人教a版数学【选修1-1】作业：第二章《圆锥曲线与方程》章末检测(a)(含答案)
(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测(有答案解析)
一、选择题1．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ）A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．22．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B 3C ．12D ．223．已知双曲线22221x y a b -=的两个焦点分别为21(,0)(,0)(0)F c F c c ->，过点2,0a P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且122F A F B =-，求双曲线的离心率（ ） A 2B 3C 5D 64．设直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且N 是线段AB 的中点，若直线l 有且只有4条，则p 的取值范围是（ ） A ．3)B ．(1,3)C ．(0,3)D ．3)5．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若3AB MN =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒6．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若16MF OM =，则E 的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D 27．抛物线：24y x =的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（ ） A ．21y x =-B ．212y x =-C ．22(1)y x =-D ．221y x =-8．过抛物线24y x =的焦点作两条相互垂直的弦AB ，CD ，且AB CD AB CD λ+=⋅，则λ的值为（ ）A ．12B ．14C ．18D ．1169．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线左支于P ，交渐近线by x a=于点Q ，点Q 在第一象限，且12FQ F Q ⊥，若12PQ PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．1102+ B ．1222+ C 51 D 3110．已知动点(),P x y ()()2222522x y x y a a+-++=+(a 为大于零的常数)﹐则动点P 的轨迹是（ ） A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线11．斜率为14的直线l 与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于A ，B 两点，且l 过C 的左焦点，线段AB 的中点为()2,1M -，C 的右焦点为F ，则AFB △的周长为（ ）A B C ．7D ．712．“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示为椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线22y x =，平行于x 轴的光线在抛物线上点P 处反射后经过抛物线的焦点F ，在抛物线上点Q 处再次反射，又沿平行于x 轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为___________.14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =-与椭圆的一个交点M 满足21122MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于________．15．已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，离心率为12e =，点P 在椭圆C 上，且1230F PF ∠=，则12F PF △的面积为__________．16．设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆2229a x y +=与线段PF 交于A ,B 两点，若A ,B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为____________.17．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(c,0)F ，点P 在椭圆C 上，线段PF与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为_______.18．如果点12310,,,P P P P ，是抛物线22y x =上的点，它们的横坐标依次为12310,,,,x x x x ，F 是抛物线的焦点，若123105x x x x ++++=，则1210PF P F P F +++=___.19．对抛物线C ：24x y =，有下列命题：①设直线l ：1y kx =+，则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4；②已知直线l ：1y kx =+交抛物线C 于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点()()2,P t t R ∈与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线C 的焦点为F ，抛物线上一点()2,1Q 和抛物线内一点()()2,1R m m >，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分RQF ∠；其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.20．已知抛物线C : y 2=2px (p >0)，直线l ：y = 2x + b 经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若|AB | = 5，则p = ___．三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点1,2P ⎛ ⎝⎭，离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,3)M 的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点. ①当直线OA ，OB 的斜率之和为34时(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k ； ②求MA MB ⋅的取值范围.22．设动点(),M x y （0x ≥）到定点()2,0F 的距离比它到y 轴的距离大2. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程C ；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB 面积的最小值.23．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．24．已知四点12341,,1,,(1,1),(0,1)22P P P P ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭中恰有三点在椭圆2222:1x y C a b+=上，其中0a b >>． （1）求,a b 的值；（2）若直线l 过定点(2,0)M 且与椭圆C 交于,A B 两点（l 与x 轴不重合），点B 关于x 轴的对称点为点D ．探究：直线AD 是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．25．过平面上点P 作直线11:2l y x =，21:2l y x =-的平行线分别交y 轴于点M ，N 且228OM ON +=.（1）求点P 的轨迹C 方程；（2）若过点()0,1Q 的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若AOB S △l 的方程.26．荷兰数学家舒腾(F.van Shooten ，1615-1660)设计了一种画椭圆的工具，如图1所示，两根等长的带槽的直杆AC 和BF 的一端各用钉子固定在点A 和B 上(但分别可以绕钉子转动)，4AC BF ==，另一端用铰链与杆FC 连接，2FC AB ==，AC 和BF 的交点为E ，转动整个工具，交点E 形成的轨迹为椭圆Γ.以线段AB 中点O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2的平面直角坐标系.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）经过B 点的直线l 交椭圆Γ于不同的两点M N 、，设点P 为椭圆的右顶点，当PNM △的面积为27时，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出1243a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比. 【详解】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ， 在图②中，1CDF 的周长为111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==，所以，1148a vt =，可得112a vt =，在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得1212BF BF a +=， 22AF BF AB =-，则2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，即()111222a AB AF BF a -++=，由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即112111322222a a a a vt a =-=-=， 所以，1243a a =. 因此，Γ与Ω的离心率之比为122112:::3:4c ce e a a a a ===. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．B解析：B 【分析】由10MD NF ⋅=得1MD NF ⊥，结合D 是中点，得等腰三角形，由平行线可得2F 是MN 中点，从而MN x ⊥轴，利用勾股定理可得,a c 的关系得离心率． 【详解】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =， 因为12//MF DF ，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴， 设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23am =， 在12MF F △中，由勾股定理得22242()()(2)33m m c +=，变形可得c e a ==． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是确定,,a b c 的等式．解题方法是由向量的数量积得出垂直后，根据三角形的性质得1MF N 的性质（实质上它是等边三角形），特别是MN x ⊥轴，然后结合椭圆定义利用勾股定理可得．3．B解析：B 【分析】先根据题意画出图形，再根据122F A F B=-，得到21F AF B B P ∽，根据相似比得到222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，即可求出离心率. 【详解】 解：如图所示：122F A F B =-，12//F A F B ∴，12AF B BF P ∴∽，且122F PF P=, 即222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭， 两边同时除以a 得2a c c a c a a c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭， 即122e e e e+=-， 又1e >，解得：3e = 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用三角形相似比得到,a c 的关系式，进而求得离心率.4．B解析：B根据l 有且只有4条，易知直线l 的斜率不存在时，有两条，得到直线l 斜率存在时，有两条，根据N 是线段AB 的中点，利用点差法得到0ky p =，再根据直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，得到0012y x k=--，结合得到02x p =-，2203y p =-再根据点N 在抛物线内部求解. 【详解】设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ， 因为l 有且只有4条，当直线l的斜率不存在时，有两条，即2=±x 所以直线l 斜率存在时，有两条， 因为AB 在抛物线上，所以21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212122y y p x x -=-，因为N 是线段AB 的中点， 所以1202y y y +=， 所以12121202y y p pk x x y y y -===-+， 即0ky p =，因为直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ， 所以0012y x k=--，即002x ky p -=-=-， 所以02x p =-，代入抛物线22y px =，得()222y p p =-，因为点N 在抛物线内部，所以()2022y p p <-，因为点N 在圆上，所以2200(2)3x y -+=，即2203p y +=， 所以2203y p =-，所以()220322y p p p =-<-，即2430p p -+<，解得13p <<，【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．5．D解析：D 【分析】设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12AB x x p =++， 求出AB 中点N 的坐标，写出MN的方程，由MN =MN ，然后由己知条件可求得斜率k ，得倾斜角．【详解】 由题意(,0)2p F ，设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，由22()2y pxp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222(2)04k p k x p k x -++=， 2122(2)p k x x k ++=，2124p x x =， 221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k ， 2122(2)22N x x p k x k ++==，22()22N N p p y k x k =-=，即222(2)2,22p k p N kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线MN 的方程为1()N N y y x x k-=--，MN ===，∵AB =，∴222(1)p k k += 整理得23k =，∵0k >，∴k =∴倾斜角为60︒．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线l 垂线方程，求得MN ，然后由已知条件求得结论．6．A解析：A 【分析】由点到直线的距离公式可得2||MF b =，由勾股定理可得||OM a =，则1MF =，1cos aFOM c∠=-，由此利用余弦定理可得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得答案． 【详解】由题得2(,0)F c ，不妨设:0l bx ay -=，则2||MF b ==，OM a ==，1MF =，12cos cos aFOM F OM c ∠=-∠=-， 由余弦定理可知222222111||||622OM OF MF a c a a OM OF ac c+-+-==-⋅，化为223c a =，即有==ce a故选：A ． 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．7．C解析：C 【分析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点的轨迹方程． 【详解】由抛物线的方程可得焦点(1,0)F ，可得过焦点的直线的斜率不为0， 设直线方程为：1x my =+，设直线与抛物线的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设AB 的中点(,)P x y ， 联立直线与抛物线的方程可得：2440y my --=，124y y m +=，21212()242x x m y y m +=++=+，所以可得2212x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 可得P 的轨迹方程：222y x =-，故选：C ． 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求法；5、参数方程法等等.8．B解析：B 【分析】首先设直线AB 的方程为1x ty =+， 与抛物线方程联立分别求AB 和CD ，分别计算AB CD +和AB CD ，再求λ的值.【详解】24y x =的焦点为()1,0，设AB 的直线方程为1x ty =+，CD 的直线方程为11x y t=-+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，则()241AB t ==+，同理2141CD t ⎛⎫=+⎪⎝⎭，22142AB CD t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 221162AB CD t t ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭， 故14λ=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用弦长公式求AB ，并且利用AB CD ⊥，将t 换成1t-求CD . 9．A解析：A 【分析】由12FQ F Q ⊥得出OQ c =，求出Q 点坐标为(,)a b ，利用12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程得关于,,a b c 的等式，变形后可求得e ． 【详解】∵12FQ F Q ⊥，O 是12F F 中点，∴OQ c =， 设(,)Q x y （0,0x y >>），则222y bx a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又222a b v +=，故解得x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)Q a b ，12PQ PF =，则12QP PF =，(,)2(,)P P P P x a y b c x y --=---，解得233P P a c x b y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又P 在双曲线上，∴2222(2)199a c b a b --=，解得e =舍去）． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,a c 的齐次式，本题利用P 在双曲线上列式，由12FQ F Q ⊥得(,)Q a b ，由12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程即可求解．10．C解析：C 【分析】由a 为大于零的常数，可知5a a+的最小值，再根据两点间距离公式得几何意义以及椭圆定义判断轨迹. 【详解】的几何意义为点(),P x y 与点(0,2)A 间的距离，的几何意义为点(),P x y 与点(0,2)B -间的距离，且4AB =又由a为大于零的常数，可知54a a +≥=>， 当且仅当5aa=，即a =54aa=+>，即动点P到点A与到点B的距离之和为定值，且大于AB，所以动点P的轨迹为椭圆，故选：C.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．11．C解析：C【分析】由已知得直线l的方程可得c，设()11,A x y()22,B x y代入椭圆的方程做差可得22ba18=，然后利用222b c a=-可得2a，再利用椭圆定义可得答案.【详解】易得直线l的方程为113(2)1442y x x=++=+，当0y=时，6x=-，所以6c=，设()11,A x y，()22,B x y，则22112222222211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则2222212122x x y ya b--+=，整理得222212121222212121y y y y y yba x x x x x x-+-=-=-⋅-+-2221136448aa--=-⨯==，解得a=，则FAB的周长为4a=.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的定义、直线和椭圆的位置关系，在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程，这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围.12．C解析：C【分析】根据方程2214x y a a +=-表示椭圆求出实数a 的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断出“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的条件.【详解】若方程2214x y a a+=-表示椭圆，则0404a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得02a <<或24a <<， 记为{}02,24A a a a =<<<<或， 又记{}04B a a =<<，AB则“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出方程为椭圆的充分必要条件.二、填空题13．【分析】作出图像设题中问题即为求的最小值设直线联立用韦达定理表示即可得解【详解】根据题意作出图像如图所示设题中问题即为求的最小值设由得所以所以当时最小为2故答案为：2 解析：2【分析】作出图像，设1122(,),(,)A x y B x y ，题中问题即为求12||y y -的最小值，设直线，联立，用韦达定理表示即可得解. 【详解】根据题意作出图像，如图所示，设1122(,),(,)A x y B x y ，题中问题即为求12||y y -的最小值.设1:2AB x ty =+， 由2122x ty y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2210y ty --=，所以12122,1y y t y y +==-. 所以22121212||()444y y y y y y t -=+-=+当0t =时，12||y y -最小为2. 故答案为：2.14．【分析】由题意利用直角三角形的边角关系可得再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出【详解】设直线的倾斜角为则在直角三角形中令则由椭圆定义得椭圆的离心率故答案为：【点睛】熟练掌握直角三角形的边角关系 31【分析】由题意1290F MF ∠=，利用直角三角形的边角关系可得21,MF MF ，再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出． 【详解】设直线3()y x c =-的倾斜角为α，则tan 3α=0180α≤<120α∴=．21211212122360090F MF F MF F M F MF M F F F ∴∠=∠=∠∴∠=∴∠=在直角三角12F MF 形中，令1c =，则211,MF MF ===由椭圆定义得122||||1a MF MF =+=∴椭圆的离心率212c e a ===．1． 【点睛】熟练掌握直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率的计算公式是解题的关键，属于基础题．15．【分析】由椭圆定义得由余弦定理得结合可得的值从而得答案【详解】由已知得所以由椭圆定义得由余弦定理得即则的面积为故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的简单的性质关键点是利用余弦定理和三角形的面积公式解题考解析：24-【分析】由椭圆定义得128F P PF +=，由余弦定理得22212121212cos 2F P PF F F F PF F P PF +-∠=⨯，结合可得12F P PF ⨯的值，从而得答案. 【详解】 由已知得12,2c e ==，所以4a =， 由椭圆定义得12248F P PF +=⨯=， 由余弦定理得222121212123cos cos302F P PF F F F PF F P PF +-∠===⨯， 即()2121212216F P PF FP PF P PF +-⨯-=⨯，12F P PF⨯=， 则12F PF △的面积为12111sin 3024222S F P PF =⨯⨯=⨯=- 故答案为：24- 【点睛】本题考查了椭圆的简单的性质，关键点是利用余弦定理和三角形的面积公式解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.16．【分析】取AB 中点H 后证明H 为PF 中点从而在直角三角形OFH 中利用勾股定理找到求出离心率【详解】如图示取AB 中点H 连结OH 则OH ⊥AB 设椭圆右焦点E 连结PE ∵AB 三等分线段PF ∴H 为PF 中点∵O 为E解析：17 【分析】取AB 中点H 后，证明H 为PF 中点，从而在直角三角形OFH 中，利用勾股定理，找到221725a c =，求出离心率.【详解】如图示，取AB 中点H ，连结OH ，则OH ⊥AB ，设椭圆右焦点E ，连结PE ∵AB 三等分线段PF ，∴ H 为PF 中点. ∵O 为EF 中点，∴OH ∥PE 设OH=d,则PE=2d ，∴PF=2a-2d ，BH=3a d- 在直角三角形OBH 中，222OB OH BH =+,即22293a a d d -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：5a d =. 在直角三角形OFH 中，222OF OH FH =+,即()222c d a d =+-，解得：221725a c =， ∴离心率175c e a ==. 故答案为：175【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．17．【分析】根据数形结合分析可得并根据勾股定理可得计算离心率【详解】如图首先画出函数图象又且且根据椭圆的定义可知由勾股定理可知即整理为即故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围求椭圆离心 解析：53【分析】根据数形结合分析，可得'PF PF ⊥，并根据勾股定理，可得()()22222244b a b c a b +-==-，计算离心率.【详解】如图，首先画出函数图象，1233EF OF OE c c c =-=-=，2131'23c EF EF c c ∴==+， 又2PQ QF =，'//PF QE ∴，且1'3QE PF =，且'PF PF ⊥， 3bQE =，'PF b ∴=， 根据椭圆的定义可知2PF a b =-，由勾股定理可知22212'PF PF F F +=，即()()22222244b a b c a b+-==-整理为222224444b a b ab a b ++-=-，即23b a =， 2251c b a a ∴=-=.5【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.18．10【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离把整体代入中即可求解【详解】解：由抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离在中所以故答案为：10【点睛】关键点点睛：利用抛物线的焦半径公式整体代入中是解决本题解析：10 【分析】利用抛物线()220y px p =>上的点()000,P x y 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离002p P F x =+，把123105x x x x ++++=整体代入1210PF P F P F +++中即可求解.【详解】解：由抛物线的定义可知，抛物线()220y px p =>上的点()000,P x y 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离002p P F x =+，在22y x =中，1p =，所以12121031055510PF P F P F x x x x p +++=+++++=+=.故答案为：10 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的焦半径公式整体代入1210PF P F P F +++中是解决本题的关键.19．①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去利用根与系数关系求出再由弦长公式即可求出弦长进而可求出弦长的最小值即可判断①的正误；②利用中点坐标公式求出以为直径的圆的圆心的纵坐标判断圆心到直线的距离与半径的解析：①②④ 【分析】①将抛物线与直线联立消去y ，利用根与系数关系求出12x x +，12x x ，再由弦长公式即可求出弦长，进而可求出弦长的最小值，即可判断①的正误；②利用中点坐标公式，求出以AB 为直径的圆的圆心的纵坐标，判断圆心到直线的距离121y y ++与半径||2AB r =的大小关系，即可判断②的正误； ③将2x =代入24x y =，可得()2,1P 在抛物线上，此时当直线的斜率不存在时，只有一个交点，当直线与抛物线相切时，也只有一个交点，故与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，可判断③错误；④设1l 的方程为()12y k x -=-，将直线与抛物线联立消去y ，利用判别式即可求出k ，进而可求出直线1l 的倾斜角，即可判断④的正误. 【详解】①联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，设两交点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ， 所以由根与系数的关系得124x x k +=，124x x ⋅=-，故AB ==2444k =+≥，当0k =时，AB 取得最小值4，所以最短弦长为4，故①正确，②由①可知124x x k +=，则21212242y y kx kx k +=++=+，故以AB 为直径的圆的圆心坐标为()22,21k k +，半径2222ABr k ==+， 抛物线24x y =的准线方程为1y =-，故圆心到准线1y =-的距离2221122d k k r =++=+=， 所以以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故②正确，③将2x =代入24x y =，解得1y =，所以当1t =时，即()2,1P 在抛物线上， 当直线的斜率不存在时，方程为2x =，此时只有一个交点()2,1，当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时，当且仅当该直线为切线时满足条件， 所以过点()2,P t 只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，故③错误， ④因为抛物线的焦点为()0,1F ，又()2,1Q ，()2,R m ， 所以三角形FQR 为直角三角形且过()2,1Q 的切线斜率一定存在， 设1l 的方程为()12y k x -=-，代入24x y =，可得24840x k k -+-=，由()2164840k k ∆=--=可得1k =，即直线1l 的倾斜角为45︒，因为直线2l 过点Q 且与1l 垂直，所以一定平分RQF ∠，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组； (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．20．2【分析】法1：首先利用直线过焦点得再利用直线与抛物线方程联立利用根与系数的关系表示计算求得；法2：由已知求得的值再利用弦长公式求的值【详解】法1：由题意知直线即直线经过抛物线的焦点即直线的方程为设解析：2 【分析】法1：首先利用直线过焦点，得b p =-，再利用直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示12AB x x p =++，计算求得p ；法2：由已知tan 2θ=，求得sin θ的值，再利用弦长公式22sin pAB θ=，求p 的值. 【详解】法1：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-． 设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232p x x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =. 法2：设直线的切斜角为θ，则tan 2k θ==，得sin θ=，∴22225sin p pAB θ===，得2p =.故答案为：2 【点睛】结论点睛：当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于,A B 两点，AB 称为焦点弦长，有如下的性质：直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，①221212,4p y y p x x =-=；②12AB x x p =++；③11AF BF +为定值2p ；④弦长22sin p AB θ= （θ为直线AB 的倾斜角）；⑤以AB 为直径的圆与准线相切；⑥焦点F 对,A B 在准线上射影的张角为90.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）①3k =-；②808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）把点代入方程结合离心率列方程组求解即可；（2）①设直线l 方程为，代入椭圆E 的方程可得，结合判别式与韦达定理，利用直线OA ，OB 的斜率之和为34进而求出直线斜率即可；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求得8MA MA ⋅=，当直线l 的斜率存在时，由（2）①得28821MA MB k ⋅=++，从而求得范围．【详解】解：（1）由题意得222221,2c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得222a c =，22b c =.设椭圆E 的方程为222212x y c c +=，又因为点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上， 所以222211122c c+=，22222,1c a b ===，所以椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）①设直线l 方程为：3y kx =+，代入椭圆E 的方程可得，()222112160kx kx +++=因为直线l 与椭圆E 有两个交点，所以216640∆=->k ，即24k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221221k x x k +=-+，1221621x x k ⋅=+， 11223,3y kx y kx =+=+.又()1212121233244OA OBx x y y k k k k x x x x ++=+=+=-=⋅ 解得3k =-，经检验成立.所以，直线l 的斜率3k =-； ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，将0x =代入2212x y +=，解得1y =±，则(0,1)A ，(0,1)B -，8MA MA ⋅=当直线l 的斜率存在时，由（2）①得()()()()22121212216133121k MA MA x x y y k x x k +⋅=⋅+--=+⋅=+()2228211882121k k k ⎡⎤++⎣⎦==+++因为24k>，所以MA MA ⋅的范围为808,9⎛⎫⎪⎝⎭．综上，得MA MB ⋅的取值范围是808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22．（Ⅰ）28y x =；（Ⅱ）8.（Ⅰ）根据M 的几何性质可得)20x x +=≥，化简后可得抛物线的方程.（Ⅱ）设:2l x ty =+，联立直线方程和抛物线方程，消元后可得面积的表达式，从而可求面积的最小值. 【详解】（Ⅰ）由题设可得)20x x +=≥，整理可得()280y x x =≥.（Ⅱ）设:2l x ty =+， 由228x ty y x=+⎧⎨=⎩可得28160y ty --=，故12y y -==又1282OABS =⨯⨯=≥，当且仅当0t =时等号成立， 故AOB 面积的最小值为8.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率、斜率的倒数或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过常见函数的性质、基本不等式或导数等求得.23．（1）22122y x -=；（2）8.【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可； （2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可. 【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b =⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-． 与抛物线方程联立，得214y x y x =-⎧⎨=⎩， 消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=． 由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8．(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．24．（1）1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2）直线AD 过定点(1,0)Q ．【分析】（1）由于12,1,P P ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭关于原点对称，从而可得12,P P 和4P 在椭圆上，然后将这些点的坐标代入椭圆方程中可求出,a b 的值；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，则设直线l 为2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立成方程组，消去x ，得()222420t y ty +++=，再由根与系数的关系得12122242,22t y y y y t t +=-=++，而直线AD 方程为()()()122112210y y x x x y x y x y ++--+=，代入化简可得答案【详解】因为121,,1,22P P ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于原点对称，由题意得12,PP 和4P 在椭圆上， 将14,P P 的坐标代入22221x ya b +=得：222111211a b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩（2）显然，l 与x 轴不垂直，设l 的方程为：2(0)x ty t =+≠()22222242012x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩ 设()()1122,,,A x y B x y ，则()22,D x y - 且12122242,22t y y y y t t +=-=++ 直线AD 方程为()()()122112210y y x x x y x y x y ++--+= 令0y =，得()()122112211212121222242214ty y ty y x y x y ty y tx y y y y y y t++++===+=+=+++-，故直线AD 过定点(1,0)Q ． 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系可得12122242,22t y y y y t t +=-=++，进而可得AD 方程为()()()122112210y y x x x y x y x y ++--+=化简可得答案，属于中档题25．（1）221164x y +=；（2）112y x =±+.【分析】（1）首先设点()00,P x y ，利用平行线的性质求点,M N 的坐标，代入228OM ON +=，求点P 的轨迹方程；（2）由（1）可知，轨迹C 方程221164x y +=，直线:1l y kx =+与椭圆方程联立，利用公式1212AOB S OQ x x =⋅-△表示面积，求直线的斜率. 【详解】（1）设()00,P x y ，显然P 不为原点， 由题设()0012y x x y =-+，令0x =，得0012M y y x =- 再由()0012y x x y =--+，令0x =，得0012N y y x =+又228OM ON +=，即22000011822y x y x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得：22001164x y +=所以点P 的轨迹C 方程221164x y +=（2）由题设知直线l 的斜率显然存在，故设其方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y()222214181201164y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ 则122841kx x k +=-+，1221241x x k ⋅=-+ 从而12241x x k -==+又212112564817 22AOBkS OQ x x+=⋅-=⨯⨯=所以21142k k=⇒=±故直线l的方程为112y x=±+.【点睛】关键点点睛：本题的第一问求点P的轨迹C方程是关键，由题意可知过点P的两条直线的斜率，所以设点()00,P x y后，表示两条直线，再表示点M，N的坐标是关键. 26．（1）22143x y+=；（2）1x y=±+.【分析】（1）设椭圆Γ的标准方程为22221x ya b+=，连接AF，由AFB AFC≌，得到ABE FCE△≌△，再利用椭圆定义求解.（2）设直线l的方程为：1x my=+,联立221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，结合韦达定理得到12y y-,然后由PNM△的面积为62求解.【详解】（1）如图所示：由题意可设椭圆Γ的标准方程为22221x ya b+=，连接AF，可得AFB AFC≌，所以,,4ABE FCE EF AE EA EB EF EB FB=+=+==≌，由椭圆定义可知：2,1a c==，3b=。
高中数学人教A版选修1-1第2章圆锥曲线与方程课后练习及解析
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
2．椭圆1x62 ＋y72＝1 的左右焦点为 F1，F2，一直线过 F1 交椭圆于 A、B 两点，则△ABF2 的
周长为( )
A．32
B．16
C．8
D．4
3．椭圆 2x2＋3y2＝1 的焦点坐标是( )
A.0，±
6 6
B．(0，±1)
C．(±1,0)
D.± 66，0
4．方程|a|x－2 1＋a＋y2 3＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是(
)
A．(－3，－1) C．(1，＋∞)
B．(－3，－2) D．(－3,1)
5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点25，－32，则该椭圆的方程是( )
A.y82＋x42＝1
B.1y02 ＋x62＝1
C.y42＋x82＝1
D.y62＋1x02 ＝1
6．设 F1、F2 是椭圆1x62 ＋1y22 ＝1 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 P 到两个焦点的距离之
11．已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
高中数学人教A版选修1-1圆锥曲线与方程章末综合测评-含答案解析
