代数式比较大小
如何比较两个代数式的大小
比较代数式的大小问题常以选择题、填空题的形式出现.此类问题的难度一般不大，侧重于考查同学们的观察能力和运算能力.在解题时，需灵活运用简单基本函数的图象、性质来进行分析.本文主要探讨以下两种比较代数式大小的技巧.一、通过放缩进行比较有时两个要比较的代数式之间没有任何关联，此时可以通过放缩代数式，来确定要比较的两个代数式的大小或者范围，进而比较出两个代数式的大小．利用放缩法比较代数式的大小，可以从基本不等式、泰勒公式、柯西不等式、绝对值不等式、曲线的切线、重要不等式等入手，对要比较的代数式进行合理的放缩.例1.（2022年高考全国甲卷文科，第12题）已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，则（）.A.a＞0＞bB.a＞b＞0C.b＞a＞0D.b＞0＞a解法1：由9m=10，得m=log910=lg10lg9，则m-lg11=1lg9-lg11=1-lg9lg11lg9lg10＞1-æèçöø÷lg9+lg1122lg9lg10＞1-æèçöø÷lg10022lg9lg10=0，所以a=10m-11=10m-10lg11＞0．则m-log89=lg10lg9-lg9lg8=lg10lg8-(lg9)2lg9lg8<æèçöø÷lg10+lg822-(lg9)2lg9lg8<æèçöø÷lg8122-(lg9)2lg9lg8=0，所以b=8m-9=8m-8log89＜0．所以a＞0＞b，故选A．解法2：由9m=10，得m=log910=lg10lg9＞1．由糖水不等式，得lg10lg9＞lg10+lg109lg9+lg109=lg1009lg10＞lg999lg10=lg11lg10，所以m=log109＞lg11，从而可得a=10m-11＞10lg11-11=0．同理可得lg9lg8＞lg9+lg98lg8+lg98=lg818lg9＞lg808lg9=lg10lg9，所以log98＞log109=m，则b=8m-9＜8log89-9=0，故a＞0＞b．解法1是利用指数与对数运算性质以及基本不等式进行放缩；解法2是利用“糖水不等式”进行放缩，从而确定了a、b的临界值，比较出三个代数式的大小．例2.（2022年全国新高考1卷，第7题）设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则（）.A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b解法1：由泰勒展开式，得e x=1+x+x22!+x33!+⋯+x nn!+⋯，则ln(1+x)=x-x22+x33-x44+⋯+(-1)n-1x n n+⋯，所以xe x=x+x2+x32!+x43!+⋯+x n+1n!+⋯,-ln(1-x)=x+x22+x33+x44+⋯+x n n+⋯．令x=0.1，得a=0.1+0.12+0.132!+⋯，b=0.1+0.12+0.13+⋯，c=-ln0.9=0.1+0.122+0.133+⋯，故c＜a＜b．故选C．解法2：由重要不等式e x≥x+1（当x=0时取等号），可知e-110＞1-110=910，即e110＜109，所以110e110＜19，所以a＜b．令x=0.1，由e x≥x+1可得e0.1＞1.1，所以0.1e0.1＞0.11；由ln x≤12æèöøx-1x（x≥1），得ln109＜12æèöø109-910=19180=0.105·＜0.11，所以c＜a.综上可知，c＜a＜b．根据三个代数式的结构特征很容易联想到泰勒公式，解法1是从泰勒公式入手，通过赋值、放缩，比较出三个代数式的大小.解法2是从重要不等式e x≥x+1入手，对其进行合理的赋值、放缩，从而比较出三个代数式的大小．例3.（2022年全国甲卷理科，第12题）已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，则（）.B.b＞a＞c解题宝典36解题宝典C.a ＞b ＞cD.a ＞c ＞b解：由泰勒展开式，得sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯，所以当x ＞0时，cos x ＞1-x 22，sin x x =1-x 23!+x 45!-⋯＞cos x ，令x =14，得cos 14＞1-12×42=3132，则4sin 14＞cos 14，故c ＞b ＞a ．解答本题，需联想到泰勒展开式的变形式sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯，将两个式子进行放缩，以确定cos x 、sin xx的取值范围.然后将x 用14替换，通过赋值，判断出三个代数式之间的大小关系.二、利用函数的性质进行比较在比较代数式的大小时，我们常需要用到简单基本函数的单调性.一般地，若自变量x 1＞x 2，且函数单调递增，则f ()x 1＞f ()x 2；若自变量x 1＞x 2，且函数单调递减，则f ()x 1<f ()x 2.在解题时，需仔细观察要比较的代数式的结构特征，合理构建函数模型，以便利用函数的单调性进行比较．以例1为例.解：由9m =10，得m =log 910=lg 10lg 9＞1．设函数f (x )=x m -(x +1)(x ＞1)，则f ′(x )=mx m -1-1.由{x ＞1，m ＞1，得x m -1＞x 0=1，所以mx m -1＞1，即f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，+∞)上单调递增，所以f (10)＞f (9)＞f (8)，即10m -11＞9m -10＞8m -9，故a ＞0＞b ．我们仔细观察9m =10、a =10m -11、b =8m -9三式，可发现其结构形如f (x )=x m -(x +1)(x ＞1)，于是构造出函数f (x )=x m -(x +1)(x ＞1)，并对其求导，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性比较出三式的大小.以例2为例解：因为a =0.1e 0.1，b =0.11-0.1，c =-ln(1-0.1)，则a b =0.1e 0.10.11-0.1=(1-0.1)e 0.1，设f (x )=(1-x )e x ，x ∈[0,0.1]，则f ′(x )=-xe x≤0，所以f (x )在[0,0.1]上单调递减，所以f (0.1)＜f (0)=1，即(1-0.1)e 0.1＜1，所以a ＜b .设g (x )=xe x+ln(1-x )，x ∈éëöø0，19，则g ′(x )=(x +1)∙e x (x 2-1)+1x -1．设h (x )=e x (x 2-1)+1，h ′(x )=e x (x 2+2x -1)＜0，则函数h (x )在区间éëöø0，19上单调递减，因为h (0)=0，所以h (x )＜0，因为x +1＞0，x -1＜0，所以g ′(x )＞0，则函数g (x )在区间éëöø0，19上单调递增．