2020-2021学年江西省吉安一中高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年江西省吉安一中高三（上）期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}2．（5分）复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在B．对任意的C．对任意的D．存在4．（5分）“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466﹣485年间．其中记载着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（）A．B．C．D．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}前5项的和B．计算数列{2n﹣1}前5项的和C．计算数列{2n﹣1}前6项的和D．计算数列{2n﹣1}前6项的和7．（5分）已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5] B．[0，5] C．[0，5）D．[，5）8．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=+且||=||，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2 C．D．210．（5分）已知点P是双曲线﹣=1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为∠PF1F2的内心，若S=S+λS成立，则λ的值为（）A．B．C．D．11．（5分）三棱锥A﹣BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A﹣BCD的体积是（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2015）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2016，﹣2015）D．（﹣∞，﹣2012）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a=dx，则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为．14．（5分）直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为（3，2），则抛物线C的方程为．15．（5分）已知函数f（x）=cos x，a等于抛掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则y=f（x）在[0，4]上有偶数个零点的概率是．16．（5分）在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n}、{B n}、{C n}，其中A n（n，a n）、B n（n，b n）、C n（n﹣1，0），满足向量与向量共线，且b n+1﹣b n=6，a1=b1=0，则a n= ．（用n表示）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cosx+2cos2x﹣（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足f（﹣）=，且sinB+sinC=，求bc的值．18．（12分）为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产的甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）规定：当食品中的有害微量元素含量在[0，10]时为一等品，在（10，20]为二等品，20以上为劣质品．（1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个．求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元．根据上表统计得到的甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品，的频率分别估计这两种食品为，一等品、二等品、劣质品的概率．若分别从甲、乙食品中各抽取l件，设这两件食品给该厂带来的盈利为X，求随机变量X的概率分布和数学期望．19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A 1BD与平面B1BD所成角的大小．20．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．2020-2021学年江西省吉安一中高三（上）期中考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【分析】分别解不等式，再求它们的交集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}=[﹣1，2]，∵lg（x+1）＜1=lg10，∴﹣1＜x＜9，∴B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D【点评】本题考查了集合的交集的运算，关键是解不等式，也属于基础题．2．（5分）复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：z（1﹣i）=|1+i|，∴z（1﹣i）（1+i）=（1+i），∴z=+i，则复数z的共轭复数+i在复平面内的对应点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在B．对任意的C．对任意的D．存在【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是：对任意的．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4．（5分）“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．【解答】解：当a=﹣2时，l1：2x+y﹣3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=﹣2，或a=1，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题．5．（5分）《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466﹣485年间．其中记载着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（）A．B．C．D．【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式能求出结果【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知S30=30×5+d=390，解得d=．故该女子织布每天增加尺．故选：A．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的前n项和公式的合理运用．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}前5项的和B．