人教A 版选修1-1圆锥曲线与方程章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( )A ．x ＝132B ．y ＝2C ．y ＝132D ．y ＝－22．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 22－y 2＝1 3．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.534．抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )A ．(1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 5．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF1→²PF 2→的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．66．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A ．23pB ．43pC ．63pD ．83p7．已知|A B →|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，O P →＝13O A →＋23O B →，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 24＋y 2＝1B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝18．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的中心的弦F 1为一个焦点，则△ABF 1的最大面积是(c 为半焦距)( )A ．acB ．abC ．bcD ．b 29．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.75210．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 211．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积是( )A ．3 2B ．2 2 C. 2D.32212．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.14．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．15.如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．图116．已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为x 24－y 2＝1，若C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．18．(本小题满分12分)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点，(1)若|AB|＝10，求m的值；(2)若OA⊥OB，求m的值．19．(本小题满分12分)已知双曲线过点P ()－32，4，它的渐近线方程为y ＝±43x .(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1|²|PF 2|＝41，求∠F 1PF 2的余弦值．20．(本小题满分12分)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线FA 的距离为22b .(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．22．(本小题满分12分)已知经过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C ，当直线l 的斜率是12时，A C →＝14A B →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．人教A 版选修1-1圆锥曲线与方程章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( )A ．x ＝132B ．y ＝2C ．y ＝132D ．y ＝－2【解析】 将y ＝－18x 2化为标准形式为x 2＝－8y ，故准线方程为y ＝2.【答案】 B2．(2015²安徽高考)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1D.x 22－y 2＝1 【解析】 法一 由渐近线方程为y ＝±2x ，可得y2＝±x ，所以双曲线的标准方程可以为x 2－y 24＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 24－x 2＝1，舍去.法二 A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x .故选A.【答案】 A3．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169. 又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.【答案】 D5．抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )A ．(1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 【解析】 ∵y 2＝14x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0，∴关于直线y ＝x 对称后抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，116.【答案】 B5．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF1→²PF 2→的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6【解析】 设P (x 0，y 0)，又F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴PF1→＝(－2－x 0，－y 0)，PF 2→＝(2－x 0，－y 0)．|F 1F 2|＝4. S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|²|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，∴PF 1→²PF 2→＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3.【答案】 B6．(2016²泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A ．23pB ．43pC ．63pD ．83p【解析】 设A 、B 在y 2＝2px 上，另一个顶点为O ，则A 、B 关于x 轴对称，则∠AOx ＝30°，则OA 的方程为y ＝33x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y 2＝2px ，得y ＝23p ，∴△AOB 的边长为43p .【答案】 B7．已知|A B →|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，O P →＝13O A →＋23O B →，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 24＋y 2＝1B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1【解析】 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|A B →|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.【答案】 A8．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的中心的弦F 1为一个焦点，则△ABF 1的最大面积是(c 为半焦距)( )A ．acB ．abC ．bcD ．b 2【解析】 △ABF 1的面积为c ²|y A |，因此当|y A |最大， 即|y A |＝b 时，面积最大．故选C. 【答案】 C9．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7B.72C.74D.752【解析】 |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6， 则|AF 2|＝6－|AF 1|，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|²|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，即(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， 解得|AF 1|＝72，所以S ＝12³72³22³22＝72.【答案】 B10．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2【解析】 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2ac ＋a ²－b 2ac －a＝－1，整理得a ＝b . ∵渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.【答案】 C11．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积是( )A ．3 2B ．2 2 C. 2D.322【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22 x －1 ，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴S △AOB ＝12|OF |²|y A －y B |＝12³1³|22＋2|＝32 2.【答案】 D12．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2【解析】 由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，∴直线截椭圆的弦长d ＝5³2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12，故选C. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.【解析】 由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b >0，所以b ＝ 3.【答案】314．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|²|y |＝12³4³22＝ 2.【答案】215.如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．图1【解析】 由条件知，c ＝p2，∴其中一个交点坐标为(c,2c )，∴c 2a 2＋4c 2b2＝1，∴e 4－6e 2＋1＝0， 解得e 2＝3±22，∴e ＝±(2±1)． 又0<e <1，故e ＝2－1. 【答案】2－116．已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为x 24－y 2＝1，若C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为________．【解析】 因为C 1的方程为x 24－y 2＝1，所以C 1的一条渐近线的斜率k 1＝12，所以C 2的一条渐近线的斜率k 2＝1，因为双曲线C 1、C 2的顶点重合，即焦点都在x 轴上，设C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以a ＝b ＝2，所以C 2的方程为x 24－y 24＝1.【答案】x 24－y 24＝1 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0,5)，点P (3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．【解】 由共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0,5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1，双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1(b >0)． 点P (3,4)在椭圆上，则16a2＋9a 2－25＝1，得a 2＝40， 双曲线过点P (3,4)的渐近线方程为y ＝b25－b2x ，即4＝b25－b 2³3，得b 2＝16.所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1，双曲线方程为y 216－x 29＝1.18．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，(1)若|AB |＝10，求m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求m 的值． 【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x⇒x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝ 2m －8 2－4m 2＞0，x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2.|AB |＝2|x 1－x 2|＝2 x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝10， 得m ＝716，∵m ＜2，∴m ＝716.(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0，2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0，m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8.经检验m ＝－8.19．(本小题满分12分)已知双曲线过点P ()－32，4，它的渐近线方程为y ＝±43x .(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1|²|PF 2|＝41，求∠F 1PF 2的余弦值．【解】 (1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P ′的纵坐标的绝对值为4 2.∵42>4，∴双曲线的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵双曲线过点P (－32，4)， ∴18a 2－16b2＝1.①又b a ＝43，② 由①②，得a 2＝9，b 2＝16， ∴所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1²d 2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d 1－d 2|＝2a ＝6.由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－|F 1F 2|22d 1d 2＝ d 1－d 2 2＋2d 1d 2－|F 1F 2|22d 1d 2＝941.20．(本小题满分12分)(2015²安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .【解】 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6. 又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →²NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →²NM →＝0，故MN ⊥AB .21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线FA 的距离为22b .(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．【解】 (1)由点F (－ae,0)，点A (0，b )，及b ＝1－e 2a ，得直线FA 的方程为x －ae ＋y 1－e 2a＝1，即1－e 2x －ey ＋ae 1－e 2＝0. 因为原点O 到直线FA 的距离为 22b ＝ae 1－e 2， 所以221－e 2²a ＝ae 1－e 2，解得e ＝22. (2)设椭圆C 的左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22a ，0关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0＋22a ＝12，2²x 0－22a 2＋y 02＝0，解得x 0＝3210a ，y 0＝225a . 因为P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3210a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫225a 2＝4. 所以a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4.故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1， 点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. 22．(本小题满分12分)已知经过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C ，当直线l 的斜率是12时，A C →＝14A B →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．【解】 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由已知，当k l ＝12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝8＋p 2，又因为A C →＝14A B →， 所以y 2＝14y 1或y 1＝4y 2. 由p >0得：y 1＝4，y 2＝1，p ＝2，即抛物线方程为x 2＝4y . (2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4 ， 得x 2－4kx －16k ＝0.①所以x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .所以BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )， 所以BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程①由Δ＝16k 2＋64k >0得k >0或k <－4.所以b ∈(2，＋∞)．。
人教A版选修11《第二章圆锥曲线与方程》质量检测试卷含解析
人教A 版选修11《第二章圆锥曲线与方程》质量检测试卷含解析一、选择题1．假如方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范畴是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1，2) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(0，1)2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A.53B.43C.54D.323．抛物线y 2＝8x 上一点P 到焦点的距离为4，则P 到坐标原点的距离为( ) A ．5 B ．2 5 C ．4 2 D.334．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线5．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．86．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或327．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c ，0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若，则双曲线的离心率为( )A.102 B.105C.10D. 28．已知双曲线x 24－y 212＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是双曲线上的一点，若|PF 1|＝5，则△PF 1F 2最大内角的余弦值为( )A ．－110 B.110C.35 D ．－359．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝111．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y12．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )A ．y 2－3x 2＝36B ．x 2－3y 2＝36C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36 二、填空题13．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．14．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________．16．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点与双曲线x 2－y 23＝1的右焦点F 重合，抛物线的准线与x 轴交于点K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________．三、解答题17．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．18．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若，求λ的值．19．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，A ，B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P ，Q 两点，求△F 1PQ 的面积． 20．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)通过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)通过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.21．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线与原点的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m (km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C ，D ，且C ，D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范畴．22．已知抛物线C 1：x 2＝4y的焦点F 也是椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点．C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，.(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．答 案1. 解析：选D 由x 2＋ky 2＝2，得x 22＋y 22k＝1， 又∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴2k＞2，即0＜k ＜1. 2. 解析：选A 由b a ＝43得b ＝43a ，∴c ＝a 2＋b 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫43a 2＝53a .∴e ＝c a ＝53.3. 解析：选B 抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由P 到焦点的距离为4知，P 到准线的距离为4，故P 的横坐标x P ＝2，y 2P ＝16，|PO |＝x 2P ＋y 2P ＝2 5.4. 解析：选D 由题意得，点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2，0)的距离相等，因此点P 的轨迹是抛物线．5. 解析：选C 双曲线x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，故a ＝2.又P 是双曲线上一点，故||PF 1|－|PF 2||＝4，而|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.6. 解析：选A 设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k .若曲线C 为椭圆，则2a ＝6k ，2c ＝3k ，∴e ＝12；若曲线C 为双曲线，则2a ＝2k ，2c ＝3k ，∴e ＝32.7. 解析：选A 设双曲线右焦点为M ，∵OE ⊥PF ，∴在直角三角形OEF 中，|EF |＝c 2－a 24. 又，∴E 是PF 的中点．∴|PF |＝2c 2－a 24， 又O 是FM 的中点， ∴MP ⊥FP ，∴|PM |＝a ，又|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝102.8. 解析：选B 由双曲线定义知|PF 2|＝|PF 1|±2a .因此|PF 2|＝9或|PF 2|＝1＜c －a ＝2(舍去)．又|F 1F 2|＝8，因此△PF 1F 2的最大内角为∠PF 1F 2， cos ∠PF 1F 2＝52＋82－922×5×8＝110.9. 解析：选D 因为椭圆的离心率为32，因此e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，因此b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，因此x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为⎝⎛⎭⎫25b ，25b ，因此四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，因此b 2＝5，因此椭圆方程为x 220＋y 25＝1.10.11. 解析：选C 假如设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40，30)，从而有302＝2p ×40，即2p ＝452，因此所求抛物线方程为y 2＝452x .尽管选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．12. 解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1，c 2＝64－16＝48， ∴c ＝43，e ＝438＝32.∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′. ∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12. ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36.13. 解析：双曲线焦点(±4，0)，顶点(±2，0)，故椭圆的焦点为(±2，0)，顶点(±4，0)． 答案：x 216＋y 212＝114. 解析：由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )． 由⎩⎨⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎨⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2.答案： 215. 解析：设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，因此△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，因此|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，因此|AF 1|＝|BF |＝8，因此2a ＝14，a ＝7，因此离心率e ＝57.答案：5716. 解析：由题意得p2＝2，p ＝4，抛物线方程为y 2＝8x ，K (－2，0)，设A (x 0，y 0)，|AF |＝a ，x 0＝a －2，由|AK |＝2a 得a 2＋y 20＝2a 2，又y 20＝8(a －2)，∴a 2＝8(a －2)，解得a ＝4.由已知可得|y 0|＝a ＝4. ∴S △AFK ＝12×4×4＝8.答案：817. 解：①焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，因此a m ＝73，解得a ＝7，m ＝3.因为椭圆和双曲线的半焦距为13， 因此b 2＝36，n 2＝4. 因此椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1.18. 解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，因此x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，因此p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . (2)由p ＝4，4x 2－5px ＋p 2＝0 可简化为x 2－5x ＋4＝0.从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4，42)． 设＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.19. 解：(1)由题设知，2a ＝4，即a ＝2，将点⎝⎛⎭⎫1，32代入椭圆方程得122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3， 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A (－2，0)，B (0，3)， 因此k PQ ＝k AB ＝32，因此PQ 所在直线方程为 y ＝32(x －1)， 由⎩⎨⎧y ＝32（x －1），x 24＋y23＝1，得8y 2＋43y －9＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－32，y 1·y 2＝－98，因此|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝34＋4×98＝212， 因此S △F 1PQ ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×212＝212.20. 解：(1)由题意知c a ＝22，b ＝1，综合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，因此，椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2，从而直线AP 与AQ 的斜率之和 k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2 ＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.21. 解：(1)x 23－y 2＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，消去y 得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，由已知，1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0⇒m 2＋1＞3k 2.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点P (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2， 因为AP ⊥CD ，因此k AP ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2－0＝m ＋1－3k 23km ＝－1k，整理得3k 2＝4m ＋1.② 联立①②得m 2－4m ＞0，因此m ＜0或m ＞4，又3k 2＝4m ＋1＞0， 因此m ＞－14，因此－14＜m ＜0或m ＞4.故m 的取值范畴为⎝⎛⎭⎫－14，0∪(4，＋∞)． 22. 解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)， 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，因此a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为：x 2＝4y ， 由此可知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32， 因此94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 3－x 4＝x 1－x 2，因此(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是那个方程的两根，因此x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0， 而x 3，x 4是那个方程的两根，因此x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤ 将④、⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2.即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，因此(9＋8k 2)2＝16×9， 解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.。
(好题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测卷(答案解析)
一、选择题1．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线20x y -=过点F 且与双曲线C 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，||||OP OF =，则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D 2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1，F 2，过右焦点F 2且斜率为的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．12C ．2D 3．已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ） A ．221124x y +=B ．2211612x y +=C ．221128x y +=D ．2212016x y +=4．抛物线：24y x =的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（ ） A ．21y x =-B ．212y x =-C ．22(1)y x =-D ．221y x =-5．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的左支于,A B 两点，若113AF F B =，23cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（ ）A B ．52C D ．536．已知M 是抛物线2:C x y =上一点，记点M 到抛物线C 的准线的距离为1d ，到直线:3490l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，则213a b +的最小值为（ ）A B C ．2D8．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．729．顶点在原点，经过点()，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（ ）A ．2y =或212=-x y B ．2y =-或212=-x yC ．2y =或212x y =D ．2y =-或212x y =10．已知抛物线2:4C y x =，过点()1,0A -作C 的两条切线，切点分别为B 、D ，则过点A 、B 、D 的圆截y 轴所得弦长为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(B ．C ．[D ．12．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是（ ）A ．23y x =B ．23y x =C ．28x y =D ．216x y =二、填空题13．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为___________.14．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅=，||MN b =，则C 的离心率为________.15．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.16．已知椭圆22:1168x y C +=的左､右焦点分别为12,F F ，直线(44)x m m =-<<与椭圆C 相交于点A ，B .给出下列三个命题：①存在唯一一个m ，使得12AF F △为等腰直角三角形； ②存在唯一一个m ，使得1ABF 为等腰直角三角形； ③存在m ，使1ABF 的周长最大.其中，所有真命题的序号为_________.17．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点11(,)P x y ，22(,)Q x y .①抛物线24y x =焦点到准线的距离为2； ②若126x x +=，则8PQ =；③2124y y p =-；④过点P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A ，则直线AQ 平行于 抛物线的对称轴；⑤绕点(2,1)-旋转且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条. 以上结论中正确的序号为__________.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心率为_________.19．直线AB 过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点，且线段AB 的中点的横坐标是3，则直线AB 的斜率是_____________.20．已知点P 是椭圆22:13x C y +=上动点，则点P 到直线30x y +-=距离的最大值是________．三、解答题21．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，｜AB ｜＝4， （1）求p 的值；（2）若|AF |＝2|BF |，求直线l 的方程.22．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且PEF 是边长为4的正三角形． （1）求C 的方程；（2）过F 作直线m ，交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为1-，求直线m 的方程．23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ∆的面积为92. （1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.24．（1）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为1F 、2F 为左、右焦点，M 为椭圆E 上一点，且123F MF π∠=，12F MF S =△，求椭圆E 的方程． （2）过点()()00P m m a <<,的直线交椭圆E 于A 、B 两点，交直线4x m=于点M ，设MA AP λ=，MB BP μ=，求λμ+的值．25．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，4AB =， （1）求p 的值：（2）若2AF BF =，求直线l 的方程.26．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2，直线:2l y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，点P 为直线1l ，2l 的交点. （i ）求证：点P 在一条定直线上； （ii ）求PAB △面积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】焦点三角形1PFF 满足||||OP OF =，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三角形是直角三角形.算出该三角形的中位线OH ，可得到12PF =，根据双曲线定义和勾股定理计算出,a c 求解. 【详解】直线20x y -+=过点F ，可得()F 设右焦点为1F ，PF 的中点为H .因为O 是1FF 的中点，且||||OP OF =，故三角形1PFF 为直角三角形.1PF PF ⊥，故OH PF ⊥由点到直线距离公式有1OH ==故12PF =，12PF PF a -=，(2222112PF PF F F +==故()2222220a ++=. 可得1a =ce a== 故选：D 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．2．D解析：D 【分析】首先设直线2x y c =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同时由条件可得123y y =-，与根与系数的关系联立消元可得22213242a b c +=，求得椭圆的离心率.【详解】设直线方程为2x y c =+，设()11,A x y ，()22,B x y，与椭圆方程联立得 22224102a b y cy b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，12222y y a b +=+4122212b y y a b =-+ ① 223AF F B =，()()1122,3,c x y x c y ∴--=-， 得123y y =- ②，由①②联立可得，22213242a bc +=即22222323c a b a c =+=-，得2243c a =， 椭圆的离心率3c e a ==. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.3．C解析：C 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=列方程可解得a ，b ，即可得到椭圆的方程． 【详解】22||2||AF BF =，2||3||AB BF ∴=， 又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴=， 又12||||2BF BF a +=，2||2aBF ∴=， 2||AF a ∴=，13||2BF a =， 12||||2AF AF a +=，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt2AF O 中，22cos AF O a∠=，在12BF F △中，由余弦定理可得22221316()()822cos 2242a a a BF F a a +--∠==⨯⨯．221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得22802a a a -+=，解得212a =．2221248b a c =-=-=．椭圆C 的方程为：221128x y +=．故选：C ． 【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.4．C解析：C 【分析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点的轨迹方程． 【详解】由抛物线的方程可得焦点(1,0)F ，可得过焦点的直线的斜率不为0， 设直线方程为：1x my =+，设直线与抛物线的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设AB 的中点(,)P x y ， 联立直线与抛物线的方程可得：2440y my --=，124y y m +=，21212()242x x m y y m +=++=+，所以可得2212x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 可得P 的轨迹方程：222y x =-，故选：C ． 