因为g (0)=0，所以g (x )=xe x+ln(1-x )＞0，所以xe x＞-ln(1-x )．当x =0.1时，0.1e 0.1＞-ln 0.9，即a ＞c ．所以c ＜a ＜b ．本题中的a 、b 、c 三式分别为指数、分式、对数式，很难比较它们的大小，于是将ab、a -c .然后构造出函数f (x )=(1-x )e x 、g (x )=xe x +ln(1-x )，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性比较出三个代数式的大小.以例3为例解：设f (x )=x -sin x ,x ∈éëöø0,π2，则f ′(x )=1-cos x ≥0，所以f (x )在éëöø0,π2上单调递增，所以f (x )≥f (0)=0，即x ≥sin x ．设g (x )=cos x +12x 2-1，x ∈éëöø0,π2，则g ′(x )=-sin x +x ≥0，所以g (x )在éëöø0,π2上单调递增，所以g æèöø14=cos 14+12×æèöø142-1＞g (0)=0，即cos 14＞3132，即b ＞a ．设h (x )=sin x -x cos x ，0≤x ＜π2，则h ′(x )=x sin x ≥0，所以h (x )在éëöø0,π2上单调递增，所以h æèöø14＞h (0)，即sin 14＞14cos 14，得c ＞b ．故c ＞b ＞a ．故选A ．要比较的三个代数式分别为分数、正弦函数式、余弦函数式，需先分别将a 与b ，c 与b 作差；再构造函数f (x )=x -sin x 、h (x )=sin x -x cos x ；然后讨论其单调性，根据其单调性判断代数式之间的大小关系.可见，比较代数式的大小，可以从不等式的结构特征、函数的性质入手，灵活运用不等式的性质进行放缩，还可以构造合适的函数，利用函数的单调性进行比较．但需注意，在解题时，还需灵活运用各种运算技巧、性质，以及数形结合思想来辅助解题.（作者单位：甘肃省天水市第三中学）37。
高中数学—指对数比较大小方法
高中数学—指对数比较大小方法标题：高中数学——指对数比较大小方法在数学的海洋中，我们经常需要比较数字的大小。
然而，当我们面对指对数时，比较大小的方法就变得相对复杂了。
指对数是一类特殊的函数，其特点是函数的值与实数之间存在一一对应的关系。
因此，比较指对数的大小实际上就是比较它们所对应的实数的大小。
一、理解指对数我们需要理解什么是指对数。
简单来说，指对数是一种特殊的函数，它可以将一个正实数映射到一个特定的实数。
对于任何一个正实数x，都有一个唯一的实数y与之对应，这个关系可以表示为log(x) = y。
其中，log是常用对数的简写形式，它通常用来表示以10为底的对数。
二、比较指对数大小的方法1、利用函数的单调性：对于任何一个底数大于1的指对数函数，它在定义域内都是单调递增的。
因此，如果log(a) > log(b)，那么a 一定大于b。
同样地，如果log(a) < log(b)，那么a一定小于b。
2、利用图象：我们可以通过画出指对数函数的图象来比较大小。
如果两个数的指对数值相等，那么它们对应的点应该在同一条直线上。
反之，如果两个数的指对数值不相等，那么它们对应的点一定不在同一条直线上。
3、利用中间值：当两个数的指对数值难以确定时，我们可以利用中间值来比较它们的大小。
假设log(a) > log(m) > log(b)，那么我们可以推断出a > m > b。
三、注意事项在比较指对数大小的时候，一定要注意底数的范围。
如果底数小于1，那么函数在定义域内是单调递减的。
这时，比较大小的方法就需要根据具体情况来调整了。
总结来说，比较指对数大小的方法需要我们理解指对数的概念和性质，并利用函数的单调性、图象和中间值等方法来进行比较。
我们也要注意底数的范围对比较大小的影响。
通过不断地实践和练习，我们就能熟练掌握指对数比较大小的方法了。
在数学学习中，比较大小是非常基础且重要的一项技能。
比较两个代数式大小
比较两个代数式大小不等式这一章节有一类题型，告诉两个字母的范围，比较由这些字母组成的代数式的大小关系.简单的代数式的比较，大多数同学都会，可是复杂的代数式怎么比较呢？很多同学不知道怎么下手，复杂的代数式的比较，我们这儿给大家总结了三种方法：作差法，作商法，放缩法.相信学了这几种方法后，同学们遇到这类问题便可以如同瓮中捉鳖了.基本方法比较两个不等式的大小我们总结了三种方法.作差法：如a-b>0,那么a>b;如果a-b<0,那么a<b.这是最基本的方法，其它的一些比较方法均是由此推导出来的.作商法：如果>1,那么a<b;这种比放缩法：如果到：老大比老三大。
体验题1如果体验思路因体验过程∵∴5-a<5-b简单的代数式可以，我们再看一个复杂一些的。
看看我们的方法行不行？体验题2体验题2如1>a>b>0 ,试比较ab,ab2,b2a的大小关系.体验思路本题很明显，ab>0,ab2>0,ab2>0.因此，我们既可以选择作差法，也可以选择作商法.体验过程方法一，作差法.∵ab-ab2=ab(1-b)>0, ∴ ab>a2b∵ab-a2b=ab(1-a)>0, ∴ ab>a2b∵ab2-a2b=ab(b-a)<0, ∴ab2<a2b∴ab> a2b>ab2方法二，作商法.∵1>a>b>0, ∴ab>0,ab 2>0,b 2a>0. ∵21ab ab b=>1, ∴ab>ab 2. ∵21ab a b a =>1, ∴ab>a 2b. ∵22ab b a b a=<1, ∴ab 2<a 2b. ∴ab> a 2b>ab 2体验题3体验题3如果体验思路 ∵体验过程 ∵a<b<0, ∵b a 11--b a b a 题是分数形式的代数式，且上述代数式与0的大小关系已知.另外，易确b a，2a b ,2b a 与1的大小关系，故也可考虑放缩法.∵1>a>b>0, ∴a b >1, b a <1, ∴a b >b a; ∴2a b =a b .a>a b .1=a b>1 (这一步中间过程将a 放缩到1) ∴2b a =b a .b<b a .1=b a<1. (这一步中间过程将b 放缩到1)∴2ba<ba<ab<2ab方法二：作商法∵22bbaa ab=<1,∴ba<ab∵22baab=33ba<1, ∴2ba<2ab,∵2 a ba b∵2 b a b a∴2ba<小结：作差法，..毕竟实践出真知！祝你成功！实践题实践题1 如果a+2b>a+b+1,比较a与b的大小关系 .实践题2 有一个两位数，个位上的数是a,十位上的数是b,如果把这两位数的个位与十位上的数对调，新得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b 哪个大？实践题答案实践题1实践详解∵a+2b-(a+b+1)=a-(b+1)>0,所以a>b+1b+1>b∴a>b实践题2实践详解原来的两位数是10b+a,新的两位数是10a+b, ∵10a+b-(10b+a)=9(b-a)<0，∴b<a。
作差法与作商法比较大小精选文档
当0<a<1时，a<1a.
