 2e x(2＋x )2＜0，∴ F(x)在(－∞，－2)及(－2，＋∞)上均为减函数．(5分)∵ 当x ∈(－∞，－2)时，F(x)＜0，∴ x ∈(－∞，－2)时，F(x)＜1. ∵ 当x ∈(－2，＋∞)时，F(0)＝1，∴ 由F(x)＜1＝F(0)，得x ＞0. 综上所述，不等式F(x)＜1的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(7分) (3) 函数F(x)＝1＋ax 1－axe x ，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎭⎫x ∈R ，x ≠1a . 当a ＜0时，F ′(x)＝－a 2x 2＋2a ＋1(1－ax )2e x ＝－a 2⎝⎛⎭⎫x 2－2a ＋1a 2(1－ax )2e x .令F ′(x)＝0，得x 2＝2a ＋1a 2.(9分)① 当2a ＋1＜0，即a ＜－12时，F ′(x)＜0.∴ 当a ＜－12时，函数F(x)的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，1a ∪⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.(11分) ② 当－12＜a ＜0时，解x 2＝2a ＋1a 2得x 1＝2a ＋1a ，x 2＝－2a ＋1a .∵ 1a ＜2a ＋1a，∴ 令F ′(x)＜0，得x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1a ，x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，x 1，x ∈(x 2，＋∞)；令F ′(x)＞0，得x ∈(x 1，x 2)．(13分) ∴ 当－12＜a ＜0时，函数F(x)的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，1a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2a ＋1a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋1a ，＋∞；函数F(x)单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1a，－2a ＋1a .(15分) ③ 当2a ＋1＝0，即a ＝－12时，由(2)知，函数F(x)的单调减区间为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．(16分)第3讲基本初等函数1. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x －4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.【答案】－8 解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f(x －4)＝－f(x)，所以f(x －4)＝f(－x)，对f(x)是奇函数，函数图象关于直线x ＝2对称且f(0)＝0，由f(x －4)＝－f(x)知f(x －8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.2. 已知函数f(x)＝x 3－(k 2－k ＋1)x 2＋5x －2，g(x)＝k 2x 2＋kx ＋1，其中k ∈R . (1) 设函数p(x)＝f(x)＋g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k 的取值范围；(2) 设函数q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x ≥0，f (x )，x ＜0.是否存在k ，对任意给定的非零实数x 1，存在唯一的非零实数x 2(x 2≠x 1)，使得q ′(x 2)＝q ′(x 1)成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．解： (1)因p(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3＋(k －1)x 2＋(k ＋5)x －1，p ′(x)＝3x 2＋2(k －1)x ＋(k ＋5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，所以p ′(x)＝0在(0,3)上有实数解，且无重根，由p ′(x)＝0得k(2x ＋1)＝－(3x 2－2x ＋5)，∴ k ＝－(3x 2－2x ＋5)2x ＋1＝－34⎣⎡⎦⎤(2x ＋1)＋92x ＋1－103，令t ＝2x ＋1，有t ∈(1,7)，记h(t)＝t ＋9t ，则h(t)在(1,3]上单调递减，在[3,7)上单调递增，所以有h(t)∈[6,10]，于是(2x ＋1)＋92x ＋1∈[6,10)，得k ∈(－5，－2]，而当k ＝－2时有p ′(x)＝0在(0,3)上有两个相等的实根x ＝1，故舍去，所以k ∈(－5，－2)．(2) 当x ＜0时，有q ′(x)＝f ′(x)＝3x 2－2(k 2－k ＋1)x ＋5；当x ＞0时，有q ′(x)＝g ′(x)＝2k 2x ＋k ，因为当k ＝0时不合题意，因此k ≠0，下面讨论k ≠0的情形，记A ＝(k ，＋∞)，B ＝(5，＋∞)①，当x 1＞0时，q ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以要使q ′(x 2)＝q ′(x 1)成立，只能x 2＜0且，因此有k ≥5，②当x 1＜0时，q ′(x)在(－∞，0)上单调递减，所以要使q ′(x 2)＝q ′(x 1)成立，只能x 2＞0且，因此k ≤5，综合①②k ＝5；当k ＝5时A ＝B ，则1＜0，q ′(x 1)∈B ＝A ，即2＞0，使得q ′(x 2)＝q ′(x 1)成立，因为q ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x 2的值是唯一的；同理，1＜0，即存在唯一的非零实数x 2(x 2≠x 1)，使q ′(x 2)＝q ′(x 1)成立，所以k ＝5满足题意．基础训练 1. (－1,1)2. {x|x ＜0或x ＞2}3. (－∞，log a 3) 解析：由题知0＜a ＜1，不等式a 2x －2a x －3＞0可化为(a x －3)(a x ＋1)＞0，a x ＞3，x ＜log a 3.4.154 解析：由函数y ＝|log 0.5x|得x ＝1，y ＝0；x ＝4或x ＝14时y ＝2,4－14＝154. 例题选讲例1 解：(1)函数f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)恒成立，∴ c ＝0，又由f(1)＝2，f(2)＜3得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b －1，4a ＋12b ＜3，0＜b ＜32，b ∈Z ∴ b ＝1，a ＝1.(2) f(x)＝x 2＋1x ＝x ＋1x，函数在(－∞，－1)上递增，在(－1,0)上递减．变式训练已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数．(1) 求a ，b 的值；(2) 若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)＜0恒成立，求实数k 的取值范围．解： (1) 因为f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)＝0，即b －1a ＋2＝＝1, ∴ f(x)＝1－2xa ＋2x ＋1，又由f(1)＝－f(－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1＝2.经检验符合题意，∴ a ＝2，b ＝1.(2) (解法1)由(1)知f(x)＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)＜0等价于f(t 2－2t)＜－f(2t 2－k)＝f(k －2t 2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t 2－2t ＞k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k ＞0，从而判别式Δ＝4＋12k ＜＜－13.(解法2)由(1)知f(x)＝1－2x 2＋2x ＋1.又由题设条件得：1－2t 2－2t 2＋2t 2－2t ＋1＋1－22t 2－k2＋22t 2－k ＋1＜0，即：(22t 2－k ＋1＋2)(1－2t 2－2t)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(1－22t 2－k)＜0，整理得23t 2－2t －k ＞1，因底数2＞1，故： 3t 2－2t －k ＞0对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k ＜＜－13.例2 解：(1)当x ＜0时，f(x)＝0；当x ≥0时，f(x)＝2x －12x ，由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x ＝1±2，∵ x ＞0，∴ x ＝log 2(1＋2)．(2) 当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m(22t －1)≥－(24t －1), ∵ 22t －1＞0，∴ m ≥－(22t ＋1)．∵ t ∈[1,2]，∴ －(22t ＋1)∈[－17，－5]．故m 的取值范围是[－5，＋∞)．变式训练设函数f(x)＝a x 满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f(x)＞1.当x ∈(0,1]时，不等式f(3mx －1)＞f(1＋mx －x 2)＞f(m ＋2)恒成立，求实数m 的取值范围．解：由已知得0＜a ＜1，由f(3mx －1)＞f(1＋mx －x 2)＞f(m ＋2)，x ∈(0,1]恒成立⎩⎪⎨⎪⎧3mx －1＜1＋mx －x 2，1＋mx －x 2＜m ＋2，在x ∈(0,1]上恒成立．整理，当x ∈(0,1]时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2mx ＜2－x 2，m (x －1)＜1＋x 2.恒成立．当x ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧2mx ＜2－x 2，m (x －1)＜1＋x 2恒成立，则m ＜12. 当x ∈(0,1)时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜2－x 22x，m ＞1＋x2x －1恒成立， 2－x 22x ＝1x －x2在(0,1)上单调减，∴ 2－x 22x ＞12，∴ m ≤12.又∵ x 2＋1x －1＝(x －1)＋2x －1＋2，在x ∈(0,1)上是减函数，∴ x 2＋1x －1＜－1.∴ m ＞x 2＋1x －1恒成立≥－1，当x ∈(0,1)时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜2－x 22x，m ＞1＋x2x －1，恒成立∈⎣⎡⎦⎤－1，12. 综上，使x ∈(0,1]时，f(3mx －1)＞f(1＋mx －x 2)＞f(m ＋2)恒成立，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 例3 解：(1) g(x)＝a(x －1)2＋1＋b －a ，当a ＞0时，g(x)在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g (3)＝4，g (2)＝1⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋1＋b ＝4，4a －4a ＋1＋b ＝1⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a<0时，g(x)在[2,3]上为减函数．故⎩⎪⎨⎪⎧g (3)＝1，g (2)＝4⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋1＋b ＝1，4a －4a ＋1＋b ＝4⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. ∵ b ＜1 ∴ a ＝1，b ＝0即g(x)＝x 2－2x ＋1.f(x)＝x ＋1x －2.(2) 方程f(2x )－k·2x ≥0化为2x ＋12x －2≥k·2x ，1＋⎝⎛⎭⎫12x 2－212x ≥k ，令12x ＝t ，k ≤t 2－2t ＋1， ∵ x ∈[－1,1]，∴ t ∈⎣⎡⎦⎤12，2.记φ(t)＝t 2－2t ＋1， ∴ φ(t)min ＝0，∴ k ≤0.(3)由f(|2x －1|)＋k ⎝⎛⎭⎫2|2x －1|－3＝0得|2x －1|＋1＋2k|2x －1|－(2＋3k)＝0，|2x －1|2－(2＋3k)|2x －1|＋(1＋2k)＝0，|2x－1|≠0，令|2x －1|＝t, 则方程化为t 2－(2＋3k)t ＋(1＋2k)＝0(t ≠0)， ∵ 方程|2x －1|＋1＋2k|2x －1|－(2＋3k)＝0有三个不同的实数解， ∴ 由t ＝|2x －1|的图象(如右图)知，t 2－(2＋3k)t ＋(1＋2k)＝0有两个根t 1、t 2，且0＜t 1＜1＜t 2或0＜t 1＜1，t 2＝1，记φ(t)＝t 2－(2＋3k)t ＋(1＋2k)，则⎩⎪⎨⎪⎧φ(0)＝1＋2k ＞0，φ(1)＝－k ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧φ(0)＝1＋2k ＞0，φ(1)＝－k ＝0，0＜2＋3k 2＜1.∴ k ＞0.例4 解：(1) 由函数f(x)定义域为R ，∴ b ＞0.又f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)对x ∈R 恒成立，得a ＝0. 因为y ＝f(x)＝xx 2＋b的定义域为R ，所以方程yx 2－x ＋by ＝0在R 上有解．当y ≠0时，由Δ≥0，得－12b ≤y ≤12b ，而f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14，所以12b ＝14，解得b ＝4；当y ＝0时，得x ＝0，可知b ＝4符合题意．所以b ＝4.(2) ① 因为当x ∈[0,3)时，g(x)＝f(x)＝xx 2＋4，所以当x ∈[3,6)时，g(x)＝g(x －3)lnm ＝(x －3)lnm(x －3)2＋4；当x ∈[6,9)时，g(x)＝g(x －6)(lnm)2＝(x －6)(lnm )2(x －6)2＋4，故g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)lnm (x －3)2＋4，x ∈[3，6)，(x －6)(lnm )2(x －6)2＋4，x ∈[6，9).② 因为当x ∈[0,3)时，g(x)＝x x 2＋4在x ＝2处取得最大值为14，在x ＝0处取得最小值为0，所以当3n ≤x ＜3n ＋3(n ≥0，n ∈Z )时，g(x)＝(x －3n )(lnm )n (x －3n )2＋4分别在x ＝3n ＋2和x ＝3n 处取得最值(lnm )n4与0.(ⅰ) 当|lnm|＞1时，g(6n ＋2)＝(lnm )2n4的值趋向无穷大，从而g(x)的值域不为闭区间；(ⅱ) 当lnm ＝1时，由g(x ＋3)＝g(x)得g(x)是以3为周期的函数，从而g(x)的值域为闭区间⎣⎡⎦⎤0，14； (ⅲ) 当lnm ＝－1时，由g(x ＋3)＝－g(x)得g(x ＋6)＝g(x)，得g(x)是以6为周期的函数，且当x ∈[3,6)时g(x)＝－(x －3)(x －3)2＋4值域为⎣⎡⎦⎤－14，0，从而g(x)的值域为闭区间⎣⎡⎦⎤－14，14； (ⅳ) 当0＜lnm ＜1时，由g(3n ＋2)＝(lnm )n 4＜14，得g(x)的值域为闭区间⎣⎡⎦⎤0，14； (ⅴ) 当－1＜lnm ＜0时，由lnm 4≤g(3n ＋2)＝(lnm )n 4≤14，从而g(x)的值域为闭区间⎣⎡⎦⎤lnm 4，14；⎭⎫∪(1，e]，即0＜lnm ≤1或－1≤lnm ＜0时，g(x)的值域为闭区间． 1. －92. ⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 3. [0，＋∞) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，21－x≤2≤x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，1－log 2x ≤2＞1，综上x ≥0.4. 2 解析：(解法1) 方程log a x ＋x －b ＝0(a ＞0，a ≠1)的根为x 0，即函数y ＝log a x(2＜a ＜3)的图象与函数y ＝b －x(3＜b ＜4)的交点横坐标为x 0，且x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，结合图象，因为当x ＝a(2＜a ＜3)时，y ＝log a x(2＜a ＜3)图象上点的纵坐标为1，对应直线上点的纵坐标为y ＝b －a ∈(0,2)，∴ x 0∈(2,3)，n ＝2.(解法2) f(2)＝log a 2＋2－b ＜0，f(3)＝log a 3＋3－b ＞0，而f(x)在(0，＋∞)上单调增，∴ x 0∈(2,3)，n ＝2.5. 解：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g(x)＝x 2－ax ＋2，二次方程g(x)＝0的根判别式Δ＝a 2－8.① 当Δ＝a 2－8＜0，即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x)＞0，此时f(x)在(0，＋∞)上是增函数．② 当Δ＝a 2－8＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x)＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x)＞0，此时f(x)在(0，＋∞)上也是增函数．③ 当Δ＝a 2－8＞0，即a ＞22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－8，x 2＝a ＋a 2－8，0＜x 1＜x 2.此时减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．6. 解：(1) 由题设知f(x)＝lnx ，g(x)＝lnx ＋1x ， ∴ g ′(x)＝x －1x 2，令g ′(x)＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x)＜0，g(x)是减函数，故(0,1)是g(x)的单调减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)＞0，g(x)是增函数，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间，因此x ＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)＝1.(2) g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－lnx ＋x ，设h(x)＝g(x)－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2lnx －x ＋1x ，则h ′(x)＝－(x －1)2x 2，当x ＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x)＜0，因此h(x)在(0，＋∞)内单调递减，当0＜x ＜1时，h(x)＞h(1)＝0，即g(x)>g ⎝⎛⎭⎫1x .x>1时，h(x)<h(1)＝0，g(0)<g ⎝⎛⎭⎫1x . (3) 由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)－g(x)＜1a ，对任意x ＞0恒成立－1＜1a，即lna ＜1从而得0＜a ＜e.第4讲函数的实际应用1. 零点问题，在掌握二分法的解题步骤基础上，学会分析转化，能够把与之有关的问题化归为方程零点问题．2. 函数模型的实际应用问题，主要抓住常见函数模型的训练，如幂指对模型，二次函数模型，数列模型，分段函数模型等，解答的重点是在信息整理和建模上．3. 掌握解函数应用题的方法与步骤：(1) 正确地将实际问题转化为函数模型(建模)；(2) 用相关的函数知识进行合理的设计，确定最佳的解题方案，进行计算与推理(解模)；(3) 把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答(检验、作答)．1. 函数f(x)＝e x ＋x －2的零点为x 0，则不小于x 0的最小整数为________．2.关于x 的方程⎝⎛⎭⎫34x ＝3a ＋25－a 有负实根，则实数a 的取值范围是________．3.某工厂的产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为________．4.某人在2009年初贷款 m 万元，年利率为x ，从次年初开始偿还，每年偿还的金额都是n 万元，到2012年初恰好还清，则n 的值是________．【例1】已知直线y ＝mx(m ∈R )与函数f(x)＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，12x 2＋1，x>0的图象恰有3个不同的公共点，求实数m 的取值范围．【例2】某村计划建造一个室内面积为 800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【例3】 2014年青奥会水上运动项目将在J 地举行．截至2010年底，投资集团B 在J 地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发．经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B 集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．(1) B 集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？(2) 假设从2012年起，J 地政府每年都要向B 集团征收资源占用费，2012年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加10%.若B 集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的18%，问B 集团投资是否成功？【例4】已知函数f(x)＝－x 2＋8x ，g(x)＝6lnx ＋m. (1) 求f(x)在区间[t ，t ＋1]上的最大值h(t)；(2) 是否存在实数m ，使得y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．1. (2010·浙江)已知x 0是函数f(x)＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则f(x 1)f(x 2)________0.(填“>”或“<”)．2.(2011·北京)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎨⎧cx，x<A ，cA ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________．3.(2010·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为________．4.(2011·重庆)设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的实根，则m ＋k 的最小值为________．5.(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π3立方米，且l ≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1) 写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2) 求该容器的建造费用最小时的r.6.(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1) 求a 的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．。