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求法；5、参数方程法等等.5．C解析：C 【分析】设1133AF F B m ==，利用双曲线定义求出232AF m a =+，22F B m a =+，利用余弦定理写出,a m 关系，推知焦点三角形12F BF 是直角三角形，利用勾股定理求出,a c 关系式，从而求出离心率. 【详解】设1133AF F B m ==，则4AB m =，则由双曲线定义有232AF m a =+，22F B m a =+，在2AF B 中，由余弦定理有()()()()()22242232223m a m a m a m a m =+++-⋅++ 整理得22320m am a --=，解得m a = 故4AB a =，25AF a =，23F B a = 故2AF B 为直角三角形，290ABF ∠=在12Rt F BF △中，2221122F B F B F F +=，则()()22232a a c +=，故22252c e a ==故e =故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．B解析：B 【分析】作出图形，过点M 分别作抛物线C 的准线l 和直线3490x y ++=的垂线，垂足分别为点B 、A ，由抛物线的定义得出1d MB MF ==，可得出12d d MF MA +=+，利用FM 与直线3490x y ++=垂直时，12d d +取最小值，然后计算出点F 到直线3490x y ++=的距离，即为所求.【详解】 如下图所示：过点M 分别作抛物线C 的准线l 和直线3490x y ++=的垂线，垂足分别为点B 、A ， 由抛物线的定义可得1d MB MF ==，则12d d MF MA +=+， 当且仅当FM 与直线3490x y ++=垂直时，12d d +取最小值， 点F 到直线3490x y ++=的距离为22130494234d ⨯+⨯+==+，因此，12d d +的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题求出抛物线上一点到准线和定直线的距离之和最小值问题，解题的关键就是利用F 、A 、M 三点共线取最小值，结合抛物线的定义转化求解.7．C解析：C 【分析】由椭圆的离心率为223和222a b c =+，求得3a b =，化简2219113333a b b b b b ++==+，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>22，即23c a =，即22c =，又由222a b c =+，可得2219b a =，即3a b = 所以221911132323333a b b b b b b b++==+≥⋅=，当且仅当133b b=，即13b =时，“=”成立.故选：C. 【点睛】 关键点睛：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.8．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值 【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +>所以点P 到点D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为：1115||||||||||222PD PP PD PF DF +=+-≥-== 当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．9．D解析：D 【分析】设出抛物线方程为22y mx =或22x ny =，代入点的坐标求出参数值可得．【详解】设抛物线方程为22y mx =，则262(m =⋅，m =-2y =-，或设方程为22x ny =，则2(26n =⨯，14n =，方程为212x y =．所以抛物线方程为2y =-或212x y =． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：抛物线的标准方程有四种形式，在不确定焦点位置（或开口方向时），需要分类讨论．象本题在抛物线过一点的坐标，则需要考虑焦点在x 轴和y 轴两种情况，焦点在x 轴上时可以直接设方程为2y mx =，代入点的坐标求出参数值，不必考虑焦点是在x轴正半轴还是在负半轴，焦点在y 轴也类似求解．10．A解析：A 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，由判别式为零解出B 、D 两点的坐标，进而得出过点A 、B 、D 的圆的方程，求出弦长即可． 【详解】设过点()1,0A -的直线方程为1x my =-， 联立214x my y x=-⎧⎨=⎩，可得2440y my -+=，由216160m ∆=-=，解得1m =± 即2440y y ±+=，2y =±，不妨设()()1,2,1,2B D -，则BD 的中垂线方程为0y =，即圆心在x 轴上又()1,0A -，且点()1,0到点A 、B 、D 的距离都相等，则圆心坐标为()1,0，半径为2圆的方程为()2214x y -+=，令0x =，解得y =即圆被y 轴所截得的弦长为故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，解决本题的关键点是根据直线与抛物线相切，求出切点的坐标，进而得出圆的方程，求出弦长，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．11．D解析：D 【分析】联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+，由于直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点，可得210k -≠，由2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得即可【详解】解：联立直线方程1y kx =-和双曲线方程221x y -=，化为22(12)20k x kx --=+， 因为直线1y kx =-与双曲线221x y -=的右支交于不同两点， 所以210k -≠，且2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得1k <<，所以实数k 的取值范围为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得2248(1)0k k ∆=+->，1k <，从而可得答案12．D解析：D 【分析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的p ，则抛物线方程可求. 【详解】双曲线2C 的渐近线方程是22026x y -=，即y =.因为抛物线的焦点()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭0y -=的距离为2，则2231p =+，即8p =，所以1C 的标准方程是216x y =，故选：D ． 【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：已知双曲线方程22221x y a b-=或22221y x a b -=，求解其渐近线方程只需要将方程中的“1”变为“0”，由此得到的y 关于x 的一次方程即为渐近线方程. 二、填空题13．【分析】先利用点求抛物线方程利用相切关系求切线再分别联立直线和抛物线求出点即求出直线方程【详解】在抛物线上故即抛物线方程为设过点与圆相切的直线的方程为：即则圆心到切线的距离解得如图直线直线联立得故由 解析：3640x y ++=【分析】先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线,AB AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程. 【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离2202211k kd k -+-==+，解得3k =±，如图，直线():232AB y x -=-，直线():232AC y x -=--.联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x ++-=，故16833A B x x -=，由2A x =得8433B x -=，故363B y =，联立() 22322y xy x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x-+++=，故1683A Cx x+=，由2Ax=得843Cx+=，故236Cy--=，故2362364B Cy y---+=+=-，又由,B C在抛物线上可知，直线BC的斜率为22221114222B C B CBCB C B CB Cy y y ykx x y yy y--=====--+--，故直线BC的方程为23618432y x⎛⎫---=--⎪⎪⎝⎭，即3640x y++=.故答案为：3640x y++=14．2【分析】首先根据可得可计算结合可得是等腰三角形且再由渐进线的斜率可计算出点坐标即可求出点坐标利用结合可得之间的关系即可求解【详解】因为所以即所以为点到渐近线的距离所以可得点为的中点又因为所以所以设解析：2【分析】首先根据0OM MF⋅=可得⊥OM MF，可计算MF b=，结合||MN b=可得OFN△是等腰三角形，且ON c=，再由渐进线的斜率可计算出点N坐标，即可求出点M坐标，利用OM a=结合222b c a=-可得,a c之间的关系，即可求解.【详解】因为0OM MF⋅=，所以OM MF⊥，即⊥OM MF所以MF为点(),0F c到渐近线0bx ay-=的距离，22bcMF bcb a===+，所以MF MN b ==，可得点M 为NF 的中点， 又因为⊥OM MF ，所以ON OF c ==， 所以222OM c b a =-=，设双曲线的左焦点为1F ，1FON θ∠=，(),N x y 则()tan tan tan bFON FON aθπ=-∠=-∠=， 因为222c a b =+，所以cos acθ=，sin b c θ=所以cos a x ON c a c θ=-=-⋅=-，sin by ON c b cθ==⋅=， 所以(),N a b -，因为M 为NF 中点，所以,22a M c b -⎛⎫⎪⎝⎭， 222222c a b OM a -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入整理可得：()22224c a c a a -+-= 即222240c ac a --=，所以220e e --=，可得()()210e e -+=， 解得：2e =或1e =-（舍）， 故答案为：2 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法： （1）直接利用公式c e a=；（2）利用变形公式e =； （3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解.15．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化解析： 【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan b b BAO CFO a c ∠=∠=，根据离心率可求出22b a =，22b c=，代入正切公式即可求出结果. 【详解】 由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b b BAO CFO a c BDC BAO CFO b bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅ 因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么22b m =，极有223b a =，22b c =，代入上式得22228235221223+=--⨯． 故答案为：825-【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO ∠=∠+∠； （2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c 的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c 的比值，代入可求.16．①③【分析】首先根据题意得到设对①分类讨论和以及即可判断①为真命题对②根据椭圆的对称性可知利用解方程即可判断②为假命题对③利用椭圆的定义即可判断③为真命题【详解】由题知：设对①若则此时则所以满足为等解析：①③ 【分析】首先根据题意得到4a =，b c ==()1F -，()2F ，设(),A m y ，(),B m y -.对①，分类讨论12AF AF =，1290F AF ∠=，和1290AF F ∠=，以及2190AF F ∠=，即可判断①为真命题.对②，根据椭圆的对称性可知，11AF BF =，利用11AF k ==，解方程即可判断②为假命题，对③，利用椭圆的定义即可判断③为真命题. 【详解】由题知：4a =，b c ==()1F -，()2F ， 设(),A m y ，(),B m y -.对①，若12AF AF =，则0m =，此时(0,A .11AF k ==，21AF k ==-，则121AF AF k k ⋅=-，所以1290F AF ∠=，满足12AF F △为等腰直角三角形.若1290AF F ∠=，则()2A -，此时12AF =，12F F =.若2190AF F ∠=，则()2A ，此时22AF =，12F F =.所以存在唯一一个m ，使得12AF F △为等腰直角三角形，故①为真命题. 对②，根据椭圆的对称性可知，11AF BF =，满足等腰三角形. 当190AF B ∠=时，根据椭圆的对称性可知：直线1AF 的倾斜角为45，11AF k ==，即y m =+又因为221168m y +=，所以(22216m m ++=，解得0m =或3m =-，都在44m -<<内， 故存在唯一一个m ，使得1ABF 为等腰直角三角形为假命题. 对③，1ABF 的周长为11AB AF BF ++， 又因为128AF AF =-，128BF BF =-， 所以()112216AF BF AF BF +=-+，即1ABF 的周长为()2216AB AF BF +-+，又因为22AF BF AB +≥，当且仅当m =时取等号， 所以()22AF BF AB -+≤-，即1ABF 的周长为()22161616AB AF BF AB AB +-+≤+-=.当且仅当m =时，1ABF 的周长最大. 故③为真命题. 故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的定义，解决本题①的关键为分类讨论12AF AF =，1290F AF ∠=，和1290AF F ∠=，以及2190AF F ∠=，②的关键为代入椭圆的对称性，③的关键为椭圆的定义，属于中档题.17．①②④【分析】焦点到准线的距离为即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理可判断③；求出两点坐标计算斜率即可判断④；时与抛物线只有一个交点设过点的直线为与抛解析：①②④ 【分析】焦点到准线的距离为p 即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线PQ 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断③；求出,A Q 两点坐标，计算AQ 斜率即可判断④；1y =时与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，与抛物线方程联立，利用0∆=求出k 的值，即可得出有一个公共点的直线条数，可判断⑤，进而可得正确答案. 【详解】抛物线2:4C y x =可得2p =，()1,0F对于①：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线l 为1x =-，所以焦点到准线的距离为2，故①正确；对于②：根据抛物线的对义可得：121286222p px x x P p Q x +++=++=+==， 对于③：设直线PQ 方程为：1x ky =+与2:4C y x =联立可得2440y ky --=，可得124y y =-，因为2p =，所以2124y y p ≠-，故③不正确；对于④：11(,)P x y ，所以OP ：11y y x x = ，由111y y x x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得11y y x =-，所以111,y A x ⎛⎫--⎪⎝⎭，因为22(,)Q x y ，124y y =- 解得：214y y -=，所以214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为11(,)P x y 在抛物线2:4C y x =上，所以2114y x =，所以21114x y =，1114y x y -=-所以141,A y ⎛⎫--⎪⎝⎭，因为214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0AQ k =，所以//AQ x 轴，即直线AQ 平行于抛物线的对称轴，故④正确；对于⑤：1y =时，显然与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，由224x ky k y x=--⎧⎨=⎩可得：24480y ky k -++=，令()2164480k k ∆=-+= 可得2k =或1k =-，故过点(2,1)-且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条.，故⑤不正确， 故答案为：①②④ 【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）若点A 在第一象限，点B 在第四象限，则1cos p AF α=-，1cos pBF α=+，弦长1222sin pAB x x p α=++=，（α为直线AB 的倾斜角）； （3）112||||FA FB p+=； （4）以AB 为直径的圆与准线相切； （5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.18．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E 的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故【分析】由题意设00(,)P x y ，即有00(,)Q x y --，由双曲线定义及已知可得22003()a a x x c c +=-且22200x y b +=，结合点在曲线上联立方程得到关于,a c 的齐次方程，即可求得离心率.【详解】令00(,)P x y ，00,0x y >则00(,)Q x y --且2200221x y a b-=①，由题意知：E 的左准线为2a x c =-，结合双曲线第二定义知：20||()a PF e x c=+，20||()a FQ e x c =-，又||3||PF FQ =，∴22003()a a x x c c +=-，解得202a x c=②， ∵||OP b =知：22200x y b +=，∴联立①，②得：42222244(1)a a b b c c+-=，整理得223a c =， ∴3e = 3【点睛】关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数e ，可得点P 的横坐标为22ac；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于,a c 的齐次方程求离心率即可.19．1或【分析】根据抛物线方程得到设直线方程为与抛物线方程联立得：再根据线段的中点的横坐标为3求得即可得到直线斜率【详解】因为直线AB 过抛物线的焦点F 且与抛物线交于AB 两点所以斜率不为0设直线AB 方程为解析：1或1- 【分析】根据抛物线方程，得到()1,0F ，设直线方程为1x my =+，与抛物线方程联立得：2440y my --=，再根据线段AB 的中点的横坐标为3，126x x +=，求得m ，即可得到直线斜率. 【详解】因为直线AB 过抛物线24y x =的焦点F (1,0)且与抛物线交于A 、B 两点， 所以斜率不为0，设直线AB 方程为1x my =+，与抛物线方程联立得：2440y my --=， 由韦达定理得：12124,4y y m y y +=⋅=-， 所以()21212424223x x m y y m +=++=+=⨯，解得1m =±所以直线的方程为1x y =±+， 所以1AB k =±. 故答案为：1或1-20．【分析】设与平行的直线与相切求解出此时的方程则点到直线距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出【详解】设与平行的直线当与椭圆相切时有：所以所以所以所以或取此时与的距离为所以点到直线距离的最大值为解析：2【分析】设与30x y +-=平行的直线:l y x m '=-+与22:13xC y +=相切，求解出此时l '的方程，则点P 到直线30x y +-=距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出.【详解】设与30x y +-=平行的直线():3l y x m m '=-+≠，当l '与椭圆C 相切时有：2233y x mx y =-+⎧⎨+=⎩，所以2246330x mx m -+-=， 所以()223616330m m ∆=--=，所以2m =±，所以:20l x y '+-=或:20l x y '++=，取:20l x y '++=，此时:20l x y '++=与30x y +-=的距离为2d ==，所以点P 到直线30x y +-=，故答案为：2. 【点睛】方法点睛：求解椭圆22221x y a b+=上一点到直线距离的最值的两种方法：（1）设与已知直线平行的直线l 与椭圆相切，求解出切线l 的方程，根据平行直线间的距离公式求解出点到直线距离的最值；（2）将P 点坐标为设为()cos ,sin a b θθ，利用点到直线的距离公式以及三角函数的知识求解出点到直线距离的最值.三、解答题21．（1）2；（2）y ＝(x ﹣1). 【分析】（1）根据题意可得F （2p ，0），当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝2p，与抛物线联立得A ，B 坐标，再计算|AB |＝2p ＝4，即可得出答案.（2）设直线l 的方程为y ＝k (x ﹣1），A (x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与抛物线的方程可得的关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，再结合|AF |＝2|BF |与焦半径公式可得x 1＝2x 2+1，进而解得x 2，x 1，故由x 1+x 2＝2224k k +＝52，解得k ，进而可得答案. 【详解】解：（1）根据题意可得F (2p，0)， 当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝2p ， 联立直线l 与抛物线y 2＝2px ，得y 2＝2p ×2p ， 解得y ＝±p ，所以A （2p ，p ），B （2p，﹣p ）， 所以|AB |＝2p ＝4，所以p ＝2.（2）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得k 2x 2﹣(2k 2+4)x +k 2＝0，所以∆＝(2k 2+4)2﹣4k 4＝16k 2+16＞0，所以x 1+x 2＝2224k k+，x 1x 2＝1， 因为|AF |＝2|BF |，根据焦半径公式可得|AF |＝x 1+1＝2（x 2+1）＝2|BF |，即x 1＝2x 2+1， 所以(2x 2+1)x 2＝1，即222x +x 2﹣1＝0，解得x 2＝12或x 2＝﹣1（舍）， 所以x 1＝2x 2+1＝2，所以x 1+x 2＝2224k k+＝52，即k 2＝8，解得k ＝，所以直线l 的方程为：y ＝(x ﹣1). 【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线的方程，考查抛物线的焦点弦性质．解题方法是设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用抛物线的定义结合已知条件得出12,x x 的关系，而直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，由刚才的关系可求先得12,x x ，再求得直线斜率k ．这里仍然利用了设而不求的思想方法． 22．（1）24y x =；（2）220x y +-=. 【分析】（1）设l 与x 轴交于点D ，根据PEF 是边长为4的正三角形．得到PE l ⊥，60PEF EFD ∠=∠=︒，然后由||cos60p DF EF ==求解.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 在抛物线上，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，根据线段AB 中点的纵坐标为1-，利用“点差法”求解. 【详解】（1）因为PEF 是边长为4的正三角形． 则||||PE PF =，所以PE l ⊥，设l 与x 轴交于点D ，则60PEF EFD ∠=∠=︒，||4EF =， 所以||cos602p DF EF === 所以抛物线的方程为24y x =．（2）由（1）得抛物线C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，设A ，B 两点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，得()121212124y y x x x x y y -=≠-+， 因为线段AB 中点的纵坐标为1-，所以直线m 的斜率21442(1)2AB k y y ==-+-⨯=， 所以直线m 的方程为02(1)y x -=--， 即220x y +-=． 【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．23．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据椭圆离心率和椭圆的性质可知b =，再根据PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为 92，由面积公式可知()212922b ac a +⋅=，由此即可求出椭圆方程； （2）设直线PQ 的方程为1x my =+，联立椭圆方程，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由韦达定理，可知 12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，将直线AP 的方程()112+2y y x x =+与直线 BQ 的方程()2222y y x x =--联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果. 【详解】 解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+，所以b =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c = 所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为 1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得 ()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线 BQ 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+，代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x =故点M 在定直线4x =上. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于设直线PQ 的方程为1x my =+，避免了斜率存在和不存在的分类讨论，使得运算简化.24．（1）22:142x y E +=；（2）0．【分析】（1）首先根据题意得到c =11MF r =，22MF r =，得到122r r a +=，再根据12F MF S =△和余弦定理即可得到24a =，22b =，从而得到椭圆的标准方程. （2）首先设直线x ky m =+，与椭圆联立得到222(2)240k y kmy m +++-=，从而得到1221224y y km y y m +=--，联立4x m x ky m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得到244m M m km ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.再根据MA AP λ=，MB BP μ=，得到2141m kmy λ-=-和2241m kmy μ-=-，计算λμ+即可. 【详解】（1）由已知得2c =，即c =设11MF r =，22MF r =，得到122r r a +=. 在12F MF △中，12121sin 23F MF r r S π==△，解得1283r r =.(22212122cos3r r r r π=+-，化简得：()2121283r r r r =+-，288433a =-⨯，解得24a =.所以2242b =-=，椭圆22:142x y E +=.（2）由（1）知22:142x y E +=，()()002P m m <<,，设直线x ky m =+， 联立2224x ky m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(2)240k y kmy m +++-=12222km y y k +=-+，212242m y y k-=+ 所以1221224y y km y y m +=-- 联立4x m x ky m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得244m M m km ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.21144,m MA x y m km ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，()11AP m x y =--,由MA AP λ=，得2114m y y km λ--=-，得2141m kmy λ-=-. 同理MB BP μ=得2241m kmy μ-=-. 222212212124444222204y y m m m m kmkmy kmy km y y km m λμ+-----+=+-=⋅-=⋅-=-.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题.本题中直线方程代入椭圆方程整理后得到1221224y y km y y m +=--和利用向量关系得到2141m kmy λ-=-和2241m kmy μ-=-为解决本题的关键，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力． 25．（1）2p =；（2）)1y x =±- 【分析】（1）根据题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当l x ⊥轴时，l 的方程为：2p x =，进而与抛物线联立得,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故24AB p ==，进而得答案； （2）由（1）得抛物线C ：24y x =，()1,0F ，设直线l 方程为：()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，进而与抛物线联立方程得212224k x x k ++=，121=x x ，再结合焦半径公式和2AF BF =得1221x x =+，进而得212x =，12x =，故21222452k x x k ++==，解方程得k =±，进而得答案. 【详解】解：（1）根据题意得：,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，。
高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 学业分层测评7 Word版含答案
学业分层测评
(建议用时：分钟)
[学业达标]
一、选择题
．椭圆＋＝的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
．，．，
．，
．，
【解析】椭圆方程可化为＋＝.
∴＝，＝，＝，
∴长轴长＝，短轴长＝，
离心率＝＝.故选.
【答案】．若焦点在轴上的椭圆＋＝的离心率为，则等于( )
【解析】∵椭圆焦点在轴上，
∴＜＜，＝，＝，
＝＝＝.
故＝，∴＝.
【答案】．中心在原点，焦点在轴，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴
三等分，则此椭圆的方程是( )
＋＝＋＝
＋＝＋＝【解析】因为＝＝×＝，所以＝，＝，＝－＝.故所求方程为＋＝.
【答案】
．已知椭圆＋＝(>>)的两顶点为()，(，)，且左焦点为，△
是以角为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为( )
【解析】由题意得＋＋＝(＋)，即＋－＝，即＋－＝，解得＝，又>，
故所求的椭圆的离心率为.故选.
【答案】．设是椭圆＋＝的离心率，且∈，则实数的取值范围是( )
．()
．()
．()∪
【解析】当焦点在轴上时，＝＝∈，
解得＜＜.
当焦点在轴上时，
＝＝∈，
解得＞.综上可知选.
【答案】
二、填空题．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方
程为. 【导学号：】【解析】由题意得(\\(()＝()，＝，＝＋，))
解得(\\(＝，＝()，＝，))
∴椭圆方程为＋＝或＋＝.
【答案】＋＝或＋＝
．若椭圆＋＝的离心率为，则的值为．【解析】若焦点在轴上，则＝－＝，＝；若焦点在轴上，则＝，。
新人教A版(选修1-1)第二章《圆锥曲线与方程》word单元测试
圆锥曲线与方程测试⑵第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的.)21、抛物线y =4x 的焦点坐标为( )A. (0,1)B. (1,0)C.(0,2)D. (2,0) 2、 在抛物线y 2=2px 上,横坐标为4的点到焦点的距离为 5,则p 的值为()A. 2B.1C.丄D.422 23、 若抛物线y2=2px(p 0)的焦点与双曲线X - y1的右焦点重合，则p 的值为124( )A.2B.4C.8D. 4 .. 224、已知抛物线y =2x 上的一个动点，则点p 到点(0,2)的距离与p 到该抛物线的距离 之和的最小值为()v 17A.B.326、当a 为任意实数时，直线(a -1)x - y • 2a 7=0恒过定点p ，则过点p 的抛物线的 标准方程是(C. 59 D. 25、抛物线y 2=4x 上的点 p 到抛物线的准线的距离为d 1,到直线3x-4y • 9=0的距离为d 2则d 1 d 2的最小值为(B.-)C.22A . y 2C.y 9十 2 x 或x29 2 x 或x24 =3y 42B .2D . y9十 24 x 或x y 23 9十 24或2y =2x(y 0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是7、圆心在抛物线22 小丨小 2 2 c’cA. x y -x-2y - 0B. x y x-2y 1=0 41C.x y —x-2y 1=0D. x y -x-2y 048、抛物线（x-2）2 =2（y-m • 2）的焦点在x轴上，则实数m的值为（）3A.0B.C.2D.329、过抛物线y2=4x的焦点作直线I交抛物线于A、B两点若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于（）A.2B.4C.6D.810、将抛物线y =x2 -4x绕其顶点顺时针旋转90°,则抛物线方程为（）A. (y I)2 =2 _xB.(y 1)2 = x _2C.(y-1)2=2-xD.(y-1)2=x-211.一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线 x ^0相切，则动圆必过定点（）A. (0,2)B. (0, 2)C. (2,0)D. (4,0)12.过抛物线2y二ax （a 0）的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点,若线段AF、BF的长分别为m、n，则』^等于（）m n1 1 aA. 一B. 一C.2aD.-2a 4a 4第H卷（非选择题共90分）、填空题（本大题共4小题,每小题4分,共16分■把答案填在题中的横线上.）13、若直线ax — y+1 =0经过抛物线y2 =4x的焦点，则实数a= ___________14、已知抛物线y=ax2-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________15、已知圆C的圆心与抛物线y =4x的焦点关于直线y=x对称•直线4x —3y —2 =0与圆C相交与A、B两点，且| AB | = 6,则圆C的方程为_________21、(12 分)如图，直线丨与抛物线y 2=x 交于A(x 1 , yJ,B(x 2 , y 2)两点, 与x 轴相交于点M ，且 y 1 y 2 - -1 •(1) 求证：M 点的坐标为(1,0); (2) 求证：OA _ OB ； ⑶求 AOB 的面积的最小值•16、如图，过抛物线y 2=2px(p ■ 0)的焦点F 的直线丨交抛物线于点 A 、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|, 且|AF|=3,则此抛物线的方程为 ____________ .三、解答题(本大题共6小题，共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及 演算步骤.)17、(12 分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线 y =2x • 1交于P 、Q 两点,|PQ|= 15,求 抛物线的方程18、(12 分)某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成 ，尺寸 如图2所示，某卡车载一集装箱，箱宽3m,车与箱共高 此车能否通过此隧道巧青说明理由•19、（12 分） 过抛物线y 2=4x 的焦点引一直线，已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成2:1,求这条直线的方程•20、（12 分）2 2抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 —2-=1的一个焦点 a b ，且与双曲线实轴垂直已知抛物线与双曲线的交点为3,6 •求抛物线与双曲线的方程 22ni22、(14 分)已知抛物线y2 =4x及点P(2,2)，直线l且不过点P ,与抛物线交于点 A,B,(1)求直线I在y轴上截距的取值范围；⑵若AP,BP分别与抛物线交于另一点C、D,证明:AD,BC交于定点.参考答案一、选择题2 P1.B 因为p=2,所以抛物线y =4x的焦点坐标是(”,0)=(1,0)22.A 抛物线的标准方程为x P，由抛物线的定义知4 •卫=5,解得p = 22 23.C 双曲线的右焦点为(4,0)，卫=4= p=8.214.A 依题设P在抛物线准线的投影为P',抛物线的焦点为F,则F(—,0),依抛物线的定义2知P到该抛物线准线的距离为| PP'| PF |,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d =| PF | | PA|_| AF卜9.D 易知线段AB的中点到准线的距离为4,设A,B两点到准线的距离分别为d1, d?由抛物5.D 抛物线的焦点为F(1,0)，有4 = PF ,而点F到直线的距离d =3 1-4 0 9 12 d1 d26.A由直线方程得a(x+2)—x—y十1 =0,由«!x+2=01 0，得P(-2,3), _x _ y 1=0经检验知A正确.7.D由抛物线的定义可知，所求圆与x轴相切于抛物线的焦点P(^ ,0),从而可求得圆心2(丄,1),半径r =1,所以所求圆的方程为28.B依题意得该抛物线的焦点坐标为1 (x )21(2,； (m-2)),于22(y -1)^1 .故选 D1 3是2 (『2)7,解得m = 3 222线的定义知 | AB |=| AF | | BF |= 4 d 2 = 2 4=810. B 由y =x2-4x • 3=(x-2)2 -1得(x -2)2=：y ・1,绕其顶点顺时针旋转90后开口方向改变，得到(y • 1)2=x - 22 211. C 由抛物线y =8x 的准线方程为x- -2,由题可知动圆的圆心在 y = 8x 上，且恒与抛 物线的准线相切，由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点(2,0)1 2 2 112. B 设直线方程为y =kx • 与y =ax 联立消去x 得ax -kx0 ,4a4a22k 122k 1设 A(x !,ax !),B(x 2,ax 2),则捲 x ?,xx 2,/ X 222,a4a a 2a2 221 * 1k 1 k 1n 二 ax 2 ,可得 mn ( ), m n 二 4a4a a a a amn 1 m n 4a填空题213•线 ax-y ，1=0经过抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0),则 a • 1 = 0, a =-1211 1 214.由抛物线y =ax -1的焦点坐标(0,1)为坐标原点得，a ,则y x - 1的坐 4a 4 41标轴的交点为(0,-1),(-2,0),(2,0),则以这三点围成的三角形的面积为 4 1=22x 2 (y -1)2 =1016•设 A(x 「yj, Bg y ?)，作 AM 、BN 垂直准线于点M 、N,则 BN = BF ，又 BC =2 BF ,得 BC =2 BN ，得/NCB =30”, 有 AC =2 AM =6,设 BF =x ，则 2x+x+3 = 6二 x=1,而捲 +^=3,22 221m =ax t4a 15•抛物线的焦点为 (1,0),所以圆心坐标为2(0,1),=32(0-3-2)25"= 10,圆C 的方程为x2 — = 1，且xx 二丄，••• (3 - R)(1 -卫)=卫=p 一 ,得y2 = 3x •2 4 2 2 4 2三、解答题17•解:设抛物线的方程为y2=2px,则y 2 Px ,消去y得ly = 2x+1把y 1,y 2代入①式得k = 2 2,故所求的直线方程为 2 2x 一 y - 2 2 = 0,20.解:由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y 2=2px(p 0,24x -(2 p -4)x 1 = 0, X | x 2 p-22，X 1X 2AB = J i +k 2x 1 -x 2亦』(为 +X 2)2_4x i X 2 = ^{(■^^2)2_4= -、3, p - 4p -12 = 0, p _ -2,或6y 2 - -4x,或 y 2 =12x18.解：取抛物线顶点为原点，水平向右为 x 轴正方向建立直角坐标系 2x 二 ~2py(p 0),当x =3时，y = —3，即取抛物线与矩形的结合点 (3, — 3), 代入x 2- -2py ，得9 =6p ,贝U p = 3，故抛物线方程为x 2- -3y .2已知集装箱的宽为 3m,取x ，则y -」x 2 - - 3.2 3 4 、、、、 3 1而隧道高为 5m, 5m m =4—m 4m .4 4,设抛物线方程为19•解:由 y 2=4x 得焦点 F(1,0)，设所求弦两端点为2，yJ ，B =(y ： 4小),y2 - -y 14 22 'y 2 y 1 yr y 244①,y 1 y 2又 AB 过焦点 F(-,0)，且 y 1y 2 2-p 2 ,故 yy 一4由②③解得丁1=2£y2 - - 2丫 1 = -<2Iy 2 = 22直线k AB将交点3, 6代入得p=2,故抛物线方程为y2=4x,焦点坐标为(1,0), V 丿这也是双曲线的一个焦点，则c =1.又点3, 6也在双曲线上，因此有-92_-^2 =1. [2丿 4a 2 b 2 又a 2 b 2 =1,因此可以解得a 2 =-, b 2 =3,44因此，双曲线的方程为Ax 2—4】/.3 21.解:⑴ 设M 点的坐标为(x 0,O),直线l 方程为= my x 0，代入y 2 =x 得2 y -my-x 0 =0 ① y 「y 2是此方程的两根，二 x()- -y 1y 2 =1,即 M 点的坐标为(i, 0).2 2 ⑵••• y“2 --1 ,•••Ex ? y 』2 y 2 y 〃2 =%丫2(%丫 2 1) =0 ••• OA _ OB .⑶由方程①，y 1 y 2 二 m , %y 2 - -1，且 |OM |=X o =1,于是 S^OB =1〔OM ||y^Y 2 |=*J(y 1 +y 2)2 —4^2 =*如2+4 > 1, •••当m = 0时，.\AOB 的面积取最小值1.22. 解:(1)设直线l 的方程为y = x • b(b = 0)，由于直线不过点 P ,因此b = 0y = x + b 22 由」2 得x +(2b-4)x+b =0,由也> 0,解得by = 4x 所以，直线丨在y 轴上截距的取值范围是 (-：：,0) 一 (0,1)2n ,m),( ,n)，因为AB 斜率为1,所以m • n = 4,42设D 点坐标为, y D ),因为B 、P 、 42 直线 AD 的方程为 y - m 二 —^D —片(x - m) y _ m 2 444 2m 2 2 2m m - 2m即直线AD 与y 轴的交点为(0,2)，同理可得BC 与y 轴的交点也为(0,2), 所以AD,BC 交于定点(0,2).2 一 m(2)设A,B 坐标分别为(—— D 共线，所以k PB = k DP ，得y D = =2 — n m — 2my 。
