电路理论基础(哈尔滨工业大学陈希有第3版)10
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1
阶跃发生 在t=t0时刻
延迟单位阶跃函数
O
t0
——
(t )
1
t
0 (t t 0 ) 1
G(t)
1 O t0
(t t 0 ) (t t 0 )
二者相减得 到脉冲函数
t
脉冲强度
t
(b)
O
G(t ) (t ) (t t0 )
构造一般的脉冲函数
f1 (t ) AG(t ) A[ (t ) (t t0 )] f 2 (t ) BtG (t ) Bt [ (t ) (t t0 )]
b a
S (t 0 )
R
C
uC
U0
t>0
uR
R
iC
C
uC
（a） RC电路的零输入响应
(b)
根据KVL列出t>0时电路的微分方程：
duC u R uC RiC uC RC uC 0 dt
根据换路定律
uC (0 ) uC (0 ) U 0
L L 8 10 5 s R R1 R2
断开含电感的电路 时，开关可能承受 很高的电压。
根据 再由KVL求得
iL (t ) iL (0 )et / I 0et / (t 0)
i L i L (0 ) e
t /
得
7e
1.25104 t
A
(t 0)
本章目次
1 动态电路的暂态过程 2 电路量的初值 3 一阶电路的零输入响应 4 阶跃函数和冲激函数
6 一阶电路的全响应 7 求一阶电路暂态过程解的三要素公式 8 卷积积分 9 二阶电路的暂态过程
5 一阶电路的零状态响应
10 状态变量分析法
10.1
动态电路的暂态过程
基本要求：了解动态电路暂态过程及时域分析的基本概念。
换路定律
Ψ (0 ) Ψ (0 )
iL (0 ) iL (0 )
2 除uC 、 iL之外各电压电流初始值的确定 依据电路的结构约束和元件约束，在t=0+瞬间有： KVL KCL
u(0 ) 0 i(0 ) 0
电阻元件 u R (0 ) Ri R (0 ) 或 iR (0 ) GuR (0 ) 电感元件 iL (0 ) iL (0 ) 电容元件 uC (0 ) uC (0 ) 在 t=0+ 瞬间 电容相当于电压源； 电感相当于电流源。
于是电路将成为电阻电路，可用分析直流电路的各种方法来求解。
例题
10.1
图(a)所示电路，在t<0时处于稳态， t=0时开关接通。求初始值iL(0+) 、 uC(0+) 、 u1(0+) 、 uL(0+)及 iC(0+) 。
4
uL
S (t 0 ) 6 2 u1
iC
4
t0 t 0
4.单位冲激函数的性质
(t ) (t ) (t t1 ) (t1 t )
f (t ) (t )dt f (0) f (t ) (t t1 )dt f (t1 )
f (t ) (t ) f (0) (t ) f (t ) (t t1 ) f (t1 ) (t t1 )
uC
iC
U0
U0 R
t
t
O
O
(a)
(b)
uC 和 iC 的变化曲线
可见uC和iC的衰减速率取决于RC之积 。令
RC
t
uC(t) 0 U0 对放电时间的影响
时间常数 (单位s)
2
3
4
5
0.007U0
… …
0
0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.018U0
对放电时间的影响——经过 35 的时间,放电基本结束。
uR
R
iC
C
du u R uC RiC uC RC C uC 0 dt
特征方程
RCp 1 0
uC
RC电路的零输入响应
特征根
p 1 RC
t uC duC U 0 RC iC C e R dt R
(t 0)
通解
uC Ae Ae
t /
(t 0)
diL uL RiL L RI 0 et / (t 0) dt
uL
I0
O
t
O
(a)
RI 0
t
(b)
换路时电感两 端可能出现很 高的瞬间电压
iL 和 uL 的变化曲线
=L/R
L越大
2 wL LiL / 2
越大
R越小
2 p Ri L
电感储能越多 放电时间越长
du (t ) i (t ) C C dt duC RC uC U S dt
US
t0
R
i
C
uC
RC充电电路
初始值u(0+)、i(0+) 、q(0+) 、 (0+)
换路之后，电路量将从其初始值开始变动。