2020版高考数学二轮复习数学思想教案汇编全集理

1．函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.问题进行动态的研究，方程思想则是动中求解，研究运动中的等量关系.应用1 目标函数法求最值【典例1】(1)已知在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，C 是OB 的中点，P 为弧AB 上任意一点，且OP →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的最大值为________．(2)已知正四棱锥P ABCD 中，PA ＝23，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高h 等于________．切入点：(1)联想三角函数的定义、平面向量的坐标运算，建系求解． (2)建立体积V 与高h 之间的等量关系，借助导数等工具求V 最大时的h 值． (1)2213(2)2 [(1)建立如图所示的平面直角坐标系，则O (0,0)，A (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则OA →＝(2,0)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设P (2cos θ，2sin θ)，则λ(2,0)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝(2cos θ，2sin θ)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ－12μ＝2cos θ，32μ＝2sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝43sin θ，λ＝cos θ＋13sin θ，则λ＋μ＝53sin θ＋cos θ＝2213sin(θ＋φ)，其中tan φ＝35，据此可知，当sin(θ＋φ)＝1时，λ＋μ取得最大值2213.(2)设正四棱锥P ABCD 的底面边长为a ，∵PA ＝23，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝12，即a 22＋h 2＝12，故a 2＝24－2h 2，∴正四棱锥P ABCD 的体积V ＝13a 2h ＝8h －23h 3(h ＞0)，∴V ′＝8－2h 2，令V ′＞0得0＜h ＜2，令V ′<0得h >2，∴当h ＝2时，正四棱锥P ABCD 的体积取得最大值．]【对点训练1】(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10(2)(2019·北京高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．(1)A (2)0 －10 [(1)因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4＝41＋k 2k 2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝41＋k2k2＋4(1＋k 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．故选A.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝－3，S 5＝－10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，5a 1＋5×42d ＝－10，解得a 1＝－4，d ＝1，∴a 5＝a 1＋4d ＝－4＋4×1＝0，S n ＝na 1＋n n －12d ＝－4n ＋n n －12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－818， ∴n ＝4或n ＝5时，S n 取最小值为S 4＝S 5＝－10.]应用2 分离参数法求参数范围【典例2】(1)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎥⎤0，π2上有解，则实数a 的取值范围为________．(2)若对x ∈(－∞，－1]，不等式(m 2－m )2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1恒成立，则实数m 的取值范围是________．切入点：(1)法一：分离参数构建函数，将方程有解问题转化为求函数的值域．法二：三角换元转化为一元二次方程在给定区间上有解．(2)分离参数，建立函数，将不等式恒成立问题转化为函数最值及解不等式问题． (1)(－1,1] (2)(－2,3) [(1)法一：(分离变量)把方程变形为a ＝－cos 2x ＋sin x ，设f (x )＝－cos 2x ＋sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，显然，当且仅当a 属于f (x )的值域时有解．因为f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，且由x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2知sin x ∈(0,1]，易求得f (x )的值域为(－1,1]，故a 的取值范围是(－1,1]．法二：(换元法)令t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，可得t ∈(0,1]，将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解，设f (t )＝t 2＋t －1－a ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示，因此，f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧f 0＜0，f1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ＜0，1－a ≥0，所以－1＜a ≤1，故a 的取值范围是(－1,1]．(2)不等式(m 2－m )2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜1恒成立，等价于m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12x ⇔m 2－m ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12x min ，构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12x ，利用换元法，令t ＝12x ，则y ＝t 2＋t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14，∵x ∈(－∞，－1]，∴t ∈[2，＋∞)，∴y ＝t 2＋t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14的最小值为6，∴m 2－m ＜6⇔m 2－m －6＜0⇔－2＜m ＜3，所以实数m 的取值范围是－2＜m ＜3.]【对点训练2】(2019·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x ＞1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]C [当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1＞0恒成立，当a ＜1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a ＜1. 综上，a ≥0.当x ＞1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a ≤xln x恒成立．设g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1ln x2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0，当x ＞e 时，g ′(x )＞0， ∴g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e.综上，a 的取值范围是0≤a ≤e，即[0，e]．故选C.]应用3 函数思想解不等式(比较大小)【典例3】(1)设0＜a ＜1，e 为自然对数的底数，则a ，a e ，e a－1的大小关系为( ) A ．e a －1＜a ＜a eB ．a e ＜a ＜e a－1 C ．a e＜e a－1＜aD ．a ＜e a－1＜a e(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 内的奇函数和偶函数，当x <0时， f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(0,3)B ．(－3,0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)切入点：(1)借助y ＝a x (0＜a ＜1)的单调性比较a 与a e的大小；构造函数f (x )＝e x －x －1(x ＞0)比较e a－1与a 的大小．(2)构造函数F (x )＝f (x )g (x )，借助F (x )的奇偶性、单调性解f (x )g (x )＜0. (1)B (2)D [(1)设f (x )＝e x －x －1，x ＞0，则f ′(x )＝e x－1＞0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )＞0， ∴e x －1＞x ，即e a－1＞a .又y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上是减函数，得a ＞a e，从而e a－1＞a ＞a e.(2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 内的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为定义在R 内的奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，f (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以当x >0时，f (x )也是增函数．因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以由图可知f (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．] 【对点训练3】(1)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．(1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [(1)因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0对m ∈[1,4]恒成立．设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 1＞0，g4＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －22＞0，4x －2＋x －22＞0，解得x ＜－2或x ＞2.(2)由f (x )是偶函数且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增可知，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又因为f (2|a －1|)＞f (－2)，而f (－2)＝f (2)，所以2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，解得12＜a ＜32.]应用4 应用方程思想求值【典例4】(1)(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.(2)[一题多解](2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.(1)217 3 (2)2 [(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B，得sin B ＝ba·sin A ＝27×32＝217. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)．(2)法一：由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4ky －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4.由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.]【对点训练4】(1)[一题多解](2019·秦皇岛模拟)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2(2)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70，且a 1，a 2，a 6成等比数列．设b n ＝2S n ＋48n，则数列{b n }最小项的值为________．(1)A (2)23 [(1)法一：由|a ＋b |＝|a －b |，可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，所以a·b ＝0，故a·b ＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1. 法二：a ＋b ＝(2λ＋2,2)，a －b ＝(－2,0)，由|a ＋b |＝|a －b |，可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1. (2)设公差为d ，且d ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝10，a 1＋d 2＝a 1a 1＋5d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，d ＝0(舍去)，所以a n ＝3n －2，S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n2，所以b n ＝3n 2－n ＋48n＝3n ＋48n－1≥23n ·48n －1＝23，当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号，故数列{b n }最小项的值为23.]应用5 方程思想解不等式【典例5】(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)[一题多解]若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．切入点：(1)f (x )＝0有两个相等实根，f (x )＝c 的两根分别为m ，m ＋6. (2)法一：注意到ab 与a ＋b 的关系，可将原等式转化为一元二次方程．法二：利用均值不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22求解．(1)9 (2)[9，＋∞) [(1)因为f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2－4b ＝0，又f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)．∴m ，m ＋6是对应方程f (x )＝c 的两个不同的根．即x 2＋ax ＋b －c ＝0的两根分别为m ，m ＋6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋6＝－a ，mm ＋6＝b －c .由题意得|m ＋6－m |＝a 2－4b －c ＝a 2－a 2＋4c ，解得c ＝9.(2)法一：若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3.所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝t －32－4t ≥0，a ＋b ＝t －3＞0，ab ＝t ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t ＞3，t ＞0，解得t ≥9，即ab ≥9.所以ab 的取值范围是[9，＋∞)．法二：∵ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab －3＝a ＋b ≥2ab ，令ab ＝t ，则t 2－2t －3≥0， ∴t ≤－1或t ≥3，∴ab ≤－1(舍)或ab ≥3，即ab ≥9.]【对点训练5】关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为( )A ．(－3,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2D ．(－1,2)C [由关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，已知方程x 2＋ax ＋b ＝0的两实数根分别为－3,1，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－3＋1，b ＝－3×1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，所以不等式ax 2＋bx －2＜0可化为2x 2－3x －2＜0，即(2x ＋1)(x －2)＜0，解得－12＜x ＜2，即所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.] 2.数形结合思想够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.应用1 在求最值、零点等问题中的应用【典例1】(1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3,13－x }的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．切入点：(1)画出函数f (x )的图象，借助图象，直观可得最值． (2)画出y ＝f (x )及y ＝b 的图象，数形结合求解．(1)C (2)(3，＋∞) [(1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图．由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3,13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 点C 下方的部分的组合图，显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3,13－x }取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x 得点C (5,8)．所以f (x )max ＝8.(2)作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2.∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3.]【对点训练1】(1)(2019·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1.若关于x的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94B.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94∪{1} D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1} (2)(2019·乌鲁木齐高三质量检测)函数f (x )＝12－x 的图象与函数g (x )＝2sin π2x 在区间[0,4]上的所有交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________.(1)D (2)12 [(1)如图，分别画出两函数y ＝f (x )和y ＝－14x ＋a 的图象．①先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x 的图象只有一个交点的情况．当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1,2)时，2＝－14＋a ，解得a ＝94.所以0≤a ≤94.②再研究当x ＞1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况：相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为2，12，则a ＝1.相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x 的图象只有一个交点．过点A (1,1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54.结合图象可得，所求实数a 的取值范围为54，94∪{1}．故选D.(2)如图，画出函数f (x )和g (x )在[0,4]上的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.]应用 2 在求解不等式或参数范围中的应用【典例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]切入点：先画出函数的图象，数形结合求解．D [作出函数y ＝|f (x )|的图象，如图，当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，显然，k＝－2.∴a 的取值范围是[－2,0]．]【对点训练2】(1)(2019·武昌模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，x ＋2y －9≤0x ≥1，则z ＝2x ＋y 的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[3,6]C ．[3,12]D ．[6,12](2)(2019·全国卷Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，73C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83(1)C(2)B[(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，x ＋2y －9≤0，x ≥1表示的平面区域如图中三角形ABC (包括边界)所示，作出直线2x ＋y ＝0并平移，可知当直线z ＝2x ＋y 经过点A 时，z 取得最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即A (1,1)，所以z min ＝2×1＋1＝3，当直线z ＝2x ＋y 经过点B 时，z 取得最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，x ＋2y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2，即B (5,2)，所以z max ＝2×5＋2＝12，所以z 的取值范围为[3,12]，故选C.(2)当－1＜x ≤0时，0＜x ＋1≤1，则f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1＜x ≤2时，0＜x－1≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2＜x ≤3时，0＜x －2≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3)，…由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…12x ＋1x ，－1＜x ≤0，x x －1，0＜x ≤1，2x －1x －2，1＜x ≤2，22x －2x －3，2＜x ≤3，…由此作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知当2＜x ≤3时，令22(x －2)(x －3)＝－89，整理，得(3x －7)(3x－8)＝0，解得x ＝73或x ＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，73，故选B.]应用3 在平面向量中的应用【典例3】已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2切入点：a，b是单位向量，a·b＝0可联想坐标法，以a，b所在直线建系求解．C[∵|a|＝|b|＝1，且a·b＝0，∴可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．∴c－a－b ＝(x－1，y－1)．∵|c－a－b|＝1，∴x－12＋y－12＝1，即(x－1)2＋(y－1)2＝1.又|c|＝x2＋y2，如图所示．由图可知，当c 对应的点(x ，y )在点C 处时，|c |有最大值且|c |max ＝12＋12＋1＝2＋1.]【对点训练3】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C ．2D ．2－ 3A [设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1,0)，由b2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x ＞0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.]应用4 在解析几何中的应用【典例4】(1)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4(2)已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．切入点：(1)∠APB ＝90°，则点P 落在以AB 为直径的圆上，画出图形，结合点与圆的位置关系求解．(2)画出图形，结合图形知△APF 的周长取得最小值时P 点的位置．(1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 [(1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.(2)因为(－2)2＜8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.] 【对点训练4】已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________．22 [从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S △PAC ＝12|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.]3．分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.应用1 由基本概念、法则引起的分类讨论【典例1】(1)若函数f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.(2)在等比数列{a n }中，已有a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.(1)14 (2)32或6 [(1)若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m . 解得a ＝2，m ＝12.此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立．当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a11＋q ＋q2＝92. ②由②①，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去)．当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6，综上可知，a 1＝32或a 1＝6.]【对点训练1】(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14(2)已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________. (3)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且A ＝2B ，b ≠c ，若a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，则A ＝________.(1)A (2)－32 (3)π4 [(1)由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x ＞0，所以2a －1＝－1无解；②若a ＞1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＋1＝8，a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.(2)当a ＞1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(3)∵a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，∴a 2＋c 2－b 22ac＝sin C .由余弦定理得cos B ＝sin C ， ∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴C ＝π2－B 或C ＝π2＋B .①当C ＝π2－B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，得A ＝π2，B ＝C ＝π4，这与“b ≠c ”矛盾．∴A ≠π2.②当C ＝π2＋B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，得B ＝π8，C ＝5π8，A ＝π4.]应用2 由图形的不确定性引起的分类讨论【典例2】(1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12B.12 C ．0D ．－12或0(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________．(1)D (2)12或32[(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示．由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kx －y ＋1＝0与直线y 轴或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k 的值为0或－12.(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.]【对点训练2】(1)已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )A.833 B ．4 3 C.239D ．43或833(2)若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为________．(1)D (2)32或5 [(1)当正三棱柱的高为4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当正三棱柱的高为6时，体积V ＝43×233×12×6＝833，故选D.(2)由题意可知m 2＝2×8＝16，∴m ＝±4. 当m ＝4时，曲线为椭圆，离心率e ＝1－14＝32. 为m ＝－4时，曲线为双曲线，离心率e ＝1＋4＝ 5.]应用3 由参数变化引起的分类讨论【典例3】已知函数f (x )＝x 2－(2m ＋1)x ＋ln x (m ∈R )．(1)当m ＝－12时，若函数g (x )＝f (x )＋(a －1)ln x 恰有一个零点，求a 的取值范围；(2)当x ＞1时，f (x )＜(1－m )x 2恒成立，求m 的取值范围．切入点：(1)求f ′(x )，就a 的取值结合f (x )的单调性分析．(2)构造函数h (x )＝f (x )－(1－m )x 2，就m 的取值及h (x )的最大值情况求m 的取值范围． [解](1)函数g (x )的定义域为(0，＋∞)．当m ＝－12时，g (x )＝a ln x ＋x 2，所以g ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋a x.①当a ＝0时，g (x )＝x 2，在x ∈(0，＋∞)上，g (x )＝0无解．∴x ＞0时无零点，即a ≠0. ②当a ＞0时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，取x 0＝e －1a，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1a ＝－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1a 2＜0，因为g (1)＝1，所以g (x 0)·g (1)＜0，此时函数g (x )恰有一个零点，即a ＞0. ③当a ＜0时，令g ′(x )＝0，解得x ＝－a2. 当0＜x ＜－a2时， g ′(x )＜0，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减；当x ＞－a2时，g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞上单调递增．要使函数g (x )有一个零点，则g ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln －a 2－a2＝0，即a ＝－2e. 综上所述，若函数g (x )恰有一个零点，则a ＝－2e 或a ＞0.(2)令h (x )＝f (x )－(1－m )x 2＝mx 2－(2m ＋1)x ＋ln x ，根据题意，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0恒成立．又h ′(x )＝2mx －(2m ＋1)＋1x ＝x －12mx －1x.①若0＜m ＜12，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞时，h ′(x )＞0恒成立，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上是增函数，且h (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞，所以不符合题意． ②若m ≥12，则x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0恒成立，所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，且h (x )∈(h (1)，＋∞)，所以不符合题意．③若m ≤0，则x ∈(1，＋∞)时，恒有h ′(x )＜0，故h (x )在(1，＋∞)上是减函数，于是“h (x )＜0对任意x ∈(1，＋∞)都成立”的充要条件是h (1)≤0，即m －(2m ＋1)≤0，解得m ≥－1，故－1≤m ≤0.综上，m 的取值范围是[－1,0]．【对点训练3】已知函数f (x )＝ax ＋a －1x＋1－2a (a ＞0)，若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．[解] 令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋a －1x＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)，则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －a －1x 2＝a x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x2.①当1－a a ＞1，即0＜a ＜12时，若1＜x ＜1－a a ，则g ′(x )＜0，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1－a a 上是减函数，所以存在x ∈[1，＋∞)，使g (x )＜g (1)＝0，即f (x )＜ln x ，所以f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不恒成立．②当1－a a ≤1，即a ≥12时，若x ≥1，则g ′(x )≥0，g (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝0，即f (x )≥ln x ，所以当x ≥1时，f (x )≥ln x 恒成立．综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.4.转化与化归思想应用1 直接转化【典例1】(1)(2019·沈阳质量检测(一))抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为________．(2)(2019·福州模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋a (sin x －cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是________．(1)3 3 (2)[2，＋∞) [(1)由y 2＝6x ，知p ＝3，由焦半径公式得x 1＋p 2＝92，即x 1＝3，代入得y 21＝18，则|MO |＝x 21＋y 21＝33(O 为坐标原点)，故填3 3.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋a (sin x －cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以f ′(x )＝－2sin 2x ＋a (cos x ＋sin x )≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ＋sinx ＞0，a ≥2sin 2x sin x ＋cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立．令g (x )＝2sin 2x sin x ＋cos x ＝4sin x cos x sin x ＋cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则4sin x cos x ＝2(t 2－1)，又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以t ∈[]1，2，故函数h (t )＝2t 2－2t ＝2t －2t ，函数h (t )在t ∈[1，2]时单调递增，所以当t ＝2时，h (t )取到最大值，h (t )max ＝2，故g (x )max ＝2，所以a ≥ 2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．]【对点训练1】(1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A.79 B.23 C ．－23D ．－79(2)(2019·安庆二模)将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________． (1)D (2)－160 [(1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝－79，故选D.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6，展开后的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k 6·(x )6－2k.令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.]应用2 等价转化【典例2】(1)已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．(2)函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．(1)2 (2)1 [(1)由4y －2yx＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ·y x ＝2，当且仅当x 4y ＝yx，即x ＝2y 时等号成立．所以x ＋2y 的最小值为2.(2)y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22， ∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22. ∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减， ∴t ＝0时，y max ＝1.]【对点训练2】 (2019·武汉模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为CD 中点，则四面体A BC 1M 的体积( )A.12 B.14 C.16D.112C [在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，∵M 为CD 中点，∴S △ABM ＝12×1×1＝12，∴VA BC 1M ＝VC 1ABM ＝13×12×1＝16.故选C.]应用3 正与反的相互转化【典例3】(1)掷一枚均匀的硬币10次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为________．(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．(1)193512 (2)－373＜m ＜－5 [(1)出现正面次数与出现反面次数相等的概率为C 510210＝2521 024＝63256.利用对称性，即出现正面的次数多于出现反面次数的概率与出现反面的次数多于出现正面次数的概率是相等的，所以出现正面的次数多于出现反面次数的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63256÷2＝193512. (2)由题意得g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，则m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.]【对点训练3】(1)由命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2(2)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 [(1)命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e|x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.(2)若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0，且Δ＝36p 2≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0，f1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.解得p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的P 的取值范围．所以满足题意的实数p 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.]应用4 一般与特殊的转化【典例4】(1)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C2的值为( )A.15 B.14 C.12D.23(2)过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q等于( )A ．2a B.12aC ．4aD.4a(1)C (2)C [(1)令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意(取满足条件的三边)．则由C ＝90°，得tan C2＝1.由tan A ＝43，得2tanA21－tan 2A 2＝43，解得tan A 2＝12.所以tan A 2·tan C 2＝12×1＝12.(2)取直线PQ 平行于x 轴，易知PQ 的方程为：y ＝14a ，如图所示，则PF＝FQ ＝12a，∴1p ＋1q＝2a ＋2a ＝4a .故选C.]【对点训练4】(1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6(2)如图，在三棱锥S ABC 中，E ，F ，G ，H 分别为SA ，AC ，BC ，SB 的中点，则截面EFGH 将该三棱锥分成的两部分的体积之比V ABGH E FV SCGH E F＝________. (1)C (2)1 [(1)(特例法)若四边形ABCD 为矩形，建系如图．由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，知M (6,3)，N (4,4)，所以AM →＝(6,3)，NM →＝(2，－1)，AM →·NM →＝6×2＋3×(－1)＝9.(2)(秒杀解法)由于图形不确定，而答案固定，故假设该三棱锥为正四面体，则所截得的两部分形状一样，体积相等，故答案为1.]应用5 常量与变量的转化【典例5】已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 [由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ1＜0，φ－1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0.] 【对点训练5】(1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立，则x 的取值范围为________．(2)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________．(1)R (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) [(1)∵x 2－ax ＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立，即a ·(－x )＋x 2＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立．令f (a )＝a ·(－x )＋x 2＋1则⎩⎪⎨⎪⎧ f －2≥0，f 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋x 2＋1≥0，－2x ＋x 2＋1≥0. ∴x ∈R . (2)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2,2]时，f (t )＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f －2＞0，f 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x 2－4log 2x ＋3＞0，log 2x 2－1＞0，解得log 2x ＜－1或log 2x ＞3，即0＜x ＜12或x ＞8，故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞)．] 应用6 形体位置关系的相互转化【典例6】已知在三棱锥P ABC 中，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．240C [因为三棱锥P ABC 的三组对边两两相等，故可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P ABC 补成一个长方体AEBG FPDC .易知三棱锥P ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线．不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P ABC ＝V AEBG FPDC －V P AEB －V C ABG －V B PDC －V A FPC ＝V AEBG FPDC －4V P AEB ＝6×8×10－4×13×12×6×8×10＝160.]【对点训练6】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是________．52 [连接A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开，与△A 1BC 1在同一个平面内，如图，连接A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．通过计算可得AB ＝A 1B 1＝38，A 1B ＝40，A 1C 1＝6，BC 1＝2，所以∠A 1C 1B ＝90°，又∠BC 1C ＝45°，所以∠A 1C 1C ＝135°.由余弦定理可求得A 1C ＝5 2.]。