人教新课标版(A)高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程单元测试
人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程单元测试（时间：120分钟 分值：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 以112y 4x 22-=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是A. 14y 16x 22=+B. 116y 4x 22=+C. 112y 16x 22=+D. 116y 12x 22=+2. 动圆的圆心在抛物线x 8y 2=上，且动圆恒与直线02x =+相切，则动圆必过点A. （4，0）B. （2，0）C. （0，2）D. （0，-2）3. AB 是抛物线x 18y 2=的一条过焦点的弦，20|AB |=，AD 、BC 垂直于y 轴，D 、C 分别为垂足，则梯形ABCD 的中位线长为A. 5B.211 C.29 D. 104. 方程2sin y 3sin 2x 22-θ++θ=1所表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线5. 设P 为椭圆1by a x 2222=+上一点，1F 、2F 为焦点，如果∠75F PF 21=°，∠=12F PF 15°，则椭圆的离心率为A. 22B. 23C. 32D. 36 6. 以椭圆1144y 169x 22=+的右焦点为圆心，且与双曲线116y 9x 22=-的渐近线相切的圆的方程为A. 09x 10y x 22=+-+B. 09x 10y x 22=--+C. 09x 10y x 22=-++D. 09x 10y x 22=+++7. 椭圆11a 4y a 5x 222=++的焦点在x 轴上，而它的离心率的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛51,0B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,51C. ⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛55,0D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡1,55 8. 设双曲线1b y a x 2222=-与1by a x 2222=+-（0a >，0b >）的离心率分别为1e 、2e ，当a 、b 变化时，21e e +的最小值是A. 4B. 24C.2 D. 229. 设椭圆12y 6x 22=+和双曲线1y 3x 22=-的公共焦点分别为1F 、2F ，P 是两曲线的一个交点，则cos ∠21PF F 的值为A.41 B.31 C.32 D. 31-10. 过抛物线x 4y 2=的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标1x 与N 的横坐标2x 之积为A. 64B. 32C. 16D. 411. 抛物线x y 2=和圆()1y 3x 22=+-上最近的两点之间的距离是A. 1B. 2C.1210- D.1211- 12. 已知圆的方程为4y x 22=+，若抛物线过点A （-1，0）、B （1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点F 的轨迹方程是A. 14y 3x 22=+（0y ≠） B. 13y 4x 22=+（0y ≠） C. 14y 3x 22=+（0x ≠） D.13y 4x 22=+（0x ≠）二、填空题（每小题4分，共16分）13. （2004·湖南）1F 、2F 是椭圆C ：14y 8x 22=+的焦点，在C 上满足1PF ⊥2PF 的点P的个数为__________。
(好题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测(含答案解析)
一、选择题1．已知点A 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点，(),0F c 为椭圆的右焦点，B 、E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形（O 为坐标原点），过直线AE 上一点P 作圆()2224b x c y -+=的切线PQ ，Q 为切点，若PQF △面积的最小值大于28b ，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A ．1020,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．102,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．510,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．51,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2．已知点12,F F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，椭圆上存在不同两点,A B 使得122F A F B=，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭3．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（ ） A ．2B ．62C ．82D ．84．已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是（ ） A ．36B ．48C ．72D ．965．已知12,F F 分别是双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为（ ）A ．2B 1C ．1D 26．已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ） A ．221124x y +=B ．2211612x y +=C ．221128x y +=D ．2212016x y +=7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线分别交抛物线于A ，B 两点，若4AF =，1BF =，则p =（ ） A ．165B ．2C ．85D ．18．过抛物线24y x =的焦点作两条相互垂直的弦AB ，CD ，且AB CD AB CD λ+=⋅，则λ的值为（ ）A ．12B ．14C ．18D ．1169．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（ ） A ．253B ．496C ．436D ．25410．已知抛物线2:4C y x =，过点()1,0A -作C 的两条切线，切点分别为B 、D ，则过点A 、B 、D 的圆截y 轴所得弦长为（ ）A ．B ．C ．D ．11．“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示为椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．已知过点(,0)A a 的直线与抛物线22(0)y px p =>交于M.N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得16OM ON ⋅=-成立，则a 的值为（ ） A ．4-B ．2C ．4D ．8二、填空题13．已知双曲线M ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是___________.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线:2230l kx y ka --=与双曲线C 交于A 、B 两点．若7AF FB =，则实数k ＝________．15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ，过点F 且平行于OA 的直线交另一条渐近线于点B ，若AB OB ⊥，则双曲线C 的离心率为____________. 16．已知1F ､2F 为椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 为1C 和2C 的一个公共点，且1213F PF π∠=，椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的最大值为________________.17．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，过O 作⊥OD AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为()2,1，则椭圆C 的方程为_________．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:17y x Γ-=的两个焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心，12F F 长为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线交于M ，N 两点，若OM ON ≥，则OMON的值为________. 20．已知点P 是椭圆22:13x C y +=上动点，则点P 到直线30x y +-=距离的最大值是________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为l 与抛物线C 相交于点M ，N ，点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线l 过定点，并求出定点坐标.22．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知两点()1,0M -，()1,0N ，动点Q 到点M 的距离为，线段NQ 的垂直平分线交线段MQ 于点K ，设点K 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知点()2,0P ，设直线l ：10x my +-=与曲线E 交于A ，B 两点，求证：OPA OPB ∠=∠.24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()2,1A ，椭圆C 在点A 处的切线方程为3y x =-+.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()3,0B 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 分别与直线3x =-分别交于P ，Q ，记点P,Q 的纵坐标分别为p ，q ，求p q +的值. 25．已知抛物线()2:20C y px p =>，直线()0y kx k =>与C 交于点A (与坐标原点O不重合)，过OA 的中点P 作与x 轴平行的直线l ，直线l 与C 交于点,Q 与y 轴交于点.R （1）求PR QR；（2）证明:直线AR 与抛物线C 只有一个公共点.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ∆的面积为92. （1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】结合题意先计算直线AE 的表达式，然后运用点到直线的距离计算圆心F 到直线AE 的距离，求出三角形PQF 的面积表达式，结合题意得到不等式，继而计算出椭圆离心率的取值范围. 【详解】因为四边形OABE 是平行四边形，所以//BE AO ，且BE AO a ==，又因为点B 、E关于y 轴对称，所以0,2a E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程得222214y a a b+=，解得0y =±，故2a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(),0A a -，所以()2:32AE l y x a a =+，即30ay -=，故min PF 即为F 到直线AE 的距离，d=，此时PQ ==故2112228PQFb b SPQ R =⋅=⋅>，化简得2212d b >，故()2222231392b ac b b a +>+，即()()222231239a c a c a +>-+，整理得22222142a ac c a c ++>-，分子分母同除以2a ，得2212142e e e ++>-，即23420e e+->，所以e<舍去)或23e >，在椭圆中a c >，所以1e <，所以e ⎫∈⎪⎪⎝⎭故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出三角形PQF 的面积表达式，结合题意得到不等式进行求解，有一定的计算量，需要把基础知识掌握牢固.2．C解析：C 【分析】先设点，利用向量关系得到两点坐标之间的关系121223,2x x c y y =-=，再结合点在椭圆上，代入方程，消去222a y 即得2229312c a x c+=，根据题意2x a <，构建,a c 的齐次式，解不等式即得结果. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由()()12,0,,0F c F c -得()()112212,,,F A F x c y x c y B -==+，122F A F B =，()()11222,,x c y x c y =∴+-，即121223,2x x c y y =-=，由,A B 在椭圆上，故2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，即()()2222222222222222232b x c a y a b b x a y a b⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，消去222a y 得，2229312c a x c+=，根据椭圆上点满足a x a -≤≤，又,A B 两点不同，可知2229312c a x a c+=<，整理得22340c ac a -+<，故23410e e -+<，故113e <<.故选：C. 【点睛】 关键点点睛：圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到,,a b c 一组等量关系（齐次式），进而求解离心率或范围.3．D解析：D 【分析】写出直线l 的方程，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得AB . 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，直线l 的方程为1y x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，可得2610x x -+=，2640∆=->，所以，126x x +=， 由抛物线的焦点弦长公式得1228AB x x =++=. 故选：D. 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．4．D解析：D 【分析】求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得222AF BF +的最小值.【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，在椭圆C 中，6a =，b =4c =，由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点， 所以，四边形AFBF '为平行四边形，所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，0k ≠，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，()()2222222122324144349696AF BF BFBF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，当且仅当4BF =时，等号成立，因此，222AF BF +的最小值为96. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.5．C解析：C 【分析】设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ，根据圆的切线性质，可得2OM =，即可得答案. 【详解】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点M ，则11||||,||||PA PB F A F M ==，22||||F B F M =．又点P 在双曲线右支上， 12||||2PF PF a ∴-=，即12(||||)(||||)2PA F A PB F B a +-+=， 12||||2F M F M a ∴-= ①，又12||||2F M F M c += ②， 由①＋②，解得1||F M a c =+， 又1||OF c =，则(,0)M a ，因为双曲线2214x y -=的2a =，所以内切圆圆心I 与在直线2x =上，设0(2,)I y ， 设圆22(1)1y x +-=的圆心为C ，则(0,1)C ， 所以()220||21CI y =+-，当01y =时，min ||2CI =，此时圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为min ||1211CI -=-=．故选： C ．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，关键点是由定义和已知得到12||||2F M F M a -=和12||||2F M F M c +=，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=列方程可解得a ，b ，即可得到椭圆的方程． 【详解】22||2||AF BF =，2||3||AB BF ∴=， 又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴=， 又12||||2BF BF a +=，2||2aBF ∴=，2||AF a ∴=，13||2BF a =， 12||||2AF AF a +=，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt2AF O 中，22cos AF O a∠=，在12BF F △中，由余弦定理可得22221316()()822cos 2242a a a BF F a a +--∠==⨯⨯． 221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得22802a a a -+=，解得212a =．2221248b a c =-=-=．椭圆C 的方程为：221128x y +=．故选：C ． 【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.7．C解析：C 【分析】直接设出直线方程，用“设而不求法”表示出AF ，BF ，利用性质可解. 【详解】由题意可知直线AB 的斜率一定存在，设为k ，联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去y 可得()22222204k p k x k px -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以2124p x x =.又根据抛物线的定142p x +=，212p x +=，所以241224p p p ⎫⎫⎛⎛--= ⎪⎪⎝⎝⎭⎭，解得85p =.故选：C 【点睛】"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.8．B解析：B【分析】首先设直线AB 的方程为1x ty =+， 与抛物线方程联立分别求AB 和CD ，分别计算AB CD +和AB CD ，再求λ的值.【详解】24y x =的焦点为()1,0，设AB 的直线方程为1x ty =+，CD 的直线方程为11x y t=-+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124y y t +=，124y y =-，则()241AB t ==+，同理2141CD t ⎛⎫=+⎪⎝⎭，22142AB CD t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 221162AB CD t t ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭， 故14λ=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用弦长公式求AB ，并且利用AB CD ⊥，将t 换成1t-求CD . 9．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍）当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.10．A解析：A 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，由判别式为零解出B 、D 两点的坐标，进而得出过点A 、B 、D 的圆的方程，求出弦长即可． 【详解】设过点()1,0A -的直线方程为1x my =-，联立214x my y x=-⎧⎨=⎩，可得2440y my -+=，由216160m ∆=-=，解得1m =±即2440y y ±+=，2y =±，不妨设()()1,2,1,2B D -，则BD 的中垂线方程为0y =，即圆心在x 轴上又()1,0A -，且点()1,0到点A 、B 、D 的距离都相等，则圆心坐标为()1,0，半径为2 圆的方程为()2214x y -+=，令0x =，解得y =即圆被y轴所截得的弦长为故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，解决本题的关键点是根据直线与抛物线相切，求出切点的坐标，进而得出圆的方程，求出弦长，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．11．C解析：C 【分析】根据方程2214x y a a +=-表示椭圆求出实数a 的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断出“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的条件.【详解】若方程2214x y a a+=-表示椭圆，则0404a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得02a <<或24a <<， 记为{}02,24A a a a =<<<<或， 又记{}04B a a =<<，AB则“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出方程为椭圆的充分必要条件.12．C解析：C 【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出1212,y y y y +及12x x ，把16OM ON ⋅=-用坐标表示代入上述值结合已知条件可得答案.【详解】设直线MN 的直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由题意得22x ty a y px=+⎧⎨=⎩，整理得2220y pty pa --=，所以12122,2y y pt y y pa +==-，()()()2212121212x x ty a ty a t y y at y y a =++=+++()()2222t ap at pt a =-++，因为16OM ON ⋅=-，所以121216x x y y +=-， 所以()()2222216tpa at pt a pa -++-=-，22160a pa -+=，因为方程有且仅有一个实数a ，所以()22640p ∆=-=，解得4p =，或4p =-（舍去）， 故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理求出1212,y y y y +及12x x ，然后16OM ON ⋅=-坐标表示列出等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力.二、填空题13．【分析】设双曲线的右焦点经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直等价于转化为点到渐近线的距离解得再根据离心率公式可得结果【详解】依题意可得双曲线的右焦点渐近线方程为因为M 的渐近线上存在点T 使得经过点T 所作解析：1e <≤【分析】设双曲线M 的右焦点(c,0)F ，经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，等价于TF =，转化为点(c,0)F 到渐近线的距离d TF ≤，解得ba据离心率公式可得结果. 【详解】依题意可得双曲线M 的右焦点(c,0)F ，渐近线方程为0bx ay ±=，因为M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，设两个切点为,P Q ，所以PTQ ∠2π=，4PTF π∠=，因为FP PT ⊥，PF a =，所以TF =，所以双曲线M 的渐近线上存在点T ，使得TF =，所以点(c,0)F 到渐近线的距离d =≤，即b a所以离心率c e a =====≤=又1e >，所以1e <≤所以双曲线M 的离心率的取值范围是1e <≤故答案为：1e <≤【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，得到圆心到可得,,a b c 的不等式.14．【分析】由直线方程过右焦点得的关系设直线方程与双曲线方程联立消去应用韦达定理得出由得这样结合起来可得值【详解】在中令得所以则设由消去得由得所以化简得故答案为：【点睛】方法点睛：：本题考查直线与双曲线解析：【分析】由直线方程过右焦点得,a b 的关系，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程与双曲线方程联立消去x ，应用韦达定理得出1212,y y y y +，由7AF FB =，得127y y =-，这样结合起来可得k 值．【详解】在2230kx y ka --=中令0y =得32a x =，所以32a c =，则222254a b c a =-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222212230x y a bkx y ka ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，消去x 得22222223504b ab a b a y y k k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 2122223kab y y a k b+=-，2221222254()k a b y y b a k =-， 由7AF FB =得127y y =-，212222236kab y y y a k b +=-=-，222222()kab y a k b =--， 所以224222212222222225774()4()k a b k a b y y y a k b b a k =-=-⨯=--，化简得2221235b k a==，k =．故答案为： 【点睛】方法点睛：：本题考查直线与双曲线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理（本题得）1212,y y y y +，已知条件又得127y y =-，这样结合起来可求得k 值．15．【分析】设双曲线半焦距为双曲线的渐近线方程为则设直线的方程为然后直线的方程和另一渐近线方程联立求出点从而可求出直线的斜率再由可得两直线的斜率乘积为从而得进而可求出双曲线的离心率【详解】解：设双曲线半解析：3【分析】设双曲线半焦距为c ，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则(,0),(,)bcF c A c a，设直线BF 的方程为()by x c a=-，然后直线BF 的方程和另一渐近线方程联立，求出点,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可求出直线AB 的斜率，再由AB OB ⊥，可得两直线的斜率乘积为1-，从而得2213b a =，进而可求出双曲线的离心率【详解】解：设双曲线半焦距为c ，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则(,0),(,)bcF c A c a， 设直线BF 的方程为()by x c a=-，由()b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率为322AB bc bcb a a kc a c --==-， 因为AB OB ⊥，所以3()1AB OBb bk k a a⋅=⨯-=-， 所以2213b a =，所以双曲线的离心率为3e ==故答案为：3【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查求双曲线的离心率的方法，解题的关键是灵活运用双曲线的几何性质，考查计算能力，属于中档题16．【分析】设椭圆的长轴为双曲线的实轴为公共焦距为设不放设则有所以在中结合余弦定理可得带入可得所以再利用柯西不等式即可得解【详解】设椭圆的长轴为双曲线的实轴为公共焦距为设不放设则有由所以在中有代入可得所【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，公共焦距为2c ，设1122,PF r PF r ==，不放设12r r >，则有1211222,2r r a r r a +=-=，112r a a =+，212r a a =-，所以在12PF F △中，结合余弦定理可得带入可得22222221212124223c a a a a a a =+-+=+，所以2212134e e += ，再利用柯西不等式，即可得解. 【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，公共焦距为2c ，设1122,PF r PF r ==，不放设12r r >， 则有1211222,2r r a r r a +=-=，112r a a =+，212r a a =-，由1213F PF π∠=，所以在12PF F △中， 有22212121212=2cos F F r r rr F PF +-∠， 代入可得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯222222*********a a a a a a =+-+=+，所以2212134e e += ，2222221212121111()(()1e e e e ⎡⎤⎡⎤+=⨯≤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦221213416()33e e =+⨯=，所以1211e e +≤.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义，考查了离心率公式，以及利用柯西不等式求最值，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：（1）椭圆和双曲线的定义，圆锥曲线的定义是解析几何常考考点； （2）柯西不等式的应用，柯西不等式是求最值得重要方法.17．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化解析：5-【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan b b BAO CFO a c ∠=∠=，根据离心率可求出b a =，b c=，代入正切公式即可求出结果. 【详解】 由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b b BAO CFO a c BDC BAO CFO b bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅ 因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么b =，极有3b a =，22b c =，代入上式得22228235221223+=--⨯． 故答案为：825-【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO ∠=∠+∠； （2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c 的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c 的比值，代入可求.18．【分析】先利用点坐标和垂直关系求得直线的斜率并写出直线方程联立直线与椭圆利用韦达定理和垂直的向量关系得到的关系式再结合焦距的关系式解出即得方程【详解】依题意椭圆的焦距为即即由点的坐标为知直线OD 的斜解析：221306x y += 【分析】先利用点D 坐标和垂直关系求得直线l 的斜率，并写出直线方程，联立直线与椭圆，利用韦达定理和垂直的向量关系得到22,a b 的关系式，再结合焦距的关系式解出22,a b ，即得方程. 【详解】依题意，椭圆的焦距为46246c =，26c =，即2224a b -=，由点D 的坐标为()2,1，知直线OD 的斜率101202OD k -==-，又⊥OD AB ，知直线l 的斜率为2-，即直线l 的方程为12(2)y x -=--，即52y x =-.设()()1122,,,A x y B x y 联立方程2222152x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()2222222420250ab x a x a a b +-+-=，故2222121222222025,44a a a b x x x x a b a b-+==++， 即()()()12121212525225104y y x x x x x x =--=-++2222222222222202525425104444a a a b b a b a b a b a b--=-⨯+⨯=+++， 由OA OB ⊥知，12120OA OB x x y y ⋅=+=，即222222222225254044a a b b a b a b a b--+=++， 所以222255a b a b +=，又2224a b -=，消去2a 得，42141200b b +-=，解得26b =或220b =-（舍去），故2230,6a b ==，椭圆C 的方程为221306x y +=.故答案为：221306x y +=.【点睛】 思路点睛：求解椭圆中的直线垂直问题时，一般利用直线的斜率之积为-1，或者直线上的向量的数量积为0来处理，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求出结果.19．【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程再求圆的方程与渐近线方程联立可得MN 两点的横坐标由即为横坐标的绝对值的比可得答案【详解】由已知得取双曲线的一条渐近线所以圆的方程为由整理得解得取双曲线的另解析：32【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程，再求圆的方程与渐近线方程联立可得M ，N 两点的横坐标，由OMON即为横坐标的绝对值的比可得答案.【详解】由已知得2221,7,8a b c ===，2c =，12(F F -，取双曲线的一条渐近线y =，所以圆的方程为(2232x y +=-，由(2232y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x -=，解得2N M x x ==，32M NM O x x O N===.取双曲线的另一条渐近线y =，(2232y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x -=与上同，综上32OM ON=. 故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与双曲线、圆的位置关系，解答本题的关键是求出渐近线与圆的方程然后联立，得到M ，N 两点的横坐标再由绝对值做比值，考查了学生的运算求解能力.20．【分析】设与平行的直线与相切求解出此时的方程则点到直线距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出【详解】设与平行的直线当与椭圆相切时有：所以所以所以所以或取此时与的距离为所以点到直线距离的最大值为解析：2【分析】设与30x y +-=平行的直线:l y x m '=-+与22:13xC y +=相切，求解出此时l '的方程，则点P 到直线30x y +-=距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出.【详解】设与30x y +-=平行的直线():3l y x m m '=-+≠，当l '与椭圆C 相切时有：2233y x mx y =-+⎧⎨+=⎩，所以2246330x mx m -+-=， 所以()223616330m m ∆=--=，所以2m =±，所以:20l x y '+-=或:20l x y '++=，取:20l x y '++=， 此时:20l x y '++=与30x y +-=的距离为2d ==，所以点P 到直线30x y +-=距离的最大值为2，故答案为：2. 【点睛】方法点睛：求解椭圆22221x y a b+=上一点到直线距离的最值的两种方法：（1）设与已知直线平行的直线l 与椭圆相切，求解出切线l 的方程，根据平行直线间的距离公式求解出点到直线距离的最值；（2）将P 点坐标为设为()cos ,sin a b θθ，利用点到直线的距离公式以及三角函数的知识求解出点到直线距离的最值.三、解答题21．（1）24y x =；（2）直线l 过定点，定点坐标为()0,1-，证明见解析. 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，求出交点的坐标后利用弦长公式可求p 的值，从而可求抛物线的方程.（2）设直线l 的方程为x my b =+，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简斜率之和，从而可得b m =，故可求定点坐标.我们也可以设211,4y M y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，用坐标表示斜率之和，再用该两点的坐标表示直线l ，化简后可得直线过定点. 【详解】 （1）由2,2,y x y px =⎧⎨=⎩解得10x =，22x p =，因为直线y x =被抛物线()2:20C y px p =>截得的弦长为0p -=，0p >，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）法一： 设直线l 的方程为x my b =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由2,4,x my b y x =+⎧⎨=⎩得2440y my b --=， 所以124y y m +=，124y y b =-，因为点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4，所以121222411y y x x --+=--，而2114y x =，2224y x =，化简得12120y y y y ++=， 所以440m b -=，即b m =， 所以直线l 的方程为()1x m y =+， 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-.法二： 设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4，所以1222122241144y y y y --+=--，即12120y y y y ++=， ①当210y y +≠时，直线l 的方程为221112221444y yy y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-即2141y x y y =--， 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-；②当210y y +=时，120y y =，所以120y y ==，不满足题意. 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-. 【点睛】方法点睛：. 直线与抛物线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题，也可以设出交点坐标，用交点坐标表示目标代数式，从而解决定点、定值、最值问题.22．（1）22122y x -=；（2）8.【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可； （2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可. 【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b =⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-． 与抛物线方程联立，得214y x y x=-⎧⎨=⎩， 消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=． 由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8． 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．23．（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）利用中垂线的性质可得KN KQ =，从而得到2KM KN QM MN +==>=，利用椭圆的定义进行分析求解即可；（2）根据点P 的位置，确定OPA ∠，OPB ∠都是锐角，然后联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，再将问题转化为求证两个角的正切值相等，代入化简求解，即可证明． 【详解】（1）∵线段NQ 的垂直平分线交MQ 于点K ，∴||||KN KQ =，∴||||||||||2||KM KN KM KQ MQ MN +=+==>= ∴点K 的轨迹是以原点为中心，以,M N 为焦点的椭圆.设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则a =1c =，1b =，所以曲线E 的方程为2212x y +=（2）由221210x y x my ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去x 可得()222210m y my +--=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222m y y m +=+，12212y y m =-+. 易知PA ，PB 的斜率存在，则()()121212121212122221111PA PB y y y y y y my y k k x x my my my my +++=+=+=-------++，又因为121222222022m my y my y m m ++=-=++ 所以0PA PB k k +=，所以OPA OPB ∠=∠. 【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.24．（1）22163x y +=；（2）12.【分析】（1）椭圆C 过点()2,1A ，()2,1B --，在点A 处的切线方程为3y x =-+,可用待定系数法求椭圆的标准方程；（2）用设而不求法把p ，q 表示出来，整理化简即可. 【详解】（1）由题意知椭圆C 在()2,1A 处的切线方程为2221x y a b +=也为3y x =-+，∴22621133a ab b ⎧=⎪==⇒⎨=⎪⎩椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）直线l 的方程为()3y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y()()2222232696026y k x x k x x x y ⎧=-⇒+-+-=⎨+=⎩ ()222212121860k xk x k +-+-=直线AM 方程为：()111212y y x x -=-+-，令()1151312y x p x --=-⇒=+- 直线AN 方程为()221212y y x x -=-+-，令()2251312y x q x --=-⇒=+- ∴()()1212121231311152522222k x k x y y p q x x x x ⎡⎤----⎛⎫--+=-++=-++⎢⎥ ⎪----⎝⎭⎣⎦()()()()()121212122121452105122222k x k k x k x x k k x x x x ⎡⎤------+-=-++=-++⋅+⎢⎥----⎣⎦()()()222222221241************121244105122210512212k k k k k k k k k k k k k k -+=-++⋅+--+++-=-++⋅+-=-++⋅+=.即12p q +=.【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.25．（1）2 ；（2）证明见解析. 【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与抛物线方程可得点A 坐标，由中点坐标公式可得点P 坐标，进而可得直线l 的方程与抛物线联立可得Q 点坐标，计算PQPR x QR x =即可求解； （2）利用A 和R 两点坐标求出直线AR 的方程，与抛物线方程联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，由0∆=即可求证. 【详解】（1）联立方程22,y kx y px =⎧⎨=⎩，可得：2220k x px -=，解得222p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以222,p p A kk ⎛⎫⎪⎝⎭，因为P 是OA 的中点，所以2,.p p P k k ⎛⎫⎪⎝⎭直线:p l y k =，点0,R p k ⎛⎫ ⎪⎝⎭将p y k =代入22y px =，得2,.2p p Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2222PQpPR x k p QR x k ===. ()2因为222,p p A kk ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线AR 的方程为2k py x k=+， 与22y px =联立消去x 得222440k y pky p -+=， 因为222216440p k p k ∆=-⨯⨯=， 所以直线AR 与抛物线C 只有一个公共点. 【点睛】方法点睛：判断直线与曲线的位置关系可联立直线与曲线的方程消去y 得关于x 的一元二次方程，由判别式0∆>可得直线与曲线相交，由判别式0∆=可得直线与曲线相切，判别式∆<0可得直线与曲线相离.26．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据椭圆离心率和椭圆的性质可知b =，再根据PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为 92，由面积公式可知()212922b ac a +⋅=，由此即可求出椭圆方程； （2）设直线PQ 的方程为1x my =+，联立椭圆方程，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由韦达定理，可知 12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，将直线AP 的方程()112+2y y x x =+与直线 BQ 的方程()2222y y x x =--联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果. 【详解】 解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+，所以b =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c = 所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为 1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得 ()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线 BQ 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y yx x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x =故点M 在定直线4x =上. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于设直线PQ 的方程为1x my =+，避免了斜率存。
