离散数学 课程简介(祝清顺版)
《离散数学》-课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲英文：《Discrete Mathematics》一、课程基本信息课程代码：16046404课程名称：离散数学英文名称：Discrete Mathematics课程类别：学科基础学时：64学分： 4适用对象: 计算机实验班、计算机科学与技术、软件工程考核方式：闭卷先修课程：无二、课程简介中文简介离散数学主要介绍计算机科学与技术中的基本离散结构，重点是这些结构的数学定义、在计算机科学中广为使用的证明方法及其应用。
课程包括的基本内容：数理逻辑初步、证明方法、归纳、良序、集合、关系、图论基础、排列与组合、计数等。
课程还包括若干可选内容：递归定义与结构归纳法、状态机与不变式、递归等。
英文简介Elementary discrete mathematics for computer science and engineering. Emphasis on mathematical definitions and proofs as well as on applicable methods. Topics: formal logic notation, proof methods; induction, well-ordering; sets, relations; elementary graph theory; integer congruences; asymptotic notation and growth of functions; permutations and combinations, counting principles; discrete probability. Further selected topics such as: recursive definition and structural induction; state machines and invariants; recurrences.三、课程性质与教学目的离散数学是计算机类各专业的专业基础课，是计算机科学的基础理论，离散结构的基础知识和逻辑思维的形式化是信息技术类学生的基本功，离散数学的基本概念是理科专业学生进行信息类课程学习的重要基础。
《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程类别：专业基础课适用专业：计算机应用技术适用层次：高起专适用教育形式：成人教育考核形式：考试所属学院：计算机科学与技术学院先修课程：无一、课程简介《离散数学》是计算机应用技术专业的一门基础必修课程，主要研究离散量的结构及其相互关系，是现代数学的一个重要分支。
它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时也是计算机专业的许多专业课程必不可少的先行课程。
二、课程学习目标通过本课程的学习，学生具备以下能力（应达到）：1. 理解命题和命题联接词、谓词和量词、命题公式和谓词公式、自由变元和约束变元等概念，记住常见等值式和推理定律，会求命题公式的主范式，能进行命题逻辑和谓词逻辑的符号化、推理和证明。
2. 理解集合、关系、偏序关系、等价关系和划分等概念，能选择合适方法描述集合和关系，能计算集合的幂集和笛卡尔积、二元关系的合成、闭包、偏序关系的特殊元素，会判定二元关系的性质，能绘制哈斯图。
3. 理解图论的基本概念，会判定特殊图的类型；能根据图的矩阵计算得出相应结论，会判别欧拉图、哈密顿图等特殊图的类型。
三、与其他课程的关系本课程是计算机专业许多专业课程，如数据结构、算法分析、数据库原理、编译原理等的先行课程。
四、课程主要内容和基本要求离散数学是研究离散量的结构和相互关系的一门理论学科，主要包括数理逻辑、集合论、代数系统和图论四大部分内容。
集合论是离散数学的基础，主要研究数学中学科分支的关注对象与研究内容的一般性规律，涉及集合的基本概念与运算、关系及性质、函数等内容。
数理逻辑以形式逻辑为研究目标，以形式化推理为其研究内容，包括命题逻辑和谓词逻辑两部分内容。
代数系统以抽象运算为研究目标，以满足某些运算规则组成的系统为研究内容，涉及群、环、域等不同的代数系统，系统之间的同态与同构，格与布尔代数等内容。
图论以离散对象上的二元关系为其研究目标，以抽象世界中事物的结构为其研究内容，涉及图的基本概念及应用等内容。
离散数学 第4章 代数系统(祝清顺版)
代数结构的知识体系
半群与群 环与域 格与布尔代数
分类 成分：载体及运算 公理：运算性质 产生 代数系统的构成
子集
子代数
