最新复数的几何意义及应用

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复数的基本运算与几何意义解释

复数的基本运算与几何意义解释复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a + bi，其中a和b 分别为实部和虚部的实数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。

复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将基本运算进行详细解释，并探讨其在几何中的意义。

一、加法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的和z = z1 + z2的实部等于两个复数实部的和，虚部等于两个复数虚部的和，即：z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，实部表示在实轴上，虚部表示在虚轴上。

加法运算就是将两个复数的向量相加，得到新的向量的终点，即通过终点相加的法则得到。

二、减法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的差z = z1 - z2的实部等于两个复数实部的差，虚部等于两个复数虚部的差，即：z = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，减法运算就是将z2的向量从z1的向量终点出发得到新的向量的终点，即通过终点减去起点的法则得到。

三、乘法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的乘积z = z1 * z2的实部等于两个复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部等于两个复数实部的乘积加上虚部的乘积，即：z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，乘法运算就是将z1的向量的长度与z2的向量的长度相乘（模的乘积），同时将z1的向量的方向与z2的向量的方向相加（幅角的叠加），得到新的向量，即将两个向量的长度相乘，诱导出新的长度，将两个向量的角度相加，诱导出新的角度。

四、除法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的商z = z1 / z2为复数，可以通过以下步骤求解：1. 乘以共轭复数：将除数z2的虚部取相反数，即z2* = a2 - b2i；2. 乘以共轭复数得到分子：z1 * z2* = (a1 + b1i)(a2 - b2i)；3. 化简分子：z1 * z2* = (a1a2 + b1b2) + (a1b2 - b1a2)i；4. 除以分母的模的平方：z = (a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2) + (a1b2 -b1a2)/(a2^2 + b2^2)i。

复数的几何意义

复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。

2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。

复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义减法的几何意义22b a + Z( )xoZ 1Z 2ZZ 2Z1yy oxz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

复数的几何意义及应用

复数的几何意义及应用
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系。

由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数。

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i。

非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等。

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即：
复数复平面内的点。

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

谈谈复数的几何意义及其应用方法

复数具有代数与几何的双重属性.复数的代数形式为：z=a+bi(a、b∈R)，其几何意义是复平面内的点Z(a，b)，即平面向量OZ.复数的几何意义反映了复数和向量之间的对应关系，体现了复数在复平面内的几何特征.科学、合理地应用复数的几何意义，能有效提升解题的效率.那么借助复数的几何意义，可以解决哪些问题呢?下面我们来探究一下.一、由点的坐标求复数任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)可以由一个实数对(a，b)唯一确定，而实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系上的点集之间存在一一对应的关系.根据这种一一对应的关系，我们可以由点的坐标求复数，也可以根据复数确定复平面上的点的坐标.例1.在复平面内，已知复数2+i对应的点为A，B，C是复平面上的另两个点，若复数1+2i与向量BA对应，复数3-i与向量BC对应，求C点对应的复数.解：∵BA对应的复数为1+2i，BC对应的复数为3-i，∴ AC= BC- BA对应的复数为（3-i）-(1+2i)=2-3i，∵ OC= OA+ AC，∴C点对应的复数为（2+i）+(2-3i)=4-2i.复数z＝a＋b i¾®¾¾¾¾一一对应复平面内的点Z(a，b)¾®¾¾¾¾一一对应平面向量，根据复数的几何意义建立对应的关系：C的坐标即为OC的坐标，通过向量的加、减运算，即可求得C点的坐标，进而求得C点对应的复数.二、求复数的最值根据复数与复平面内的点之间的对应关系，以及复数的一些性质可以确定满足一定条件的复数在复平面内对应的图形（即轨迹），如|z+1|+|z-1|=4表示椭圆，|z-i|=4表示圆.在解答复数的最值问题时，可根据复数的几何意义，确定复平面内点集所形成的图形，建立关于动点的轨迹方程，结合图形寻找临界的情形，即可结合图形的性质、位置关系来求得最值.例2.已知复数|z|=2，求复数1+3i+z的模的最值.解：|z|=2表示在复平面上复数z对应的点Z到原点的距离是2，即圆心为原点，2为半径的圆，设ω=1+3i+z,则z=ω-(1+3i)，可得||ω-(1+3i)=2，故复数ω在复平面内对应的点W在以(1,3)为圆心，以2为半径的圆上，如图所示.由图形可知，当点W落在点A处时，复数ω的模最大，即为AB=4；当点W落在点B处时，复数ω的模最小，其值为0，即复数1+3i+z的模的最大值为4，最小值为0.满足已知条件的复数是一个集合，这个集合中的每个元素所对应的点组成一个图形，这个图形就是复数z在复平面内表示的图形.利用复数的几何意义求复数的最值，一要将复数转化为点的集合，并求得点的轨迹方程；二要借助图形的特点、性质、位置关系来求最值.三、求参数的取值范围含参数的复数问题一般较为复杂，参数的变化决定了复数的取值.为了避免对参数的分类讨论，可利用复数的几何意义来建立参数满足的关系式，进而求得参数的取值范围.例3.已知在复平面内，复数z=(a2+a-2)+(a2-3a+2)i表示的点位于第二象限，试求实数a的取值范围.解：根据复数的几何意义知，复数z=(a2+a-2)+(a2-3a+2)i表示的点是P(a2+a-2,a2-3a+2).由点P位于第二象限，可得{a2+a-2<0，a2-3a+2>0，解得-2<a<1，所以实数a的取值范围为(-2,1).解答本题，需根据复平面内点的坐标与复数的实部、虚部之间的对应关系确定参数所满足的不等关系式.总之，利用复数的几何意义解题，关键是把复数或关于复数的表达式转化为点的轨迹、几何图形、向量，我们可以从中找到解题的思路，利用图形、解析几何、向量知识来解题.（作者单位：青海省海东市第一中学）谈谈复数的几何意义及其应用方法考点透视39。