(浙江专用)2020高考数学二轮复习热考题型解法指导第2讲解答题审题技巧教案

第2讲解答题审题技巧方法概述审题是解题的第一步，细致深入的审题是解题成功的必要前提．审题即审清题意，通常它包含三个环节，即解题前对已知与未知事项的初步分析与观察(通常意义下的审题)，解题过程中对题意的进一步分析，以及解题后的检验与反思．其具体内容是：已知什么？结论是什么？隐含什么？需做什么？得出什么？注意什么？等等；明确这些是正确解题的关键，下面浅谈一下如何学会审题．一审条件条件是解题的主要材料，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发掘条件的内在联系．[典型例题]设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数．若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围．[审题路线图]f (x )在(1，＋∞)上递减→f ′(x )<0→a 的范围；求g ′(x )→g (x )在(1，＋∞)上有最小值→a 的范围→结果． [规范解答] 令f ′(x )＝1x －a ＝1－axx＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1. 令g ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a . 当x ＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0. 又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a ＞1，即a ＞e. 综上可知，a ∈(e ，＋∞)．二审结论问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．[典型例题](2019·杭州模拟)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2，BC ＝3.(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ； (2)求四棱锥B AA 1C 1D 的体积． [审题路线图](1)要证AB 1∥平面BC 1D →只需证AB 1与平面BC 1D 内的一条直线平行即可→只需连接B 1C 交BC 1于点O ，则DO 为所需直线．(2)求B AA 1C 1D 的体积→求底面积和高→底面AA 1C 1D 为直角梯形，图中无高→应用底面和侧面垂直作高．[规范解答] (1)证明：如图，连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD .因为四边形BCC 1B 1是平行四边形，所以点O 为B 1C 的中点．因为D 为AC 的中点，所以OD 为△AB 1C 的中位线，所以OD ∥AB 1，因为OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ，所以AB 1∥平面BC 1D .(2)因为AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，所以平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，作BE ⊥AC ，垂足为E ，则BE ⊥平面AA 1C 1C .在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4＋9＝13，BE ＝AB ·BC AC ＝613，所以四棱锥B AA 1C 1D 的体积V ＝13×12(A 1C 1＋AD )·AA 1·BE ＝16×3213×2×613＝3.三审结构结构是数学问题的搭配形式，某些问题在已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系．审视结构要对结构进行分析、加工和转化，以实现解题突破．[典型例题](2019·台州调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值． [审题路线图](1)条件边、角共存，而结论求边→将角的余弦化为边→求出a ，c . (2)条件→求出角A 的三角函数→sin(A －B )的值． [规范解答] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝223. 因为a ＝c ，所以A 为锐角．所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.四审范围范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件．审视范围要适时利用相关量的约束范围，从整体上把握问题的解决方向．[典型例题]在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，求cos C 的值．[审题路线图]⎭⎪⎬⎪⎫sin A ＝513<12→0<A <π6或5π6<A <πcos B ＝35<22→B >π4→0<A <π6. [规范解答] 在△ABC 中，sin A ＝513<12，cos B ＝35<22，所以0<A <π6或56π<A <π，B >π4，所以0<A <π6，所以cos A ＝1213，sin B ＝45，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－1665.五审图形图形或者图象的力量比文字更为简洁而有力，挖掘其中蕴涵的有效信息，正确理解问题是解决问题的关键. 对图形或者图象的独特理解很多时候能成为解决问题的亮点．[典型例题]如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，判断直线EF与正方体的六个面所在的平面中的几个相交？[审题路线图]图形→理解AB 和CD 平行→EF 与左右侧面平行→结论．[规范解答] 取CD 的中点H ，连接EH 、FH (图略)．在正四面体CDEF 中，由于CD ⊥EH ，CD ⊥HF ，EH ∩HF ＝H ，所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥平面EFH ，则平面EFH 与正方体的左右两侧面平行，则EF 也与之平行，与其余四个平面相交．六审图表、数据题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．[典型例题]为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.32.43.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.60.51.80.62.11.12.51.22.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？[审题路线图](1)数据→A 、B 两种药20位患者日平均增加睡眠时间→比较平均数→结论． (2)数据→完成茎叶图→识图→结论．[规范解答] (1)设A 药观测数据的平均数为x －，B 药观测数据的平均数为y －. 由观测结果可得 x －＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3， y －＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x －>y －，因此可以看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制茎叶图如图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“2.”“3.”上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“0.”“1.”上，由此可以看出A 药的疗效更好．七审方法方法是解题的手段，数学思想方法是问题的主线．审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题解决事半功倍．审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍．[典型例题]在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，求满足条件的实数a 的所有值．[审题路线图]设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1x →PA 2关于x 的函数――→换元法PA 2关于新元t 的函数――→分类讨论表示最值→a 的值．[规范解答] 依题意可设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，1x (x >0)，则PA 2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝x 2＋1x2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2.令x ＋1x＝t ，则t ≥2且PA 2＝t 2－2－2at ＋2a 2＝(t －a )2＋a 2－2.若a ≥2，则当t ＝a 时，PA 2取最小值a 2－2，令a 2－2＝(22)2，解得a ＝10(a ＝－10舍去)；若a <2，则当t ＝2时，PA 2取最小值2a 2－4a ＋2，令2a 2－4a ＋2＝(22)2，解得a ＝－1(a ＝3舍去)．综上得，满足条件的所有a 的值为－1和10. 审题归纳(1)审题要慢、答题要快．审题速度不宜太快，而且最好采取二次读题的方法，第一次为泛读，大致了解题目的条件和要求；第二次为精读，根据要求找出题目的关键词语并挖掘题目的隐含条件．(2)要善于变换．当明确已知条件和求解对象后，如果尚不能生发解题思路，必须变换已知条件或结论的形式，使它们产生有机的联系．(3)要善于联想．联想是接通思路的桥梁，如果我们在审题中无法套用现成解题模式，必须进行广泛的联想．(4)要善于挖掘隐含条件．审题的一个关键在于：发现题材中的“机关”——题目中的一些隐含条件，往往是该题“价值”之所在，也是我们失分的“隐患”．(5)要善于启动逆向与创新思维．当解一个数学问题的思维受阻时，适当改变思维角度，适时启动逆向思维与创新思维，往往能跳出常规思维的框框，突破思维障碍．专题强化训练1．(2019·宁波模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan A ＋1＝2ca .(1)求B ；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，求sin A 的值．解：(1)由tan B tan A ＋1＝2c a 及正弦定理，得sin B cos A cos B sin A ＋1＝2sin Csin A ，所以sin B cos A ＋cos B sin A cos B sin A ＝2sin Csin A ，即sin （A ＋B ）cos B sin A ＝2sin C sin A ，则sin C cos B sin A ＝2sin C sin A.因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0，所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)因为0＜C ＜2π3，所以π6＜C ＋π6＜5π6.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝223.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6sin π6＝26＋16.2.如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1B 1B 为正方形，BB 1C 1C 是菱形，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C .(1)求证：BC ∥平面AB 1C 1；(2)求证：B 1C ⊥AC 1；(3)设点E ，F ，H ，G 分别是B 1C ，AA 1，A 1B 1，B 1C 1的中点，试判断E ，F ，H ，G 四点是否共面，并说明理由．解：(1)证明：在菱形BB 1C 1C 中，BC ∥B 1C 1. 因为BC ⊄平面AB 1C 1，B 1C 1⊂平面AB 1C 1，所以BC ∥平面AB 1C 1. (2)证明：连接BC 1. 在正方形ABB 1A 1中，AB ⊥BB 1.因为平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，平面AA 1B 1B ∩平面BB 1C 1C ＝BB 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C .因为B 1C ⊂平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥B 1C . 在菱形BB 1C 1C 中，BC 1⊥B 1C .因为BC 1⊂平面ABC 1，AB ⊂平面ABC 1，BC 1∩AB ＝B ，所以B 1C ⊥平面ABC 1.因为AC 1⊂平面ABC 1，所以B 1C ⊥AC 1. (3)E ，F ，H ，G 四点不共面. 理由如下：因为E ，G 分别是B 1C ，B 1C 1的中点，所以GE ∥CC 1. 同理可证：GH ∥C 1A 1.因为GE ⊂平面EHG ，GH ⊂平面EHG ，GE ∩GH ＝G ，CC 1⊂平面AA 1C 1C ，A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ，所以平面EHG ∥平面AA 1C 1C . 因为F ∈平面AA 1C 1C ，所以F ∉平面EHG ，即E ，F ，H ，G 四点不共面．3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，右焦点为F ，点N (2，0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动弦AB 与x 轴垂直，求证：直线AF 与直线BN 的交点M 仍在椭圆E 上．解：(1)因为e ＝22，所以a ＝2c ，b ＝c ，即椭圆E 的方程可以设为x 22b 2＋y 2b2＝1.将点P 的坐标代入得：b 2＝14＋34＝1，所以，椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：右焦点为F (1，0)，设A (x 0，y 0)，由题意得B (x 0，－y 0)．所以直线AF 的方程为：y ＝y 0x 0－1(x －1)，①直线BN 的方程为：y ＝－y 0x 0－2(x －2)，② ①②联立得，y 0x 0－1(x －1)＝－y 0x 0－2(x －2)，即x ＝3x 0－42x 0－3，再代入①得，y ＝y 0x 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－42x 0－3－1，即y ＝y 02x 0－3.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－42x 0－3，y 02x 0－3.又因为x 2M2＋y 2M＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－42x 0－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 02x 0－32 ＝（3x 0－4）2＋2y 202（2x 0－3）2，③ 将y 20＝1－x 202代入③得，x 2M2＋y 2M ＝（3x 0－4）2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2022（2x 0－3）2＝8x 20－24x 0＋182（2x 0－3）2 ＝2（2x 0－3）22（2x 0－3）2＝1. 所以点M 在椭圆E 上．4．(2019·杭州模拟)已知函数f (x )＝exx.(1)若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为ax －y ＝0，求x 0的值； (2)当x ＞0时，求证：f (x )＞x ；(3)设函数F (x )＝f (x )－bx (x ＞0)，其中b 为实常数，试讨论函数F (x )的零点个数，并证明你的结论．解：(1)f ′(x )＝e xx －exx2. 因为切线ax －y ＝0过原点(0，0)，所以e x0x 0－e x0x 20＝ex 0x 0x 0，解得：x 0＝2. (2)证明：设g (x )＝f （x ）x ＝e x x2(x ＞0)，则g ′(x )＝e x（x 2－2x ）x 4. 令g ′(x )＝e x （x 2－2x ）x4＝0，解得x ＝2. x 在(0，＋∞)上变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以当x ＝2时，g (x )取得最小值4.所以当x ＞0时，g (x )≥e24＞1，即f (x )＞x .(3)F (x )＝0等价于f (x )－bx ＝0，等价于exx2－b ＝0.注意x ≠0.令H (x )＝e xx 2－b ，所以H ′(x )＝e x（x －2）x3(x ≠0)． ①当b ≤0时，H (x )＞0 ，所以H (x )无零点，即F (x )在定义域内无零点． ②当b ＞0时，当0＜x ＜2时，H ′(x )＜0，H (x )单调递减；当x ＞2时，H ′(x )＞0，H (x )单调递增．所以当x ＝2时，H (x )有极小值也是最小值，H (2)＝e24－b .当H (2)＝e 24－b ＞0，即0＜b ＜e24时，H (x )在(0，＋∞)上不存在零点；当H (2)＝e 24－b ＝0，即b ＝e24时，H (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点2；当H (2)＝e 24－b ＜0，即b ＞e 24时，由e 1b ＞1有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＝b e 1b －b ＝b (e 1b －1)＞0，而H (2)＜0，所以H (x )在(0，2)上存在唯一零点；又因为2b ＞3，H (2b )＝e 2b4b 2－b ＝e 2b－4b34b2. 令h (t )＝e t －12t 3，其中t ＝2b ＞2，h ′(t )＝e t－32t 2，h ″(t )＝e t －3t ，h(t )＝e t－3，所以h (t )＞e 2－3＞0，因此h ″(t )在(2，＋∞)上单调递增，从而h ″(t )＞h ″(2)＝e 2－6＞0，所以h ′(t )在(2，＋∞)上单调递增，因此h ′(t )＞h ′(2)＝e 2－6＞0，故h (t )在(2，＋∞)上单调递增，所以h (t )＞h (2)＝e 2－4＞0.由上得H (2b )＞0，由零点存在定理知，H (x )在(2，2b )上存在唯一零点，即在(2，＋∞)上存在唯一零点．综上所述：当b ＜e24时，函数F (x )的零点个数为0；当b ＝e24时，函数F (x )的零点个数为1；当b ＞e24时，函数F (x )的零点个数为2.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，2a n ＋1＝2a n ＋p (p 为常数，n ＝1，2，3，…)． (1)若S 3＝12，求S n ；(2)若数列{a n }是等比数列，求实数p 的值．(3)是否存在实数p ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为a 1＝1，2a n ＋1＝2a n ＋p ，所以2a 2＝2a 1＋p ＝2＋p ，2a 3＝2a 2＋p ＝2＋2p . 因为S 3＝12，所以2＋2＋p ＋2＋2p ＝6＋3p ＝24，即p ＝6. 所以a n ＋1－a n ＝3(n ＝1，2，3，…)．所以数列{a n }是以1为首项，3为公差的等差数列．所以S n ＝1×n ＋n （n －1）2×3＝3n 2－n 2.(2)若数列{a n }是等比数列，则a 22＝a 1a 3.由(1)可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 22＝1×(1＋p )．解得p ＝0. 当p ＝0时，由2a n ＋1＝2a n ＋p ，得：a n ＋1＝a n ＝…＝1. 显然，数列{a n }是以1为首项，1为公比的等比数列．所以p ＝0.(3)当p ＝0时，由(2)知：a n ＝1(n ＝1，2，3，…)．所以1a n＝1(n ＝1，2，3，…)，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 就是一个无穷等差数列．所以当p ＝0时，可以得到满足题意的等差数列．当p ≠0时，因为a 1＝1，2a n ＋1＝2a n ＋p ，即a n ＋1－a n ＝p2，所以数列{a n }是以1为首项，p2为公差的等差数列．所以a n ＝p 2n ＋1－p2.下面用反证法证明：当p ≠0时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 中不能取出无限多项并按原来次序排列成等差数列．假设存在p 0≠0，从数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为{b n }．设数列{b n }的公差为d .①当p 0＞0时，a n ＞0(n ＝1，2，3，…)．所以数列{b n }是各项均为正数的递减数列．所以d ＜0.因为b n ＝b 1＋(n －1)d (n ＝1，2，3，…)，所以当n ＞1－b 1d 时，b n ＝b 1＋(n －1)d ＜b 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－b 1d－1d ＝0，这与b n ＞0矛盾．②当p 0＜0时，令p 02n ＋1－p 02＜0，解得：n ＞1－2p 0.所以当n ＞1－2p 0时，a n ＜0恒成立．所以数列{b n }必然是各项均为负数的递增数列．所以d ＞0.因为b n ＝b 1＋(n －1)d (n ＝1，2，3，…)，所以当n ＞1－b 1d 时，b n ＝b 1＋(n －1)d ＞b 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－b 1d－1d ＝0，这与b n ＜0矛盾．综上所述，p ＝0是唯一满足条件的p 的值．。