计算数列{2n﹣1}前5项的和C．计算数列{2n﹣1}前6项的和D．计算数列{2n﹣1}前6项的和【分析】根据算法流程，依次计算运行结果，由等比数列的前n项和公式，判断程序的功能．【解答】解：由算法的流程知，第一次运行，A=2×0+1=1，i=1+1=2；第二次运行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；第三次运行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；第四次运行，A=2×7+1=15，i=5；第五次运行，A=2×15+1=31，i=6；第六次运行，A=2×31+1=63，i=7；满足条件i＞6，终止运行，输出A=63，∴A=1+2+22+…+25==26﹣1=64﹣1=63．故选：C．【点评】本题考查循环结构的程序框图，等比数列的前n项和公式，根据算法流程判断程序的功能是关键，属于基础题．7．（5分）已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5] B．[0，5] C．[0，5）D．[，5）【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得，∴A（2，﹣1），联立，解得，∴．令u=2x﹣2y﹣1，则，由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=．∴，∴z=|u|∈[0，5）．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数学转化思想方法，求z得取值范围，转化为求目标函数u=2x ﹣2y﹣1的取值范围，是中档题．8．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=+且||=||，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．【分析】投影为，利用已知条件求出夹角即可．【解答】解：∵∴O为BC的中点又∵O为外接圆的圆心，半径为1，∴BC为直径，且BC=2，OA=AB=1，∴在方向上的投影为||cos（）=故选：C【点评】本题主要考察了向量投影的概念以及三角形外接圆的一些性质，属于中档题．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2 C．D．2【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一三棱柱与一三棱锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得：该几何体是一三棱柱与一三棱锥的组合体，且底面三角形是边长为2的正三角形，如图所示；所以，该几何体的体积为V三棱柱+V三棱锥=×2××1+××2××1=．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．10．（5分）已知点P是双曲线﹣=1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为∠PF1F2的内心，若S=S+λS成立，则λ的值为（）A．B．C．D．【分析】设△PF1F2的内切圆半径为r，由|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，用△PF1F2的边长和r表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出λ．【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，S△IPF1 =|PF1|•r，S△IPF2=|PF2|•r，S△I F1F2=•2c•r=cr，由题意得|PF1|•r=|PF2|•r+λcr，故λ===，∵双曲线的a=4，b=3，代入上式得：λ=故选B．【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值是关键，属于基础题．11．（5分）三棱锥A﹣BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A﹣BCD的体积是（）A．B．C．D．【分析】利用等边、等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，连接OB，OC．∵△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，∴OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC===．∴OB2+OC2=BC2，∴∠BOC=90°．∴三棱锥A﹣BCD的体积V===．故选D．【点评】熟练掌握等边、等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．12．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2015）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2016，﹣2015）D．（﹣∞，﹣2012）【分析】根据条件，构造函数g（x）=x3f（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在（﹣∞，0）上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．【解答】解：构造函数g（x）=x3f（x），g′（x）=x2（3f（x）+xf′（x））；∵3f（x）+xf′（x）＞0，x2＞0；∴g′（x）＞0；∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；g（x+2015）=（x+2015）3f（x+2015），g（﹣3）=﹣27f（﹣3）；∴由不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0得：（x+2015）3f（x+2015）＞﹣27f（﹣3）；∴g（x+2015）＞g（﹣3）；∴x+2015＞﹣3，且x+2015＜0；∴﹣2018＜x＜﹣2015；∴原不等式的解集为（﹣2018，﹣2015）．故选A．【点评】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，然后根据单调性定义将原不等式转化为一次不等式即可．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a=dx，则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为﹣80 ．【分析】a=dx==2，再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：a=dx==2，则二项式（1﹣）5=的展开式的通项：T r+1==（﹣2）5﹣r x r﹣5．令r﹣5=﹣3，解得r=2．∴展开式中x﹣3的系数==﹣80．故答案为：﹣80．【点评】本题考查了微积分基本定理、二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为（3，2），则抛物线C的方程为y2=4x或y2=8x ．【分析】先利用点差法，求出AB的斜率，可得直线AB的方程为y=（x﹣），代入y2=2px，利用中点坐标公式，即可得出抛物线C的方程．