2_5_谓词演算的推理理论[19页]
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I20 xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x)) I21 x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
I22 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
量词作用域的扩张与收缩
表中的I、E序号是接着表1-5和1-8排列的，表明它们都是谓词逻辑的推理定 律。E31~E34与E35~E38只是A和B的顺序不同。
填式命题。如果仅由表2-1的推理定律就可推证，并不需要引入新的规则，但这 种情况十分罕见，也失去了谓词逻辑本身的意义。为此，要引入如下4个规则完 成量词量化命题与谓词填式之间的转换，其中的A(x)表示任意的谓词。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
4. 谓词逻辑自然推理示例
[例2-12] 三段论的形式证明。 (a)苏格拉底三段论：人是要死的，苏格拉底是人。所以，苏格拉底是要死的。
证明： 记M(x)：x是人，D(x)：x是要死的，s：苏格拉底，原论断表示为： ∀x(M(x)→D(x) ),M(s)⇒D(s)。
(1) M(s)
∵ A(s) ∴∃xA(x) 其中的s为论域中的某个个体，可以是特殊或任意的一个，但x不能与A中的其 他个体名重复。 [新规则的作用？] 引入全称（存在）指定规则的目的是消去全称（存在）量词， 引入全称（存在）推广量词的目的是产生全称（存在）量词。 注意：当量词之前有否定联结词时不能指定到个体词。例如，┐∀xA(x)⇒┐A(s)是 错误的推理形式，s不能肯定是泛指还是特指。此时，必须使用量词否定等值式将 否定联结词移到量词之后才能使用上述规则。
∵ ∃xA(x) ∴ A(s) 其中的s为论域中的某个特殊个体（some individual），不能与A中的其他个体名 、前提或结论以及前期推理步骤中的自由个体名重复。
[例] 考虑推理∃xP(x)，∃x(P(x)∧Q(y))⇒Q(s)的论证。
(1)∵∃xP(x)，P。(2)∴P(u)，∃-(1)。(3)∵∃x(P(x)∧Q(y))，P。(4)∴P(v)∧Q(y) ∃-(2)
E31 x(A(x)∨B)xA(x)∨B E32 x(A(x)∧B)xA(x)∧B E33 x(A(x)∨B)xA(x)∨B E34 x(A(x)∧B)xA(x)∧B E35 x(B∨A(x)) B∨xA(x) 表2-1 E36 x(B∧A(x)) B∧xA(x)
量词否定等值式 量词分配等值式（量词分
配律）
量词作用域的扩张与收缩
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
E37 x(B∨A(x)) B∨xA(x) E38 x(B∧A(x)) B∧xA(x) E39 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) E40 x(A(x)B)xA(x)B E41 xA(x)Bx(A(x)B) E42 AxB(x)x(AB(x)) E43 AxB(x)x(AB(x))
2.5 谓词演算的推理理论
1. 推理定律
谓词演算的基本等价与蕴含关系见表2-1。以此作为推理的基础，即推理定律
。
序号
等价或蕴含关系
含义
E27 ┐xA(x)x┐A(x)
E28 ┐xA(x)x┐A(x) E29 x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) E30 x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
(2) 全称推广（产生）规则UG（Ubiquity Generalization，或记为∀+） 若A(a)为1，则∀xA(x)为1，即
∵ A(a) ∴∀xA(x) 其中的a必须是论域中的任意个体，即来自于全称指定规则，但x不能与A中的 其他个体名重复。 [例] 前例中，y为自由变元，由P(t)→Q(y)可推广为∀x(P(x)→Q(y))，但不能 是∀y(P(y)→Q(y))。
步骤(2)用u实例化存在量词，它必须与y、t和s都不相同。步骤(4)用v实例化存在 量词，它必须与u、y、t和s都不相同。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
(4) 存在推广（产生）规则EG（Existence Generalization，百度文库记为∃+） 若A(s)为1，则∃xA(x)为1，即
(1) 全称指定（消去）规则US（Ubiquity Specification，或记为-） 此规则也可记作UI（Universal Instantiation），即全称（量词）实例化。 若∀xA(x)为1，则A(a)为1，即
∵ ∀xA(x) ∴ A(a) 其中的a为论域中的任意一个个体（arbitrary individual），但不能与A中的其 他个体名重复。 [例]由前提∀x(P(x)→Q(y))可实例化为P(t)→Q(y)，而不能是P(y)→Q(y)。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
(3) 存在指定（消去）规则ES（Existence Specification，或记为∃-） 此规则也可记作EI（Existence Instantiation），即存在（量词）实例化。 若∃xA(x)为1，则A(s)为1，即
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
3. 谓词逻辑的一般推理方法
2.5 谓词演算的推理理论
全称指定存在指定-
量化命题：前提
量化命题：结论
谓词填式
命题逻辑推理
谓词填式
全称推广+ 存在推广+
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
2. 量词的消除与产生规则 谓词推理是对命题推理的扩充。除了原来的P规则（前提引入）、T规则（