复数的几何意义与应用问题

复数的几何意义与应用问题复数是由实部和虚部组成的数，它在几何上有着重要的意义和广泛的应用。

本文将从几何意义和应用问题两个方面进行论述，深入探讨复数在几何学中的作用和应用。

一、几何意义1. 复数表示坐标复数可以表示平面上的点，其中实部表示点在x轴上的坐标，虚部表示点在y轴上的坐标。

例如，复数z=a+bi可以表示平面上的一个点P(a, b)，其中a和b分别为点P的横坐标和纵坐标。

2. 复数表示向量复数也可以表示平面上的向量，向量的起点位于原点(0, 0)，终点位于对应的复数所表示的点。

向量的模长等于复数的模长，向量的方向等于复数的辐角。

通过复数运算，我们可以进行向量的加法、减法和乘法等操作。

3. 复数表示旋转复数的辐角表示向量相对x轴的旋转角度。

当复数z=a+bi，其中a 和b都不为零时，可以表示平面上的一个向量。

向量的辐角等于复数的辐角。

通过改变复数的辐角，可以实现向量的旋转。

二、应用问题1. 复数在电路中的应用复数在电路分析中有着重要的应用。

例如，对于交流电路中的电压和电流，可以使用复数来表示其幅度和相位差。

通过复数的运算，可以进行电路中电压、电流的计算和分析，并得到正确的结果。

2. 复数在信号处理中的应用信号处理中经常用到傅里叶变换，而傅里叶变换中的频谱分析是通过复数进行的。

通过对信号进行傅里叶变换，可以得到信号的频谱图，进而对信号进行滤波、压缩等处理。

3. 复数在力学中的应用在力学中，复数可以表示振动和波动等现象。

例如，简谐振动可以用复数表示，通过复数的运算可以计算振动的幅度、相位和周期等性质。

4. 复数在几何图形中的应用复数在几何图形的平移、旋转和缩放等操作中有广泛的应用。

通过复数的运算，可以方便地进行几何图形的变换和计算，实现图形的平移、旋转和缩放等操作。

结语复数在几何学中有着重要的几何意义和广泛的应用。

它可以表示坐标、向量和旋转等内容，并且在电路、信号处理、力学和几何图形等领域都有广泛的应用。

2024版《复数的几何意义》人教版高中数学选修1

03
注意复数与实数的联系与区别
在求解曲线方程时，需要注意复数与实数的联系与区别，合理利用复数
的性质进行求解。
22
2023
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
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关键知识点总结回顾
复数的定义
复数是形如 $a + bi$ （其中 $a, b$ 为实数，$i^2 = -1$）的数。
复数三角形式是将复数表示为模长和辐角的形式，即$z = r(cos theta + i sin theta)$，其中$r$是复数的模长，$theta$是复数的辐角。
转换方法
将复数从代数形式转换为三角形式，需要计算复数的模长和辐角。模长$r = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角$theta = arctan(frac{b}{a})$，其中$a$和$b$分别是复数的实部和虚部。
2024/1/26
4
共轭复数和模长计算
2024/1/26
共轭复数
一个复数$z=a+bi$的共轭复数是 $a-bi$，记作$overline{z}$。共轭复数的性质是实部相等，虚部互为相反数。
模长计算
复数$z=a+bi$的模长定义为 $sqrt{a^2+b^2}$，记作$|z|$。模长表示复数在复平面上的点到原点的距离。
复数的运算
包括复数的加法、减法、乘法、除法以及乘方运算。
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常见误区剖析及避免策略分享
误区一
认为复数就是虚数，忽略了复数还包括实部。
误区二
在复数运算中，忽略运算规则，导致计算错误。
误区三
在求解复数的模和辐角时，忽略特殊情况（如 $z = 0$）。

(完整版)复数的基本概念和几何意义

复数一、考点、热点回顾1.复数的有关概念（1）复数①定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.注意：复数m ＋n i 的实部、虚部不一定是m 、n ，只有当m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部. （2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C 表示.2.复数的分类（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设a 、b 、c 、d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当a ＝c 且b ＝d 的时候才有a ＋b i ＝c ＋d i ，a ＝c 和b ＝d 有一个不成立时，就有a ＋b i ≠c ＋d i. （3）由a ＋b i ＝0，a ，b ∈R ，可得a ＝0且b ＝0.4.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.5.复数的两种几何意义（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）.（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ →.6.复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2.注意：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.二、典型例题考点一、复数的概念例1、下列命题：①若a ∈R ，则（a ＋1）i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（）A.①B.②C.③D.④ 【解析】对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数.对于①，若a ＝－1，则（a ＋1）i 不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D.【答案】 D变式训练1、1.对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），下列说法正确的是（）A.若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数B.若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－2C.若b ＝0，则a ＋b i 为实数D.i 的平方等于1解析：选C.对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数；对于B ，若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－1；对于D ，i 的平方为－1.故选C.2.若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为（） A.1 B.1或－4 C.－4 D.0或－4解析：选C.易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.考点二、复数的分类例2、已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋（m 2＋2m －3）i ，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？【解】（1）要使z 为实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.（2）要使z 为虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.（3）要使z 为纯虚数，m 需满足m （m ＋2）m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或－2.变式训练2、当实数m 为何值时，复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是（1）纯虚数；（2）实数.解：（1）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －7）＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.（2）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.考点三、复数相等例3、（1）若（x ＋y ）＋y i ＝（x ＋1）i ，求实数x ，y 的值；（2）已知a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋m i ＝0（m ∈R ）成立，求实数a 的值；（3）若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝（10－x －2x 2）i 有实根，求实数a 的值.【解】（1）由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.（2）因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋（2a ＋m ）i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋am ＋2＝0，2a ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，m ＝－22或⎩⎨⎧a ＝－2，m ＝22，所以a ＝±2.（3）设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝（10－m －2m 2）i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或－715.变式训练3、已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值.解：由题意知，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i ＝3（a ∈R ），所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.考点四、复数与复平面内的点例4、已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）.（1）在实轴上；（2）在第三象限.【解】（1）若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.（2）若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 变式训练4、求实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点（1）位于第二象限；（2）位于直线y ＝x 上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点就是点Z （a 2＋a －2，a 2－3a ＋2）.（1）由点Z 位于第二象限，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为（－2，1）. （2）由点Z 位于直线y ＝x 上，得 a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a 的值为1.考点五、复数与复平面内的向量例5、（1）已知M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出OM →，ON →，OP →，OQ →所表示的复数；（2）已知复数1，－1＋2i ，－3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数.【解】（1）OM →表示的复数为1＋3i ；ON →表示的复数为4－i ；OP →表示的复数为2i ； OQ →表示的复数为－4.（2）复数1对应的向量为OA →，其中A （1，0）；复数－1＋2i 对应的向量为OB →，其中B （－1，2）；复数－3i 对应的向量为OC →，其中C （0，－3）；复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D （6，－7）. 如图所示.（3）记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝（2，3），OB →＝（3，2），OC →＝（－2，－3）.设OD →＝（x ，y ），则AD →＝（x －2，y －3），BC →＝（－5，－5）.由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.变式训练5、在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是_____________.解析：3－3i 对应向量为（3，－3），与x 轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y 轴负半轴上，且模为2 3.故所得向量对应的复数是－23i.答案：－23i考点六、复数的模例6、（1）设（1＋i ）x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝（）A.1B. 2C. 3D.2 （2）已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】（1）选B.因为x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. （2）法一：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则|z |＝a 2＋b 2，代入原方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.所以z ＝－15＋8i.法二：由原方程得z ＝2－|z |＋8i （*）. 因为|z |∈R ，所以2－|z |为z 的实部，故|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝4－4|z |＋|z |2＋64，得|z |＝17. 将|z |＝17代入（*）式得z ＝－15＋8i.变式训练6、已知复数z ＝3＋a i （a ∈R ），且|z |<4，求实数a 的取值范围.解：法一：因为z ＝3＋a i （a ∈R ），所以|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，所以a 2<7，所以a ∈（－7，7）.法二：由|z |<4知z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB （除去端点）为动点Z （3，a ）的集合，由图可知－7<a <7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A. B.2 C.0 D.1解析:由复数相等的充要条件知,x+y＝０，ｘ－１＝０故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B3.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.答案:②③④4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i解析:A中|z|=<3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3.答案:D5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆,故选A.答案:A6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1能力提升8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.解析:∵z为虚数,∴m-sinθ-cosθ≠0,即m≠sinθ+cosθ.∵sinθ+cosθ∈[],∴m∈(-∞,)∪,+∞).答案:(-∞,)∪,+∞)9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,|a-1|-1≠0即a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.答案:{a|a≠-1}10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________. 解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上,设z=-a+ai(a>0).∵|z|=1,∴a2=12.而a>0,∴∴z=+答案:z=+11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.解析:设z=a+bi(a,b∈R),则代入方程得,2+8i,∴解得a=-15∴z=-15+8i.答案:-15+8i12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解析:M∪P=P,∴M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,解得m=2.综上可知m=1或m=2.答案:m=1或m=213.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线. 解析:设复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i对应的点为Z(x,y),则x=2+cosθ,y=1+sinθ即cosθ=x-2,sinθ=y-1所以(x-2)2+(y-1)2=1.所以复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆. 答案:复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.14．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围．答案: (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0.。

