数学文参考答案.docx

高中数学学习材料

唐玲出品

2016

年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(文科)

一、选择题(每小题5分，共40分) DBAB CADC

二、填空题(多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 9．3

1

-

, (-1,1) ； 10. 22, -1 ; 11. 6, 2220+; 12. 2 , [-1,5] ; 13.

3; 14. [-2,2] ; 15. 2 .

三、解答题(14+15+15+15+15=74分）

16.解：(Ⅰ) ∵2

7cos cos =-A b B a ，根据余弦定理得，27

22222222=-+⋅--+⋅bc a c b b ac b c a a ，

∴ c b a 72222=-，又∵ 2=c ，∴ 722=-b a ，

∴ 4

3

2cos 222-=-+=c a c b A b . 7分

(Ⅱ) 由2

7cos cos =

-A b B a 及43cos -=A b ，得411

cos =B a .

又∵ 4=a ，∴ 16

11

cos =B ，∴ 16153cos 1sin 2=-=B B ，

∴ 154

3

sin 21==

∆B ac S ABC . 14分

17. 解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0）． 由题意，得⎩⎨

⎧++=+=+)

23)(1()2(22)1(22

d d q q

d ，解得d ＝q ＝3． ∴23-=n a n ，1

32-⋅=n n b ． 7分

（Ⅱ）23223-⋅=-⋅=n

n n b c ．

∴n n c c c S +++= 21n n

2)333(221-+++= 3231

--=+n n ． 11分

∴133

333241122+=--=++++n n n n n n S n S ．∴t n n +⨯<+3213恒成立，即max )13(+->n t ．

故2->t ． 15分

18. 解：（I ）如图取BD 的中点F ，连,EF AF ，

∵E 为BC 中点，F 为BD 中点，∴//FE DC . B D D C ⊥又∴BD FE ⊥. ∵,AB AD = ∴BD AF ⊥ 又AF

FE F =，,AF FE AFE ⊂面

∴BD AFE ⊥面 4分 ∵AE AFE ⊂面，∴AE BD ⊥ 6分 （II ）由（I ）知BD FE ⊥,BD AF ⊥ A F E A B D C ∴∠

--即为二面角的平面角。 60AFE ︒∴∠= 8分

2AB AD ==

,2DB =

ABD ∆∴为等腰直角三角形，1

12

AF BD ==故，112

2

FE DC ==又

222113

2cos 121cos60424

AE AF FE AF FE AFE ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=

(第18题)

A

B

C D

E

F

G

3

2

AE =

即2221AE FE AF AE FE ∴+==∴⊥ 10分 又由(1)知BD AE ⊥,,BD

FE F BD BDC FE BDC =⊂⊂且面面

BDC AE 平面⊥∴ CD AE ⊥∴

取CD 的中点G ，连AG EG ，由题意知CD ⊥EG ，故⊥CD 面AEG ，

∴面⊥ACD 面AEG ，从而EAG ∠就是所求的线面角 12分

在 AEG Rt ∆中， 12

1

==

BD EG ，23=AE ，27=∴AG 7

7

2s i n

==∠AG EG EAG 15分

19．解：（Ⅰ）设直线AB ：my x +=4，()()2211,,,y x B y x A ，则

p y y p p m y y px

y my x 8082242122-=⇒=--⇒⎩⎨⎧=+=()1642

2

2121==∴p y y x x 由208162121=⇒=-=+⇒⊥p p y y x x OB OA

x y 42=∴ 6分

（Ⅱ）BPQ APQ ∠=∠0022

11=-+-⇒

=+⇒t

x y t x y k k PB PA ()()0404

4

212122

2

2

11=+-⇒=-+

-⇒

y y t y y t y y t y y 恒成立

4416421-=⇒=-⇒=∴t t t y y 11分

由（Ⅰ）有m y y y y 4,

162121=+-=

()416442

1

22

122121+=-+=-=

∴∆m y y y y y y PQ S PAB

0=∴m 时，PAB ∆面积的最小值为32. 15分

20．解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥-+-=1

,441

,44)(2

2

x x x x x x x f ，结合函数图象可得：

单调递增区间为：]2,1[),2,(--∞，递减区间为：),2(),1,2[+∞-，

8)2()(max =-=f x f . 6分

（Ⅱ）21222)(22+≤-≤-⇔≤x x a x x f

当1=x 时，不等式恒成立，R a ∈ 8分

当1≠x 时，则等价于1

2

21222-+≤

≤--x x a x x 恒成立 令⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧<≤-+-+--≤

<+-+-=-+=12),2131(2

31,213112)(2x x x x x x x x x g ，

,231≤

⎫

⎢⎣⎡+∞∈+-+

-,2172131x x ； ,12<≤-x 时[)

+∞-∈⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+

--,2322131x x ； 232)(min -=∴x g 11分

令⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧

<≤-+----≤

<+---=--=12),2111(2

31,211112)(2x x x x x x x x x h

,231≤

⎛

∞-∈+--

-21,2111x x ； ,12<≤-x 时⎥⎦⎤ ⎝

⎛

∞-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+--

--32,2111x x ；