2020新高考数学二轮复习全套教案精品

专题01集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1}(3)∅∈{0}(4)∅∉{0}(5){0}∈{0，1}(6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______．【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)，所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1，结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是()(A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)}(B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是()(A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是()(A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(U A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例1分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为()(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么()(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为()(A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集(B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集(C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集(D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件．6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________．7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假：(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除；(3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0；(4).041,2≥+-∈∀x x x R 10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是()(A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜(B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜(C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是()(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P(C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b∈P ”，则运算“&”可以是()(A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是()(A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0(C)cb 2＜ab 2(D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________．9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若AB ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈-(1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素；(2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B2．B3．A4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4}6．4个7．{x｜－1＜x＜2}8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D2．A3．B4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－17．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D3．A4．C5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3}7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B8．{0，1，2}9．{a ｜a ≥2}10．③．提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-xx x 所以012>-x x ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ，所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }．12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--8143(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=-∴A 中至少有－1，21，2三个元素．(2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．专题02函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x ，则x 的象为20，即2x ＋x ＝20．由于x ∈N ，2x ＋x 随着x 的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2设函数⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 则f (1)＝______；若f (0)＋f (a )＝－2，则a的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．所以f (1)＝3．又f (0)＝－1，所以f (a )＝－1，当a ≤0时，由a －1＝－1得a ＝0；当a ＞0时，由－a 2＋2a ＋2＝－1，即a 2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1(舍)．综上，a ＝0或a ＝3．例3下列四组函数中，表示同一函数的是()(A)22(,t y x y ==(B)2|,|t y x y ==(C)1,112+=--=x y x x y (D)xx y x y 2,==【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y ＝｜x ｜及y ＝｜t ｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4求下列函数的定义域(1);11--=x y (2);3212-+=x x y (3);)1()3lg(0-+-=x xx y (4);2|2|12---=x x y 解：(1)由｜x －1｜－1≥0，得｜x －1｜≥1，所以x －1≥1或x －1≤－1，所以x ≥2或x ≤0．所以，所求函数的定义域为{x ｜x ≥2或x ≤0}．(2)由x 2＋2x －3＞0得，x ＞1或x ＜－3．所以，所求函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ＜－3}．(3)由⎪⎩⎪⎨⎧=/-=/>-,01,0,03x x x 得x ＜3，且x ≠0，x ≠1，所以，所求函数的定义域为{x |x ＜3，且x ≠0，x ≠1}(4)由⎩⎨⎧=/=/≤≤-⎩⎨⎧=/-≥-⎩⎨⎧≠--≥-,4,0,112|2|01,02|2|0122x x x x x x x 且即，，得，所以－1≤x ≤1，且x ≠0．所以，所求函数定义域为{x ｜－1≤x ≤1，且x ≠0}．例5已知函数f (x )的定义域为(0，1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f (x )的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x 的取值范围；②受对应法则f 制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f (x )的定义域是(0，1)可知法则f 制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f (x ＋1)中，受f 直接制约的是x ＋1，而定义域是指x 的范围，因此通过解不等式0＜x ＋1＜1得－1＜x ＜0，即f (x ＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f (x 2)的定义域为{x ｜－1＜x ＜1，且x ≠0}．例6如图，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB ＝2x．⋅--==2π2,πxx l AD x 所以，.)2π2(π212π2222lx x x x x l x y ++-=+--=⋅⋅根据问题的实际意义．AD ＞0，x ＞0．解.π20,02π2,0+<<⎪⎩⎪⎨⎧>-->l x xx l x 得所以，所求函数定义域为⋅+<<}π20|{lx x【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y ＝tan x ，则2ππ+≠k x ，k ∈Z ．(2)不给出f (x )的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7(1)已知211(x xxf -=，求f (x )的解析式；(2)已知221)1(xx x x f +=+，求f (3)的值；(3)如果f (x )为二次函数，f (0)＝2，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，求f (x )的解析式；(4)*已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于直线x ＝1对称，求f (x )的解析式．【分析】(1)求函数f (x )的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．⋅-=-=1)1(1111(2xxx xxf 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，⋅-=1)(2x xx f 方法二．设t x =1，则t x 1=．则1111)(22-=-=t t ttt f ，所以⋅-=1)(2x x x f 这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么．(2)用“凑型”的方法，.7)3(,2)(.2)1(11(2222=-=-+=+=+f x x f xx x x x x f 所以(3)因为f (x )为二次函数，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，所以，可设f (x )＝a (x －1)2－1，又f (0)＝2，所以a (0－1)2－1＝2，所以a ＝3．f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9某地区上年度电价为0.8元／kW·h ，年用电量为a kW·h ．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h 至0.75元／kW·h 之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h ．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h ．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x 元／kW·h 时，用电量将增加至,4.0a x k+-故电力部门的收益为)75.055.0)(3.0)(4.0(≤≤-+-=x x a x ky ．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a ，依题意，%),201)(3.08.0()3.0)(4.02.0(+-≥-+-a x a x a且0.55≤x ≤0.75，解得0.60≤x ≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题1．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝()(A){x ｜x ＞1}(B){x ｜x ＜1}(C){x ｜－1＜x ＜1}(D)∅2．图中的图象所表示的函数的解析式为()(A))20(|1|23≤≤-=x x y (B))20(|1|2323≤≤--=x x y (C))20(|1|23≤≤--=x x y (D)y ＝1－｜x －1｜(0≤x ≤2)3．已知f (x －1)＝x 2＋2x ，则=1(xf ()(A)x x 212+(B)112-x (C)22143x x x ++(D)212x x +4．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,3,21,,1,3)(2x x x x x x x f 若f (x )＝3，则x 的值是()(A)0(B)0或23(C)3±(D)3二、填空题5．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y ，x －2y )，在映射f 下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______．6．函数2||3)(--=x xx f 的定义域是______．7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出x 123x 123f (x )131g (x )321则f [g (1)]的值为______；满足f [g (x )]＞g [f (x )]的x 的值是______．8．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于点(0，1)对称，则f (x )的解析式为______．三、解答题9．已知f (x )＝2x ＋x －1，⎩⎨⎧<-≥=),0(1),0()(2x x x x x g 求g (－1)，g [f (1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A (0，9)，其轨迹方程为y ＝ax 2＋c (a ＜0)，D ＝(6，7)为x 轴上的给定区间．为使物体落在区间D 内，求a 的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P (－x，－f(x))都在其图象上．又点P 与点P '关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A ．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量∆x ＝x 2－x 1＞0，则当∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数；当∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，区间M 称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，那么就把函数y ＝f (x )叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数a ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (a ＋x )＝f (a －x )都成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．【例题分析】例1判断下列函数的奇偶性．(1);1)(-=x x x f (2);11)(+=x x f (3)f (x )＝x 3－3x ；(4);11lg xx y -+=(5)⋅+-=1212x x y 解：(1)解01≥-x x ，得到函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x ｜x ≠0}，但是，由于f (1)＝2，f (－1)＝0，即f (1)≠f (－1)，且f (1)≠－f (－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R ，又f (－x )＝(－x )3－3(－x )＝－x 3＋3x ＝－f (x )，所以此函数为奇函数．(4)解011>-+xx ，得－1＜x ＜1，又),(11lg 11lg )(1)(1lg)(x f x x x x x x x f -=-+-=+-=---+=-所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R ，又)(21211212)(x f x f xx x x -=+-=+-=---，所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；②f (x )是奇函数，并且f (x )在x ＝0时有定义，则必有f (0)＝0；③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f (x )＝0．判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：①判断函数的定义域是否关于原点对称；②考察f (－x )与f (x )的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2设函数f (x )在R 上有定义，给出下列函数：①y ＝－｜f (x )｜；②y ＝xf (x 2)；③y ＝－f (－x )；④y ＝f (x )－f (－x )．其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F (x )＝－｜f (x )｜，则F (－x )＝－｜f (－x )｜，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F (x )＝xf (x 2)，则F (－x )＝－xf [(－x )2]＝－xf (x 2)＝－F (x )，所以F (x )为奇函数．③令F (x )＝－f (－x )，则F (－x )＝－f [－(－x )]＝－f (x )，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F (x )＝f (x )－f (－x )，则F (－x )＝f (－x )－f [－(－x )]＝f (－x )－f (x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数．所以，②④为奇函数．例3设函数f (x )在R 上有定义，f (x )的值不恒为零，对于任意的x ，y ∈R ，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则函数f (x )的奇偶性为______．解：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )，所以f (－x )＝－f (x )，又f (x )的值不恒为零，故f (x )是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )”的使用一般有以下两个思路：令x ，y 为某些特殊的值，如本题解法中，令x ＝y ＝0得到了f (0)＝0．当然，如果令x ＝y ＝1则可以得到f (2)＝2f (1)，等等．令x ，y 具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y ＝－x ．得到f (2x )＝2f (x )，在某些情况下也可令y ＝x1，y ＝x ，等等．总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，求b 的值，并比较f (－1)与f (4)的大小．解：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以x ＝1为二次函数图象的对称轴，所以12=-b ，b ＝－2．根据对称性，f (－1)＝f (3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，所以f (3)＜f (4)，即f (－1)＜f (4)．例5已知f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，(1)求f (－1)的值；(2)当x ＜0时，求f (x )的解析式．解：(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x ＜0时，－x ＞0．所以，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ．方法二：设(x ，y )是f (x )在x ＜0时图象上一点，则(－x ，－y )一定在f (x )在x ＞0时的图象上．所以，－y ＝(－x )2－2(－x )，所以y ＝－x 2－2x ．。