5
2、比较代数式的大小
把整体看着 实数轴上的
一个 a
把整体看着实数轴 上的一个 b
? 例：试比较 6x2 +3x+5与5x2+3x+的2 大小
?解： 6x2 +3x+5– ( 5x 2+3x+2)
作差
= 6x2 +3x+5– 5x2-3x-2
整理变形
=x2+3
Q
2 x
?
0
?
2 x
?
3
?
3
?
0
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0
定号
∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2
下结论
6
类型三 利用作商法比较大小
[例3] 设a>0，b>0，且a≠b，比较aabb与abba的大
小．
[分析]
因为a >0，b>0，所以我们只要比较
aabb abba
与1的
大小即可．
7
[ 解]
a a
abbbba＝a
a
－b·bb－
a
＝(ab)a
－b，
当a >b>0时， ab>1，且 a －b>0，∴ (ab)a －b>1.
即aabb>abba；
当b>a >0时， 0<ab<1，且 a －b<0，
∴(ab)a －b>1.即a a bb>a b ba .
综上知： aabb>abba.
不等式的基本性质
不等式的基本性质编稿：周尚达审稿：张扬责编：辛文升目标认知学习目标：理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在显示时节和日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式（组）的实际背景.能用不等式的基本性质比较代数式的大小。
重点：不等式的性质及运用，用不等式的基本性质比较代数式的大小。
难点：不等式性质的应用。
学习策略：①不等式的基本性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，注重性质的推导过程，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。
②要比较两个式子的大小，通常只需将他们作差即可。
如果差的符号不确定，就需要对其差进行讨论。
③要证的不等式或者需要比较大小的式子含“幂”或“指数”，常采用作商比较法。
知识要点梳理知识点一：不等式的概念用不等号（）表示不等关系的式子叫不等式.知识点二：不等式的性质1、不等式的基本性质：①对称性：②传递性：③可加性：（）④可乘性：如果，则2、不等式的运算性质：①可加法则：②可乘法则：③可乘方性：④可开方性：知识点三：比较大小的方法1、作差法：任意两个式子、，可以作差后比较差与0的大小关系，从而得到与的大小关系，这种比较大小的方法称为作差比较法。
作差比较法的理论依据：①；②；③。
2、作商法：任意两个式子，如果、，可以作商后比较商与1的关系，从而得到与的大小关系。
作商差比较法的理论依据：若、，则有①；②；③.注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。
3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.规律方法指导1、作差比较法的主要步骤：①作差；②变形（分解因式，配方等）；③判断差的符号；如果差的符号不确定，就需要对其差进行讨论。
④下结论。
注意：这里“判断差的符号”是目的，“变形”是关键过程。
2、作商比较法的主要步骤：①判断要比较两式的符号都为正；②作商；③变形；④判断商与1的大小关系；如果商与1的大小关系不确定，就需要对其商进行讨论。
解答不等式问题的几个技巧
解题宝典不等式问题侧重于考查同学们的分析与逻辑推理能力.常见的不等式问题有：（1）比较两个代数式的大小；（2）证明某个不等式成立；（3）由含参不等式恒成立求参数的取值范围.下面结合几道例题，谈一谈解答不等式问题的几个技巧.一、作差运用作差法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相减，并将所得到的差与0进行比较.有时所得的差式较为复杂，此时需采用移项、分解因式、通分、约分、平方等方式，将差式简化，以快速比较出其与零的大小.例1.设a,b为实数，比较a2+b2与ab+a+b-1的大小.解：将a2+b2与ab+a+b-1相减得，a2+b2-(ab+a+b-1)=12(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)=12[](a-b)2+(a-1)2+(b-1)2，因为(a-b)2≥0,(a-1)2≥0,(b-1)2≥0，所以a2+b2-(ab+a+b-1)≥0，所以a2+b2≥ab+a+b-1，当且仅当a=b=1时取等号.将要比较的两式作差，并运用完全平方公式进行配方，即可运用作差法快速比较出两个代数式的大小.在解题时，要注意取等号的情形，确保取等号时的条件成立且满足题意.二、作商运用作商法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相除，并将所得到的商与1进行比较.在作商之前，要对两个代数式的正负进行讨论，只有在两式同号时，才能将其作商，运用作商法来比较二者的大小.若分母有可能为零，则要注意对此特殊情况进行单独讨论.例2.已知a=1816,b=1618,试比较a与b的大小关系.解：∵a=1816>0,b=1618>0，∴a b=18161618=(1816)16×1162=(98)1616=16<1，∴a<b.作商法适合于比较两个单项式的大小.在化简商式时，要选择合适的公式、运算法则，如指数幂运算法则、换底公式等进行运算，以将商式化为便于和1比较的形式.三、放缩放缩法是解答不等式问题的一种重要方法.若已知关系式与目标式之间的差异较大，则需将其中一个式子进行适当的放缩，如扩大分子、缩小分母、去掉部分项、增加常数项等，使其与另一个式子靠拢，从而解答问题.有时需找到一个合适的中间量，以利用不等式的传递性建立已知关系式和目标式之间的联系.例3.若a>b>0,c<d<0，|b|>|c|，证明：b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.证明：因为b+c>0，0<1(a-c)2<1(b-d)2,所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2，因为0<b+c<a+d,1(b-d)2>0,所以b+c(b-d)2<a+d(b-d)2，所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2<a+d(a-c)2，即b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.不等号前后的两个式子之间的差异较大，但是结构一致，于是分别根据已知条件和不等式的性质将不等式左右两边的式子b+c(a-c)2、a+d(b-d)2放缩，使得b+c(a-c)2<b+c(b-d)2、b+c(b-d）2<a+d(b-d)2，再根据不等式的传递性证明结论.四、利用几何法运用几何法解答不等式问题，往往要挖掘代数式的几何意义，如将代数式x2看作抛物线，将ax2+by2看作圆，将ax+by看作同一条直线.画出几何图形，通过分析图形中点、直线、曲线的位置及其关系，找到使不等式成立的点的集合，即可解题.例4.证明：x12+y12+x22+y22≥(x1-x2)2+(y1-y2)2证明：设点A(x1,y1),B(x2,y2),则AO=x12+y12,BO=x22+y22,AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2，因为三角形中两边之和大于第三边，即|AO|+|BO| >|AB|，周元祥38解题宝典所以x 12+y 12+x 22+y 22>(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，当A ,B ,O 三点共线时，x 12+y 12+x 22+y 22=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，所以x 12+y 12+x 22+y 22≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.我们由该根式可联想到两点间的距离公式，于是设出A 、B 两点的坐标，即可将问题转化为证明|AO |+|BO |>|AB |，根据三角形两边之和大于第三边的性质来解题.运用几何法解题，需进行数形互化，结合几何图形来分析问题.五、运用基本不等式若a ,b >0a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式叫做基本不等式.在解答不等式问题时，可以根据不等式的结构特征进行适当的变形，如凑系数、常数代换、添项、去项等，以配凑出两式的和或积，以便能利用基本不等式证明不等式.运用基本不等式时，要确保“一正”“二定”“三相等”的条件成立.例5.已知正实数x ,y 满足2x +5y =20，若不等式10x +1y≥m 2+4m恒成立，求实数m 的取值范围.