(完整版)复数的基本概念和几何意义

一、考点、热点回顾1. 复数的有关概念（1）复数① 定义：形如 a ＋ bi （ a ， b ∈ R ）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i 2＝－ 1. ② 表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z ＝ a ＋bi （ a ，b ∈ R ），这一表示形式叫做复数的代数形式 .a 叫做复数 z 的实部， b 叫做复数 z 的虚部 .注意：复数 m ＋ni 的实部、虚部不一定是 m 、 n ，只有当 m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部 . （ 2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集 . ②表示：通常用大写字母 C 表示 .2. 复数的分类实数（ b ＝0）2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3. 复数相等的充要条件设 a 、 b 、 c 、 d 都是实数，则 a ＋bi ＝c ＋di? a ＝c 且 b ＝d ，a ＋bi ＝0?a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）的形式，即分离实部和虚部.2）只有当 a ＝c 且 b ＝d 的时候才有 a ＋bi ＝c ＋di ，a ＝ c 和 b ＝d 有一个不成立时，就有 a ＋bi ≠c ＋ di.3）由 a ＋ bi ＝ 0，a ，b ∈R ，可得 a ＝0 且 b ＝ 0. 4.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 .实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 .6.复数的模复数 z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）对应的向量为 O →Z ，则O →Z 的模叫做复数 z 的模，记作 |z|，且 |z|＝ a 2＋b 2. 注意：复数 a ＋bi （a ， b ∈R ）的模 |a ＋ bi|＝ a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小 .考点一、复数的概念例 1、下列命题：①若 a ∈ R ，则（ a ＋1）i 是纯虚数； ②若 a ，b ∈R ，且 a>b ，则 a ＋i>b ＋ i ；复数1）复数 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）虚数（ b ≠0）纯虚数 a ＝ 0 非纯虚数5.复数的两种几何意义（ 1）复数 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）一一对应←一―一对―应→复平面内的点Z （a ，b ）一一对应←―平面向量 O →Z.典型例题③若（ x2－ 4）＋（ x2＋3x＋ 2）i 是纯虚数，则实数 x＝±2；④实数集是复数集的真子集 .其中正确的是（） A. ① B.② C.③ D.④【解析】对于复数 a ＋bi （a ，b ∈R ），当 a ＝0且 b ≠0 时，为纯虚数 .对于① ，若 a ＝－ 1，则（ a ＋1）i 不是纯虚数，即 ①错误.两个虚数不能比较大小，则 ②错误.对于 ③，若 x ＝－2，则 x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时（x 2－4）＋（ x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则 ③错误 .显然，④正确 .故选 D.【答案】 D 变式训练 1、 1.对于复数 a ＋ bi （ a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ A. 若 a ＝0，则 a ＋bi 为纯虚数B. 若 a ＋（ b －1）i ＝3－2i ，则 a ＝ 3，b ＝－ 2C. 若 b ＝0，则 a ＋bi 为实数D. i 的平方等于 1 解析：选 C.对于 A ，当 a ＝0 时， a ＋bi 也可能为实数；对于 B ，若 a ＋（ b － 1） i ＝ 3－ 2i ，对于 D ，i 的平方为－ 1.故选 C.2. 若 4－3a －a 2i ＝a 2＋4ai ，则实数 A.1 C.－4 4 － 3a ＝ a 2，解析：选 C.易知 2 解得－a 2＝4a ，考点二、复数的分类例 2、已知 m ∈R ，复数 z ＝m （m ＋2）m －1（1）z 为实数？（ 2）z 为虚数？（ 3） z 为纯虚数？则 a ＝3，b ＝－ 1；a 的值为（） B.1 或－ 4D.0 或－ 4 a ＝－ 4. （m 2＋2m －3）i ，当 m 为何值时，解】 2）要使1）要使 z 为实数， m 需满足 m 2＋2m －3＝0，且 m （ m ＋ 2）有意义，即 m －1≠0，解得 m ＝－3. m －1 z 为虚数， m 需满足 m 2＋ 2m － 3≠ 0，且m （ m ＋ 2）有意义，即 m －1≠ 0，解得 m ≠1 且m ≠－3. m －13）要使z 为纯虚数， m 需满足m （ m ＋ 2）变式训练 2、当实数 m 为何值时，复数纯虚数；（ 2）实数 . ＝0，且 m 2＋2m －3≠0，解得 m ＝0 或－ 2. m －1lg （ m 2－ 2m － 7）＋（ m 2＋ 5m ＋ 6） i 是解：（1）复数 lg （ m 2－ 2m － 7）＋ m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则lg 2（m2－2m －7）＝0，m 2＋ 5m ＋6≠0，解得 m ＝ 4.m2－2m －7>0 ，2）复数 lg （ m 2－ 2m － 7）＋（ m 2＋ 5m ＋ 6） i 是实数，则 m 2＋5m ＋6＝0，解得 m ＝－ 2 或 m ＝－ 3.