(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆教案

第1讲直线与圆直线的方程[核心提炼]1．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： |AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行直线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．2．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[典型例题](1)(2019·温州十五校联合体联考)已知直线l 1：mx ＋(m ＋1)y ＋2＝0，l 2：(m ＋1)x＋(m ＋4)y －3＝0，则“m ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知m ∈R ，若点M (x ，y )为直线l 1：my ＝－x 和l 2：mx ＝y ＋m －3的交点，l 1和l 2分别过定点A 和B ，则|MA |·|MB |的最大值为________．【解析】 (1)当m ＝－2时，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝－2，k 2＝12，此时k 1×k 2＝－1，则l 1⊥l 2.而m ＝－1时，也有l 1⊥l 2，故选A.(2)动直线l 1：my ＝－x 过定点A (0，0)，动直线l 2：mx ＝y ＋m －3化为m (x －1)－(y －3)＝0，得x ＝1，y ＝3.过定点B (1，3)．因为此两条直线互相垂直，所以|MA |2＋|BM |2＝|AB |2＝10，所以10≥2|MA |·|MB |，所以|MA |·|BM |≤5，当且仅当|MA |＝|MB |时取等号．【答案】 (1)A (2)5解决直线方程问题应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．两点式不能表示垂直于坐标轴的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线及垂直于坐标轴的直线．(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在．[对点训练]1．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1解析：选C.因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，解得n ＝－4，即直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是5，所以|m ＋3|1＋4＝5，得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.2．(2019·金丽衢十二校高考模拟)直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )恒过定点________，P (1，1)到该直线的距离最大值为________．解析：直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )即λ(y －3)＋x ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝0x ＋2＝0，解得x＝－2，y ＝3.所以直线l 恒过定点Q (－2，3)，P (1，1)到该直线的距离最大值为|PQ |＝32＋22＝13.答案：(－2，3)133．在△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝________．解析：由两点间距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12|⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322－14|，又1<m <4，所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值．答案：94圆的方程及应用[核心提炼]1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．[典型例题](1)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是__________．(2)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．【解析】 (1)由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．(2)设圆心为(a ，0)(a ＞0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，得a ＝2，半径r ＝（a －0）2＋（0－5）2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.【答案】 (1)(－2，－4) 5 (2)(x －2)2＋y 2＝9求圆的方程的两种方法(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程．(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．[对点训练]1．圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25解析：选A.y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ′＝－2x 2，令－2x2＝－2，得x ＝1，得平行于直线2x ＋y ＋1＝0的曲线y ＝2x(x >0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为55＝5，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.2．过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．10解析：选C.设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |＝4 6.3．(2019·宁波镇海中学高考模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则m ＝________； |MP |＝________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过圆心C (1，2)，所以1＋2m ＋1＝0.解得m ＝－1.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心(1，2)，半径r ＝2，因为经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，所以|MP |＝（1＋1）2＋（2＋1）2－4＝3. 答案：－1 3直线与圆、圆与圆的位置关系[核心提炼]1．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d ＜r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d ＞r ⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．2．圆与圆的位置关系的判定 (1)d ＞r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切；(3)|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．[典型例题](1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212C ．2 2D ．2【解析】 (1)由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2 a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(0，1)，半径为r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形PACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r ·|PB |，即|PB |的最小值为2，此时|PC |最小，|PC |为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ，此时d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2. 【答案】 (1)B (2)D解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．[对点训练]1．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.答案：－252．(2019·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O 1和圆O 2都经过点A (0，1)，若两圆与直线4x －3y ＋5＝0及y ＋1＝0均相切，则|O 1O 2|＝________．解析：如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|42＋（－3）2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1，设O 2(a ，b )，则由题意：⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a 2＋（b －1）2b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋（－3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1. 所以|O 1O 2|＝22＋12＝ 5. 答案： 5直线、圆与其他知识的交汇问题[核心提炼]高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新．[典型例题](1)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．(2)(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．【解析】 (1)设P (x ，y )，则由PA →·PB →≤20可得， (－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点．又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，（x ＋6）2＋（y －3）2＝65，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝－5，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)．易知－52≤x ≤1.(2)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，1a 2＋1b 2＝(a 29＋4b 29)(1a 2＋1b 2)＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2a 29b 2×4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1b2的最小值为1.【答案】 (1)[－52，1] (2)1对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法．1．(2019·浙江新高考冲刺卷)如图，直线x ＋2y ＝a 与圆x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，若OA →·OB →＝a ，则实数a 的值为( )A.5－654 B.65－54 C.5－554D.55－54解析：选A.OA →·OB →＝cos ∠AOB ＝a ，所以AB ＝1＋1－2cos ∠AOB ＝2－2a ，所以O 到直线AB 的距离d ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a 22，又d ＝|a |5，所以1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a 22＝|a |5，解得a ＝5－654或a ＝5＋654>1(舍)．2．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，设平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．解析：作出可行域，如图，由题意知，圆心为C (a ，b )，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.而直线y ＝1与可行域边界的交点为A (6，1)，B (－2，1)，目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.答案：371．(2019·杭州二中月考)已知直线3x －y ＋1＝0的倾斜角为α，则12sin 2α＋cos 2α＝( )A.25 B ．－15 C.14 D ．－120解析：选A.由题设知k ＝tan α＝3，于是12sin 2α＋cos 2α＝sin αcos α＋cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan α＋11＋tan 2α＝410＝25. 2．(2019·义乌二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A.102B.10 C ．5D ．10解析：选D.由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.3．(2019·杭州七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设条件p ：0＜r ＜3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，圆心(1，0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－0＋3|2＝2.由条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，可得0＜r ＜3.则p 是q 的充要条件．故选C.4．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：y ＝kx ＋1与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k 等于( )A ．1B ．2C ．－1D ．0解析：选D.由题意知圆心到直线l 的距离等于12r ＝1(r 为圆C 的半径)，所以|k ×0－0＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0.5．(2019·兰州市诊断考试)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )A ．(0，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，3]解析：选D.依题意，设点P (3＋cos θ，1＋sin θ)，因为∠APB ＝90°，所以AP →·BP →＝0，所以(3＋cos θ＋t )(3＋cos θ－t )＋(1＋sin θ)2＝0，得t 2＝5＋23cos θ＋2sinθ＝5＋4sin(θ＋π3)，因为sin(θ＋π3)∈[－1，1]，所以t 2∈[1，9]，因为t >0，所以t ∈[1，3]．6．圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0(D <0，E 为整数)的圆心C 到直线4x －3y ＋3＝0的距离为1，且圆C 被截x 轴所得的弦长|MN |＝4，则E 的值为( )A ．－4B ．4C ．－8D ．8解析：选C.圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋342＋（－3）2＝1，即|4D －3E －6|＝10，①在圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0中，令y ＝0得x 2＋Dx －3＝0. 设M (x 1，0)，N (x 2，0)，则x 1＋x 2＝－D ，x 1x 2＝－3. 由|MN |＝4得|x 1－x 2|＝4，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16， (－D )2－4×(－3)＝16. 由D <0，所以D ＝－2.将D ＝－2代入①得|3E ＋14|＝10，所以E ＝－8或E ＝－43(舍去)．7．动点A 与两个定点B (－1，0)，C (5，0)的距离之比为12，则△ABC 面积的最大值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12 解析：选D.设A 点坐标为(x ，y )．因为|AB ||AC |＝12，所以2（x ＋1）2＋y 2＝（x －5）2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋6x －7＝0，即(x ＋3)2＋y 2＝16.所以A 的轨迹表示以(－3，0)为圆心，半径为4的圆．所以△ABC 面积的最大值为S max ＝12|BC |·r ＝12×6×4＝12.8．(2019·浙江省名校联盟质量检测)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2解析：选B.根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，求|AB |的最小值等价于求d 的最大值，易知d max ＝12＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B .9．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析：易知当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，直线CM 的斜率为k CM ＝1－012－1＝－2，从而直线l 的斜率为k l ＝－1k CM ＝12，其方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.即2x －4y ＋3＝0.答案：2x －4y ＋3＝010．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则圆C 1的圆心C 1(m ，－2)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－1，m )，半径r 2＝2.如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝5，则m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2，所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切．答案：－5或211．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC |的最大值为________．解析：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为C (1，2)，半径r ＝2，若等边△PAB的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC ⊥AB .在△PAC 中，∠APC ＝30°，由正弦定理得|AC |sin 30°＝|PC |sin ∠PAC，所以|PC |＝22sin ∠PAC ≤22，故|PC |的最大值为2 2.答案：2 212．(2019·台州调研)已知动圆C 过A (4，0)，B (0，－2)两点，过点M (1，－2)的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．解析：依题意得，动圆C 的半径不小于12|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C的一条直径，此时点C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，又点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝（2－1）2＋（－1＋2）2＝2<5，所以点M 位于圆C 内，点M 为线段EF 的中点(过定圆内一定点作圆的弦，最短的弦是以该定点为中点的弦)时，|EF |最小，其最小值为2（5）2－（2）2＝2 3.答案：2 313．(2019·宁波市余姚中学期中检测)设直线系M ：x cos θ＋(y －2)sin θ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：①M 中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P 不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数n (n ≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上； ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．解析：因为点(0，2)到直线系M ：x cos θ＋(y －2)·sin θ＝1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1，直线系M ：x cos θ＋(y －2)·sin θ＝1(0≤θ≤2π)表示圆x 2＋(y －2)2＝1的切线的集合，①由于直线系表示圆x 2＋(y －2)2＝1的所有切线的集合，其中存在两条切线平行，M 中所有直线均经过一个定点不可能，故①不正确；②存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察知点(0，2)即符合条件，故②正确； ③由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n (n ≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故③正确；④如图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB ′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以M 中的直线所能围成的正三角形面积大小不一定相等，故④不正确．答案：②③14．(2019·南京一模)如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线y ＝33(x ＋1)上从左向右依次取点A k ，B k (k ＝1，2，…，其中A 1是坐标原点)，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________．解析：直线y ＝33(x ＋1)的倾斜角为30°，与x 轴的交点为P (－1，0)，又△A 1B 1A 2是等边三角形，所以∠PB 1A 2＝90°，所以等边△A 1B 1A 2的边长为1，且A 2B 1∥A 3B 2∥…∥A 10B 9，A 2B 1与直线y ＝33(x ＋1)垂直，故△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，△A 4B 3B 4，…，△A 10B 9B 10均为直角三角形，且依次得到A 2B 2＝2，A 3B 3＝4，A 4B 4＝8，A 5B 5＝16，A 6B 6＝32，A 7B 7＝64，A 8B 8＝128，A 9B 9＝256，A 10B 10＝512，故△A 10B 10A 11的边长是512.答案：51215．在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2（x －x 22），又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－（m2）2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．16．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．解：(1)圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为y ＝kx ，由|k ＋2|1＋k2＝2，得k ＝2±6；所以此切线方程为y ＝(2±6)x .②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.所以此切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，此切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由|PO |＝|PM |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，即x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ，所以直线PO 的方程为2x ＋y ＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝02x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310y ＝35，故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.17.(2019·杭州市高三期末考试)如图，P 是直线x ＝4上一动点，以P 为圆心的圆Γ经定点B (1，0)，直线l 是圆Γ在点B 处的切线，过A (－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l 交于E ，F 两点．(1)求证：|EA |＋|EB |为定值；(2)设直线l 交直线x ＝4于点Q ，证明：|EB |·|FQ |＝|BF |·|EQ |.证明：(1)设AE 切圆于M ，直线x ＝4与x 轴的交点为N ，则EM ＝EB ，所以|EA |＋|EB |＝|AM |＝AP 2－PM 2＝AP 2－PB 2＝AN 2－BN 2＝4为定值．(2)同理|FA |＋|FB |＝4，所以E ，F 均在椭圆x 24＋y 23＝1上，设直线EF 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，令x ＝4，y Q ＝3m，直线与椭圆方程联立得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 因为E ，B ，F ，Q 在同一条直线上，所以|EB |·|FQ |＝|BF |·|EQ |等价于－y 1·3m ＋y 1y 2＝y 2·3m－y 1y 2，所以2y 1y 2＝(y 1＋y 2)·3m，代入y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4成立，所以|EB |·|FQ |＝|BF |·|EQ |.18．(2019·金华十校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)存在．当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB . 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k （x 1－1）x 1－t＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，x 轴平分∠ANB .。

【2020高考数学《大二轮专题复习与增分策略》浙江版】专题一第2讲

第2讲三角恒等变换与解三角形热点一三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2 021π3等于( ) A.23 B.13 C ．－23 D ．－13 答案 B解析 cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2 021π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3＋673π，＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3＋π＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3， ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝33， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2 021π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3 ＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π3－1＝－⎝⎛⎭⎫23－1＝13.(3)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C解析因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)已知sin α＝cos α＋12，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________．答案－142解析由sin α＝cos α＋12，得1－2sin α·cos α＝14，即有sin αcos α＝38.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＋cos α＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α＝72. 从而cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( ) A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案 B解析 tan α＝cos 2β1－sin 2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β＝(cos β＋sin β)(cos β－sin β)(cos β－sin β)2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋β，又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＝π4＋β，即α－β＝π4. 热点二正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C ＝sin 2A . (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝1，求a 的最小值．解 (1)由正弦定理得：b 2＋c 2－2bc ＝a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)S ＝12bc sin A ＝1，从而bc ＝22，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4≥42－4(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，故a min ＝22－1.思维升华关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (2019·杭州外国语学校模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2＋c 2－b 2＝bc cos C ＋c 2cos B . (1)求B 的大小；(2)若△ABC 的面积为2534，且b ＝5，求sin A ＋sin C .解 (1)由余弦定理可得2ac cos B ＝bc cos C ＋c 2cos B ， ∴2a cos B ＝b cos C ＋c cos B ，由正弦定理可得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )＝sin A .∵sin A ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝2534，∴ac ＝25.①又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝25，② 由①②可得a ＝c ＝5，∴△ABC 为等边三角形，sin A ＝sin C ＝32， ∴sin A ＋sin C ＝ 3.热点三解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 已知函数f (x )＝4sin x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值和f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，f ⎝⎛⎭⎫A 2＝3，a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解 (1)f (x )＝4sin x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫cos x cos π3＋sin x sin π3－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝3，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝3，A ∈(0，π)，得A ＝2π3，又a ＝3，由余弦定理得3＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ，所以bc ≤1，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ≤34，当且仅当b ＝c ＝1时，取得最大值34. 思维升华解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解．跟踪演练3 已知函数f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，角C 为锐角且f (C )＝－3，求ab 的最大值．解 (1)f (x )＝sin 2x －3(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－3，令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)∵f (C )＝－3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2C －π3＝0， ∴C ＝π6或C ＝2π3(舍去)．当C ＝π6时，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，即a 2＋b 2－3＝3ab ≥2ab －3， ∴ab ≤6＋33，当且仅当a ＝b 时，ab 取得最大值6＋3 3.真题体验1．(2019·浙江，14)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________. 答案1225 7210解析在Rt △ABC 中，易得AC ＝5，sin C ＝AB AC ＝45.在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝BCsin ∠BDC ×sin ∠BCD ＝322×45＝1225，sin ∠DBC ＝sin [π－(∠BCD ＋∠BDC )]＝sin(∠BCD ＋∠BDC )＝sin ∠BCD ·cos ∠BDC ＋cos ∠BCD ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.又∠ABD ＋∠DBC ＝π2，所以cos ∠ABD ＝sin ∠DBC ＝7210. 2．(2018·浙江，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________. 答案2173 解析如图，由正弦定理a sin A ＝b sin B，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)．3．(2017·浙江，14)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________. 答案152104解析依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14，所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC＝12×2×2×154＝152. 因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理得，cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.押题预测1．已知sin 2α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________．答案1010解析因为2⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2－2α，则2α＝π2－2⎝⎛⎭⎫π4－α，所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α，所以45＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α，所以sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝110，又π4－α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1010.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝30°，C ＝45°，c ＝3，点P 是平面ABC 内的一个动点，若∠BPC ＝60°，则△PBC 面积的最大值是________．答案938解析 ∵A ＝30°，C ＝45°，c ＝3， ∴由正弦定理a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c ·sin Asin C ＝3×1222＝322.又∠BPC ＝60°，∴在△PBC 中，令PB ＝m ，PC ＝n ，由余弦定理可得cos ∠BPC ＝m 2＋n 2－922mn ＝12，∴m 2＋n 2－92＝mn ≥2mn －92(当且仅当m ＝n ＝322时等号成立)，∴mn ≤92，∴(S △PBC )max ＝12mn sin ∠BPC ＝938.3．已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m ＞0)的最大值为2. (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，f ⎝⎛⎭⎫A －π4＋f ⎝⎛⎭⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．解 (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2，而m ＞0，于是m ＝2， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )． (2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝23，化简f ⎝⎛⎭⎫A －π4＋f ⎝⎛⎭⎫B －π4＝46sin A sin B ，得 sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ，由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，即a 2＋b 2－ab ＝9，即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②，得2(ab )2－3ab －9＝0. 解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝334.A 组专题通关1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79 C ．－79 D ．－89 答案 B解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3 B.33 C ．－33D ．－ 3 答案 D解析因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2cos B ＝ac ，则该三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形答案 A解析由2cos B ＝ac 及余弦定理得2×a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－b 2ac ＝a c ，整理得c 2＝b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．4．已知锐角△ABC 外接圆的半径为2，AB ＝23，则△ABC 周长的最大值为( ) A ．4 3 B ．6 3 C ．8 3 D ．12 3 答案 B解析设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵锐角△ABC 外接圆的半径为2，AB ＝23， ∴c sin C ＝2R ，即23sin C＝4， ∴sin C ＝32，又C 为锐角， ∴C ＝π3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B＝4，得a ＝4sin A ，b ＝4sin B ，又c ＝23，∴a ＋b ＋c ＝4sin A ＋4sin B ＋2 3＝23＋4sin B ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B＝6sin B ＋23cos B ＋23＝43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋23， ∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时， a ＋b ＋c 取得最大值43＋23＝6 3.5．已知α为锐角，则2tan α＋3tan 2α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3答案 D解析方法一由tan 2α有意义，α为锐角可得α≠45°，∵α为锐角，∴tan α>0，∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋3(1－tan 2α)2tan α＝12⎝⎛⎭⎫tan α＋3tan α ≥12×2tan α·3tan α＝3，当且仅当tan α＝3tan α，即tan α＝3，α＝π3时等号成立．故选D. 方法二 ∵α为锐角，∴sin α>0，cos α>0， ∴2tan α＋3tan 2α＝2sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＝4sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝12⎝⎛⎭⎫sin αcos α＋3cos αsin α≥12×2sin αcos α·3cos αsin α＝3，当且仅当sin αcos α＝3cos αsin α，即α＝π3时等号成立．故选D.6．(2019·黄冈调研)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且C ＝π4，c ＝2，a ＝x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( ) A.2<x <1 B.2<x <2 C ．1<x <2D ．1<x < 2答案 B解析在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即x sin A ＝2sin π4，可得sin A ＝12x ，由题意得，当A ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4且 A ≠π2时，满足条件的△ABC 有两个，所以22<12x <1，解得2<x <2，则x 的取值范围是()2，2. 7．设△ABC 内切圆与外接圆的半径分别为r 与R ，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________；当BC ＝1时，△ABC 的面积为________．答案－14 31516解析 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，∴由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.令a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4t 2＋9t 2－16t 212t 2＝－14， ∴sin C ＝154. 当BC ＝1时，AC ＝32， ∴S △ABC ＝12×1×32×154＝31516. 8．在△ABC 中，AD 为边BC 上的中线，AB ＝1，AD ＝5，B ＝45°，则sin ∠ADC ＝________，AC ＝________. 答案 210 113解析在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B，则sin ∠ADB ＝AB sin B AD ＝1×225＝210，则sin ∠ADC ＝sin(π－∠ADB )＝sin ∠ADB ＝210. 在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即52＝12＋BD 2－2BD cos 45°，解得BD ＝42(舍负)，则BC ＝2BD ＝82，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝12＋(82)2－2×1×82cos 45°＝113，所以AC ＝113.9.如图，在△ABC 中，BC ＝2，∠ABC ＝π3，AC 的垂直平分线DE 与AB ，AC 分别交于点D ，E ，且DE ＝62，则BE 2＝________.答案 52＋ 3 解析如图，连接CD ，由题设，有∠BDC ＝2A ，所以CD sin π3＝BC sin 2A ＝2sin 2A ，故CD ＝3sin 2A. 又DE ＝CD sin A ＝32cos A ＝62，所以cos A ＝22，而A ∈(0，π)，故A ＝π4，因此△ADE 为等腰直角三角形，所以AE ＝DE ＝62. 在△ABC 中，∠ACB ＝5π12，所以AB sin 5π12＝2sin π4，故AB ＝3＋1，在△ABE 中，BE 2＝(3＋1)2＋⎝⎛⎭⎫622－2×(3＋1)×62×22＝52＋ 3. 10．(2019·绍兴一中模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝2c sin C ，△ABC 的面积S ＝abc .(1)求角C ；(2)求△ABC 周长的取值范围．解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝2π3. (2)由(1)知2c ＝sin C ，∴2a ＝sin A,2b ＝sin B .△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝12(sin A ＋sin B ＋sin C )＝12⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋34 ＝12⎝⎛⎭⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋34＝12⎝⎛⎭⎫12sin A ＋32cos A ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋34. ∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， ∴A ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3∈⎝⎛⎦⎤32，1， ∴△ABC 的周长的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2＋34. B 组能力提高11．已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( )A ．－43或0 B.43或0 C ．－43D.43答案 A解析因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2，解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，即tan θ2＝0或2，又tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0；当tan θ2＝2时，tan θ＝－43.12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos 2A －B 2＋cos C ＝32，且△ABC 的面积为14c 2，则C 等于( ) A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 A解析 2cos 2A －B 2＋cos C ＝cos(A －B )＋1－cos(A ＋B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＋1－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2sin A sin B ＋1＝32⇒sin A sin B ＝14， S △ABC ＝12ab sin C ＝14c 2⇒12sin A sin B sin C ＝14sin 2C ⇒sin C ＝12(sin C ≠0)， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π6或C ＝5π6，又cos C ＝32－2cos 2A －B 2≥32－2＝－12， ∴C ＝π6. 13．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S ＝a 24，给出以下结论：①sin A ＝2sin B sin C ；②tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ；③tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ；④tan A tan B tan C 有最小值8.其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析由S ＝a 24＝12ab sin C ，得a ＝2b sin C ，又a sin A ＝b sin B，得sin A ＝2sin B sin C ，故①正确；由sin A ＝2sin B sin C ，得sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同时除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，故②正确；因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B，且tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，所以tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan C ，整理移项得tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，故③正确；由tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，tan A ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1，且tan A ，tan B ，tan C 都是正数，得tan A tan B tan C ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1·tan B tan C ＝2tan B tan Ctan B tan C －1·tan B tan C ＝2(tan B tan C )2tan B tan C －1，设m ＝tan B tan C －1，则m >0，tan A tan B tan C ＝2(m ＋1)2m＝2⎝⎛⎭⎫m ＋1m ＋4≥4＋4m ·1m ＝8，当且仅当m ＝tan B tan C －1＝1，即tan B tan C ＝2时取“＝”，此时tan B tan C ＝2，tan B ＋tan C ＝4，tan A ＝4，所以tan A tan B tan C 的最小值是8，故④正确，故选D.14．(2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；c a的取值范围是________．答案 π3(2，＋∞) 解析由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B .又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ，∴tan B ＝3，又∠B ∈(0，π)，∴∠B ＝π3. 又∵∠C 为钝角，∴∠C ＝2π3－∠A >π2， ∴0<∠A <π6. 由正弦定理得c a ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－∠A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A. ∵0<tan A <33， ∴1tan A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即c a>2. ∴c a的取值范围是(2，＋∞)．15．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2.(1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小；(2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．解 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β.因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1. 又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4. (2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3. 由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24. 因为AD >BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144. 因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74. 所以△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． 16．已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝135°，则AP 的最小值为________．答案 17－ 2解析设∠PBC ＝θ，∠BCP ＝α，因为∠BPC ＝135°，所以θ＋α＝45°，则α＝45°－θ，所以cos α＝cos(45°－θ)＝22(cos θ＋sin θ)， sin α＝sin(45°－θ)＝22(cos θ－sin θ)，在Rt △ABC 中，可得cos C ＝213，sin C ＝313，则cos ∠ACP ＝cos(C －α)＝cos C cos α＋sin C sin α＝213×22(cos θ＋sin θ)＋313×22(cos θ－sin θ) ＝52213cos θ－2213sin θ，在△BCP 中，由正弦定理得 PC sin θ＝BC sin ∠BPC ＝2sin135°＝22，则PC ＝22sin θ，在△ACP 中，由余弦定理可得AP 2＝AC 2＋PC 2－2AC ·PC cos ∠ACP＝()132＋(22sin θ)2－2×13×22sin θ· ⎝ ⎛⎭⎪⎫52213cos θ－2213sin θ ＝13＋12sin 2θ－20sin θcos θ＝13＋12×1－cos 2θ2－10sin 2θ ＝19－(6cos 2θ＋10sin 2θ)＝19－234sin(2θ＋φ)，且0°<2θ<90°，tan φ＝35. 所以当2θ＋φ＝90°时，取得最小值，此时AP 2＝19－234，所以AP 的最小值为19－234＝17－ 2.。

