高中数学选修1-1教学设计-双曲线及其标准方程
人教版高中数学选修1-1第二章双曲线的定义与标准方程
上面 两条合起来叫做双曲线
人教版高中数学选修1-1第二章双 曲线的定义与标准方程
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
人教版高中数学选修1-1第二章双 曲线的定义与标准方程
1．已知双曲线的一个焦点坐标为( 6，0)，且经过点(－5,2)，
则双曲线的标准方程为
()
A.x52－y2＝1
B.y52－x2＝1
C.2x52 －y2＝1
D.x42－y22＝1
解析：依题意可设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5) 3.a=4,过点(1, 4 1 0 )
3
人教版高中数学选修1-1第二章双 曲线的定义与标准方程
例2:如果方程 x2 y2 1 表示双曲
2m m1
线，求m的取值范围.
解: 由 (2m )(m 1)0得 m2或 m1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
a>b>0，a2=b2+c2 a>0，b>0，但a不一
人教新课标版数学高二B版选修1-1学案 双曲线及其标准方程
§2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一双曲线的定义观察图形，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案||MF1|－|MF2||＝常数(常数|F1F|或|F2F|)且0＜常数<|F1F2|.思考2若||MF1|－|MF2||＝|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？答案以F1或F2为端点的两条射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？答案双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．思考2如图，类比椭圆中a，b，c的意义，对于双曲线，你能在y轴上找一点B，使|OB|＝b吗？答案 以双曲线与x 轴的交点A 为圆心，以线段OF 2为半径画圆交y 轴于点B .梳理焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c ，c 2＝a 2＋b 2(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( × )(3)在双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( × )类型一 求双曲线的标准方程 例1 求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5，且焦点在坐标轴上． 考点 求双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)方法一 椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.方法二 由椭圆方程x 216＋y 225＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为双曲线过点(－2，10)，所以1025－λ－4λ－16＝1， 解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.(2)因为双曲线经过点M (0,12)，所以M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，所以c ＝13，所以b 2＝c 2－a 2＝25. 所以双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 因为点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116，n ＝19.故所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2＜k ＜a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1 根据条件求双曲线的标准方程． (1)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上； (2)经过点P (4，－2)和点Q (26，22)；(3)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)．考点 求双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2. 由题意知25a 2－4b 2＝1，∴25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍)． ∴b 2＝1.∴双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. (2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵点P (4，－2)和点Q (26，22)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝1，24m ＋8n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝18，n ＝－14，∴双曲线的方程为x 28－y 24＝1.(3)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a 2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.类型二 双曲线的定义及应用例2 (1)如图，已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，点A ，B 均在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为双曲线的左焦点，则△ABF 1的周长为_______．(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 (1)4a ＋2m (2)163解析 (1)由双曲线的定义，知|AF 1|－|AF 2|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a . 又|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB | ＝4a ＋2|AB |＝4a ＋2m .(2)由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 引申探究本例(2)中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积． 解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36.①在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝100.② 将②代入①得|PF 1|·|PF 2|＝32， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝16.反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式12PF F S＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积． (2)方法二：利用公式12PF F S＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积． 特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系．跟踪训练2 已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形解 设双曲线的另一个焦点为F 2，连接PF 2，ON 是三角形PF 1F 2的中位线， 所以|ON |＝12|PF 2|，因为||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，|PF 1|＝10， 所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9.类型三 与双曲线有关的轨迹问题例3 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________． 考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹方程 答案x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析 如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且2<6＝|C1C2|.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．跟踪训练3在△ABC中，已知A(－22，0)，B(22，0)，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，求顶点C的轨迹方程．考点双曲线的定义题点由双曲线的定义确定轨迹方程解由正弦定理，得sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R(R为△ABC的外接圆半径)．因为2sin A＋sin C＝2sin B，所以2a＋c＝2b，即b－a＝c2，从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝22<|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．因为a＝2，c＝22，所以b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x>2).1．到两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹 答案 D解析 由题意知|F 1F 2|＝||MF 1|－|MF 2||＝6， 所以点M 的轨迹是两条射线． 2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．83 C ．24D ．48考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形， 则12PF F S＝12|PF 1|×|PF 2|＝24. 3．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1考点 圆锥曲线的综合应用 题点 椭圆与双曲线的综合应用 答案 D解析 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D.4．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案A解析由题意知，k＋3>0且k＋2<0，∴－3<k<－2.5．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．考点求双曲线的标准方程题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为x29－y27＝1.(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上，因为点A(－5,6)在双曲线上，所以2a＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.所以所求双曲线的标准方程为y216－x220＝1.1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．一、选择题1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹方程 答案 D解析 由题意知动点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，b ＝4，故选D. 2．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k －2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 A解析 当k >5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k >5或k <2.故选A. 3．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( )A ．1B ．－1C ．－105 D.105考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 B解析 由焦点坐标知，焦点在y 轴上，∴m <0， ∴双曲线的标准方程为y 2－3m －x 2－m＝1，∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.4．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2s －y 2t ＝1(s ，t >0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( ) A ．m －s B.12(m －s ) C ．m 2－s 2 D.m －s考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 A解析 如图所示，设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2m ，x －y ＝2s ， ∴x ＝m ＋s ，y ＝m －s ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝xy ＝m －s .5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 考点 双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 B解析 据已知条件得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝5.①∵线段PF 1的中点坐标为(0,2)，∴点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程， 得5a 2－16b2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝4， ∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 6．