解:在2x +5y =20的左右同除以20，得x 10+y4=1，则10x +1y =æèçöø÷10x +1y æèçöø÷x 10+y 4=54+5y2x +x 10y ≥94，当且仅当x =203,y =43取等号.则m 2+4m ≤94，解得-92≤m ≤12.由于10x +1y 为分式，所以将已知关系式变形为x 10+1y=1，即可通过常数代换，将10x +1y 化为和式54+5y 2x +x10y .而5y 2x 、x 10y的积为定值，这样便可运用基本不等式求得10x +1y 的最小值，从而求得m 的取值范围.解答不等式问题的方法很多，我们需根据不等式的结构特征进行变形、代换，联系相关的公式、性质、定理等将问题转化为几何问题、最值问题、运算问题等，并选用合适的方法进行求解.（作者单位：安徽省宣城中学）二面角问题的常见命题形式有：（1）求二面角的大小或范围；（2）证明两个平面互相垂直；（3）根据二面角的大小求参数的取值范围.这类问题主要考查同学们的空间想象能力和运算能力.那么，解答这类问题有哪些方法呢？下面结合实例进行归纳总结.一、直接法直接法是指直接从题目的条件出发，通过合理的运算和严密的推理，得出正确的结果.我们知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，关键是求其平面角的大小.在求二面角时，需先仔细审题，明确题目中点、线、面的位置关系，灵活运用三垂线定理、勾股定理、正余弦定理、夹角公式，根据二面角以及平面角的定义，作出并求出平面角，即可运用直接法快速求得问题的答案.例1.如图1，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直且平分SC ，分别交AC ，SC 于点D ，E ，且SA =AB ，SB =BC ，求二面角E -BD -C的大小.解：∵SB =BC ，E 是SC 的中点，∴SC ⊥BE ，∵SC ⊥DE ，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴SC ⊥BD ，∵SA ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，又∵SC ⋂SA =S ，SC ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC ，又∵DC ⊂平面SAC ，DE ⊂平面SAC ，∴DC ⊥BD ，DE ⊥BD ，∴∠DEC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，设SA =2，得AB =2，BC =SB =22，∵AB⊥BC ，∴AC =23，∴∠ACS =30°，又∵DE ⊥SC ，∴∠EDC =60°，林菊芳图139。
代数变形常用技巧
代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。
代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。
两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。
恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。
代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。
中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。
代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。
一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。
这些知识都是代数中的最基础的知识。
有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。
例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。
而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。
比较两个代数式大小[技巧]
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比较两个代数式大小不等式这一章节有一类题型，告诉两个字母的范围，比较由这些字母组成的代数式的大小关系.简单的代数式的比较，大多数同学都会，可是复杂的代数式怎么比较呢？很多同学不知道怎么下手，复杂的代数式的比较，我们这儿给大家总结了三种方法：作差法，作商法，放缩法.相信学了这几种方法后，同学们遇到这类问题便可以如同瓮中捉鳖了.基本方法比较两个不等式的大小我们总结了三种方法.作差法：如a-b>0,那么a>b;如果a-b<0,那么a<b.这是最基本的方法，其它的一些比较方法均是由此推导出来的.作商法：如果a>0,b>0并且b a >1,那么a>b; 如果a<0,b<0并且ba>1,那么a<b;这种比较方法需有一定的前提条件，就是必须知道各代数式与0的大小关系.放缩法：如果a>b,b>c,那么a>b>c.正如老大比老二大，老二比老三大，肯定可以得到：老大比老三大。
下面结合体验题来体验一下这三种方法，在中学所学的范围内，大部分代数式的比较大小我们都可以用这三种方法来比较大小.体验题1体验题1 如果a>b,试比较5-a,5-b 的大小关系。
体验思路因为我们无法判断5-a,5-b 与0的大小关系,故在此我们无法用作商法，我们只有选择作差法。
体验过程 ∵5-a-(5-b)=b-a<0∴5-a<5-b简单的代数式可以，我们再看一个复杂一些的。
看看我们的方法行不行？体验题2体验题2 如1>a>b>0 ,试比较ab,ab 2,b 2a 的大小关系.体验思路本题很明显，ab>0,ab 2>0,ab 2>0.因此，我们既可以选择作差法，也可以选择作商法.体验过程 方法一，作差法.∵ab-ab 2=ab(1-b)>0, ∴ ab>a 2b∵ab-a 2b=ab(1-a)>0, ∴ ab>a 2b ∵ab 2-a 2b=ab(b-a)<0, ∴ab 2<a 2b∴ab> a 2b>ab2方法二，作商法.∵1>a>b>0, ∴ab>0,ab 2>0,b 2a>0.∵21ab ab b =>1, ∴ab>ab 2.∵21ab a b a=>1, ∴ab>a 2b.∵22ab b a b a=<1, ∴ab 2<a 2b.∴ab> a 2b>ab2体验题3体验题3如果a<b<0,试比较a 1-,b1-的大小关系？体验思路∵a<b<0.∴a 1->0,b1->0.如果我们作差，也可以比较上述代数式的大小关系，但相对麻烦一些。
代数式的大小比较
代数式的大小比较定义：给出两个数字，我们很容易比较他们的大小，比如：2大于3，因为3减去2等于1。
自我们学习了用字母表示数以后，我们经常遇到两个代数式的大小比较。
比如：2n+1和2n+3是两个连续的奇数，因为（2n+3）-（2n+1）=2，即后者比前者大2。
这是两个很简单的例子，下面的题目却显然不一样。
1， 比较2a 与a 的大小。
2， 比较222++x x 与0的大小。
3， 比较2)(18y x --与18的大小。
4， 某商店将某商品先按原价提高50%，又8折优惠，问该商店这件商品卖出后，是赚还是赔。
5， 从广州购进两种货物分别为X 吨，Y 吨，每吨运费a 元，杂费2b 元，从上海购进同样数量的两种货物，每吨运费2a 元，杂费b 元。
试问：当a ，b 满足什么条件时，才能确定从何处进货合算？6， 中国电信推出两种手机收费方式。
一种是神州行，不要月租费，每分钟收费0.6元，另一种全球通月租费40元，每分钟收费0.40元，请比较两种收费哪种更合算，并说明理由。
7， 某校暑假将由校长带校级、市级三好学生去北京旅游，甲旅行社的优惠措施是：校长买全票，其余学生半价。
乙旅行社的优惠措施是：全部6折优惠。
已知全票是240元。
请就学生数讨论哪家旅行社更好。
8， 将一个正分数的分子分母同时加上一个正数，这个分数变大吗？请说明你的理由及你的结论。
9， 甲、乙两人两次同时在同一家粮点购买粮食（假设两次的粮食单价不一样，第一次为x 元/KG ，第二次为y 元/KG ，）甲每次购买粮食100Kg ，乙每次购买粮食用去100元。
请先写出两人两次的购买的平均单价。
然后比较谁的购买单价更便宜。
10， 通过具体的数字猜测代数式211x+的大小，然后求出他的值的范围。
小结：代数式的大小比较不再象单纯的数字那样，因为代数式的字母的取值具有任意性，所以在比较时，就要考虑到字母的取值，因此有时一个题目可能分几种情况讨论。
就象小时侯大家只知道有好人坏人两种，长大后你会发现：人不能简单的分成好人坏人两种。
考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类-解析版 2023-2024学年九年级数学考
