三角函数平移变换方法张
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩 【2 】函数sin()y A x kωϕ=++的图象与函数sin y x=的图象之间可以经由过程变化A kωϕ，，，来互相转化．Aω，影响图象的外形,k ϕ，影响图象与x 轴交点的地位．由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由ϕ引起的变换称相位变换,由k引起的变换称高低平移变换,它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换办法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．xy sin =)3sin(π+=x y )32sin(π+=x y )32sin(3π+=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短为本来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为本来的3倍例1 将sin y x =的图象如何变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解：（办法一）①把sin y x=的图象沿x轴向左平移π4个单位长度,得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;②将所得图象的横坐标缩小到本来的12,得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到本来的2倍,得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． （办法二）①把sin y x=的图象的纵坐标伸长到本来的2倍,得2sin y x=的图象;②将所得图象的横坐标缩小到本来的12,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．)32sin(3π+=x y xy sin =xy 2sin =)32sin(π+=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为本来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位横坐标不变 纵坐标伸长为本来的3倍解释：无论哪种变换都是针对字母x而言的．由sin 2y x=的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到本来的12,得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于庞杂的变换,可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象如何变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 剖析：应先经由过程引诱公式化为同名三角函数． 解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ,有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 依据题意,有ππ22224x a x --=-,得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。
三角函数的像变换与平移
三角函数的像变换与平移三角函数是数学中非常重要的概念之一，在三角函数中，像变换与平移是两个重要的概念。
它们描述了函数图像在坐标系中的移动和变形过程。
本文将重点介绍三角函数的像变换与平移。
1. 像变换（Image Transformation）像变换是指通过特定的变换规则，改变函数图像的形状、位置或尺寸等性质。
对于三角函数而言，常见的像变换包括拉伸、压缩、翻转和反转等。
1.1 拉伸（Stretch）拉伸是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更长或更短。
对于正弦函数（sin）和余弦函数（cos）而言，拉伸可以分别沿横轴和纵轴方向进行。
例如，当正弦函数的图像被沿横轴方向拉伸时，函数的周期将变得更长，波峰和波谷之间的距离增加；而当余弦函数的图像被沿纵轴方向拉伸时，函数的振幅（波峰或波谷与横轴的距离）增加。
1.2 压缩（Compression）压缩是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更短或更窄。
与拉伸相反，压缩使函数的周期变短，波峰和波谷之间的距离缩小；同时，压缩会使函数的振幅减小。
1.3 翻转（Reflection）翻转是指将函数图像相对于横轴或纵轴进行对称变换，以改变图像的朝向。
对于正弦函数和余弦函数而言，翻转可以使波形上下颠倒或左右翻转。
1.4 反转（Inversion）反转是指将函数图像的正负进行翻转，使得原本正值的部分变为负值，负值的部分变为正值。
对于正弦函数和余弦函数而言，反转会使波形关于横轴或纵轴进行对称。
2. 平移（Translation）平移是指将函数图像在坐标系中沿横轴或纵轴方向上移动，以改变图像的位置。
对于正弦函数和余弦函数而言，平移可以使波形向左或向右平移一定的距离，或者向上或向下平移。
2.1 横向平移（Horizontal Translation）横向平移是指将函数图像沿横轴方向上移动，通常用参数h表示平移的距离。
当h为正值时，函数图像向右平移；当h为负值时，函数图像向左平移。
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放三角函数图像的平移与缩放是数学中常见的一个话题，也是高中数学课程中的重要内容。
三角函数是数学中的基本概念之一，在大学数学中被广泛应用到各种领域。
三角函数具有一定的规律性和对称性，三角函数图像的平移和缩放是基于这些规律性和对称性而实现的，因此掌握三角函数图像的平移和缩放是理解三角函数及其应用的前提。
一、三角函数图像的基本概念三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数三种函数的统称，它们都是以角度或弧度为自变量的函数，其中正弦函数的函数值为对边与斜边之比，余弦函数的函数值为邻边与斜边之比，正切函数的函数值为对边与邻边之比。
三角函数关系着三角形中的几何关系，因此在三角形几何中也十分重要。
三角函数图像是把三角函数的函数值和自变量进行映射后得到的图像，它可以帮助我们更好的理解三角函数的性质和应用。
二、三角函数图像的平移平移是指在坐标系中把图形沿着固定的方向移动一定的距离，平移前后图形形状不会改变，只是位置改变了。
对于三角函数图像的平移，其实就是在自变量上加或减一个常数，或在函数值上加或减一个常数，使得图像整体向左、向右、向上或向下平移。
这样可以使得图像的位置在坐标系上发生变化，但是形状不会发生变化。
三角函数图像的平移可以用下列公式来描述：1、正弦函数图像的平移设f(x)为正弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