时域分析法(time domain analysis) 以时间为主变量列写电路的微分方程并确定初始条件，通过求解微分方
1单位阶跃函数
S (t 0 )
R
2
US
1
R u
(a)
等效为
C
iC
uC
C
u U S ( t )
(c)
u(t)的波形
u (t )
(t)
若幅值为1
单位阶跃函数
1 O t
US
(d)
O
(b)
t
阶跃函数
0 (t ) 1
(t 0) (t 0)
2单位脉冲函数
(t t 0 )
第十章 线性动态电路暂态过程的时域分析
提要 动态电路的暂态过程分析是电路理论的重要内容，本章讨论线性
动态电路暂态过程的时域分析。首先介绍动态电路的暂态过程，建立时 域分析法的基本思路。然后重点介绍求解一阶电路的三要素法及其相关 概念。其次讨论卷积积分及二阶电路在不同条件下解的特点。最后简要 介绍状态方程的概念。
4 1.25104 t
uk U S u2 U S R2iL (35 3.5 10 e
t0+时，
)V (t 0)
uk (0 ) (35 3.5 104 )V 3.5 104 V
10.4
阶跃函数和冲激函数
基本要求：掌握单位阶跃函数与单位冲激函数的定义及其相互关系。
单位脉冲：强度等于1的脉冲。
3单位冲激函数
1 "
1 '
p (t )
(t )
单位脉冲函数的宽度趋于零
O
(1)
冲激强度
t
O
" '
t
单位冲激函数
单位脉冲函数宽度的变化
单位冲激函数定义
(t t 0 )
0 延迟单位冲激函数 (t ) 奇异 (t )dt 1
0
0
0
0
式中等号右端第一项积分表示t=0-时的电荷q(0-), 故
q(0 ) CuC (0 ) q(0 ) iC ( )d
0
0
若在t=0瞬间电容电流有界，则上式积分项必为零，于是得到
q(0 ) q(0 )
应用对偶原理有：
uC (0 ) uC (0 )
t ( )d (t ) t ( t1 )d (t t1 )
d (t ) (t ) (t ) dt (t t ) d (t t ) (t t ) 1 1 1 dt
程获得电压、电流的时间函数(变化规律)。
10.2
电路量的初始值
基本要求：熟练计算电路量的初始值。
1 电容电压uC和电感电流iL初始值的确定 设在线性电容上电压和电流参考方向相同，则有
q(t ) CuC (t ) iC ( )d
t
电容电荷的初始值可表示为
q(0 ) CuC (0 ) iC ( )d iC ( )d iC ( )d
根据上述结果，画出t=0+时的等效电路如图(b)。对其列节点电压方程：
10.3
一阶电路的零输入响应
基本要求：掌握一阶电路零输入响应的计算，理解时间常数的含义。
一阶电路(first-order circuit)：可用一阶常微分方程描述的电路。 零输入响应(zero-input response)：仅由储能元件原始储能引起的响应。 1 RC电路的零输入响应
t O 1 2 3
不同 值对应的 u C 变化规律
1 2 1 2 1 We (0 ) CuC (0 ) CuC (0 ) CU 02 2 2 2 电容的原始储能
2 RL电路的零输入响应
KVL方程
I0
R
uR
iL
iL
di uL uR L L RiL 0 dt 特征方程
pt
t RC
代入初值
uC (0 ) Ae 0 A U 0
uC uC (0 )e
t RC
U 0e
-
t RC
t 0
uC uC (0 )e
t RC
U 0e
t RC
t 0
t uC duC U 0 RC iC C e R dt R
(t 0)
由换路定律得 iL (0 ) iL (0 ) 1.2A
uC (0 ) uC (0 ) 7.2V
1 1 12V ( )u1 (0 ) i L (0 ) 4 2 4 uL (0 ) u1 (0 ) uC (0 ) 4.8V 根据KVL和KCL求得 u1 (0 ) 2.4V uC ( 0 ) iC (0 ) iL (0 ) i2 (0 ) iL (0 ) 0 6
Lp R 0
S (t 0 )
L
uL
t>0
R
L
uL
特征根
R p L
(a) (b) RL电路的零输入响应 换路定律
i L (0 源自文库 i L (0 ) I 0
iL (0 ) Ae 0 A I 0
R t L
通解
iL (t ) Ae Ae
电阻消耗功率越小
例题
10.2
