刚体的定轴转动习题解答

- 第五章 刚体的定轴转动
一 选择题
1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为，角加速度为，则其转动
加快的依据是：（ ）
A. > 0
B. > 0，> 0
C. < 0，> 0
D.
> 0，< 0
解：答案是B 。

2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则
它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。

（ ）
A. 相等；
B. 铅盘的大；
C. 铁盘的大；
D. 无法确定谁大谁小
解：答案是C 。

简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。

3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F
向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ）
A. a 1 = a 2
B. a 1 > a 2
C. a 1< a 2
D. 无法确定
解：答案是B 。

简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21=
(2) 受力分析得：⎪⎩
⎪⎨⎧===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的力。

得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。

4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线
- 作定轴转动，则在2秒F 对柱体所作功为： （ ）
A. 4 F 2/ m
B. 2 F 2 / m
C. F 2 / m
D. F 2 / 2 m
解：答案是A 。

简要提示：由定轴转动定律： α221MR FR =
，得：mR
F t 4212==∆αθ 所以：m F M W /42=∆=θ
5. 一电唱机的转盘正以 0的角速度转动，其转动惯量为J 1，现将一转动
惯量为J 2的唱片置于转盘上，则共同转动的角速度应为： （ ）
A ．0211ωJ J J +
B ．0121ωJ J J +
C ．021ωJ J
D ．01
2ωJ J 解：答案是A 。

简要提示：角动量守恒
6. 已知银河系中一均匀球形天体，现时半径为R ，绕对称轴自转周期为T ，由于引力凝聚作用，其体积不断收缩，假设一万年后，其半径缩小为r ，则那时该天体的：（ ）
A. 自转周期增加，转动动能增加；
B. 自转周期减小，转动动能减小；
C. 自转周期减小，转动动能增加；
D. 自转周期增加，转动动能减小。

解：答案是C 。

简要提示： 由角动量守恒，ωω2025
252Mr MR =，得转动角频率增大，所以转动周期减小。

转动动能为22k 2020k 5
221,5221ωωMr E MR E ==可得E k > E k0。

7. 绳子通过高处一固定的、质量不能忽略的滑轮，两端爬着两只质量相等
的猴子，开始时它们离地高度相同，若它们同时攀绳往上爬，且甲猴攀绳速度为乙猴的两倍，则 （ ）
A. 两猴同时爬到顶点
B. 甲猴先到达顶点
C. 乙猴先到达顶点
- D. 无法确定谁先谁后到达顶点
解：答案是B 。

简要提示：考虑两个猴子和滑轮组成的系统，滑轮所受的外力（重力和支撑力）均通过滑轮质心，由于甲乙两猴的重量（质量）相等，因此在开始时系统对于通过滑轮质心并与轮面垂直的转轴的合外力矩为零，而在两猴攀绳过程中，系统受到的合外力矩始终保持为零，因此系统的角动量守恒。

设滑轮关于上述转轴的转动角速度为ω ，乙猴相对于绳子的向上速率为v 0，绳子向甲这一边运动的速率为v ，则甲相对绳子向上运动的速率为2v 0，因此甲和乙相对地面向上运动的速率分别为（2v 0 - v ）和（v 0 + v ）。

根据系统的角动量守恒定律，有
0)2()(00=--++R m R m J v v v v ω
式中22
1mR J =
，ω = v / R ，这样可解出052v v =。

故甲猴和乙猴相对于地面的速率分别为2 v 0 - v =8 v 0/5和v 0 + v =7 v 0/5，故甲猴先到达顶点。

二 填空题
1. 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以0.5rad ⋅ s –2的角加速度匀加速转动，则飞轮边缘上一点在转过2400时的切向加速度为 ；法向加速度为 。

解：答案是 0.15 m ⋅ s –2； 0.4m ⋅ s –2。

简要提示：1τs m 15.0-⋅==αr a 。

由22
1t αθ=，t αω=，得：22n s m 4.0-⋅==πωr a
2. 一质量为0.5 k g 、半径为0.4 m 的薄圆盘，以每分钟1500转的角速度
绕过盘心且垂直盘面的轴的转动，今在盘缘施以0.98N 的切向力直至盘静止，则所需时间为 s 。

解：答案是 16 s 。

简要提示：由定轴转动定律，α22
1MR FR =
，t αω=， 得： s 1698
.024.05.0502=⨯⨯⨯==πωF mr t
- 3 . 一长为l ，质量不计的细杆，两端附着小球m 1和m 2（m 1＞m 2），细杆可绕通过杆中心并垂直杆
的水平轴转动，先将杆置于水平然后放开，则刚开
始转动的角加速度应为 。

解：答案是 l m m g m m )()(22121+-。

简要提示：由定轴转动定律，α4
)(2)(2
2121l m m l g m g m +=- 得： l
m m g m m )()(22121+-=α 4. 如图所示，质量为M ，半径为r 的绕有细线的圆柱可绕固定水平对称轴
无摩擦转动，若质量为m 的物体缚在线索的一端并在重力作用下，由静止开始向下运动，当m 下降h 的距离时，m 的动能与M 的动能之比为 。

