高等代数 数环和数域

第一章 多项式
例2：证明 Z i a bi a,b Z,i2 1 是一个数环。
问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法？
第一章 多项式
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。
二、数域 定义2：设F是一个含有不等零的数的数集，如果F 中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中， 则称F是一个数域。
数环和数域
1. 学会发现和提出数学问题
➢ 发现问题、提出问题的一些套路
1. 学会反过来思考问题 学完一个命题后，追问自己：这个命题将条件作为结论， 将结论作为条件能否成立？
案例行1：。（初中） 平行线的判定定理：内错角相等，两直线平 你是否有追问：命题“ 两直线平行，内错角相等”是否成立？ 2. 学会一般化问题
要检验几种运算？ 定理1.1.3：设F是一个含有非零数的数集，则F
是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除 数不为零）仍属于F。 问题：11、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C
之间是否有别的数域？
例：对任意素数P， QP a b p a,b Q
是一个数域。Q QP R
2、有没有最小的数环？
例1：设a是一个确定的整数。令 S na n Z
第一章 多项式
则S是一个数环。 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。
当a=0时，S 0，即只包含一个零组成的数
环，这是最小的数环，称为零环。 问题：3、一个数环是否一定包含0元？
4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的 数环？
识； 学会“一般化问题”（简记为1即n）的意识 学会利用“四则运算生成新问题”（简记为1
即4）的意识； ……
第一章 多项式
§1.5 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 范围，学习数学也是如此。 比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、 有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
第一章 多项式
根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 数环和数域。
一、数环 定义1：设S是由一些复数组成的一个非空集合， 如果对 a,b S ，总有 a b, a b, a b S 则称S是一个数环。 例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 C都是数环。 问题：1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？
若不是举出反例。 若 S1和 S2 是数域情况又如wk.baidu.com？
S1 US2不是数域,反例:S1 a b 2 a,bQ , S2 a b 3 a,bQ
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。
（ F1, F2 是数域，则F1 U F2 是数域的充要条件是 F1 F2 或 F2 F1 ）。
11 2,1 2 3,1 3 4,L , N F
0 1 1, 0 2 2, 0 3 3,L , Z F 对 x Q, x 0, x a , a,b Z,
b
故 xF,Q F.
问题：10、在判断一个数集是不是数域时，实际上
第一章 多项式
第一章 多项式
认识 2+7=9
** 对于多个奇数、偶数相加或相乘呢，…… ** 上述所得到的结论有用吗？ ** 如：Q1 某组同学参加学校的数学竞赛。试题共 4 道。评分标准是：
答对一道给 3 分，不答给 1 分，答错倒扣 1 分。说明该组同学得分总 和一定是偶数。 ** 有点难度的：试题 4 道改为 50 道呢？
d
a b 2 a b 2 c d 2 c d 2
cd cd
2 2
a1 b1
2, a1, b1 Q
第一章 多项式
问题：8、一个数域必包含哪两个元素？ 9、最小的数域是什么？
定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 证明：设F是一个数域，则 a F, a 0. 于是 a a 0 F, a a 1 F.
（即运算是否封闭）。
代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算
是指存在一个法则，它使A中任意两个元素 A A
都有A中一个元素与之对应。
第一章 多项式
运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。
例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个 整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、 乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭。
当我们学完一个命题后，追问自己：命题能否作一般性推广？
3. 学会四则运算生成新问题 一个命题若对于加法成立，追问自己：对于减法、乘法、除 法是否同样成立？ 案例3：2+7=9（小学案例）
第一章 多项式
认识 2+7=9
算式 2+7=？→ 2+7=9。 ** 再看一眼： 2+7=9.
** 念想 1：2？7？
（挑战你的眼光，展示化繁为简的思维水平！！！）
第一章 多项式
认识 2+7=9
回顾一下： 对数式中数2,7，从奇偶性角度来探索…… 尤其得到了奇偶分析方法，并尝试运用此方法
解决一些趣题。
第一章 多项式
认识 2+7=9
** 再回头看：2+7=9. 2+7→9, 反过来呢？
** 若从数的因数分解看，2,7 均是质数，9 是合数。 合数 9 可以表示成两个质数的和。
在R与C之间不可能有别的数域。
设有数域F，使 R F C ，故
x F, x R, x C, 设x=a+bi，且 b 0
第一章 多项式
（若b=0，则 x aR，矛盾）。 Q a,b R, a,b F, bi F, bi b i F 可见F=C。 问题：12、设 S1 和 S2 是数环，试问 S1 I S2, S1 U S2 是不是数环？若是，给出证明，
** 自然问：是否每一正整数都可以表示为两个质数的和呢？
第一章 多项式
认识 2+7=9
这个问题与著名的哥德巴赫猜想是相关的。 哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数
之和。
1966年陈景润证明了"1+2"成立，即： 任一充分大的偶数都可以表示成二个质数的和，或
是一个质数与两个质数积的和"。
例如
x2 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
就可以分解。 x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就
有根。等等。
第一章 多项式
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 这样的限制。
在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中
定义 2：设F是一个数环，如果 ① F内含有一个非
零数； ② 对 a,b F, 且 b 0 ，则 a b F 则称F是一个数域。
例如：有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域， 且是三个最重要的数域。
第一章 多项式
问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数 集是不是数域？
7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？
第一章 多项式
认识 2+7=9
一个简单的算式：2+7=？，
如果不急着丢弃它， 而是转换角度，逐个方向去尝试探索
角度1：奇偶数→运算→奇偶分析 角度2：数的构成（和）－质数和→著名猜想
收第获一章远远多项胜式过一道题、一个答案。
认识 2+7=9
再回首，感知你的拥有： 复杂的即是简单的 养成从多个角度认识一个问题的意识； 学会“反过来思考问题”（简记为1即2）的意
例3：证明 Q 2 a b 2 a,b Q 是一个数域。
证明要点：先证 Q 2 有一个非零元 1 1 0 2 ，
对加、减、乘封闭。再证除法封闭：
设 c d 2 0 c d 2 0（否则当 d 0 c 0矛盾；
当 d 0 2 c Q ，也矛盾）。于是
第一章 多项式
认识 2+7=9
算式 2+7=？→ 2+7=9。 ** 再看一眼： 2+7=9. ** 念想 1：2？7？2 是偶数，7 是奇数。9 也是奇数。 ** 尝试：一般化！2+7=9 是否可以认为是：
偶数+奇数=奇数？（还可以举例验证！）
第一章 多项式
认识 2+7=9
再看一眼：偶数+奇数=奇数，你心中会问： 偶数+偶数= ； 奇数+奇数= ； 进一步，念及四则运算，尝试考虑乘法“ ”，就有 偶数 偶数= ； 偶数 奇数= ； 奇数 奇数= 。