第三章 平衡方程及应用

m A F 0
FNB 4 q 4 2 m F sin 6 0
FNB 1 q 4 2 m F sin 6 49.3 kN 4
4.2 平面力系的平衡
例题
例4-2 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力F=20 kN， 力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。
3.2 平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程
3.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, M C F 0
条件： A、B、C是平面内 不共线的任意三点
3.2 平面任意力系的平衡 平面汇交力系平衡方程：
4.2.2 平面特殊力系平衡方程
平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以， 平面汇交力系 平衡的充要条件
Fi Fi , M i M O ( Fi )
(i 1,2,, n)
3.1 平面任意力系的简化
3.1.2 力系简化结果
将平面汇交力系与平面力偶系合成，得到作用 于简化中心O的力矢F'R与力偶矩MO
Fi Fi FR i1 i1 n n M O M i M O ( Fi ) i1 i1
M = r×F = MO(F)
逆过程： 用力的平移定理的逆步骤，亦可把一个力 和一个力偶合成一个力。
3.1 平面任意力系的简化
F1
A1

3.1.2 力系简化结果
y
F2
O
An
A2
F1 M 1 M 2
O
F2
MO
FR
Fn
Fn
Mn
x
O
x
设刚体上作用一平面任意力系F1、F2、…、Fn。 任选一点O称为力系的简化中心。 依据力的平移定理，将力系中诸力向O点平移，得到 作用于O点的一平面汇交力系F 1、F 2、…、F n和一 平面力偶系M1、M2、…、Mn 。
FR
4.1.3 简化结果分析
FR
FR
O
MO
O
O
FR
d
O
d
O
由主矩的定义知：M O M O (Fi ) M O (FR ) M O (Fi ) 所以：
MO d 于是 d M O M O (FR ) FR d FR FR
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩 等于力系中各力对同一点之矩的代数和。即为平面 任意力系的合力矩定理。
解：解除约束，画整体受力图
列平衡方程
M A F 0
FNB AB FT AD r FT DE r 0
FNB FT AD DE 1202 1.5 105 kN AB 4
Fy 0
FAy FNB FT 0
FAy FT FNB 15 kN
用解析法求解时，应适当地选取坐标轴。为避免解
联立方程，可选坐标轴与未知力垂直。根据计算结果
的正负判定假设未知力的指向是否正确。
3.3 物体系统的平衡
•物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连
接而成的系统 。
•静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好 等于它的独立的平衡方程的数目。
•超静定或静不定 ：未知量的数目多于独立的平衡
Fx 0, FAx FT 0
FAx FT 120 kN
3.3 物体系统的平衡
例 题
可用
M B F 0 ，验算FAy如下：
M B F 0,
FT DB r FT DE r FAy AB 0
FT DB DE 15 kN AB
根据题意选择研究对象。
分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图。 研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束 的性质表示约束反力； 正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定 约束反力的方位；
4.2 平面力系的平衡
例题
两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。 用几何法求解时，按比例尺作出闭合的力多边形， 未知力的大小可按同一比例尺在图上量出；
3.2 平面力系的平衡
MA 0
d qd FP d FB 2d FP1 3d 0 2
FAx FAy FB
例题
FB = 21 kN（↑）
MB 0
5d qd FP d FRA 2d FP1 d 0 2
Fx 0
FA y= 15 kN（↑）
FAy
3.3 物体系统的平衡
为求BC杆内力F，取CDE杆连滑轮
FAy FAx FB
例题
例4-1 试求图示两外伸梁的约束力FRA、FRB，其中FP = 10 kN，
以解除约束后的ABC梁为研究对象