考点三、复数相等例 3、（ 1） 3）若（ x ＋y ）＋ yi ＝（ x ＋1）i ，求实数 x ，y 的值；已知 a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋mi ＝0（m ∈R ）成立，求实数 a 的值；若关于 x 的方程 3x 2－ a 2x － 1＝（ 10－ x － 2x 2）求实数 a 的值 . x ＋y ＝0，解】（ 1）由复数相等的充要条件，得解得 y ＝x ＋1， 1 x ＝－ 2， 2）因为 a ，m ∈ R ，所以由 a 2＋ am ＋2＋（ 2a ＋m ）i ＝ 0，可得 1y ＝12. a 2＋ am ＋2＝0， 2a ＋ m ＝0，解得a m ＝＝－22，2或 a ＝－ 2， m ＝ 2 2，所以 a ＝ ± 2.（ 3）设方程的实根为 x ＝ m ，则原方程可变为 3m 2－a 2m －1＝（ 10－m －2m 2） i ，2a3m 2－m － 1＝0， 712 解得 a ＝ 11 或－ 71. 25 10－ m － 2m 2＝ 0，考点五、复数与复平面内的向量例 5、（1）已知 M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出 O →M ，O →N ，O →P ， O →Q 所表示的复数；（ 2）已知复数 1，－ 1＋2i ，－ 3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（ 3）在复平面内的长方形 ABCD 的四个顶点中，点 A ，B ，C 对应的复数分别是 2＋3i ，3＋2i ，－ 2－3i ，求点 D 对应的复数 .【解】（ 1）O →M 表示的复数为 1＋ 3i ； O →N 表示的复数为 4－i ； O →P 表示的复数为 2i ； O →Q 表示的复数为－ 4.（2）复数 1 对应的向量为 O →A ，其中 A （1，0）；复数－ 1＋2i 对应的向量为 O →B ，其中 B （－ 1，2）；复数－ 3i 对应的向量为 O →C ，其中 C （0，－ 3）；复数 6－7i 对应的向量为 O →D ，其中 D （6，－7）. 如图所示 .所以变式训练所以所以3、已知 A ＝｛1，2，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i ｝，B ＝｛－1，3｝，A ∩B ＝｛3｝，求实数 a 的值. 由题意知， a 2－ 3a － 1＋ a 2－ 3a － 1＝ 3 ， a 2－ 5a － 6＝ 0 ， a ＝－ 1.a 2－5a －6）i ＝3（a ∈R ）， a ＝ 4或 a ＝－ 1，即考点四、复数与复平面内的点例 4、已知复数 z ＝（ a 2－ 1）＋的值（或取值范围） .（ 1）在实轴上；（ 2）在第三象限 .【解】（ 1 ）若对应的点在实轴上，则有12a －1＝ 0，解得 a ＝ 2.（ 2）若 z 对应的点在第三象限，则有 a 2 －1<0 ， 1解得－ 1<a<1.故 a 的取值范围是－ 1， 2a － 1<0. 2变式训练 4、求实数 a 取什么值时，复平面内表示复数（ 1）位于第二象限；（ 2）位于直线 y ＝ x 上 .解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 a 2－ 3a ＋ 2） .（ 1）由点 Z 位于第二象限，得 a 2＋a －2<0，2 解得－ 2<a<1. a 2－3a ＋2>0，故满足条件的实数 a 的取值范围为（－ 2，1）.2a －1）i ，其中 a ∈R.当复数 z 在复平面内对应的点 Z 满足下列条件时，求 a 1 2.z ＝a 2＋a －2＋（ a 2－3a ＋2）i z ＝a 2＋a －2＋（ a 2－3a ＋ 2）i 的点就是点 Z （ a 2＋a －2，解析： 3－ 3i 对应向量为（ 3，－ 3），与 x 轴正半轴夹角为 30°，顺时针旋转 60°后所得向量终点在 y 轴负半轴上，且模为 2 3.故所得向量对应的复数是－ 2 3i.答案：－ 2 3i 考点六、复数的模例 6、（ 1）设（ 1＋i ）x ＝1＋yi ，其中 x ，y 是实数，则 |x ＋ yi|＝（）A.1B. 2C. 3D.2（ 2）已知复数 z 满足 z ＋|z|＝2＋8i ，求复数 z.【解】（1）选 B.因为 x ＋ xi ＝ 1＋ yi ，所以 x ＝ y ＝1，所以 |x ＋yi|＝|1＋i|＝ 12＋12＝ 2.（ 2）法一：设 z ＝a ＋bi （ a ，b ∈R ），则 |z|＝ a 2＋ b 2 ，代入原方程得 a ＋ bi ＋ a 2＋b 2＝2＋ 8i ， a ＋ a 2＋ b 2＝ 2，根据复数相等的充要条件，得＋解得b ＝8，所以 z ＝－ 15＋ 8i. 法二：由原方程得 z ＝2－|z|＋8i （* ）. 因为|z|∈R ，所以 2－|z|为 z 的实部，故 |z|＝（ 2－|z|）2＋82，即|z|2＝4－4|z|＋|z|2＋64，得 |z|＝17. 将|z|＝17代入（ *）式得 z ＝－ 15＋8i. 变式训练 6、已知复数 z ＝ 3＋ ai （ a ∈ R ），且 |z|<4，求实数解：法一：因为 z ＝3＋ ai （a ∈ R ），所以 | 由已知得 32＋ a 2<4 2，所以 a 2<7，所以 a ∈ 法二：由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以 4为半径的圆内（不包括边界），由 z ＝3＋ ai 知z 对应的点在直线 x ＝ 3 上，所以线段 AB （除去端点）为动点 Z （3，由图可知－ 7<a< 7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,y ∈R),则 2x+y 的值为 ( )A. B.2 C.0 D.1 解析 :由复数相等的充要条件知 ,x+y ＝０，ｘ－１＝０故 x+y=0. 故 2x+y =2 0=1. 答案 :D则A →D ＝（x －2，y －3），B →C ＝（－ 5，－5）. → → x － 2＝－ 5，由题知， A →D ＝B →C ，所以即 x ＝－ 3，故点 D 对应的复数为－ 3－ 2i.变式训练 5 、在复平面内，把复数 3－ 3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3 ，所得向量对应的复a ＝－15， b ＝ a 的取值范围 . ＝ 32 ＋a 2，－ 7，2.已知集合 M={1,2,(m 2-3m-1)+(m 2-5m-6)i},N={-1,3}, 且 M∩ N={3}, 则实数 m的值为 ( )A.4B.-1C.-1 或 4D.-1 或 6 解析 :由于 M∩N={3} ,故 3∈M, 必有 m2-3m-1+(m 2-5m-6)i=3, 所以得 m=-1.