2020高考数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第5讲导数的简单应用教案

第5讲导数的简单应用导数运算及其几何意义[核心提炼]1．导数公式（1）(sin x)′＝cos x；（2)(cos x)′＝－sin x；(3)(a x)′＝a x ln a(a>0）；(4）(log a x）′＝错误!(a〉0,且a≠1）．2．导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f（x）在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f（x）在点P处的切线的斜率k＝f′（x0），相应的切线方程为y－f（x0)＝f′(x0）·（x－x0)．［典型例题]（1）(2019·绍兴市柯桥区高三模拟）已知曲线y＝错误!x2－3ln x 的一条切线的斜率为－错误!，则切点的横坐标为（)A．－3 B．2 C．－3或2 D.错误!（2）已知f（x）＝错误!,g（x)＝（1＋sin x)2，若F（x)＝f(x）＋g(x),则F（x）的导函数为________．【解析】（1)设切点为（m，n）（m＞0），y＝错误!x2－3ln x的导数为y′＝12x－错误!，可得切线的斜率为错误!m－错误!＝－错误!，解方程可得，m＝2。

故选B.(2)因为f′(x)＝错误!＝错误!＝错误!g′(x）＝2（1＋sin x）（1＋sin x）′＝2cos x＋sin 2x，所以F′(x)＝f′（x)＋g′（x）＝错误!＋2cos x＋sin 2x。

【答案】(1）B (2)错误!＋2cos x＋sin 2x错误!利用导数几何意义解题的思路（1)利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化．（2）以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则根据平行、垂直与斜率之间的关系和导数联系起来求解．[对点训练]1．已知a∈R，设函数f(x）＝ax－ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′（x)＝a－错误!,所以f′(1)＝a－1，又f（1）＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1）（x－1），令x＝0，得y＝1。