已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x ＝0 B.x 22－y 214＝1(x ≥2) C.x 22－y 214＝1 D.x 22－y 214＝1或x ＝0 答案 D考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹方程解析 动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况： ①动圆M 与两圆都外切； ②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切； ④动圆M 与圆C 1内切，与圆C 2外切．在①②情况下，显然动圆圆心M 的轨迹方程是x ＝0；在③的情况下，如图，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2， 故得|MC 1|－|MC 2|＝22； 在④的情况下，同理， 得|MC 2|－|MC 1|＝2 2.由③④得||MC 1|－|MC 2||＝22<8＝|C 1C 2|，根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4，0)为焦点的双曲线， 且a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝14，所以此时动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1.故选D.7．设F 1，F 2分别是双曲线x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值为( ) A ．0 B ．1 C.12D ．2考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 A解析 不妨设P (x P ，y P )(x P ，y P ＞0)，由12×2c ×y P ＝1，得y P ＝55，∴P ⎝⎛⎭⎫2305，55， ∴PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－5－2305，－55，PF 2→＝⎝⎛⎭⎫5－2305，－55， ∴PF 1→·PF 2→＝0. 二、填空题8．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点F 1(5,0)的距离为15，则点P 到点F 2(－5,0)的距离为________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 7或23解析 由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，而由双曲线方程知a ＝4，则点P 到F 2的距离为23或7.9．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为____________． 考点 双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 x 216－y 29＝1解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)， 则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则32a 2－9b2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B ＝________. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 56解析 由双曲线的定义可得a －c ＝10， 由正弦定理得sin A －sin C sin B ＝a －c b ＝1012＝56.11．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出下列判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆； ②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线； ③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4. 其中正确的是________．(填序号) 考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 ②③④解析 ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若曲线C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4；③正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0，∴1<t <52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0，t －1>0，∴t >4.三、解答题12.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的曲线方程．考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹方程 解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)， 且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914.∴双曲线方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. 13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 点在双曲线的右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23， 又|MF 1|＋|MF 2|＝63，解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25， 因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长， 而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形． 四、探究与拓展14．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m 的取值范围为________．考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 {－2,7}解析 (1)当焦点在x 轴上时，有m ＞5， 则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上时，有m ＜0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9， ∴m ＝－2.综上所述，m ＝7或m ＝－2.15．已知△OFQ 的面积为26，且OF →·FQ →＝m ，其中O 为坐标原点． (1)设6＜m ＜46，求OF →与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF →|＝c ，m ＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2，当|OQ →|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．考点 双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)因为⎩⎨⎧12|OF→|·|FQ →|sin (π－θ)＝26，|OF →|·|FQ →|cos θ＝m ，所以tan θ＝46m.又6＜m ＜46，所以1＜tan θ＜4. 即tan θ的取值范围为(1,4)．(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，Q (x 1，y 1)，则FQ →＝(x 1－c ，y 1)，所以S △OFQ ＝12|OF →|·|y 1|＝26，则y 1＝±46c .又OF →·FQ →＝m ，即(c,0)·(x 1－c ，y 1)＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2，解得x 1＝6c4， 所以|OQ →|＝x 21＋y 21＝3c 28＋96c 2≥12＝23，当且仅当c ＝4时取等号，|OQ →|最小， 这时点Q 的坐标为(6，6)或(6，－6)． 因为⎩⎪⎨⎪⎧6a 2－6b 2＝1，a 2＋b 2＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。
双曲线及其标准方程教学设计
《双曲线的标准方程》教学设计
涟水中学孙志怀
教材分析：
本节内容选自《高中数学选修1-1》的第二章2.3.1节，学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。
如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
教学目标：
1、知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；
2、过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
3、情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
教学重难点：
依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点为理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。
难点为双曲线标准方程的推导。
教法：
启发探究式的教学方式，重点突出以下两点：
1、以类比思维作为教学的主线
2、以自主探究作为学生的学习方式
教学过程：
板书设计。
2.3.1双曲线及其标准方程 教案(高中数学选修1-1北师大版)
§3双曲线3．1双曲线及其标准方程●三维目标1．知识与技能：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，了解双曲线的实际背景和在解决实际问题中的作用．2．过程与方法：通过类比椭圆的定义和标准方程的推导过程，得出双曲线的定义和标准方程，体会椭圆、双曲线的定义、标准方程的区别和联系，培养分析、归纳、推导能力．3．情感、态度与价值观：通过探索双曲线的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养观察能力和创新意识．●重点难点重点：双曲线的定义．难点：双曲线标准方程推导过程中的化简．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生类比椭圆的定义及标准方程，让学生学习双曲线的对应知识．在标准方程的化简时，与化简椭圆方程联系，运用化简椭圆方程的经验，从而化解难点．●教学建议问题：(1)我们已经学习过椭圆．椭圆是平面上一个动点到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，当然这个定长要大于这两个定点之间的距离．那么，平面上到两个定点距离的差是一个定长的点的轨迹是什么呢？设计意图：数学教学应当从问题开始．首先设疑，提出新的问题，打破知识结构的平衡，引发学习兴趣．师生活动：学生动手实验参考课本图2－18体会画图过程．问题：(2)在运动中，这条曲线上的点所满足的几何条件是什么？设计意图：弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一．师生活动：分析实验中的“变”与“不变”的条件．在拉链未拉开时，|MF1|＝|MF2|，拉开后，|FF2|是定长，|MF1|，|MF2|都在变化，但是它们的差|MF1|－|MF2|不变．问题：(3)应该如何描述动点M所满足的几何条件？设计意图：整理实验，归纳抽象的数学问题．师生活动：双曲线是平面上一个动点到两个定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹．●教学流程创设问题情境，提出问题 学生通过回答问题，掌握双曲线的定义及标准方程 通过例1及变式训练，使学生掌握待定系数法求双曲线标准方程 通过例2及变式训练，使学生掌握双曲线定义求轨迹方程 通过例3及互动探究，使学生掌握双曲线中焦点三角形问题 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识问题：2011年3月16日，中国海军第7批、第8批护航编队“温州号”导弹护卫舰，“马鞍山”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰哨兵相距1 600 m的“温州号”舰，3秒后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“马鞍山”舰和“温州号”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．(1)快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？(2)我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快舰到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？【提示】(1)|MB|－|MA|＝340×3＝1 020 m；(2)始终满足|MB|－|MA|＝1 020 m.双曲线的定义平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．上述问题中，设|AB|＝1 600 ＝2c，|MB|－|MA|＝1 020＝2a，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则点M的轨迹方程是什么？【提示】(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．(2)已知双曲线通过M(1，1)，N(－2，5)两点．【思路探究】根据一定条件求双曲线的标准方程，通常用待定系数法，但要注意根据双曲线焦点的位置设方程．另外，如果知道了双曲线的两个焦点和双曲线上任一点，也可利用双曲线的定义求解．【自主解答】(1)法一由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0，3)．设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，将点A(4，－5)代入双曲线的方程得25 a2－16b2＝1，又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二2a＝||AF1|－|AF2||＝|20－80|＝25，∴a＝5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.∴标准方程为y25－x24＝1.(2)法一若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．。
