2_5_谓词演算的推理理论[19页]
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谓词演算推证
2.5 谓词逻辑推理理论谓词演算推证的基本思路是将量词消去，然后用类似命题演算推证法证明。
2.5.1 谓词演算推证谓词演算推证也是由三个要素组成：推理根据、推理规则和证明方法。
推理根据：一方面命题演算推证中命题定律和推理定律的代换实例可以作为谓词演算推证的推理依据；一方面谓词演算的基本逻辑等价式和逻辑蕴涵式：量词否定逻辑等价式量词辖域的收缩与扩张逻辑等价式量词分配逻辑等价式具有两个量词的逻辑等价式量词与联结词的逻辑蕴涵式具有两个量词的逻辑蕴涵式2.5.1 谓词演算推证证明方法：直接证法间接证明方法反证法附加前提证法2.5.1 谓词演算推证推理规则：P规则T规则CP规则消去和添加量词的规则2.5.1 谓词演算推证1）US 规则（全称指定规则）这里P 是谓词，而c 是个体域中某个任意的个体。
例如，设个体域为全体偶数的集合，P(x)表示“x 是整数”，则∀xP(x)表示“所有的偶数都是整数”，那么根据全称指定规则有P(6)，即“6是整数”。
全称指定规则在使用时要求x 是P(x)中自由出现的个体变元。
该规则使用时还可以有以下形式：()()c Ρx x Ρ∴∀()()y Ρx Ρ∴∀x 这里y 是任意的不在P(x)中约束出现的个体变元。
注意：2.5.1 谓词演算推证2）UG 规则（全称推广规则）设E 是指定的个体域，若对于E 中的任意个体a ，都有P(a)成立，才能应用该全称推广规则。
例如，设个体域是全体人类，P(x)表示“x 是要死的”。
显然，对于任意一个人a ，P(a)都成立，即任何人都是要死的。
则应用全称推广规则有∀xP(x)成立。
全称推广规则在使用时要求y 不在P(x)中约束出现。
注意：)()(y yP x P ∀∴2.5.1 谓词演算推证3）ES 规则（存在指定规则）这里c 是指定个体域中的某一个个体。
但需注意的是，应用存在指定规则时，指定的个体c 不是任意的。
注意：存在指定规则在使用时要求：（1）c 是使P(c)为真的指定个体域中的某一个个体。
第5章谓词逻辑的等值和推理演算
5.3.2 Skolem标准形
前束范式对前束量词没有次序要求，也没有 其他要求 如果我们要求: (1) 只保留全称量词而消去存在量词-Skolem标准形 (2) 所有存在量词都在全称量词之左 (3) 所有全称量词都在存在量词之左 不难想像，仍保持与原公式的等值性就不可 能了，只能保持在某种意义下的等值关系
(2)在{1，2}域上分析
﹁(x)P(x) =﹁(P(1)P(2)) =﹁P(1)﹁P(2) =(x)﹁P(x) ﹁(x)P(x) =﹁(P(1)P(2)) =﹁P(1)﹁P(2) =(x)﹁P(x)
(3)语义上的证明
依等值式定义，A=B如果在任一解释I下A真B就真，而且 B真A就真． 若证明﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) 1. 设任一解释I下有﹁(x)P(x)=T 从而(x)P(x)=F，即有一个xoD,使P(Xo)=F 于是﹁P(xo)=T 故在I下(x)﹁P(x)=T 2. 反过来，设任一解释I下有 (x)﹁P(x)=T 即有一个xoD,使﹁P(Xo)=T 从而P(Xo)=F 于是(x)P(x)=F 即﹁(x)P(x)=T
对x而言(y)Q(y)相当于命题变项，与x无关，可推得 (x)P(x)(y)Q(y)=(x)(P(x)(y)Q(y)) 对y而言，P(x)相当于命题变项与y无关，又可推得 (x)(P(x)(y)Q(y))=(x)(y)(P(x)Q(y)) 同理(x)(y)(P(x)Q(y))=(x)P(x)(x)Q(x) 然而 (x)(y)(P(x)Q(y))与(x)(P(x)Q(x))是不等值的 (x)(y)(P(x)Q(y))与(x)(P(x)Q(x))是不等值的
5.2.2 量词对→的分配律
这是一组量词对→的分配律，其中p，q是命题变 项，与个体变元x无关，这是很重要的条件
离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统
证明：令 P(e)表示“e为人”； W(e)表示“e喜欢步行”； D(e)表示“e喜欢乘汽车”； R(e)表示“e喜欢骑自行车”
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
离散数学24谓词演算的推理理论
谓词演算的推理理论在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。
设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }.1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ：例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(∃y) F(x,y), 则(∀x)P(x) ⇒P(z)=(∃y) F(z,y).而不能(∀x) P(x) ⇒P(y)=(∃y) F(y,y).其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量.或 (∀x ) P (x ) ∴ P (y ) (∀x) P (x )∴ P (c )2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG：P(x)∴ (∀x)P(x)其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中自由出现.3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES：(∃x)P(x)∴ P(c)1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的.2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现，换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG：P(c)∴ ( x)P(x)其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.谓词逻辑的推理理论由下列要素构成.1. 等价公式2. 蕴含式3. 推理规则：(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则(3) CP推理规则 (4)归谬论(5) US规则 (6) UG规则(7) ES规则 (8) EG规则1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、规则CP .2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来消去量词.3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则EG将其量词加入.4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法.5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式.6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等价公式和基本蕴涵公式.7)在推导过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词(只要有可能，我们总是先使用规则ES，再使用规则US)。