2、余弦函数图像的平移设f(x)为余弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
3、正切函数图像的平移设f(x)为正切函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
三、三角函数图像的缩放缩放是指把图形沿着某个方向缩小或放大一定的比例，缩放后图形的形状和位置都会发生变化。
三角函数图象的平移和伸缩
3得 y =A sin(x +)的图象⎯向⎯上平(⎯移kk⎯个)或单向⎯位下长⎯(k度⎯)→ 得 y = A sin(x +)+k 的图象．y = sin x纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2y = sin(x + )y = sin(2 x + )横坐标不变纵坐标伸长为原 来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y = 3sin(2x +三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x +) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，，，k 来相互转 化． A ，影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变 换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都 是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 向左(>0)或向右(0)y = sin x 的图象⎯⎯平⎯移⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)到原来的1(纵坐标不变)得 y = sin(x +)的图象 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A <1) 为原来的A 倍(横坐标不变)横坐标伸长(01)或缩短(1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的1(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移⎯个⎯单位⎯⎯→得 y = A sin x (x +)的图象⎯⎯平⎯移k ⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = A sin(x +)+k 的图象．纵坐标不变 y = sin x横坐标缩短 为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变y = 3sin(2x + )纵坐标伸长为原 3来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin2x + π+1的图象．解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π的图象；②将所得 图象的横坐标缩小到原来的1，得y =sin2x +π的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin2x + π的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2x + π的2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．得 y = A sin x 的图象y = sin2 xy = sin(2x + )说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由y =sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象 的解析式是y = sin 2 x + π 而不是y = sin 2x + π ，把y = sin x + π 的图象的横坐标缩小到原来的1 ，得到 的函数图象的解析式是y = sin 2x + π 而不是y = sin 2 x + π ．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将y =sin2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos 2x - π的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．=cos 2x -2a - π = cos 2 -2 - 2根据题意，有 2 x - 2a - π = 2 x - π ，得 a =-π ．24 8 所以将y = sin 2x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数y = cos 2x - π 的图象．解： 有y = cos2( x - a ) - π y = sin2 x = cos在y =中以 x - a 代 x ，。
三角函数的平移伸缩变换规律
三角函数的平移伸缩变换规律三角函数是数学中非常重要的一部分，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在三角函数中，平移和伸缩变换是非常常见的操作，通过对三角函数的平移和伸缩变换，我们可以得到不同的函数图像，从而更好地理解和分析函数的性质。
接下来，我们将详细介绍三角函数的平移伸缩变换规律。
首先，让我们来了解一下什么是三角函数的平移和伸缩变换。
在数学中，平移变换是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移，而伸缩变换则是指对函数图像进行拉伸或压缩。
对于三角函数而言，平移和伸缩变换会改变函数图像的周期、振幅、相位等性质。
对于正弦函数和余弦函数而言，它们的平移和伸缩变换规律如下：1. 正弦函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*sin(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A控制振幅的变化，当|A|>1时，振幅增大；当0<|A|<1时，振幅减小。
B控制周期的变化，周期T=2π/|B|。
C控制相位的变化，向右平移C个单位；向左平移-C个单位。
D控制上下平移，向上平移D个单位；向下平移-D个单位。
2. 余弦函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*cos(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A、B、C、D的作用与正弦函数相似，只是对于余弦函数而言，A控制振幅的变化，B控制周期的变化，C控制相位的变化，D控制上下平移。
除了正弦函数和余弦函数外，切线函数和余切函数也有类似的平移和伸缩变换规律：3. 切线函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*tan(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A控制纵向拉伸或压缩。