同 种 的 同 类 型 的
等价关系
映射
代数系统的 同态与同构 代数系统间的关系
离散数学 第四章 代数系统 2007年8月20日
商代数 新代数系统
，有限域理论是差错控制编码理论的数学基础，在通讯中发 挥了重要作用。而电子线路设计、电子计算机硬件设计和通 讯系统设计更是离不开布尔代数。
离散数学 第四章 代数系统 2007年8月20日
学习本篇的方法
1、要按照数学的思维方式学习, 即观察客观世界, 抽象出模型 , 再分析、推理揭示内在规律的过程。 2、领会“抽象”性：代数的抽象性不仅体现在元素的抽象上, 还体现在相应运算的抽象上, 是在最纯粹的形式下研究代数结 构中的运算的规律与性质, 从运算的角度来考虑代数结构中的 元素。因此, 初等代数的相应概念、结论不能直接应用在抽象 代数中。如何跨越从直观到抽象是学习抽象代数的重要一步。 3、教材的基本思路是： 首先严格定义什么是代数结构, 并讨 论一般代数结构的基本性质。然后讨论代数结构研究的两个方 面：其一是通过一些基本性质来规定一类特定的代数结构, 并 对这类代数结构的性质进行研究。其二是研究代数结构之间的 各种关系, 通过对代数结构之间关系的研究 , 就可以把一个代 数结构中的某些性质推广到另一个代数结构中。
离散数学
第四章 代数系统
2007年8月20日
例题
例2 实数集R和两个二元运算: 普通加法＋和普通乘法 ×, 构成一代数系统, 记作(R, ＋, ×).
(1) 载体是实数集R.
离散数学第2章 关系(祝清顺版)
离散数学
关系矩阵的实例
例9 设A={3, 5, 6, 9}, A上的二元关系
R={<x, y｜x＞y},
试求出关系矩阵。
[解] 关系的集合表示为:
R＝{9, 3, 9, 5, 9, 6, 6, 3, 6, 5, 5, 3}.
关系矩阵为: 0 1 MR= 1 1
关系的三种表示方法： 集合表达式 关系矩阵
关系图
关系矩阵和关系图可以表示有限集合上的关系。
离散数学
第二章 二元关系
2007年8月20日
关系矩阵
设给定集合A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bm}，R为从A到B
的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标注矩
阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于aiA和bjB，令
n2 n2
个. 不
每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 同的二元关系。 |Ai|=mi，则A1×A2×…×An上有 2 二元关系。
离散数学 第二章 二元关系 2007年8月20日
m1m2…mn
个不同的
常用的关系
定义 对任意集合A，定义 (1) 空关系 (2) 全域关系 EA={<x, y>|x∈A且y∈A}=A×A (3) 恒等关系 IA={<x, x>|x∈A} (4) 小于或等于关系：LA={<x, y>|x, y∈A且x≤y}, 其中 AR。 (5) 整除关系：DA={<x, y>|x, y∈A且x整除y}, 其中 AZ* , Z*是非零整数集 (6) 包含关系：R＝{<x, y>|x, y∈A且xy}, 其中A是集 合族。
离散数学 第8章 树(祝清顺版)
G的生成树一般不惟一. 余树不一定是树, 因为余树不一定连通, 也可能包 含回路.
离散数学
第八章
树
2007年8月20日
例题
例4 在下图中, 可以看到该图的绿线所示的一个生成树 T. 其中e1, e2, e3, e4, e5, e9都是T的树枝, e6, e7, e8, e10, e11都是T的弦.
树
2007年8月20日
例题
例4 利用破圈法求下图的生成树。
依次删去边e6,e7,e8,e10,e11, 所得到的生成树就是例
9.1.3中所给出一棵生成树T1.
e4 e2 e7 e8 e10 e9 e5 e6 e3 e11
e1 e1
e4
e2
e9
e5 e3
T的余树如右图所示, 余树是不连通的, 同时也包含回路.
e 4 e2 e7 e8 e10 e9 e5 e6 e3 e11
离散数学 第八章 树
e1
e7 e 8 e6 e10 e11
2007年8月20日
生成树的存在条件
定理3 任何无向连通图G 至少存在一棵生成树. [证] 若连通图G中无回路, 则G为自身的生成树. 若G中包含回路, 则随意地删除回路上的一条边, 而 不影响图的连通性. 若上仍有回路, 则再删除回路上的一条边, 直到无 回路为止, 最后得到的图是无回路、连通的且为G的生 成子图, 故为G的生成树.
