刚体的定轴转动习题解答

- 第五章 刚体的定轴转动一 选择题1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为，角加速度为，则其转动加快的依据是：（ ）A. > 0B. > 0，> 0C. < 0，> 0D.> 0，< 0解：答案是B 。

2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。

（ ）A. 相等；B. 铅盘的大；C. 铁盘的大；D. 无法确定谁大谁小解：答案是C 。

简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。

3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ）A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解：答案是B 。

简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21=(2) 受力分析得：⎪⎩⎪⎨⎧===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的力。

得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。

4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线- 作定轴转动，则在2秒F 对柱体所作功为： （ ）A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m解：答案是A 。

简要提示：由定轴转动定律： α221MR FR =，得：mRF t 4212==∆αθ 所以：m F M W /42=∆=θ5. 一电唱机的转盘正以 0的角速度转动，其转动惯量为J 1，现将一转动惯量为J 2的唱片置于转盘上，则共同转动的角速度应为： （ ）A ．0211ωJ J J +B ．0121ωJ J J +C ．021ωJ JD ．012ωJ J 解：答案是A 。

简要提示：角动量守恒6. 已知银河系中一均匀球形天体，现时半径为R ，绕对称轴自转周期为T ，由于引力凝聚作用，其体积不断收缩，假设一万年后，其半径缩小为r ，则那时该天体的：（ ）A. 自转周期增加，转动动能增加；B. 自转周期减小，转动动能减小；C. 自转周期减小，转动动能增加；D. 自转周期增加，转动动能减小。

解：答案是C 。

简要提示： 由角动量守恒，ωω2025252Mr MR =，得转动角频率增大，所以转动周期减小。

转动动能为22k 2020k 5221,5221ωωMr E MR E ==可得E k > E k0。

7. 绳子通过高处一固定的、质量不能忽略的滑轮，两端爬着两只质量相等的猴子，开始时它们离地高度相同，若它们同时攀绳往上爬，且甲猴攀绳速度为乙猴的两倍，则 （ ）A. 两猴同时爬到顶点B. 甲猴先到达顶点C. 乙猴先到达顶点- D. 无法确定谁先谁后到达顶点解：答案是B 。

简要提示：考虑两个猴子和滑轮组成的系统，滑轮所受的外力（重力和支撑力）均通过滑轮质心，由于甲乙两猴的重量（质量）相等，因此在开始时系统对于通过滑轮质心并与轮面垂直的转轴的合外力矩为零，而在两猴攀绳过程中，系统受到的合外力矩始终保持为零，因此系统的角动量守恒。

设滑轮关于上述转轴的转动角速度为ω ，乙猴相对于绳子的向上速率为v 0，绳子向甲这一边运动的速率为v ，则甲相对绳子向上运动的速率为2v 0，因此甲和乙相对地面向上运动的速率分别为（2v 0 - v ）和（v 0 + v ）。

根据系统的角动量守恒定律，有0)2()(00=--++R m R m J v v v v ω式中221mR J =，ω = v / R ，这样可解出052v v =。

故甲猴和乙猴相对于地面的速率分别为2 v 0 - v =8 v 0/5和v 0 + v =7 v 0/5，故甲猴先到达顶点。

二 填空题1. 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以0.5rad ⋅ s –2的角加速度匀加速转动，则飞轮边缘上一点在转过2400时的切向加速度为 ；法向加速度为 。

解：答案是 0.15 m ⋅ s –2； 0.4m ⋅ s –2。

简要提示：1τs m 15.0-⋅==αr a 。

由221t αθ=，t αω=，得：22n s m 4.0-⋅==πωr a2. 一质量为0.5 k g 、半径为0.4 m 的薄圆盘，以每分钟1500转的角速度绕过盘心且垂直盘面的轴的转动，今在盘缘施以0.98N 的切向力直至盘静止，则所需时间为 s 。

解：答案是 16 s 。

简要提示：由定轴转动定律，α221MR FR =，t αω=， 得： s 1698.024.05.0502=⨯⨯⨯==πωF mr t- 3 . 一长为l ，质量不计的细杆，两端附着小球m 1和m 2（m 1＞m 2），细杆可绕通过杆中心并垂直杆的水平轴转动，先将杆置于水平然后放开，则刚开始转动的角加速度应为 。

解：答案是 l m m g m m )()(22121+-。

简要提示：由定轴转动定律，α4)(2)(22121l m m l g m g m +=- 得： lm m g m m )()(22121+-=α 4. 如图所示，质量为M ，半径为r 的绕有细线的圆柱可绕固定水平对称轴无摩擦转动，若质量为m 的物体缚在线索的一端并在重力作用下，由静止开始向下运动，当m 下降h 的距离时，m 的动能与M 的动能之比为 。

解：答案是 Mm 2。

简要提示：由r ω=v ，22k 2k 2121,21ωMr E m E M m ==v ， 得：M m E E M m 2k k =5. 如图所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在光滑的竖直墙壁上，B 端置于粗糙水平地面上静止，杆身与竖直方向成角，则A 端对墙壁的压力为 。