人教A版高中数学选修1-1第二章2.2.2双曲线及其标准方程公开课教学设计
§2.2.1双曲线及其标准方程海南华侨中学王芳文1．教学背景1.1 学生特征分析我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。
知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。
但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。
把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。
1.2教师特点分析自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。
不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。
1.3 学习内容分析1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。
如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。
正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。
而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。
在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。
2、例题分析：温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。
探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；2.在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上；3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，画出一条曲线.点M在运动过程中满足什么几何条件？(如图（A）、（B）)从直观上让学生认识双曲线,分析双曲线上动点所满足的几何关系,类比椭圆定义，帮助学生归纳双曲线的定义。
人教课标版高中数学选修1-1：《双曲线及其标准方程(第1课时)》教案-新版
2.2.1双曲线及标准方程（第1课时）一、教学目标 1.核心素养发展数学抽象、直观想象素养,培养解析法解题能力,提高数学运算素养. 2.学习目标（1）了解双曲线的定义、图象、标准方程,会求双曲线的标准方程.（2）进一步理解坐标法的应用,并在研究双曲线的过程中注意与椭圆比较,明确两者的联系与区别. 3.学习重点双曲线的定义及其标准方程. 4.学习难点双曲线与椭圆的联系与比较. 二、教学设计 （一）课前预习 1.预习任务任务1 预习教材4548P P -,双曲线的定义应该注意什么?双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有那些区别?双曲线的,,a b c 与椭圆的,,a b c 有何区别? 任务2 完成48P 相应练习题 2.预习自测1.已知两定点1(5,0)F -、2(5,0)F ,动点P 满足122PF PF a -=,则当3a =和5时,P 点的轨迹为（ ） A.双曲线与一条直线B.双曲线与一条射线C.双曲线一支和一条直线D.双曲线一支和一条射线 答案:D解析:考查双曲线定义2. 已知点(,)P x y 的坐标满足2222(1)(1)(3)(3)4x y x y -+--+++=±,则动点P 的轨迹为（ ）A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.以上都不对 答案:B解析:考查双曲线定义3. 已知两定点1(5,0)F -、2(5,0)F ,求与两定点1F 、2F 的距离差的绝对值等于6的点的轨迹方程______________.答案:221916x y -= 解析:由题意可知,所求点的轨迹是双曲线,其方程可设为22221x y a b -=,这里26a =,210c =,∴3a =,5c =,由此得4b =.从而求得双曲线的方程为221916x y -=.（二）课堂设计 1.知识回顾(1)已知点()111222,,(,)P x y P x y 则()()22121212PP x x y y =-+-(2)我们预习本课的双曲线的标准方程得两种形式是怎样的? 2.问题探究问题探究一 双曲线的定义●活动一 什么是双曲线?与之相关的概念有哪些?在平面内到两个定点21,F F 距离之差的绝对值等于定值a 2(大于0且小于||21F F )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.●活动二 12F F 与a 之间有何大小关系?去掉定义中“绝对值”三个字,对结论有影响吗?在双曲线的定义中,条件||2021F F a <<不应忽视,若||221F F a =,则动点的轨迹是两条射线;若｜21|2F F a >,则动点的轨迹不存在.双曲线定义中应注意关键词“绝对值”,若去掉定义中“绝对值”三个字,动点轨迹只能是双曲线一支. 问题探究二 双曲线的标准方程●活动一 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>其中a 、b 、c 的关系为222c a b =+●活动二 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系. 椭圆双曲线定义a MF MF 2||||21=+定义a MF MF 2||||21±=-0a c >>,222(0)a c b b ∴-=>0a c <<Q ,222(0)c a b b ∴-=>2222222211(0)x y y xa b a b a b 或+=+=>> 2222222211x y y x a b a b 或-=-= (a b a ,0,0>>不一定大于b )★▲问题探究三 确定双曲线的标准方程,掌握运用待定系数法,定义法求双曲线的标准方程例1.过双曲线22144x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于,M N 两点,2F 为其右焦点,则22MF NF MN +-=________. 【知识点:双曲线的定义及标准方程】分析: 由双曲线定义及条件知212124MF NF NF NF a -=-==. 详解: 根据双曲线的定义,有22MF NF MN +-2221=()()=2248MF NF NF NF a a a -+-+==例2.（1）双曲线的一个焦点坐标是），（60-,经过点)6,5(-A , 求双曲线的标准方程.【知识点:双曲线的定义及标准方程】(1) 详解一:由已知得,6=c ,且焦点在y 轴上,则另一焦点坐标是()0,6.因为点)6,5(-A 在双曲线上,所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数a 2,即2222222222|(5)(66)(5)(66)||135|8,4,6420.a abc a =-++--+-=-=∴==-=-=因此,所求的双曲线标准方程是221.1620x y -= 详解二:由焦点坐标知,36,6c 22=+∴=b a∴双曲线方程为22221.36y x a a -=- ∵双曲线过点)6,5(-A ,222236251,16,20.36a b a a∴-=∴==- 双曲线方程为221.1620y x -= （2）已知双曲线通过(1,1)M 、(2,5)N -两点,求双曲线的标准方程. 【知识点:双曲线的定义及标准方程】详解一:若焦点在x 轴上,则设双曲线的标准方程为22221x y a b-=.∵(1,1)M 、(2,5)N -在双曲线上,∴222222111(2)51a b a b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,解得22787a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 若焦点在y 轴上,设双曲线的标准方程为22221y x a b -=.同理有2222221115(2)1a b a b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,解得22778a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩,舍去. 故所求双曲线的标准方程为221778x y -=.详解二:设所求双曲线的方程为()2210Ax By AB +=<. 将点(1,1)M 、(2,5)N -代入上述方程,得14251A B A B +=⎧⎨+=⎩,解得:8717A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 故所求双曲线的标准方程为221778x y -=. 点拔:求双曲线的标准方程时,可以根据其焦点位置设出标准方程的形式,然后用待定系数法求出a ,b 的值;若双曲线的焦点位置难以确定,可设出双曲线方程的一般式()2210Ax By AB +=<,利用条件,通过待定系数法求出系数的值,从而可写出双曲线的标准方程.例3.求与双曲线221164x y -=共焦点,且过点(32,2)的双曲线方程 【知识点:双曲线的定义及标准方程】详解:由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为221164x y k k-=-+. 由于点(32,2)在所求的双曲线上,从而有1841164k k-=-+. 整理得210560k k +-=,∴4k =或14k =-. 又160,40k k ->+>,∴416k -<<.从而仅有4k =.故所求双曲线的方程为221128x y -=. 点拔:与22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为()2222221x y b k a a k b k -=-<<-+,然后根据条件确定待定系数k 即可. 3.课堂总结【知识梳理】（1）平面内点M 到两定点12,F F 的距离之差的绝对值为常数,即122MF MF a -=当122a F F <时,点M 的轨迹是双曲线; 当122=a F F 时,点M 的轨迹是两条射线; 当122a F F >时,点M 的轨迹不存在（2）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,()222210,0y x a b a b -=>>的相同点为它们的形状、大小都相同,都有222c a b =+,不同点为它们在坐标系中位置不同,焦点坐标也不相同。
高中数学人教A版(选修1-1)课时同步教案：2.2.1双曲线及标准方程
教学目标：1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程.2. 使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.3. 通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.教学重点与难点双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法教学用具：CAI课件、演示教具课时安排：一课时教学过程：一、课题导入师：椭圆的定义是什么?(学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来.)师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)（2a>｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验：（同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题）师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题）二、定义探究师：我们知道满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？（引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：｜PF1｜-｜PF2｜=2a或｜PF2｜-｜PF1｜=2a）师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.(播放双曲线flash生成动画，验证几何条件)师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果｜PF1｜＞｜PF2｜,则得到曲线的右支，如果｜PF2｜＞｜PF1｜则得到曲线的左支，能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？三、方程推导师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？（学生口述教师板书椭圆的标准方程）师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x 、y),｜F 1F 2｜=2c ，并设F 1(-c,0),F 2(c,0).由两点间距离公式，得｜PF 1｜=22)(y c x ++,｜PF 2｜=22)(y c x +-由双曲线定义，得｜PF 1｜-｜PF 2｜=±2a 即22)(y c x ++-22)(y c x +-=±2a化简方程22)(y c x ++=±2a+22)(y c x +-两边平方，得(x+c)2+y 2=4a 2±4a 22)(y c x +-+(x-c)2+y 2化简得：cx-a 2=±22)(y c x +-两边再平方，整理得(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2 (c 2-a 2)(为使方程简化，更为对称和谐起见)由2c-2a ＞0，即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0设c 2-a 2=b 2 (b ＞0)，代入上式，得b 2x 2-a 2y 2=a 2b2也就是x 2/a 2-y 2/b 2=1师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中a ＞0，b ＞0的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有c 2=a 2+b 2，区别其与椭圆中a 2=b 2+c 2的不同之处.（师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”）四、巩固内化例：已知两定点())0,5(,0,521F F -，求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。