离散数学 第八章 树 2007年8月20日
树简介
而系统地研究树，把树当成一个纯数学对象来研究的是法 国数学家约当(Jordan)。 1869年，约当(Jordan)作为一个纯数学对象独立地发现 了树，并给出了树的概念。 约当所研究的成果就是凯莱(Caylay Arthur)所要研究的，但他并不知道树
《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程名称：离散数学课程代码：11285003适用对象：计算机科学与技术专业学时、学分：72学时，4学分一、说明1、课程的性质、地位和任务课程的性质：离散数学是数学学科的一门专业教育课，是计算机专业的专业基础课。
本课程的目的是传授给学生数理逻辑、集合论、代数结构与图论等方面的知识。
预修课程为：线性代数。
课程的地位：离散数学是计算机科学基础理论的核心课程，是计算机科学技术专业本、专科生的必修专业基础课。
通过本课程的学习，能培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，是一个科学工作者和教育工作者所必备的。
课程任务：课程的任务是使学生比较系统地掌握离散数学的基础知识并能比较灵活地加以运用；培养学生独立分析问题与解决问题能力，掌握离散数学在计算机中的应用为后续课程打下良好的基础。
2、课程教学的基本要求(1)掌握离散数学的基本概念，特别是数理逻辑、集合论和图论的基本内容，是离散数学的主要组成部分。
(2)在讲授基本理论的过程中，应注意引入离散数学的在计算机科学中的应用实例。
3、教法特点说明讲授和实验相结合，采用多媒体辅助教学，重在上机实验。
二、学时分配本课程理论教学时数：72学时三、理论教学大纲内容第1章命题逻辑（学时：12）l、本章教学目的要求（1）讲授命题符号化及联结词。
明确命题符号化及联结词在离散数学的地位。
（2）讲授命题公式及分类,明确等值演算公式的重要意义，（3）讲授真值表，明确真值的作用与意义。
（4）掌握命题公式的主析取范式和合取范式，掌握命题逻辑的推理理论。
2、教学内容及要求（注明掌握内容A，理解内容B，了解内容C）(1)理解命题符号化及联结词 B(2)掌握命题公式及分类 A(3)掌握24个基本等值式及其应用 A(4)了解联结词全功能集、对偶 C(5)掌握命题公式的主析取范式和合取范式 A(6)掌握命题逻辑的推理理论 A3、重点、难点重点：1、命题公式及分类2、命题公式的主析取范式和合取范式3、命题逻辑的推理理论难点：命题逻辑的推理理论4、教学方法教学手段说明讲授、自学讨论，理论和实践密切结合。
离散数学 课程简介(祝清顺版)
请君暂上凌烟阁
若个书生万户侯 ——唐 · 李贺《南园》
人因梦想而伟大！因学习而改变！因行动而成功！ 祝您的人生从此与众不同！
离散数学 课程简介 2007年8月20日
思维方法，它应用于生活的方方面面，它无比丰富，引
人入胜。离散数学很美，这就要看谁能够在以后的学习 中发现它的美！应用它的美！挖掘它的美! 没有人知道未来的世界会变得什么模样，但有一 点我们能够做到，那就是：
轰轰烈烈把握人生机遇，与时俱进无愧青春年华！
离散数学 课程简介 2007年8月20日
结束语
男儿何不带吴钩 收取关山五十州
华罗庚
离散数学
由薄到厚 , 由厚到薄 .