答案 :B3. _______________________________________________________________ 给出下列复数 :①-2i,②3+,③8i2,④isin π⑤,4+i;其中表示实数的有 (填上序号 ) __________ .解析 :②为实数 ;③8i2=-8 为实数 ;④i · sin π =0为·实i=数0 ,其余为虚数 .答案 :②③④4.下列复数模大于 3,且对应的点位于第三象限的为 ( )A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i 解析 :A 中 |z|=<3;B 中对应点 (2,-3) 在第四象限 ;C 中对应点 (3,2)在第一象限 ;D 中对应点 (-3,-2) 在第三象限,|z|=>3.答案 :D5.已知复数 z满足 |z|2-2|z|-3=0,则复数 z对应点的轨迹为 ( ) A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆解析 :∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0, ∴|z|=3,表示一个圆 ,故选 A.答案 :A6. _______________________________________________________ 已知在△ABC 中 ,对应的复数分别为 -1+2i,-2-3i, 则对应的复数为______________________________ .解析 : 因为对应的复数分别为 -1+2i,-2-3i,所以 =(-1,2),=(-2,-3). 又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5), 所以对应的复数为 -1-5i.答案 :-1-5i7.在复平面内 ,若复数 z=(m2-m-2)+(m 2-3m+2)i 的对应点 ,(1) 在虚轴上 ,求复数 z;(2)在实轴负半轴上 ,求复数 z. 答案 :(1) 若复数 z 的对应点在虚轴上 ,则 m2-m-2=0, 所以 m=-1或 m=2. 此时 z=6i 或 z=0.(2)若复数 z 的对应点在实轴负半轴上 ,则 m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1能力提升8. _____________________________________________________ 若复数 z=cos θ +(-msin -θcosθ )i为虚数 ,则实数 m 的取值范围是________________________ .解析 :∵z 为虚数 ,∴ m-sin θ-cosθ≠ 0,即 m ≠ sin θ+cos θ.∵ sin θ +cos ∈θ[ - 2 , 2 ], ∴ m ∈ (-∞,- 2 )∪( 2 ,+ ∞). 答案 :(-∞,- 2 )∪( 2 ,+ ∞)9. _____________________________________________________ 若复数 (a 2-a-2)+(|a-1|-1)i(a ∈ R)不是纯虚数 ,则 a 的取值范围是 ________________________解析 :若复数为纯虚数 ,则有 a 2-a-2=0,|a-1|-1≠0 即 a=-1. 故复数不是纯虚数时 a ≠-1. 答案 :{a|a ≠-1} 10. _______________________________________________________ 已知向量与实轴正向夹角为 135°,向量对应复数 z 的模为 1,则 z= _________________________________ .解析 :依题意知 Z 点在第二象限且在直线 y=-x 上 , 设 z=-a+ai(a>0).1∵ |z|=1,∴ a 2= .而 a>0,2∴ a=22 答案 :z= i2211. ___________________________________ 已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i, 则复数 z= . 解析 :设 z=a+bi(a,b ∈R), 则 |z|= a 2b2 ,代入方程得 ,a+bi+ a 2b 2= 2+8i,∴解得 a=-15∴ z=-15+8i. 答案 :-15+8i12. 已知 M= {1,(m 2-2m)+(m 2+m-2)i}, P={ -1,1,4i}, 若 M ∪ P=P ,求实数 m 的值. 解析 :M ∪P=P,∴M?P,即 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=-1 或 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=4i. 由 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=-1, 得解得 m=1;由 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=4i,解得 m=2. 综上可知 m=1 或 m=2. 答案 :m=1 或 m=213. 已知复数 z=2+cos θ +(1+sin θ∈)iR( ), θ试确定复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线解析 : 设复数 z=2+cos θ +(1+sin θ对)i 应的点为 Z(x,y), 则 x=2+cos θ ,y=1+sin θ 即 cos θ =-x2,sin θ =-1y 所以 (x-2)2+(y-1) 2=1.∴z22所以复数 z 在复平面内对应点的轨迹是以 (2,1)为圆心 ,1 为半径的圆答案 :复数 z在复平面内对应点的轨迹是以 (2,1)为圆心 ,1为半径的圆14．已知复数 z＝ m(m－ 1)＋ (m2＋ 2m－3)i( m∈ R )．(1)若 z 是实数，求 m 的值；(2)若 z是纯虚数，求 m 的值；(3)若在复平面 C 内， z所对应的点在第四象限，求答案 : (1)∵z 为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得 m＝－(2)∵z 为纯虚数，m m－ 1 ＝0 ， m2＋ 2m－ 3≠0.m 的取值范围．解得 m＝ 0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，m m－ 1 >0 ，∴ 2解得－ 3<m<0. m2＋ 2m－ 3<0.。