(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ）A ．2BC ．3D 2．直线3y x与曲线2||194y x x -=的公共点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 分别向抛物线C 的准线作垂线，垂足为M ，N ，且()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，当直线AB 经过点F 且点F 到抛物线C 准线的距离为4时，直线l 的斜率为（ ）A ．2±B ．±C ．8±D ．±4．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D5．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线20x y -=过点F 且与双曲线C 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，||||OP OF =，则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D 6．过椭圆:T 2212x y +=上的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，则AB CD +的取值范围是（ ）A ．⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣ 7．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，且满足||||PA m PF =，则m 的最大值是（ ）A ．1BC ．2D ．48．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1，F 2，过右焦点F 2且斜率为的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．12C ．22D ．329．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．y x =±C ．3y x =±D ．5y x =±10．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF 为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ） A ．2±B ．3C ．6±D ．7±11．顶点在原点，经过点()3,6-，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（ ） A ．2123y x =或212=-x y B ．2123y x =-或212=-x y C ．2123y x =或212x y =D ．2123y x =-或212x y =12．P 为椭圆22:11713x y C +=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1F P 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为（ ）A ．()22234x y ++= B ．()22268x y ++= C ．()22234x y -+=D ．()22268x y -+=二、填空题13．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，其中一个焦点坐标为()2,0F ，椭圆被直线:3l y x =+所截得的弦的中点横坐标为2-，则此椭圆的标准方程为______.14．已知双曲线22:143x y C -=的左､右焦点分别12,F F ，P 为双曲线上异于顶点的点，以1PF ，2PF 为直径的圆与直线l 分别相切于A ，B 两点，则12cos ,AB F F <>=___________.15．已知ABC 中，()1,0B -、()1,0C ，1k 、2k 分别是直线AB 和AC 的斜率.关于点A 有如下四个命题：①若A 是双曲线2212y x -=上的点，则122k k ⋅=；②若122k k ⋅=-，则A 是椭圆2212x y +=上的点；③若121k k ，则A 是圆221x y +=上的点；④若2AB AC =，则A 点的轨迹是圆. 其中所有真命题的序号是__________．16．已知椭圆22:143x y C +=的左､右焦点分别为12F F 、，过2F 且倾斜角为π4的直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则1F AB 的面积为___________. 17．已知抛物线218y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，抛物线的准线与y 轴交于点M ，当AMAF最大时，弦AB 长度是___________. 18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 和双曲线C 的一条渐近线分别相交于P ，Q 两点（P ，Q 在同一象限内），若P 为线段QF 的中点，且||PF =，则双曲线C 的标准方程为_________． 19．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，A ()00,x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =________.20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______.三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,3)M 的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点. ①当直线OA ，OB 的斜率之和为34时(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k ； ②求MA MB ⋅的取值范围.22．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x ya b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点21,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.23．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(),2P m 到其焦点F 的距离为4. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 且斜率为1的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 的面积.24．已知椭圆22:11612x y E +=，1F 、2F 为左、右焦点，()2,3A .（1）求12tan F AF ∠及12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（2）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出：若不存在，说明理由．25．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F，离心率2e =，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且2ABF的周长为． （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线AB，求2ABF 的面积．26．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，离心率为12，左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.（1）求椭圆C 的方程； （2）当1F AB的面积为11时，求直线l 的斜率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率 【详解】设()()1122,,B x y D x y 、,则22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22221212220x x y y a b---=，整理得：()()()() 21212 21212y y yyba x x x x+-=+-BD的中点为(1,3)M，且直线l的斜率为16，代入有：22611262ba=⨯=即22212c aa-=，解得62cea.故选：D【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．2．C解析：C【分析】由于已知曲线函数中含有绝对值符号，将x以0为分界进行分类讨论，当x≥0时，曲线为焦点在y轴上的双曲线，当x<0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，进而在坐标系中作出直线与曲线的图像，从而可得出交点个数.【详解】当0x≥时，曲线2194x xy-=的方程为22194y x-=当0x<时，曲线2194x xy-=的方程为22194y x+=，∴曲线2194x xy-=的图象如图，在同一坐标系中作出直线3y x的图象，可得直线与曲线交点个数为3个．故选：C【点晴】本题讨论曲线类型再利用数形结合法求交点个数是解题的关键．3．B解析：B 【分析】根据题意，求得4p =，可得抛物线的方程，因为()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，所以49OMN OAB ABMN S S S +=梯形△△，根据面积公式，结合抛物线定义，即可求得AB ，不妨设AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程，与抛物线联立，根据韦达定理，可求得A B x x +的值，代入弦长公式，即可求得答案. 【详解】因为点F 到抛物线C 准线的距离为4，所以4p =，所以28y x =， 设抛物线C 的准线与x 轴交于点H ，因为()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，所以()()11422192M N A BOMN OABABMNM N OH y y OF y y S S S AM BN y y ⋅-+⋅-+==+⋅-梯形△△，因为2OH OF ==，M N A B y y y y -=-，AM BN AB +=，所以449OMN OAB ABMN S S S AB +==梯形△△，则9AB =，显然直线AB 的斜率存在，不妨设为k ，则():2AB y k x =-， 与抛物线联立可得：()22224840k x k x k -++=， 从而284A B x x k +=+， 所以28489A B A k B x x =++=+=，解得22k =±. 故选：B【点睛】解题的关键是根据面积的关系，得到49OMN OAB ABMN S S S +=梯形△△，结合图象，可求得9AB =，再利用抛物线的弦长公式求解，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.4．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±， 圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，可得d ===，解得1k =±，1ba∴=， 因此，双曲线C的离心率为c e a ===== 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．D解析：D 【分析】焦点三角形1PFF 满足||||OP OF =，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三角形是直角三角形.算出该三角形的中位线OH ，可得到12PF =，根据双曲线定义和勾股定理计算出,a c 求解. 【详解】直线20x y -+=过点F，可得()F 设右焦点为1F ，PF 的中点为H .因为O 是1FF 的中点，且||||OP OF =，故三角形1PFF 为直角三角形.1PF PF ⊥，故OH PF ⊥由点到直线距离公式有1OH ==故12PF =，12PF PF a -=，(2222112PF PF F F +==故()2222220a ++=. 可得1a =ce a== 故选：D 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．C解析：C 【分析】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，可直接求得AB CD +=12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，则可得直线1l 的方程，与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，可求得AB 的表达式，同理可求得CD 的表达式，令21k t +=，则可得2112t tAB CD +=+-，令2112y t t =+-，根据二次函数的性质，结合t 的范围，即可求得AB CD +的范围，综合即可得答案. 【详解】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则直线2l 斜率为0，此时AB =，22b CD a ===所以AB CD +=当直线12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-， 不妨设直线12l l 、都过椭圆的右焦点(1,0)F ， 所以直线1:(1)l y k x =-，直线21:(1)l y x k=--， 联立1l 与椭圆T 22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222)202142(-=+-+x k x k k ， 22222(4)4(12)(22)880k k k k ∆=--+-=+>，22121222422,1212k k x x x x k k-+=⋅=++，所以12AB x =-=22)12k k +==+，同理22221))2112k k CD k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以2222))122k k B k C k A D +++=+++， 令21k t +=，因为0k ≠，所以1t >，所以AB D C ==+=22211212t t t t =+-+-，令2211119224y t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭， 因为1t >，所以1(0,1)t∈，所以92,4y ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝，所以141,92y ⎡⎫∈⎪⎢⎭⎣，所以18262,323AB CD y ⎡⎫+=⨯∈⎢⎪⎪⎢⎣， 综上AB CD +的取值范围是82,323⎡⎤⎢⎥⎣. 故选：C 【点睛】解题的关键是设出直线的方程，结合韦达定理及弦长公式，求得AB CD +的表达式，再根据二次函数性质求解，易错点为需求直线12l l 、中有一个不存在时，AB CD +的值，考查计算求值的能力，属中档题.7．B解析：B 【分析】由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，利用抛物线的定义可得1sin PAE m=∠，求出sin PAE ∠的最小值后可得m 的最大值. 【详解】由抛物线24x y =可得准线方程为：1y =-，故()0,1A -.如图，由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点， 过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，则PE PF =，故1||||sin ||||PF PE PAE m PA PA ===∠， 当直线AP 与抛物线相切时，PAE ∠最小，而当P 变化时，02PAE π<∠≤，故当直线AP 与抛物线相切时sin PAE ∠最小，设直线:1AP y kx =-，由241x yy kx ⎧=⎨=-⎩得到2440x kx -+=，216160k ∆=-=，故1k =或1k =-（舍），所以直线AP 与抛物线相切时4PAE π∠=，故1m的最小值为2即m， 故选：B. 【点睛】方法点睛：与抛物线焦点有关的最值问题，可利用抛物线的定义把到焦点的距离问题转化为到准线的距离问题.8．D解析：D 【分析】首先设直线2x y c =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同时由条件可得123y y =-，与根与系数的关系联立消元可得22213242a b c +=，求得椭圆的离心率. 【详解】设直线方程为2x y c =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立得22224102a b y cy b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，2122212cy y a b +=-+，4122212b y y a b =-+ ① 223AF F B =，()()1122,3,c x y x c y ∴--=-， 得123y y =- ②，由①②联立可得，22213242a bc +=即22222323c a b a c =+=-，得2243c a =，椭圆的离心率c e a ==. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.9．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+， 所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =，设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，因为2a =，所以b =，所以双曲线的渐进线为：2b y x x a =±=±， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.10．C解析：C 【分析】利用双曲线的定义可求得12AF a =，24AF a =，利用余弦定理可求得ca的值，利用公式=b a . 【详解】2ABF 为等边三角形，22AB AF BF ∴==，且260ABF ∠=︒，由双曲线的定义可得121212||BF AB AF a B AF F BF =+-==-，212AF AF a -=，24AF a ∴=，在12AF F △中12AF a =，24AF a =，12120F AF ∠=，由余弦定理可得2212121222cos12027F F c AF AF AF AF a ==+-⋅︒=，即7c a =，所以22222216b b c a c a a a a -⎛⎫===-= ⎪⎝⎭． 因此，该双曲线的渐近线的斜率为6±． 故选：C.【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）定义法：直接利用a ，b ，求得比值，则焦点在x 轴时渐近线by x a=±，焦点在y 轴时渐近线ay x b=±； （2）构造齐次式，利用已知条件，结合222+=a b c ，构建b a 的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可.11．D解析：D 【分析】设出抛物线方程为22y mx =或22x ny =，代入点的坐标求出参数值可得．【详解】设抛物线方程为22y mx =，则262(3)m =⋅-，3m =-23y x =-， 或设方程为22x ny =，则2(3)26n =⨯，14n =，方程为212x y =． 所以抛物线方程为2123y x =-或212x y =． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：抛物线的标准方程有四种形式，在不确定焦点位置（或开口方向时），需要分类讨论．象本题在抛物线过一点的坐标，则需要考虑焦点在x 轴和y 轴两种情况，焦点在x 轴上时可以直接设方程为2y mx =，代入点的坐标求出参数值，不必考虑焦点是在x轴正半轴还是在负半轴，焦点在y 轴也类似求解．12．B解析：B 【分析】由椭圆的122PF PF a +==2PQ PF =，所以112PF PQ FQ a +===Q 的轨迹为以()12,0F -为圆心，径的圆，即可求得动点Q 的轨迹方程. 【详解】由2211713x y +=可得：a =，因为122PF PF a +==2PQ PF =，所以112PF PQ FQ a +===所以动点Q 的轨迹为以()12,0F -为圆心， 故动点Q 的轨迹方程为()22268x y ++=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.二、填空题13．【分析】设椭圆方程为代入直线方程整理就后应用韦达定理结合弦中点横坐标求得关系再由可得得椭圆方程【详解】设椭圆方程为由得所以由题意又所以椭圆方程为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程解解析：22184x y +=【分析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，代入直线方程整理就后应用韦达定理结合弦中点横坐标求得,a b 关系，再由2c =可得,a b 得椭圆方程．【详解】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由222213x ya b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222222()690a b x a x a a b +++-=，所以212226a x x a b +=-+，由题意222622a a b-=-⨯+，222a b =， 又2c =，所以22224a b b c -===，28a =，椭圆方程为22184x y +=．故答案为：22184x y +=．【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程．解题方法是韦达定理．由直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理可得出弦中点坐标，从而得出,a b 的关系．然后结论半焦距c 可求解．14．【分析】求得双曲线的设运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得由相切的性质判断四边形为直角梯形过作垂足为运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义计算可得所求值【详解】解【分析】求得双曲线的a ， c ，设1PF m =，2PF n =，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得MN ，由相切的性质判断四边形ABNM 为直角梯形，过N 作NQ AM ⊥，垂足为Q ，运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义，计算可得所求值． 【详解】解：因为双曲线22:143x y C -=，所以2a =，227c a b =+= 依题意画出如下图形，设1PF ，2PF 的中点分别为M ，N ，过点N 作NQ AM ⊥交AM 于点Q ，连接MN ，所以12172MN F F ==，设1PF m =，2PF n =，则24m n a -==所以11122AM PF m ==，21122BN PF n ==，所以()122MQ AM BN m n =-=-=，在Rt MNQ 中223NQ MN MQ =-=，因为//NQ BA ，所以MNQ ∠为12,AB F F 的夹角，所以12321cos ,77QN AB F F MN <>===故答案为：217【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和圆相切的性质，考查直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义、向量的夹角的概念，考查方程思想和化简运算能力和推理能力．15．①③【分析】设点可得出结合斜率公式可判断A 选项的正误；求出动点的轨迹方程可判断②的正误；根据求出点的轨迹方程可判断③的正误；由求出点的轨迹方程可判断④的正误【详解】设动点的坐标为对于①由于点是双曲线解析：①③ 【分析】设点(),A x y ，可得出2212y x =+，结合斜率公式可判断A 选项的正误；求出动点A 的轨迹方程，可判断②的正误；根据121k k ，求出点A 的轨迹方程，可判断③的正误；由2AB AC =求出点A 的轨迹方程，可判断④的正误. 【详解】设动点A 的坐标为(),A x y .对于①，由于点A 是双曲线2212y x -=上的点，则2212y x =+，所以，22122221112y y y y k k y x x x =⋅===+--，①正确；对于②，21222111y y y k k x x x =⋅==-+--，化简可得2212y x +=，②错误；对于③，21221111y y y k k x x x =⋅==-+--，化简可得221x y +=，③正确；对于④，由2AB AC ==化简可得2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 当点A 为圆2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴的交点时，A 、B 、C 三点无法构成三角形，④错误.故答案为：①③. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.16．【分析】先求出直线的方程与椭圆方程联立消去x 求出|y1-y2|利用即可求出的面积【详解】由题意得:直线:设则有:消去x 得:7y2+6y-9=0∴即的面积为【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积【分析】先求出直线l 的方程,与椭圆方程联立,消去x ,求出| y 1- y 2|,利用11212|1|||2F AB S F F y y =-△即可求出1F AB 的面积. 【详解】由题意得: 直线l :1y x =-, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有:2213412y x x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得:7y 2+6y -9=0, ∴121269,77y y y y +=-=-12211111|||227|2227F AB S F F y y -∴=⨯=⨯⨯==△即1F AB 【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积: （1）直接求出弦长|AB |,利用11||2F AB AB d S =△; （2）利用11212|1|||2F AB S F F y y =-△. 17．【分析】作出图形过点作垂直于抛物线的准线于点可得出可知当取最小值时即直线与抛物线相切时最大可求出直线的斜率求出点的坐标利用对称性可求得点的坐标抛物线的焦点弦长公式进而可求得弦的长度【详解】设点为第一 解析：8【分析】作出图形，过点A 作AE 垂直于抛物线218y x =的准线于点E ，可得出1sin AM AF AME=∠，可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AM AF 最大，可求出直线AM 的斜率，求出点A 的坐标，利用对称性可求得点B 的坐标，抛物线的焦点弦长公式，进而可求得弦AB 的长度. 【详解】设点A 为第一象限内的点，过点A 作AE 垂直于抛物线218y x =的准线于点E ，如下图所示：由抛物线的定义可得AE AF =，则1sin AM AM AF AE AME==∠， 可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AMAF最大， 抛物线218y x =的焦点为()0,2F ，易知点()0,2M -. 当直线AM 与抛物线218y x =相切时，直线AM 的斜率存在， 设直线AM 的方程为2y kx =-，联立228y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 得28160x kx -+=，264640k ∆=-=，因为点A 在第一象限，则0k >，解得1k =，方程为28160x x -+=，解得4x =，此时，228x y ==，即点()4,2A ，此时AB y ⊥轴，由对称性可得()4,2B -， 因此，448AB =+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++或12AB y y p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．18．【分析】根据题意结合双曲线性质可知结合整理求得结果【详解】根据题意可知因为P 为线段QF 的中点所以又因为联立解得所以双曲线C 的标准方程为：故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问解析：2213x y -=【分析】根据题意，结合双曲线性质，可知22bc b a a =，23b a =，结合222c a b =+，整理求得结果.【详解】根据题意，可知2b PF a ==， 因为P 为线段QF 的中点，所以2QF PF =，又因为bcQF a =，联立2222232b abc b a a c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ==， 所以双曲线C 的标准方程为：2213x y -=.故答案为：2213x y -=.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问题，解题思路如下： （1）根据题意，明确量之间的关系；（2）利用题中条件，建立关于,,a b c 之间的关系，结合222c a b =+，求得,a b 的值，得到结果.19．【分析】根据焦半径公式可得：结合抛物线方程求解出的值【详解】由抛物线的焦半径公式可知：所以故答案为：【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴抛物线上任意一点则；（2 解析：1【分析】根据焦半径公式可得：00524x p x +=，结合抛物线方程求解出0x 的值. 【详解】由抛物线的焦半径公式可知：0015224AF x x =+=，所以01x =， 故答案为：1. 【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 20．【分析】取焦点在轴建立平面直角坐标系由题意及椭圆性质有为椭圆通径得结合及解出代入离心率公式计算即可【详解】解：取焦点在轴建立平面直角坐标系由及椭圆性质可得为椭圆通径所以又解得所以截口所在椭圆的离心率解析：13【分析】取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有BC 为椭圆通径，得2163b a =，结合24c =及222a b c =+解出,,a b c 代入离心率公式计算即可.【详解】解：取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由12BC F F ⊥及椭圆性质可得，BC 为椭圆通径，所以21163b F B a ==，1224F Fc ==又222a b c =+，解得6,2,a c b ===所以截口BAC 所在椭圆的离心率为13故答案为：13【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：（1）求,,a b c 的值，由22222221c a b b a a a-==-直接求e ； （2）列出含有,,a b c 的齐次方程(或不等式)，借助于222a b c =+消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）①3k =-；②808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）把点代入方程结合离心率列方程组求解即可；（2）①设直线l 方程为，代入椭圆E 的方程可得，结合判别式与韦达定理，利用直线OA ，OB 的斜率之和为34进而求出直线斜率即可；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求得8MA MA ⋅=，当直线l 的斜率存在时，由（2）①得28821MA MB k ⋅=++，从而求得范围．【详解】解：（1）由题意得222221,2c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得222a c =，22b c =.设椭圆E 的方程为222212x y c c +=，又因为点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上， 所以222211122c c+=，22222,1c a b ===，所以椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）①设直线l 方程为：3y kx =+，代入椭圆E 的方程可得，()222112160kx kx +++=因为直线l 与椭圆E 有两个交点，所以216640∆=->k ，即24k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221221k x x k +=-+，1221621x x k ⋅=+， 11223,3y kx y kx =+=+.又()1212121233244OA OB x x y y k k k k x x x x ++=+=+=-=⋅ 解得3k =-，经检验成立.所以，直线l 的斜率3k =-； ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，将0x =代入2212x y +=，解得1y =±，则(0,1)A ，(0,1)B -，8MA MA ⋅=当直线l 的斜率存在时，由（2）①得()()()()22121212216133121k MA MA x x y y k x x k +⋅=⋅+--=+⋅=+()2228211882121k k k ⎡⎤++⎣⎦==+++因为24k >，所以MA MA ⋅的范围为808,9⎛⎫⎪⎝⎭．综上，得MA MB ⋅的取值范围是808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．（1）2212x y +=；（2.【分析】（1）根据椭圆离心率为2，以及椭圆经过点2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，结合椭圆的性质列方程求解即可；（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可得结论. 【详解】（1）由题意知2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=， 过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=， 椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=， 联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 23．（1）28x y =；（2） 【分析】（1）由题中条件，根据抛物线的定义，得到242p+=，求出p ，即可得出抛物线方程； （2）先由（1）得到焦点坐标，得出直线l 的方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，以及抛物线的焦点弦公式，求出弦长AB ，再由点到直线距离公式，以及三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(),2P m 到其焦点F 的距离为4，所以242p+=，解得4p =， 所以抛物线C 的方程为28x y =； （2）由（1）可得，()0,2F ；则过点F 且斜率为1的直线l 的方程为：2y x =+，即20x y -+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由228y x x y=+⎧⎨=⎩消去x ，整理得21240y y -+=， 则1212y y +=，因此1212416AB AF BF y y p =+=++=+=， 又点O 到直线20x y-+=的距离为d ==，所以OAB 的面积为12OABS AB d ==. 【点睛】 思路点睛：求解圆锥曲线中三角形的面积问题时，一般需要联立直线与曲线方程，结合韦达定理，弦长公式，以及三角形面积公式，即可得出三角形的面积. 24．（1）124tan 3F AF ∠=，直线l 的方程为210x y --=；（2）不存在，理由见解析.。
人教A版高中数学(选修1-1)单元测试-第二章
2—=1上的一点M 到焦点F 1的距离为2, N 是MF 1的中点，O 为原点,则|0N|等于二•填空题：本大题共 4小题，每小题6分，共24分。
2 26•椭圆5x ky -5的一个焦点是(0,2)，那么k 二 7.椭圆的焦点在y 轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是 1 : 4,短轴长为8,则椭圆的标准方程是 __________________ .2 2 &已知点(0, 1)在椭圆5 + m = 1内，贝y m 的取值范围是 ______________________________________________ .W I I I2 29 •椭圆 + 2m = 1的准线平行于x 轴，则m 的取值范围是 __________________寸3m + 1 2m第二章圆锥曲线与方程单元测试A 组题(共100分) 一•选择题：本大题共 5题，每小题7分，共35分。
在每小题给出的四个选项中, 项是符合题目要求的。
1已知坐标满足方程 F(x,y)=O 的点都在曲线C 上，那么 (A )(B ) (C ) (D ) 只有曲线C 上的点的坐标都适合方程 凡坐标不适合 F(x,y)=O 的点都不在 在曲线C 上的点的坐标不一定都适合 不在曲线C 上的点的坐标有些适合F(x,y)=0 C 上 F(x,y ) =0 F(x,y ) =0,有些不合适 F(x,y ) =0 2•至俩坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是 (A ) x - y= 0 3•已知椭圆方程为 (B) x + y=0 2m ^= 1，焦点在 (C ) |x|=|y| (D) y=|x|x 轴上，则其焦距等于 (A) 2 8- m 2(B) 2 2 2 - | m|(C ) 2 ,m 2- 8( D ) 2 | m| - 2 22x4.已知椭圆 -25(A) 2(B)4(C ) 8(D) 325.已知F 是椭 2x ~2 a= 1(a>b>0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF 丄x 轴，OP // AB(O 为原点), 则该椭圆的离(A)■- 2 2(B)(C )(D)三•解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高中数学人教A版选修1-1练习第2章 圆锥曲线与方程2.1.1 Word版含解析
第二章级基础巩固一、选择题．(·浙江宁波高二检测)已知椭圆＋＝过点(－，)，则其焦距为( )．．．．[解析]把点(－，)代入＋＝，得＝，∴＝－＝.∴＝，∴＝.．(·广东文)已知椭圆＋＝(＞)的左焦点为(－)，则＝( )．．．．[解析]∵椭圆＋＝(>)的左焦点为(－，)，∴＝＝，∴＝，∴＝，选．．已知、是椭圆＋＝的两个焦点，过点的直线交椭圆于点、，若＝，则＋＝( )．．．．[解析]由方程知＝，∴＝，由椭圆定义知，＋＝，＋＝，∴＋＋＋＝＋＋＝，∴＋＝，故选．．(·山东济宁高二检测)设是椭圆＋＝上一点，到两焦点、的距离之差为，则△是( )．直角三角形．锐角三角形．等腰直角三角形．钝角三角形[解析]由椭圆定义，知＋＝＝.又－＝，∴＝，＝.又＝＝＝，∴△为直角三角形．．对于常数、，“>”是“方程＋＝的曲线是椭圆”的( )．必要而不充分条件．充分而不必要条件．既不充分也不必要条件．充分必要条件[解析]若方程＋＝的曲线是椭圆，则>，>，从而>，但当>时，可能有＝>，也可能有<，<，这时方程＋＝不表示椭圆，故选．．(·贵州贵阳高二检测)已知两点(－)、()，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是( )．＋＝．＋＝．＋＝．＋＝[解析]∵是与的等差中项，∴＋＝＝>，动点的轨迹为以、为焦点的椭圆，∴＝＝，∴＝，＝，∴＝，方程为＋＝.二、填空题．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为＋＝[解析]由题意可得(\\(＋＝－＝))，∴(\\(＝＝))，∴＝－＝－＝，∴椭圆方程为＋＝.＝有相同焦点的椭圆方程是．过点(－)且与＋＝＋[解析]因为焦点坐标为(±，)，设方程为＋＝，将(－)代入方程可得＋＝，解得＝，故方程为＋＝.三、解答题．已知椭圆的中心在原点，且经过点()，＝，求椭圆的标准方程[解析]当焦点在轴上时，设其方程为＋＝(>>)．由椭圆过点()，知＋＝，又＝，解得＝，＝，故椭圆的方程为＋＝.当焦点在轴上时，设其方程为＋＝(>>)．由椭圆过点()，知＋＝，又＝，联立解得＝，＝，故椭圆的方程为＋＝.故椭圆的标准方程为＋＝或＋＝.级素养提升一、选择题．椭圆＋＝的焦距是，则的值是( )．．或．．或[解析]＝，∴＝，故有－＝或－＝，∴＝或＝，故答案为．．设椭圆的标准方程为＋＝，若其焦点在轴上，则的取值范围是( )．<<．>．<<．<<[解析]由题意得－>－>，∴<<.．若曲线＋＝为焦点在轴上的椭圆，则实数、满足( )．>．<．<<．<<[解析]将方程变为标准方程为＋＝，由已知得，>>，则<<，选．．(·安徽师大附中高二检测)、是椭圆＋＝的两个焦点，为椭圆上一点，且∠＝°，则△的面积为( )．．．．[解析]由已知得＝，＝.。
(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)
解析：B
【分析】
由题意设 ， ， ，则 ，求出 ， ， 的坐标，根据 得到 ，由点 在圆上得到 ，把点 ， 坐标代入双曲线方程联立，可得答案.