解：答案是 θtan 21mg 。

简要提示： 受力分析如图所示，由刚体平衡条件得： θθsin 2cos 1l mg l N = 所以：m 1 l m 2填空题3图 rM m填空题4图 计算题5图 θAB计算题5图θ A B mg N 2 N 1- θtan 211mg N =6. 一位转动惯量为J 0的花样滑冰运动员以角速度0自转，其角动量为 ；转动动能为 。

当其收回手臂使转动惯量减为J 0 /3时，则其角动量变为 ；转动动能变为 。

解：答案是J 00； 2/200ωJ ； 30； 2/3200ωJ简要提示：角动量守恒7. 一圆形转台可绕中心轴无摩擦的转动，台上有一辆玩具小汽车相对台面由静止启动，当其绕轴作顺时针圆周运动时，转台将作 转动；当汽车突然刹车停止转动的过程中，系统的 守恒；而 和 不守恒。

解：答案是逆时针；角动量；动量；机械能三 计算题1. 一细杆绕其上端在竖直平面摆动，杆与竖直方向的夹角t 2cos 4ππθ=。

求：(1) 杆摆动的角速度和角加速度；(2) 距上端0.5m 处的一点的速度和加速度。

解：(1) t t 2sin 8d d 2ππθω-==; t t 2cos 16d d 3ππωα-== (2) t l 2sin 162ππω-==v ；t l a 2cos 323τππα-==；t l a 2sin 128242n ππω==2. 如图所示，半径r A = 0.1 m 的A 轮通过皮带B 与半径rC = 0.25 m 的C 轮连在一起。

已知A 轮以0.5 rad ⋅ s –2的角加速度由静止匀加速转动，皮带不滑动，求：(1) C 轮达到每分钟100转所需的时间；(2) 此时两轮边缘上一点的速度、加速度分别为多少？解：(1) 皮带不滑动，所以C C A A r r ωω=；1s rad 3/102-⋅==ππνωC r A r C ACB计算题2图- 得： 1s rad 3/25)/(-⋅==πωωC A C A r r ，s 7.16/==αωA t(2) 1s m 6.2-⋅===C A A A r v v ω；2ττs m 16.0-⋅===αA C A r a a ；22n s m 5.68-⋅==A A A r a ω；22n s m 4.27-⋅==C C C r a ω3. 一块匀质长方形薄板ABCD ，边长分别为a 、b ，质量为M ，建立如图所示的直角坐标系，求：(1) 薄板对x 和y 轴的转动惯量；(2) 薄板对边长AB 的转动惯量；(3) 薄板对z 轴的转动惯量。

解：薄板的质量面密度为S =M/ab(1) x b x J S x d d 2ρ= 所以：12/d 22/2/2Ma x b x J a a S x ==⎰-ρ 同理： y a y J S y d d 2ρ=所以： 12/d 22/2/2Mb y b y J b b S y ==⎰-ρ (2) 由平行轴定理： 3/)2(22Mb b M J J y AB =+= (3) 由薄板垂直轴定理： 12/)(22b a M J J J y x z +=+=4. 在质量为M ，半径为R 的均质圆盘上挖出两个半径为r 的圆孔，圆孔中心在半径R 的中点，如图所示，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。

解：由补偿法： J MR J '-=22/2由平行轴定理： 22)2(21R m mr J +=' 其中： 222/R Mr r m S ==πρ得： 2222224222/))(2(/2/)(R r R r R M R Mr r R M J +-=--=R r r 计算题4图 ABC D oy x 计算题3图- 5. 如图所示，半径为r ，转动惯量为J 的定滑轮A 可绕水平光滑轴o 转动，轮上缠绕有不能伸长的轻绳，绳一端系有质量为m 的物体B ，B 可在倾角为的光滑斜面上滑动，求B 的加速度和绳中力。

解：物体B 运动的动力学方程 ma T mg =-θsin 定滑轮A 的定轴转动方程 αJ Tr =及 αr a = 联立解得B 的加速度θsin 22g Jmr mr a +=方向沿斜面向下。

绳中力为 θsin 2mg Jmr J T +=6. 如图所示，质量为m 1的物体可在倾角为的光滑斜面上滑动。

m 1的一边系有劲度系数为k 的弹簧，另一边系有不可伸长的轻绳，绳绕过转动惯量为J ，半径为r 的小滑轮与质量为m 2（>m 1）的物体相连。

开始时用外力托住m 2使弹簧保持原长，然后撤去外力，求m 2由静止下落h 距离时的速率及m 2下降的最大距离。

解：在m 2由静止下落h 距离的过程中机械能守恒，因此有 θωsin 2121)(211222212gh m kh J m m gh m ++++=v 式中r v =ω，解得m 2由静止下落h 距离时的速率 221212/)sin (2r J m m kh gh m m ++--=θv 2m 下降到最低时，1m 、2m 速率为零，代入上式，得到m 2下降的最大距离g m m kh )sin (212max θ-= 计算题5图 B A J , ro θk m 1 θ J m 2 计算题6图-7. 质量为M 长为L 的均匀直杆可绕过端点o 的水平轴转动，一质量为m的质点以水平速度v 与静止杆的下端发生碰撞，如图所示，若M = 6 m ，求质点与杆分别作完全非弹性碰撞和完全弹性碰撞后杆的角速度大小。