复数的基本运算及几何意义

复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。

一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。

例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。

例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。

例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。

例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。

1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。

例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。

例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。

该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。

4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。

复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。

综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。

在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。

复数的几何意义及其应用

复数的几何意义及其应用
复数的几何意义是什么
1、复数z=a+bi 与复平面内的点(a,b)一一对应
2、复数z=a+bi 与向量OZ一一对应,其中Z点坐标为(a,b)
1、复数的运算：复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。

两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

两个复数的和依然是复数。

复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。

两个复数的积仍然是一个复数。

复数除法定义：满足的复数叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。

2、我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

当z的虚部等于零时，常称z 为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。

复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

复数的几何意义

复数的几何意义在数学中，我们经常会遇到复数的概念和使用。

虽然复数在代数学中有着重要的作用，但它们在几何学中也具有深远的意义。

本文将探讨复数在几何学中的意义，并展示它们在平面几何中的应用。

1. 复数的定义复数是由一个实数和一个虚数组成的数，通常表示为"a+bi"的形式，其中a是实部，bi是虚部，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。

复数可以用平面上的点来表示，实部对应点的x坐标，虚部对应点的y坐标。

2. 复数的模和参数复数的模表示复数到原点的距离，可以使用勾股定理来计算，即模=√(a^2 + b^2)。

复数的参数表示复数与正实轴之间的夹角，可以使用反三角函数来计算，即参数=arctan(b/a)。

3. 复数的几何表示复数可以用向量来表示，向量的起点为原点，终点为该复数对应的点。

因此，复数的几何表示就是平面上的一个向量。

通过调整实部和虚部的数值，可以得到不同的向量。

4. 复数的加法和减法复数的加法可以看作是向量的相加，即将两个复数的向量相加，得到一个新的向量。

减法可以看作是向量的相减，即将两个复数的向量相减，得到一个新的向量。

这两个操作在平面几何中对应着向量的平移。

5. 复数的乘法和除法复数的乘法可以看作是向量的旋转和缩放，即将一个复数的向量旋转一定角度，并将向量的长度乘以一个因子，得到一个新的向量。

除法可以看作是向量的反向旋转和缩放，即将一个复数的向量旋转一定角度，并将向量的长度除以一个因子，得到一个新的向量。

6. 复数的共轭复数的共轭表示将复数的虚部取相反数，保持实部不变。

共轭的几何意义是将复数表示的向量关于实轴反射得到的新向量。

7. 复数在平面几何中的应用复数在平面几何中有广泛的应用。

例如，可以使用复数来表示平移、旋转和缩放等变换。

复数的乘法和除法可以用来进行向量的旋转和缩放操作。

此外，复数还可以表示平面上的点，通过复数的运算可以得到点之间的距离和夹角等信息。

总结：复数在几何学中有着重要的意义，可以用来表示平面上的向量和点。

复数的几何意义

复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

复数的几何意义

3
4
（3）这个方程可以写成 |z-(-2)|-|z-2|=2，所以表示到两个定点F1(-2,0)，F2(2,0)距离差2a等于2的点的轨迹，这个轨迹是双曲线右半支．
x y 即双曲线： 1（x>0） 1 3
2
2
例4：△ABC的三个顶点对应的复数分别是z1,z2,z3，若复数z满足 |z-z1|=|z-z2|=|z-z3| ，则 z 对应的点为△ABC的（ D ） A. 内心； B．垂心； C．重心； D．外心；
例1：设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）|z|=4；（2）2≤|z|≤4．
解：（1）|z|=4表示到原点距离为4的点．所以z表示的点Z构成一个半径为4的圆．（2）表示一个圆环．由于|z|的几何意义是点 Z到原点的距离，所以2≤|z|≤4表示到原点距离大于等于2，小于4的点所构成的图形．
解：（1）方程可以看成 |z-(1+i)|=|z-(-2-i)|，表示的是到两个定点A(1,1)和 B(-2,-1)距离相等的动点轨迹．所以是线段AB的的垂直平分线。即：直线6x+4y+3=0。
（2）方程可以看成 |z-(-i)|+|z-i|=4，表示的是到两个定点(0,-1)和(0,1)距离和等于4的动点轨迹．因为点Z到两个定点的距离和是常数4，并且大于两点(0,-1)，(0,1) 间的距离2，所以满足方程的动点轨迹是椭圆． 2 2 x y 即椭圆： 1
例 7 ：在复平面上 A 、 B 两点对应的复数分别是 1 和 i ，复数 z 在直线 AB 上运动，求复数 z2 对应的点的轨迹。
解：设z=a+bi,(a,b∈R) 由题意，直线 AB 的方程是： x+y=1 ， ∵复数z在直线AB上运动，∴a+b=1，再设z2对应的点为P(x,y) ∴z2=x+yi=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi =(a-b)+2abi x a b 由复数相等的条件，得： y 2 ab 2 消去b,得y=(1-x ), 所以，复数z2对应的点的轨迹是抛物线 y=(1-x2)。

复数的几何意义及四则运算

根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数
a c a+bi和 c+di 相等规定为a+bi = c+di b d
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
实数的几何意义
在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示。
一一对应
实数 (数 )
数轴上的点 (形 )
类比实数的表示，可以用什么来表示复数？
想一想？
回忆
复数的一般形式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
…
一个复数由什么唯一确定？
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
a
b
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) （形）建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 ------复数平面 (简称复平面)
x
y
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1.辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。
复数集虚数集实数集纯虚数集cr??复数的分类复数相等的定义根据两个复数相等的定义设设abcdr两个复数abi和cdi相等规定为为abicdiacbd??????如果两个复数的实部和虚部分别相等我们就说这两个复数相等
引入新数，完善数系
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；