2-5 谓词演算的四个推理规则
§2.5.1 存在指定规则
例如：
西安电子科技大学 软件学院
如果“盒子里面全是黑球”这个命题成 立，那么在盒子里面任找一个球，它 的肯定是黑色的。
§2.5.2
×
√
» 指定规则的使用
存在指定规则ES
如果(∃x)A(x)的为真，且x的个 体域中的个体c满足A(c)为真， 应用ES规则可得： (∃x)A(x)
西安电子科技大学 软件学院
命题演算中的推理规则和证明方法在谓词 演算中依然适用。但在谓词演算中的某些前 提和结论可能是带量词约束的。为了使用命 题逻辑中的一些推理规则，并最后还原带量 词的结论形式，在推理过程中经常要消去和 添加量词，以下四个规则就是用于消去和添 加量词的规则。
§2.5.1 存在指定规则
西安电子科技大学 软件学院
全称指定规则US
如果(∀x)A(x)的为真，那么x 的个体域中的任意确定个体c 也必然使得A(c)为真，因此 US规则通常也可以这样用：
(∀x)A(x) ∴ A(c)
∴ A(c)
对变元指定同一个个体时，应先作存 在指定，再作全称指定。
» 指定规则的使用
西安电子科技大学 软件学院
§2.5.1 存在指定规则
例如：
西安电子科技大学 软件学院
如果“盒子里面存在黑球”这个命题成 立，那么在盒子里面至少可以找到一 个黑色的球。
§2.5.1 存在指定规则
西安电子科技大学 软件学院
【例题】设谓词P(x): x是草食动物，x的个体域为全体动物的 集合。应用存在指定规则消去公式(∃x)P(x)中的存在量词。
§2.5.4 全称推广规则
例如：
西安电子科技大学 软件学院
如果从盒子中任取一个球，能证明它是 黑球，那么“盒子里面全是黑球”成立。
第二章谓词逻辑
主语一般是客体，可以独立存在，可以是具体的
事物也可以是抽象的概念 用以刻划客体性质或关系的是谓词。 原子命题组成：客体、谓词。
第二章
谓词逻辑
谓词：用来刻划个体词的性质或个体词之间相互关系的词。 例如: ① 在命题“ 2 是无理数”中，“…是无理数”是 谓词。 ② 在命题“x 是有理数”中，“…是有理数”是谓词。 ③ 在命题“小王与小李同岁”中，“…与…同岁”是 谓词。 ④ 在命题“x与y具有关系L”中，“…与…具有关系L” 是谓词。
第二章 2.2
谓词逻辑
命题函数与量词
使用量词时应注意以下几点： 1、不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样； 2、若事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体域； 3、引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词形式不同； 4、个体域为有限集时如D={a1、…、an}，对任意谓词 A(x)有： A(a1)、A(a2)、…、A(an) 5、多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序。
第二章
谓词逻辑
苏格拉底三段论：
2.1 谓词的概念与表示
所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底 是要死的。 用P,Q,R分别表示以上三个命题。 则得到推理的形式结构为： (P∧Q)→R
第二章
谓词逻辑
2.1 谓词的概念与表示
谓词逻辑命题符号化的三个基本要素：客体词、 谓词、量词。 反映判断的句子由主语和谓语组成。
第二章 2.2
谓词逻辑
命题函数与量词
量词: 表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词只有两个：全称量词、存在量词。
(1) 全称量词：表示“全部”含义的词。全称量词统 一符号化为“”。
注：a. 常用语中“全部”、“所有的”、“一 切”、“每一个”、“任何”、“任意的”、“凡”、 “都”等词都是全称量词。
离散数学第2章 谓词逻辑
命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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《谓词演算推理理论》课件
3
前向链归结和向前式归结
研究前向链归结和向前式归结的思想和实践。
归结推理的优化策略
1 归结定理和完备性定理
深入了解归结定理和完备性定理，以及其在 优化策略中的应用。
Hale Waihona Puke 2 应用领域探索归结推理在人工智能等领域中的实际应 用，如自动定理证明。
谓词演算推理的拓展研究
谓词演算与基因组学的应用
探索谓词演算在基因组学研究中的应用，如基因表达分析。
谓词演算与知识表示的联系
研究谓词演算与知识表示技术的联系和互动。
谓词演算在数据分析和挖掘中的应用
了解谓词演算在数据分析和挖掘领域中的实际应用。
1
一阶谓词演算的语法和语义
学习一阶谓词演算的基本语法和语义，掌握谓词符号和项的使用。
2
一阶谓词演算的规则
了解一阶谓词演算的推理规则，包括合一、替换和归结等。
归结推理的基本思想和步骤
1
特征集归结和集合论归结
探索特征集归结和集合论归结的基本思想和步骤。
2
树剖归结和深度优先归结
了解树剖归结和深度优先归结的原理和应用。
《谓词演算推理理论》 PPT课件
本PPT课件将介绍谓词演算推理理论的基本概念和方法，以及其在人工智能、 基因组学、计算机科学等领域中的重要性和应用。
什么是谓词演算推理理论
1 基本概念
了解谓词演算推理理论的起源、定义和基本 原理。
2 形式和语义
探讨谓词逻辑公式的形式和语义，以及其在 推理中的作用。
谓词演算推理的基本方法
谓词逻辑的等值和推理演算-PPT精选文档
Lu Chaojun, SJTU11Fra bibliotek何转化成PNF
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(如果必要的话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
12
例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
Lu Chaojun, SJTU
5
量词分配等值式
• 量词对及的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x ! – 这个条件很容易满足:对约束变元改名即可.