课程简介 2007年8月20日
八、教材与参考书
授课教材
祝清顺、贾利新、刘楠编著．离散数学．科学出版社。
参考教材
左孝凌等编著．离散数学．上海科技文献出版社
耿素云，屈婉玲编著．离散数学(修订版)．高等教育出
版社, 2004
耿素云，屈婉玲编著．离散数学学习指导与习题解析．
离散数学可以为数学建模打下知识基础、为算法设计提
供具体指导。 离散数学结构实际上就是通用的抽象的模式的集合。告 诉你各种模式的本质特征和它们之间的关系，以及选用 它们的策略；告诉你哪些问题是可解的，哪些是当前在 图灵机模型上无（最优）解的，哪些是可以得到近似较 优的解。
离散数学 课程简介 2007年8月20日
离散数学 课程简介 2007年8月20日
四、离散数学的内容
离散数学由多门数学分支组成
主要研究分支包括：
数理逻辑、集合论、代数(近世代数)、图论、算法、 组合数学、形式语言与自动机等等。 每个分支基本上可以看成是一门独立的学科。 数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生 活中的条件化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对程 序设计等课程是极有用处的。
离散数学 第7章 图论基础(祝清顺版)
c
d
(b)
离散数学
第七章 图论基础
2007年8月20日
图的一些概念和规定
(n, m)图: 具有n个结点和m条边的图称为(n, m)图.
若|V|＝n, 则称G为n阶图.
如果图G是一个(n, 0)图, 则称此图为零图, 即零图是仅 由一些孤立结点所组成的. 如果图G是一个(1, 0)图, 则称此图为平凡图, 即平凡图 是仅由一个孤立结点所组成的. v1 v2
的出度之和。
[证] 因为每一条边必给结点的入度之和增加1，给结点的
出度之和增加1。
所以，有向图中所有结点的入度之和等于边数，所有结
点的出度之和等于边数。
因此，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和。
离散数学
第七章 图论基础
2007年8月20日
例题
例5 设图G有n个结点，n+1条边，证明：G中至少有一个 结点度数≥3。 [证] 设图G中有n个结点分别为v1, v2,…, vn, 则由握手 定理：
e1 a e7 c e3 e3
e4
e2
e5
b e6 d
a e7 e5 c c e4 e1 e2 e6 b
离散数学
第七章 图论基础
2007年8月20日
例题
例2 设有4个城市: v1, v2, v3, v4, 其中, v1与v2之间, v2与 v4之间, v2与v3之间有直达航班, 试将此问题用图的方法表
图的定义 图的一些概念和规定 简单图和多重图 顶点的度数与握手定理 图的同构 完全图与正则图 子图与补图
离散数学 第七章 图论基础 2007年8月20日
图的概念
定义1 一个图G由非空结点集合V＝{v1, v2,…, vn}以及边 集合 E＝{e1, e2, …, em}所组成. 其中每条边可用一个结 点对表示, 亦即 ei＝(vi1, vi2), i＝1, 2, …, m.
《离散数学》课程简介
《离散数学》课程简介
离散数学是计算机科学与技术一级学科的核心课程，是整个计算机学科的专业基础课。
离散数学在教给学生离散问题建模、数学理论、计算机求解方法和技术知识的同时，培养学生的数学抽象能力和严密的逻辑推理能力，通过本课程的学习，不仅使学生掌握进一步学习其他课程所必需的离散数学知识，而且可以增强学生使用离散数学知识进行分析问题和解决实际问题的能力。
为后续的计算机专业课程打下坚实的基础。
本课程的主要内容包括集合论、数理逻辑、图与网络、数论基础、抽象代数和格论及布尔代数方面的基础知识。
集合论主要介绍集合论的基础知识，包括关系、映射和基数等知识；数理逻辑部分主要介绍命题逻辑和谓词逻辑的基础知识；图与网络包括图与网络的数据结构，有向图与Euler路，无向图与Hamilton路等内容；数论基础部分主要包括整除性、质因数分解、合同、一次同余式等；抽象代数部分包括代数系统、半群与群、群的同构与同态、环的性质、环的同态与同构、域的特征、素域、多项式的整除性、多项式的根等内容；格论与布尔代数包括半序格与代数格、对偶原理、格的性质、格的同态与同构、有界格、有余格、分配格、模格、布尔代数的性质等内容。