解：答案是 M
m 2。

简要提示：由r ω=v ，22k 2k 2121,21ωMr E m E M m ==
v ， 得：M m E E M m 2k k =
5. 如图所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在光滑的竖直墙壁上，B 端置于粗糙水平地面上静止，杆身与竖直方向成角，
则A 端对墙壁的压力为 。

解：答案是 θtan 21mg 。

简要提示： 受力分析如图所示，由刚体平衡条件得： θθsin 2
cos 1l mg l N = 所以：m 1 l m 2
填空题3图 r
M m
填空题4图 计算题5图 θ
A
B
计算题5图
θ A B mg N 2 N 1
- θtan 211mg N =
6. 一位转动惯量为J 0的花样滑冰运动员以角速度0自转，其角动量
为 ；转动动能为 。

当其收回手臂使转动惯量减为J 0 /3时，则其角动量变为 ；转动动能变为 。

解：答案是J 00； 2/200ωJ ； 30； 2/3200ωJ
简要提示：角动量守恒
7. 一圆形转台可绕中心轴无摩擦的转动，台上有一辆玩具小汽车相对台面
由静止启动，当其绕轴作顺时针圆周运动时，转台将作 转动；当汽车突然刹车停止转动的过程中，系统的 守恒；而 和 不守恒。

解：答案是逆时针；角动量；动量；机械能
三 计算题
1. 一细杆绕其上端在竖直平面摆动，杆与竖直方向的夹角t 2
cos 4ππθ=。

求：(1) 杆摆动的角速度和角加速度；(2) 距上端0.5m 处的一点的速度和加速度。

解：(1) t t 2sin 8d d 2ππθω-==; t t 2cos 16d d 3ππωα-== (2) t l 2sin 162
π
πω-==v ；t l a 2cos 323
τπ
πα-==；t l a 2sin 12824
2n π
πω==
2. 如图所示，半径r A = 0.1 m 的A 轮通过皮带
B 与半径r
C = 0.25 m 的C 轮连在一起。

已知A 轮以0.5 rad ⋅ s –2的角加速度由静止匀加速转动，皮带不滑动，求：(1) C 轮达到每分钟100转所需的时间；(2) 此时两轮边缘上一点的速度、加速度分别为多少？
解：(1) 皮带不滑动，所以C C A A r r ωω=；1s rad 3/102-⋅==ππνωC r A r C A
C
B
计算题2图
- 得： 1s rad 3/25)/(-⋅==πωωC A C A r r ，s 7.16/==αωA t
(2) 1s m 6.2-⋅===C A A A r v v ω；2ττs m 16.0-⋅===αA C A r a a ；
22n s m 5.68-⋅==A A A r a ω；22n s m 4.27-⋅==C C C r a ω
3. 一块匀质长方形薄板ABCD ，边长分别为a 、b ，质量为M ，建立如图所
示的直角坐标系，求：(1) 薄板对x 和y 轴的转动惯量；(2) 薄板对边长AB 的转动惯量；(3) 薄板对z 轴的转动惯量。

解：薄板的质量面密度为S =M/ab
(1) x b x J S x d d 2ρ= 所以：12/d 22/2/2Ma x b x J a a S x ==⎰
-ρ 同理： y a y J S y d d 2ρ=
所以： 12/d 22
/2/2Mb y b y J b b S y ==⎰-ρ (2) 由平行轴定理： 3/)2
(22Mb b M J J y AB =+= (3) 由薄板垂直轴定理： 12/)(22b a M J J J y x z +=+=
4. 在质量为M ，半径为R 的均质圆盘上挖出两个半径为r 的圆孔，圆孔中
心在半径R 的中点，如图所示，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。

解：由补偿法： J MR J '-=22/2
由平行轴定理： 22)2
(21R m mr J +=' 其中： 222/R Mr r m S ==πρ
得： 2222224222/))(2(/2/)(R r R r R M R Mr r R M J +-=--=
R r r 计算题4图 A
B
C D o
y x 计算题3图
- 5. 如图所示，半径为r ，转动惯量为J 的定滑轮A 可绕水平光滑轴o 转动，轮上缠绕有不能伸长的轻绳，绳一端系有质量为m 的物体B ，B 可在倾角为
的光滑斜面上滑动，求B 的加速度和绳中力。

解：物体B 运动的动力学方程 ma T mg =-θsin 定滑轮A 的定轴转动方程 αJ Tr =
及 αr a = 联立解得B 的加速度
θsin 22g J
mr mr a +=
方向沿斜面向下。

