高二期末考试考前知识点总结

一、集合与简易逻辑

一．集合的有关概念 1．集合

分类：有限集、无限集、空集。 性质 确定性：互异性：无序性： 2．常用数集

复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集*

N （或N +） 有理数集Q 3．元素与集合的关系：A a A a ∈∉或

4．集合与集合的关系：

①子集：若对任意A x ∈都有B x ∈[或对任意B x ∉都有A x ∉] 则A 是B 的子集。 记作：A B B A ⊇⊆或 C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,

②真子集：若

B A ⊆，且存在A x B x ∉∈00,但，则A 是B 的真子集。

记作：A B[或“B A B A ≠⊆且”] A

B ，B

C A C

③

B A A B B A =⇔⊆⊆且

④空集：不含任何元素的集合，用φ表示，对任何集合A 有A ⊆φ，若φ≠A 则φ

A

注：}{}0{}{φφφ≠≠≠a a

5．子集的个数 若

},,{21n a a a A Λ=，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n 个，2n -1个和2n -2个。

二．集合的运算 1．有关概念 ①交集：

}{B x A x x B A ∈∈=且I ②并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或

③全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示。 ④补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 （5）不等式同解变形原理：即

()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0

()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或0

3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。

4、简单分式不等式的解法

()()()()()001>⋅⇔>x g x f x g x f ()()()

()()002<⋅⇔

()()()()()()⎩

⎨⎧≠≥⋅⇔≥0

003x g x g x f x g x f

()()()()()()⎩

⎨

⎧≠≤⋅⇔≤0

004x g x g x f x g x f

5、简单的高次不等式的解法：用数轴标根法解。 五、逻辑联结词与四种命题 （一）逻辑联结词四种命题

1．命题：可以判断真假的语句叫做命题

2．逻辑联结词：“或（∨）”、“且（∧）”、“非（┐）”这些词叫做逻辑联结词。

或：两个简单命题至少一个成立 且：两个简单命题都成立， 非：对一个命题的否定

3．简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。 4．表示形式：用小写的拉丁字母p 、q 、r 、s …来表示简单的命题，

复合命题的构成形式有三类：“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”

5．真值表：表示命题真假的表叫真值表；复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定。

（二）四种命题

1．一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用┐p 和┐q 分别表示p 和q 的否定。于是四种命题的形

式为： 原命题：若p 则

q （

q p ⇒）逆命题：若q 则

p )(p q ⇒

否命题：若┐p 则┐q )(q p

⌝⇒⌝逆否命题：若┐q 则┐p

2．四种命题的关系：

3．一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系： （1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。 （2）原命题为真，它的否命题不一定为真。

（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。 （4）逆命题为真，否命题一定为真。 （三）几点说明

1．逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义：

以“P 或q ”为例：一是p 成立但q 不成立，二是p 不成立但q 成立，三是p 成立且q 成立， 2．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论 3．真值表 P 或q ：“一真为真”， P 且q ：“一假为假” 4．互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。 5．反证法运用的两个难点：1）何时使用反证法 2）如何得到矛盾。 六、充要条件

（一）充分条件、必要条件和充要条件

1．充分条件：如果A 成立那么B 成立，则条件A 是B 成立的充分条件。

互逆

互 为 为互

否 逆 逆 互

否

互

互 逆

A⇒

2．必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件。B

3．充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件。

（二）充要条件的判断

A⇒成立则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。

1若B

A⇒且B A，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件。

2．若B

A⇔成立则A、B互为充要条件。

3．若B

证明A是B的充要条件，分两步：

（1）充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；

（2）必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提条件推出A。

(三)给定两个命题，p、q, 可以考虑集合A=｛x︱x满足p｝,B=｛x︱x满足q｝,则有

1．若A⊆B，则p 是q的充分条件。

2．若A⊇B，则p 是q的必要条件。

3．若A=B，则p 是q的充要条件。记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。