Lu Chaojun, SJTU
6
量词分配等值式(续)
• 量词对的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x !
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(如果必要的话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
12
例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
Lu Chaojun, SJTU
5
量词分配等值式
• 量词对及的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x ! – 这个条件很容易满足:对约束变元改名即可.
Lu Chaojun, SJTU
6
量词分配等值式(续)
• 量词对的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x !
2-5谓词演算的等价式
F(x)→G(y)⇔¬ ⇔¬F(x)∨G(y) ⇔¬ ∨
2-5.2 量词与联结词¬之间的关系 量词与联结词¬ (quantifier)
定理：量词否定等价式（ 定理：量词否定等价式（P67） ） (1)¬ (∀x)P(x) ⇔(∃x)¬P(x) ¬ ∀ ∃ ¬ (2) ¬ (∃x)P(x) ⇔(∀x)¬P(x) ∃ ∀ ¬ 可以在有限个体域中得到证明。 可以在有限个体域中得到证明。
2-5. 3 量词作用域扩张与收缩
定理：量词作用域扩张与收缩等价式 定理：量词作用域扩张与收缩等价式(P68) (1) (∀x)(A(x)∨B) ⇔ ((∀x)A(x)∨B) ∀ ∨ ∀ ∨ (∀x)(A(x)∧B) ⇔ ((∀x)A(x)∧B) ∀ ∧ ∀ ∧ (∃x)(A(x)∨B) ⇔ ((∃x)A(x)∨B) ∃ ∨ ∃ ∨ (∃x)(A(x)∧B) ⇔ ((∃x)A(x)∧B) ∃ ∧ ∃ ∧ 说明: 中不含x的出现 说明 B中不含 的出现 中不含
例1: (∀x)(F(x)∨G(y)) ⇔ (∀x)F(x)∨G(y) ∀ ∨ ∀ ∨ 例2: (∀x)(∀y)(F(x)∧G(y)) ∀ ∀ ∧ ⇔(∀x)(F(x)∧(∀y)G(y)) ∀ ∧∀ ⇔ (∀x)F(x)∧(∀y)G(y) ∀ ∧∀ 例3: (∃x)(F(x)∨G(y)) ⇔ (∃x)F(x)∨G(y) ∃ ∨ ∃ ∨ 例4: (∀x)(∃y)(F(x)∧G(y)) ∀ ∃ ∧ ⇔(∀x)(F(x)∧(∃y)G(y)) ∀ ∧∃ ⇔(∀x)F(x)∧(∃y)G(y) ∀ ∧∃
2-5谓词演算的等价式 谓词演算的等价式
定义2：谓词逻辑有效 永真 永真)式 定义 ：谓词逻辑有效(永真 式 (tautology)： ： 给定任意谓词公式wff A，其个体域为 ， 给定任意谓词公式 ，其个体域为E， 对于A的所有赋值 的所有赋值， 都为真， 对于 的所有赋值，wff A都为真，则称 都为真 则称wff A 上是有效 在E上是有效（永真）式。 上是有效（永真） 命题逻辑永真式（重言式）: 命题逻辑永真式（重言式） 给定一个命题公式， 给定一个命题公式，若无论对分量作怎样 的指派，其对应的真值永为T， 的指派，其对应的真值永为 ，则称命题公式 为重言式或永真公式。 为重言式或永真公式。
概率论-第七讲 谓词演算的推理规则
(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
11
二、谓词演算中的推理规则
例3：推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年 人，所以有的成员是青年专家。” 证： 设 F(x)：x是学术会成员； G(x)：x是专家； H(x)：x是青年。 前提：∀x(F( x ) → G ( x ))，∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论：∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。 记法中省略了 其它自由变元。
定义：如果公式 A ( x )中， x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内，则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
4
二、谓词演算中的推理规则
推理规则：E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永 真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则： US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件：A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义：全称量词可以删除。 例： ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y)：x<y ; x∈R; y∈R
(2) ∃x¬P( x )
T，), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P
离散数学(谓词逻辑)课后总结
第二章谓词逻辑2—1基本概念例题１. 所有的自然数都是整数。
设N(x)：x是自然数。
I(x)：x是整数。
此命题可以写成∀x(N(x)→I(x))例题２. 有些自然数是偶数。
设E(x)：x是偶数。
此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x))例题3. 每个人都有一个生母。
设P(x):x是个人。
M(x,y):y是x的生母。
此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。
其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x)))例题2 小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。
