运筹学导论第八版8整数线性规划.pptx
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《整数线性规划》PPT课件_OK
br br fr br br
整数可行解
xr arj x j br jN
最优基可行解
xr arj x j br jN
xr arj x j br 56 jN
minc x Ax b
s.t.x 0, x为整数
min c x
Ax b
s.t.xr
xij 1,0;i 1,2...1, 7, j 1,2,3 21
• 约束
包裹容量限制
必带物品限制 选带物品限制
17
ci xij rj ; j 1,2,3
i 1
3
xij 1;i 1,2...,7
j 1
3
xij 1;i 8,2...1, 7
j 1
22
• 目标函数—未带物品购买费用最小
3
1 xij ;i 8,2...1, 7 j 1
v1, v2 ,...,vn cij
vi vj
12
模型
• 变量—是否从i第个城市到第j个城市
x 1,0; • 约束 每个城市只能到达一次、离开一ij次
n
xij 1;i 1,2,...n
j0
n
xij 1; j 1,2,...n
13
i0
• 避免出现断裂 每个点给个位势 除了初始点外要求前点比后点大
支其中无最优解
41
初始分支为可行解 集，初始界为无穷大
判 定是否 分支集
空
是停止 当前最好解 为最优解
选一分支写出并求解 放松问题，同时从分 支集中删除该分支
否
判
是
定是否
为整数
42
解
判定最
优值是否
小于
否
当前界
是
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
《运筹学线性规划》PPT课件
划问题化成如下的标准型：
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
线性规划PPT课件
基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
第八章 运筹学课件整数规划
n
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2
运筹学教学课件线性规划学习课件
降低潜在损失
通过全面、有效的风险管理策略，降低潜 在损失。
06线性规划在ຫໍສະໝຸດ 通运输中的应用线性规划在货物运输中的应用
优化运输路径
通过线性规划方法，可以优化货物的运输 路径，从而降低运输成本和时间。
车辆装载优化
线性规划可以优化车辆的装载方案，使得 车辆的装载量达到最大，减少车辆使用数 量和运输成本。
04
线性规划问题的求解方法
图解法
总结词
直观、简单、易懂
详细描述
图解法是一种用几何图形来求解线性规划问题的简单直观的方法，它通过将不等式约束条件转换为图形的限制 条件，将线性规划问题转化为在图中寻找最优解的问题。该方法适用于小规模问题，方便理解，是求解线性规 划问题的基本方法之一。
单纯形法
总结词
03
线性规划问题的数学模型
线性规划问题的标准形式
确定线性规划问题的标准形式
标准形式是由一个线性目标函数和一个线性约束条件组成的数学模型。
将非标准形式转化为标准形式
在求解线性规划问题时，通常需要将非标准形式转化为标准形式，这可以通过引入变量、转换约束条件等方式 实现。
线性规划问题的扩展形式
多目标线性规划
05
线性规划在管理决策中的应用
线性规划在生产计划中的应用
总结词
高效、低成本
确定生产计划目标
通过线性规划方法确定最优质、低 成本的生产计划。
优化生产资源配置
将有限的资源，如人力、物料、设 备等，根据不同产品或部门的需要 ，进行合理分配和优化。
提高生产效率
通过优化生产流程和布局，减少生 产过程中的浪费和等待时间，提高 生产效率。
特点
运筹学注重定量分析、优化思想和系统方法，强调理论与实践相结合，具有广泛应用性和多学科交叉 性。
运筹学整数规划PPT课件
2
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
管理运筹学线性规划_PPT课件
• 为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式， 非标准型可以转化为标准型。标准形式为：
▪ 目标函数极大化， ▪ 约束条件为等式， ▪ 右端常数项bi≥0， ▪ 决策变量非负。
19
经济管理学院
第三节 线性规划的标准型
二、标准型的表达方式 有代数式、矩阵式：
1. 代数式
n
maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn
6D
C(4,6)
2x2 =12
3
Z=24
Z=12
B Z=36
0
4
A
8
12
x1
16
3x经1 +济4管x2理=3学6院
第二节 线性规划的图解法
三 、解的可能性（续）
• 无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数 无限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）
例如
x2
-2x1 + x2 =2
3
maxZ= 3x1 +2 x2
一、图解法的基本步骤 • 图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。 • 一个二维的线性规划问题，可以在平面图上求解，
三维的线性规划则要在立体图上求解，这就比较麻 烦，而维数再高以后就不能图示了。
12
经济管理学院
第二节 线性规划的图解法
1. 可行域的确定
• 满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束 条件共同围城的区域。x2
x1 +2 (x2′-x 2〃) + x3′+ x4 =5
2x1 +3 (x2′-x 2〃) + x3′≥6
x1 +
(x2′-x
〃 2
)
+
运筹学Chapter线性规划及其单纯形法PPT课件
st.4x1x1 20x2x2816
0x1x,1x2
4x2 0
12
第4页/共61页
例2
捷运公司拟在下一年度的1～4月份的4个月内租用仓库堆放物资。已知各月份 所需仓库面积数。仓库租借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字如 表1-2所示。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积和期限。 因此，该厂可根据需要，在任何一个月初办理租借合同。每次办理可签一份，也可 签若干份租用面积和租借期限不同的合同，试确定该公司签定租借合同的最优决策， 目的是使所付租借费用最小。
D：每年初投资，每年末回收1.11。
求：5年末总资本最大
目标函数： 约束条件
组成线性规划模型的三个要素
max Z＝2x1＋x2 56xxxx11＋，21≤＋xx12225≤≥x052≤24
（3）约束条件： 指决策变量取值时受到的各种资源条件的 限制，通常用等式或不等式来表达。 其中，xij≥0叫做非负约束。
一是严格的比例性，即某种产品 对资源的消耗量和可获得的利润与其 生产数量严格成比例。
二是可迭加性。即生产多种产品
对某种资源的消耗量等于各产品对该
2021/6/1
项资源的消耗量之和。
7
第7页/共61页
二、线性规划模型的一般形式
假设线性规划问题中含有n个变量，m个约束方程。则
线性规划模型的一般形式为：
令非基变量xm+1＝xm+2＝…＝xn＝0，得
可解得m个基变量的唯一解为：
a11 a12
2021/6/1
3
第3页/共61页
24021/6/1
产品 资源
设备A（h） 设备B（h） 设备C（h） 设备D（h） 利润（元/件）
运筹学导论第八版整数线性规划课件
16
m in z x1 x2 x3 x4 x5 x7 x8
s t x 1 x 2 （1 街 道 A ） x 2 x 3 （1 街 道 B ） 1
街道A
2
街道B
3
街道G 街道H 街道I 街道J 街道K
x 4 x 5 （1 街 道 C ）