S (t 0 )
uk R2
图示电路，已知US=35V，R1=5，R1=5k， L=0.4H。t<0时电路处于直流稳态。 t=0时开关断 US 开。求t>0时的电流iL及开关两端电压uk 。
解
R1 iL
u2
L
iL的初始值及时间常数分别为
iL (0 ) iL (0 ) US 7A R1
pt
Ae
t /
iL (t ) iL (0 )e t / I 0e t /
(t 0)
L R 时间常数(单位:s)
u L Ri L L
diL RI 0e t / dt
(t 0)
iL (t ) iL (0 )e
t /
I 0e
iL
时间常数的理解 C越大
2 wC CuC / 2
越大
R越大
2 p uR / R
iC
R
C
uR
uC
电容储能越多 放电时间越长
电阻消耗功率越小
RC电路的零输入响应
uC
放电过程中的能量传递 电阻所消耗的能量
U0
0.368U 0
t
0
U 0 RC 2 1 2 p R (t )dt iC (t ) Rdt ( e ) Rdt CU 02 0 0 R 2
u L (0 )
iC (0 )
L
iL
iL (0 )
uC (0 )
12 V
C
i2
uC
12V 2
u1 (0 ) 6
i2 (0 )
解
(a)
(b)
开关在接通之前，电路是直流稳态。于是求得 12V iL (0 ) 1.2A uC (0 ) 6 iL (0 ) 7.2V (4 6)
10.5
一阶电路的零状态响应
基本要求：掌握一阶电路的零状态响应的计算；理解强制分量与自由分量、稳态分 量与暂态分量的含义；掌握单位阶跃特性与单位冲激特性的计算及其相互关系。
电路中储能元件的原始储能为零［即uC(0+)=0，iL(0+)=0］，仅由独立电 源作用引起的响应称为零状态响应(zero-state response)。 uR
R2
US
t0
R
i
C
uC
US
t0
R1
u2
（a）
(b)
•动态电路
uC
•换路
直 接 跃 变
u2
•电阻电路
US
O t
R2U S R1 R2
O
t
稳态
暂态
(a)
稳态
稳态
稳态
(b)
无过渡过程
图示电路换路后的KVL方程为
Ri (t ) uC (t ) U S , t 0
式中 代入上式，得
阶跃发生 在t=t0时刻
延迟单位阶跃函数
O
t0
——
(t )
1
t
0 (t t 0 ) 1
G(t)
1 O t0
(t t 0 ) (t t 0 )
二者相减得 到脉冲函数
t
脉冲强度
t
(b)
O
G(t ) (t ) (t t0 )
构造一般的脉冲函数
f1 (t ) AG(t ) A[ (t ) (t t0 )] f 2 (t ) BtG (t ) Bt [ (t ) (t t0 )]
b a
S (t 0 )
R
C
uC
U0
t>0
uR
R
iC
C
uC
（a） RC电路的零输入响应
(b)
根据KVL列出t>0时电路的微分方程：
duC u R uC RiC uC RC uC 0 dt
根据换路定律
uC (0 ) uC (0 ) U 0
L L 8 10 5 s R R1 R2
断开含电感的电路 时，开关可能承受 很高的电压。
根据 再由KVL求得
iL (t ) iL (0 )et / I 0et / (t 0)
i L i L (0 ) e
t /
得
7e
1.25104 t
A
(t 0)
本章目次
1 动态电路的暂态过程 2 电路量的初值 3 一阶电路的零输入响应 4 阶跃函数和冲激函数
6 一阶电路的全响应 7 求一阶电路暂态过程解的三要素公式 8 卷积积分 9 二阶电路的暂态过程
5 一阶电路的零状态响应
10 状态变量分析法
10.1
动态电路的暂态过程
基本要求：了解动态电路暂态过程及时域分析的基本概念。
换路定律
Ψ (0 ) Ψ (0 )
iL (0 ) iL (0 )
2 除uC 、 iL之外各电压电流初始值的确定 依据电路的结构约束和元件约束，在t=0+瞬间有： KVL KCL
u(0 ) 0 i(0 ) 0
电阻元件 u R (0 ) Ri R (0 ) 或 iR (0 ) GuR (0 ) 电感元件 iL (0 ) iL (0 ) 电容元件 uC (0 ) uC (0 ) 在 t=0+ 瞬间 电容相当于电压源； 电感相当于电流源。