B控制周期的变化，周期T=π/|B|。
C控制横向平移。
D控制上下平移。
4. 余切函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*cot(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A、B、C、D的作用与切线函数相似，只是对于余切函数而言，A控制纵向拉伸或压缩，B控制周期的变化，C控制横向平移，D控制上下平移。
三角函数的伸缩变换与平移变换
三角函数的伸缩变换与平移变换1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个有趣的话题，那就是三角函数的伸缩变换和平移变换。
听起来是不是有点晦涩，但别担心，咱们慢慢来，轻松讲解。
想象一下，三角函数就像是一个调皮的小孩，它总是喜欢玩各种变形游戏，不信你看看，正弦、余弦、正切，它们都能搞出不少花样来。
咱们先来看看这些变换都是什么吧，别着急，咱们一步一步来。
2. 伸缩变换2.1 什么是伸缩变换首先，咱们得了解什么是伸缩变换。
简单来说，就是把图像放大或缩小。
这就像你在照镜子时，调节镜子的位置，让自己变得更高或更矮。
比如说，如果你有一个正弦函数 ( y = sin(x) )，如果把它的幅度加大，比如变成 ( y = 2sin(x) )，那么它的波峰就高了，波谷也低了，整个图像就像是喝了兴奋剂一样，蹭蹭往上蹿，变得活泼多了。
2.2 伸缩的感觉再说个例子，如果把它的幅度缩小，比如变成 ( y = 0.5sin(x) )，那么图像就像是被压扁了一样，波峰和波谷都不那么明显，感觉像是被子弹压得没有了气息。
不过，虽然看起来不那么张扬，但其实它的性格依然在，只是低调了很多。
所以啊，伸缩变换就像是给三角函数穿上了不同风格的衣服，让它在不同场合下都能发挥自己的魅力。
3. 平移变换3.1 平移的魔法接下来，我们再来说说平移变换。
这一招就像是把图像往左或往右移动，简直是个魔法师！比如，把正弦函数 ( y = sin(x) ) 往右移动 ( frac{pi{2 ) 的话，就变成了 ( y =sin(x frac{pi{2) )，这时候它就变成了余弦函数 ( y = cos(x) )。
是不是很神奇？就像是给小孩换了个地方玩耍，结果发现他变得更开心了。
3.2 左右平移的感受而且，平移不仅可以往右移动，也可以往左移动。
比如，往左移动 ( frac{pi{2 )，那么就是 ( y = sin(x + frac{pi{2) )，这又是一番风味。
三角函数的平移与伸缩
三角函数的平移与伸缩三角函数在数学中占据着重要的地位，其在几何、物理、工程等各个领域都有广泛的应用。
而三角函数的平移与伸缩是对原本的函数图像进行操作，使其在坐标系中发生移动和变形。
本文将探讨三角函数的平移与伸缩，以及其对函数图像的影响。
1. 平移变换平移是指将函数图像沿着坐标系的横轴或纵轴方向进行移动。
对于正弦函数y = sin(x)和余弦函数y = cos(x)，平移操作可以通过改变自变量x发生。
如果横轴上的平移量为a，那么正弦函数的平移变换可以表示为y = sin(x - a)，余弦函数的平移变换可以表示为y = cos(x - a)。
这样，原本位于x轴上的函数图像将平移至新的位置。
2. 伸缩变换伸缩是指通过改变函数图像在坐标系中的大小和形状来实现。
伸缩操作可以通过改变函数的自变量或因变量进行。
对于正弦函数和余弦函数，分别称为sine函数和cosine函数，它们的伸缩变换形式可以表示为y = A*sin(Bx)和y = A*cos(Bx)。
其中，A和B分别代表着振幅和周期。
振幅A决定了函数图像在纵向上的幅度，而周期B则决定了函数图像在横向上的重复性。
当A增大时，函数图像的“峰”和“谷”之间的距离增大，振幅变大；反之，当A 减小时，振幅变小。
当B增大时，函数图像在横轴方向上的周期变长，每个周期内包含更多的“峰”和“谷”；反之，当B减小时，周期变短，每个周期内的“峰”和“谷”减少。
综合平移和伸缩，我们可以得到更加复杂的三角函数的变换。
例如对于正弦函数y = sin(x)进行平移和伸缩的组合操作，可以表示为y =A*sin(B(x - C)) + D。
其中C为平移量，A为伸缩因子，D为上下方向的平移量。
同样地，对于余弦函数也可以进行类似的操作。
三角函数的平移与伸缩在实际应用中起到了重要的作用。
它们能够改变函数图像在坐标系中的位置和形状，进而影响到相关问题的解决。
例如在物理学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述周期性现象，如电磁波的传播及机械振动等。
三角函数的平移伸缩变换
三角函数的平移伸缩变换
三角函数可以通过平移、伸缩来进行变换。
平移指的是将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离。
伸缩指的是将函数图像沿着横轴或纵轴方向拉伸或缩小。
以正弦函数为例，设其图像为y=sin(x)，则有以下几种变换：
1. 平移
平移指的是将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离。
这种变换可以用一个参数来表示，记为h和k。
其中h表示横向平移的距离，k表示纵向平移的距离。
平移后的函数为y=sin(x-h)+k。
2. 垂直伸缩
垂直伸缩指的是将函数图像沿着纵轴方向拉伸或缩小。
这种变换可以用一个参数来表示，记为a。
垂直伸缩后的函数为y=a*sin(x)。
当a>1时，函数图像沿着纵轴方向被拉伸，函数的振幅增大；当0<a<1时，函
数图像沿着纵轴方向被缩小，函数的振幅减小。
3. 水平伸缩
水平伸缩指的是将函数图像沿着横轴方向拉伸或缩小。
这种变换可以用一个参数来表示，记为b。
水平伸缩后的函数为y=sin(b*x)。
当b>1时，函数图像沿着横轴方向被缩短，函数的周期变小；当0<b<1时，函数图像沿着横轴方向被拉长，函数的周期变大。
4. 综合变换
完整的三角函数平移伸缩变换包含了垂直伸缩、水平伸缩、横向平移、纵向平移四种变换。
对于正弦函数而言，其综合变换的表达式为：
y=a*sin(b*(x-h))+k
其中，a表示垂直伸缩的参数，b表示水平伸缩的参数，h和k表示横向和纵向平移的参数。
高中三角函数的平移变换 讲解+习题
三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