例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))命题的符号表达式与论域有关系两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有(1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)(2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1.每个自然数都是整数。
该命题的真值是真的。
表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an))式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体代入均为真。
例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。
而∀x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
∀x(N(x)∧I(x))⇔(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an))比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。
谓词演算的等价式和蕴含式
（9） x(H ( x ) S ( x )) （10）H (a ) S (a )
B xA( x ) x( B A( x ))
xP( x ) xQ( x ) x( P ( x ) Q( x ))
x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x )
xA( x ) xB( x ) x( A( x ) B( x ))
x( A( x ) B) xA( x ) B
x( A( x ) B) xA( x ) B
xA( x ) B x( A( x ) B)
xA( x ) B x( A( x ) B)
B xA( x ) x( B A( x ))
x (H ( x ) S ( x )) x ( H ( x ) C ( x )) x (C ( x ) E ( x )) xE ( x )
xS( x )
证明： （1）xE ( x ) （2） E (a ) （3）x(C ( x ) E ( x )) （4） C (a ) E (a ) （5） C (a ) （6）x( H ( x ) C ( x )) （7） H (a ) C (a )
I15
I16
例2-15用谓词演算的等价式和蕴含式证明 （1）x( P ( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) （2） xy( P( x ) Q( y )) xP( x ) yQ( y ) （3） x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) 证明(1)： x( P( x ) Q( x ))
如果论域D中的任意一个个体c，都能使A(c)成立， 则由该规则可得结论成立。注意，此时的个体c不是论域 中某一特定的个体，而是泛指论域中所有的个体。
B xA( x ) x( B A( x ))
xP( x ) xQ( x ) x( P ( x ) Q( x ))
x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x )
xA( x ) xB( x ) x( A( x ) B( x ))
x( A( x ) B) xA( x ) B
x( A( x ) B) xA( x ) B
xA( x ) B x( A( x ) B)
xA( x ) B x( A( x ) B)
B xA( x ) x( B A( x ))
x (H ( x ) S ( x )) x ( H ( x ) C ( x )) x (C ( x ) E ( x )) xE ( x )
xS( x )
证明： （1）xE ( x ) （2） E (a ) （3）x(C ( x ) E ( x )) （4） C (a ) E (a ) （5） C (a ) （6）x( H ( x ) C ( x )) （7） H (a ) C (a )
I15
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例2-15用谓词演算的等价式和蕴含式证明 （1）x( P ( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) （2） xy( P( x ) Q( y )) xP( x ) yQ( y ) （3） x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) 证明(1)： x( P( x ) Q( x ))
如果论域D中的任意一个个体c，都能使A(c)成立， 则由该规则可得结论成立。注意，此时的个体c不是论域 中某一特定的个体，而是泛指论域中所有的个体。
离散数学自考第二章
定义 1.辖域（作用域）：紧接在量词后面括号内的谓词公式。 辖域（ 辖域 作用域）
例： ∀xP(x) , ∃x(P(x) ∧Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
2.指导变元（作用变元）：紧接在量词后面括号内的X。 指导变元（作用变元） 指导变元 3.约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。 约束变元： 约束变元 4.自由变元：当且仅当不受量词的约束。 自由变元： 自由变元
例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”，则可用下 列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。
1. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 例：C—“总是要死的。” j：张三；t：老虎；e：桌子。 则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。 在上面的例子中，C：表示“总是要死的”；x：表示变元（客 体变元），则C(x)表示“x总是要死的”，则称C(x)为命题 函数。 定义》 《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组成 的表达式，称为命题函数。