高中数学人教B版选修1-1学案：2.2.1 双曲线及其标准方程
2.2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程[学习目标]1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．[知识链接]取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？答案如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．[预习导引]1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程焦距|F1F2|＝2c，c＝a＋b要点一求双曲线的标准方程例1根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解(1)方法一若焦点在x 轴上， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得{ a 2＝－16，b 2＝－9 (舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得{ a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116，n ＝19. ∴所求双曲线的标准方程为y 29－x216＝1.(2)方法一依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得{ a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.方法二∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可分焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．跟踪演练1(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(94，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解(1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得{ a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.(2)方法一由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．又c ＝16＋4＝2 5.双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b2＝1.∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.法二设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1 (－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4，∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.要点二双曲线定义的应用例2如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．解双曲线的标准方程为x 29－y216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ， 则|16－x |＝6， 解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.又|F 1F 2|＝2c ＝10， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0， 由∠F 1PF 2是△PF 1F 2的内角， ∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．跟踪演练2已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 要点三与双曲线有关的轨迹问题例3如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解以AB 边所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．规律方法求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪演练3如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)， 半径r 1＝1；圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32).1．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是()A ．±5B ．±3C ．5D ．9 答案B解析由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是() A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 答案C解析将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为y 2k 2－1－x 21＋k ＝1.∵k >1，∴k 2－1>0,1＋k >0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．3．过点(1,1)且ba＝2的双曲线的标准方程是()A.x 212－y 2＝1B.y212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1答案D解析由于b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线方程为x212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 212－x 2＝1.4．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是() A.x 216－y 29＝1(x ≤－4) B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案D解析根据双曲线的定义可得．1.双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线，当2a ＝0时表示线段F 1F 2的垂直平方线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论后再用待定系数法求解或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解.。
人教A版高中数学选修1 1第二章双曲线及其标准方程教学设计
人教A版高中数学选修1-1第二章《双曲线及其标准方程》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。
2、过程与方法目标：本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程有一个比较深刻的认识。
3、情感、态度与价值观目标：在类比研究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣、培养学生认真参与积极交流的主题意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。
通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。
二、重点
双曲线的定义及其标准方程和简单应用。
三、难点
对双曲线定义的理解，推导双曲线的标准方程。
四、教学方法
从学生的认知规律出发，让学生自主学习，运用探究性教学法、启发式教学法等充分调动学生的积极性，通过教师的组织，让学生对双曲线及其标准方程加以理解与记忆。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用双曲线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程3. 双曲线方程的求法4. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其求法。
2. 教学难点：双曲线方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质与标准方程。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：简要介绍双曲线的起源和发展，激发学生的学习兴趣。
2. 自主学习：让学生通过阅读教材，了解双曲线的定义与性质。
3. 课堂讲解：讲解双曲线的标准方程及其求法，引导学生掌握关键步骤。
4. 例题分析：分析典型例题，让学生学会运用双曲线方程解决实际问题。
5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用。
7. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固双曲线及其标准方程的知识。
六、教学评价：1. 评价学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 评价学生是否能熟练掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 评价学生是否能运用双曲线方程解决实际问题。
七、教学资源：1. 教材：双曲线及其标准方程相关章节。
2. 课件：双曲线图像、性质和标准方程的示例。
3. 练习题：涵盖双曲线定义、性质、标准方程及应用的题目。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍双曲线定义与性质。
2. 第二课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。
3. 第三课时：例题分析与实际应用。
4. 第四课时：巩固练习与课堂小结。
九、教学反思：1. 反思教学方法是否有效，学生是否能积极参与。
2. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。
高中数学选修1-1教学设计-双曲线及其标准方程
2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 双曲线的定义阅读教材P45，完成下列问题.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线.( )(3)到两定点F1(－3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是两条射线.( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P46～P47例1以上部分，完成下列问题.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c ，c 2＝a 2＋b 2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(2)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a >b .( )(3)双曲线x 2－y 23＝1的焦点在y 轴上.( )【答案】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]双曲线定义的应用(1)双曲线16－9＝1上一点A 到点(5,0)的距离为15，则点A 到点(－5,0)的距离为( )A.7B.23C.7或23D.5或25(2)如图221，双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，过点F 1作直线交双曲线的左支于点A ，B ，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为________.图221【自主解答】 (1)易知双曲线的焦点坐标分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，||AF 1|－|AF 2||＝8，所以|AF 1|＝7或23.(2)因为⎩⎨⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a .又因为|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ， 所以|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .所以△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m . 【答案】 (1)C (2)4a ＋2m双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的.定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|，包含|PF 1|－|PF 2|＝2a 和|PF 1|－|PF 2|＝－2a ，即要看到点离定点的距离的“远”与“近”.涉及双曲线上点到焦点的距离问题，或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的定义求解.[再练一题]1.已知圆M 1：(x ＋4)2＋y 2＝25，圆M 2：x 2＋(y －3)2＝1，一动圆P 与这两个圆都外切，试求动圆圆心P 的轨迹.【解】 设动圆的半径是R ，则由题意知⎩⎨⎧|PM 1|＝R ＋5，|PM 2|＝R ＋1，两式相减得|PM 1|－|PM 2|＝4＜|M 1M 2|＝5，所以动圆圆心P 的轨迹是以点M 1(－4,0)、M 2(0，3)为焦点的双曲线中靠近焦点M 2(0,3)的一支.