复数运算的几何意义解读

复数运算的几何意义解读复数是由实数和虚数两部分组成的数，它可用于代表平面上的点或向量，因此具有一定的几何意义。

在复数运算中，加法和乘法可以在几何上进行解释。

首先，我们来讨论复数的几何表示。

对于一个复数 z=a+ib，其中 a是实部，b 是虚部，可以将其看作平面上的一个点 P(x,y)，其中 x 为 a 的值，y 为 b 的值。

这个点位于一个坐标系中的复平面上，实轴表示实部，虚轴表示虚部。

因此，复数 z 在几何上可以理解为复平面上的点 P。

1.加法：复数的加法可以表示为 (a+ib) + (c+id) = ((a+c) + i(b+d))。

在几何上，这个运算可以理解为将两个复数的点在复平面上相应方向上的平移，并将这两个复数的实部和虚部分别相加。

可以看出，加法运算实际上是将两个向量相加，得到一个新的向量。

这个向量从第一个向量指向第二个向量的尖端。

换句话说，复数加法相当于将两个复数所代表的向量进行平移。

2.乘法：复数的乘法可以表示为 (a+ib) * (c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)。

在几何上，这个运算可以理解为将一个复数的点绕原点旋转，并将两个复数的实部和虚部形成一个新的复数。

乘法运算实际上是将两个向量相乘，并按照一定的规则得到新的向量。

具体而言，复数的模长是两个向量的模长的乘积，而复数的辐角是两个向量的辐角的和。

因此，复数乘法可以理解为将一个复数代表的向量绕原点旋转一定角度，并按照一定比例进行缩放。

除此之外，复数的运算还具有以下几何意义：3.模长：一个复数的模长可以表示为，z，=√(a^2+b^2)。

在几何上，复数的模长表示了对应向量的长度，也可以理解为复平面上原点到点P的距离。

模长的平方等于复数的实部平方加上虚部平方，可以通过勾股定理来计算。

因此，复数的模长也可以理解为一个向量的长度。

4.共轭：一个复数的共轭可以表示为 z* = a-ib。

在几何上，一个复数和其共轭代表了复平面上关于 x 轴的对称点。

复数的几何意义

复数的几何意义引言复数是数学中一种常见的概念，用于描述带有虚部的数。

在复数的运算中，虚部通常用虚数单位i表示，其中i是一个满足i^2 = -1的数。

复数的几何意义是通过将复数表示为有序对的形式，将其在复平面上进行表示和解释。

本文将介绍复数的几何意义及其在实际应用中的作用。

复平面表示法复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面。

实数轴水平表示实部，虚数轴垂直表示虚部。

复数可以通过将其表示为实部和虚部的有序对的形式来在复平面上进行表示。

例如，复数z = a + bi可以表示为 (a, b) 的点在复平面上的位置。

在复平面中，原点表示零，实数轴上的点表示实数，虚数轴上的点表示纯虚数，而其他点表示具有实部和虚部的复数。

复数的模复数的模表示复数到原点的距离，可以使用勾股定理计算。

复数z = a + bi的模可以表示为|z| = sqrt(a^2 + b^2)。

在复平面中，模可以视为复数对原点的径向距离。

由模的定义可知，复数的模为非负实数。

复数的辐角复数的辐角是复数到正实数轴的夹角，通常使用弧度制进行表示。

复数z = a +bi的辐角可以通过计算theta = arctan(b / a)获得。

在复平面中，辐角可以视为复数与正实数轴之间的倾斜角度。

需要注意的是，辐角只有在复数不等于零时才有意义。

复数的几何运算在复平面中，复数可以进行各种基本的几何运算，包括加法、减法、乘法和除法。

这些运算的结果可以用复数在复平面上的图形表示形式来解释。

复数的加法和减法复数的加法可以通过将两个复数对应的点在复平面上进行相加来实现。

例如，复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i的和为z = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。

类似地，复数的减法也可以通过复数在复平面上的点相减来实现。

复数的乘法和除法复数的乘法可以通过将两个复数的模相乘、辐角相加来实现。

例如，复数z1 = |z1| (cos(theta1) + i * sin(theta1))* 和z2 = |z2| (cos(theta2) + i * sin(theta2))* 的乘积为z = |z1| |z2| * (cos(theta1 + theta2) + i * sin(theta1 + theta2))*。

复数的几何意义及其应用案例

复数的几何意义及其应用案例复数是数学中一个重要的概念，它由实数和虚数构成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

复数有着丰富的几何意义，它在几何学中有广泛的应用。

本文将探讨复数的几何意义以及一些应用案例。

一、复数的几何意义1. 复平面复数可以用平面上的点来表示。

将复数a+bi对应于平面上的点P(a, b)，这个平面就是复平面。

复平面上的点P可以表示为向量OP，其中O是平面上的原点。

复数的实部a对应于点P在x轴上的投影，虚部b对应于点P在y轴上的投影。

这样，复数的加法、减法、乘法和除法运算都可以用向量运算来表示。

2. 模和幅角复数a+bi的模定义为它与原点的距离，即|a+bi|=√(a²+b²)。

模表示了复数的大小。

复数的幅角定义为它与x轴的夹角，可以用反三角函数来表示，即θ=arctan(b/a)。

幅角表示了复数的方向。

3. 共轭复数对于复数a+bi，它的共轭复数定义为a-bi，可以用符号∼表示。

共轭复数在复数的乘法和除法运算中有重要的应用。

二、复数的应用案例1. 电路分析复数在电路分析中有着广泛的应用。

例如，交流电路中的电压和电流可以用复数来表示。

通过对复数电压和电流进行运算，可以得到电路中的功率、阻抗、电感和电容等重要参数。

2. 信号处理在信号处理中，复数被用来表示信号的频谱。

通过对复数频谱进行运算，可以实现信号的滤波、调制、解调等操作。

复数的傅里叶变换在信号处理中起着重要的作用。

3. 几何变换复数可以表示平面上的几何图形。

通过对复数进行平移、旋转、缩放等几何变换，可以实现图形的变换和组合。

复数的乘法运算可以实现图形的旋转和缩放，复数的加法运算可以实现图形的平移。

4. 分形图形分形是一种特殊的几何图形，具有自相似性和无限细节等特点。

复数可以用来生成分形图形，例如著名的朱利亚集合和曼德博集合。

通过对复数进行迭代运算，可以生成具有丰富结构和美丽形态的分形图形。

复数几何意义及运算知识点讲解+例题讲解(含解析)