2.区别是命题还是命题函数的方法 （a）若谓词公式中出现自由变元，则该公式为命题函数； （b）若谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为命题。
例： ∀xP(x,y,z)是二元谓词， ∃y∀xP(x,y,z)是一元谓词， 而谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一个命题。
3.代入规则：对公式中的自由变元的更改叫做代入。 代入规则： 代入规则 (a)对公式中出现该自由变元的每一处进行代入， (b)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不 能相同。
∃x (A(x) ∨B(x)) ⇔ ∃xA(x) ∨ ∃xB(x) ∀x(A(x)∧B(x)) ⇔ ∀xA(x)∧ ∀xB(x) (∃x (A(x) → B(x)) ⇔ ∀xA(x) → ∃xB(x) ∀xA(x) ∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) ∨ B(x)) x(A(x) ∧ B(x)) ⇒ ∃ x（A(x) ∧ B(x)） ∃xA(x) → ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) → B(x))
谓词逻辑的推理演算
谓词逻辑的推理演算
谓词逻辑是一门重要的数学学科，它是用来研究可以用谓词符号表示的各种数学语言中的定理，其中包括如何推理和证明其定理。
谓词逻辑最初是由古希腊哲学家克里特拉提出的，他提出了一组谓词符号，用来表示语句的真假性。
他也创造了一种推理机制，用来从已知事实推断出新的结论。
谓词逻辑的推理演算是由一系列规则构成的，这些规则用来说明在谓词逻辑中可以从已有的结论推出新的结论的过程。
该过程可以分成三个步骤：推断，证明和验证。
首先，我们需要从已知的事实和结论中推断出新的结论。
然后，我们需要用谓词逻辑规则来证明这个结论是正确的。
最后，我们需要验证这个结论是正确的，以确保我们的推理是正确的。
谓词逻辑的推理演算是一种非常强大的工具，可以用来推断出各种复杂的数学定理。
它可以让我们更加深入地理解一些概念，并证明它们的正确性。
它也可以帮助我们解决许多复杂的数学问题。
谓词逻辑的推理演算是用来研究可以用谓词符号表示的各种数学语言中的定理，它是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们更好地理解数学概念，从而推断出新的结论。
离散数学-谓词逻辑-3
2B是任意两个谓词公式，对 A、B的任何解释和赋值，若其真值相同，则称A与 B是等价的，记作A⇔B；若A→B是普遍有效的，则 称A蕴含B，记作A⇒B。 设A、B是任意两个谓词公式。当A⇔B时，则 A↔B是永真式（普遍有效的）。反之，当A↔B是 永真式时，有A⇔B。所以，也可以用A↔B是永真 式描述A⇔B。
2-7 谓词逻辑的推理理论
⑵ 全称推广规则(UG规则) A(y)⇒(∀x)A(x) 此式成立的条件是： ① y是个体域中任一个体且对y，A(y)为真。 ② x是不出现在A(y)中的个体变元。 例 个体域为实数集合R，G(x,y)表示x>y，设A(y)⇔(∃x)G(x,y)，显然 A(y)满足条件①，一定能推出: (∀z)A(z)⇔(∀z)(∃x)G(x,z)⇔(∀z)(∃x)(x>z)， 这是一个真命题。若推成 (∀x)A(x)⇔(∀x)(∃x)G(x,x)⇔(∀x)(∃x)(x>x)， 就产生了错误，因为这是一个假命题。错误的原因是违背了条件②。
2-5 谓词演算的等价式与蕴含式
7 多个量词的使用 ⑴ 约定：(∀x)(∀y)A(x,y)表示(∀x)((∀y)A(x,y)) ⑵ 一般地说，多个量词相连时，同名量词是无序的，即改变它们 的次序，命题真值不变。异名量词是有序的，即改变它们的次序，命 题真值发生变化。对后者作如下的说明： 令 A(x,y)表示x+y=10，个体域为整数集合I。 (∀x)(∃y)A(x,y)表示对任一整数x，存在整数y，使x+y=10。 这是一个真命题。 (∃y)(∀x)A(x,y)表示存在整数y，对任一整数x，有x+y=10。 这是一个假命题。
2-6 前束范式
定义2-6.1一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到 整个公式的末尾，则称为前束范式。 根据这个定义前束范式可表示成如下形式： (□v1)(□v2) …(□vn)A 其中:□是∃或∀,vi是个体变元,i=1,…,n,A是不含量词的谓词公式。 例 (∀x)(∀y)(F(x)∨G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(∃z)(¬H(x,y)∧F(x)→L(x,z)) (∀x)F(x)∨(∀y)(G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(¬H(x,y)∧F(x))→(∃z)L(x,z) 都不是前束范式。
2-7 谓词逻辑的推理理论
⑵ 全称推广规则(UG规则) A(y)⇒(∀x)A(x) 此式成立的条件是： ① y是个体域中任一个体且对y，A(y)为真。 ② x是不出现在A(y)中的个体变元。 例 个体域为实数集合R，G(x,y)表示x>y，设A(y)⇔(∃x)G(x,y)，显然 A(y)满足条件①，一定能推出: (∀z)A(z)⇔(∀z)(∃x)G(x,z)⇔(∀z)(∃x)(x>z)， 这是一个真命题。若推成 (∀x)A(x)⇔(∀x)(∃x)G(x,x)⇔(∀x)(∃x)(x>x)， 就产生了错误，因为这是一个假命题。错误的原因是违背了条件②。
2-5 谓词演算的等价式与蕴含式
7 多个量词的使用 ⑴ 约定：(∀x)(∀y)A(x,y)表示(∀x)((∀y)A(x,y)) ⑵ 一般地说，多个量词相连时，同名量词是无序的，即改变它们 的次序，命题真值不变。异名量词是有序的，即改变它们的次序，命 题真值发生变化。对后者作如下的说明： 令 A(x,y)表示x+y=10，个体域为整数集合I。 (∀x)(∃y)A(x,y)表示对任一整数x，存在整数y，使x+y=10。 这是一个真命题。 (∃y)(∀x)A(x,y)表示存在整数y，对任一整数x，有x+y=10。 这是一个假命题。