命题等价和蕴含）及反证法、CP规则外，为什么还需引入新的推理规则呢？ 命题逻辑中只有一种命题，但谓词逻辑中有2种，即量词量化的命题和谓词
I22 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
量词作用域的扩张与收缩
表中的I、E序号是接着表1-5和1-8排列的，表明它们都是谓词逻辑的推理定 律。E31~E34与E35~E38只是A和B的顺序不同。
填式命题。如果仅由表2-1的推理定律就可推证，并不需要引入新的规则，但这 种情况十分罕见，也失去了谓词逻辑本身的意义。为此，要引入如下4个规则完 成量词量化命题与谓词填式之间的转换，其中的A(x)表示任意的谓词。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
4. 谓词逻辑自然推理示例
[例2-12] 三段论的形式证明。 (a)苏格拉底三段论：人是要死的，苏格拉底是人。所以，苏格拉底是要死的。
证明： 记M(x)：x是人，D(x)：x是要死的，s：苏格拉底，原论断表示为： ∀x(M(x)→D(x) ),M(s)⇒D(s)。
(1) M(s)
∵ A(s) ∴∃xA(x) 其中的s为论域中的某个个体，可以是特殊或任意的一个，但x不能与A中的其 他个体名重复。 [新规则的作用？] 引入全称（存在）指定规则的目的是消去全称（存在）量词， 引入全称（存在）推广量词的目的是产生全称（存在）量词。 注意：当量词之前有否定联结词时不能指定到个体词。例如，┐∀xA(x)⇒┐A(s)是 错误的推理形式，s不能肯定是泛指还是特指。此时，必须使用量词否定等值式将 否定联结词移到量词之后才能使用上述规则。
∵ ∃xA(x) ∴ A(s) 其中的s为论域中的某个特殊个体（some individual），不能与A中的其他个体名 、前提或结论以及前期推理步骤中的自由个体名重复。
[例] 考虑推理∃xP(x)，∃x(P(x)∧Q(y))⇒Q(s)的论证。
(1)∵∃xP(x)，P。(2)∴P(u)，∃-(1)。(3)∵∃x(P(x)∧Q(y))，P。(4)∴P(v)∧Q(y) ∃-(2)
E31 x(A(x)∨B)xA(x)∨B E32 x(A(x)∧B)xA(x)∧B E33 x(A(x)∨B)xA(x)∨B E34 x(A(x)∧B)xA(x)∧B E35 x(B∨A(x)) B∨xA(x) 表2-1 E36 x(B∧A(x)) B∧xA(x)
量词否定等值式 量词分配等值式（量词分
配律）
量词作用域的扩张与收缩
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
E37 x(B∨A(x)) B∨xA(x) E38 x(B∧A(x)) B∧xA(x) E39 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) E40 x(A(x)B)xA(x)B E41 xA(x)Bx(A(x)B) E42 AxB(x)x(AB(x)) E43 AxB(x)x(AB(x))
2.5 谓词演算的推理理论
1. 推理定律
谓词演算的基本等价与蕴含关系见表2-1。以此作为推理的基础，即推理定律
。
序号
等价或蕴含关系
含义
E27 ┐xA(x)x┐A(x)
E28 ┐xA(x)x┐A(x) E29 x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) E30 x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
(2) 全称推广（产生）规则UG（Ubiquity Generalization，或记为∀+） 若A(a)为1，则∀xA(x)为1，即
∵ A(a) ∴∀xA(x) 其中的a必须是论域中的任意个体，即来自于全称指定规则，但x不能与A中的 其他个体名重复。 [例] 前例中，y为自由变元，由P(t)→Q(y)可推广为∀x(P(x)→Q(y))，但不能 是∀y(P(y)→Q(y))。
步骤(2)用u实例化存在量词，它必须与y、t和s都不相同。步骤(4)用v实例化存在 量词，它必须与u、y、t和s都不相同。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
(4) 存在推广（产生）规则EG（Existence Generalization，百度文库记为∃+） 若A(s)为1，则∃xA(x)为1，即
(1) 全称指定（消去）规则US（Ubiquity Specification，或记为-） 此规则也可记作UI（Universal Instantiation），即全称（量词）实例化。 若∀xA(x)为1，则A(a)为1，即
∵ ∀xA(x) ∴ A(a) 其中的a为论域中的任意一个个体（arbitrary individual），但不能与A中的其 他个体名重复。 [例]由前提∀x(P(x)→Q(y))可实例化为P(t)→Q(y)，而不能是P(y)→Q(y)。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
(3) 存在指定（消去）规则ES（Existence Specification，或记为∃-） 此规则也可记作EI（Existence Instantiation），即存在（量词）实例化。 若∃xA(x)为1，则A(s)为1，即
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
3. 谓词逻辑的一般推理方法
2.5 谓词演算的推理理论
全称指定存在指定-
量化命题：前提
量化命题：结论
谓词填式
命题逻辑推理
谓词填式
全称推广+ 存在推广+
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sut.edu.cn
2.5 谓词演算的推理理论
2. 量词的消除与产生规则 谓词推理是对命题推理的扩充。除了原来的P规则（前提引入）、T规则（
命题等价和蕴含）及反证法、CP规则外，为什么还需引入新的推理规则呢？ 命题逻辑中只有一种命题，但谓词逻辑中有2种，即量词量化的命题和谓词