考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类1，配方法的应用的方法技巧（1）比较大小：配方法不但可以解一元二次方程，而且能求代数式的最值，还能用于比较代数式的大小.用配方法比较代数式的大小，主要是用作差法将代数式作差后得到的新代数式配方，根据新代数式与0的关系确定代数式的大小（2）求最值：用配方法求代数式的最值是将代数式配方为完全平方式与常数的和的形式，根据完全平方式的非负性确定代数式的最值；（3）未知系数的取值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（4）用配方法构造“非负数之和”解决问题：通过配完全平方式，利用“非负性”解决问题。
2，根的判别式的应用的方法【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.（2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。
（3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。
（4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。
3，根与系数的关系方法根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba ，x1x2=ca．考点1比较大小考点2求最值考点3未知系数的取值考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题考点5判断根的情况考点6求字母的值或取值范围考点7与三角形结合考点8与一次函数结合考点9 根与系数的关系求变形式子考点1 利用配方法比较大小【详解】（1）224622x x x -+=-+（），所以当2x =时，代数式246x x -+有最小值，这个最值为2，故答案为：2-；2；2；小；2；（2）2123x x ---（）222x x =-+2110x =-+（）＞则2123x x --＞．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．2．（2022秋·七年级单元测试）我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用()2222a ab b a b ±+=±来求一些多项式的最小值．例如，求263x x ++的最小值问题．解：∵()2226369636x x x x x ++=++-=+-，又∵()230x +≥，∴()2366x +-≥-，∴263x x ++的最小值为6-．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：()2245____________x x x -+=+；(2)求224x x +的最小值．(3)比较代数式：21x -与23x -的大小．【答案】(1)2-，1(2)2-(3)21>23x x --【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．（2）先配方，再求最值．（3）作差后配方比较大小即可．【详解】（1）解：22245441(2)1x x x x x -+=-++=-+．（2）222242(211)2(1)2x x x x x +=++-=+-，故答案为：2,2-（2）解：221612611x x x x --+=-+2692x x =-++()232x =-+()30,x -³Q()23220,x \-+³>21612.x x \->-（3）解：()222323x x x x -++=--+()22113x x =--+-+()214x =--+ ()210,x --£Q ()2144,x \--+£ ∴223x x -++的最大值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握“配方法的步骤与非负数的性质”是解本题的关键．考点2利用配方法求最值【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比较大小．【详解】（1）解：()2224644222x x x x x +=-++=-+-故当20x -=，即2x =时，代数式246x x -+最小值为2；（2）∵224250x x y y -+++=，则2244210x x y y -++++=，∴()()22210x y -++=，即20x -=，10y +=，∴2x =，1y =-，∴211x y +=-=；（3）()()2221232211x x x x x ---=-+=-+，∵()210x -≥，∴()2110x -+>，∴2123x x ->-．【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： ²43a a ++．解：原式：²441(2)²1(21)(21)(3)(1)a a a a a a a =++-=+-=+++-=++②2246M a a =-+， 利用配方法求M 的最小值．解：2²462(²21)622(1)²4M a a a a a =-+=-++-=-+222(1)02(1)44a a -≥∴-+≥，，∴当1a =时，M 有最小值4．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解²412x x --；(2)若 2441M x x =+-， 求M 的最小值．【答案】(1)(6)(2)x x -+考点3 利用配方法未知系数的取值∴2a =，1b =，∴1a b -=，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练一元二次方程的解法是解题的关键．10．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（ ）A ．10-B ．10C ．3-D ．9【答案】B【分析】利用配方法将方程2610x x --=配成2()x m n -=，然后求出n 的值即可．【详解】∵2610x x --=，∴261x x -=，∴26919x x -+=+，即2(3)10x -=， 10n ∴=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n -的值为（ ）A ．6-B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】由2630x x ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n -，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =，∴3m n -=-，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值．考点4 用配方法构造“非负数之和”解决问题∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8＜c＜13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．14．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知2248200++-+=，那么y x=（）x y x yA．－16B．16C．－8D．8【答案】B【分析】利用配方法把已知条件变形为（x+2）2+（y-4）2=0，再根据非负数的性质得x+2=0，y-4=0，即可求出x与y的值，进一步代入求得答案即可．【详解】∵x2+4x+y2-8y+20=0，∴x2+4x+4+y2-8y+16=0，∴（x+2）2+（y-4）2=0，∴x+2=0，y-4=0，∴x=-2，y=4，∴x y=16．故选B.【点睛】此题考查配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．15．（2023春·山东淄博·八年级统考期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+9的值（）A．总不小于4B．总不小于9C．可为任何实数D．可能为负数【答案】A【分析】要把代数式x2+y2+2x-4y+9进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围即可．【详解】x2+y2+2x-4y+9=（x2+2x+1）+（y2-4y+4）+4=（x+1）2+（y-2）2+4，∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，∴（x+1）2+（y-2）2+4≥4，考点5 利用根的判别式判断根的情况根．20．