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点为F（，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2，两式相减可得：y12﹣y22=2p（x1﹣x2），∴k AB==，直线AB的方程为y=（x﹣），代入y2=2px，可得4px2﹣（4p2+32）x+p3=0可得x1+x2==6，解之得p=2或4，∴物线C的方程为y2=4x或y2=8x．故答案为：y2=4x或y2=8x．【点评】本题考查抛物线C的方程，考查点差法，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）已知函数f（x）=cos x，a等于抛掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则y=f（x）在[0，4]上有偶数个零点的概率是．【分析】列举a不同取值时函数y=f（x）的零点情况，利用古典概型计算即可．【解答】解：由题意知，a=1时，f（x）=cos x，在[0，4]上的零点为共1个；a=2时，f（x）=cos x，在[0，4]上的零点为，，共3个；a=3时，f（x）=cosπx，在[0，4]上的零点为，，，共4个；a=4时，f（x）=cos x，在[0，4]上的零点为共5个；a=5时，f（x）=cos x，在[0，4]上的零点为共7个；a=6时，f（x）=cos2πx，在[0，4]上的零点为共8个；∴y=f（x）在[0，4]上有偶数个零点的概率是．【点评】本题考查三角函数的性质，古典概型概率计算等知识，属于中档题．16．（5分）在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n}、{B n}、{C n}，其中A n（n，a n）、B n（n，b n）、C n（n﹣1，0），满足向量与向量共线，且b n+1﹣b n=6，a1=b1=0，则a n= 3n2﹣9n+6（n∈N*）．（用n表示）【分析】b n+1﹣b n=6，a1=b1=0，利用等差数列的通项公式可得：b n=6n﹣6．向量=（1，a n+1﹣a n），向量=（﹣1，﹣b n），利用向量共线定理可得：a n+1﹣a n=b n=6n﹣6，再利用“累加求和”与等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵b n+1﹣b n=6，a1=b1=0，∴b n=0+6（n﹣1）=6n﹣6．向量=（1，a n+1﹣a n），向量=（﹣1，﹣b n），∵向量与向量共线，∴﹣b n+a n+1﹣a n=0，∴a n+1﹣a n=b n=6n﹣6，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=[6（n﹣1）﹣6]+[6（n﹣2）﹣6]+…+[6×1﹣6]+0=﹣6（n﹣1）=3n2﹣9n+6.3n2﹣9n+6（n∈N*）【点评】本题考查了“累加求和”、等差数列的通项公式及其前n项和公式、向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cosx+2cos2x﹣（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足f（﹣）=，且sinB+sinC=，求bc的值．【分析】（1）f（x）解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函数的单调性确定出f（x）的单调递减区间即可；（2）由f（x）解析式，以及f（﹣）=，求出A的度数，将sinB+sinC=，利用正弦定理化简，求出bc的值即可．【解答】解：（1）f（x）=2sinx•cosx+2cos2x﹣=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴f（x）的最小正周期T=π，∵2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；（2）由f（﹣）=2sin[2（﹣）+]=2sinA=，即sinA=，∵A为锐角，∴A=，由正弦定理可得2R===，sinB+sinC==，∴b+c=×=13，由余弦定理可知：cosA===，整理得：bc=40．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（12分）为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产的甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）规定：当食品中的有害微量元素含量在[0，10]时为一等品，在（10，20]为二等品，20以上为劣质品．（1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个．求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元．根据上表统计得到的甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品，的频率分别估计这两种食品为，一等品、二等品、劣质品的概率．若分别从甲、乙食品中各抽取l件，设这两件食品给该厂带来的盈利为X，求随机变量X的概率分布和数学期望．【分析】（1）由已知条件，利用互斥事件的概率加法公式能甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率概率．（2））随机变量X的所有可能取值为X可取﹣40，0，30，40，70，100，分别求出相对应的概率，由此能求出随机变量X的概率分布和数学期望【解答】解：（1）从甲抽取的5个数据中，一等品有4×=2个，非一等品有3个，从乙抽取的5个数据中，一等品有6×=3个，非一等品有2个，设”从甲中抽取的5个数据中任取2个，一等品个数为i”为事件A i，（i=0，1，2）则P（A0）==，P （A1）==，P（A2）==，设”从乙中抽取的5个数据中任取2个，一等品个数为i”为事件A i，（i=0，1，2）则P（B0）==，P （B1）==，P（B0）==，∴甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率为：P=P（A2B2）+P（A1B1）+P（A0B0）=++=，（2）由题意，设“从甲中任取一件为一等品”为事件C1，则P（C1）==，设“从甲中任取一件为二等品”为事件C2，则P（C2）==，设“从甲中任取一件劣质品”为事件C3，则P（C3）==，设“从乙中任取一件为一等品”为事件D1，则P（D1）==，设“从乙中任取一件为二等品”为事件D2，则P（D2）==，设“从乙中任取一件劣质品”为事件D3，则P（D3）==，X可取﹣40，0，30，40，70，100，P（X=﹣40）=P（C3D3）=×=，P（X=30）=P（C1D3+C3D1）=+==，P（X=0）=P（C3D2+C2D3）=×+=，P（X=40）=P（C2D2）==，P（X=70）=P（C1D2+C2D1）=+=，P（X=100）=P（C1D1）==，∴X的分布列为：X ﹣40 0 30 40 70 100P∴E（X）=﹣40×+0×+30×+40×+70×+100×=49.2．【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A 1BD与平面B1BD所成角的大小．