复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).小结：1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i. 答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i 1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案－1考点一复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0，则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2，解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C考点二复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D.2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i 5C.1－2i 5D.1＋2i 5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( ) A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3iD.－1－3i解析 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i(i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数，得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2，所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B3.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限解析 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5， ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。

2024年复数的几何意义课件

复数的几何意义课件一、引言复数是数学中一个重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

复数由实部和虚部组成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

复数不仅可以表示平面上的点，还可以表示向量、旋转等几何概念。

本文将介绍复数的几何意义，并通过实例来说明其在实际中的应用。

二、复数的几何表示1.复平面复数可以在复平面上表示为一个点。

复平面是一个二维平面，横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。

例如，复数3+4i可以在复平面上表示为一个点(3,4)。

复平面上的每个点都对应一个唯一的复数，而每个复数也对应复平面上的一个点。

2.复数的模复数的模是指复数在复平面上的长度，它可以表示为-a+bi-，其中a和b分别是复数的实部和虚部。

复数的模可以通过勾股定理计算，即-a+bi-=√(a^2+b^2)。

复数的模表示了复数的大小，它在几何上对应于复平面上点到原点的距离。

3.复数的辐角复数的辐角是指复数在复平面上的角度，它可以表示为θ。

复数的辐角可以通过反正切函数计算，即θ=tan^(-1)(b/a)，其中a 和b分别是复数的实部和虚部。

复数的辐角表示了复数在复平面上的方向，它在几何上对应于复平面上点到x轴的夹角。

三、复数的几何应用1.向量的表示复数可以表示平面上的向量。

例如，复数3+4i可以表示为一个向量，其起点在原点(0,0)，终点在点(3,4)。

向量的长度和方向可以通过复数的模和辐角来表示。

因此，复数在几何上可以用来表示向量和解决向量相关的问题。

2.旋转的表示复数可以表示平面上的旋转。

例如，复数(cosθ+isinθ)可以表示一个角度为θ的旋转。

旋转可以通过乘以复数来实现。

例如，将点(3,4)绕原点逆时针旋转θ角度，可以通过将复数3+4i乘以(cosθ+isinθ)来实现。

因此，复数在几何上可以用来表示旋转和解决旋转相关的问题。

3.信号的表示复数可以表示信号。

例如，复数可以表示正弦波和余弦波。

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复数的几何意义及应用复数的几何意义及应用一、教学目标：(一)知识与技能:通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。

(二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力;2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点；3、提高知识之间的理解与综合运用能力。

(三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。

二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用四、教学工具：计算机、投影仪五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法六、教学过程：(一)设置情境，问题引入仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，«Skip Record If...» ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。

直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是«Skip Record If...»，则向量是«Skip Record If...»的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，|z|=«Skip Record If...»=| a+bi |=«Skip Record If...»（a ，b ∈R ）。

问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差«Skip Record If...»所对应的向量就是连结«Skip Record If...»并且方向指向（被减数向量）的向量,«Skip Record If...»(二)探索研究根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程：1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)设«Skip Record If...»以«Skip Record If...»为圆心， «Skip Record If...»为半径的圆上任意一点,则«Skip Record If...» «Skip Record If...»一一对应向量 O Z（1）该圆向量形式的方程是什么? «Skip Record If...»（2）该圆复数形式的方程是什么? «Skip Record If...» «Skip Record If...»（3）该圆代数形式的方程是什么? «Skip Record If...»2．椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于«Skip Record If...»)的点的集合(轨迹)设«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»«Skip Record If...»为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点,则«Skip Record If...» «Skip Record If...»（1）该椭圆向量形式的方程是什么? «Skip Record If...» «Skip Record If...»（2）该椭圆复数形式的方程是什么? «Skip Record If...» «Skip Record If...»变式:以«Skip Record If...»«Skip Record If...»为端点的线段（1）向量形式的方程是什么? «Skip Record If...» «Skip Record If...»（2）复数形式的方程是什么? «Skip Record If...» «Skip Record If...»3．双曲线的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的差的绝对值等于常数(小于«Skip Record If...») 的点的集合(轨迹)设«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»«Skip Record If...»为焦点，2a为实轴长的双曲线的上任意一点,仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5则«Skip Record If...» «Skip Record If...»（1）该双曲线向量形式的方程是什么? «Skip Record If...» «Skip Record If...»（2）该椭圆复数形式的方程是什么? «Skip Record If...» «Skip Record If...»变式:射线（1）向量形式的方程是什么? «Skip Record If...» «Skip Record If...»（2）复数形式的方程是什么? «Skip Record If...» «Skip Record If...»变式：以«Skip Record If...»«Skip Record If...»为端点的线段的垂直平分线（1）该线段向量形式的方程是什么? «Skip Record If...»«Skip Record If...»即«Skip Record If...»（2）该线段复数形式的方程是什么? «Skip Record If...»«Skip Record If...»即«Skip Record If...»（三）应用举例例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（）（A）双曲线（B）双曲线的右支（C）线段（D）射线答案：（D）一条射线变式探究：（1）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是两条射线，复数 z 应满足什么条件？仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5（2）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段，复数 z 应满足什么条件？（3）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线的右支，复数 z 应满足什么条件？（4）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线，复数 z 应满足什么条件？（5）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是椭圆，复数 z 应满足什么条件？（6）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段的垂直平分线，复数 z 应满足什么条件？例2．若复数z满足条件«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的最值。

解法1：（数形结合法）由«Skip Record If...»可知，z对应于单位圆上的点Z；«Skip Record If...»表示单位圆上的点Z到点P（0，2）的距离。

由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时，«Skip Record If...»,此时z=i；当点Z运动到B（0，-1）点时，«Skip Record If...», 此时z=-i。

解法2：（不等式法）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»解法3：（代数法）设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»当«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»=3,解法4：（性质法）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...» «Skip Record If...»当«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»,变式探究：（1）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；0；2（2）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5（3）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；«Skip Record If...»例3．已知z1、z2∈C，且«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的最大值是（）（A）６（B）５（C）４（D）３解法1：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»的最大值是4解法2：«Skip Record If...»«Skip Record If...», «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»表示以原点为圆心，以1为半径的圆；«Skip Record If...»表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆。