轨道结构动力分析的傅里叶变换法
傅里叶变换及其性质 PPT
也称为时间倒置定理。
5. 对称性
我们知道
S a ( t) 1
－1
1
－2
0
2
t
(a )
g 2( ) 1
－ o
( b ) 图2.5-4 取样函数Sa(t) 及其频谱
6. 时域卷积
在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统 分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析 中， 求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及系 统的单位冲激响应h(t), 则有
的关系也可以用一个图绘出。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
取样函数定义为
Sa(x) sinx x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
Fn
E
T
San
2
Sa(x) 1
－3－2 － o
2 3
x
f
(t)
e at
t 0
0
t 0
f (t)
1 e－t (＞0)
(0)
F()
1
o
t
o
(a)
(b)
图 2.4-2 单边指数函数e-αt
(a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
e((jj )t ) 01j
1
jarctan
ea
a22
f(t)lim F nej n t 1F (j )ej td
T n
2
非周期信号的傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对
傅里叶变换算法详细介绍
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。
感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。
/**************************************************************************************************/前言：“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。
这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。
ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。
连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
快速傅里叶变换（含详细实验过程分析）
快速傅⾥叶变换（含详细实验过程分析）[实验2] 快速傅⾥叶变换 (FFT) 实现⼀、实验⽬的1、掌握FFT 算法和卷积运算的基本原理；2、掌握⽤C 语⾔编写DSP 程序的⽅法；3、了解利⽤FFT 算法在数字信号处理中的应⽤。
⼆、实验设备 1. ⼀台装有CCS 软件的计算机； 2. DSP 实验箱的TMS320C5410主控板； 3. DSP 硬件仿真器。
三、实验原理（⼀）快速傅⾥叶变换傅⾥叶变换是⼀种将信号从时域变换到频域的变换形式，是信号处理的重要分析⼯具。
离散傅⾥叶变换（DFT ）是傅⾥叶变换在离散系统中的表⽰形式。
但是DFT 的计算量⾮常⼤， FFT 就是DFT 的⼀种快速算法, FFT 将DFT 的N 2步运算减少⾄ ( N/2 )log 2N 步。
离散信号x(n)的傅⾥叶变换可以表⽰为∑=-=10][)(N N nk N W n x k X ， Nj N e W /2π-=式中的W N 称为蝶形因⼦，利⽤它的对称性和周期性可以减少运算量。
⼀般⽽⾔，FFT 算法分为时间抽取（DIT ）和频率抽取（DIF ）两⼤类。
两者的区别是蝶形因⼦出现的位置不同，前者中蝶形因⼦出现在输⼊端，后者中出现在输出端。
本实验以时间抽取⽅法为例。
时间抽取FFT 是将N 点输⼊序列x(n) 按照偶数项和奇数项分解为偶序列和奇序列。
偶序列为：x(0), x(2), x(4),…, x(N-2)；奇序列为：x(1), x(3), x(5),…, x(N-1)。
这样x(n) 的N 点DFT 可写成：()()∑++∑=-=+-=12/0)12(12/02122)(N n kn NN n nkNW n x Wn x k X考虑到W N 的性质，即2/)2//(22/)2(2][N N j N j N W e e W ===--ππ因此有：()()∑++∑=-=-=12/02/12/02/122)(N n nkN k NN n nkN W n x WWn x k X或者写成：()()12()kN X k X k W X k =+由于X 1(k) 与X 2(k) 的周期为N/2，并且利⽤W N 的对称性和周期性，即：kNNkNWW-=+2/可得：()()12(/2)kNX k N X k W X k+=-对X1(k) 与X2(k)继续以同样的⽅式分解下去，就可以使⼀个N点的DFT最终⽤⼀组2点的DFT来计算。
傅里叶变换分析法
22
电路基础教学部
2004年11月25日10时7分
3.3.3 频谱密度函数(2)
Fn 2π F (ω ) = lim TFn = lim Fn = lim ∆ω → 0 ∆ ω ∆f → 0 ∆ f T →∞
表明：F (ω ) 是单位频带的复振幅，具有密度的概念，故称 其为频谱密度函数，简称为频谱函数或频谱密度(Spectral density)。
1 T /2 1 − jnω 0 t Fn = ∫ f ( t )e dt = (a n − jbn ) −T / 2 2 T nω 0τ nω 0τ A Aτ = sin( )= ) Sa ( 2 2 nπ T
f (t ) =
sin x x
1
-3π -π 2π -2π 0 π 3π
∞
x
n = −∞
∞ −∞ ∞ −∞
f ( t )e − jωt dt =| F (ω ) | e jθ (ω )
∞ −∞
f ( t ) cos ωtdt − j ∫
f ( t ) sin ωtdt
* f(t)为实函数 F (ω ) = F ( −ω )
| F (ω ) |~ ω
θ (ω ) ~ ω
f(t)为实偶函数 f(t)为实奇函数
…
…
ω0 2ω0 3ω0 nω0 ϕn ϕ1 ϕ2 ϕ3
-3ω0 -2ω0 -ω0 0
ω0 2ω0 3ω0 nω0 θn θ1 θ2 θ3
…
…
-3ω0 -2ω0 -ω0
…
0
ω0 2ω0 3ω0 nω0
…
θ-3 θ -2
电路基础教学部
θ-1
0
ω0 2ω0 3ω0 nω0
单边频谱
快速傅里叶变换解析课件PPT学习
(2)两个N/2点的DFT运算量:复乘次数: N 2
2
复加次数: N ( N 1)
2
(3)N/2个蝶形运算的运算量:复乘次数: N
复加次数:
2 2
N
2
N
总共运算量:
复乘: 复加:
N2 N
N(N
1)/ 2 N 2
22
2
N(N
1) N
N2
2
2
*N点DFT的复乘为N2 ;复加N(N-1);与分解后相比可知,
X (k) X1(k) WNk X 2 (k) , k 0,1,
, N 1 2
（4-11）
X
k
N 2
X1
k
N 2
W
k
N 2
N
X 2
k
N 2
X1(k) WNk X 2 (k), k 0,1,, N 1 （4-12） 2
13
第13页/共57页
这样，就可将X(k)表达为前后两部分：
n0
n0
N 1
{Re[x(n)]Re[WNnk ] Im[x(n)]Im[WNnk ]
n0
j(Re[x(n)]Im[WNnk ] Im[x(n)]Re[WNnk ])}
（4-3）
由此可见，一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法； 一次复数加法需二次实数加法。 因而每运算一个X(k)需4N次实 数乘法和2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加法。 所以，整个DFT运算 总共需要4N2次实数乘法和2N(2N-1)次实数加法。
2
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N 1
正变换： X (k ) x(n)WNnk
n0
反变换：
x(n)
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系?他们的本质和区别是什么?为什么要进行这些变换。
研究的都是什么?从几方面讨论下。
这三种变换都非常重要!任何理工学科都不可避免需要这些变换。
傅立叶变换，拉普拉斯变换， Z变换的意义【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值(或频率值)，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。
这都是一个信号的不同表示形式。
它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。
幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅里叶变换(FFT)详解
关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：/pdfbook.htm要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。
结构动力计算课后习题答案
结构动力计算课后习题答案结构动力计算是土木工程和机械工程领域中的一个重要分支，它涉及到结构在动力作用下的响应分析。
这门课程的课后习题通常要求学生运用所学的理论，解决实际工程问题。
以下是一些可能的习题答案示例，请注意，这些答案是基于假设的习题内容，实际的习题答案应根据具体的题目来确定。
习题1：单自由度系统的动力响应假设有一个单自由度系统，其质量为m，阻尼系数为c，刚度系数为k。
系统受到一个简谐激励F(t) = F0 * sin(ωt)，其中F0是激励力的幅值，ω是激励频率。
求系统的稳态响应。
答案：对于单自由度系统，其运动方程可以表示为：\[ m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = F_0 \sin(\omega t) \]稳态响应可以通过求解上述方程的特解来获得。