【分析】（Ⅰ）推导出△A1AB和△A1AD均为正三角形，A1O⊥BD，AC⊥BD，由此能证明平面A1BD⊥平面A1AC．（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）因为AA1=AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D…（1分）设AC与BD的交点为O，则A1O⊥BD…（2分）又ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（3分）而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC…（4分）而BD⊂平面A1BD，故平面A1BD⊥平面A1AC…（5分）解：（Ⅱ）由A 1B=A1D及，知A1B⊥A1D…（6分）又由A1D=AD，A1B=AB，BD=BD，得△A1BD≌△ABD，故∠BAD=90°…（7分）于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD得A1O⊥底面ABCD…（8分）如图，以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），，…（9分）设平面B1BD的一个法向量为，由得，令x=1，得…（10分）平面A1BD的一个法向量为，设平面A1BD与平面B1BD所成角为θ，则…（11分）解得θ=45°，故平面A1BD与平面B1BD所成角的大小为45°．…（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，得到，由此能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得，由此利用韦达定理、椭圆性质、向量知识，结合已知条件能求出不存在点M，使成立．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…（2分）∴依题意知，即…（3分）∴C的离心率…（4分）（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得…（5分）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…（6分）设M（x0，y0），则①…（7分）由得…（8分）代入①得…（9分）因为，，所以②…（10分）而…（11分）从而②式不成立．故不存在点M，使成立…（12分）【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、向量知识的合理运用．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．【分析】（I）求出函数f（x）的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数f（x）的单调性与单调区间；（II）对函数g（x）求导数，利用极值的定义得出g'（x）=0时存在两正根x1，x2；再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数y的最小值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=lnx﹣mx，∴，x＞0；当m＞0时，由1﹣mx＞0解得x＜，即当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；由1﹣mx＜0解得x＞，即当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当m=0时，f'（x）=＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＜0时，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；∴当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（5分）（II）g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，∴g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根；又∵m≥，∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1；…（7分）又∵x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0，lnx2﹣cx22﹣bx2=0，两式相减得﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，得b=，而，∴y==]==，…（10分）令（0＜t＜1），由（x1+x2）2=m2得x12+x22+2x1x2=m2，因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得t++2=m2，∵m≥，故t+≥，解得t≤或t≥2，∴0＜t≤；…（12分）设G（t）=，∴G'（t）=，则y=G（t）在（0，]上是减函数，∴G（t）min=G（）=﹣+ln2，即的最小值为﹣+ln2．…（14分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数单调区间的问题，也考查了构造函数法和分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．【分析】（1）求得不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集，再结合不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求得m的值．（2）由题意可得g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+，再利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为4，可得4≤2y+恒成立，再利用基本不等式求得2y+的最小值为2，可得2≥4，从而求得a的范围．【解答】解：（1）∵不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），即|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．由|2x|≥2m+1，可得2x≥2m+1，或2x≤﹣2m﹣1，求得 x≥m+，或x≤﹣m ﹣，故|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣m﹣]∪[m+，+∞），故有m+=2，且﹣m﹣=﹣2，∴m=．（2）∵不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，∴|2x﹣1|≤2y++|2x+3|恒成立，即|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2y +恒成立，故g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+．∵|2x ﹣1|﹣|2x+3|≤|2x﹣1﹣（2x+3）|=4，∴4≤2y+恒成立，∵2y+≥2，∴2≥4，∴a≥4，故实数a的最小值为4．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。