x 7 x 8 （1 街 道 D ）
整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划，它的变量取 值仅限于0或1。指派问题就是一个0-1规划问题。
运筹学导论第八版整数线性规划
9
8.1 应用实例介绍
1. 资本预算
在个人项目中投资中，既要考虑这些在个人项目中投资的收益， 又要考虑有限的总预算。
例 在一个3年的规划周期内，有5个项目可供选择。下表给出
发射台
覆盖社区
1
1，2
2
2，3，5
3
1，7，9，10
4
4，6，8，9
5
6，7，9，11
6
5，7，10，12，14
7
12，13，14，15
各个社区人口数目
建造费用(百万) 3.6 2.3 4.1 3.15 2.8 2.65 3.1
社区
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
本例还可以用图解法来说明
图中(+) 表示可行整数解。 凑整的(5，0) 不在可行域内，
而C点又不合于条件⑤。
目标函数z的等值线必须向原点平行移动，直到首次遇到带“+”
号B点(x1=4，x2=1)为止。此时，z值就由z=96变到z=90，Δz=9690=6表示利润的降低，这是由于变量的不可分性(装箱)所引起的。
很容易求得最优解为：x1=4.8，x2=0，max z=96
《运筹学》线性规划课件
2021/2/22
Page 6
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的
线性函数，通常是求最大值或 最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量
的线性不等式或等式。
【例1-2】
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
x1 2x3x4 4x63x72x8x9 1000
x2
2x4 3x5
x7 2x8 4x9 5x101000
xj 0,j1,2， 10
求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛 坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长 的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。如果方案较多，用计 算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。
《运筹学》线性规划课件
1.1 数学模型
Mathematical Model
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划
Linear Programming
2021/2/22
Page 3
线性规划（Linear Programming,缩写为LP）通常研究资源 的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标 确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资
资金约束： x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 5 0 0 0
国债投资额约束： x1x2 1000
平均评级约束：
x1x22x33x44x55x62 x1x2x3x4x5x6
平均到期年限约束：
8x110x24x36x43x54x65 x1x2x3x4x5x6
运筹学整数规划ppt
yi 0,1 (i 1,2)
Page 6
混合整数规划问题
整数规划的特点及应用
Page 7
例4.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目 j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件：
若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值， 另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
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整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
B1
B2
B3
B4
年生产能力
A1
2
9
3
4
400
A2
8
3
5
7
600
A3
7
6
1
2
200
A4
4
5
2
5
200
年需求量
350
400
300
150
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万
元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用
最少。
整数规划的特点及应用
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解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3 还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。 为此，引入0-1变量：
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①
5x1+4x2≤24
②
2x1+5x2≤13
③
x1，x2≥0
④
x1，x2整数
⑤
4
它和线性规划问题的区别仅在于最后的条件⑤。现在我们 暂不考虑这一条件，即解①～④(以后我们称这样的问题为 与原问题相应的线性规划问题)， 很容易求得最优解为：x1=4.8，x2=0，max z=96
5
但x1是托运甲种货物的箱数，现在它不是整数，所以不合条件 ⑤的要求。 是否可以把所得的非整数的最优解经过“化整”就可得到合于 条件⑤的整数最优解呢? 如将(x1=4.8，x2=0)凑整为(x1=5，x2=0)，这样就破坏了条件② (关于体积的限制)，因而它不是可行解； 如将(x1=4.8，x2=0)舍去尾数0.8，变为(x1=4，x2=0)，这当然满 足各约束条件，因而是可行解，但不是最优解，因为当x1=4， x2=0, 时z=80. 非整数的最优解在C(4.8，0)点达到。
整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划，它的变量取值 仅限于0或1。指派问题就是一个0-1规划问题。
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8.1 应用实例介绍
1. 资本预算
在个人项目中投资中，既要考虑这些在个人项目中投资的收益， 又要考虑有限的总预算。
例 在一个3年的规划周期内，有5个项目可供选择。下表给出
了每一项目可以带来的期望收益以及相应每年的支出(单位： 100万没有)，那么这个3年规划周期应该选择哪些项目？
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。 但当x1=4，x2=1(这也是可行解)时，z=90
本例还可以用图解法来说明
图中(+) 表示可行整数解。 凑整的(5，0) 不在可行域内，
而C点又不合于条件⑤。
目标函数z的等值线必须向原点平行移动，直到首次遇到带“+” 号B点(x1=4，x2=1)为止。此时，z值就由z=96变到z=90，Δz=9690=6表示利润的降低，这是由于变量的不可分性(装箱)所引起的。
x1 7x2 9x3 4x4 6x5 25 8x1 10x2 2x3 x4 10x5 25 x1, x2 , x3, x4 , x5 (0,1)
最优的整数解是x1= x2= x3= x4=1， x5= 0，对应的最优值z=95.