特解的形式为：\[ x(t) = X \sin(\omega t + \phi) \]其中，振幅X和相位角φ可以通过以下公式计算：\[ X = \frac{F_0}{\sqrt{(\omega^2 m - \omega^2)^2 +(c\omega)^2}} \]\[ \phi = \arctan\left(\frac{c\omega}{\omega^2 m -\omega^2}\right) \]习题2：多自由度系统的模态分析考虑一个两自由度系统，其质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵分别为：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & k_c \\ k_c & k_2\end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} c_1 & 0 \\ 0 & c_2\end{bmatrix} \]求系统的自然频率和模态形状。
结构动力学傅里叶变换
结构动力学傅里叶变换全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：结构动力学是研究结构在受到外力作用时的变形、振动以及稳定性等问题的学科。
而傅里叶变换则是一种重要的数学工具，可用于分析结构的振动响应并识别结构的固有频率及模态形态。
结构动力学与傅里叶变换的结合，不仅可以帮助工程人员更好地理解结构的动态响应特性，还可以指导设计人员优化结构的设计，提高结构的抗震性能和安全性。
一、结构动力学基础结构动力学是一个复杂的领域，需要掌握一定的数学和物理知识。
结构动力学主要涉及结构的振动、变形和稳定性等问题。
结构在受到外力作用时会发生振动，其振动特性取决于结构的固有频率、质量、刚度和阻尼等因素。
结构动力学的研究对象包括建筑、桥梁、船舶、飞机等各种工程结构。
结构动力学的研究方法包括模态分析、频域分析、时域分析和模态综合等。
模态分析是一种常用的方法，通过对结构进行模态分解，可以得到结构的固有频率和模态形态。
频域分析则是利用傅里叶变换将结构的时域响应转换为频域响应，可以进一步分析结构的频域特性。
二、傅里叶变换原理傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦波形成的谱。
傅里叶变换在处理各种信号和振动问题中得到广泛应用，而在结构动力学中，傅里叶变换可以用于分析结构的振动响应和识别结构的固有频率及模态形态。
傅里叶变换的基本原理是将时域函数f(t)分解为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合，其数学表达式为：F(ω)=∫f(t)e^(-jωt)dtF(ω)为频率为ω的谱，f(t)为时域函数，e^(-jωt)为复指数函数。
三、结构动力学中的傅里叶变换应用结构动力学中常用的傅里叶变换方法包括离散傅里叶变换(DFT)和快速傅里叶变换(FFT)。
DFT是将一个有限长度的时域信号分解为不同频率的正弦和余弦波的线性组合，而FFT则是一种高效的计算DFT的快速算法，可以在计算上更快速地得到频域响应。
第二篇示例：结构动力学是一个研究结构在受到外部力作用时的振动和变形特性的学科。
常用的傅里叶变换对总结
常用的傅里叶变换对总结
傅里叶变换是数学中一种十分重要的变换方法，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学等领域。
在许多应用中，我们经常会使用几种常见的傅里叶变换技术，下面将对它们进行概括总结。
首先，傅里叶级数是将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和的过程。
它可以将周期信号在频域中表示，得到频谱信息。
傅里叶级数有助于我们理解信号的频率组成，对于信号分析和合成都具有重要作用。
其次，离散傅里叶变换（DFT）是将离散序列转换为离散频谱的过程。
它可用于对数字信号进行频域分析和处理。
DFT将时域离散信号通过计算得到其频域表示，可以实现滤波、频谱分析、频谱修正等。
另外，快速傅里叶变换（FFT）是计算DFT的高效算法。
通过利用信号序列的特性，FFT可以在O(n log n)的时间复杂度内计算得到信号的频谱信息，极大地提高了计算效率。
FFT广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
此外，傅里叶变换还有连续傅里叶变换（CFT），它将连续时域信号转换为连续频域信号，用于分析连续信号的频域特性。
CFT的应用包括电路分析、信号传输等。
CFT和DFT的关系可以通过采样定理联系起来，即采样后的信号可以通过DFT逆变换得到原始信号。
总而言之，傅里叶变换是一种重要的数学工具，能够将时域信号转换为频域信号，帮助我们理解信号的频率特性。
通过使用傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换和连续傅里叶变换等技术，我们可以对信号进行频谱分析、滤波处理、合成重建等操作，促进了信号处理和科学研究的发展。
