一多元正态分布定义和性质.ppt

f ( x1, x2 )

1
2 1 2
1
2

exp

1 2(1
2)

( x1 1 )2

2 1

2

x1 1 1

x2 2 2

( x2 2 )2

2 2



二元正态分布密度函数图形
一元正态分布密度函数变形
f (x)
1
( x )2
E( x1 E( x1 ))( y1 E( y1 )) E( x1 E( x1 ))( yq E( yq ))






E(x
p

E(
x
p
))(
y1

E(
y1
))

E(
x
p

E(x
p
))(
yq

E(
yq
))

COV ( x1 , y1 ) COV ( x1 , yq )

e 2 2
2

(2

)
1 2
(
2

)
1 2
exp

1
(
x


)(
2
)1
(
x


)
2

多元正态分布定义1
定义1.2.1 若 p维随机向量 X 的概率密度函数为
f
(x)

(2
p
)2

1 2
exp
1
(x

) 1 ( x

)
2

则称 X 服从 p 维多元正态分布，记为X ~ N p ( , )。
随机矩阵的数学期望
定义1.1.2
z11 z12 z1q
设Z


z21
z22

z2q
为P

q阶
随
机
矩
阵，
则Z
z p1 z p2 z pq
E(z11 ) E(z12 ) E(z1q )
的
数
学
期
望
（
均
值
）E (
Z
)


E ( z21
)
E(z22 )

E(z2q )
E(zp1 ) E(zp2 ) E(zpq )
随机向量期望的性质
性 质1.1.1（ 线 性 性 ） 设X为p 维 随 机 向 量 ， A为q p阶 常 数 矩 阵，B为q阶 常 数 向 量 ， 则 E( AX B) A E( X ) B。
第一章 多元正态分布
随机向量的有关概念 多元正态分布定义 多元正态分布的性质 多元正态分布的参数估计
第一节 随机向量的有关概念
随机向量及随机向量的数学期望（均值） 随机向量的协方差矩阵 随机向量的相关矩阵
随机向量
定义：设 X1, X2 ,..., Xp 为 p 个随机变量，
协方差矩阵的性质（续）
性质1.1.5 设 X为 p维随机向量，COV ( X , X) ，
则 为对称且是半正定矩阵，且当 可逆时，
a1

为正定矩阵，若a


a2
是p维常数向量，则
a p
D(aX ) a a
3.随机向量的相关矩阵
定义1.1.4 设 X为 p 维 随 机 向 量 ， 则 称
方法一：
由它们组成的向量 (X1, X2,..., Xp )' 称作随机向量。
1.随机向量的数学期望
定义1.1.1
x1
设
X


x2
为
p维随机向量，则X的
xp
E(x1)
数
学期
望（均
值）E
(
X
)


E ( x2
)


。
E(xp )

x1


y1

定义1.1.3
设X


x2
为
p维 随 机 向 量 Y，
y2
xp
yq
为 q维 随 机 向 量 ， 则X 和Y 的 协 方 差 矩 阵 为
COV ( X ,Y ) E( X E( X ))(Y E(Y ))
2
2


1
2
11
其 中 ，D 1 2







1
2
pp

第二节 多元正态分布定义
一元正态分布密度函数
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
一元正态分布密度函数图形
f (x)
0.5 1
2
O

x
图1 2 1
二元正态分布密度函数
x1
这
里
，
X


x2

xp
1



2


p
( ij ) p p
多元正态分布定义2
定义1.2.2 若 p 维随机向量 X 的
任何线性组合均服从一元正态分布， 则称 X 服从多元正态分布。
二元正态分布的两种表示方法






E(x
p

E(x
p
))(
x1

E( x1
))

E( x p

E( x p ))(
xp

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E(x
p
))

D(x1)
COV (x1, xp )




COV
(
x
p
,
x1
)

D(xp )

( ij ) p p
协方差矩阵的性质
性质1.1.4 设 X、Y 分别为 p 维和 q 维随机向量， Arp、Csq为 常 数 矩 阵 ，b、d 分 别 为r和s 阶 常 数 向 量 ， 则COV ( AX b, CY d ) A COV ( X ,Y ) C
随机向量期望的性质
性 质1.1.2（ 可 加 性 ） 设X、Y为p维 随 机 向 量 ， 则 E( X Y ) E( X ) E(Y )。
性质1.1.3设 X 是 p q 阶随机矩阵， A 为m p阶
常数矩阵， B 为 q n 阶常数矩阵，则有
E(AXB) AE(X)B
2．随机向量的协方差矩阵
1 12 1 p



21

1

2 p

为
X
的
相
关
矩
阵
。
p1 p2 1
ij
ij ii jj
其中， ij 为 xi
和 x j 的相关系数， ij


。
ji
相关矩阵与协方差矩阵的关系
D 1 D 1






COV
(
x
p
,
y1
)

COV ( x p , yq )
COV ( X , X ) E( X E( X ))(X E( X ))
E( x1 E( x1 ))( x1 E( x1 )) E( x1 E( x1 ))( x p E( x p ))