(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线教案

第2讲椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程[核心提炼]1．圆锥曲线的定义、标准方程名称椭圆双曲线抛物线定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)|PF |＝|PM |点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2＝2px (p >0)所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“定量”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[典型例题](1)(2019·杭州市高考二模)设倾斜角为α的直线l 经过抛物线Г：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线Г交于A ，B 两点，设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方．若|AF ||BF |＝m ，则cos α的值为( )A.m －1m ＋1 B.mm ＋1C.m －1mD .2mm ＋1(2)椭圆x 24＋y 2＝1上到点C (1，0)的距离最小的点P 的坐标为________．(3)(2019·高考浙江卷)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．【解析】 (1)设抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为l ：x ＝－p2.如图所示，分别过点A ，B 作AM ⊥l ，BN ⊥l ，垂足分别为M ，N .在三角形ABC 中，∠BAC 等于直线AB 的倾斜角α，由|AF ||BF |＝m ，|AF |＝m |BF |，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(m ＋1)|BF |，根据抛物线的定义得：|AM |＝|AF |＝m |BF |，|BN |＝|BF |，所以|AC |＝|AM |－|MC |＝m |BF |－|BF |＝(m －1)|BF |，在直角三角形ABC 中，cos α＝cos ∠BAC ＝|AC ||AB |＝（m －1）|BF |（m ＋1）|BF |＝m －1m ＋1，故选A.(2)设点P (x ，y )，则|PC |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24 ＝34x 2－2x ＋2＝34⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋23.因为－2≤x ≤2，所以当x ＝43时，|PC |min ＝63，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53.(3)通解：依题意，设点P (m ，n )(n >0)，由题意知F (－2，0)，所以线段FP 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋m 2，n 2在圆x 2＋y 2＝4上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22＝4，又点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 25＝1上，所以m 29＋n 25＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－32或m ＝212(舍去)，n ＝152，所以k PF ＝152－0－32－（－2）＝15.优解：如图，取PF 的中点M ，连接OM ，由题意知|OM |＝|OF |＝2，设椭圆的右焦点为F 1，连接PF 1.在△PFF 1中，OM 为中位线，所以|PF 1|＝4，由椭圆的定义知|PF |＋|PF 1|＝6，所以|PF |＝2，因为M 为PF 的中点，所以|MF |＝1.在等腰三角形OMF 中，过O 作OH ⊥MF 于点H ，所以|OH |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝152，所以k PF ＝tan ∠HFO ＝15212＝15.【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53 (3)15(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． ②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[对点训练]1．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF 2的距离为455，其中点P (－1，－4)，则椭圆的标准方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1 C ．x 2＋y 22＝1D.x 22＋y 2＝1 解析：选D.设F 2的坐标为(c ，0)(c >0)，则kPF 2＝4c ＋1，故直线PF 2的方程为y ＝4c ＋1(x －c )，即4c ＋1x －y －4cc ＋1＝0，点(－1，0)到直线PF 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4c ＋1－4c c ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝455，即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＝4，解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以a 2－b 2＝1.①又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆E 上，所以1a 2＋12b 2＝1，② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.故选D.2．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________．解析：因为右焦点到渐近线的距离为b ，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，所以b ＝34·2c ＝32c ，平方得b 2＝34c 2＝c 2－a 2，即a 2＝14c 2，则c ＝2a ，则离心率e ＝c a＝2，因为双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4，所以2a ＝4，则a ＝2，从而b ＝16－4＝2 3. 答案：2 4 3圆锥曲线的几何性质[核心提炼]1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22B ．1 C. 2 D ．2 (2)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2【解析】 (1)因为双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，所以无论双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，都满足a ＝b ，所以c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝ 2.故选C.(2)设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.【答案】 (1)C (2)D圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[注] 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．[对点训练]1．(2019·绍兴诸暨高考二模)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2＝60°，则此双曲线的离心率等于( )A ．23－2 B.3＋12C.3＋1D ．23＋2解析：选C.设双曲线的焦距长为2c ，因为点P 为双曲线上一点，且∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，所以P 在右支上，∠F 2PF 1＝90°，即PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝2c sin 60°＝3c ， |PF 2|＝2c cos 60°＝c ，所以由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ，所以e ＝c a＝23－1＝3＋1.故选C.2．(2019·宁波高考模拟)如图，F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，则C 1与C 2的离心率之和为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．2 6解析：选A.F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12c ，32c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，－32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，可得e 24＋34e 2－4＝1，可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3－1.代入双曲线方程可得：c 24a 2－3c 24b2＝1，可得：e 24－34－4e 2＝1，可得：e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3＋1，则C 1与C 2的离心率之和为2 3. 故选A.直线与圆锥曲线 [核心提炼]1．直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y )得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0. ①若A ＝0，则：圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点． ②若A ≠0，则：当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入，即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. 考向1 位置关系的判断[典型例题]在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px ，整理得px2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．考向2 弦长问题[典型例题]已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，所以|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16，故选A.【答案】 A考向3 分点(中点)问题[典型例题]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且经过点P (2，53)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 经过M (0，1)，且与C 交于A ，B 两点，MA →＝－23MB →，求l 的方程．【解】 (1)依题意知，2c ＝4，则椭圆C 的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝（2＋2）2＋（53）2＋（2－2）2＋（53）2＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.(2)当l 的斜率不存在时，l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝0，A ，B 为椭圆短轴上的两点，不符合题意．当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 25＝1，y ＝kx ＋1，得(9k 2＋5)x 2＋18kx －36＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－18k 9k 2＋5，x 1·x 2＝－369k 2＋5，由MA →＝－23MB →得，(x 1，y 1－1)＝－23(x 2，y 2－1)，则x 1＝－23x 2，所以13x 2＝－18k 9k 2＋5，－23x 22＝－369k 2＋5，所以(－54k 9k 2＋5)2＝549k 2＋5，解得k ＝±13，故直线l 的方程为y ＝±13x ＋1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)； (3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．[对点训练]1．(2018·高考浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2 PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案：52．(2019·温州十五校联合体联考)过点M (0，1)且斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两渐近线交于点A ，B ，且BM →＝2AM →，则直线l 的方程为____________；如果双曲线的焦距为210，则b 的值为________．解析：直线l 的方程为y ＝x ＋1，两渐近线的方程为y ＝±b ax .其交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －a ，b b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋b ，b a ＋b .由BM →＝2AM →，得x B ＝2x A .若a b －a ＝－2a a ＋b ，得a ＝3b ，由a 2＋b 2＝10b 2＝10得b ＝1，若－aa ＋b ＝2ab －a，得a ＝－3b (舍去)．答案：y ＝x ＋1 1专题强化训练1．(2018·高考浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( ) A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2，0)，(2，0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0，2)解析：选B.由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．故选B.2．已知圆M ：(x －1)2＋y 2＝38，椭圆C ：x 23＋y 2＝1，若直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与圆M 相切于点P ，且P 为AB 的中点，则这样的直线l 有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条解析：选C.当直线AB 斜率不存在时且与圆M 相切时，P 在x 轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1，两式相减，整理得：y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2y 1＋y 2，则k AB ＝－x 03y 0，k MP ＝y 0x 0－1，k MP ·k AB ＝－1，k MP ·k AB ＝－x 03y 0·y 0x 0－1＝－1，解得x 0＝32，由32<3，可得P 在椭圆内部，则这样的P 点有2个，即直线AB 斜率存在时，也有2条．综上可得，所示直线l 有4条．故选C.3．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝(b2＋c )2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A ．(55，35) B ．(0，25) C ．(25，35) D ．(35，55) 解析：选 A.由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎪⎨⎪⎧a >b2＋c ，b <b2＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧（a －c ）2>14（a 2－c 2），a 2－c 2<2c⇒55<e <35.4．(2019·学军中学质检)双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则点P 的横坐标为( )A.3＋12 B.3＋22 C.3＋32D.332解析：选A.由点P 在双曲线的第一象限可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 2|＝|PF 1|－2＝c ，又|OP |＝c ，∠F 1PF 2＝90°，由勾股定理可得(c ＋2)2＋c 2＝(2c )2，解得c ＝1＋ 3.易知△POF 2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12. 5．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为( )A ．2 2B ．3C ．4D ．5 解析：选C.因为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12·m ·2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋（2m ）2＝25，又c a ＝52，所以a ＝4，故选C.6．(2019·宁波市诺丁汉大学附中高三期末考试)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB ＝120°，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．3 D ．2解析：选D.依题意，作图如图所示：因为OA ⊥FA ，∠AMO ＝60°，OM ＝OA ，所以△AMO 为等边三角形，所以OA ＝OM ＝a ，在直角三角形OAF 中，OF ＝c ，所以该双曲线的离心率e ＝c a ＝OF OA ＝1sin 30°＝2，故选D.7．(2019·杭州高三模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ ＝π3且OQ →＝5OP →，则双曲线C的离心率为( )A.213 B ．2 C.72D ．3 解析：选A.由图知△APQ 是等边三角形，设PQ 中点是H ，圆的半径为r ，则AH ⊥PQ ，AH ＝32r ，PQ ＝r ，因为OQ →＝5OP →，所以OP ＝14r ，PH ＝12r ，即OH ＝14r ＋12r ＝34r ，所以tan ∠HOA ＝AH OH ＝233，即b a ＝233，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝43，从而得e ＝c a ＝213，故选A. 8.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A.由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.因为点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，所以 |BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.9．(2019·温州高考模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝8|OF |(O 为坐标原点)，则|AF ||BF |＝________．解析：由题意，|AF |＝4p ，设|BF |＝x ，由抛物线的定义，可得p －x 4p －x ＝x x ＋4p ，解得x ＝47p ，所以|AF ||BF |＝7，故答案为7.答案：710．(2019·浙江名校协作体高三期末考试)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →＝λOA →＋μOB →，λμ＝425(λ，μ∈R )，则双曲线的离心率e 的值是________．解析：由题意可知，双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，右焦点为F (c ，0)，则点A ，B ，P 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以OA →，OB →，OP →的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，又OP →＝λOA →＋μOB →，则⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1b a＝λc a －μc a ，又λμ＝425，解得λ＝45，μ＝15，所以b a ＝4c 5a －c 5a ⇒e 2－1＝35e ⇒e ＝54. 答案：5411.(2019·台州市高考一模)如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线与抛物线及其准线分别交于A ，B ，C 三点，若FC →＝4FB →，则|AB →|＝________．解析：分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则DF ＝p ＝2，由抛物线的定义可知FB ＝BB 1，AF ＝AA 1，因为FC →＝4FB →，所以DF BB 1＝FC BC ＝43，所以FB ＝BB 1＝32.所以FC ＝4FB ＝6，所以cos ∠DFC ＝DF FC ＝13，所以cos ∠A 1AC ＝AA 1AC ＝AF AF ＋6＝13，解得AF ＝3，所以AB ＝AF ＋BF ＝3＋32＝92.答案：9212．设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是__________．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)13.(2019·浙江新高考冲刺卷)如图，过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)左焦点F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，C 是双曲线右支上一点，且A ，C 在x 轴的异侧，若满足|OA |＝|OF 1|＝|OC |，|CF 1|＝2|BF 1|，则双曲线的离心率为________．解析：取双曲线的右焦点F 2，连接CF 2，延长交双曲线于D ，连接AF 2，DF 1，由|OA |＝|OF 1|＝|OC |＝|OF 2|＝c ，可得四边形F 1AF 2C 为矩形，设|CF 1|＝2|BF 1|＝2m ，由对称性可得|DF 2|＝m ， |AF 1|＝4c 2－4m 2，即有|CF 2|＝4c 2－4m 2，由双曲线的定义可得2a ＝|CF 1|－|CF 2|＝2m －4c 2－4m 2，① 在直角三角形DCF 1中，|DC |＝m ＋4c 2－4m 2，|CF 1|＝2m ，|DF 1|＝2a ＋m ，可得(2a ＋m )2＝(2m )2＋(m ＋4c 2－4m 2)2，② 由①②可得3m ＝4a ，即m ＝4a 3，代入①可得，2a ＝8a3－4c 2－64a 29，化简可得c 2＝179a 2，即有e ＝c a ＝173. 故答案为173. 答案：17314．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c ，0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ ，又O 为线段F 1F 的中点，所以F 1Q ∥OM ，所以F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |. 在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc， |OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c2a.由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c2a＝2a ，整理得b ＝c ，所以a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：2215.(2019·温州模拟)已知直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)有且只有一个公共点P (2，1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ′：y ＝－x ＋b 交C 于A ，B 两点，且PA ⊥PB ，求b 的值．解：(1)联立直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)，可得(m ＋n )x 2－6nx ＋9n －1＝0，由题意可得Δ＝36n 2－4(m ＋n )(9n －1)＝0，即为9mn ＝m ＋n ，又P 在椭圆上，可得4m ＋n ＝1，解方程可得m ＝16，n ＝13，即有椭圆方程为x 26＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线y ＝b －x 和椭圆方程，可得3x 2－4bx ＋2b 2－6＝0，判别式Δ＝16b 2－12(2b 2－6)>0， x 1＋x 2＝4b 3，x 1x 2＝2b 2－63，y 1＋y 2＝2b －(x 1＋x 2)＝2b 3，y 1y 2＝(b －x 1)·(b －x 2)＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2－63，由PA ⊥PB ，即为PA →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1 ＝2b 2－63－2·4b 3＋b 2－63－2b 3＋5＝0，解得b ＝3或13，代入判别式，则b ＝13成立．故b 为13.16.(2019·浙江金华十校高考模拟)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 的坐标为(1，0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥QF ，C 为PQ 中点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段PQ 不垂直x 轴)，当Q 运动到椭圆的右顶点时，|PF |＝22. (1)求椭圆M 的标准方程；(2)若S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线PQ 的方程．解：(1)当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ⊥x 轴，所以|PF |＝b 2a ＝22，又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1. 椭圆M 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ′，显然k ≠0，联立椭圆方程得：(2k 2＋1)x 2＋4kb ′x ＋2(b ′2－1)＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝2（b ′2－1）2k 2＋1>0，①x 1＋x 2＝－4kb ′2k 2＋1>0，②Δ＝8（2k 2－b ′2＋1）>0，③由PF →·QF →＝0⇒(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0得：3b ′2－1＋4kb ′＝0，④点C ⎝⎛⎭⎪⎫－2kb ′2k 2＋1，b ′2k 2＋1，所以线段PQ 的中垂线AB 方程为：y －b ′2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2kb ′2k 2＋1，令y ＝0可得：A ⎝⎛⎭⎪⎫－kb ′2k 2＋1，0；令x ＝0可得 B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－b ′2k 2＋1，则A 为BC 中点，故S △BCF S △ABO ＝2S △ABF S △ABO ＝2|AF ||AO |＝2（1－x A ）x A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1，由④式得：k ＝1－3b ′24b ′，则x A ＝－kb ′2k 2＋1＝6b ′4－2b ′29b ′4＋2b ′2＋1， S △BCF S △ABO ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1＝6b ′4＋8b ′2＋26b ′4－2b ′2＝53，得b ′2＝3. 所以b ′＝3，k ＝－233或b ′＝－3，k ＝233.经检验，满足条件①②③，故直线PQ 的方程为：y ＝233x －3，y ＝－233x ＋ 3.17.(2019·绍兴市高三教学质量调测)已知点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上．(1)求椭圆C 的方程；(2)P 是线段AB 上的点，直线y ＝12x ＋m (m ≥0)交椭圆C 于M ，N 两点．若△MNP 是斜边长为10的直角三角形，求直线MN 的方程．解：(1)因为点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1上，所以a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m x24＋y 2＝1消去y ，得12x 2＋mx ＋m 2－1＝0，则Δ＝2－m 2>0，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，|MN |＝52|x 1－x 2|＝10－5m 2. ①当MN 为斜边时， 10－5m 2＝10，解得m ＝0，满足Δ>0，此时以MN 为直径的圆方程为x 2＋y 2＝52.点A (－2，0)，B (0，1)分别在圆外和圆内，即在线段AB 上存在点P ，此时直线MN 的方程y ＝12x ，满足题意．②当MN 为直角边时，两平行直线AB 与MN 的距离d ＝255|m －1|，所以d 2＋|MN |2＝45|m －1|2＋(10－5m 2)＝10，即21m 2＋8m －4＝0，解得m ＝27或m ＝－23(舍)，又Δ>0，所以m ＝27.过点A 作直线MN ：y ＝12x ＋27的垂线，可得垂足坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－127，－47，垂足在椭圆外，即在线段AB 上存在点P ，所以直线MN 的方程y ＝12x ＋27，符合题意．综上所述，直线MN 的方程为y ＝12x 或y ＝12x ＋27.18．(2019·杭州市高考数学二模)设抛物线Γ：y 2＝2px (p ＞0)上的点M (x 0，4)到焦点F 的距离|MF |＝54x 0.(1)求抛物线Γ的方程；(2)过点F 的直线l 与抛物线Γ相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l ′与抛物线Γ相交于C ，D 两点，若AC →·AD →＝0，求直线l 的方程．解：(1)因为|MF |＝x 0＋p 2＝54x 0，所以x 0＝2p .即M (2p ，4)．把M (2p ，4)代入抛物线方程得4p 2＝16，解得p ＝2. 所以抛物线Γ的方程为y 2＝4x .(2)易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k （x －1），消元得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，y 1＋y 2＝4k.设AB 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k2，2k ，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4（k 2＋1）k2. 所以直线l ′的方程为y －2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 2＋2k 2，即x ＝－ky ＋2k2＋3.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝－ky ＋2k 2＋3，消元得：y 2＋4ky －4⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k2＝0.设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4k ，y 3y 4＝－4⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k 2.所以x 3＋x 4＝4k 4＋6k 2＋4k2，所以CD 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4＋3k 2＋2k 2，－2k . 所以|CD |＝1＋k2（y 3＋y 4）2－4y 3y 4＝4（k 2＋1）k 2＋2|k |，|PQ |＝2（k 2＋1）k 2＋1|k |，因为AC →·AD →＝0，所以AC ⊥AD .所以|AQ |＝12|CD |.因为AB ⊥CD ，所以|AP |2＋|PQ |2＝|AQ |2，即14|AB |2＋|PQ |2＝14|CD |2，所以16（k 2＋1）2k 4＋16（k 2＋1）3k 2＝16（k 2＋1）2（k 2＋2）k2，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。

(浙江专用)2020高考数学专题二三角函数、平面向量与复数高考解答题的审题与答题示范(二)教案

高考解答题的审题与答题示范(二)三角函数与解三角形类解答题[思想流程]——三角函数问题重在“变”——变角、变式,[审题方法]——审条件条件是解题的主要资料，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．审察条件要充分发掘每一个条件的内涵和隐含信息，发掘条件的内在联系．典例审题路线标准答案1 (1)由题设得2ac sin B＝a23sin A，①1即2c sin B＝a3sin A.②(本题满分14分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC a2的面积为3sin A.(1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.阅卷现场第(1)问第(2) 问得①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩分 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 点6分8分第(1)问踩点得分说明由正弦定理得1 2 ①写出1ac sin B＝a2 得2分，假如没有记0分；2 3sin Asin C sin B＝sin A3sin A变式．③故sin B sin C＝1 aA得1分，超出此步不扣分；2 ②正确变形，得出2c sin B＝3sin3.④(2)由题设及(1)1 sin A③正确写出2sin C sin B＝3sin A得2分；得cos B cos C－1sin B sin C＝－2，④正确表达结论得1分.⑤即cos(B＋C)＝－1，因此B＋C＝22ππ3，故A＝3.⑥1由题设得2bc sina2A＝3sin A，⑦即bc＝8.⑧由余弦定理得b2 ＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝33.⑨故△ABC的周长为3＋33.⑩第(2)问踩点得分说明1⑤写出cos B cos C－sin B sinC＝－2得1分；⑥正确求出A得2分；1a2⑦正确写出2bc sin A＝3sin A得1分；⑧求出bc的值，正确得1分，错误不得分；⑨经过变形得出b＋c＝33得2分；⑩正确写出答案得1分.。