本课程即使一门基础理论课程，又是一门与实际问题紧密相连的课程，学生既要注重对课程内容的理解，又要加强理论联系实际，这样才能掌握本课程的精髓与要旨。
《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲一、课程简介课程名称：离散数学英文名称：Discrete Mathematics课程代码：课程类别：专业基础课学分：3 总学时：48课程概要：《离散数学》是现代数学的一个重要分支，是计算机类各专业的一门重要基础课，是计算机科学理论的基础。
它是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可列个元素，因此它充分描述了计算机科学的离散性特点。
其主要内容包括数理逻辑、集合论、关系与函数、图论等内容。
该课程与计算机类专业中的数据结构、操作系统、编译原理、数据库原理与应用、人工智能等后继专业课程紧密相关，因此是一门重要的学科基础必修课程。
该课程以高等数学、线性代数为先修课程，但关系不很紧密。
二、教学目的及要求通过该课程的学习，使学生掌握命题逻辑与谓词逻辑、集合与关系、图与树的基本概念和基本理论与方法，为学生学习计算机领域的后续课程奠定理论基础，并培养学生抽象思维、缜密概括和严密的逻辑推理能力，为学生今后处理离散信息打好数学基础。
三、教学内容及学时分配第一章命题逻辑（12学时）1.命题及其表示；2.逻辑联结词；3.命题公式与翻译；4.真值表与等价公式；5.命题公式的分类与蕴含式；6.命题公式的范式；7.命题逻辑的推理理论。
教学要求：熟悉命题、命题的真值、简单命题、复合命题、命题公式、真值表、等价公式、重言式、矛盾式、蕴涵式、（主）析取范式、（主）合取范式等概念；熟悉五个基本联结词（⌝、∧、∨、→、↔）的定义；掌握命题公式的翻译、命题公式的类型的判别、命题定律、证明两个命题公式等价的真值表法和等值演算法及命题公式的（主）析取范式、（主）合取范式的求法；掌握推理证明的直接证法和间接证法。
重点：五个逻辑联结词；翻译、命题公式的等值演算、主析取范式、主合取范式；推理证明的直接证法和间接证法。
难点：命题公式的主析取范式、主合取范式的求法；推理证明的间接证法。
第二章谓词逻辑（10学时）1.谓词与量词；2.谓词公式与翻译；3.变元的约束；4.谓词演算的等价式与蕴含式；5.谓词演算的推理理论。
离散数学 第9章 命题逻辑(祝清顺版)
Discrete Mathematics
第1节 命题与连结词
科学出版社
主讲：祝清顺 教授
一、命题与联结词
具有真假意义的陈述句，也就是能够确定或分辨其真假 的陈述句称为命题。 作为命题的陈述句所表达得的判断结果称为命题的真值. 真值只取两个：真与假。 真值为真的命题称为真命题。 真值为假的命题称为假命题。
2007年8月20日
复合命题符号化的基本步骤
① 确定句子是否为命题，不是就不必翻译； ② 找出所有的原子命题； ③ 确定句中连接词对应于哪一个命题连接词；
④ 正确表示原子命题和选择命题连接词；
⑤ 要按逻辑关系翻译而不能凭字面翻译。
离散数学
第九章 命题逻辑
2007年8月20日
例题
例1.6 将下列命题符号化.
离散数学 第九章 命题逻辑 2007年8月20日
数理逻辑的主要内容
数理逻辑内容丰富，但其主要包括‚两个演算‛ 加‚四 论‛，即：
–逻辑演算。包括命题演算和谓词演算
证明论。主要研究数学理论系统的相容性（即不矛盾、 现 协调性）的证明。 代 递归论（能行性理论）。自从电子计算机发明后，迫 数 切需要在理论上弄清计算机能计算哪些函数。递归论 理 研究能行可计算的理论，它为能行可计算的函数找出 逻 各种理论上精确化的严密类比物。 辑 模型论。主要是对各种数学理论系统建立模型，并研 究各模型之间的关系以及模型与系统之间的关系。
在自然语言中，‚如果P, 那么Q‛中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系 (形式蕴涵). 而在数理逻辑中，P与
Q可以无任何内在联系(实质蕴涵).