根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上； (3)a ＝4，c ＝5. 【导学号：97792021】【精彩点拨】 本题主要考查用待定系数法求双曲线的标准方程，求解时注意先定位再定量.【自主解答】 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P ，Q 两点坐标代入可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝16， 所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. 法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0).∵P ，Q 两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. (2)法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0). 依题设有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6). ∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.(3)∵a ＝4，c ＝5， ∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， ∴所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1或y 216－x 29＝1.1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型并设出标准方程. (2)求出a 2，b 2的值.2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)来求解.[再练一题]2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上； (2)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4； (3)求经过点(3,0)，(－6，－3)的双曲线的标准方程.【解】 (1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0). 由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎨⎧a ＝25，25a 2－4b 2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1. (2)椭圆x 227＋y236＝1的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)或(－15，4).设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则⎩⎨⎧42a 2－152b 2＝1，a 2＋b 2＝32，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. (3)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴⎩⎨⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13.故所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.[探究共研型]探究 在解决双曲线的焦点三角形问题时，常与哪些知识点结论？ 【提示】 双曲线的定义，正余弦定理，勾股定理等.若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积.【精彩点拨】 双曲线方程――→双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ――→平方|PF 1|2＋|PF 2|2的值―――→余弦定理∠F 1PF 2＝90°―――→面积公式S △F 1PF 2【自主解答】 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，将此式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F 1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.1.本题在解题过程中运用了方程的思想，在解方程时，又运用了整体代换的思想.2.在解焦点三角形的有关问题时，一般利用两个关系式：(1)利用双曲线的定义可得|PF1|·|PF2|的关系式.(2)利用正余弦定理可得|PF1|，|PF2|的关系式，然后可以求解出|PF1|，|PF2|.但是，一般我们不直接求出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|等看成一个整体来处理.[再练一题]3.设双曲线x24－y29＝1，F1、F2是其两个焦点，点M在双曲线上.(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；(2)若∠F1MF2＝60°，求△F1MF2的面积.【导学号：97792022】【解】(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13，设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2).由双曲线定义得r1－r2＝2a＝4，两边平方得r21＋r22－2r1r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，即4S△F1MF2＝52－16，∴S△F1MF2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝60°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°，∴r 1r 2＝36，则S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 60°＝9 3.1.双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( ) A.(－7，0)，(7，0) B.(0，－7)，(0，7) C.(－5,0)，(5,0)D.(0，－5)，(0,5)【解析】 由双曲线的标准方程，知a ＝4，b ＝3，所以c ＝5.又由于焦点在x 轴上，故选C.【答案】 C 2.已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A.－1＜k ＜1B.k ＞0C.k ≥0D.k ＞1或k ＜－1【解析】 方程x21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则(1＋k )(1－k )＞0， ∴(k ＋1)(k －1)＜0， ∴－1＜k ＜1. 故选A. 【答案】 A3.设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.【解析】 由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x29＝1的焦点落在y 轴上，所以m＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.【答案】 164.若点P 到点(0，－3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 由题意并结合双曲线的定义，可知点P 的轨迹方程为双曲线的上支，且c ＝3,2a ＝2，则a ＝1，b 2＝9－1＝8，所以点P 的轨迹方程为y 2－x28＝1(y ≥1).【答案】 y 2－x 28＝1(y ≥1)5.求以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫5，94 的双曲线的标准方程.【导学号：97792023】【解】 因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0). 由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0 2－－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0 2＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝9， 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.。
221 双曲线及其标准方程 教案(人教A版选修1-1)
2.2 双曲线2．2.1双曲线及其标准方程(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解双曲线的定义并能独立推导标准方程．(2)会利用双曲线的定义标准方程解决简单的问题．2．过程与方法通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力．3．情感、态度与价值观通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题．●重点、难点重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程．难点：双曲线标准方程的推导．由于双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课用“启发探究”式的教学方式，重点突出以下两点：①以类比思维作为教学的主线；②以自主探究作为学生的学习方式，并结合多媒体辅助教学，进而实现重点、难点的突破．(教师用书独具)●教学建议在教法上，宜采用探究性教学法和启发式教学法．让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题．以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习．通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识．又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高学生动手动脑的能力和增强研究探索的综合素质．●教学流程给出拉链试验，引出问题：移动笔尖画出的曲线满足什么条件？⇒引导学生结合试验分析，得出曲线满足的条件，给出双曲线定义并探究特殊情形.⇒通过引导学生类比椭圆标准方程得出的方法，推导双曲线的标准方程.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解双曲线的标准方程，对比与椭圆方程的异同.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用待定系数法求双曲线的标准方程.⇒对比椭圆与双曲线定义的异同，完成例3及其变式训练，从而掌握双曲线定义的应用问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第29页)取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．【问题导思】双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？【提示】双曲线的一支.1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？【提示】能．(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系．(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得(x＋c)2＋y2－(x－c)2＋y2＝±2a.(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？【提示】双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．双曲线的标准方程(对应学生用书第29页)(2013·泰安高二检测)方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能是圆；②若1＜k ＜4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则k ＜1或k ＞4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜52.其中正确命题的序号是________．【思路探究】 方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示什么曲线？此时k 的取值范围是多少？【自主解答】 当4－k ＝k －1＞0时，即k ＝52时，曲线C 是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k ＜4且k ≠52时，曲线C 是椭圆，则②是假命题．根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题． 【答案】 ③④1．双曲线焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的系数为正；双曲线焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的系数为正．2．在曲线方程x 2m ＋y 2n ＝1中，若m ＝n ＞0，则曲线表示一个圆；若m ＞0，n ＞0，且m ≠n ，则曲线表示一个椭圆；若mn ＜0，则曲线表示双曲线．若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充要条件是(k －3)(k ＋3)＞0，即k ＜－3或k ＞3；当k ＞3时，一定有(k －3)(k ＋3)＞0，但反之不成立．∴k ＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．【答案】 A已知双曲线上两点P 1、P 2的坐标分别为(3，－42)、(94，5)，求双曲线的标准方程．【思路探究】 (1)当双曲线的焦点位置不确定时，应怎样求双曲线的方程？ (2)已知双曲线上两点的坐标，可将双曲线的方程设为怎样的形式，以便于计算？ 【自主解答】 法一 若双曲线的焦点在x 轴上， 设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．根据题意得⎩⎨⎧9a 2－32b 2＝1，8116a 2－25b 2＝1，该方程组无解；若双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．