1.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ D ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( C )A sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+，x R ∈5.为了得到函数的图像，只需把函数的图像( B )（A ）向左平移个长度单位 （B ）向右平移个长度单位 （C ）向左平移个长度单位 （D ）向右平移个长度单位 6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象( A )A 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于( B ) .(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于（ D ） A ．6π B ．56π C. 76π D.116π9.若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为( D )A ．16B.14C.13D.1210.设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于C （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）911.将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ） A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π12.将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是( A )A. π125B. π125-C. π1211D. 1112π-13.把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ C ） A ．（1－y ）sin x +2y －3=0 B ．（y －1）sin x +2y －3=0 C ．（y +1）sin x +2y +1=0D ．－(y +1)sin x +2y +1=0解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。
三角函数平移变换方法(重要)
三角函数平移变换问题的简易判定三角函数中的正弦、余弦在水平方向上的平移变换、涉及伸缩的平移变换问题是高考命题的热点之一，它主要以选择题的形式出现，为此本文将价绍能迅速、准确做出断定的简易方法.先来看问题：sin()y A x ωϕ=+的图象可由sin()y A x ωθ=+（0,0A ω>>）的图象作怎样的变换得到？易知sin()y A x ωθ=+的图象上所有的点都向左（0ϕθω->）或向右（0ϕθω-<）平移θϕωω-个长度单位得到sin(())y A x ϕθωθω-=++，即sin()y A x ωϕ=+的图象.而()ϕθωω---中的θω-、ϕω-可分别看作令sin()y A x ωθ=+和sin()y A x ωϕ=+中“角”的位置的代数式值为0所求得的x 的值.显然点(,0)ϕω-是所得图象上与原来图象上的点(,0)θω-对应，(,0)θω-是被移动的点（本文约定被告移动的点为“起”），而(,0)ϕω-是所得的点（本文约定移动得到的点为“终”），要从点(,0)θω-到点(,0)ϕω-，得沿x 轴平移()ϕθωω---个长度单位，其余各对对应点也如此.由此，我们得到三角函数平移变换问题的第一种类型及其简易判定方法：类型一、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数相同的同名函数间的平移变换问题.简易判定方法：在判断sin()y A x ωϕ=+是由sin()y A x ωθ=+（0,0A ω>>）经过怎样的变换得到时（余弦的亦然），令0x x θωθω+=⇒=-（起），且令0x x ϕωϕω+=⇒=-（终）.为直观起见，可在x 轴上标出这两个点（注：要明确“起”和“终”），平移方向是由“起”指向“终”，平移的长度单位个数是()ϕθωω---. 例1.函数sin(2)6y x π=-的图象可由函数sin(2)3y x π=+的图象作怎样的变换得到？解：令203x π+=得6x π=-（起），令206x π-=，得12x π=-（终）显然sin(2)6y x π=-的图象可由sin(2)3y x π=+的图象向右平移()1264πππ---=个单位得到.我们再来看可转化为类型一的以下两种类型：类型二、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数相同的异名函数间的平移变换问题.（此时只要用公式sin cos()2παα=-化为同名的，即转化为类型一的问题.）例2.为了得到函数cos(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象做怎样的变换？ 解：sin 2cos(2)cos(2)22y x x x ππ==-=-，令202x π-=，得4x π=（起），令203x π+=，得6x π=-（终），显然向左平移5()4612πππ--=个长度单位即可. 类型三、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数不相同的异名函数间的平移变换问题.（此时先用公式sin cos()2παα=-将函数化为同名函数，再通过伸缩变换，转化为类型一的问题.）例3.要得到函数2y x =的图象，只需将函数2)4y x π=+的图象作怎样的变换“解：2)2sin(2)2)4244y x x x ππππ=+=--=-，将这函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得2)4y x π=-，令04x π-=，得4x π=（起），令2y x =中的“角”为零得0x =（终），显然向左平移044ππ-=个长度单位即可.注：在将异名（都是“弦”）函数转化为同名函数时，可将被变换的函数名转化，也可将得到的函数名转化；当周期不同时，必化为相同后（转化被变换的）才能找“起”和“终”练习：1 ．定义12142334a a a a a a a a =-,若函数sin 2 cos2x () 1 3x f x =,则将()f x 的图象向右平移3π个单位所得曲线的一条对称轴的方程是 （ ）A ．6x π=B ．4x π=C ．2x π=D ．x π=2 ．关于函数()=2()f x sin x -cos x cos x 的四个结论:P 1:最大值为2;P 2:把函数()221f x x =-的图象向右平移4π个单位后可得到函数2f (x )(sin x cos x )cos x =-的图象;P 3:单调递增区间为[71188k ,k ππππ++],k Z ∈; P 4:图象的对称中心为(128k ,ππ+-),k Z ∈.其中正确的结论有 （ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3 ．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A >0,ϕ<π2的图象如图所示,为了得到()sin 3g x x =的图象,只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π4个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度4．当4x π=时,函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且图像关于点(),0π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称 D ．偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 5．