完全平方数

例题5
试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它 的前两位数字相同，后两位数字也相同
解析： 设此数为aabb，则：aabb=a0b*11 此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11?a +
b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组 可能。
直接验算，可知此数为7744=88。
(a + b) 或 (a - b) 都可以得到整十、整百,乘起来算得轻松, 平方差的结果算出来之后,可就别忘了把 b 加回去啊. 9 = 81 = 80 + 1 = 8 X 10 + 1 = (9 - ???ㄠ??就 8 = 64 = 60 + 4 = 6 X 10 + 2 = (8 - ???㈠??尲 7 = 49 = 40 + 9 = 4 X 10 + 3 = (7 - ??????尳 11 = 121 = 120 + 1 = 12 X 10 + 1 = (11 + 1)(11 - ??ㄠ 12 = 144 = 140 + 4 = 14 X 10 + 2 = (12 + 2)(12 - ??㈠
且11122225=3335 x 3335
例题2 证明10不是一个完全平方数。
解析：
法一： 3x3 < 10 < 4x4
连续写出完全平 方数，10在两个 相邻的完全平方 数之间，故10不 是完全平方数
法二： 若完全
平方数的末位 是0，则倒数 第二位也是0
法三： 10有4个约
数，约数个数为 偶数个。故不是 完全平方数。
29 = (29 - 21)(29 + 21) + 21 = 8 X 50 + 441 = 400 + 441 = 841 平方差分解因式,除了变成整十相乘,还可变成 50,就相当于变成100
解析： 设22n+5=N^2，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
N^2-16=11(2n-1), (N+4)(N-4)=11(2n-1) 11?N - 4或11?N + 4 N=(2k-1)*11+4, N=22k-5 或 N=22k-15 (k=1,2,......) 经试数可知，此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
完全平方数的定义 1 完全平方数的性质 2
例题分析 3 习题巩固 4
1．n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个 完全平方数之和．
2. 一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加 上168，则是另一个平方数，求这个正整数．
3．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则 称这个正整数为 智慧数 ，比如16=52﹣32，16就是一 个 智慧数 ．在正整数中从1开始数起，试问第1998个 智慧数 是哪个数？并请你说明理由．
——小学五年级
完全平方数的定义 1 完全平方数的性质 2
例题分析 3 习题巩固 4
完全平方数的定义 1 完全平方数的性质 2
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若一个数能表示成某个整数的平方的形式，那么我们 就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
0x0=0 1x1=1 2x2=4 3x3=9 4 x 4 = 16 5 x 5 = 25 ……
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例题1
11122225、 11111111、 33333334、 1122269中有哪些是完全平方数？
解析： 11111111除以4余3， 33333334除以4余2， 1122269除以3余2 11122225除以3余1 因此，以上只有11122225是完全平方数。
15=225 、25=625 、35=1225 、65=4225 、75=5625 、85=7225 、95=9025 通过平方差,用整十来计算是最简单的, 相对理想的,就要熟悉 1 到 30 的平方数,这样就可以把所有两位数的平方都轻松算出来
29 = (29 - 1)(29 + 1) + 1 = 28 X 30 + 1 = 4 X 7 X 30 + 1 = 840 + 1 = 841
性质4.有关因数的性质 1）完全平方数分解质因数，质因数的偶数均为偶数 2）完全平方数的因数个数为奇数个 3）质数的平方必有3个因数
性质5.完全平方数的余数性质 除以3,4,5,8,16的余数只能是不大于除数的完全平方数 1）除以3余0或余1 2）除以4余0或余1 3）除以5余0或1或4 4）除以8余0或1或4 5）除以16余0或1或4或9
例题3
用300个2和若干个0组成的整数有没有 可能是完全平方数？
解析： 设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和
为600 3?600 ∴3?A
此数有3的因子，故9?A。但9?600，∴矛盾。故不 可能有完全平方数。
例题4
求满足下列条件的所有自然数： (1)它是四位数。 (2)被22除余数为5。 (3)它是完全平方数。
例题分析 3 习题巩固 4
完全平方数有一些有趣而且重要的性质：
性质1. 完全平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9
n平方的尾数 0
N的尾数
0
1
4
1或9 2或8
5（十位 必为2）
5Байду номын сангаас
6 4或6
9 3或7
性质2.两个相邻整数平方之间不能再有平方数。 （可证明一个数不是完全平方数）
性质3. 完全平方末尾若有0，则0的个数必为偶数。 （若不满足，则不是完全平方数）
那么，0、1、4、9、16、25就叫做 完全平方数
常见的完全平方数：
0到20的平方： 0 ，1 , 4 , 9 , 16 , 25 ,36 ,49 ,81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 , 256 , 289 , 324 , 400
完全平方数的定义 1 完全平方数的性质 2
13 = 169 = 160 + 9 = 16 X 10 + 3 = (13 + 3)(13 - ??? 99 = 9801 = 9800 + 1 = 98 X 100 + 1 = (99 - ??????ㄠ 55 = 3025 = 3000 + 25 = 50 X 60 + 5 = (55 - ??‵???? 45 = 2025 = 2000 + 25 = 40 X 50 + 5 = (45 - ??‵???? …… 怎么样?个位是 5的两位数,平方数不用计算了吧