根据题意得⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得a 2＝16，b 2＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.法二 设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x 轴上； (2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0))；(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝5，c ＝3，焦点在y 轴上；(2)双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点．【解】 (1)由a ＝5，c ＝3得b 2＝c 2－a 2＝4. ∴所求双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为P 1、P 2在双曲线上，所以有⎩⎨⎧4m ＋45n4＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116，n ＝19.所以所求双曲线的方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.如图2－2－1所示，已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．图2－2－1(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积又是多少？【思路探究】 (1)求三角形的面积该联想到哪些方法？ (2)如何运用双曲线的定义解决问题？【自主解答】 (1)由双曲线方程知，a ＝2，b ＝3，c ＝13，设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1＞r 2)． 由双曲线定义知，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16， 即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16， 也即52－16＝4S △F 1MF 2， 求得S △F 1MF 2＝9. (2)若∠F 1MF 2＝120°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得，|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 120°， |F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2＝(2c )2，r 1r 2＝12， 求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 120°＝3 3.同理可求得若∠F 1MF 2＝60°，S △F 1MF 2＝9 3.双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的．定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|，包含|PF 1|－|PF 2|＝2a 和|PF 1|－|PF 2|＝－2a ，即要看到点离定点的距离的“远”与“近”．涉及双曲线上点到焦点的距离问题，或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的定义求解．常见题目类型为：(1)双曲线的焦点三角形问题； (2)判断点的轨迹或求轨迹方程．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. ∵|MA |＝|MB |，∴|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， ∴|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支， 则2a ＝2，a ＝1，c ＝3， ∴b 2＝c 2－a 2＝8.因此所求动点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＜0)．(对应学生用书第31页)记不清a 、b 、c 的关系致误双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝A ．1B ．－1 C.79 D ．－79【错解】 将双曲线化为标准方程为x 21k －y 28k ＝1，∵焦点在y 轴上，且c ＝3，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1k ，∴－8k －(－1k )＝－7k ＝32，∴k ＝－79.【答案】 D【错因分析】 双曲线中a 、b 、c 的关系不是a 2－b 2＝c 2.【防范措施】 要区别椭圆与双曲线中a 、b 、c 的关系．在椭圆中a 2－b 2＝c 2，在双曲线中a 2＋b 2＝c 2，二者一定不要混淆．【正解】 将双曲线化为标准方程为x 21k －y 28k ＝1，∵焦点在y 轴上，且c ＝3，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1k .∴－8k －1k ＝9，∴k ＝－1.【答案】 B1．理解双曲线的定义应特别注意以下两点： (1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支． (2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线．2．求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a 2，b 2的大小.(对应学生用书第31页)1．到两定点F 1(－3,0)、F 2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线D ．两条射线【解析】 由题意|F 1F 2|＝|||MF 1|－|MF 2|＝6. ∴点M 的轨迹是两条射线． 【答案】 D2．双曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1的焦距为( )A ．16B ．8C ．4D ．234 【解析】 ∵25－k ＞9－k 且25－k ＞0,9－k ＜0，即a 2＝25－k ，b 2＝k －9， ∴c 2＝16，c ＝4. 焦距为2c ＝8. 【答案】 B3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D.()3，0【解析】 将双曲线方程化为标准形式x 2－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62， ∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.【答案】 C4．双曲线的一个焦点为(0，－6)，且经过点(－5,6)，求此双曲线的标准方程． 【解】 由题意知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有： 2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝8，∴a ＝4，∴b 2＝62－42＝20，∴双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.一、选择题1．(2013·台州高二检测)设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【解析】 由题意动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，b ＝4，故应选D.【答案】 D2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 【答案】 D3．(2013·泰安高二检测)已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为左焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m 【解析】 根据双曲线的定义：|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，而三角形的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋2|AB |＝4a ＋2m .【答案】 B4．已知平面内有一线段AB ，其长度为4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|PO |的最小值是( )A ．1 B.32C ．2D ．4【解析】 ∵|P A |－|PB |＝3＜|AB |＝4， ∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的一支上， 其中2a ＝3,2c ＝4， ∴|PO |min ＝a ＝32.【答案】 B5．(2013·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1|·|MF 2|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1.【答案】 A 二、填空题6．设m 为常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.【解析】 由题意c ＝5，且m ＋9＝25，∴m ＝16. 【答案】 167．(2013·莱芜高二检测)若方程x 2k ＋2－y 25－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．【解析】 方程表示双曲线需满足(5－k )(k ＋2)＞0，解得：－2＜k ＜5，即k 的取值范围为(－2,5)．【答案】 (－2,5)8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为______．【解析】 设右焦点为F ′，由题意知F ′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|P A |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|P A |最小，只需|PF ′|＋|P A |最小即可，即需满足P 、F ′、A 三点共线，最小值为4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝9.【答案】 9 三、解答题9．求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点，并且经过点(2，－3)的双曲线的标准方程．【解】 由x 29＋y 24＝1知焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．依题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴a 2＋b 2＝5，①又点(2，－3)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴4a 2－3b2＝1.② 联立①②得a 2＝2，b 2＝3， 因此所求双曲线的方程为x 22－y 23＝1.10．(2013·杭州高二检测)已知A (－7,0)，B (7,0)，C (2，－12)，椭圆过A 、B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．【解】 设椭圆的另一个焦点为P (x ，y )， 则由题意知|AC |＋|AP |＝|BC |＋|BP |， ∴|BP |－|AP |＝|AC |－|BC | ＝2＜|AB |＝14，所以点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c ＝7，a ＝1， ∴b 2＝c 2－a 2＝48.∴所求的轨迹方程为x 2－y 248＝1.11．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6 km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B 、C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1 km)．A 若炮击P 地，求炮击的方位角．【解】 以AB 的中点为原点，BA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |－|P A |＝4，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是 x 24－y 25＝1(x ≥2)．① 又∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，该直线的方程为x －3y ＋7＝0.② 将②代入①得11x 2－56x －256＝0，得x ＝8或x ＝－3211(舍)．于是可得P (8,53)．设α为P A 所在直线的倾斜角，又k PA ＝tan α＝3，∴α＝60°，故点P 在点A 的北偏东30°方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30°.(教师用书独具)已知B (－5,0)，C (5,0)是△ABC 的两个顶点，且sin B －sin C ＝35sin A ，求顶点A 的轨迹方程．【解】 ∵sin B －sin C ＝35sin A ，∴由正弦定理得|AC |－|AB |＝35|BC |＝35×10＝6.又∵|AC |＞|AB |,6＜|BC |，∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的左支(且除去左顶点)， 由2a ＝6,2c ＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16， ∴顶点A 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ＜－3)．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解】 设动圆半径为r ，圆心为P (x ，y )，定圆C 的圆心为C (－3,0)，半径为4， 由平面几何知识有|PC |＝r ＋4，|P A |＝r ， ∴|PC |－|P A |＝4，∴动点P 的轨迹为双曲线右支． c ＝3，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝5，x2 4－y25＝1(x＞0)．∴圆心P的轨迹方程为。
高中数学选修1-1优质学案1：2.2.1双曲线及其标准方程
