祖冲之与圆周率

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3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean) 算法： Gauss-Legendre公式： 初值： 重复计算： 最后计算：
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4、Borwein四次迭代式： 初值： 重复计算：
最后计算： 这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表，它四次收敛于圆 周率。
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中国数学家刘徽在注释《九章算 术》时（公元263年）只用圆内接 正多边形就求得π的近似值，也 得出精确到两位小数的π值，他 的方法被后人称为割圆术，其中 有求极限的思想。
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南北朝时代的数学家祖冲之利用割圆术进 一步得出精确到小数点后7位的π值（公元 466年），给出不足近似值3.1415926和过 剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数 值，密率355/113和约率22/7，这一纪录在 世界上保持了一千年之久。为纪念祖冲之 对中国圆周率发展的贡献，将这一推算值 用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”， 简称“祖率”。
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圆周率
圆周率，一般以π来表示，是一个在 数学及物理学普遍存在的数学常数。 它定义为圆形之周长与直径之比。它 也等于圆形之面积与半径平方之比。 是精确计算圆周长、圆面积、球体积 等几何形状的关键。分析学上，π 可 定义为是最小的x>0 使得 sin(x) = 0。
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第一个用科学方法寻求圆周率数值的人 是阿基米德，他在《圆的度量》（公元 前3世纪）中用圆内接和外切正多边形 的周长确定圆周长的上下界，从正六边 形开始，逐次加倍计算到正96边形，得 到(3+(10/71)) < π < (3+(1/7)) ， 开创了圆周率计算的几何方法（亦称古 典方法，或阿基米德方法），得出精确 到小数点后两位的π值。
常用的 π 近以值包括疏率:22/7 及密率: 355/113。这两项均由祖冲之给出。 π 约等于（精确到小数点后第100位）
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680
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转
【转】是寻求圆周率的一个转折 点。圆周率的计算有了新的突破 －以解析表达式表示及求出圆周 率的值。
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接
「接」是紧接着以上发现的很 多计算圆周率值的公式所延伸 的一个时期：随着科技的突飞 猛进，计算机的发明，令圆周 率的计算速度有了新的突破。
• 祖冲之（公元429-500年 ）是我国南北朝时期， 河北省涞源县人．他从 小就阅读了许多天文、 数学方面的书籍，勤奋 好学，刻苦实践，终于 使他成为我国古代杰出 的数学家、天文学家．
• 祖冲之在数学上的杰出 成就，是关于圆周率的 计算．秦汉以前，人们 以"径一周三"做为圆周 率，这就是"古率"．后 来发现古率误差太大， 圆周率应是"圆径一而周 三有余"，不过究竟余多 少，意见不一．
承
转
接
起
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起
π 〔巴比伦〕= 25/8 = 3.125
【起】即为圆周率的起源，那究竟是谁先发现它？ 古巴比伦人从计算周界发现 ：一块出土于 1936 年的黏土块上记载，在古巴比伦时期 (约公元前 1900-1600 年) ，巴比伦人相信 六边形的周界为0;57,36 (以底数 60 计，亦即 = 96/100 = 24/25) 乘以它的外接圆的周界： 六边形周界 = 24/25 ′ 其外接圆周界 = 24/25 ′ π ′ 直径 由此，得出相信是最古老的圆周率的近似值： 2014 年5月17日 数学简史
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古希腊欧几里得的《几何原本》（约公 元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中 国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪） 中有「径一而周三」的记载，也认为圆 周率是常数。历史上曾采用过圆周率的 多种近似值 ，早期大都是通过实验而得 到的结果，如古埃及纸草书（约公元前 1700）中取π=（4/3）^4≒3.1604 。
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5、 Bailey-Borwein-Plouffe算法：
这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打 破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意 第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分 布式计算提供了可行性。1997年，Fabrice Bellard 找到了一个比BBP快40％的公式：
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刘徽是独立开创以多边形面 积迫近圆面积的穷举法－ 「割圆术」来找出圆周率的 值的。最后，刘徽更求得正 3072 边形的面积，从而得 出： π = 3927/1250 = 3.1416 即 π 的值准确至小数 后三个位，后人称为「徽 率」。
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祖冲之运用了刘徽的「割圆术」及他无 比的耐性与坚持（当时并没有算盘等计 算工具，只能靠小竹子帮助计算，但他 实质的计算方法则无从确定），算到: 3.1415926 < π < 3.1415927他还发现了 「约率」：祖冲之更取 π = 22/7（= 3.14...）作为「约率」 「密率」：π = 355/113（= 3.1415929） 作为「密率」，以表示圆周率的近似值。 「祖率」：是圆周率的值准确至小数后 7 个位，后称3.1415926 。
• 直到三国时期，刘徽提 出了计算圆周率的科学 方法--"割圆术"，用圆内 接正多边形的周长来逼 近圆周长．刘徽计算到 圆内接96边形， 求得 π=3.14，并指出，内接 正多边形的边数越多， 所求得的π值越精确．