函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为 （ ）A ．πB ．34πC ．2πD ．4π6．函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,为了得到()sin 2g x x =的图象,则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位7．将函数 ()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位后,所得的图象对应的解析式为（ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π-8．要得到函数)23sin(-=x y 的图象,只要将函数x y 3sin =的图象（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位 9．已知函数()sin()(0)6f x x ωω=+π＞的最小正周期为4π,则（ ）A ．函数()f x 的图象关于点(,03π)对称 B ．函数()f x 的图象关于直线3x =π对称C ．函数()f x 的图象向右平移3π个单位后,图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递增10．函数f (x )A sin(x )ωϕ=+(其中A>0,2||πϕ<)的部分图象如图所示,为了得到2g(x )cos x =的图象,则只要将f (x )的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度11．若函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则ω的最大值等于（ ）A ．32 B ．23 C ．2D ．312．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A>0,2πϕ＜)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x 的图象,则只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长度单位13．右图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5[,]66ππ-上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 D ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变14．要得到函数)23sin(-=x y 的图象,只要将函数x y 3sin =的图象 （ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位 15．函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后是奇函数,则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．3B ．12-C ．12D 3。
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩河北 张军红函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-． 所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。
三角函数的平移与幅角调整
三角函数的平移与幅角调整三角函数是数学中的重要概念，用于描述周期性变化的函数。
当我们对三角函数进行平移时，函数的图像会在坐标平面上沿着x轴或y轴移动。
而幅角调整则是通过改变函数的振幅和周期来对函数进行调整。
在本文中，我们将探讨三角函数的平移与幅角调整的相关概念和应用。
首先，我们来讨论三角函数的平移。
平移指函数图像在平面上的移动，其结果是函数的图像相对于原坐标系向左、右、上或下平移。
具体而言，当我们在函数的自变量上加上或减去一个常数，可以使函数的图像在x轴上平移。
而在函数的因变量上加上或减去一个常数，则可以使函数的图像在y轴上平移。
以正弦函数为例，正弦函数的一般形式为y = A*sin(Bx + C) + D。
其中A为振幅，B为周期的倒数，C为幅角调整，D为纵向平移。
我们首先来看看C的作用。
当C为正数时，图像会沿y轴的负方向平移；当C为负数时，图像会沿y轴的正方向平移。
C的绝对值越大，平移的距离就越大。
而对于D，当D为正数时，图像会沿y轴的正方向平移；当D为负数时，图像会沿y轴的负方向平移。
D的绝对值越大，平移的距离就越大。
举例说明，假设我们有一个正弦函数y = sin(x)，如果我们在x轴上加上一个常数，例如y = sin(x + π/4)，则原函数的图像会向左平移π/4个单位。
同样地，如果我们在y轴上加上一个常数，例如y = sin(x) + 1，原函数的图像会向上平移1个单位。
在幅角调整方面，我们可以通过改变函数的振幅和周期来改变函数的形状和变化速度。
振幅表示函数图像在y轴上的变化幅度，即函数图像上下波动的高度。
周期表示函数图像在x轴上的重复模式。
调整振幅和周期可以改变函数的波动幅度和速度。
对于正弦函数y = sin(x)，振幅A表示函数图像的振动范围，即函数图像上下波动的高度。
例如，如果我们将A的值设置为2，那么函数图像的最高点将是2，最低点将是-2。
如果我们将A的值设置为0.5，函数图像的振幅将减小，波动幅度将变小。
三角函数平移的知识点总结
三角函数平移的知识点总结一、三角函数平移的基本概念1. 正弦函数和余弦函数的平移正弦函数和余弦函数的平移可以通过改变函数的自变量(x)来实现。
对于正弦函数f(x) = sin(x)和余弦函数g(x) = cos(x)来说，它们的平移操作可以分别表示为f(x + a)和g(x + a)，其中a表示在x轴上的平移距离。
当a为正数时，函数图像向左平移;当a为负数时，函数图像向右平移。
同样，如果在函数中加上一个常数b( f(x) + b 或 g(x) + b)，则代表在y 轴上的平移。
当b为正数时，函数图像上移; 当b为负数时，函数图像下移。
2. 正弦函数和余弦函数的平移公式正弦函数和余弦函数的平移公式可以表示为:f(x ± a) = sin(x ± a)g(x ± a) = cos(x ± a)f(x) ± b = sin(x) ± bg(x) ± b = cos(x) ± b这些公式表示了正弦函数和余弦函数在x和y轴上的平移操作。
通过改变a和b的数值，可以控制函数图像在坐标系中的位置，从而得到不同的函数图像。
3. 正切函数和余切函数的平移类似于正弦函数和余弦函数，正切函数和余切函数的平移操作也可以通过改变自变量来实现。
对于正切函数h(x) = tan(x)和余切函数k(x) = cot(x)来说，它们的平移操作可以分别表示为h(x + a)和k(x + a)。
同样，如果在函数中加上一个常数c( h(x) + c 或 k(x) + c)，则代表在y轴上的平移。