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换傅里叶变换是一种在信号处理和图像处理领域广泛应用的数学工具，它能够将一个函数分解为不同频率的正弦和余弦函数的组合。
在这篇文档中，我们将深入探讨五种常见的傅里叶变换，揭示它们在不同领域的应用以及各自的特点。
1. **离散傅里叶变换（DFT）**：离散傅里叶变换是傅里叶变换的离散形式，通常用于处理离散信号。
它将信号从时域转换到频域，使得我们能够分析信号的频率成分。
DFT在数字信号处理、通信系统以及图像处理中扮演着重要的角色。
2. **快速傅里叶变换（FFT）**：快速傅里叶变换是一种高效计算DFT的算法，通过减少计算复杂度，使得大规模信号处理变得可行。
FFT广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理等领域，提高了计算效率，使得实时处理成为可能。
3. **连续傅里叶变换（CTFT）**：连续傅里叶变换是傅里叶变换的连续形式，适用于处理连续信号。
它通过将信号分解为无限个频率成分，展示了信号在频域中的频谱特性。
CTFT在通信系统、信号分析以及电力系统等领域有着广泛的应用。
4. **带通傅里叶变换**：带通傅里叶变换是一种特殊形式的傅里叶变换，用于分析信号在一定频率范围内的成分。
它对于滤波和频率选择性分析非常有用，常见于通信系统中的调制与解调过程以及音频处理中的滤波器设计。
5. **二维傅里叶变换**：二维傅里叶变换扩展了一维傅里叶变换的概念，广泛应用于图像处理领域。
它能够将图像分解为不同空间频率的成分，为图像增强、压缩以及模式识别等任务提供了强大的工具。
这五种傅里叶变换在不同场景下展现了出色的性能，为信号和图像处理提供了深刻的数学基础。
它们的应用范围涵盖了通信、医学图像处理、声音处理等多个领域，为科学研究和工程应用提供了重要的支持。
结构力学中的动力响应分析
结构力学中的动力响应分析在结构力学中，动力响应分析是一种重要的方法，用于研究结构在受到动力载荷作用下的响应情况。
通过动力响应分析，我们可以了解结构在地震、风荷载等动力载荷作用下的变形、位移、应力等响应特性，从而提供设计结构的依据和评估结构的安全性能。
一、动力载荷的表征与分类动力响应分析的首要任务就是确定结构受到的动力载荷。
动力载荷一般分为周期性载荷和非周期性载荷两类。
1. 周期性载荷周期性载荷是指具有明显重复性和规律性的载荷，包括地震、风荷载、机械振动等。
这些载荷的特点是具有一定的频率和振动周期，可以通过谱分析方法来表征。
2. 非周期性载荷非周期性载荷是指不具有明显重复性和规律性的载荷，包括爆炸、冲击、喇叭音等。
这些载荷的特点是具有极短的载荷作用时间和非线性响应特性，需要采用瞬态分析方法进行分析。
二、动力响应分析的方法与步骤动力响应分析一般采用数值模拟方法进行，常见的分析方法有模态分析、时程分析和谱分析等。
1. 模态分析模态分析是一种基于结构的固有振动特性进行分析的方法。
通过模态分析，我们可以获得结构的固有振动模态、固有频率和固有振型等信息。
在动力响应分析中，模态分析是一个重要的预处理步骤。
2. 时程分析时程分析是一种基于时域的分析方法，通过求解结构的动力学方程，得到结构在给定载荷作用下的时域响应。
在时程分析中，一般采用有限元法或有限差分法进行离散化，利用数值方法求解微分方程的数值解。
3. 谱分析谱分析是一种基于频域的分析方法，通过将动力载荷和结构响应的频谱特性进行比较，可以得到结构的频谱应答。
在谱分析中，常用的方法有傅里叶变换法和响应谱法等。
三、动力响应分析的应用领域动力响应分析在工程实践中有着广泛的应用，包括建筑、桥梁、航天航空、汽车等领域。
1. 土木工程在土木工程中，动力响应分析可以用于评估建筑、桥梁等结构在地震、风荷载等自然灾害作用下的安全性能。
通过分析结构的动力响应特性，可以确定结构的耐震性能，进而指导工程设计和改进结构的抗震能力。
傅里叶变换在信号处理中的应用
傅里叶变换在信号处理中的应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。
尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。
"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇：1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；4.著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT)).正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
有関傅立叶变换的FPGA实现傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。
但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。
然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。