2.2.1 双曲线及其标准方程问题导学一、双曲线定义的应用探究1：若一动点P(x，y)到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之差的绝对值为定值a，讨论点P的轨迹．巩固1：1．已知双曲线的方程是x216－y28＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．2．设P为双曲线x216－y29＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．二、双曲线的标准方程及应用探究2：设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．巩固2：若椭圆x2m＋y2n＝1(m＞n＞0)和双曲线x2a－y2b＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A．m－a B．m－b C．m2－a2D．m－b三、与双曲线有关的轨迹问题探究3：如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．巩固3：设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，求C的圆心轨迹L的方程．当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( )A ．B ．CD ．3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或234．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y -上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．[答案] 【问题导学】探究1： 思路分析：由于a ≥0，|AB |＝4，所以讨论a 应分以下四种情况：a ＝0,0＜a ＜4，a ＝4，a ＞4．解：∵|AB |＝4，∴(1)当a ＝0时，轨迹是线段AB 的垂直平分线，即y 轴，方程为x ＝0； (2)当0＜a ＜4时，轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线； (3)当a ＝4时，轨迹是两条射线y ＝0(x ≥2)或y ＝0(x ≤－2)； (4)当a ＞4时，无轨迹．巩固1： 1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10， 所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．① 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．:探究2： 思路分析：(1)利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应首先明确焦点在哪个坐标轴上；(2)若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27＜λ＜36)，再将点A (±15，4)代入求λ，进而求方程．不过这种解题方法有一定的技巧性．解：方法一：设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3．又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－±152b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线方程为y 24－x 25＝1．方法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程可得A (±15，4)．因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A(±15，4)代入方程得±15227－λ＋4236－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．所以双曲线方程为y24－x25＝1．巩固2：A[解析]设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2m．由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a．∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a．∴|PF1|·|PF2|＝m－a．探究3：思路分析：建立直角坐标系，根据所给的三角函数式借助正弦定理得到边的关系式，然后根据双曲线的定义，得到其轨迹方程．解：如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(－22，0)，B(22，0)．∵2sin A＋sin C＝2sin B，由正弦定理得，2|CB|＋|AB|＝2|AC|，从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝22＜|AB|．由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去双曲线的右支与x轴的交点)．∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6．又A，B，C三点不共线，∴顶点C的轨迹方程为x22－y26＝1(x＞2)．巩固3：解：依题意得两圆的圆心分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，所以||CF2|－|CF1||＝4＜|F1F2|＝25．∴圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，且2a＝4，2c＝25．∴a＝2，c＝5．∴b2＝c2－a2＝1．∴C的圆心轨迹L的方程为x24－y2＝1．当堂检测1．[答案]D[解析]由已知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c ＝5，b2＝c2－a2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y-(x≥3)．2．[答案]D[解析]由已知λ＜0，a2＝2，b2＝－λ，c2＝2－λ，∴焦距2c=3．[答案]D[解析]设F1(－5,0)，F2(5,0)，则由双曲线的定义知：||PF1|－|PF2||＝2a＝8，而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7或23．4．[答案]5 6[解析]如图，||||sin sin||||210522||sin||21262BC ABA C BC AB aR RACB AC cR---=====．5．[答案]4[解析]设右焦点为F，则点F的坐标为(4,0)．把x＝3代入双曲线方程得y＝±15，即M点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
人教课标版高中数学选修1-1：《双曲线及其标准方程(第2课时)》教案-新版
2.2.1双曲线及标准方程（第2课时）1.核心素养发展数学抽象、直观想象素养，培养解析法解题能力，提高数学运算素养2.学习目标（1）进一步熟悉双曲线的定义、标准方程.（2）掌握双曲线的定义在焦点三角形问题中的应用.（3）了解双曲线在实际问题中的初步应用.3.学习重点双曲线的定义4.学习难点双曲线的定义在焦点三角形问题中的应用二、教学设计（一）课前预习1.预习任务回顾双曲线的定义、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有那些区别?双曲线的,,a b c与椭圆的,,a b c有何区别?2.预习自测1. 已知方程22111x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．11k-<<B．0k>C．0k≥D．1k>或1k<-答案：A解析：考查双曲线的定义2.在双曲线的标准方程中，已知6,10a c==，则其标准方程为（）A．221 3664x y-=B ．2213664y x -=或2216436x y -=C ．22110064x y -=D ．2213664x y -=或2213664y x -=答案：D解析：考查双曲线的标准方程 （二）课堂设计 1.知识回顾(1) 平面内点M 到两定点12,F F 的距离之差的绝对值为常数，即122MF MF a -=当122a F F <时，点M 的轨迹是双曲线；(2) 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，()222210,0y x a b a b -=>>判断焦点在哪个轴上，是看x 2，y 2系数的符号，注意都有222c a b =+ 2.问题探究问题探究一 进一步熟悉双曲线的定义、标准方程.例1 已知方程22152x y k k -=--表示的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） A ．5k >B ．5k >或22k -<<C ．2k >或2<-D ．22k -<<【知识点：双曲线的标准方程】详解：∵方程的图形是双曲线，∴(5)(2)0k k -->．即：5020k k ->⎧⎪⎨->⎪⎩或5020k k -<⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得：5k >或22k -<<．故选B ．点评：在双曲线的标准方程中，2x 项和2y 项的系数是异号的，但若中间以“－”相连，则必须是同号的．形如22Ax By C +=的方程，若0C ≠，则当且仅当0AB <时，表示双曲线．例2 已知定圆()221:51F x y ++=，定圆()222:51F x y -+=，动圆M 与定圆12,F F 都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【知识点：双曲线的定义，双曲线的标准方程】 详解：设动圆圆心(),M x y ，半径为R则由已知可得1221121,43MF R MF R MF MF FF =+=+∴-=<，M ∴点的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的左支，且22299123,5,2544a cbc a ==∴=-=-= 所以动圆圆心M 的轨迹方程为：()224410991x y x -=< 点拔：由动圆M 与定圆12,F F 的关系，得21123MF MF F F -=<，从而联想到双曲线的定义，用定义来确定方程（轨迹），达到了简化运算的目的，可见，在圆锥曲线中定义的应用十分广泛、灵活.问题探究二 掌握双曲线的定义在焦点三角形问题中的应用例3 若21F F 、是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上，且32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小．【知识点：双曲线的定义，双曲线的标准方程】详解：由双曲线的对称性，可设点P 在第一象限，由双曲线的方程，知3,4, 5.a b c ==∴=由双曲线的定义，得12||2 6.PF PF a ｜-== 上式两边平方，得,1006436||||236||||212221=+=⋅+=+PF PF PF PF 由余弦定理，得221212121212||||||100100cos 0.2||||2||||PF PF F F F PF PF PF PF PF +--∠===⋅⋅点拔：在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立它与12PF PF ⋅的联系，请同学们多加注意．一般地，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上一点12,P F F 、为双曲线的焦点，若12F PF θ∠=，求12PF F ∆的面积．解：由双曲线的定义，有122PF PF a -=，在12PF F ∆中，由余弦定理有22221212122cos 4PF PF PF PF F F c θ+-⋅==∴2221212121222cos 4PF PF PF PF PF PF F F c θ-+-⋅==（）， 即()22124421cos c a PF PF θ-=-21221cos b PF PF θ∴=-∴1222121sin sin 21cos tan 2PF F b S PF PF b θθθθ∆=⋅=⋅=- 问题探究三：了解双曲线在实际问题中的初步应用例4 A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东方，相距6km ，C 在B 的北偏西30方向上，相距4km ，P 为敌炮阵地．某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4s 后，B 、C 才同时发现这一信号（该信号的传播速度为1km/s ）．A 若炮击P 地，求炮击的方位角． 【知识点：双曲线的定义，双曲线的标准方程】详解：以AB 中点为原点，BA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(3,0)A 、(3,0)B -、(5,23)C -．∵4PB PA -=．∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上．该双曲线右支方程为221(2)45x y x -=≥．① 又∵PB PC =．∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．该直线方程为370x y -+=．②由①②得：211562560x x --=，解得：8x =或3211x =-（舍去）．∴(8,53)P ．又∵ tan 3PA k α==，∴60α=．∴点P 在点A 的北偏东30方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30． 点拔：（1）有些看似与双曲线无关的实际应用问题，但依题意，通过数学建模，可以把问题转化为双曲线问题求解.（2）在此类问题时，除要准确把握题意外，还要注意使实际问题有意义. 3.课堂总结 【知识回顾】（1）形如22Ax By C +=的方程，若0C ≠，则当且仅当0AB <时，表示双曲线．当且仅当0,0,A B A B >>≠时，表示椭圆.（2）一般地，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上一点12,P F F 、为椭圆的焦点，若12F PF θ∠=，则12PF F ∆的面积122tan2PF F b S θ∆=．