【2020高考数学《大二轮专题复习与增分策略》浙江版】专题一第1讲

第1讲三角函数的图象与性质热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，则sin 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45答案 C解析因为角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，所以tan θ＝3，则sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝610＝35.故选C.(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( ) A.12 B.13 C.16 D ．－16 答案 D解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)已知角α的终边上一点坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π3 答案 C解析角α的终边上一点坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，即为点⎝⎛⎭⎫12，－32，在第四象限，且满足cos α＝12，且sin α＝－32，故α的最小正值为5π3，故选C.(2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A解析由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知，f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α ＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1＝4＋6－25＝85. 热点二三角函数的图象及应用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：(先平移后伸缩)y ＝sin x ――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． (先伸缩后平移)y ＝sin x ―――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin ωx ―――――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．例2 (1)将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ等于( ) A.π6 B.5π6 C.4π3 D.5π3 答案 C解析根据诱导公式可得y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ，故sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即π2＋φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－2π3＋2k π，k ∈Z ，又∵0≤φ<2π，∴φ＝4π3，故选C.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，求θ的值．解函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如题图所示，则A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，当x ＝7π12时，f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ＝2，所以7π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ，若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，令2cos 2θ＝－1，则θ＝k π＋π3，k ∈Z 或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，所以θ＝π3.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向．跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度答案 A解析由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度即可．(2)(2019·宜昌调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f (2 019)＝________.答案－1解析根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象，可得A ＝2，2πω＝2⎝⎛⎭⎫136－76＝2， ∴ω＝π.再根据图象经过点⎝⎛⎭⎫76，0，可得π×76＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝－7π6＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，∴φ＝5π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋5π6， ∴f (2 019)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π×2 019＋5π6＝－2sin π6＝－1. 热点三三角函数的性质 1．三角函数的单调性y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )． 2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 (2019·湖州三校联考)已知函数f (x )＝2cos 2x －23sin x cos x . (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)求方程f (x )＝－13在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内的所有实根之和．解 (1)f (x )＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间，故2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)由1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝－13，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝23，由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，且12<23<1，得方程f (x )＝－13在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不等实根α，β，且满足α＋β2＝π3，∴α＋β＝2π3.思维升华函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 已知函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以函数f (x )的最小正周期为π. 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝π3＋k π2(k ∈Z )，故函数f (x )图象的对称轴的方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f (x )的取值范围是[－1,2].真题体验1．(2018·全国Ⅰ，理，16)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．答案－332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当12<cos x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值，即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.2．(2018·浙江，18)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解 (1)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得cos α＝－35. 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.3．(2017·浙江，18)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)由sin2π3＝32，cos 2π3＝－12，得 f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得，π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．押题预测1．已知直线3x －y －1＝0的倾斜角为α，则cos α－2sin αsin α＋cos α的值为( )A ．－1110B ．－12C ．－114D ．－54答案 D解析由3x －y －1＝0得，y ＝3x －1，∴tan α＝3，又cos α－2sin αsin α＋cos α＝cos α－2sin αcos αsin α＋cos αcos α＝1－2tan αtan α＋1＝1－2×33＋1＝－54.2．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2答案 C解析 C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3，C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2，故选C.3．已知函数f (x )＝sin x ＋3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R . (1)求f (2 019π)的值；(2)若f (α)＝1，且0＜α＜π，求cos α的值．解 (1)f (2 019π)＝sin 2 019π＋3sin ⎝⎛⎭⎫2 019π＋π2＋ sin ⎝⎛⎭⎫2 019π＋π3＝0＋(－3)－32＝－332. (2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＋12sin x ＋32cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由f (α)＝1得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13＜12，又因为0＜α＜π，故π2＜α＜2π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－223，所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π3 ＝⎝⎛⎭⎫－223×12＋13×32＝3－226.A 组专题通关1．(2019·浙江省重点中学联考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪12－4sin x cos x ，若f (x －a )＝－f (x ＋a )恒成立，则实数a 的最小正值为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 D解析由f (x －a )＝－f (x ＋a )可判断函数f (x )的周期为4a ，又f (x )＝⎪⎪⎪⎪12－4sin x cos x ＝⎪⎪⎪⎪12－2sin 2x ，其最小正周期为T ＝2π2＝π，所以4a ≥π，即a ≥π4，故选D.2．(2019·余姚中学模拟)设f (x )＝cos x ，a ＝f (ln 2)，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫ln 13，则下列关系式正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．b ＞a ＞c答案 C解析因为函数f (x )＝cos x 是偶函数，所以c ＝f ⎝⎛⎭⎫ln 13＝f (ln 3)，且0＜ln 2＜ln 3＜ln π＜π，函数f (x )在区间[0，π]上单调递减，所以f (ln 2)＞f (ln 3)＞f (ln π)，即a ＞c ＞b ，选C.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)与g (x )＝cos(2x ＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象，只需将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案 A解析由ωx ＋π3＝π2＋k 1π，k 1∈Z ，得函数f (x )的对称轴为x ＝π6ω＋k 1πω，k 1∈Z ，由2x ＋φ＝k 2π，k 2∈Z ，得函数g (x )的对称轴为x ＝－φ2＋k 2π2，k 2∈Z .因为两函数的对称轴完全相同，所以⎩⎨⎧π6ω＝－φ2，1ω＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度后得到的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，故选A.4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2等于( )A.322B ．－322C ．－32D.32答案 C解析由题图可得：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最大值是3，最小值是－3，∴A ＝3，又∵T 4＝7π12－π3，ω>0，∴T ＝π，ω＝2，将⎝⎛⎭⎫π3，－3代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝－1， ∴2π3＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－7π6＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π，∴φ＝5π6，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝3sin ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－32，故选C. 5．设函数f (x )＝sin 2x ＋a cos x ＋b 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，且与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，且与b 有关答案 B解析令t ＝cos x ，则g (t )＝－t 2＋at ＋b ＋1(0≤t ≤1)，由题意得，①当a2<0，即a <0时，g (t )在[0,1]上单调递减，g (0)为最大值，g (1)为最小值，此时M －m ＝1－a ；②当a2>1，即a >2时，g (t )在[0,1]上单调递增，g (0)为最小值，g (1)为最大值，此时M －m ＝a －1; ③当12≤a2≤1，即1≤a ≤2时，g (t )在⎣⎡⎦⎤0，a 2上单调递增，在⎣⎡⎦⎤a 2，1上单调递减，g ⎝⎛⎭⎫a2为最大值，因为g (0)＝b ＋1≤a ＋b ＝g (1)，所以g (0)为最小值，此时M －m ＝a 24；④当0≤a 2<12，即0≤a <1时，g ⎝⎛⎭⎫a 2为最大值，g (1)为最小值，此时M －m ＝a 24＋1－a .综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B.6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 答案330 解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)， ∴x ＝－3，y ＝－1， ∴tan α＝y x ＝33，cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 7．(2019·葫芦岛调研)已知f (x )＝2sin 2ωx (ω>0)的周期为π，则当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，f (x )的最小值为________．答案－ 3解析由T ＝2π2ω＝π，得ω＝1，∴f (x )＝2sin 2x ，由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，得π3≤2x ≤4π3， ∴当2x ＝4π3，即x ＝2π3时，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin 4π3＝－3，即f (x )min ＝－ 3.8．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 9．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______．答案 3解析由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3. 10．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)若x 是某三角形的一个内角，且f (x )＝－22，求角x 的大小； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的值．解 (1)∵f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x －22sin 2x＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－22，∴cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－12. 由题意可得x ∈(0，π)， ∴2x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，9π4， ∴2x ＋π4＝2π3或4π3，∴x ＝5π24或13π24.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22， ∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－2，1]． ∴f (x )的最小值为－2，此时2x ＋π4＝π，即x ＝3π8.B 组能力提高11．如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35 答案 B解析 ∵点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35，设∠AOB ＝θ，∴sin(2π－θ)＝－35，cos(2π－θ)＝45，即sin θ＝35，cos θ＝45，∵∠AOC ＝α，BC ＝1， ∴θ＋α＝π3，则α＝π3－θ，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝32cos α－12sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＝35. 12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫7π12，2π3上单调，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0，则ω的最大值为( )A ．7B ．9C ．11D ．13 答案 B解析由题意，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫7π12，2π3上单调，则2π3－7π12＝π12≤T 2，解得T ≥π6，所以2πω≥π6，即ω≤12，又由f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0，则3π4－π4＝T 4＋k2T ，k ∈Z ，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω，k ∈Z ，解得ω＝2k ＋1，k ∈Z ，当k ＝5时，ω＝11，则f (x )＝sin(11x ＋φ)，又由f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，即f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫11π4＋φ＝1，取φ＝－π4，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，此时函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫7π12，2π3上不单调，不满足题意．当k ＝4时，ω＝9，则f (x )＝sin(9x ＋φ)，又由f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，即f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫9π4＋φ＝1，取φ＝π4，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，此时函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫7π12，2π3上是单调函数，满足题意，所以ω的最大值为9，故选B.13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象过两点A ⎝⎛⎭⎫0，22，B ⎝⎛⎭⎫π4，0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则( ) A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5x ＋3π4 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋3π4 答案 C解析由已知得sin φ＝22，0<φ<π，所以φ＝π4或3π4.当φ＝π4时，sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π4＝0，所以ω＝－1＋4k (k ∈N *)．若ω＝3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4在⎝⎛⎭⎫0，π4内有一个极大值点，不符合题意；若ω＝7，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π4在⎝⎛⎭⎫0，π4内极大值点为π28，小于极小值点5π28，符合题意；当φ＝3π4时，sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋3π4＝0，所以ω＝－3＋4k ()k ∈N *.若ω＝5，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5x ＋3π4在⎝⎛⎭⎫0，π4内有一个极小值点，不符合题意；若ω＝9，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋3π4在⎝⎛⎭⎫0，π4内有极小值点π12和极大值点7π36，不符合题意．综上所述，应选C.14．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫2 020π3＝________. 答案 0解析 ∵f (x －π)＝f (x )－sin x ， ∴f (x )＝f (x －π)＋sin x ，则f (x ＋π)＝f (x )＋sin(x ＋π)＝f (x )－sin x . ∴f (x ＋π)＝f (x －π)，即f (x ＋2π)＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为2π， ∴f ⎝⎛⎭⎫2 020π3＝f ⎝⎛⎭⎫674π－2π3＝f ⎝⎛⎭⎫－2π3＝0. 15．方程⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝|log 18x |的解的个数为________．(用数值作答) 答案 12解析由题意得求方程||sin x ＝||log 18x 的解的个数，因为y ＝||sin x 的周期为π，而11π2<18<13π2，又当x ∈(0,1)时，y ＝sin x 与y ＝－log 18x 有一个交点，当x ∈(1，π)时，y ＝sin x 与y ＝log 18x 有一个交点，当x ∈(k π，k π＋π)(k ＝1,2,3,4,5)时，y ＝|sin x |与y ＝log 18x 有两个交点，因此共有2×6＝12(个)交点．16．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，∴a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， ∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋π2，k ∈Z ，即k π<x <k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增；当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减． ∴g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π6，k ∈Z ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

2020浙江新高考数学二轮复习特色专题高考新元素【精品解析】

一创新型问题新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”随着改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题．创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用．高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)．此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求思维水平高，思维容量大，但运算量较小，求解此类问题，要求学生有临场阅读，提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力．“新定义”问题新定义问题是指在特定情景下，用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题——新定义问题的解题技法．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．[典型例题](1)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个(2)设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”．若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－ ∞，0]B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎝⎛⎦⎤－∞，12D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞【解析】 (1)法一：不妨设a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个．法二：设a 1，a 2，a 3，…，a k 中0的个数为t ，则1的个数为k －t ，由2m ＝8知，k ≤8且t ≥k －t ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧t ≤k ≤2t k ≤8t ≤4k ，t ∈N. 当t ＝1时，k ＝1，2，当t ＝2时，k ＝2，3，4，当t ＝3时，k ＝3，4，5，6，当t ＝4时，k ＝4，5，6，7，8，所以“规范01数列”共有2＋3＋4＋5＝14(个)．法三：前同法二．问题即是⎩⎪⎨⎪⎧t ≤k ≤2t k ≤8t ≤4k ，t ∈N表示的区域内的整点(格点)的个数，如图整点(格点)为2＋3＋4＋5＝14(个)，即“规范01数列”共有14个．(2)方程ax 2－3x －a ＋52＝－x 在区间[1，4]上有解，显然x ≠1，所以方程ax 2－3x －a ＋52＝－x 在区间(1，4]上有解，即求函数a ＝2x －52x 2－1在区间(1，4]上的值域，令t ＝4x －5，则t ∈(－1，11]，a ＝8t t 2＋10t ＋9，当t ∈(－1，0]时，a ≤0；当t ∈(0，11]时，0<a ＝8t ＋10＋9t ≤82 t ×9t ＋10＝12，当且仅当x ＝3时取等号．综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12，故选C. 【答案】 (1)C (2)C[对点训练]1．定义“上升数”是一个数中右边的数字比左边的数字大的自然数(如123，568，2479等)，任取一个两位数，这个两位数为“上升数”的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析：选B.两位数10，11，12，…，99共90个，其中十位数为1的“上升数”为12，13，…，19共8个，十位数为2的“上升数”为23，24，…，29共7个，…十位数为8的“上升数”为89，只有1个，则所有两位数中的“上升数”共8＋7＋6＋…＋1＝8（8＋1）2＝36个，则两位数为“上升数”的概率P ＝3690＝25，选B. 2．(经典考题)定义“函数y ＝f (x )是D 上的a 级类周期函数”如下：函数y ＝f (x )，x ∈D ，对于给定的非零常数a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有af (x )＝f (x ＋T )恒成立，此时T 为f (x )的周期．若y ＝f (x )是[1，＋∞)上的a 级类周期函数，且T ＝1，当x ∈[1，2)时，f (x )＝2x (2x ＋1)，且y ＝f (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫56，＋∞B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫103，＋∞ D ．[10，＋∞)解析：选C.因为x ∈[1，2)时，f (x )＝2x (2x ＋1)，所以当x ∈[2，3)时，f (x )＝af (x －1)＝a ·2x －1(2x －1)，当x ∈[n ，n ＋1)时，f (x )＝af (x －1)＝a 2f (x －2)＝…＝a n －1f (x －n ＋1)＝a n －1·2x－n ＋1(2x －2n ＋3)，即x ∈[n ，n ＋1)时，f (x )＝a n －1·2x －n ＋1(2x －2n ＋3)，n ∈N *，同理，当x ∈[n －1，n )时，f (x )＝a n －2·2x－n ＋2(2x －2n ＋5)，n ∈N *.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以a >0且a n －1·2n－n ＋1(2n －2n ＋3)≥a n －2·2n －n ＋2·(2n －2n ＋5)，解得a ≥103.故选C. 3．(经典考题)设S 为实数集R 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b 3|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆R 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)解析：对于整数a 1，b 1，a 2，b 2，有a 1＋b 13＋a 2＋b 23＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)3∈S ，a 1＋b 13－(a 2＋b 23)＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)3∈S ，(a 1＋b 13)·(a 2＋b 23)＝(a 1a 2＋3b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)3∈S ，所以①正确．若S 为封闭集，且存在元素x ∈S ，那么必有x －x ＝0∈S ，即一定有0∈S ，所以②正确．当S ＝{0}时，S 为封闭集，所以③错误．取S ＝{0}，T ＝{0，1，2，3}时，显然2×3＝6∉T ，所以④错误．答案：①②“新运算”问题新运算问题是在原有运算的基础上定义了一种新运算，在准确把握信息本质的基础上，将这种新运算转化为早已熟悉的运算，从而进一步运用已有的知识去分析、解决问题．[典型例题](经典考题)当x ≠1且x ≠0时，数列{nx n －1}的前n 项和S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx x－1(n ∈N *)可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由x ＋x 2＋x 3＋…＋x n (n ∈N *)按等比数列的求和公式，先求得x ＋x 2＋x 3＋…＋x n＝x －x n ＋11－x ，两边都是关于x 的函数，两边同时求导，(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x n ＋11－x ′，从而得到S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝1－（n ＋1）x n ＋nx n ＋1（1－x ）2，按照同样的方法，请从二项展开式(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 出发，可以求得，S n ＝1×2×C 1n ＋2×3×C 2n ＋3×4×C 3n ＋…＋n (n ＋1)×C n n (n ≥4)的值为________．(请填写最简结果)．【解析】依题意，对(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋C 3n x 3＋…＋C n n x n 两边同时求导，得n (1＋x )n －1＝C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋n C n n xn －1，① 取x ＝1，得C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ×2n －1，② ②×2得，2C 1n ＋2×2C 2n ＋2×3C 3n ＋…＋2n C n n ＝n ×2n ，③再对①式两边同时求导，得n (n －1)(1＋x )n －2＝1×2C 2n ＋2×3C 3n x ＋…＋n (n －1)C n n x n －2，取x ＝1，得1×2C 2n ＋2×3C 3n ＋…＋n (n －1)C n n ＝n (n －1)×2n －2，④ ③＋④得1×2C 1n ＋2×3C 2n ＋3×4C 2n ＋…＋n (n ＋1)C n n ＝n ×2n ＋n (n －1)×2n －2＝n (n ＋3)×2n －2.【答案】 n (n ＋3)×2n －2[对点训练]1．(经典考题)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解析：选B.若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确，由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确．由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．2．(经典考题)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值．解：(1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n .于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 数列”．(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1.从而d ＝－1.当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．因此d 的值为－1.二古代算术与现代高考我国是有着五千年文明的古国，具有丰富的文化基础，在数学领域里具有深厚的数学渊源，其中《九章算术》中的一些理论推动着当今科学和数学的发展，随着我国经济建设蓬勃发展，现今部分高考数学试题也在古代算术的基础上，结合现代高考元素应运而生，这些试题是古代算术与现代高考结合的经典范例，是传统文化与现代科学的有机融合．[典型例题](1)(2018·高考浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝______，y ＝______．(2)(经典考题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________．【解析】 (1)因为z ＝81，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11. (2)如图，单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成，所以，正六边形的面积S 6＝6×12×1×32＝332. 【答案】 (1)8 11 (2)332[对点训练]1．(名师原创)《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道 “竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为( )A.72B.3733C.6766D.1011解析：选C.设从最下节往上的容量构成等差数列{a n }，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝4a 9＋a 8＋a 7＋a 6＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝44a 1＋26d ＝3，解得a 1＝9566，d ＝－766. 中间为第五节，即a 5＝a 1＋4d ＝9566＋4×(－766)＝6766.故选C. 2．(名师原创)《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513) A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸解析：选D.连接OA 、OB ，OD ，设⊙Ο的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，所以R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513. 所以∠AOD ＝22.5°，即 ∠AOB ＝45°.所以S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △OAB ＝45π×132360－12×10×12≈6.33平方寸．所以该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.3．(名师原创)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为________．解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：(5.4－x )×3×1＋π·(12)2x ＝12.6，解得x ＝1.6. 答案： 1.6三学科间的渗透数学是自然科学的皇后，这是德国大数学家高斯提出的，说明了数学与自然科学的关系十分密切，数学知识经常渗透到各学科领域，彰显出数学学科应用于人们生活生产中的伟大魅力．[典型例题]放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克【解析】因为M ′(t )＝－130ln 2×M 02－t 30，所以M ′(30)＝－130ln 2×M 02－3030＝－10ln 2，解得M 0＝600，所以M (t )＝600×2－t 30，所以t ＝60时，铯137的含量为M (60)＝600×2－6030＝600×14＝150(太贝克)，故选D. 【答案】 D[对点训练]1．(名师原创)核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA 分子是一个有着数百个至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由四种不同的碱基A ，C ，G ，U 占据，各种碱基能够以任意次序出现，若有一类RNA 分子由100个碱基组成，则共有多少种不同的RNA 分子( )A ．400种B ．1004种C ．4100种D ．A 4100种解析：选C.100个碱基组成的长链共有100个位置，每个位置从A 、C 、G 、U 中任选一个填入，有4种方法．所以共有不同的RNA 分子的个数为＝4100.故选C.2．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A ．8B ．6C ．4D ．3解析：选B.利用图形进行求解．因为反弹时反射角等于入射角，所以∠1＝∠2.又因为tan ∠1＝1－1313＝2，所以tan ∠2＝2.又tan ∠2＝HC CF ，所以HC ＝43，所以DG ＝16.从此以后，小球的反射线必与EF 或FG 平行，由图可知，P 与正方形的边碰撞的次数为6.3．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍．解析：当A 0＝0.001，A ＝1 000时，M ＝lg A －lg A 0＝lg 1 000－lg 0.001＝lg 1 0000.001＝lg 106＝6；设9级地震的最大振幅是A 9，5级地震的最大振幅是A 5，则9＝lg A 9－lg A 0，5＝lg A 5－lg A 0，所以lg A 9－lg A 5＝4，即lg A 9A 5＝4，所以A 9A 5＝104＝10 000. 答案：6 10 000。

(浙江专用)2020高考数学二轮复习 特色专题 高考新元素教案

(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何高考解答题的审题与答题示范(五)教案

2020版新高考二轮复习理科数学教学案：第一部分第2讲 数形结合思想

【2020高考数学《大二轮专题复习与增分策略》浙江版】专题三 第2讲

2020年浙江新高考数学二轮复习教师用书：第1部分 1 第1讲 高考客观题的解法

2020届高考数学大二轮复习 下篇 指导四 高考创新题型揭秘教学案

2020版高考数学二轮复习专题教案汇编全集 理

2020浙江新高考数学二轮复习课件：专题一 6 第6讲 导数的综合应用