4. 正切函数和余切函数的平移公式正切函数和余切函数的平移公式可以表示为:h(x ± a) = tan(x ± a)k(x ± a) = cot(x ± a)h(x) ± c = tan(x) ± ck(x) ± c = cot(x) ± c这些公式表示了正切函数和余切函数在x和y轴上的平移操作。
三角函数图像平移变换
三角函数图像平移变换 之南宫帮珍创作由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才干灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变更，而不是“角变更”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变成原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变成原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（B ）(A)向右平移6π个单位长度(B)向右平移3π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所暗示的函数是CAsin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈ Csin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+，x R ∈ sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度B 向右平移8π个单位长度C 向左平移4π个单位长度D 向右平移4π个单位长度7.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于B8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin()6x π-的图象，则ϕ等于（D ）A ．6πB ．56π C. 76π D.116π()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为DA ．16 B. 14C. 13D. 12()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于C（A ）13 （B ）3（C ）6 （D ）9sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π3sin()y x θ=-的图象F按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是AA. π125B. π125-C.π1211 D.1112π-yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ C ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0D ．－(y +1)sin x +2y +1=0解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。
三角函数平移变换方法(重要)张
三角函数平移变换问题的简易判定三角函数中的正弦、余弦在水平方向上的平移变换、涉及伸缩的平移变换问题是高考命题的热点之一，它主要以选择题的形式出现，为此本文将价绍能迅速、准确做出断定的简易方法.先来看问题：sin()y A x ωϕ=+的图象可由sin()y A x ωθ=+（0,0A ω>>）的图象作怎样的变换得到？易知sin()y A x ωθ=+的图象上所有的点都向左（0ϕθω->）或向右（0ϕθω-<）平移θϕωω-个长度单位得到sin(())y A x ϕθωθω-=++，即sin()y A x ωϕ=+的图象.而()ϕθωω---中的θω-、ϕω-可分别看作令sin()y A x ωθ=+和sin()y A x ωϕ=+中“角”的位置的代数式值为0所求得的x 的值.显然点(,0)ϕω-是所得图象上与原来图象上的点(,0)θω-对应，(,0)θω-是被移动的点（本文约定被告移动的点为“起”），而(,0)ϕω-是所得的点（本文约定移动得到的点为“终”），要从点(,0)θω-到点(,0)ϕω-，得沿x 轴平移()ϕθωω---个长度单位，其余各对对应点也如此.由此，我们得到三角函数平移变换问题的第一种类型及其简易判定方法：类型一、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数相同的同名函数间的平移变换问题.简易判定方法：在判断sin()y A x ωϕ=+是由sin()y A x ωθ=+（0,0A ω>>）经过怎样的变换得到时（余弦的亦然），令0x x θωθω+=⇒=-（起），且令0x x ϕωϕω+=⇒=-（终）.为直观起见，可在x 轴上标出这两个点（注：要明确“起”和“终”），平移方向是由“起”指向“终”，平移的长度单位个数是()ϕθωω---. 例1.函数sin(2)6y x π=-的图象可由函数sin(2)3y x π=+的图象作怎样的变换得到？解：令203x π+=得6x π=-（起），令206x π-=，得12x π=-（终）显然sin(2)6y x π=-的图象可由sin(2)3y x π=+的图象向右平移()1264πππ---=个单位得到.我们再来看可转化为类型一的以下两种类型：类型二、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数相同的异名函数间的平移变换问题.（此时只要用公式sin cos()2παα=-化为同名的，即转化为类型一的问题.）例2.为了得到函数cos(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象做怎样的变换？ 解：s i n 2c o s (2)c o s (2)22y x x x ππ==-=-，令202x π-=，得4x π=（起），令203x π+=，得6x π=-（终），显然向左平移5()4612πππ--=个长度单位即可. 类型三、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数不相同的异名函数间的平移变换问题.（此时先用公式sin cos()2παα=-将函数化为同名函数，再通过伸缩变换，转化为类型一的问题.）例3.要得到函数2cos y x =的图象，只需将函数2sin(2)4y x π=+的图象作怎样的变换“解：2sin(2)2sin(2)2cos(2)4244y x x x ππππ=+=--=-，将这函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得2cos()4y x π=-，令04x π-=，得4x π=（起），令2cos y x =中的“角”为零得0x =（终），显然向左平移044ππ-=个长度单位即可.注：在将异名（都是“弦”）函数转化为同名函数时，可将被变换的函数名转化，也可将得到的函数名转化；当周期不同时，必化为相同后（转化被变换的）才能找“起”和“终”练习：1 ．