于是电路将成为电阻电路，可用分析直流电路的各种方法来求解。
例题
10.1
图(a)所示电路，在t<0时处于稳态， t=0时开关接通。求初始值iL(0+) 、 uC(0+) 、 u1(0+) 、 uL(0+)及 iC(0+) 。
4
uL
S (t 0 ) 6 2 u1
iC
4
t0 t 0
4.单位冲激函数的性质
(t ) (t ) (t t1 ) (t1 t )
f (t ) (t )dt f (0) f (t ) (t t1 )dt f (t1 )
f (t ) (t ) f (0) (t ) f (t ) (t t1 ) f (t1 ) (t t1 )
uC
iC
U0
U0 R
t
t
O
O
(a)
(b)
uC 和 iC 的变化曲线
可见uC和iC的衰减速率取决于RC之积 。令
RC
t
uC(t) 0 U0 对放电时间的影响
时间常数 (单位s)
2
3
4
5
0.007U0
… …
0
0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.018U0
对放电时间的影响——经过 35 的时间,放电基本结束。
uR
R
iC
C
du u R uC RiC uC RC C uC 0 dt
特征方程
RCp 1 0
uC
RC电路的零输入响应
特征根
p 1 RC
t uC duC U 0 RC iC C e R dt R
(t 0)
通解
uC Ae Ae
t /
(t 0)
diL uL RiL L RI 0 et / (t 0) dt
uL
I0
O
t
O
(a)
RI 0
t
(b)
换路时电感两 端可能出现很 高的瞬间电压
iL 和 uL 的变化曲线
=L/R
L越大
2 wL LiL / 2
越大
R越小
2 p Ri L
电感储能越多 放电时间越长
du (t ) i (t ) C C dt duC RC uC U S dt
US
t0
R
i
C
uC
RC充电电路
初始值u(0+)、i(0+) 、q(0+) 、 (0+)
换路之后，电路量将从其初始值开始变动。
时域分析法(time domain analysis) 以时间为主变量列写电路的微分方程并确定初始条件，通过求解微分方
1单位阶跃函数
S (t 0 )
R
2
US
1
R u
(a)
等效为
C
iC
uC
C
u U S ( t )
(c)
u(t)的波形
u (t )
(t)
若幅值为1
单位阶跃函数
1 O t
US
(d)
O
(b)
t
阶跃函数
0 (t ) 1
(t 0) (t 0)
2单位脉冲函数
(t t 0 )
第十章 线性动态电路暂态过程的时域分析
提要 动态电路的暂态过程分析是电路理论的重要内容，本章讨论线性
动态电路暂态过程的时域分析。首先介绍动态电路的暂态过程，建立时 域分析法的基本思路。然后重点介绍求解一阶电路的三要素法及其相关 概念。其次讨论卷积积分及二阶电路在不同条件下解的特点。最后简要 介绍状态方程的概念。
4 1.25104 t
uk U S u2 U S R2iL (35 3.5 10 e
t0+时，
)V (t 0)
uk (0 ) (35 3.5 104 )V 3.5 104 V
10.4
阶跃函数和冲激函数
基本要求：掌握单位阶跃函数与单位冲激函数的定义及其相互关系。
单位脉冲：强度等于1的脉冲。
3单位冲激函数
1 "
1 '
p (t )
(t )
单位脉冲函数的宽度趋于零
O
(1)
冲激强度
t
O
" '
t
单位冲激函数
单位脉冲函数宽度的变化
单位冲激函数定义
(t t 0 )
0 延迟单位冲激函数 (t ) 奇异 (t )dt 1
0
0
0
0
式中等号右端第一项积分表示t=0-时的电荷q(0-), 故
q(0 ) CuC (0 ) q(0 ) iC ( )d
0
0
若在t=0瞬间电容电流有界，则上式积分项必为零，于是得到
q(0 ) q(0 )
应用对偶原理有：
uC (0 ) uC (0 )
t ( )d (t ) t ( t1 )d (t t1 )
d (t ) (t ) (t ) dt (t t ) d (t t ) (t t ) 1 1 1 dt
程获得电压、电流的时间函数(变化规律)。
10.2
电路量的初始值
基本要求：熟练计算电路量的初始值。
1 电容电压uC和电感电流iL初始值的确定 设在线性电容上电压和电流参考方向相同，则有