【详解】
由题意设 ， ， ，则 ，
， ， ．
， ， ．
以 为直径的圆过点 ， ，
即 ①，
点 ， 均在双曲线上， ②， ③．
②-③整理得 ，将 代入，整理得 ，
【详解】
由 可知
不妨设 ，
因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以M为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，
所以
故选：B
【点晴】
关键点点睛：根据 判断出 为直角三角形是解题的关键，再结合双曲线的定义及勾股定理，即可计算焦点三角形面积，是一道中档题.
4．B
解析：B
【分析】
根据l有且只有4条，易知直线l的斜率不存在时，有两条，得到直线l斜率存在时，有两条，根据 是线段 的中点，利用点差法得到 ，再根据直线 与圆C： 相切于 ，得到 ，结合得到 ， 再根据点N在抛物线内部求解.
【详解】
由题意椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．
根据椭圆的定义： ，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，
所以 ，
利用 ，
∵ ，∴ ， ，即椭圆离心率 的取值范围是 ，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到 ,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
（1）求 的值：
人教a版数学【选修1-1】：第二章《圆锥曲线与方程》章末检测(a)(含答案)
第二章 章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12C ．2D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 25．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)7．过点M (2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则这样的直线的条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．08．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦距，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则FB →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．39．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A.（32，54） B ．(1,1) C. （32，94） D ．(2,4) 12．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A.（34π，π）B.（π4，π） C.（π ，π） D.（π ，3π）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点（b 2，0）分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．16．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52. 其中所有正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．18．(12分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．19.(12分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．20．(12分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积．21.(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．22．(12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；（2）若OA →⊥OB →，求k 的值．第二章 圆锥曲线与方程(A) 答案1．A [由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14.] 2．B [∵y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴x 2m 2＋y 2n2＝1的右焦点为(2,0)，∴m >n 且c ＝2. 又e ＝12＝2m，∴m ＝4. ∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.] 3．B [抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线中c ＝6. ①由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，知b a＝3， ② 且c 2＝a 2＋b 2.③由①②③解得a 2＝9，b 2＝27.故双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.] 4．D [由椭圆的几何性质得|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|(2a －|PF 1|)＝－|PF 1|2＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2＋a 2≥－c 2＋a 2＝b 2，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2.]5．B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a ＝2，且双曲线的标准方程为y 24－x 2b2＝1. 根据题意2a ＋2b ＝2·2c ，即a ＋b ＝2c .又a 2＋b 2＝c 2，且a ＝2，∴解上述两个方程，得b 2＝4.∴符合题意的双曲线方程为y 24－x 24＝1.] 6．B [∵双曲线方程为x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1， ∴c ＝ 2a 2＋2a ＋1.∴e ＝c a ＝ 2＋1a 2＋2a＝ ⎝⎛⎭⎫1a ＋12＋1. 又∵a >1，∴0<1a <1.∴1<1a＋1<2. ∴1<⎝⎛⎭⎫1＋1a 2<4.∴2<e < 5.] 7．B8．B [设A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，F (1,0)， ∵ F A →＋FB →＋FC →＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.又由抛物线定义知|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6.]9．C [如图所示，要使过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率b a ，∴b a ≥3，离心率e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2≥4，∴e ≥2.] 10．B [根据抛物线的定义可得．]11．B [设与直线2x －y ＝4平行且与抛物线相切的直线为2x －y ＋c ＝0 (c ≠－4)，2x －y ＋c ＝0由y ＝x 2得x 2－2x －c ＝0. ①由Δ＝4＋4c ＝0得c ＝－1，代入①式得x ＝1.∴y ＝1，∴所求点的坐标为(1,1)．]12．D [椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1. ∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.] 13.32解析 由已知得∠AF 1F 2＝30°，故cos 30°＝c a ，从而e ＝32. 14．2x －y －15＝0解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为线段AB 的中点为P (8,1)，所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2.所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2. 所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，代入x 2－4y 2＝4满足Δ>0.即2x －y －15＝0.15.22解析 由题意，得b 2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ， 因此e ＝c a ＝ c 2a 2＝ c 2b 2＋c 2＝ 12＝22. 16．③④解析 ①错误，当k ＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k ＝52时，方程表示圆；验证可得③④正确．17．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点，x 0＝x ， x 0＝x ，∴ y 0＝y 2， 把 y 0＝y 2， 代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36. ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.18．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1. 由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)， ∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴b a＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. 19．解 将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得：k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0(4k ＋8)2－16k 2>0，得k >－1且k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0. 解得：k ＝2或k ＝－1(舍去)由弦长公式得：|AB |＝1＋k 2·64k ＋64k 2＝5×1924＝215. 20．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1， 解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1. 因为点P (3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1. 解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65， ①又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100， ②①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20. 21．解 焦点F (p 2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px 消去x ， 整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (1＋1k2)·(y 1－y 2)2 ＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝52p . 解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)． 22．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1. 消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0.其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0， 化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 10
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程是( )A ．4x ±3y ＝0B ．16x ±9y ＝0C ．3x ±4y ＝0D ．9x ±16y ＝0【解析】 由题意知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，b ＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0. 【答案】 A2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4【解析】 令y ＝0，得x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.【答案】 A3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x【解析】 由已知，得b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝ 2.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .【答案】 C4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52 D ．1【解析】 由题意得e ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.【答案】 D5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，且与曲线x 236－y 264＝1共渐近线的双曲线的方程为( )A.y 216－x 29＝1B.x 216－y 29＝1C.y 29－x 216＝1 D.x 29－y 216＝1【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为x 236－y 264＝λ(λ＜0)，即y 2－64λ－x 2－36λ＝1. 由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－14.故所求双曲线的方程为y 216－x 29＝1.【答案】 A二、填空题6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．【解析】由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝ac，∴ca＝3，即e＝3.【答案】 37．直线3x－y＋3＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长是________．【解析】联立消去y，得x2＋3x＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3，x1x2＝2，∴|AB|＝1＋(3)2·(－3)2－4×2＝2.【答案】 28．若直线x＝2与双曲线x2－y2b2＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________.【导学号：26160051】【解析】由双曲线为x2－y2b2＝1得渐近线为y＝±bx，则交点A(2,2b)，B(2，－2b)．∵S△AOB＝12×2×4b＝8，∴b＝2.又a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5. ∴焦距2c＝2 5.【答案】2 5三、解答题9．已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255，求双曲线C 的方程．【解】 依题意，双曲线的焦点在y 轴上，顶点坐标为(0，a )，渐近线方程为y ＝±a b x ，即ax ±by ＝0， 所以ab a 2＋b2＝ab c ＝255. 又e ＝c a ＝52，所以b ＝1，即c 2－a 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a 2＝1， 解得a 2＝4，故双曲线方程为y 24－x 2＝1. 10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使|PF 1|＝2|PF 2|，试确定双曲线离心率的取值范围．【解】 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P ，使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .又∵c ＞a ，∴a ＜c ≤3a ，∴1＜c a ≤3，即1＜e ≤3.[能力提升]1．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)【解析】 双曲线方程化为x 24－y 2－k＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝c a ＝4－k 2，又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k 2<2，解得－12<k <0.【答案】 B2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1【解析】 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1， 所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.【答案】 B3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________． 【解析】 由题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )， ∴P A 1→·PF 2→＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2－x －2＋y 2， 由双曲线方程得y 2＝3x 2－3，代入上式得P A 1→·PF 2→＝4x 2－x －5 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116， 又x ≥1，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值，且最小值为－2. 【答案】 －24．(2016·荆州高二检测)双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x . (1)求双曲线C 的方程； 【导学号：26160052】(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？【解】 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由焦点坐标得c ＝233，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，结合c 2＝a 2＋b 2得a 2＝13，b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 213－y 2＝1，即3x 2－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0， 由Δ>0，且3－k 2≠0，得－6<k <6，且k ≠±3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又x 1＋x 2＝－2k k 2－3，x 1x 2＝2k 2－3，所以y 1y 2＝(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，所以2k 2－3＋1＝0，解得k ＝±1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
(好题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．平面α内有一条直线m ，过平面α外一点P 作直线n 与m 所成角为6π，则直线n 与平面α交点的轨迹是（ ） A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线2．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（ ） A ．42B ．62C ．82D ．83．过椭圆:T 2212x y +=上的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，则AB CD +的取值范围是（ ）A ．83,333⎡⎤⎢⎥⎣ B ．82,333⎡⎤⎢⎥⎣ C ．82,323⎡⎤⎢⎥⎣ D ．83,323⎡⎤⎢⎥⎣ 4．过抛物线26y x =的焦点作一条直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若123x x +=，则这样的直线（ ）A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条5．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,23⎤⎦C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,23]6．如图，F 是抛物线28x y =的焦点，过F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则AOB 的面积为（ ）A ．10B ．8C ．16D ．127．已知圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C 的内心，且12123PMC PMC PC C SSS+=，则a 的值为（ ）A ．9B ．11C ．17D ．198．在平面直角坐标系中，双曲线C 的标准方程为2221(0)4x y t t t-=>+，则双曲线的离心率取得最大值时，双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．13y x =±9．已知过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线FT ，交双曲线右支于点P ，点P 到x 轴的距离恰好为34b ，则双曲线离心率为（ ）A 227+ B 27+C ．53D ．210．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，点P 在双曲线的右支上，且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．5(1,]3C ．[2,)+∞D ．4[,)3+∞11．设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1PF <2PF ，线段1PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则129e e +的最小值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．812．斜率为14的直线l 与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于A ，B 两点，且l 过C 的左焦点，线段AB 的中点为()2,1M -，C 的右焦点为F ，则AFB △的周长为（ ） A ．4877B ．2477C ．147D ．147二、填空题13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为8，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左､右焦点，且1F AB 的面积为4，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为___________. 14．在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点.若椭圆C 上存在点P ，使得12|1|||2PO F F =，则椭圆C 的离心率的取值范围为________. 15．直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点，()6,0M ，则22MP MQ +的最小值为______．16．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x py p =>交于A 、B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为___________.17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点12,,P F F 分别为其左右焦点，圆M是12PF F △内切圆，且1PF 与圆M 相切于点2,||2cA PA a=（c 为半焦距），若122PF PF >，则双曲线离心率的取值范围是_____． 18．F 是抛物线24y x =的焦点，过F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，若10AF =，则OAB 的面积为__________.19．在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线的右支上存在一点P ，使得△OPF 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为__________.20．已知椭圆2212x y +=上存在相异两点关于直线y x t =+对称，则实数t 的取值范围是______.三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A B 、两点，设两直线MA 、MB 的斜率分别为12k k 、，且128k k +=，探究：直线AB 是否过定点，并说明理由．22．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．23．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）若椭圆C 的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，12AF F △与12BF F △的面积分别为12,S S ，122S S =，求直线l 的斜率．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点是椭圆22:19x E y +=的左、右顶点，P 为直线6x =上的动点，PA 与椭圆E 的另一交点为Q ，当点P 不为点()6,0时，过P作直线PH QB ⊥，垂足为H . （1）证明：直线PH 过定点M ；（2）过（1）中的定点M 作斜率为k 的直线与椭圆E 交于C ，D 两点，设直线AC ，AD 的斜率分别为1k ，2k ，试判断()12k k k ⋅+是否为定值？如果是定值，求出定值.25．已知四点12341,,1,,(1,1),(0,1)22P P P P ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭中恰有三点在椭圆2222:1x y C a b+=上，其中0a b >>． （1）求,a b 的值；（2）若直线l 过定点(2,0)M 且与椭圆C 交于,A B 两点（l 与x 轴不重合），点B 关于x 轴的对称点为点D ．探究：直线AD 是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．26．在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点(1,0)F 的距离与到定直线:1l x =-的距离相等，记P 的轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程；（2）过点F 的直线交曲线Γ于点A 、B （其中点A 在第一象限），交直线l 于点C ，且点F 是AC 的中点，求线段AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】过点P 作PO α⊥，以点O 为坐标原点，OP 为z 轴，以定直线m 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设出坐标，分别表示出直线AB 与PM 的方向向量，利用夹角公式即可得出． 【详解】解：过点P 作PO α⊥，以点O 为坐标原点，OP 为z 轴，以定直线m 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设1OP =，30PBO ∠=︒，3OB ∴=． 则(0P ，0，1)，(0,3,0)B ．设点(Q x ，y ，0)，则(,,1)PQ x y =-，取直线m 的方向向量为(0,1,0)u =． 直线AB 与PQ 所成的角为30， 22||3cos30||||1PQ u PQ u x y ∴︒===++， 化为2213y x -=，即为点Q 的轨迹．故选：D ．【点睛】熟练掌握通过建立如图所示的空间直角坐标系利用异面直线的夹角公式求得轨迹的方法是解题的关键．2．D解析：D 【分析】写出直线l 的方程，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得AB . 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，直线l 的方程为1y x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，可得2610x x -+=，2640∆=->，所以，126x x +=，由抛物线的焦点弦长公式得1228AB x x =++=. 故选：D. 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．C解析：C 【分析】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，可直接求得AB CD +=12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，则可得直线1l 的方程，与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，可求得AB 的表达式，同理可求得CD 的表达式，令21k t +=，则可得2112t tAB CD +=+-，令2112y t t =+-，根据二次函数的性质，结合t 的范围，即可求得AB CD +的范围，综合即可得答案. 【详解】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则直线2l 斜率为0，此时AB =，22b CD a ===所以AB CD +=当直线12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-， 不妨设直线12l l 、都过椭圆的右焦点(1,0)F ， 所以直线1:(1)l y k x =-，直线21:(1)l y x k=--， 联立1l 与椭圆T 22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222)202142(-=+-+x k x k k ， 22222(4)4(12)(22)880k k k k ∆=--+-=+>，22121222422,1212k k x x x x k k-+=⋅=++，所以12AB x =-=22)12k k +==+，同理22221))2112k k CD k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以B C A D += 令21k t +=，因为0k ≠，所以1t >，所以22222))122211(21)(1)k k AB t D k k t t t C +++=+=++--++=+=22t t =+-令2211119224y t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭， 因为1t >，所以1(0,1)t∈，所以92,4y ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝，所以141,92y ⎡⎫∈⎪⎢⎭⎣，所以13AB CD y ⎡+=∈⎢⎢⎣， 综上AB CD +的取值范围是3⎡⎢⎣. 故选：C 【点睛】解题的关键是设出直线的方程，结合韦达定理及弦长公式，求得AB CD +的表达式，再根据二次函数性质求解，易错点为需求直线12l l 、中有一个不存在时，AB CD +的值，考查计算求值的能力，属中档题.4．A解析：A【分析】由抛物线方程求得焦点F 的坐标，分直线AB 斜率不存在和直线斜率存在，存在时设直线AB 方程与抛物线方程联立，由韦达定理表示出A 、B 两点的横坐标之和，求得k ，即可得结论. 【详解】抛物线26y x =的焦点为3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当过焦点的直线斜率不存在时，即为32x =， 1232x x ==，符合123x x +=， 当过焦点的直线斜率存在时设为32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，由2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得()222293604k k x k x -++=， 所以2122363k x x k++==，即22363k k +=，所以无解， 则这样的直线有且只有一条. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况，以免遗漏，是中档题.5．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．6．A解析：A 【分析】设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合已知条件可得出214x x =-，结合韦达定理求出2k 的值，进而可得出AOB 的面积为1212OAB S OF x x =⋅-△，即可得解. 【详解】易知抛物线28x y =的焦点为()0,2F .若直线AB 与x 轴垂直，此时直线AB 与抛物线28x y =有且只有一个公共点，不合乎题意.设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ， 联立228y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得28160x kx --=， 由韦达定理可得128x x k +=，1216x x =-，由于AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则4BF FA =，则()()2211,24,2x y x y --=-，所以，214x x =-，则12138x x x k +=-=，可得183k x =-， 2221218256441639k k x x x ⎛⎫=-=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭，可得2916k =，所以，OAB 的面积为1211222OAB S OF x x =⋅-=⨯△10===.故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.7．C解析：C 【分析】先判断出圆1C 与2C 内含，根据条件可得动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，从而得出121216MC MC a C C +=+>=，即动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，又设12MC C 的内切圆的半径为r ' ，由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯，从而得出答案. 【详解】由圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，可得圆1C 的圆心()13,0C -，半径为1r a =，圆2C 的圆心()23,0C ，半径为21r = 由121261C C a r r =<-=-所以圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切. 所以动圆M 与圆1C 内切，与圆2C 外切，设动圆M 的半径为R 则11MC r R a R =-=-，221MC r R R =+=+所以121216MC MC a C C +=+>=所以动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，设其方程为22221(0)x y m n m n +=>> 所以12a m +=，设22c m n =-，则3c = 由P 是12MC C 的内心，设12MC C 的内切圆的半径为r ' 由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯ 即1212318MC MC C C +==，又由椭圆的定义可得121MC MC a +=+ 所以118a +=，则17a = 故选：C 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查根据圆与圆的相切求动圆圆心的轨迹，考查椭圆的定义的应用，解答本题的关键的由条件得出圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，进一步由条件得出121216MC MC a C C +=+>=，即得出动点M 的轨迹，属于中档题.8．C解析：C 【分析】依题意可得c e a ==t ，从而求出双曲线方程，即可求出渐近线； 【详解】解：因为0t >，依题意可得双曲线2221(0)4x y t t t-=>+的离心率2c e a ====≤=当且仅当4t t=即2t =时，等号成立，此时离心率最大， 故双曲线的标准方程为22182y x -=，所以双曲线的渐近线方程为y x =，即12y x =±故选：C【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．A解析：A 【分析】由P 点到x 轴距离（即纵坐标）求出其横坐标，写出直线FP 的方程，然后由原点到切线的距离等于半径可得,,a b c 的等式，变形后可得离心率． 【详解】如图P 在第一象限，因为点P 到x 轴的距离恰好为34b ，即34P y b =，代入双曲线方程得229116P x a -=，解得54P x a =，所以53,44P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (,0)F c -，直线FP 方程为34()54by x c a c =++，化简得3(54)30bx a c y bc -++=，又直线FP 与圆222x y a +=相切，a =，345bc a a c=+人，变形为4293440160e e e ---=，22(342)(348)0e e e e ++--=，因为1e >，所以23420e e ++>，所以23480e e --=，e =去）． 故选：A ． 【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式，本题中由点P 到x 轴的距离恰好为34b ，得出P 点坐标，从而可得直线FP 方程，由圆心到切线的距离等于半径可得所要关系式，从而转化为离心率e 的方程，解之可得．10．A解析：A 【分析】根据题中条件，由双曲线的定义，得到2PF a =，13PF a =，根据1212+≥PF PF F F ，即可求出结果. 【详解】因为点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得122PF PF a -=，又213PF PF =，所以222PF a =，即2PF a =，则13PF a =， 因为双曲线中，1212+≥PF PF F F ，即42a c ≥，则2ca≤，即2e ≤， 又双曲线的离心率大于1，所以12e <≤. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可.11．D解析：D 【分析】设椭圆和双曲线的方程，由题意可得2122PF F F c ==，再利用椭圆和双曲线的定义分别求出1PF ，即可得122a a c +=，计算12112e e +=，()121212111992e e e e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可求最值. 【详解】设椭圆1C 的方程为2222111x y a b +=，则222111c a b =-，设双曲线2C 的方程为2222221x y a b -=，则222222c a b =+，因为椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，所以2212c c =，设12c c c ==即22221122a b a b -=+，因为P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点， 所以1212+=PF PF a ，2122PF PF a -=，因为线段1PF 垂直平分线经过2F ，所以2122PF F F c ==，所以1122PF a c =-，且1222PF c a =-， 所以122222a c c a -=-，可得122a a c +=， 所以11c e a =，22c e a =，所以1212121122a a a a ce e c c c c++=+===， 所以()211212121291111991022e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11101023822⎛≥+=+⨯= ⎝，当且仅当21129e e e e =，即213e e =时等号成立， 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出122a a c +=，进而可得12112e e +=， 再利用基本不等式可求最值.12．C解析：C 【分析】由已知得直线l 的方程可得c ，设()11,A x y ()22,B x y 代入椭圆的方程做差可得22ba18=，然后利用222b c a =-可得2a ，再利用椭圆定义可得答案. 【详解】易得直线l 的方程为113(2)1442y x x =++=+， 当0y =时，6x =-，所以6c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则22222121220x x y y a b --+=， 整理得222212121222212121y y y y y y b a x x x x x x -+-=-=-⋅-+-2221136448a a--=-⨯==，解得7a =，则FAB的周长为47a =. 故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆的定义、直线和椭圆的位置关系，在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程，这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围.二、填空题13．【分析】先根据的面积和短轴长得出abc 的值求得的范围再通分化简为关于的函数利用二次函数求得最值即得取值范围【详解】由已知得故∵的面积为∴∴又故∴∴又而即∴当时最大为；当或时最小为即∴即即的取值范围为解析：25, 58⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据1F AB的面积和短轴长得出a，b，c的值，求得1PF的范围，再通分化简1211PF PF+为关于1PF的函数，利用二次函数求得最值，即得取值范围．【详解】由已知得28b=，故4b=，∵1F AB的面积为4，∴()142a c b-=，∴2a c-=，又()()22216a c a c a c b-=-+==，故8a c+=，∴5a=，3c=，∴12121211PF PFPF PF PF PF++=()()()22 1111111210101021010525aPF a PF PF PF PF PF PF====---+--+，又而1a c PF a c-≤≤+，即128PF≤≤，∴当15PF=时，()21525PF--+最大，为25；当12=PF或8时，()21525PF--+最小，为16，即()211652525PF≤--+≤，∴121011102516PF PF≤+≤，即12211558PF PF≤+≤.即1211PF PF+的取值范围为25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于熟练掌握椭圆的性质1a c PF a c-≤≤+，结合椭圆定义和二次函数最值求法，即突破难点.14．【分析】先分析出得到消去b 整理出ac 的齐次式求出离心率的范围【详解】由落在椭圆上则又得：∴由得：即解得：又∴故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件找到abc 的关系消去b 构解析：,12⎫⎪⎪⎣⎭【分析】先分析出||b PO a ≤≤，得到b c a ≤<，消去b ，整理出a 、c 的齐次式，求出离心率的范围. 