定义12142334a a a a a a a a =-,若函数sin 2 cos2x () 1 3x f x =,则将()f x 的图象向右平移3π个单位所得曲线的一条对称轴的方程是 （ ）A ．6x π=B ．4x π=C ．2x π=D ．x π=2 ．关于函数()=2()f x s i n x -c o s x c o s x 的四个结论:P 1:最大值为2;P 2:把函数()221f x s i n x =-的图象向右平移4π个单位后可得到函数2f (x )(sin x cos x )cos x =-的图象;P 3:单调递增区间为[71188k ,k ππππ++],k Z ∈; P 4:图象的对称中心为(128k ,ππ+-),k Z ∈.其中正确的结论有 （ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3 ．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A >0,ϕ<π2的图象如图所示,为了得到()sin 3g x x =的图象,只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π4个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度4．当4x π=时,函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且图像关于点(),0π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称 D ．偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 5．函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为 （ ）A ．πB ．34πC ．2πD ．4π6．函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,为了得到()sin 2g x x =的图象,则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位7．将函数 ()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位后,所得的图象对应的解析式为（ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π-8．要得到函数)23sin(-=x y 的图象,只要将函数x y 3sin =的图象（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位 9．已知函数()sin()(0)6f x x ωω=+π＞的最小正周期为4π,则（ ）A ．函数()f x 的图象关于点(,03π)对称 B ．函数()f x 的图象关于直线3x =π对称C ．函数()f x 的图象向右平移3π个单位后,图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递增10．函数f (x )A sin(x )ωϕ=+(其中A>0,2||πϕ<)的部分图象如图所示,为了得到2g(x )cos x =的图象,则只要将f (x )的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度11．若函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则ω的最大值等于（ ）A ．32 B ．23 C ．2D ．312．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A>0,2πϕ＜)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x 的图象,则只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长度单位13．右图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5[,]66ππ-上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 D ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变14．要得到函数)23sin(-=x y 的图象,只要将函数x y 3sin =的图象 （ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位 15．函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后是奇函数,则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．32。
三角函数平移伸缩变换口诀
三角函数平移伸缩变换口诀
三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数平移伸缩变换口诀：左加右减，上加下减。
平移伸缩变换口诀
左加右减
一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。
当点向右平移时，横坐标变大，当点向左平移时，横坐标变小，这就是平移的左加右减。
上加下减
一个点作上下平移时，横坐标不发生任何改变，而是纵坐标在发生变化。
当点向上平移时，纵坐标变大，当点向下平移时，纵坐标变小，这就是平移的上加下减。
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三角函数平移变换问题的简易判定三角函数中的正弦、余弦在水平方向上的平移变换、涉及伸缩的平移变换问题是高考命题的热点之一，它主要以选择题的形式出现，为此本文将价绍能迅速、准确做出断定的简易方法.先来看问题：sin()y A x ωϕ=+的图象可由sin()y A x ωθ=+（0,0A ω>>）的图象作怎样的变换得到易知sin()y A x ωθ=+的图象上所有的点都向左（0ϕθω->）或向右（0ϕθω-<）平移θϕωω-个长度单位得到sin(())y A x ϕθωθω-=++，即sin()y A x ωϕ=+的图象.而()ϕθωω---中的θω-、ϕω-可分别看作令sin()y A x ωθ=+和sin()y A x ωϕ=+中“角”的位置的代数式值为0所求得的x 的值.显然点(,0)ϕω-是所得图象上与原来图象上的点(,0)θω-对应，(,0)θω-是被移动的点（本文约定被告移动的点为“起”），而(,0)ϕω-是所得的点（本文约定移动得到的点为“终”），要从点(,0)θω-到点(,0)ϕω-，得沿x 轴平移()ϕθωω---个长度单位，其余各对对应点也如此.由此，我们得到三角函数平移变换问题的第一种类型及其简易判定方法：类型一、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数相同的同名函数间的平移变换问题.简易判定方法：在判断sin()y A x ωϕ=+是由sin()y A x ωθ=+（0,0A ω>>）经过怎样的变换得到时（余弦的亦然），令0x x θωθω+=⇒=-（起），且令0x x ϕωϕω+=⇒=-（终）.