在数学或其它自然科学中，‚如果P，那么Q‛往往表达
的是前件为真，后件 Q 也为真的推理关系。但在数理逻
离散数学 第6章 格(祝清顺版)
格与布尔代数的简介
离散数学
第六章 格与布尔代数
2007年8月20日
Discrete Mathematics
第1节 格的基本概念
科学出版社
主讲：祝清顺 教授
本节主要内容
1. 概念 一.格的定义
2. 对偶原理
3. 基本性质
二.格是代数系统
1. 作为代数系统的格的定义 2. 偏序集合的格与代数集合的格的关系 1. 子格 三.子格
离散数学 第六章 格与布尔代数 2007年8月20日
对偶原理
格的对偶原理表述如下: 设P是对任意格都为真的命题, 如果在命题P中把≤换成 ≥ (或把≥换成≤), ∨换成∧, ∧换成∨, 就得到另一个命 题P, 我们把P称为P的对偶命题, 则P对任意格也是真的命 题. 例如, P: a∧b＝b∧a P: a∨b＝b∨a
用盖住的性质画出偏序集图或称哈斯图，其作图规则为：
(1)小圆圈代表元素。 (2) 如果 x≤y 且x≠y，将代表 y 的小圆圈画在代表 x 的小 圆圈之上。 (3)如果<x, y>∈covA，则在x与y之间用直线连结。
离散数学 第六章 格与布尔代数 2007年8月20日
知识回顾
4. 上界、下界
定义 4 ：设 (A ，≤ ) 是一偏序集，对于 BA ，如有a∈A， 且对任意元素x∈B，都有x≤a ，则称a为 B的上界。同理， 对任意元素x∈B，都有a≤x，则称a为B的下界。 5.最小上界和最大下界 定义 5 ：设 (A ，≤ ) 是一偏序集且 BA ， a 是 B 的任一上 界，若对B的所有上界 y均有a≤y ，则称 a是B 的最小上界，
离散数学 第六章 格与布尔代数 2007年8月20日
格与布尔代数的简介
离散数学 第10章 谓词逻辑(祝清顺版)
–可以是无穷集合，如N, Z, R,…。
全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成 。
说明
离散数学
本教材在论述或推理中，如果没有指明所采用 的个体域，都是使用的全总个体域。
第十章 谓词逻辑 2007年8月20日
2.谓词及相关概念
例2 考虑下列3个命题.
(1) 是无理数.
(2) 张洋毕业于北京大学. (3) 15=3×5.
谓词说明
1.谓词中个体词的顺序十分重要，不能随意变更。 如命题F(b, c)为“真”，但命题F(c, b)为“假”； 2.. F(a)与F(x)的不同： F(x, y)：x是y的父亲 如例1中，F(x)： 是无理数， a为5。
F(a)是有真值的，但F(x)却没有真值。
具体命题的谓词表示形式和 n元谓词是不同的，前者是有 真值的，而后者不是命题，它的真值是不确定的. 3. n元谓词与命题的区别： n 元谓词不是命题，但将 n 元谓词中的个体变元都用具体
a: 4, b: 5, c: 6. 则命题符号化为: F(b, a)F(a, c).
离散数学 第十章 谓词逻辑 2007年8月20日
例题
(2) 设F(x): x建成了, G(x): x是漂亮的, H(x): x是实验室. a: 这个 则命题符号化为: G(a)∧H(a)∧F(a). (3) 设F(x, y): x正在打开y, G(x): x是人, R(y): y是大红书 柜. a: 这个, b: 那只. 则命题符号化为: G(a)∧R(b)∧F(a, b).