（2023·全国·九年级假期作业）若1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，那么方程220ax bx ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有一个根是=1x -C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根【答案】B【分析】先将1x =代入220(0)ax bx a -+=≠中得到20a b -+=，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可得出结论．【详解】解：∵1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，∴20a b -+=，即2b a =+，对于方程220ax bx ++=，∵242b a ∆=-⨯()228a a =+-()220a =-≥，∴方程220ax bx ++=有两个实数根，故选项A 、C 、D 错误，不符合题意；当=1x -时，2220ax bx a b ++=-+= ，即=1x -是方程220ax bx ++=的一个根，故选项B 正确，符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握一元二次方程20ax bx c ++=根的情况与根的判别式24b ac ∆=-的关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．考点6 利用根的判别式求字母的值或取值范围故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆＞时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当0∆＜时，方程无实数根．24．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）已知关于x 的一元二次方程()21210k x x --+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．21k k ≤-≠且B ．21k k ≤≠且C ．21k k ≥-≠且D ．2k ≥【答案】B【分析】根据方程有两个实数根，得出0∆≥且10k -≠，求出k 的取值范围，即可得出答案．【详解】解：由题意知，24441840b ac k k ∆=-=--=-≥（），且10k -≠，解得：2k ≤，且1k ≠，则k 的取值范围是2k ≤，且1k ≠，故选：B ．【点睛】此题考查了根的判别式，（1）一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；②0∆=⇔方程有两个相等的实数根；③0∆⇔＜方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．考点7 利用根的判别式与三角形结合【详解】（1）证明：2(2)42k k∆=+-⨯2448k k k=++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∴另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∴21(2)20k k -++=，∴1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．26．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）若方程（c 2＋a 2）x ＋2（b 2-c 2）x ＋c 2-b 2=0有两个相等的实数根，且a ，b ，c 是三角形ABC 的三边，证明此三角形是等腰三角形．【答案】见解析【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b 、c 的关系即可．【详解】解:Δ=[2（b 2-c 2）]2-4（c 2+a 2）（c 2-b 2）=4（b 2-c 2）（b 2-c 2+a 2+c 2）=4（b+c ）（b-c ）（b 2+a 2）．∵方程有两个相等实根．∴Δ= 0，即4（b+c ）（b-c ）（b 2+a 2）=0．∵a ，b ，c 是三角形的三边，∴b+c≠0，a 2+b 2≠0，只有b-c=0，解得b=c ．出判别式的值的情况，从而得到关于a、b、c及k的等式是解题的关键．28．（2011秋·江苏无锡·九年级统考期中）已知关于x的方程22a x bx c x-+++=有两个相等的实数(1)2(1)0根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．【答案】【详解】考点：根的判别式；勾股定理的逆定理．分析：先把方程变为一般式：（c-a）x2+2bx+a+c=0，由方程有两个相等的实数根，得到△=0，即△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，则有b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c 为三边的三角形是直角三角形．解答：证明：a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0去括号，整理为一般形式为：（c-a）x2+2bx+a+c=0，∵关于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根．∴△=0，即△=△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，∴b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2．∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考点8 利用根的判别式与一次函数结合【分析】根据一元二次方程2210mx x --=无实数根得0m ≠且2(2)4(1)0m ∆=--⨯-<，即可得1m <-，又∵20b =>，可得一次函数2y mx =+的图象经过一、二、四象限，即可得．【详解】解：∵一元二次方程2210mx x --=无实数根，∴0m ≠且2(2)4(1)0m ∆=--⨯-<，440m +<，44m <-，1m <-，又∵20b =>，∴一次函数2y mx =+的图象经过一、二、四象限，∴一次函数2y mx =+的图象不经过第三象限，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．30．（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程2240x x --=有两个实数根a ，b ，那么一次函数(1)y ab x a b =-++的图象一定不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据根与系数的关系即可求出ab 与a b +的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：2a b +=，4ab =-，∴15ab -=∴一次函数解析式为：52y x =+，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．31．（2020秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程2210x x kb ++=-没有实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先根据一元二次方程没有实数根确定k ，b 的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程2210x x kb ++=-没有实数根，∴()4410kb ∆=-+<，解得：0kb >，即k b 、同号，当00k b >>，时，一次函数y kx b =+的图象过一，二，三象限，当00k b <<，时，一次函数y kx b =+的图象过二，三，四象限，故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k ，b 的取值范围，难度不大．32．（2023·安徽合肥·统考二模）关于x 的一元二次方程2210mx x --=无实数根，则一次函数y mx m =-的图像不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，求得m 的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2210mx x --=无实数根∴224(2)4(1)0b ac m ∆=-=--⨯⨯-<，解得1m <-，由一次函数y mx m =-可得0k m =<，0b m =->，∴一次函数y mx m =-过一、二、四象限，不过第三象限，故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．考点9 利用根与系数的关系求变形式子。
每日一题型2比较大小作差比较法