【详解】由P 落在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，则||b PO a ≤≤.又12|1|||2PO F F =得：||PO c = ∴b c a ≤<由b c ≤得：22b c ≤，即222a c c -≤，解得：c e a =≥又1e <，∴12e ≤<故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．15．【分析】设直线与抛物线联立方程得韦达定理与代入直线与抛物线表示出与然后根据利用数量积代入求解出从而表示出圆心的坐标根据平行四边形的四边平方和等于对角线平方和代入列式利用二次函数的性质求解最小值【详解 解析：10【分析】设直线AB ，与抛物线联立方程，得韦达定理12y y +与12y y ⋅，代入直线与抛物线表示出12x x +与12x x ⋅，然后根据OA OB ⊥，利用数量积代入求解出4t =，从而表示出圆心的坐标，根据平行四边形的四边平方和等于对角线平方和，代入列式，利用二次函数的性质求解最小值. 【详解】设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，所以()()()22444160m t t m ∆=--=+>， 得124y y m +=，124y y t ，所以()21212242x x m y y t m t +=++=+，222121216y y x x t ⋅==，因为直线OA 、OB 的斜率之积为1-，所以OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，所以2121240x x y y t t +=-=，所以4t =，所以直线AB 的方程为4x my =+，21248x x m +=+，从而圆心为()224,2O m m +'，由平行四边形的四边平方和等于对角线平方和（用向量法易证），得()(222222244MP MQMO PQ MO ''+=+=+()()2222422144148161816202m m m m m ⎛⎫⎡⎤=-++=-++=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 所以222218102MP MQ m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以当m =时，22MP MQ +的最小值为10． 故答案为：10 【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、向量的数量积、三角形的面积等问题．16．【分析】设点利用抛物线的定义得出可计算得出再利用点差法可得出可求出的值由此可得出双曲线的渐近线方程【详解】设点由抛物线的定义可得由可得直线的斜率为由两式作差得即所以可得因此该双曲线的渐近线方程为故答解析：2y x =±【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用抛物线的定义得出12y y p +=，可计算得出122ABx x k p +=，再利用点差法可得出2121222AB x x x x b k a p p++=⋅=，可求出b a 的值，由此可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，由抛物线的定义可得12p AF y =+，22p BF y =+， 2pOF =，由4AF BF OF +=可得122y y p p ++=，12y y p ∴+=， 直线AB 的斜率为221212121212222ABx x y y x x p p k x x x x p--+===--， 由22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b ---=， 即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，所以，22121212122212122ABy y x x x x x x b b k x x a y y a p p -+++==⋅=⋅=-+，2212b a ∴=，可得2b a =， 因此，该双曲线的渐近线方程为2y x =±.故答案为：y x =. 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a 、b 求得比值，则焦点在x 轴上时，渐近线方程为b y x a=±，焦点在y 轴上时，渐近线方程为ay x b=±； （2）构造齐次式：利用已知条件结合222a b c =+，构建b a 的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可.17．【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与轴切于顶点再分别表示列出关于的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围【详解】设圆心设内切圆与相切于点如图：根据内切圆性质可知点是双曲线的顶点即整理解析：1)． 【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与x 轴切于顶点，再分别表示12,PF PF ，列出关于,a c 的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围.【详解】设圆心(),M x y ，设内切圆与1212,,PF PF F F 相切于点,,A B C ，如图：根据内切圆性质可知PA PB =，11F A FC =，22F B F C =， 1212122PF PF PA AF PB BF CF CF a ∴-=+--=-=,∴点C 是双曲线的顶点，即11F A FC c a ==+，22F B F C c a ==-，22c PA PB a==， 2122222c c a PF ac PF c a a++=>-+，整理为：22260c ac a +-<，两边同时除以2a ， 得2260e e +-<，解得：1717e --<<-+，且1e >， 所以离心率的取值范围是()1,71-.故答案为：()71 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：222111c b e a a b c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.18．【分析】设点为第一象限内的点设点利用抛物线的定义可求得点的坐标可得出直线的方程将直线的方程与抛物线的方程联立列出韦达定理求出的值由此可求得的面积【详解】设点为第一象限内的点设点抛物线的准线方程为由抛 解析：103【分析】设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用抛物线的定义可求得点A 的坐标，可得出直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出12y y -的值，由此可求得OAB 的面积. 【详解】设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，由抛物线的定义可得1110AF x =+=，解得19x =，由于点A 为第一象限内的点，则10y >，可得16y ==，即点()9,6A ，直线AF 的斜率为63914AF k ==-，所以，直线AB 的方程为()314y x =-，即413x y =+， 联立24134x y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理可得216403y y --=， 由韦达定理可得12163y y +=，21161626333y y ∴=-=-=-， 因此，1211210162233OAB S OF y y =⋅-=⨯⨯+=△. 故答案为：103. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.19．(或)【分析】先根据的形状先确定出点坐标然后将点坐标代入双曲线方程根据的齐次式求解出离心率的值【详解】因为是以为直角顶点的等腰直角三角形不妨假设在第一象限所以所以所以所以所以所以所以所以又因为所以故【分析】先根据OPF △的形状先确定出P 点坐标，然后将P 点坐标代入双曲线方程，根据,a c 的齐次式求解出离心率的值. 【详解】因为OPF △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 不妨假设P 在第一象限，所以122P P F c x y x ===，所以,22c c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2222144c c a b-=，所以2222224c b c a a b -=，所以()()222222224cca c a a c a --=-，所以4224640c a c a -+=，所以42640e e -+=，所以23e ==又因为1e >，所以e ===，. 【点睛】思路点睛：利用齐次式求解椭圆或双曲线的离心率的一般步骤： （1）根据已知条件，先得到关于,,a b c 的方程；（2）结合222a b c =+或222c a b =+将方程中的b 替换为,a c 的形式；（3）方程的左右两边同除以a 的对应次方，由此得到关于离心率e 的方程，从而求解出离心率e 的值.20．【分析】设对称的两点为直线的方程为与联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求的中点利用判别式以及在直线上即可求解【详解】设椭圆存在关于直线对称的两点为根据对称性可知线段被直线直平分且的中点在直解析：33⎛- ⎝⎭【分析】设对称的两点为()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y x b =-+与2212x y +=联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求AB 的中点()00,M x y ，利用判别式0∆>以及()00,M x y 在直线y x t =+上即可求解.【详解】设椭圆2212x y +=存在关于直线y x t =+对称的两点为()11,A x y ，()22,B x y ，根据对称性可知线段AB 被直线y x t =+直平分， 且AB 的中点()00,M x y 在直线y x t =+上，且1AB k =-， 故可设直线AB 的方程为y x b =-+，联立方程2222y x bx y =-+⎧⎨+=⎩，整理可得2234220x bx b -+-=， ∴1243b x x +=，()1212223by y b x x +=-+=，由()221612220b b ∆=-->，可得b <<， ∴120223x x b x +==，12023y y by +==， ∵AB 的中点2,33b b M ⎛⎫⎪⎝⎭在直线y x t =+上， ∴233b b t =+，可得3b t =-，33t -<<.故答案为：33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用直线AB 与直线y x t =+垂直可得直线AB 的斜率为1-，可设直线AB 的方程为y x b =-+，代入2212x y +=可得关于x 的一元二次方程，利用判别式0∆>，可以求出b 的范围，利用韦达定理可得AB 的中点()00,M x y 再代入y x t =+即可t 与b 的关系，即可求解. 三、解答题21．（1）22184x y +=；（2）直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，理由见解析【分析】（1）通过点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形，可求得,a b ，从而可求椭圆方程；（2）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程代入椭圆方程，利用韦达定理及128k k +=，可得直线AB 的方程，从而可得直线AB 过定点；若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，求出直线AB 的方程，即可得到结论.【详解】（1）由点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，可知2b =， 又12F MF △是等腰直角三角形，可得a =，即a =28a =，24b =所以椭圆的标准方程为22184x y +=；（2）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2m ≠±，联立22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4280k x kmx m +++-=由已知0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得：2121222428,1212km m x x x x k k --+==++， 128k k +=12221211212222y y kx m k k k x m x x x x -+-+-=+=+-∴+ 12212121142(2)()2(2)2(2)828x x km k m k m k m x x x x m +-=+-+=+-=+-=- 42kmk m ∴-=+，整理得122m k =- 故直线AB 方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，设0000(,),(,)A x y B x y -， 由已知得0000228y y x x ---+=，解得012x =-， 此时直线AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】方法及易错点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和椭圆方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系对题目条件进行化简计算，从而可得出结论，另外设直线方程时常常不要忽略斜率是否存在的问题．22．（1）22122y x -=；（2）8.【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可； （2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可. 【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b =⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x =-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=．由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8． 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．23．（1）22143x y +=；（2）. 【分析】（1）由已知条件可得12c e a ==，将点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆的方程结合222a b c =+即可求得,,a b c 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设:1l x ty =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得关于y 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，利用122S S =可得122y y =-，即可解出k 的值，进而可求出直线l 的斜率. 【详解】（1）由题意可得：22222121914c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程为22143x y +=.（2）1(1,0)F -，显然l 与y 轴不垂直，故可设:1l x ty =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得22(34)690t y ty +--=，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+，由122S S =得122y y =-， 所以122262034ty y y t +=+=+，可得22634t y t -=+， 由122934y y t -=+可得2229234y t --=+， 消去2y 可得()222236923434t t t --⨯=++ ，整理可得：245t =t =:1l x y =-，所以直线l：)1y x =+， 所以直线l的斜率为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由面积之比得出纵坐标122y y =-，联立直线与椭圆的方程消去x 可得关于y 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，可求t 的值，注意求直线的斜率.24．（1）证明见解析；（2）是，定值为112-. 【分析】（1）设()00 ,Q x y ，()()6,0P t t ≠，法一：根据椭圆方程求得19QA QB k k ⋅=-，根据9QA PA tk k ==，即可求得QB k ，根据PH QB ⊥，可求得PH k ，可得直线PH 的方程，即可得答案；法二：根据9AP QA tk k ==，可得直线AP 的方程，与椭圆联立，根据韦达定理，可得Q 点坐标，根据PH QB ⊥，可求得PH k ，可得直线PH 的方程，即可得答案； （2）设()11,C x y ，()22,D x y ，则直线CD 的方程为()5y k x =-，与椭圆联立，根据韦达定理，可得1212,x x x x +⋅表达式，即可得()12k k k ⋅+的表达式，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）法一：由题意得：(3,0),(3,0)A B -，设()00 ,Q x y ，()()6,0P t t ≠，则220019x y += ∴00001339QA QB y y k k x x ⋅=⋅=-+-，9QA PA t k k == ∴1QB k t=-。
(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测(有答案解析)
一、选择题1．过双曲线22115y x -=的右支上一点P 分别向圆221:(4)4C x y ++=和222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．192．已知()5,0F 是双曲线()2222:=10,0x y C a b a b->>的右焦点，点(A .若对双曲线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（ ）A B ．5C ．52D ．63．已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ） A ．221124x y +=B ．2211612x y +=C ．221128x y +=D ．2212016x y +=4．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5．已知直线:(1)(2)230l a x a y a +++--=经过定点P ，与抛物线24x y =交于,A B 两点，且点P 为弦AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．210x y -+= C ．210x y -+=D ．20x y +-=6．已知过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线FT ，交双曲线右支于点P ，点P 到x 轴的距离恰好为34b ，则双曲线离心率为（ ）A ．273+ B ．273+ C ．53D ．27．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，点P 在双曲线的右支上，且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．5(1,]3C ．[2,)+∞D ．4[,)3+∞8．设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1PF <2PF ，线段1PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则129e e +的最小值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89．已知动点(),P x y ()()2222522x y x y a a+-++=+(a 为大于零的常数)﹐则动点P 的轨迹是（ ） A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线10．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是（ ）A ．2833y x =B ．233y x =C ．28x y =D ．216x y =11．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，M 是x 轴正半轴上的一点，线段FM 交抛物线于点A ，过A 作l 的垂线，垂足为B .若BF BM ⊥，则FM =（ ） A ．52B ．3C ．72D ．412．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞二、填空题13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线:2230l kx y ka --=与双曲线C 交于A 、B 两点．若7AF FB =，则实数k ＝________．14．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=平行，则双曲线的离心率为___________.15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ，过点F 且平行于OA 的直线交另一条渐近线于点B ，若AB OB ⊥，则双曲线C 的离心率为____________. 16．已知1F ､2F 为椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 为1C 和2C 的一个公共点，且1213F PF π∠=，椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的最大值为________________.17．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且3FP FH =，则双曲线的离心率为__________．19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点11(,)P x y ，22(,)Q x y .①抛物线24y x =焦点到准线的距离为2；②若126x x +=，则8PQ =；③2124y y p =-；④过点P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A ，则直线AQ 平行于 抛物线的对称轴；⑤绕点(2,1)-旋转且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条. 以上结论中正确的序号为__________.20．设A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，F 是右焦点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，过点B 作x 轴的垂线与直线MA 交于点P ，若直线OP 与BM 的斜率之积为4，则双曲线的离心率为_________．三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点1,2P ⎛ ⎝⎭，离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,3)M 的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点. ①当直线OA ，OB 的斜率之和为34时(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k ； ②求MA MB ⋅的取值范围.22．已知点A 、B 坐标分别是(-，0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且它们斜率之积是12-． （1）试求点P 的轨迹Γ的方程；（2）已知直线:4l x =-，过点()2,0F -的直线（不与x 轴重合）与轨迹Γ相交于M ．N 两点，过点M 作MD l ⊥于点D ．求证：直线ND 过定点，并求出定点的坐标．23．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）若椭圆C 的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，12AF F △与12BF F △的面积分别为12,S S ，122S S =，求直线l 的斜率．24．如图，点(1,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆E 相交于C ､D 两点(C 在D 的上方)，||3CD =.（1）求椭圆E 的方程；（2）设点A ､B 是椭圆E 上位于直线CD 两侧的动点，且满足ACD BCD ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.25．（1）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为22，1F 、2F 为左、右焦点，M 为椭圆E 上一点，且123F MF π∠=，12233F MF S =△，求椭圆E 的方程． （2）过点()()00P m m a <<,的直线交椭圆E 于A 、B 两点，交直线4x m=于点M ，设MA AP λ=，MB BP μ=，求λμ+的值．26．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>，焦点为F ，过点()2,0G p 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y .（1）若124x x ⋅=，求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点M ，直线BF 交抛物线C 于另一点N .求证：直线l 与直线MN 斜率之比为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】解：圆221:(4)4C x y ++=的圆心为(4,0)-，半径为12r =； 圆222:(4)1C x y -+=的圆心为(4,0)，半径为21r =，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=---22212(||2)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||)32(||||)322328313a PF PF PF PF c =+-=+-⨯-=⨯-=．当且仅当P 为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选：B ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力．2．C解析：C 【分析】设E 是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值． 【详解】设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．则222(5)(11)210EA a a +=-++≥，2a ≥，所以552c e a a ==≤． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．3．C解析：C 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=列方程可解得a ，b ，即可得到椭圆的方程． 【详解】22||2||AF BF =，2||3||AB BF ∴=， 又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴=，又12||||2BF BF a +=，2||2aBF ∴=， 2||AF a ∴=，13||2BF a =， 12||||2AF AF a +=，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt2AF O 中，22cos AF O a∠=，在12BF F △中，由余弦定理可得22221316()()822cos 2242a a a BF F a a +--∠==⨯⨯． 221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得22802a a a -+=，解得212a =．2221248b a c =-=-=．椭圆C 的方程为：221128x y +=．故选：C ． 【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 4．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即224990 2116160e ee e⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e.故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合222b c a=-转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或2a转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．5．B解析：B【分析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.【详解】由直线:(1)(2)230l a x a y a+++--=得(2)(23)0a x y x y+-++-=所以20230x yx y+-=⎧⎨+-=⎩解得11xy=⎧⎨=⎩则()1,1P设1122(,),(,)A x yB x y，则21122244x yx y⎧=⎨=⎩，两式相减得121212()()4()x x x x y y-+=-，即121212142ABy y x xkx x-+===-，则直线方程为11(x1)2y-=-，即210x y-+=.故选：B.【点睛】方法点晴：点差法是求解中点弦有关问题的常用方法.6．A解析：A 【分析】由P 点到x 轴距离（即纵坐标）求出其横坐标，写出直线FP 的方程，然后由原点到切线的距离等于半径可得,,a b c 的等式，变形后可得离心率． 【详解】如图P 在第一象限，因为点P 到x 轴的距离恰好为34b ，即34P y b =，代入双曲线方程得229116P x a -=，解得54Px a =，所以53,44P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (,0)F c -，直线FP 方程为34()54by x c a c =++，化简得3(54)30bx a c y bc -++=，又直线FP 与圆222x y a +=相切，a =，345bc a a c=+人，变形为4293440160e e e ---=，22(342)(348)0e e e e ++--=，因为1e >，所以23420e e ++>，所以23480e e --=，e =去）． 故选：A ． 【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式，本题中由点P 到x 轴的距离恰好为34b ，得出P 点坐标，从而可得直线FP 方程，由圆心到切线的距离等于半径可得所要关系式，从而转化为离心率e 的方程，解之可得．7．A解析：A 【分析】根据题中条件，由双曲线的定义，得到2PF a =，13PF a =，根据1212+≥PF PF F F ，即可求出结果. 【详解】因为点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 又213PF PF =，所以222PF a =，即2PF a =，则13PF a =， 因为双曲线中，1212+≥PF PF F F ，即42a c ≥，则2ca≤，即2e ≤， 又双曲线的离心率大于1，所以12e <≤. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可.8．D解析：D 【分析】设椭圆和双曲线的方程，由题意可得2122PF F F c ==，再利用椭圆和双曲线的定义分别求出1PF ，即可得122a a c +=，计算12112e e +=，()121212111992e e e e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可求最值. 【详解】设椭圆1C 的方程为2222111x y a b +=，则222111c a b =-，设双曲线2C 的方程为2222221x y a b -=，则222222c a b =+，因为椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，所以2212c c =，设12c c c ==即22221122a b a b -=+，因为P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点， 所以1212+=PF PF a ，2122PF PF a -=，因为线段1PF 垂直平分线经过2F ，所以2122PF F F c ==，所以1122PF a c =-，且1222PF c a =-， 所以122222a c c a -=-，可得122a a c +=， 所以11c e a =，22c e a =，所以1212121122a a a a ce e c c c c++=+===， 所以()211212121291111991022e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11101023822⎛≥+=+⨯= ⎝， 当且仅当21129e e e e =，即213e e =时等号成立， 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出122a a c +=，进而可得12112e e +=， 再利用基本不等式可求最值.9．C解析：C 【分析】由a 为大于零的常数，可知5a a+的最小值，再根据两点间距离公式得几何意义以及椭圆定义判断轨迹. 【详解】的几何意义为点(),P x y 与点(0,2)A 间的距离，的几何意义为点(),P x y 与点(0,2)B -间的距离，且4AB =又由a为大于零的常数，可知54a a +≥=>， 当且仅当5aa=，即a =54a a=+>， 即动点P 到点A 与到点B 的距离之和为定值，且大于AB ， 所以动点P 的轨迹为椭圆， 故选：C. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．10．D解析：D 【分析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的p ，则抛物线方程可求. 【详解】双曲线2C 的渐近线方程是22026x y -=，即3y x =±.因为抛物线的焦点()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭到渐近线30x y -=的距离为2， 则2231p =+，即8p =，所以1C 的标准方程是216x y =，故选：D ． 【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：已知双曲线方程22221x y a b-=或22221y x a b -=，求解其渐近线方程只需要将方程中的“1”变为“0”，由此得到的y 关于x 的一次方程即为渐近线方程. 11．B解析：B 【分析】先利用方程得求得焦点坐标和准线方程，设点(,0)M m ，()00,A x y ，再利用点()00,A x y 在抛物线与直线上列方程，解出0,x m ，最后利用距离公式计算FM 即可. 【详解】如图所示，抛物线24x y =中，()0,1F ，:1l y =-，依题意设(,0)M m ，()00,A x y ，00x >，则2004x y =，故200,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1B x -，因为BF BM ⊥，即BF BM ⊥，而()()00,2,,1BF x BM m x =-=-， 所以()0020BF BM x m x ⋅=-+=，直线:11x y FM m +=，A 在直线上，故200:14x x FM m +=，即02044x m x =-，代入上式即得000024420x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝-⎭，化简整理得4200280x x +-=，即()()2200240x x -+=，故202x =，而00x >，故0x =()24m ==-M ，所以FM =3=.故选：B. 【点睛】本题解题关键在于利用点()00,A x y 既在抛物线上，又在直线上，构建关系式，求解出点M 即突破难点. 12．A解析：A 【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点． 【详解】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点，所以20a ->，即2a >，此时圆半径为2r ==>．因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ．故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．二、填空题13．【分析】由直线方程过右焦点得的关系设直线方程与双曲线方程联立消去应用韦达定理得出由得这样结合起来可得值【详解】在中令得所以则设由消去得由得所以化简得故答案为：【点睛】方法点睛：：本题考查直线与双曲线解析：【分析】由直线方程过右焦点得,a b 的关系，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程与双曲线方程联立消去x ，应用韦达定理得出1212,y y y y +，由7AF FB =，得127y y =-，这样结合起来可得k 值．【详解】在2230kx y ka --=中令0y =得32a x =，所以32a c =，则222254a b c a =-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222212230x y a bkx y ka ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，消去x 得22222223504b ab a b a y y k k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 2122223kab y y a k b+=-，2221222254()k a b y y b a k =-， 由7AF FB =得127y y =-，212222236kab y y y a k b +=-=-，222222()kab y a k b =--， 所以224222212222222225774()4()k a b k a b y y y a k b b a k =-=-⨯=--，化简得2221235b k a ==，k =．故答案为： 【点睛】方法点睛：：本题考查直线与双曲线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理（本题得）1212,y y y y +，已知条件又得127y y =-，这样结合起来可求得k 值．14．【分析】由双曲线的一条渐近线与直线平行求得进而求得双曲线的离心率得到答案【详解】由题意双曲线的渐近线方程为因为双曲线的一条渐近线与直线平行可得即则故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其【分析】由双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=平行，求得12b a =，进而求得双曲线的离心率，得到答案. 【详解】由题意，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，因为双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=平行，可得12b a -=-，即12b a =，则2c e a ===.. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.15．【分析】设双曲线半焦距为双曲线的渐近线方程为则设直线的方程为然后直线的方程和另一渐近线方程联立求出点从而可求出直线的斜率再由可得两直线的斜率乘积为从而得进而可求出双曲线的离心率【详解】解：设双曲线半【分析】设双曲线半焦距为c ，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则(,0),(,)bcF c A c a，设直线BF 的方程为()by x c a=-，然后直线BF 的方程和另一渐近线方程联立，求出点,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可求出直线AB 的斜率，再由AB OB ⊥，可得两直线的斜率乘积为1-，从而得2213b a =，进而可求出双曲线的离心率【详解】解：设双曲线半焦距为c ，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则(,0),(,)bc F c A c a， 设直线BF 的方程为()by x c a=-， 由()b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率为322AB bc bcb a a kc a c --==-， 因为AB OB ⊥，所以3()1AB OBb bk k a a⋅=⨯-=-， 所以2213b a =，所以双曲线的离心率为e ==故答案为：3【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查求双曲线的离心率的方法，解题的关键是灵活运用双曲线的几何性质，考查计算能力，属于中档题16．【分析】设椭圆的长轴为双曲线的实轴为公共焦距为设不放设则有所以在中结合余弦定理可得带入可得所以再利用柯西不等式即可得解【详解】设椭圆的长轴为双曲线的实轴为公共焦距为设不放设则有由所以在中有代入可得所【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，公共焦距为2c ，设1122,PF r PF r ==，不放设12r r >，则有1211222,2r r a r r a +=-=，112r a a =+，212r a a =-，所以在12PF F △中，结合余弦定理可得带入可得22222221212124223c a a a a a a =+-+=+，所以2212134e e += ，再利用柯西不等式，即可得解. 【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，公共焦距为2c ，设1122,PF r PF r ==，不放设12r r >， 则有1211222,2r r a r r a +=-=，112r a a =+，212r a a =-，由1213F PF π∠=，所以在12PF F △中， 有22212121212=2cos F F r r rr F PF +-∠，代入可得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯222222*********a a a a a a =+-+=+，所以2212134e e += ，2222221212121111()(1+()()1e e e e e e ⎡⎤⎡⎤+=⨯≤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦221213416()33e e =+⨯=，所以1211e e +≤.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义，考查了离心率公式，以及利用柯西不等式求最值，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：（1）椭圆和双曲线的定义，圆锥曲线的定义是解析几何常考考点； （2）柯西不等式的应用，柯西不等式是求最值得重要方法.17．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5 【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.18．【分析】根据向量条件求出的坐标代入双曲线方程即可得出结论【详解】由题意设直线的方程为与渐近线联立可得的坐标为即代入双曲线方程可得化简可得故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质求双曲【分析】根据向量条件，求出P 的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论. 