2. 根据约束性质分析约束力 A处为固定铰链，约束力为铅垂方向与水平方向的分力FAy 和FAx ；B处为辊轴支座，为铅垂方向的约束力，指向是未 知的，可以假设为向上的FB 。 3. 应用平衡方程确定未知力
例题
例4-3 起重机的自重（平衡重除外）G=400 kN，平衡重W=250 kN。当起重 机由于超载即将向右翻倒时，左轮的反力等与零。因此，为了保证安全工作， 必须使一侧轮（A或B）的向上反力不得小于50 kN。求最大起吊量P为多少？ 解：画支座反力FNA与FNB。令FNA=50 kN。 列平衡方程：
M B (F ) 0
G 0.5 W 8 F NA 4 P 10 0
P=200 kN 如为空载，仍应处于平衡状态，故
M A F 0
FNB 4 W 4 G 3.5 0
FNB 100 kN
3.2 平面力系的平衡
例题
要注意的问题：
③ 画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构件外，
3.3 物体系统的平衡 列平衡方程，求未知量
① 列出恰当的平衡方程，尽量避免在方程中出现不需要求的 未知量。为此可恰当地运用力矩方程，适当选择两个未知力 的交点为矩心，所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。 ② 判断清楚每个研究对象所受的力系及其独立方程的个数及 物体系独立平衡方程的总数，避免列出不独立的平衡方程。
3.3 物体系统的平衡
求解过程中应注意以下几点
首先判断物体系统是否属于静定问题
恰当地选择研究对象
在一般情况下，首先以系统的整体为研究 对象，这样则不出现未知的内力，易于解出未 知量。当不能求出未知量时应立即选取单个物 体或部分物体的组合为研究对象，一般应先选 受力简单而作用有已知力的物体为研究对象， 求出部分未知量后，再研究其它物体。
解：以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程 FAx F cos 8.94 kN Fx 0 F F cos 0
Ax
Fy 0
FAy q 4 FNB F sin 0
FAy q 4 FNB F sin 8.56 kN
3.2 平面力系的平衡
M
(FR )O ( FR , FR )
FR
+ M
3.1 平面任意力系的简化
3.1.1 力的平移定理
力的平移定理：作用于刚体上的力可以从其作用点平行 移至刚体内任一指定点，欲不改变该力对刚体的作用， 则必须在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶（称 为附加力偶），其力偶矩等于原力对指定点的矩。
3.1 平面任意力系的简化 1、主矢和主矩都等于零 此时平面力系平衡。 2、主矢等于零，主矩不等于零
0, M o 0) (FR
3.1.3 简化结果分析
0, M O 0) (FR
此时平面力系简化为一力偶。其力偶矩M 等 于原力系对简化中心的主矩，即 M mO ( F ) 且 此时主矩与简化中心的位置无关。
3.2 平面任意力系的平衡
平面任意力系平衡充要条件：
3.2.1 平面任意力系平衡方程
和对任意 力系的主矢FR 点的主矩 MO 均等于零
FR
0 FR
MO 0
Fx 0 Fy 0
Fx Fy
2
2
0
M O F 0
Fx 0 F y 0 M O ( F ) 0
计算结果的校核
FAx 0
Fy 21 ＋ 15 －FP1 －qd 21 15 20 20 0.8 0
3.2 平面力系的平衡
例题
例4-2 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力F=20 kN， 力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。
解：以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程
③ 解题时应从未知力最少的方程入手，避免联立解。
④ 校核。求出全部所需的未知量后，可再列一个不重复的平 衡方程，将计算结果代入，若满足方程，则计算无误。
3.3 物体系统的平衡
例 题
例4-4 图中AD＝DB＝2 m，CD＝DE＝1.5 m，Q＝120 kN，不 计杆和滑轮的重量。试求支座A和B的约束力和BC杆的内力。
方程的数目.
4.3 物体系统的平衡
静定问题
独立的平衡方程数： 3 未知力数：3 独立的平衡方程数=未 知力数
超静定问题
独立的平衡方程数： 3 未知力数：4 未知力数>独立的平 衡方程数
3.3 物体系统的平衡
静定问题
独立的平衡方程数： 6 未知力数：6 独立的平衡方程数=未 知力数
超静定问题
独立的平衡方程数： 6 未知力数：7 未知力数>独立的平 衡方程数
n n
称为该力系的主矢 FR MO称为该力系对简化中心O的主矩。
3.1 平面任意力系的简化
4.1.2 力系简化结果
结
论
平面任意力系向一点简化的结果为作用于该点的一