• 祖冲之在前人成就的基 础上，经过刻苦钻研， 反复演算，求出π在 3.1415926与3.1415927之 间．并得出了π分数形式 的近似值，取为约率 ， 取为密率，其中取六位 小数是3.141929，它是分 子分母在1000以内最接 近π值的分数．
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1、 Machin公式：
这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。 他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式 每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计 算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以 很容易地在计算机上编程实现。
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承
【承】是承继安提丰和布赖森的「穷 举法」而发展的一个时期：以「多边 形」找寻圆周率的值
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古希腊西那库斯的阿基米德 （Archimedes of Syracuse，公 元前 287 - 212 年），是第一 个有系统地找出圆周率的近似值 和圆周率的上下限的数学家。他 采用了安提丰和布赖森的「穷举 法」，但他的研究重点则在多边 形的周界。阿基米德在《圆的度 量》（The Measurement of the Circle）中，提出三个有关圆的 定理。即：3.14084... < π < 3.14285...
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圆周率的新纪录
圆周率的最新计算纪录由两位日本人Daisuke Takahashi和Yasumasa Kanada所创造。他们在日本 东京大学的IT中心，以Gauss-Legendre算法编写程 序，利用一台每秒可执行一万亿次浮点运算的超级 计算机，从日本时间1999年9月18日19:00:52起，计 算了37小时21分04秒，得到了圆周率的 206,158,430,208(3*236)位十进制精度，之后和他 们于1999年6月27日以Borwein四次迭代式计算了46 小时得到的结果相比，发现最后45位小数有差异， 因此他们取小数点后206,158,430,000位的值为本次 计算结果。这一结果打破了他们于1999年4月创造的 68,719,470,000位的世界纪录。 2014年5月17日 数学简史 32
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圆周率的研究方法
古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的 内接或外切正多边形来逼近圆的周长。 Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位 的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度； Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精 度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢， 吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进 行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周 率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以 介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公 式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一 一列举了。
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在历史上,有不少数学家都对 圆周率作出过研究,当中著名 的有阿基米德、托勒密、张衡、 祖冲之等。他们在自己的国家 用各自的方法,辛辛苦苦地去 计算圆周率的值。下面,就是 世上各个地方对圆周率的研究 成果。
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研究圆周率历史的几个阶段
人们追寻圆周率 π 的历史至今已有四千 年，由发现圆周和直径的比为一常数，进 而以多边形迫近圆的方法求 π 值，转成 发现更多计算及表示 π 的公式、级数再 随着电脑的发明与科技的发展，圆周率值 的位数得以突飞猛进
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The end
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除π的数值计算外，它的性质探讨也吸 引了众多数学家。1761年瑞士数学家兰 伯特第一个证明π是无理数。1794年法 国数学家勒让德又证明了π2也是无理 数。到1882年德国数学家林德曼首次证 明了π是超越数，由此否定了困惑人们 两千多年的「化圆为方」尺规作图问题。 还有人对π的特征及与其它数字的联系 进行研究。如1929年苏联数学家格尔丰 德证明了eπ 是超越数等等。
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2、 Ramanujan公式：
1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共 14条圆周率的计算公式，这是其中之一。 这个公式每计算一项可以得到8位的十进 制精度。1985年Gosper用这个公式计算 到了圆周率的17,500,000位。
• 祖冲之究竟用什么方法 得出这一结果，现在无 从考查．若设想他按刘 徽的"割圆术"方法去求 的话，就要计算到圆内 接16，384边形，这需要 化费多少时间和付出多 么巨大的劳动啊！由此 可见他在治学上的顽强 毅力和聪敏才智是令人 钦佩的．
祖冲之的对圆周率的巨大贡献
那圆周率又是怎样的呢？
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其中的密率在西方直到1573才由德国人 奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安 托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯 率。 阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周 率17位精确小数值，打破祖冲之保持近 千年的纪录。德国数学家柯伦于1596年 将π值算到20位小数值，后投入毕生精 力，于1610年算到小数后35位数，该数 值被用他的名字称为鲁道夫数。