【重难点突破】（1）对于形如221x y m n+=的方程，能表示圆、椭圆、或双曲线，具体情况如下：当0m n =>时，表示圆；当0,0,m n m n >>≠时，表示椭圆，当0m n >>时，表示焦点在x 轴的椭圆，当0n m >>时，表示焦点在y 轴上的椭圆；当0mn <时，表示双曲线，当0,0m n ><时，表示焦点在x 轴上的双曲线，当0,0m n <>时，表示焦点在y 轴上的双曲线.（2）在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义的应用．已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．（3）在双曲线的实际应用中，要先建立适当的坐标系，然后将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来. 4.随堂检测1.k >9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程】2.已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 答案：B解析：【知识点：双曲线的定义】 （三）课后作业 基础型1.双曲线2222114x y m m-=+-的焦距是（ ） A ．4 B ．8C ．25D ．与m 有关答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程】2．已知两定点1(2,0)F -、2(2,0)F ，在满足下列条件的平面内的动点P 的轨迹中，为双曲线的是（ ） A ．123PF PF -=±B ．124PF PF -=±C ．125PF PF -=±D ．122(0)PF PF a a -=> 答案：A解析：【知识点：双曲线的定义】3．双曲线2288kx ky -=的一个焦点坐标是（3, 0），则k 的值是（ ） A ．1B ．－1C ．653D ．－653答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程】4.如图所示，若0ab ≠，且a b ≠，则0ax y b -+=和22bx ay ab +=所表示的曲线只可能是（ ）答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程】能力型5. P为双曲线22221x ya b-=上一点，F是一个焦点，则以PF为直径的圆与圆222x y a+=的位置关系是（）A．内切B．外切C．外切或内切D．无公共点或相交答案：C解析：【知识点：双曲线的定义，圆的几何性质】6.已知双曲线2212yx-=的焦点为12,F F，点M在双曲线上且12MF MF⋅=，则点M到x轴的距离为()A. 4 3B. 5 3C. 23 3D. 3答案：C解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】7．若lg(3)x -、lg y 、lg(3)x +成等差数列，则点(,)x y 的轨迹方程是_______________．答案：229(3,0)x y x y -=>>解析：【知识点：双曲线的标准方程，等差数列】8.在平面直角坐标系y x O 中，已知ABC ∆的顶点)0,6(-A 和)0,6(C ，若顶点B 在双曲线11125x 22=-y 的左支上，则._______sin sin sin =-B C A 答案： 56解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】 探究型9. 已知定点(3,0)A 和定圆C ：22(3)16x y ++=，动圆和圆C 相切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】 设P 点的坐标为(),x y ，∵圆C 与圆P 外切且过点A ． ∴4PC PA -=．∵64AC =>，∴点P 的轨迹是以C 、A 为焦点24a =的双曲线的右支． ∵2a =，3c =， ∴2225b c a =-=．∴圆心P 的轨迹方程为221(0)45x y x -=> 10.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>中，半焦距122,,c a F F =为左右焦点，P 为双曲线上的点，121260123F PF F PF S ∆∠=︒=，,求双曲线的标准方程. 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】 由双曲线的定义，有122PF PF a -=，而在12PF F ∆中，由余弦定理有 22221212122cos 604PF PF PF PF F F c +-⋅︒==∴2221212121224PF PF PF PF PF PF F F c -+-==（）， 即221244c a PF PF -=,2124PF PF b ∴= ∴1221213sin 60412324PF F S PF PF b ∆=⋅︒=⨯= 22222124b c a a b⎧=⎪∴⎨==+⎪⎩,24a ∴= 所以所求双曲线标准方程为221412x y -= (四)自助餐1.焦点的坐标是（－6,0）、（6,0），并且经过A （－5，2）的双曲线的标准方程为（ ）A.2212016x y -= B.2211620x y -= C.22110016x y -= D.22116100x y -= 答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程】2．已知方程22144x y k k -=-+表示双曲线，则它的焦点坐标为（ ） A ．(2,0)k 、(2,0)k -B ．(0,2)k 、(0,2)k -C ．(2,0)k 、(2,0)k -D ．不能确定答案：D解析：【知识点：双曲线的标准方程】3.设点P 在双曲线221916x y -=上，若12,F F 为此双曲线的两个焦点。
河南省鹤壁高中高中数学选修1-1：2.2.1双曲线及其标准方程 教学设计说明
学问与技能目标：
通过双曲线轨迹的探究过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义；
通过类比椭圆的标准方程，推导并把握双曲线的标准方程.
过程与方法目标：
通过对双曲线概念和标准方程的探究，培育同学观看分析抽象的力量，体验解析思想，激发同学探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的爱好；
【教法特点分析】
本节课我主要接受启发、探究式教学，让同学在探究的过程中发觉特征，总结规律，这一点主要体现在以下两个环节：
1引入双曲线定义
老师手动演示拉链动画，同学认真观看，总结动点 在运动过程中满足的特征：
靠近 的一支满足
靠近 的一支满足
2剖析双曲线的定义
定义中我给同学强调要留意三点，其中的第三点是争辩常数的取值范围，我没有生硬地给出，而是由同学小组争辩得出，我认为主动发觉要比被动接受效果好得多.或许有些同学不能够把全部状况争辩清楚，但是团结起来力气大，可以结合多组争辩的结果对问题进行总结,问题肯定能够得到圆满的解决.
河南省高中数学优质课大赛
人教A版 选修1-1
【教材内容本质】
本内容选自人教A版一般高中课程标准试验教科书选修1-1第2章第2节双曲线的第一课时，双曲线是三种圆锥曲线中最简单的一种，教材中的处理方法是先学习椭圆，再学习双曲线，最终学习抛物线，这样设计使得同学在学习双曲线时，前有椭圆学问及学习方法的铺垫，后有抛物线学习的连续，有利于同学学习和把握．
情感、态度与价值观：
同学在把握学问，进展力量的过程中，增加自信念，追求务实性，培育动手和动脑意识，在这样的过程中体会到学习的乐趣.
【教学问题诊断】
同学从前已经学习了椭圆，基本把握了椭圆的有关问题及争辩方法，而双曲线问题，它与椭圆问题有类似性，学问的正迁移作用可在本节课中充分显示．也就是说，同学在经过前期解析几何的系统学习，已初步把握了解析法思想和解析争辩的力量，学习本课已具备肯定的基础．
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甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 2．2．5双曲线及其标准方程教案 新人教A 版选修1-1
（1）预习与引入过程
预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P 56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm 长，另一条约6cm 每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm ，另一条约12cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i ）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}
122M MF MF a -=． （ii ）双曲线标准方程的推导过程
提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．
类比椭圆：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()22
2210,0y x a b b a
-=>>． （iii ）例题讲解、引申与补充
例1 已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．
补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与⊙C ：()2
222x y ++=内切，且过点()2,0A ；② 与⊙1C ：()2211x y +-=和⊙2C ：()2
214x y +-=都外切；③ 与⊙1C ：()2239x y ++=外切，且与⊙2C ：()2
231x y -+=内切． 解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M 的半径为r ．
① ∵⊙C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外，∴2MC r =-，MA r =，因此有2MA MC -=，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是
()
2
222127
y x x -=≤-； ② ∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 均外切，∴11MC r =+，22MC r =+，因此有211MC MC -=，∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程是
22
434134x y y ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭；
③ ∵M e 与1C e 外切，且M e 与2C e 内切，∴13MC r =+，21MC r =-，因此124MC MC -=，∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹方程是
()22
1245x y x -=≥． 例2 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为
340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A ，B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A ，B 两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程． 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s ．已知各观察点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关点均在同一平面内）．
解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．
如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴方向，建立
直角坐标系，设A 、B 、C 分别是西、东、北观察点，则()1020,0A -，
()1020,0B ，()0,1020C ．
设(),P x y 为巨响发生点，∵A 、C 同时听到巨响，∴OP 所在直线为
y x =-……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，∴
()43401360PB PA m -=⨯=．由双曲线定义知，680a =，1020c =，∴3405b =，∴P 点在双曲线方程为22
2216805340x y -=⨯()680x ≤-……②．联立①、②求出P 点坐标为(6805,6805P -．即巨响在正西北方向10m 处．
探究：如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49，求点M 的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？ 探究方法：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直
线AM ，BM 的斜率之积是49，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程． ◆ 情感、态度与价值观目标
通过课件（a ）的展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会：双曲线的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量22b c a =-的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：像例1这基础题配备是必要的，但对定义的理解和使用是远远不够的，必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题；例2是典型双曲线实例的题目，对培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮助，但要准确判定爆炸点，必须对此题进行扩展，培养学生归纳、联想拓展的思维能力．
◆能力目标
（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例子，能
用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据
图形能用数学术语和数学符号表示．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问
题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般
性来研究，培养学生的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．。