题型2比较大小之作差比较法作差比较法的理论依据：a -b O= a ba-b=0u a=ba —b ：： O ：= a ：： b作差比较法的步骤：作差、变形、定号、下结论。
变形的方法：通分、因式分解、提取公因式、十字相乘、配方、分子分母有理化、平方后作 差等方法，同时注意每一步变形必须是等价变形。
变形的结果是因式积，完全平方式等形式。
变形的目的是为了判断差值的符号。
作差比较法适用于实数 （代数式）的大小不明显，作差后可化为积或商的形式的比较大小问 题。
回想高一学习定义法证明函数单调性的过程，分别是取值、作差、变形、定号、下结论。
两者之间大致相同。
例1已知a,b∙= R ',且a =b,试比较a 5+b 5和a 3b 2 a 2b 3的大小.解：a 5+b 5「a 3b 2「a 2b 3 = a 3（a 2 ~b 2）+b 3（b 2「a 2） = （a 2 -b 2）（a 3「b 3）=(a b)(a -b)(a -b)(a 2 ab b 2) = (a -b)2(a b) (a 1 b)2 ■ - b 212 4」因为 a,b R ',且a = b, 所以(a -b)2 O ， ab O ， (a 1b)2 3b 2 O ， 2 4所以 a 5+b 5 - a 3b 2 -a 2b 3 O所以 a 5 +b 5 a 3b 2 a 2b 3 小结：此题采用提取公因式、因式分解、配方等变形方法1例2：设X ∙ R ,比较 ------ 与1 -x 的大小.X +1-(^X )=2 X当X =O 时， O1 +x=(1 -χ)x∙ι<Zχ1 2当-1.; X：：：O 或X . 0 时，O1 +x1>(1 -X)X 1小结：此题采用通分，同时注意结合使式子有意义的隐含条件进行分类讨论例3•已知a丄1 ,试比较M= a • 1 -a和N = ... a - .. a -1的大小•解: M-N^(” a 1+、、a)(「'a . a -1)因为a _1 ,所以、.a -1 一、、a • 1 >0, ∙.. a • 1 + -、a >0,、、a ∙∙. a -1 >0,所以M - N 0 ,所以M ∙N •小结：此题采用分子有理化、通分等变形技巧来看看几道练习题：2 2 2 21、若X ：：：y ：：：0,试比较(X ∙ y )(x - y)与(X - y )(x y)的大小关系•2 12、若a R,p=a -a 1,q 2 ,比较P与q的大小关系•a +a +13、设a 5,试比较M =、a-3-〔a-4与N= a-4-∙∙. a-5的大小关系答案：1、(x2y2)(χ「y) > (χ2「y2)(X y)2、P —q,当且仅当a=0时，等号成立3、M<N_ J a -1 - J a+1题型2比较大小之作差比较法作差比较法的理论依据：a b OU a ba -b = 0 二a = ba -b O = a b作差比较法的步骤：作差、变形、定号、下结论。
中职代数式比较大小方法
中职代数式比较大小方法
中职代数式比较大小的方法可以通过以下几种途径来进行：
1. 展开式比较，将代数式按照字母的次数展开，比较各项系数的大小，从而确定整体大小关系。
例如，比较两个代数式 3x^2 + 2x + 1 和 2x^2 + 5x + 3，可以将它们展开后分别比较各项系数的大小。
2. 因式分解比较，将代数式进行因式分解，比较各个因式的大小，从而确定整体大小关系。
例如，比较两个代数式 x^2 4 和
(x+2)(x-2)，可以通过因式分解后比较各个因式的大小来确定大小关系。
3. 图像法比较，将代数式对应的函数图像进行比较，通过观察函数图像的走势来确定大小关系。
例如，比较两个代数式 y = x^2 和 y = -x^2，可以通过观察二次函数的开口方向和顶点位置来确定大小关系。
4. 通用方法比较，对于一些特定的代数式，可以利用通用的比较方法来确定大小关系，例如比较两个一次函数的斜率和截距，或
者比较两个二次函数的顶点位置等。
综上所述，中职代数式比较大小的方法可以通过展开式比较、因式分解比较、图像法比较和通用方法比较等多种途径来进行。
在实际问题中，可以根据具体的代数式特点选择合适的比较方法进行求解。
比较代数式大小的方法
比较代数式大小的方法嘿，咱今儿就来唠唠怎么比较代数式的大小！这事儿啊，就跟咱过日子挑东西一样。
你看啊，有时候两个代数式摆在那儿，就好像两件衣服，你得比比看哪件更合身，对吧？比如说 3x 和 2x，那很明显 3x 就比 2x 大呀，这就跟大码衣服比小码衣服大一个道理嘛！再比如说，x² 和 2x，这咋比呢？咱就得具体情况具体分析啦！要是 x 等于 0 呢，嘿，它们俩一样大！要是 x 等于 1 呢，那就是 1 和 2 比，当然2x 大啦！要是 x 等于 3 呢，9 和 6 比，那就是x² 大咯！这就跟咱买苹果，不同大小的苹果价格能一样吗？还有啊，有些代数式带着根号呢，就像带着刺儿似的。
可别怕呀！咱把它们也能理清楚。
比如说根号 2 和 1.5，咱都知道根号 2 大概是 1.4 多，那肯定比 1.5 小呀！这就好比两个小孩比个儿，一眼就能看出来谁高谁矮嘛！有时候呢，两个代数式长得特别像，就跟双胞胎似的。
这时候可别犯迷糊，得仔细瞅瞅它们的细微差别。
比如说 2(x+1)和 2x+2，看着差不多吧？但其实它们就是一样大呀！这就像两颗一样甜的糖果，没啥区别嘛！咱比较代数式大小，就跟咱在菜市场挑菜一样，得精挑细选，得会比较。
不然选错了，那可就闹笑话啦！你说是不是？咱可不能马马虎虎的，得认真对待。
比较代数式大小，这可是数学里很重要的一部分呢！它能帮我们解决好多问题。
就像一把钥匙，能打开好多知识的大门。
咱学会了它，数学的路就能走得更顺溜啦！所以啊，大家可别小瞧了它，要好好琢磨琢磨，多练练，自然就熟啦！就跟咱骑自行车似的，刚开始可能摇摇晃晃的，但骑多了不就顺了嘛！总之，比较代数式大小，咱得重视起来，好好学，好好用，这样咱的数学才能越来越好呀！。
代数式用作差法比较大小
1、将姚明和李连杰的身高标示在数轴上 观察他们的大小关系
李连杰身高 姚明身高
2.29-1.69=0.60>0 归纳： a-b>0 a-b=0 a-b<0
0
1.69 2.29
2.29>1.69 提示：运用了实数 减法运算符号法则
a>b a=b a<b
ab0 a b ab0 ab ab0ຫໍສະໝຸດ ab ab0 ab定号 下结论
3、思考：
①上述例题代数式有一个怎么样的特点？ 答：都是整式
②结合上述例题概括下解题的一般步骤？
答：作差
变形
定号
下结论
合并同类项，
因式分解，配
③上述例题的解法名称是什么？
方等等
答：作差法
2、比较代数式的大小
把整体看着 实数轴上的
一个 a
把整体看着实数轴 上的一个 b
• 例：试比较6x2 +3x+5与5x2+3x+2的大小
•解： 6x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)
作差
= 6x2 +3x+5 –5x2-3x-2
整理变形
=x2+3
2 x 0
2 x 330
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0 ∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2
比较代数式大小的技巧
比较代数式大小的技巧比较代数式的大小，不仅要明确用字母表示数的意义，而且还必须掌握一些比较大小的方法，下面举例说明．一、分析比较法例1 a是有理数，比较a和－a的大小．分析：有的同学会立即得出结论a＞－a，其实这是错误的．因为字母a可以表示正数、负数及零，要正确地得出结论必须对字母a分正、负、零各种情况进行讨论解：当a＞0时，因为－a＜0，故a＞－a；当a＜0时，因－a＞0，故a＜－a；当a=0时，因－a=0，故a=－a．例2 比较a＋b与a的大小．分析：在代数式a＋b和a中，都有同一字母a，所以，不论a为何值，都不会影响a＋b与a的大小关系，因此，只要分情况讨论b就可以了．解：当b＞0时，a＋b＞a；当b=0时，a＋b=a；当b＜0时，a＋b＜a．例3 比较a＋b与a－b的大小．分析：在a＋b和a－b中，完全相同的部分是a，b与－b是不同的，所以只要讨论b与－b的大小关系就可以了．解：当b＞0时，b＞－b，∴a＋b＞a－b；当b=0时，b=－b，∴a＋b=a－b；当b＜0时，b＜－b，∴a＋b＜a－b.二、求差比较法例4 比较x2－2x－15和x2－2x－8的大小．解：∵(x2－2x－15)－(x2－2x－8)=x2－2x－15－x2＋2x＋8=－7＜0.∴x2－2x－15＜x2－2x－8.例5 已知x≠0，比较x4＋2x2＋1和x4＋x2＋1的大小．解：∵(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1) =x4＋2x2＋1－x4－x2－1=x2＞0(x≠0)∴x4＋2x2＋1＞x4＋x2＋1．注：例3亦可用求差比较法：解：∵(a＋b)－(a－b)=2b，∴当b＞0时，a＋b＞a－b；当b=0时，a＋b=a－b；当b＜0时，a＋b＜a－b.。