本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。
离散傅里叶变换的应用DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。
振动的测量,傅里叶变换,duhamel积分,反应谱
8 振动的测量8。
1 前言有的时候，一些微小的、不显著的振动,会与结构，或者结构的某一部分产生共振,从而将振动放大.共振也会发生在人的身上，人体的自振频率大概为7.5Hz,因此次声（〈20Hz）会对人体造成伤害。
所以说，对于结构来说，利用合适的装置或者设计来减小这样的共振是非常有必要的。
那么,想要研究如何减小共振,我们首先要知道将要发生的振动的参数.想要知道这些参数，我们就需要一些仪器来测量,这些仪器就是我们这章要了解的。
首先来看一下一些概念.在结构工程中常常进行运动量（位移、速度或加速度）的测量，例如地震动时程的测量；振动台试验中结构模型的动力反应的测量；脉动作用下结构物的振动的测量；大桥、超高层结构风振的测量等.用于测量振动量的仪器（拾振仪）主要有三种：加速度位移计：测量加速度的时程（强震仪）。
位移计：测量位移时程(地震仪）。
速度计：测量速度.8。
2 理论8.2。
1 运动方程的建立D’Alembert原理：在质点系的运动的任意瞬间，如果除了实际作用于每一质点的主动力和约束反力外，再加上假想的惯性力，则在该瞬间质点系将处于假想的平衡状态，称之为动力平衡状态。
记所受的主动力、惯性力和约束反力，则D'Alembert原理可表示为通常主动力包括外荷载、阻尼力和弹性恢复力。
上图质量块m所受的主动力为惯性力为由于该体系是约束反力不做功的理想约束体系，故列运动方程时仅考虑运动方向上的受力,此时的约束反力是没有的。
将上面两式代入D'Alembert原理表达式，有当然，建立运动方程的方法有多种，除了上面介绍的D’Alembert原理之外，还有虚位移原理、Hamilton 原理和Lagrange方程,这四种方法对建立运动方程是完全等同的，可以推得完全相同的运动方程。
8。
2。
2 Fourier变化法（频域分析法)最简单的测量仪器模型是一单自由度弹簧—质点—阻尼体系，被封闭在一个刚性盒子里面，如图所示单自由度体系运动方程为:其中：则（1）式可以写为：使用傅里叶变换法(之后补上介绍)，正变换，把问题从时间域(自变量为t)转变到频域（自变量为)，可得：下面给出了关于频率比的图像:为复频反应函数，也叫传递函数。
拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换
傅立叶变换，拉普拉斯变换，Z变换的意义在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。
这都是一个信号的不同表示形式。
它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。
幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。
也就是说，用无数的正弦波采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。
地铁产生的环境振动及轨道结构减振分析
地铁产生的环境振动及轨道结构减振分析涂勤明;雷晓燕;毛顺茂【摘要】以南昌地铁1号线八一广场段为工程背景，对轨道-隧道-大地的三维有限元模型进行动力学分析。
分别建立三种道床模型：整体道床、弹性支承块道床和钢弹簧浮置板道床。
以振动加速度、1/3倍频程振动加速度级和Z振级作为评价指标，比较不同轨道结构下隧道壁及地面的振动响应。
随之减振道床支承刚度的变化，分析道床的自振频率对减振效果的影响。
计算表明：列车引起的地面振动主频在40 Hz附近；减振道床的自振频率对减振效果有较大影响；钢弹簧浮置板道床减振效果明显优于弹性支承块道床。
%Taking the part of subway line 1 in Nanchang Bayi square area as the engineering object, the three-dimensional finite element model of a rail-tunnel-ground system is constructed and its dynamic responses are calculated. Three kinds of track bed models, monolithic track bed, elastically supported block track bedand steel-spring floating-slab track bed, are constructed. Taking vibration acceleration, one-third octave vibration acceleration level and Z vibration level as evaluation indexes, the vibration responses of the tunnel wall and ground surface with different track structures are compared. Considering