离散数学 第十章 谓词逻辑 2007年8月20日
2007年8月20日
第1节 个体、谓词和量词
科学出版社
主讲：祝清顺 教授
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离散数学可以为数学建模打下知识基础、为算法设计提
供具体指导。 离散数学结构实际上就是通用的抽象的模式的集合。告 诉你各种模式的本质特征和它们之间的关系，以及选用 它们的策略；告诉你哪些问题是可解的，哪些是当前在 图灵机模型上无（最优）解的，哪些是可以得到近似较 优的解。
离散数学 课程简介 2007年8月20日
离散数学研究的对象是离散量，一切以离散现象作为研 究对象或对象之一的数学均称为离散数学。
离散数学 课程简介 2007年8月20日
连续数学VS离散数学印象
剪不断
理还乱
是离愁
恰似一江春水向东流
枯藤老树昏鸦 小桥流水人家 古道西风瘦马 夕阳西下 断肠人在天涯
离散数学 课程简介 2007年8月20日
二、离散数学的发展过程
离散数学 课程简介 2007年8月20日
四、离散数学的内容
离散结构：用来表示离散对象以及它们之间关系的抽象
数学结构，包括：集合、排列、关系、树、图。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对
象，一种重要的数据结构 。
算法化思维：许多问题都可以通过构造一个可以被程序
实现的算法来解决。它的三个步骤是：构造（选择合适
18世纪以前, 数学基本上是研究离散对象的数量和空间 关系的科学。
之后, 因天文学, 物理学的发展, 如行星轨道, 牛顿三大
力学定律等研究, 极大地推动了连续数学(以微积分, 数
学物理方程, 实、复变函数论为代表)的发展。
离散对象的研究则处于停滞状态。
20 世纪30年代 , 图灵提出计算机的理论模型——图灵
思维方法，它应用于生活的方方面面，它无比丰富，引
人入胜。离散数学很美，这就要看谁能够在以后的学习 中发现它的美！应用它的美！挖掘它的美! 没有人知道未来的世界会变得什么模样，但有一 点我们能够做到，那就是：
轰轰烈烈把握人生机遇，与时俱进无愧青春年华！
离散数学 课程简介 2007年8月20日
结束语
男儿何不带吴钩 收取关山五十州
离散数学课程简介
科学出版社
主讲：祝清顺 教授
一、现代数学的两大分类
现代数学可以分为两大类：
一类是研究连续对象的，如分析、方程等。
另一类是研究离散对象的离散数学。 离散数学：Discrete Mathematics. 研究离散对象及其相互间关系的一门数学学科。 研究离散结构的数学分科。 ——辞海
六、为什么要学习离散数学
掌握离散数学知识，为后续课程（数据结构、操作系
统、编译理论、算法分析、系统结构、容错判断、机 器定理证明、数据库原理、人工智能等）打下坚实的 基础。 简而言之，离散数学的作用就在于训练运用离散结 构作为问题的抽象模型、构造算法、解决问题的能力. 通过离散数学的学习，培养抽象思维，缜密概括和 严密逻辑推理能力，掌握证明问题的方法。
机。
离散数学 课程简介 2007年8月20日
二、离散数学的发展过程
图灵机这种模型早于实际制造计算机十多年, 现实的计 算机的计算能力, 本质上和图灵机的计算能力一样。
由于在计算机内, 机器字长总是有限的, 它代表离散的
数或其它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛
发展, 离散数学就显得重要。
请君暂上凌烟阁
若个书生万户侯 ——唐 · 李贺《南园》
人因梦想而伟大！因学习而改变！因行动而成功！ 祝您的人生从此与众不同！
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如果你觉得这些书的挑战性差一些，你可以看各分支学科的数学教科书。
集合论、图论、抽象代数、数理逻辑与数学基础、……………
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结束语
课程开始了，仿佛一台戏的幕布已经拉开，到了向 观众演出的时候了。希望本课程不只是揭开离散数学神 秘的面纱，更重要的是激发大家学习离散数学的积极性, 因为离散数学是一种科学、一种语言、一种艺术、一种
数理逻辑是自动机理论、编译原理、人工智能的 基础课程之一；
集合论是数据库的基础课程之一；
代数是密码学的基础课程之一；
图论是逻辑设计的基础课程之一 ( 通信网理论的 基础)。
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五、教学内容
教学内容 分为四个相对独立的部分： 集合论、代数、
图论与数理逻辑。
的离散模型和操作步骤）、验证（算法的正确性）、评
估（时间和空间的复杂性）。