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比较大小典例分析【例1】 若，，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】 将，，按从大到小的顺序排列应该是 ．【例3】 若，，则 满足（ ）A ．B ．C ．D ．【例4】 若，则下列不等式中， ① ② ③ ④正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号）【例5】 已知，那么“”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件0a b <<1a b +=1222a b +2ab b 2321223⎛⎫⎪⎝⎭1222x =2x =,x y x y >x y ≥x y <x y =110a b<<a b ab +<||||a b >a b <2b aa b+>,a b ∈R ||a b >22a b >【例6】 若，则下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例7】 比较下列代数式的大小：⑴ 与； ⑵ 与；【例8】 比较下列代数式的大小：⑴ 与；⑵，且）⑶ 与（其中）．【例9】 、、、均为正实数，且，将、、与按从小到大的顺序进行排列．0b a <<11a b >a b >2b aa b+>a b ab +>23x x +2x -61x +42x x +43x x y -34xy y -0xy >x y >x y x y y xx y 0,0,x y x y >>≠a b c d a b >b a a bb c a c ++a d b d ++【例10】 比较大小：、与（其中）【例11】 已知、、、均为实数，且，，则下列各式恒成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．【例12】 当时，下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例13】 已知三个不等式：，，（其中、、、均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例14】 ⑴已知：，求证：． log a ablog a b log b a 21a b a >>>a b c d 0ab >c d a b -<-bc ad <bc ad >a b c d >a b c d<a b c >>ab ac >a c b c >ab bc >()0a b c b -->0ab >0bc ad ->0c da b->a b c d 11,a b a b>>0,0a b ><⑵若，，求证：．【例15】 设，则是的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例16】 如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）A ．BC ．D ．【例17】 设，若，则下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例18】 若，则下列结论不正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．0a b >>0c d >>d c a b<a ∈R 1a >11a<00a b <>，11a b<22a b <||||a b >,a b ∈R ||0a b ->0b a ->330a b +<220a b -<0b a +>110a b<<22a b <2ab b <2b aa b+>||||||a b a b +>+【例19】 若，则下列结论中正确的命题是（ ）A ．和均不能成立B ．和均不能成立 C ．不等式和均不能成立 D ．不等式和均不能成立【例20】 若，则下列结论中不正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【例21】 设，且，，则（ ） A ． B ． C ．D ．【例22】 判断下列各命题的真假，并说明理由．⑴若，则 ⑵若，则⑶若，则 ⑷若，则0a b <<11a b >11||||a b >11a b a >-11||||a b >11a b a >-2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11||||a b >2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111a b<<log log a b b a >|log log |2a b b a +>2(log )1b a <|log ||log ||log log |a b a b b a b a +>+a b ∈R ，()10b a b ++<()10b a b +-<1a >1a <-11a -<<1a >22ac bc >.a b >a b >11.a b<,a b c d >>.a c b d ->-,a b m +>∈N .m m a b >【例23】 已知，试将下列各数按大小顺序排列：，，，．【例24】 实数满足条件：①；②；③，则有（ ）A ．B ．C ．D ．【例25】 已知实数、满足等式，下列五个关系式① ② ③ ④ ⑤ 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例26】 设，，其中且．试比较与的102a -<<21A a =+21B a =-11C a=+11D a=-a b c d 、、、,a b c d <<()()0a c b c -->()()0a d b d --<a c d b <<<c a b d <<<a c b d <<<c a d b <<<a b 1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0b a <<0a b <<0a b <<0b a <<a b =()1log 3x f x =+()2log 2x g x =0x >1x ≠()f x ()g x大小．【例27】若，，，，则的大小关系是（）A． B． C．D．【例28】若，则下列不等式①②③④中，正确的不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例29】设、、、、、均为正实数，，那么（）A．B．C．D．、间大小关系不确定，而与、的大小有关2log3a=3log2b=13log2c=21log3d=,,,a b c da b c d<<<d b c a<<<d c b a<<<c d a b<<<11a b<<a b ab+<||||a b>a b<2b aa b+>a b c d m n P=+Q=P Q≥P Q≤P Q<P Q m n【例30】 设、为非零实数，若，则下列各式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例31】 设是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ． B ． C ． D【例32】 “且”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例33】，，且，则（ ） A ． B ． C ． D ．a b a b <22a b <22ab a b <2211ab a b <b aa b<a b c ，，||||||a b a c b c --+-≤2211a a a a++≥1||2a b a b-+-≥0a b >，a b ≠222a b ab +<0a ≥0b ≥2a b +=12ab ≤12ab ≥222a b +≥223a b +≤【例34】 若直线通过点，则（ ） A ．B ．C ．D ．【例35】 设实数、满足，且，则下列四数中最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例36】 正实数、、满足，，则（ ）A ．B ．C ．D ．与大小不定【例37】 已知的大小关系是 ．1x ya b+=(cos sin )M αα，221a b +≤221a b +≥22111a b+≤22111a b+≥a b 0a b <<1a b +=1222a b +2ab a a b c a d b c +=+a d b c -<-ad bc =ad bc <ad bc >ad bc a b c >>2a c-【例38】 已知实数、、满足条件，，设，则（ ） A ．B ．C ．D ．以上都可能【例39】 若，以下不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例40】 若，且，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．x y z 0x y z ++=0xyz >111T x y z =++0T >0T =0T <10a b >>>12a b +>12b a +>1lg 2a b b +>1lg 2b a a +<121200a a b b <<<<，12121a a b b +=+=1122a b a b +1212a a b b +1221a b a b +12。