the support stiffness change of the vibration-reduction track bed, the influence of natural frequency on the vibration reduction effect is analyzed. The study shows that the main frequency of ground surface vibration induced by train is near 40Hz. The natural frequency of vibration for the vibration-reduction track bed has a great influence on the vibration reduction effect. The vibration reduction effect of the steel-spring floating-slab track bed is much better than that of the elastically supported block track bed.【期刊名称】《噪声与振动控制》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】6页(P178-183)【关键词】振动与波;地铁;环境振动;轨道结构;减振效果【作者】涂勤明;雷晓燕;毛顺茂【作者单位】华东交通大学铁路环境振动与噪声教育部工程研究中心，南昌330013;华东交通大学铁路环境振动与噪声教育部工程研究中心，南昌 330013;南昌轨道交通集团有限公司，南昌 330038【正文语种】中文【中图分类】TB53;U211.3本文以南昌地铁1号线为工程背景，利用有限元软件ANSYS建立轨道—隧道—大地三维有限元模型，对地铁引起的环境振动及减振措施进行仿真分析。
数学物理方法傅里叶变换法
2
2a ik
再进行傅里叶逆变换
U (r, t) [ (k) 1 (eikat eikat )
2
(k)
1 2a
1 ik
(eikat
e ik at
)]eikr dk1dk2dk3
1
4a
(r)[
a
4
2
(eikat
eikat )eik(rr)dk1dk2dk3 ]dV
例6 泊松公式 求解三维无界空间中的波动问题
utt u |t
0
a23u 0
(r),Ut
|t
0
(r
)
15
解 做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题
U k 2a2U 0 U |t0 (k),U |t0 (k)
这个方程的解为
U (t, k) 1 (k)(eikat eikat ) 1 1 (k)(eikat eikat )
进行傅里叶逆变换
u(x,t) 1
2
t 0
f
(
,
)ek 2a2
(t
e) ik
dd
eikxdk
交换积分次序可得：
u(x,t)
t 0
f ( , )
1
2
e
k
2a
2
(t
)eik
(
x
13
第一个积分中令 z (x ) / 2a t , dz d / 2a t
第二个积分中令 z ( x) / 2a t , dz d / 2a t
轨道交通动态杂散电流干扰及傅里叶分析
轨道交通动态杂散电流干扰及傅里叶分析周宇;秦朝葵;陈志光【摘要】对轨道交通动态杂散电流产生机理和特点进行分析,针对杂散电流动态特性及现场测试的干扰因素,引入傅里叶分析对数据进行处理.对上海某段与轨道交通平行敷设的燃气管道进行管地电位测试,利用傅里叶变换对数据进行频谱分析和滤波处理.所测管道受到来自轨道交通运行和50 Hz交流电的杂散电流干扰,轨道交通运行是主要干扰源,管地电位波动与轨道交通运行具有一致性.分析结果表明了傅里叶分析对城市动态杂散电流干扰数据处理的有效性.【期刊名称】《煤气与热力》【年(卷),期】2013(033)002【总页数】5页(P28-32)【关键词】轨道交通;杂散电流;傅里叶分析;埋地燃气管道【作者】周宇;秦朝葵;陈志光【作者单位】同济大学机械与能源工程学院,上海201804;同济大学机械与能源工程学院,上海201804;同济大学机械与能源工程学院,上海201804【正文语种】中文【中图分类】TU9961 概述轨道交通的运行会产生杂散电流，杂散电流对埋地燃气管道、轨道交通系统内的钢轨、盾构体结构钢筋会产生严重的腐蚀作用。
随着我国轨道交通建设的快速发展，杂散电流带来的腐蚀问题越来越引起关注［1－4］。
受系统多机车、多状态运行特性的影响，城市轨道交通杂散电流的方向、大小处于动态变化之中，针对其动态特性，现有杂散电流监测多采用具有一定频率的自动监测系统，但现场测试中存在诸多干扰影响，使测试数据中含有大量的背景干扰信号，给杂散电流判定及规律分析带来困难。
本文对轨道交通动态杂散电流特点进行分析，采用傅里叶变换对现场测试的高频管地电位数据进行频谱分析和滤波处理，对管道杂散电流干扰及其变化规律进行分析。
2 轨道交通动态杂散电流城市轨道交通一般包括城市地铁、轻轨列车、有轨电车等，多采用直流1500/750 V驱动，走行轨回流，系统供电回路与杂散电流的产生见图1。
变电站将交流电变换为直流电，经接触网向机车供电，电流由钢轨及与之相连的导线返回变电站。