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若采用连续的线性规划问题求解，将xj=(0,1), 替换为0≤ xj ≤1，那么最优解为x1=0.5789, x2= x3= x4=1, x5= 0.7368.
定义
1, 如果在j位置安装电话 xj 0, 如果在j位置不安装电话
问题是求每一条街道都至少安装1部电话，则模型可写为：
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min z x1 x2 x3 x4 x5 x7 x8
整数线性规划中如果所有的变量都限制为(非负)整数， 就称为纯整数线性规划(pure integer linear programming) 或称为全整数线性规划(all integer linear programming)；
如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划 (mixed integer linear programming)。
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由上例看出， 将其相应的线性规划的最优解“化整”来解原整数线
性规划，虽是最容易想到的，但往往不可行。 化整后不见得是可行解；或虽是可行解，但不一定是
最优解。 因此有必要对整数线性规划的解法进行专门研究。
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此类问题为整数线性规划(Integer Linear Programming ， ILP)，整数线性规划是最近几十年来发展起来的规划论 中的一个分支。
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2. 集合覆盖问题
在这一类问题中，会有许多的服务装置为一些设备提供 互相重叠的服务，目标就是要确定安装数目最少的装置 来覆盖每一个设备（满足服务需求）。例如，几个污水 处理工厂可以选择建造在几个不同的位置，在不同的位 置可以服务不同的几个城市，但一个城市可以得到几个 不同工厂服务的时候就是重叠服务。
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例 为了提高城市校园的安全性，A大学的保安部门希望在校园 的每条主要街道上都至少有一部电话的情况下，使得安装的 电话总数最少，下图给出了校园的主要街道图
1 街道A
2
街道B
3
街道G 街道H 街道I 街道J 街道K
4
街道C
5
6
街道E
7
街道D
8
15
将电话安装在街道的交叉口处是比较合理的，因为这样可以 至少为两条街道提供服务。按照图中街道的设计可以看出， 最多需要8部电话。
第6章 整数线性规划
1
整数线性规划问题的提出
对于某些具体问题，决策变量必须是整数的情形(称为整数 解)。例如，机器台数、人数、装货车数等，含小数的解不合 要求。
为满足整数解要求，能否把已得到的含有分数的解 “圆整”？
2
下例说明单纯形法求得的解不能保证是整数最优解。
例1 COSCO公司拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、 重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示。问两种货物各 托运多少箱，可使获得利润为最大?
货物 甲 乙
托运限制
体积(m3/箱) 5 4
24m3
重量(100kg/箱) 2 5
1300kg
利润(100 元/箱) 20 10
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现在我们解这个问题，设x1，x2分别为甲、乙两种 货物的托运箱数(当然都是非负整数)。这是一个
(纯)整数线性规划问题，用数学式可表示为：
max z =20x1+10x2
项目
每年支出
1
2
3
收益
1
5
1
8
20
2
4
7
10
40
3
3
9
2
20
4
7
4
1
15
5
8
6
10
30
可用资金 对于每个项目的选择为“是-否”的决 策，引入二元变量 xj
1, 如果选择项目j x j 0， 如果不选择项目j
那么整数线性规划模型是
max z 20x1 40x2 20x3 15x4 30x5 s.t. 5x1 4x2 3x3 7x4 8x5 25
有部分变量取小数，这不符合实际，若采用舍入方法，则 x1= x5=1，这意味着5个项目都要选择，显然是不可行解，
对于采用“是否”决策问题，舍入法不可行。
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习题
某唱片公司与一位新的歌手签约录制8首歌曲，这8首歌曲 的时间长度分别为8,3,5,5,9,6,7,12分钟，公司希望将所有的 歌曲分配在磁带的两面，使得两面的歌曲时间长度尽量相 同。请建立整数规划模型，求出最优解。