q(t ) CuC (t ) iC ( )d
t
电容电荷的初始值可表示为
q(0 ) CuC (0 ) iC ( )d iC ( )d iC ( )d
根据上述结果，画出t=0+时的等效电路如图(b)。对其列节点电压方程：
10.3
一阶电路的零输入响应
基本要求：掌握一阶电路零输入响应的计算，理解时间常数的含义。
一阶电路(first-order circuit)：可用一阶常微分方程描述的电路。 零输入响应(zero-input response)：仅由储能元件原始储能引起的响应。 1 RC电路的零输入响应
t O 1 2 3
不同 值对应的 u C 变化规律
1 2 1 2 1 We (0 ) CuC (0 ) CuC (0 ) CU 02 2 2 2 电容的原始储能
2 RL电路的零输入响应
KVL方程
I0
R
uR
iL
iL
di uL uR L L RiL 0 dt 特征方程
pt
t RC
代入初值
uC (0 ) Ae 0 A U 0
uC uC (0 )e
t RC
U 0e
-
t RC
t 0
uC uC (0 )e
t RC
U 0e
t RC
t 0
t uC duC U 0 RC iC C e R dt R
(t 0)
由换路定律得 iL (0 ) iL (0 ) 1.2A
uC (0 ) uC (0 ) 7.2V
1 1 12V ( )u1 (0 ) i L (0 ) 4 2 4 uL (0 ) u1 (0 ) uC (0 ) 4.8V 根据KVL和KCL求得 u1 (0 ) 2.4V uC ( 0 ) iC (0 ) iL (0 ) i2 (0 ) iL (0 ) 0 6
Lp R 0
S (t 0 )
L
uL
t>0
R
L
uL
特征根
R p L
(a) (b) RL电路的零输入响应 换路定律
i L (0 源自文库 i L (0 ) I 0
iL (0 ) Ae 0 A I 0
R t L
通解
iL (t ) Ae Ae
电阻消耗功率越小
例题
10.2
S (t 0 )
uk R2
图示电路，已知US=35V，R1=5，R1=5k， L=0.4H。t<0时电路处于直流稳态。 t=0时开关断 US 开。求t>0时的电流iL及开关两端电压uk 。
解
R1 iL
u2
L
iL的初始值及时间常数分别为
iL (0 ) iL (0 ) US 7A R1
pt
Ae
t /
iL (t ) iL (0 )e t / I 0e t /
(t 0)
L R 时间常数(单位:s)
u L Ri L L
diL RI 0e t / dt
(t 0)
iL (t ) iL (0 )e
t /
I 0e
iL
时间常数的理解 C越大
2 wC CuC / 2
越大
R越大
2 p uR / R
iC
R
C
uR
uC
电容储能越多 放电时间越长
电阻消耗功率越小
RC电路的零输入响应
uC
放电过程中的能量传递 电阻所消耗的能量
U0
0.368U 0
t
0
U 0 RC 2 1 2 p R (t )dt iC (t ) Rdt ( e ) Rdt CU 02 0 0 R 2
u L (0 )
iC (0 )
L
iL
iL (0 )
uC (0 )
12 V
C
i2
uC
12V 2
u1 (0 ) 6
i2 (0 )
解
(a)
(b)
开关在接通之前，电路是直流稳态。于是求得 12V iL (0 ) 1.2A uC (0 ) 6 iL (0 ) 7.2V (4 6)
10.5
一阶电路的零状态响应
基本要求：掌握一阶电路的零状态响应的计算；理解强制分量与自由分量、稳态分 量与暂态分量的含义；掌握单位阶跃特性与单位冲激特性的计算及其相互关系。
电路中储能元件的原始储能为零［即uC(0+)=0，iL(0+)=0］，仅由独立电 源作用引起的响应称为零状态响应(zero-state response)。 uR
R2
US
t0
R
i
C
uC
US
t0
R1
u2
（a）
(b)
•动态电路
uC
•换路
直 接 跃 变
u2
•电阻电路
US
O t
R2U S R1 R2
O
t
稳态
暂态
(a)
稳态
稳态
稳态
(b)
无过渡过程
图示电路换路后的KVL方程为
Ri (t ) uC (t ) U S , t 0
式中 代入上式，得