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四、离散数学的内容
离散数学各部分内容的关系 并非相互独立，有着密切联系 它们分别从不同角度出发，研究各种离散量之间 数与形的关系。
离散数学是计算机科学中一些课程的必备基础
代数结构
数理逻辑
集合论
图
论
离散数学
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课程结构
离散数学
集合论 集 二 函 代 数 结 数 构
课程简介
代数系统 典 型 系 统
图
布
尔 代 数 图 论 基 础
论
数理逻辑 命 谓 词 逻 辑
元
关 合
离散数学
树
题 逻 辑
系
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六、为什么要学习离散数学
计算机求解的基本模式是： 实际问题 数学建模 算法设计 编程实现
高等教育出版社, 2005
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八、教材与参考书
如果你想在本教材的基础上拓展一点，可以看类似地更详细一些的书，当 然也有雷同。
耿素云：集合论与图论：离散数学第二分册，北京大学出版社，1998.
屈婉玲：代数结构与组合数学：离散数学第三分册，北京大学出版社， 1998. 如果你想了解其它风格的教科书，可以看美国主流的离散数学教材。 Rosen：离散数学及其应用(6版), 机械工业出版社, 英文影印版, 2008. Kolman等：离散数学结构(5版), 高等教育出版社, 英文影印版, 2005. Ross等：离散数学, 清华大学出版社, 英文影印版, 2003. 如果你只想多看一些题目, 可以看专门的习题集。 利普舒尔茨等：离散数学(全美经典数学指导系列), 科学出版社, 中文译本, 2002.
华罗庚
离散数学
由薄到厚 , 由厚到薄 .
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八、教材与参考书
授课教材
祝清顺、贾利新、刘楠编著．离散数学．科学出版社。
参考教材
左孝凌等编著．离散数学．上海科技文献出版社
耿素云，屈婉玲编著．离散数学(修订版)．高等教育出
版社, 2004
耿素云，屈婉玲编著．离散数学学习指导与习题解析．
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七、学习方法
课程特点：定义+定理+例题
内容较杂，概念多，定理多，比较抽象，给学习带来一
定难度。
学习方法： 1. 准确掌握每个概念(包括内涵及外延). 2. 要有刻苦钻研精神, 不断总结经验. 3. 在理解内容的基础上, 要较多地做些习题, 从而再进 一步加深理解所学内容. 4. 注意培养分析问题和解决问题的能力.
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四、离散数学的内容
离散数学由多门数学分支组成
主要研究分支包括：
数理逻辑、集合论、代数(近世代数)、图论、算法、 组合数学、形式语言与自动机等等。 每个分支基本上可以看成是一门独立的学科。 数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生 活中的条件化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对程 序设计等课程是极有用处的。
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七、学习方法
6. 认识离散数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能 达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必 须熟悉数学.
恩格斯
7. 学数学最好的方式是做数学.
聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 .
离散数学
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三、离散数学与计算机的关系
计算机是一个离散的结构，计算机的研究对象大都是离 散形式，离散数学当之无愧地可以充分描述计算机科学的 离散性的特点，它是研究计算机科学的基本数学工具和最
合适的理论手段。因此，离散数学是是计算机科学的专业
基础核心课程，也是信息科学的数学基础。 它在计算机理论研究及软硬件开发的各个领域都有广泛 的应用。 在计算机科学发展的过程中，各种理论问题的研究交错 地使用着近代数学中的不同论题，这些论题都构成了离散 数学的内容。