【详解】由题意，设(,)P x y ，直线FH 的方程为()ay x c b=+，与渐近线b y x a =-联立，可得H 的坐标为2(,)c aba c-，3FP FH =，即23a x c c cab y c ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2323a x c c ab y c ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩， 代入双曲线方程可得，222223(2)91a c a c a c-+-=， 化简可得22413c a=，13c ea ，故答案为：2【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．19．①②④【分析】焦点到准线的距离为即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理可判断③；求出两点坐标计算斜率即可判断④；时与抛物线只有一个交点设过点的直线为与抛解析：①②④ 【分析】焦点到准线的距离为p 即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线PQ 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断③；求出,A Q 两点坐标，计算AQ 斜率即可判断④；1y =时与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，与抛物线方程联立，利用0∆=求出k 的值，即可得出有一个公共点的直线条数，可判断⑤，进而可得正确答案.【详解】抛物线2:4C y x =可得2p =，()1,0F对于①：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线l 为1x =-，所以焦点到准线的距离为2，故①正确；对于②：根据抛物线的对义可得：121286222p px x x P p Q x +++=++=+==， 对于③：设直线PQ 方程为：1x ky =+与2:4C y x =联立可得2440yky --=，可得124y y =-，因为2p =，所以2124y y p ≠-，故③不正确；对于④：11(,)P x y ，所以OP ：11y y x x =，由111y y x x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得11y y x =-， 所以111,y A x ⎛⎫--⎪⎝⎭，因为22(,)Q x y ，124y y =- 解得：214y y -=，所以214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为11(,)P x y 在抛物线2:4C y x =上，所以2114y x =，所以21114x y =，1114y x y -=-所以141,A y ⎛⎫--⎪⎝⎭，因为214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0AQ k =，所以//AQ x 轴，即直线AQ 平行于抛物线的对称轴，故④正确；对于⑤：1y =时，显然与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，由224x ky k y x=--⎧⎨=⎩可得：24480y ky k -++=，令()2164480k k ∆=-+= 可得2k =或1k =-，故过点(2,1)-且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条.，故⑤不正确， 故答案为：①②④ 【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）若点A 在第一象限，点B 在第四象限，则1cos p AF α=-，1cos pBF α=+，弦长1222sin pAB x x p α=++=，（α为直线AB 的倾斜角）； （3）112||||FA FB p+=； （4）以AB 为直径的圆与准线相切；（5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.20．【分析】设代入双曲线方程变形为再根据MPA 共线利用斜率相等求得点P 然后再直线与的斜率之积为4得到ab 的关系求解【详解】设则即设又且MPA 共线所以解得则的斜率为的斜率为又直线与的斜率之积为4所以即所以【分析】设(),M m n ，代入双曲线方程变形为22222n b m a a =-，再根据M ，P ，A 共线，利用斜率相等，求得点P ，然后再直线OP 与BM 的斜率之积为4，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设(),M m n ，则22221m n a b -=，即22222n b m a a=-， 设(),P a t ，又(),0A a -，且M ，P ，A 共线， 所以2n tm a a=+， 解得2ant m a=+， 则OP 的斜率为2nm a+， BM 的斜率为nm a-， 又直线OP 与BM 的斜率之积为4，所以22222224a n b m a ==-，即222b a=，所以c e a ===【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法以及点的双曲线上和斜率公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）①3k =-；②808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）把点代入方程结合离心率列方程组求解即可；（2）①设直线l 方程为，代入椭圆E 的方程可得，结合判别式与韦达定理，利用直线OA ，OB 的斜率之和为34进而求出直线斜率即可；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求得8MA MA ⋅=，当直线l 的斜率存在时，由（2）①得28821MA MB k ⋅=++，从而求得范围．【详解】解：（1）由题意得222221,2c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得222a c =，22b c =.设椭圆E 的方程为222212x y c c +=，又因为点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上， 所以222211122c c+=，22222,1c a b ===，所以椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）①设直线l 方程为：3y kx =+，代入椭圆E 的方程可得，()222112160kx kx +++=因为直线l 与椭圆E 有两个交点，所以216640∆=->k ，即24k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221221k x x k +=-+，1221621x x k ⋅=+， 11223,3y kx y kx =+=+.又()1212121233244OA OB x x y y k k k k x x x x ++=+=+=-=⋅ 解得3k =-，经检验成立.所以，直线l 的斜率3k =-； ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，将0x =代入2212x y +=，解得1y =±，则(0,1)A ，(0,1)B -，8MA MA ⋅=当直线l 的斜率存在时，由（2）①得()()()()22121212216133121k MA MA x x y y k x x k +⋅=⋅+--=+⋅=+()2228211882121k k k ⎡⎤++⎣⎦==+++因为24k >，所以MA MA ⋅的范围为808,9⎛⎫⎪⎝⎭． 综上，得MA MB ⋅的取值范围是808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．（1）221(84x y x +=≠±；（2）证明见解析，()3,0-.【分析】（1）首先设点(),P x y ，利用12PA PB k k ⋅=-，转化为关于,x y 的方程；（2）方法一，首先由椭圆的对称性可知定点必在x 轴上，设:2MN x my =-，与椭圆方程联立，由根与系数的关系得到()1212my y y y =-+，并求出直线ND 的方程，求与x 轴的交点；方法二，直线:2MN x my =-与椭圆方程联立后，利用求根公式求得两个交点的纵坐标，再代入直线ND 的方程，化简，求定点的坐标. 【详解】（1）设(),P x y ，由题意得：12PA PB k k ⋅=-12=-，化简得22184x y +=．又x ≠±，∴点P的轨迹方程为221(84x y x +=≠±．（2）方法一：由椭圆的对称性知，直线ND 过的定点必在x 轴上， 由题意得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+， ∴()1212my y y y =-+，2112:(4)4y y ND y x y x -=+++，令0y =， ∴()()12122121424y x y my x y y y y +++=-=---()1211212121221y y y my y y y y y y -+++=-=-=--，3x =-，∴直线ND 过定点()3,0-．方法二：由题意可得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，122y m =+，222y m =+， ()2112121122(4)2:(4)42y y x my y y y y ND y x y x my -+++-=++=++2244)2222m x m m m my -+++++=+224)3)2222x x m m my my ++++==++ ∴3x =-时0y =， ∴直线ND 过定点()3,0-. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中直线过定点问题，第一个关键是首先判断定点在x 轴上，方法一的关键是利用根与系数的关系得到()1212my y y y =-+，再代回直线方程求交点，方法二的关键是变形，化简.23．（1）22143x y +=；（2）. 【分析】（1）由已知条件可得12c e a ==，将点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆的方程结合222a b c =+即可求得,,a b c 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设:1l x ty =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得关于y 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，利用122S S =可得122y y =-，即可解出k 的值，进而可求出直线l 的斜率. 【详解】（1）由题意可得：22222121914c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程为22143x y +=.（2）1(1,0)F -，显然l 与y 轴不垂直，故可设:1l x ty =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得22(34)690t y ty +--=，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+， 由122S S =得122y y =-， 所以122262034ty y y t +=+=+，可得22634t y t -=+， 由122934y y t -=+可得2229234y t --=+， 消去2y 可得()222236923434t t t --⨯=++ ，整理可得：245t =t =:1l x y =-，所以直线l：)1y x =+， 所以直线l的斜率为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由面积之比得出纵坐标122y y =-，联立直线与椭圆的方程消去x 可得关于y 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，可求t 的值，注意求直线的斜率.24．（1）22143x y +=；（2）是定值，理由见解析.【分析】（1）由焦点及通经长，用待定系数法求椭圆的标准方程；（2）设出直线AB ：y kx m =+，与椭圆联立，用“设而不求法”表示ACD BCD ∠=∠，整理得12k =. 【详解】（1）由2321b a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩得：24a =，23b =∴椭圆E 的方程：22143x y +=（2）依题意知直线AB 的斜率存在，设AB 方程：y kx m =+()11,A x y ，()22,B x y代入椭圆方程22143x y +=得：()2224384120k x kmx m +++-=(*)122843km x x k ∴+=-+，212241243m x x k -=+ 由ACD BCD ∠=∠得0AC BC k k +=31,2C ⎫⎛ ⎪⎝⎭，121212123333222201111y y kx m kx m x x x x --+-+-∴+=+=---- ()1212322302kx x m k x x m ⎫⎛∴+--+-+= ⎪⎝⎭22241238223043243m km k m k m k k -⎛⎫⎛⎫∴⋅+----+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭整理得：(63)(223)0k k m -+-=2230k m ∴+-=或630k -=当2230k m +-=时，直线AB 过定点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，不合题意 630k ∴-=，12k =，∴直线AB 的斜率是定值12另解：设直线AB 的方程为3(1)12m x n y ⎫⎛-+-= ⎪⎝⎭椭圆E 的方程即：22333[(1)1]41222x y ⎡⎤⎫⎛-++-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即：22334126(1)3(1)022y y x x ⎫⎫⎛⎛-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭联立得：233(412)(126)22n y m n y ⎫⎫⎛⎛+-++- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭2(1)(63)(1)0x m x -++-=即23322(412)(126)(63)011y y n m n m x x ⎛⎫-- ⎪+++++= ⎪-- ⎪⎝⎭ ∴由ACD BCD ∠=∠得121233(126)22011(412)AC BCy y m n k k x x n --++=+=-=--+即：2n m =- ∴直线AB 的斜率为12m n -=，是定值. 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.25．（1）22:142x y E +=；（2）0．【分析】（1）首先根据题意得到c =11MF r =，22MF r =，得到122r r a +=，再根据12F MF S =△和余弦定理即可得到24a =，22b =，从而得到椭圆的标准方程. （2）首先设直线x ky m =+，与椭圆联立得到222(2)240k y kmy m +++-=，从而得到1221224y y km y y m +=--，联立4x m x ky m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得到244m M m km ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.再根据MA AP λ=，MB BP μ=，得到2141m kmy λ-=-和2241m kmy μ-=-，计算λμ+即可. 【详解】（1）由已知得2c =，即c =设11MF r =，22MF r =，得到122r r a +=. 在12F MF △中，12121sin 23F MF r r S π==△，解得1283r r =.(22212122cos3r r r r π=+-，化简得：()2121283r r r r =+-，288433a =-⨯，解得24a =.所以2242b =-=，椭圆22:142x y E +=.。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 检测(A) 含解析
第二章检测(A )(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若圆(x-a )2+(y-b )2=r 2的圆心为抛物线y 2=4x 的焦点,且与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为 ( )A.(x-1)2+y 2=6425B.x2+(y −1)2=6425 C.(x-1)2+y 2=1 D.x 2+(y-1)2=12.已知抛物线C 1:y=2x 2与抛物线C 2关于直线y=-x 对称,则抛物线C 2的准线方程是( ) A.x=−18B.x =12 C.x =18D.x =−12C 1:y=2x 2关于y=-x 对称的抛物线C 2的解析式为-x=2(-y )2,即y 2=−12x,故C 2的准线方程为x =18. 3.一根竹竿长为2米,竖直放在广场的水平地面上,在t 1时刻测得它的影长为4米,在t 2时刻测得它的影长为1米.这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子是椭圆,则在t 1,t 2这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为( ) A.1∶1 B .√2∶1C .√3∶1D.2∶1,球形物体的高度一定,可设为h.则t 1时刻影子椭圆的长轴长2a=2h ,短轴长2b=h ,∴c 2=a 2-b 2=h 2−ℎ24=34ℎ2,e1=c a=√32ℎℎ=√32.t2时刻影子椭圆的长轴长为2a=h ,短轴长2b =ℎ2,则c 2=a 2-b 2=ℎ24−ℎ216=316ℎ2,∴c 2a 2=316ℎ2ℎ24=34.∴e2=c a =√32. ∴e 1∶e 2=1∶1.4.已知动点P 到两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离之和为2√3λ(λ≥1),则点P 轨迹的离心率的取值范围为( ) A .[√33,1)B.(√33,√32]C .(0,√33]D.(√32,1),2√3λ>|F1F2|=2,∴点P 的轨迹是椭圆,其中a =√3λ,c =1. ∴e =√3λ≤√3故选C.5.若双曲线x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线经过点(3,−4),则此双曲线的离心率为( )A .√73B.54C.43D.53双曲线的渐近线方程为y=±bx,且过点(3,-4),∴-4=−b ×3,∴b =4.∴离心率e =√1+(b a )2=√1+(43)2=53,故选D.6.已知P ,Q 是椭圆9x 2+16y 2=1上的两个动点,O 为坐标原点,若OP ⊥OQ ,则点O 到弦PQ 的距离必等于( ) A.1B .34C.15D.145PQ 垂直于x 轴时,OP ⊥OQ ,且|OP|=|OQ|,所以△OPQ 为等腰直角三角形.故有|x P |=|y P |,代入椭圆方程,有9x P 2+16x P 2=1,解得 |x P |=15,即点O 到弦PQ 的距离为15.7.已知AB 为过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的中心的弦,F1为一个焦点,则△ABF 1的最大面积是(c 为半焦距) ( )A.acB.abC.bcD.b 2ABF 1的面积为c ·|y A |,因此当|y A |最大,即|y A |=b 时,面积最大.8.已知点F ,A 分别为双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点、右顶点,点B(0,b)满足FB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线的离心率为( ) A .√2B.√3 C .1+√32 D.1+√52FB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴FB ⊥AB.∴b 2=ac. 又b 2=c 2-a 2,∴c 2-a 2-ac=0. 两边同除以a 2,得e 2-1-e=0⇒e =1+√52.9.设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1B.y =√33(x −1)或y =−√33(x −1) C.y =√3(x −1)或y =−√3(x −1) D.y =√22(x −1)或y =−√22(x −1)10.已知抛物线y 2=2px (p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的标准方程为( ) A.y 2=-4x B.y 2=4x C.x 2=4yD.x 2=-4yF (p2,0)且斜率为1的直线方程为y=x −p 2,与抛物线方程联立,可得y 2-2py-p 2=0,所以y 1+y 2=2p=4.所以p=2,故抛物线的标准方程为y 2=4x.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.抛物线y 2=4x 的焦点到准线的距离是 .12.已知点P(a,0),若抛物线y2=4x上任一点Q都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是.Q(x,y),则y2=4x(x≥0).∴|PQ|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4x=x2+2(2-a)x+a2≥a2.∴x2+2(2-a)x≥0.∵x≥0,∴x+2(2-a)≥0,a≤2+x.又x≥0,∴a≤2.-∞,2]13.在平面直角坐标系中,椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,以O为圆心,a为半径作圆,过点(a2c,0)所作圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率e=.M(a 2c,0),两个切点分别为P,Q.因为|MP|=|MQ|,MP⊥MQ,所以四边形MPOQ是正方形.又因为c=1,所以(a 21)2=2a2.整理,得a=√2.故e=2=√22.14.过双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.y=ba(x−c),与C交于P(x0,y0).∵x0=2a,∴y0=ba(2a−c).又P(x0,y0)在双曲线C上,∴(2a)2a2−b2a2(2a-c)2b2=1,∴整理得a2-4ac+c2=0,设双曲线C的离心率为e, 故1-4e+e2=0.∴e 1=2−√3(舍去),e 2=2+√3. 即双曲线C 的离心率为2+√3.+√315.方程x 2+y 2=1表示曲线C,给出以下命题:①曲线C 不可能为圆;②若曲线C 为椭圆,则1<t<4;③若曲线C 为双曲线,则t<1或t>4;④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆,则1<t <5.其中真命题的序号是 .(写出所有正确结论的序号)t-1=4-t ,即t =5时曲线表示圆,故①错;若C 为椭圆,则{t -1>0,4-t >0,4-t ≠t -1,即1<t<4,且t ≠5,故②错;③中若曲线为双曲线,则(4-t )(t-1)<0, 即t>4或t<1,故③正确;④显然正确.三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)点A ,B 分别是椭圆x 236+y 220=1的长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点,点P 在椭圆上,且位于x 轴上方,PA ⊥PF.求点P 的坐标.A (-6,0),B (6,0),F (4,0).设点P 的坐标为(x ,y ),由AP ⊥FP ,得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,与点P 在椭圆上联立组成方程组,即可求解x ,y 的值,即点P 的坐标.A (-6,0),B (6,0),F (4,0).设点P 的坐标是(x ,y ),则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +6,y),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −4,y), 由已知,得{x 2+y 2=1,(x +6)(x -4)+y 2=0,解得x =32或x=-6.因为y>0,所以只能取x =32,于是y =5√32, 故点P 的坐标是(32,5√32).17.(8分)如图,F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线AF2与椭圆C 的另一个交点,∠F 1AF 2=60°. (1)求椭圆C 的离心率;(2)已知△AF 1B 的面积为40√3,求a,b 的值.由题意可知,△AF 1F 2为等边三角形,a=2c ,所以e =12.(2)(方法一)a 2=4c 2,b 2=3c 2.直线AB 的方程可为y=−√3(x −c). 将其代入椭圆方程3x 2+4y 2=12c 2,得B (85c ,-3√35c). 所以|AB|=√1+3·|85c -0|=165c. 由S △AF 1B =12|AF1|·|AB|sin ∠F 1AB =12a ·165c ·√32=2√35a2=40√3, 解得a=10,b=5√3. (方法二)设|AB|=t.因为|AF 2|=a ,所以|BF 2|=t-a.由椭圆定义|BF 1|+|BF 2|=2a 可知,|BF 1|=3a-t. 再由余弦定理(3a-t )2=a 2+t 2-2at cos 60°,可得t =85a. 由S △AF 1B =12a ·85a ·√32=2√35a2=40√3,知a=10,b=5√3. 18.(9分)如图,已知抛物线C 1:x 2+by=b 2经过椭圆C 2:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点.(1)求椭圆C 2的离心率;(2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),所以c2+b×0=b2,即c2=b2.因为a2=b2+c2=2c2,所以椭圆C2的离心率e=√22.(2)由(1)可知a2=2b2,椭圆C2的方程为x 22b2+y2b2=1.联立抛物线C1的方程x2+by=b2,得2y2-by-b2=0,解得y=−b2或y=b(舍去),所以x=±√62b,即M(-√62b,-b2),N(√62b,-b2).所以△QMN的重心坐标为(1,0).因为重心在C1上,所以12+b×0=b2,得b=1.则a2=2.所以抛物线C1的方程为x2+y=1,椭圆C2的方程为x 22+y2=1.19.(10分)(2016·山东高考)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2√2.(1)求椭圆C的方程;(2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.①设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明k'k为定值;②求直线AB的斜率的最小值.c.由题意知2a=4,2c=2√2, 所以a=2,b =√a 2-c 2=√2.所以椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.(2)P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0).由点M (0,m ),可得点P (x 0,2m ),点Q (x 0,-2m ). 所以直线PM 的斜率k =2m -mx 0=mx 0,直线QM 的斜率k'=-2m -m x 0=−3mx 0.此时k 'k=−3.所以k 'k 为定值-3.A (x 1,y 1),点B (x 2,y 2).直线PA 的方程为y=kx+m , 直线QB 的方程为y=-3kx+m. 联立{y =kx +m ,x 2+y 2=1,整理得(2k 2+1)x 2+4mkx+2m 2-4=0. 由x 0x 1=2m 2-42k 2+1,可得x 1=2(m 2-2)(2k 2+1)x 0,所以y 1=kx 1+m =2k (m 2-2)(2k 2+1)x 0+m,同理x 2=2(m 2-2)(18k 2+1)x 0,y2=-6k (m 2-2)(18k 2+1)x 0+m.所以x 2-x 1=2(m 2-2)(18k 2+1)x 0−2(m 2-2)(2k 2+1)x 0=-32k 2(m 2-2)(18k 2+1)(2k 2+1)x 0,y 2-y 1=-6k (m 2-2)(18k 2+1)x 0+m −2k (m 2-2)(2k 2+1)x 0−m =-8k (6k 2+1)(m 2-2)(18k 2+1)(2k 2+1)x 0,所以k AB =y 2-y 1x 2-x 1=6k 2+14k=14(6k +1k ).由m>0,x 0>0,可知k>0,所以6k +1k ≥2√6,等号当且仅当k =√66时取得.2=√66,即m =√147,符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为√62. 20.(10分)如图,已知抛物线C 1:y =14x2,圆C2:x2+(y −1)2=1,过点P(t,0)(t >0)作不过原点O 的直线PA,PB 分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B 为切点. (1)求点A ,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.由题意知直线PA 的斜率存在,故可设直线PA 的方程为y=k (x-t ),由{y =k (x -t ),y =14x 2消去y ,整理得x 2-4kx+4kt=0,由于直线PA 与抛物线相切,得k=t. 因此,点A 的坐标为(2t ,t 2).设圆C 2的圆心为点D (0,1),点B 的坐标为(x 0,y 0),由题意知,点B ,O 关于直线PD 对称,故{y 02=-x 02t +1,x 0t -y 0=0,解得{ x 0=2t 1+t 2,y 0=2t 21+t 2. 因此,点B 的坐标为(2t 1+t 2,2t 21+t 2). (2)由(1)知|AP|=t ·√1+t 2和直线PA 的方程tx-y-t 2=0. 点B 到直线PA 的距离是d =2√1+t 2.设△PAB 的面积为S (t ), 所以S (t )=12|AP|·d =t 32.。
数学：第二章《圆锥曲线与方程》测试(1)(新人教A版选修1-1)
圆锥曲线与方程 单元测试A 组题（共100分）一．选择题（每题7分）1.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 72. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（ ）A.116922=+y x B. 1162522=+y x C. 1251622=+y x D. 191622=+y x 3. 动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线 4. 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于53，则椭圆的方程是（ ） A.13610022=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.192522=+y x 5. 抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）A.25 B. 5 C. 215D. 10 二．填空（每题6分）6. 抛物线x y 62=的准线方程为＿＿＿＿＿.7.双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________.8. 若曲线1122=++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围是 .9.若椭圆221x my +=的离心率为2，则它的半长轴长为_______________. 三．解答题（13+14+14）10.k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？11. 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线21y x =+交于P 、Q 两点，|PQ|=15，求抛物线的方程.12.椭圆的焦点为12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是椭圆上的一个点，求椭圆的方程.B 组题（共100分）一．选择题（每题7分）1. 以椭圆1162522=+y x 的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ） A.1481622=-y x B. 127922=-y x C.1481622=-y x 或127922=-y x D. 以上都不对 2. 过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A.12- B. 2 C. 12+ D. 22+3. 1F 、2F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ） A. 7 B.47 C. 27D. 2574. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A. 23x y =或23x y -=B. 23x y =C. x y 92-=或23x y =D. 23x y -=或x y 92=5. 过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB 的最小值为（ ）A.2pB. pC. p 2D. 无法确定 二．填空：（每题6分）6．椭圆5522=+ky x 的一个焦点坐标是)2,0(，那么=k ________.7．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．8.若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是_______.9. 椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为________________________. 三．解答题（13+14+14）10．已知点(,)P x y 在曲线2221(0)4x y b b+=>上，求22x y +的最大值.11. 双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同焦点，且经过点4)，求双曲线的方程.12. k 代表实数，讨论方程22280kx y +-=所表示的曲线.C 组题（共50分）1．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =·2． 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是________________.3.已知定点(A -，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ， 使2AM MF +取得最小值时M 点的坐标.4． 设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=.（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程； （2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使0=⋅OM ，其中点O 为坐标原点.圆锥曲线与方程A 组题（共100分）一．选择题： 1．D 2．B 3．D4．C5．B二．填空：6．32x =-7．221205x y -=± 8．0>k9． 1,2或三．解答题：10. 解：由222236y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得2223(2)6x kx ++=，即22(23)1260k x kx +++= 22214424(23)7248k k k ∆=-+=-当272480k ∆=->，即33k k ><-或时，直线和曲线有两个公共点；当272480k ∆=-=，即33k k ==-或时，直线和曲线有一个公共点；当272480k ∆=-<，即k <<. 11. 解：设抛物线的方程为22y px =，则22,21y pxy x ⎧=⎨=+⎩消去y 得 21212214(24)10,,24p x p x x x x x ---+=+==12AB x =-===，24120,2,6p p p =--==-或 22412y x y x ∴=-=，或12. 解： 焦点为12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为2222125y x a a +=-； 点(3,4)P 在椭圆上，2221691,4025a a a +==-，所以椭圆方程为2214015y x +=.B 组题（共100分）一．选择题： 1．B 2．C 3．C 4．D 5．C 二．填空：6．1 7．3 8． (4, 2) 9．24 三．解答题： 10.解：法一：设点(2cos ,sin )P b θθ，22224cos 2sin 4sin 2sin 4x y b b θθθθ+=+=-++ 令22,sin ,(11)T x y t t θ=+=-≤≤，2424,(0)T t bt b =-++>，对称轴4b t = 当1,44b b >>即时，max 1|2t T T b ===；当01,044bb <≤<≤即时， 2max4|44b t b T T ===+ 22ma x 4,04(2)42,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩法二：由22214x y b +=得2224(1)y x b =-令22T x y =+代入得22442y T y b =-+即22224()444b b T y b =--++（1）当222m a x044444b b b b b x y≤<≤==+即时（2）2max 424bb b x b y b >>==当时即时22max4,04(2)42,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩11.解：12(0,3)(0,3)F F -由题意知双曲线焦点为，可设双曲线方程为222219y x a a-=-,点4)在曲线上，代入得22436()a a ==或舍22145y x ∴-=双曲线的方程为12.解：当0k <时，曲线22184y x k-=-为焦点在y 轴的双曲线； 当0k =时，曲线2280y -=为两条平行于x 轴的直线22y y ==-或；当02k <<时，曲线22184x y k+=为焦点在x 轴的椭圆；当2k =时，曲线224x y +=为一个圆；当2k >时，曲线22184y x k+=为焦点在y 轴的椭圆. C 组题（共50分）1．C2．343．显然椭圆2211612x y +=的14,2,2a c e ===，记点M 到右准线的距离为MN 则1,22MF e MN MF MN ===，即2AM MF AM MN +=+ 当,,A M N 同时在垂直于右准线的一条直线上时，2AM MF +取得最小值，此时y y M A ==，代入到2211612x y +=得x M =±而点M在第一象限，M ∴4．解：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =的双曲线.方程为：2211x y λλ-=-. （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上.即211111012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以12λ=. ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-.由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦，由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--. 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--.因为0=⋅ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩. 由①②23λ<.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
第二章 章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.1
2 C ．2 D ．4 2．设椭圆
x 2
m 2
＋
y 2n 2
＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为
1
2
，则此椭圆的方程为( ) A.
x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 2
12
＝1 C.
x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 2
48
＝1 3．已知双曲线x 2a 2－
y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在
抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )
A.
x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 2
27
＝1 C.
x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2
9
＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋
y 2
b 2
＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆
的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )
A ．1
B ．a 2
C ．b 2
D ．c 2
1
5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则
双曲线的标准方程为( )
A.x 24－y 24＝1
B.y 24－x 2
4＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 2
4＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a
2－
y 2a ＋1
2
＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(
2，5)
C ．(2,5)
D ．(2，
5) 7．过点M (2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则这样的直线的条数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
8．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦距，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →
＝0，则FB →|＋|FB →|＋|FC →
|等于( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3 9．已知双曲线x 2a
2－
y 2b 2
＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A ．(1,2]
B ．(1,2)
C ．[2，＋∞)
D ．(2，＋∞)
10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A ．(4,0)
B ．(2,0)
C ．(0,2)
D ．(0，－2)
11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )
1
A.（32，5
4） B ．(1,1)
C. （32，9
4
） D ．(2,4)
12．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )
A.（34π，π）
B.（π
4 ，π）
C.（π2 ，π）
D.（π2 ，34π）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．
14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．
15．设椭圆x 2a 2＋
y 2
b 2
＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点（b
2
，0）
分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．
16．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2
k －1＝1，给出下面四个命题：
①曲线C 不可能表示椭圆； ②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；。