2-6 前束范式
定义2-6.1一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到 整个公式的末尾，则称为前束范式。 根据这个定义前束范式可表示成如下形式： (□v1)(□v2) …(□vn)A 其中:□是∃或∀,vi是个体变元,i=1,…,n,A是不含量词的谓词公式。 例 (∀x)(∀y)(F(x)∨G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(∃z)(¬H(x,y)∧F(x)→L(x,z)) (∀x)F(x)∨(∀y)(G(y)→L(x,y)) (∀y)(∀x)(¬H(x,y)∧F(x))→(∃z)L(x,z) 都不是前束范式。
2_5_谓词演算的推理理论[19页]
![2_5_谓词演算的推理理论[19页]](https://img.taocdn.com/s3/m/09c09a1d336c1eb91b375d17.png)
P US(2)
注：转换为谓词填式
(4) D(s)
T(1), (3) I
做全称指定时，必须指定到s，才能建立与命题M(s)的联系。因证明结论就是谓词填 式，不用再推广到量化形式。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
(b)亚里士多德三段论：所有人都是必死的，希腊人都是人，所以希腊人都是 必死的。
，可符号化为：
∀x(Q(x)→R(x))，∀x(N(x)→R(x))，∀x(I(x)→┐R(x))⇒∀x(I(x)→(┐Q(x)∧┐N(x)))。
(1) ∀x(I(x)→┐R(x)) P
(7) ∀x(N(x)→R(x))
P
(2) I(a)→┐R(a)
US(1)
(8) N(a)→R(a)
US(7)
(3) ∀x(Q(x)→R(x)) P
(1) 全称指定（消去）规则US（Ubiquity Specification，或记为-） 此规则也可记作UI（Universal Instantiation），即全称（量词）实例化。 若∀xA(x)为1，则A(a)为1，即
∵ ∀xA(x) ∴ A(a) 其中的a为论域中的任意一个个体（arbitrary individual），但不能与A中的其 他个体名重复。 [例]由前提∀x(P(x)→Q(y))可实例化为P(t)→Q(y)，而不能是P(y)→Q(y)。
配律）
量词作用域的扩张与收缩
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
E37 x(B∨A(x)) B∨xA(x) E38 x(B∧A(x)) B∧xA(x) E39 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) E40 x(A(x)B)xA(x)B E41 xA(x)Bx(A(x)B) E42 AxB(x)x(AB(x)) E43 AxB(x)x(AB(x))
离散数学-2-5谓词演算的等价式与蕴含式-PPT课件
姓。
(y)(x)A(x,y) 表示对于乙村所有的人，甲村都有人和他同姓。 (x)(y)A(x,y) 表示存在一个甲村的人，乙村所有人和他同姓。
上述四种语句，表达的情况各不相同，故全称量 词与存在量词的次序，不能随意更换。
17
七、多个量词的使用
如下一蕴含式中不同量词间的次序是不可随意交换的。
15
七、多个量词的使用
例 设 A(x,y)表示x和y同姓,论域x是甲村的人,y是
乙村的人 (x)(y)A(x,y): 甲村和乙村所有的人都同姓 ( y)(x)A(x,y)： 乙村和甲村所有的人都同姓。 显然上述俩语句的含义相同。故 (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y）
同理有：
(x)(y)A(x,y)： 甲村与乙村有人同姓。 (y)(x)A(x,y)： 乙村与甲村有人都同姓。 故 (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y)
16
七、多个量词的使用
但是
(x)(y)A(x,y) 表示对于甲村所有的人，乙村都有人和他同姓。 (y)(x)A(x,y) 表示存在一个乙村的人，甲村所有的人和他同
1. 2. 3. 4.
(x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B
因为B中不出现约束变元 x,所以它属于或不 属于量词作用域均有相同意义。
9
四．量词作用域的扩张与收缩
从1-4式还可推得如下几个式子：
5. 6. 7. 8.
((x)A(x)B)) (x)(A(x)B) ((x)A(x)B)) (x)(A(x)B) (B(x)A(x)) (x)(BA(x)) (B(x)A(x)) (x)(BA(x))
(y)(x)A(x,y) 表示对于乙村所有的人，甲村都有人和他同姓。 (x)(y)A(x,y) 表示存在一个甲村的人，乙村所有人和他同姓。
上述四种语句，表达的情况各不相同，故全称量 词与存在量词的次序，不能随意更换。
17
七、多个量词的使用
如下一蕴含式中不同量词间的次序是不可随意交换的。
15
七、多个量词的使用
例 设 A(x,y)表示x和y同姓,论域x是甲村的人,y是
乙村的人 (x)(y)A(x,y): 甲村和乙村所有的人都同姓 ( y)(x)A(x,y)： 乙村和甲村所有的人都同姓。 显然上述俩语句的含义相同。故 (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y）
同理有：
(x)(y)A(x,y)： 甲村与乙村有人同姓。 (y)(x)A(x,y)： 乙村与甲村有人都同姓。 故 (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y)
16
七、多个量词的使用
但是
(x)(y)A(x,y) 表示对于甲村所有的人，乙村都有人和他同姓。 (y)(x)A(x,y) 表示存在一个乙村的人，甲村所有的人和他同
1. 2. 3. 4.
(x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B
因为B中不出现约束变元 x,所以它属于或不 属于量词作用域均有相同意义。
9
四．量词作用域的扩张与收缩
从1-4式还可推得如下几个式子：
5. 6. 7. 8.
((x)A(x)B)) (x)(A(x)B) ((x)A(x)B)) (x)(A(x)B) (B(x)A(x)) (x)(BA(x)) (B(x)A(x)) (x)(BA(x))
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步骤(2)用u实例化存在量词，它必须与y、t和s都不相同。步骤(4)用v实例化存在 量词，它必须与u、y、t和s都不相同。
沈阳工业大学 牛Βιβλιοθήκη 强 陈欣 张胜男 niulq@2.5 谓词演算的推理理论
(4) 存在推广（产生）规则EG（Existence Generalization，或记为∃+） 若A(s)为1，则∃xA(x)为1，即
∵ A(s) ∴∃xA(x) 其中的s为论域中的某个个体，可以是特殊或任意的一个，但x不能与A中的其 他个体名重复。 [新规则的作用？] 引入全称（存在）指定规则的目的是消去全称（存在）量词， 引入全称（存在）推广量词的目的是产生全称（存在）量词。 注意：当量词之前有否定联结词时不能指定到个体词。例如，┐∀xA(x)⇒┐A(s)是 错误的推理形式，s不能肯定是泛指还是特指。此时，必须使用量词否定等值式将 否定联结词移到量词之后才能使用上述规则。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
3. 谓词逻辑的一般推理方法
2.5 谓词演算的推理理论
全称指定存在指定-
量化命题：前提
量化命题：结论
谓词填式
命题逻辑推理
谓词填式
全称推广+ 存在推广+
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
(2) 全称推广（产生）规则UG（Ubiquity Generalization，或记为∀+） 若A(a)为1，则∀xA(x)为1，即
∵ A(a) ∴∀xA(x) 其中的a必须是论域中的任意个体，即来自于全称指定规则，但x不能与A中的 其他个体名重复。 [例] 前例中，y为自由变元，由P(t)→Q(y)可推广为∀x(P(x)→Q(y))，但不能 是∀y(P(y)→Q(y))。
4. 谓词逻辑自然推理示例
[例2-12] 三段论的形式证明。 (a)苏格拉底三段论：人是要死的，苏格拉底是人。所以，苏格拉底是要死的。
证明： 记M(x)：x是人，D(x)：x是要死的，s：苏格拉底，原论断表示为： ∀x(M(x)→D(x) ),M(s)⇒D(s)。
(1) M(s)
配律）
量词作用域的扩张与收缩
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
E37 x(B∨A(x)) B∨xA(x) E38 x(B∧A(x)) B∧xA(x) E39 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) E40 x(A(x)B)xA(x)B E41 xA(x)Bx(A(x)B) E42 AxB(x)x(AB(x)) E43 AxB(x)x(AB(x))
∵ ∃xA(x) ∴ A(s) 其中的s为论域中的某个特殊个体（some individual），不能与A中的其他个体名 、前提或结论以及前期推理步骤中的自由个体名重复。
[例] 考虑推理∃xP(x)，∃x(P(x)∧Q(y))⇒Q(s)的论证。
(1)∵∃xP(x)，P。(2)∴P(u)，∃-(1)。(3)∵∃x(P(x)∧Q(y))，P。(4)∴P(v)∧Q(y) ∃-(2)
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
(3) 存在指定（消去）规则ES（Existence Specification，或记为∃-） 此规则也可记作EI（Existence Instantiation），即存在（量词）实例化。 若∃xA(x)为1，则A(s)为1，即
E31 x(A(x)∨B)xA(x)∨B E32 x(A(x)∧B)xA(x)∧B E33 x(A(x)∨B)xA(x)∨B E34 x(A(x)∧B)xA(x)∧B E35 x(B∨A(x)) B∨xA(x) 表2-1 E36 x(B∧A(x)) B∧xA(x)
量词否定等值式 量词分配等值式（量词分
(1) 全称指定（消去）规则US（Ubiquity Specification，或记为-） 此规则也可记作UI（Universal Instantiation），即全称（量词）实例化。 若∀xA(x)为1，则A(a)为1，即
∵ ∀xA(x) ∴ A(a) 其中的a为论域中的任意一个个体（arbitrary individual），但不能与A中的其 他个体名重复。 [例]由前提∀x(P(x)→Q(y))可实例化为P(t)→Q(y)，而不能是P(y)→Q(y)。
2.5 谓词演算的推理理论
1. 推理定律
谓词演算的基本等价与蕴含关系见表2-1。以此作为推理的基础，即推理定律
。
序号
等价或蕴含关系
含义
E27 ┐xA(x)x┐A(x)
E28 ┐xA(x)x┐A(x) E29 x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) E30 x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)
I20 xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x)) I21 x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
I22 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
量词作用域的扩张与收缩
表中的I、E序号是接着表1-5和1-8排列的，表明它们都是谓词逻辑的推理定 律。E31~E34与E35~E38只是A和B的顺序不同。
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2.5 谓词演算的推理理论
2. 量词的消除与产生规则 谓词推理是对命题推理的扩充。除了原来的P规则（前提引入）、T规则（
命题等价和蕴含）及反证法、CP规则外，为什么还需引入新的推理规则呢？ 命题逻辑中只有一种命题，但谓词逻辑中有2种，即量词量化的命题和谓词
填式命题。如果仅由表2-1的推理定律就可推证，并不需要引入新的规则，但这 种情况十分罕见，也失去了谓词逻辑本身的意义。为此，要引入如下4个规则完 成量词量化命题与谓词填式之间的转换，其中的A(x)表示任意的谓词。
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2.5 谓词演算的推理理论
沈阳工业大学 牛Βιβλιοθήκη 强 陈欣 张胜男 niulq@2.5 谓词演算的推理理论
(4) 存在推广（产生）规则EG（Existence Generalization，或记为∃+） 若A(s)为1，则∃xA(x)为1，即
∵ A(s) ∴∃xA(x) 其中的s为论域中的某个个体，可以是特殊或任意的一个，但x不能与A中的其 他个体名重复。 [新规则的作用？] 引入全称（存在）指定规则的目的是消去全称（存在）量词， 引入全称（存在）推广量词的目的是产生全称（存在）量词。 注意：当量词之前有否定联结词时不能指定到个体词。例如，┐∀xA(x)⇒┐A(s)是 错误的推理形式，s不能肯定是泛指还是特指。此时，必须使用量词否定等值式将 否定联结词移到量词之后才能使用上述规则。
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3. 谓词逻辑的一般推理方法
2.5 谓词演算的推理理论
全称指定存在指定-
量化命题：前提
量化命题：结论
谓词填式
命题逻辑推理
谓词填式
全称推广+ 存在推广+
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2.5 谓词演算的推理理论
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2.5 谓词演算的推理理论
(2) 全称推广（产生）规则UG（Ubiquity Generalization，或记为∀+） 若A(a)为1，则∀xA(x)为1，即
∵ A(a) ∴∀xA(x) 其中的a必须是论域中的任意个体，即来自于全称指定规则，但x不能与A中的 其他个体名重复。 [例] 前例中，y为自由变元，由P(t)→Q(y)可推广为∀x(P(x)→Q(y))，但不能 是∀y(P(y)→Q(y))。
4. 谓词逻辑自然推理示例
[例2-12] 三段论的形式证明。 (a)苏格拉底三段论：人是要死的，苏格拉底是人。所以，苏格拉底是要死的。
证明： 记M(x)：x是人，D(x)：x是要死的，s：苏格拉底，原论断表示为： ∀x(M(x)→D(x) ),M(s)⇒D(s)。
(1) M(s)
配律）
量词作用域的扩张与收缩
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2.5 谓词演算的推理理论
E37 x(B∨A(x)) B∨xA(x) E38 x(B∧A(x)) B∧xA(x) E39 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) E40 x(A(x)B)xA(x)B E41 xA(x)Bx(A(x)B) E42 AxB(x)x(AB(x)) E43 AxB(x)x(AB(x))
∵ ∃xA(x) ∴ A(s) 其中的s为论域中的某个特殊个体（some individual），不能与A中的其他个体名 、前提或结论以及前期推理步骤中的自由个体名重复。
[例] 考虑推理∃xP(x)，∃x(P(x)∧Q(y))⇒Q(s)的论证。
(1)∵∃xP(x)，P。(2)∴P(u)，∃-(1)。(3)∵∃x(P(x)∧Q(y))，P。(4)∴P(v)∧Q(y) ∃-(2)
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2.5 谓词演算的推理理论
(3) 存在指定（消去）规则ES（Existence Specification，或记为∃-） 此规则也可记作EI（Existence Instantiation），即存在（量词）实例化。 若∃xA(x)为1，则A(s)为1，即
E31 x(A(x)∨B)xA(x)∨B E32 x(A(x)∧B)xA(x)∧B E33 x(A(x)∨B)xA(x)∨B E34 x(A(x)∧B)xA(x)∧B E35 x(B∨A(x)) B∨xA(x) 表2-1 E36 x(B∧A(x)) B∧xA(x)
量词否定等值式 量词分配等值式（量词分
(1) 全称指定（消去）规则US（Ubiquity Specification，或记为-） 此规则也可记作UI（Universal Instantiation），即全称（量词）实例化。 若∀xA(x)为1，则A(a)为1，即
∵ ∀xA(x) ∴ A(a) 其中的a为论域中的任意一个个体（arbitrary individual），但不能与A中的其 他个体名重复。 [例]由前提∀x(P(x)→Q(y))可实例化为P(t)→Q(y)，而不能是P(y)→Q(y)。
2.5 谓词演算的推理理论
1. 推理定律
谓词演算的基本等价与蕴含关系见表2-1。以此作为推理的基础，即推理定律
。
序号
等价或蕴含关系
含义
E27 ┐xA(x)x┐A(x)
E28 ┐xA(x)x┐A(x) E29 x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) E30 x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)
I20 xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x)) I21 x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
I22 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
量词作用域的扩张与收缩
表中的I、E序号是接着表1-5和1-8排列的，表明它们都是谓词逻辑的推理定 律。E31~E34与E35~E38只是A和B的顺序不同。
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2.5 谓词演算的推理理论
2. 量词的消除与产生规则 谓词推理是对命题推理的扩充。除了原来的P规则（前提引入）、T规则（
命题等价和蕴含）及反证法、CP规则外，为什么还需引入新的推理规则呢？ 命题逻辑中只有一种命题，但谓词逻辑中有2种，即量词量化的命题和谓词
填式命题。如果仅由表2-1的推理定律就可推证，并不需要引入新的规则，但这 种情况十分罕见，也失去了谓词逻辑本身的意义。为此，要引入如下4个规则完 成量词量化命题与谓词填式之间的转换，其中的A(x)表示任意的谓词。
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2.5 谓词演算的推理理论