为直观起见，可在x 轴上标出这两个点（注：要明确“起”和“终”），平移方向是由“起”指向“终”，平移的长度单位个数是()ϕθωω---. 例1.函数sin(2)6y x π=-的图象可由函数sin(2)3y x π=+的图象作怎样的变换得到解：令203x π+=得6x π=-（起），令206x π-=，得12x π=-（终）显然sin(2)6y x π=-的图象可由sin(2)3y x π=+的图象向右平移()1264πππ---=个单位得到.我们再来看可转化为类型一的以下两种类型：类型二、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数相同的异名函数间的平移变换问题.（此时只要用公式sin cos()2παα=-化为同名的，即转化为类型一的问题.）例2.为了得到函数cos(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象做怎样的变换解：sin 2cos(2)cos(2)22y x x x ππ==-=-，令202x π-=，得4x π=（起），令203x π+=，得6x π=-（终），显然向左平移5()4612πππ--=个长度单位即可. 类型三、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数不相同的异名函数间的平移变换问题.（此时先用公式sin cos()2παα=-将函数化为同名函数，再通过伸缩变换，转化为类型一的问题.）例3.要得到函数y x =的图象，只需将函数)4y x π=+的图象作怎样的变换“解：)sin(2))4244y x x x ππππ=+=--=-，将这函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得)4y x π=-，令04x π-=，得4x π=（起），令y x =中的“角”为零得0x =（终），显然向左平移044ππ-=个长度单位即可.注：在将异名（都是“弦”）函数转化为同名函数时，可将被变换的函数名转化，也可将得到的函数名转化；当周期不同时，必化为相同后（转化被变换的）才能找“起”和“终”练习：1 ．定义12142334a a a a a a a a =-,若函数sin 2 cos2x () 1 x f x =,则将()f x 的图象向右平移3π个单位所得曲线的一条对称轴的方程是 （ ）A ．6x π=B ．4x π=C ．2x π=D ．x π=2 ．关于函数()=2()f x sin x -cos x cos x 的四个结论:P 1:最大值为;P 2:把函数()21f x x =-的图象向右平移4π个单位后可得到函数2f (x )(sin x cos x )cos x =-的图象;P 3:单调递增区间为[71188k ,k ππππ++],k Z ∈; P 4:图象的对称中心为(128k ,ππ+-),k Z ∈.其中正确的结论有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3 ．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A >0,ϕ<π2的图象如图所示,为了得到()sin 3g x x =的图象,只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移π4个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 4．当4x π=时,函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且图像关于点(),0π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称D ．偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 5．函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为 （ ）A ．πB ．34πC ．2πD ．4π6．函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,为了得到()sin 2g x x =的图象,则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位7．将函数 ()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位后,所得的图象对应的解析式为（ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π-8．要得到函数)23sin(-=x y 的图象,只要将函数x y 3sin =的图象（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位 9．已知函数()sin()(0)6f x x ωω=+π＞的最小正周期为4π,则（ ）A ．函数()f x 的图象关于点(,03π)对称 B ．函数()f x 的图象关于直线3x =π对称C ．函数()f x 的图象向右平移3π个单位后,图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递增10．函数f (x )A sin(x )ωϕ=+(其中A>0,2||πϕ<)的部分图象如图所示,为了得到2g(x )cos x =的图象,则只要将f (x )的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度11．若函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则ω的最大值等于（ ）A ．32 B ．23 C ．2D ．312．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A>0,2πϕ＜)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x 的图象,则只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位13．右图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5[,]66ππ-上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 D ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变14．要得到函数)23sin(-=x y 的图象,只要将函数x y 3sin =的图象 （ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位 15．函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后是奇函数,则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．32。