现代信号处理方法1-3

1.3 时频分布及其性质

1.3.1 单分量信号与多分量信号

从物理学的角度看，信号可以分为单分量信号和多分量信号两类，而时－频分布的一个主要优点就是能够确定一个信号是单分量的还是多分量的。所谓单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一个频率窄带的信号。一般地，单分量信号看上去只有一个山峰（如图 1.2.2），图中所示的是信号)()()(t j e t A t s ϕ=的时－频表示，在每一个时间，山峰的峰值有明显的不同。如果它是充分局部化的，那么峰值就是瞬时频率；山峰的宽度就是瞬时带宽。一般地，如果)(t z 是信号)(cos )()(t t a t s φ=的解析信号，)(f Z 是)(t z 对应的频谱，

图1.2.2 单分量信号时－频表示及其特征

则其瞬时频率定义如下：

)]([arg 21)(t z dt

d

t f i π=

（1.2.1） 与瞬时频率对偶的物理量叫做群延迟，定义如下： )]([arg 21)(f Z dt

d

f g πτ=

（1.2.2） 而多分量信号是由两个（或多个）山峰构成, 每一个山峰都有它自己不同的瞬时

频率和瞬时带宽。（如图1.2.3所示）。

图1.2.3 多分量信号时－频表示及特征

1.3.2 时－频分布定义

Fourier 变换的另一种形式

⎰∞

∞

--=dt e t s f S ft j π2)()(

⎰∞

∞

-=df

e f S t s tf j π2)()(

Cohen 指出，尽管信号)(t z 的时－频分布有许多形式，但不同的时－频分布只是体现

在积分变换核的函数形式上，而对于时－频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上，因此它可以用一个统一形式来表示，通常把它叫做Cohen 类时－频分布，连续时间信号)(t z （)(t z 为连续时间信号)(t s 的解析信号）的Cohen 类时－频分布定义为

ττφτττπdudvd e v u z u z f t P vu f vt j )

(2*),()2

1()21(),(-+-∞

∞

-∞

∞

-∞

∞

--+=⎰⎰

⎰

（1.3.1） 式中),(v τφ称为核函数。原则上，核函数可以是时间和频率两者的函数，但常用的核函数与时间和频率无关，只是时延τ和频偏v 的函数，即核函数具有时、频移不变性。这个定义提供了全面理解任何一种时－频分析方法的通用工具，而且能够在信号分析中将信号的一种时－频表示及其性质同另一种时－频表示及其性质联系在一起。进一步可将（1.3.1）简记为

ττφττπdvd e v v A f t P f vt j z )(2),(),(),(+-∞

∞

-∞

∞

-⎰

⎰

=

（1.3.2）

式中),(v A z τ是双线性变换（双时间信号）)2

()2(),(*τ

τ

τ-+

=t z t z t k z 关于时间t 作

Fourier 反变换得到的一种二维时－频分布函数，称为模糊函数，即

dt e t z t z v A tv j z πτ

ττ2*)2

()2(),(-+=⎰∞

∞-

（1.3.3）

因为Cohen 类时－频分布是以核函数加权的模糊函数的二维Fourier 变换，所以Cohen 类

时－频分布又称为广义双线性时－频分布。

两个连续信号)(t x ，)(t y 的互时－频分布定义为：

⎰⎰⎰∞

∞-∞

∞--+-∞

∞

--+=

ττφτττπdudvd e v u y u x f t P vu f vt j xy )

(2*),()2

1()21(),( ⎰

⎰

∞

∞-∞

∞

-+-=dv

d e v v A f tv j xy ττφττπ)(2),(),(

（1.3.4）

式中

du e u y u x v A vu j xy πτ

ττ2*)2

()2(),(⎰∞

∞--+= （1.3.5）

是)(t x 和)(t y 的互模函数。

两个信号之和)()()(2211t z c t z c t z +=的时－频分布定义为：

),(),(),(||),(||),(122121,*

12,*212221f t P c c f t P c c f t P c f t P c f t P z z z z z z z +++= （1.3.6）

1.3.3 核函数及其特性

在时－频分布定义中用核函数来表征信号的时－频分布有三个主要优点：首先，通过核函数的约束可以得到并研究具有确定特性的分布；其次，时－频分布的特性可以很容易地通过考察核函数来确定；最后，对于给定的核函数，可以很容易求得信号的时－频分布。

在（1.3.1）中若取核函数1),(=v τφ，则该定义式就退化为一种重要的时－频分布，即

Wigner-Ville 分布。当核函数),(v τφ不等于1时，可以理解为是模糊域的滤波函数，即对

模糊函数),(v A z τ进行滤波。若核函数),(v τφ是乘积v τ的函数形式，则称),(v τφ为乘积核，通常记为)(v PR τφ。

对（1.3.2）作Fourier 反变换，可得到由给定时－频分布求其核函数的公式：

⎰⎰⎰

⎰⎰

∞

∞

-∞

∞-∞

∞

-+∞

∞-∞

∞

-+-+=

=

du e u z u z dtdf

e f t P v A dtdf e f t P v vu

j f tv j z f tv j πτπτπτ

τττφ2*)(2)(2)2

()2(),()

,(),(),( （1.3.7）

结合时－频分布所希望的数学特性（表1.3.2），可以推导出核函数),(v τφ必须满足如下特性：

1、边缘特性：为使信号时－频分布满足时间、频率边缘特性，核函数必须满足 时间边缘，1),0(=v φ （1.3.8） 频率边缘，1)0,(=t φ （1.3.9）

2、能量归一化：为使时－频分布在不一定满足边缘特性情况下总能量归一，核函数必须满足

1)0,0(=φ （1.3.10） 3、实值性：为了使时－频分布是实的，核函数必须满足

),(),(*v v --=τφτφ （1.3.11）

4、时、频移不变性：为使时－频分布具有时、频移不变性，则核函数必须是与时间和频率不相关的。

5、尺度不变性：为使时－频分布具有尺度不变性，核必须是一个乘积核，即

)(),(v v τφτφ= （1.3.12）

6、有限支撑性：为使时－频分布满足有限支撑性，核函数必须满足

弱有限支撑：

时｜，当｜||20),(t dv e v jvt ≤=⎰∞

∞--ττφ （1.3.13） 时｜，当｜||20),(ωττφτω≤=⎰

∞

∞

--v d e v j （1.3.14）

强有限支撑：

时｜，当｜||20),(t dv e v jvt ≠=⎰

∞

∞

--ττφ （1.3.15）