绳中力为 θsin 2mg J
mr J T +=
6. 如图所示，质量为m 1的物体可在倾角为的光滑斜面上滑动。

m 1的一边
系有劲度系数为k 的弹簧，另一边系有不可伸长的轻绳，绳绕过转动惯量为J ，半径为r 的小滑轮与质量为m 2（>m 1）的物体相连。

开始时用外力托住m 2使弹簧保持原长，然后撤去外力，求m 2由静止下落h 距离时的速率及m 2下降的最大距离。

解：在m 2由静止下落h 距离的过程中机械能守恒，因此有 θωsin 2121)(211222212gh m kh J m m gh m ++++=v 式中r v =ω，解得m 2由静止下落h 距离时的速率 2
212
12/)sin (2r J m m kh gh m m ++--=θv 2m 下降到最低时，1m 、2m 速率为零，代入上式，得到m 2下降的最大距离
g m m k
h )sin (212max θ-= 计算题5图 B A J , r
o θ
k m 1 θ J m 2 计算题6图
-
7. 质量为M 长为L 的均匀直杆可绕过端点o 的水平轴转动，一质量为m
的质点以水平速度v 与静止杆的下端发生碰撞，如图所示，若M = 6 m ，求质点与杆分别作完全非弹性碰撞和完全弹性碰撞后杆的角速度大小。

解：（1）完全非弹性碰撞时，质点射入杆，与杆一起转动。

在此过程中质
点和杆系统的角动量守恒，设系统绕端点o 转动的角速度为ω ，因此
ωωωω222223)2()3
1(mL mL mL mL ML J L m =+=+==v 解出 L
3v =ω （2）完全弹性碰撞时，碰撞前后系统关于端点o 的角动量守
恒，设碰撞后质点的水平速度为v '，直杆绕端点o 转动的角速度为ω ，因此有 ωω263
1mL L m J L m L m +'=+'=v v v 得到
ωL 2='-v v （1）
碰撞前后系统的机械能守恒，因此有
2222222
1212121ωωmL m J m m +'=+'=v v v 由上式得到
22222ωL ='-v v （2）
将（2）式和（1）式两边相除，得到
ωL ='+v v （3）
再由（3）式和（1）式解得
L
32v =ω 8. 如图所示，一长为L ，质量为m 的均匀细棒，一端悬挂在o 点上，可绕
水平轴在竖直面无摩擦地转动，在同一悬挂点，有长为l 的轻绳悬挂一小球，质量也为m ，当小球悬线偏离铅垂方向某一角度由静止释放，小球在悬点正下方与静止细棒发生弹性碰撞。

若碰撞后小球刚好静止，试求绳长l 应为多少？
解：在碰撞过程中，小球和棒都在垂直位置，因此系统受到的关于转轴o 的合外力矩为零，因此系统在碰撞前后瞬
间的角动量守恒。

设碰撞后瞬间细棒绕转轴o 转动的角速度
为ω，由角动量守恒，有
计算题7图
- ω23
1mL l m =v 另外由于没有摩擦和阻尼，因此系统在碰撞期间的机械能也守恒。

即小球的
动能全部转化为棒的转动动能
2223
1.2121ωmL m =v 或解 设碰撞后小球的速率为v '，则由角动量守恒和机械能守恒，有
ω23
1mL l m l m +=′v v 22223
1212121ωmL m m +=′v v 求得 v v 2
22
233L l L l +-=′ 令0=′v ，则
032=-L l
解得 L l 3
1=
9. 转台绕中心竖直轴以角速度匀速转动，相对于转轴的转动惯量为
J ，现有质量为m 的小钢球以每秒n 个的速率垂直落入转台上半径为r 的圆轨道，求转台的加速度随时间的变化关系。

解：由角动量守恒，初始时角动量为：0ωJ L =，
t 时刻系统的转动惯量和角动量为： 2ntmr J J +='；ωJ L '=
所以角速度为： )/(20mntr J J +=ωω
在一半径为R 、质量为M 、可绕中心竖直轴自由转动的水平圆盘
的边上，站着一个质量为m 的人，求当人沿圆盘的边缘走完一周回到原有位置时，圆盘转过的角度为多大？
解：设人相对于圆盘的速率为v ，圆盘转动的角速度为，由角动量守恒定
- 律得：
0)(2
12=--=R R m MR L ωωv ；R m M m )2(2+=∴v ω 所以圆盘转过的角度为：
m
M m R m M t m t 24)2(2+=+==∆πωθv 11. 质量为5kg 、半径为25cm 的轮子，装在一根长为40cm 的轻杆的中部，并可绕此杆转动，杆的一端A 用一根链条挂起。

开始时杆在水平位置，轮子的转动角速度为12 rad ⋅ s –1，方向如图所示，求：(1) 该轮子的自转角动量；（2） 作用于轴上的外力矩；(3) 系统的进动角速度，并判断进动方向。

解：(1) 自转角动量为：
)s m kg (875.11225.055.02
12222-⋅⋅=⨯⨯⨯===ωωmr J L (2) 外力矩为：
)s m kg (8.92
4.08.95222-⋅⋅=⨯⨯==l mg M (3) 进动角速度为： 1p s rad 2.5-⋅==
L
M ω 有外力矩自转角动量的方向可以判断，从上往下看，进动的方向为逆时针方向。

计算题11图。