2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期期中数学试卷 (解析版)
湖北省荆州市 - 高一数学上学期期中考试 理
高一数学上学期期中考试 理科目：数学（理科） 考试时间：120分钟一．选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分；每小题的四个选项中只有一个是正确的.）1、设全集{}1,2,3,4,5U =，{}123A =，，，{}3,4,5B =则()U A B ⋂=ð（ ）A.{}3B. {}1,2,4,5C. {}1,2,3,4,5D. ∅2、定义集合运算A ◇B ={}|,,c c a b a A b B =+∈∈，设{}0,1,2A =，{}3,4,5B =，则集合A ◇B 的子集个数为（ ）A .32B .31C .30D .143、设211()21x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，，，则((2))f f -的值为（ ）A ．-3B ．4C ．5D ．94、已知113212111,,log 233a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 之间的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．c b a >>5、函数(01)xy a a a =>≠且，在[1，2]上的最大值与最小值的差为2a，则a 的值为（ ） A ．12B ．32C ．23或2 D ．12或326、下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）A.1y x =+B.3y x =-C.1y x=-D.||y x x = 7、已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，则函数(41)f x +的定义域为（ ）A.[3,5]B.1[,1]2C.[5,9]D.1[0,]28、下列函数中在区间)2,1(上有零点的是（ ）A. 2()32f x x x =-+B. 3()23f x x x =-+C. ()lg 23f x x x =+-D. ()35x f x e x =+-9、如右图所示为函数①x y a =、②x y b =、③log c y x =、④log d y x =的图像，其中a b c d 、、、均大于0且不等于1，则a b c d 、、、大小关系为（ ）A. a b c d >>>B.a b d c >>>C. b a c d >>> D .b a d c >>>10、已知函数()f x =|2(35)||1x m x +++|的定义域为R ，且函数有八个单调区间，则实数m 的取值范围为（ ） A. 53m <-B. 73m <-或1m >- C. 73m <- D. 53m <-或1m >-二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.） 11、m n ∈R ，，集合,1m P n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{},0Q n =，若P Q =，则m n +的值等于________； 12、二次函数()f x 满足()(1)22f x f x x --=-且(0)1f =．则函数()3y f x =-的零点是 ；13、已知2()2y f x x =+为奇函数，且()()1g x f x =+. 若(2)2f =，则(2)g -= ；14、已知01a a >≠且，函数()log 23a y x =-P ， 若P 在幂函数()f x 的图象上，则()8f =__________； 15、给出下列命题：①()f x =②()f x x =和2()x f x x=为同一函数；③已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；④函数221x y x =+的值域为[,44-. 其中正确命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、 (本小题满分12分) 化简求值：（1）211ln 363221(6)334e -++（2）26666(1log 3)(log 2)(log 18)log 4-+⋅17、(本小题满分12分) 已知集合11|2168x A x +⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|131B x m x m =+≤≤-. （1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.18、(本小题满分12分) 已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x=-+. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[1,](1)a a ->-上的值域.19、(本小题满分12分) 已知x axxx g a f x f 43)(,18)2(,3)(-==+=并且的定义域为区间[1,1]-.（1）求函数)(x g 的解析式；（2）用定义证明)(x g 在[1,1]-上为单调递减函数；（3）若函数()4y f x =-和()g x 值域相同，求()4y f x =-的定义域.20、(本小题满分13分)如图，有一块矩形草地，要在这块草地上开辟一个内接四边形建体育设施（图中阴影部分），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a （a >2），BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，阴影部分面积为y .（1）求y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当x 为何值时，阴影部分面积最大？最大值是多少？21、(本小题满分14分) 函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈，有()0f x >； ②对任意x 、y R ∈，有()[()]y f xy f x =； ③1() 1.3f >（1）求(0)f 的值；（2）求证：()f x 在R 上是单调增函数；（3）若(2)2f =，且x 满足1()()(2)2f f x f ≤≤，求函数2212(2log )(2log )y f x f x =+的最大值和最小值.参考答案科目：数学（理科） 考试时间：120分钟一．选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分；每小题四个选项中只有一个正确.）二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.）综上所述43m ≤................12分 18、（1）当0x >时，2()2f x x x =-+ ，又()f x 为奇函数，则当0x <时，22()()(2)2f x f x x x x x =--=---=+ ，又(0)0f =故222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩..............6分（2）结合()f x 的图像，(1)1f -=-，由0()1a f a >⎧⎨=-⎩得1a =+ (7)分当11a -<≤时，函数在[1,]a -单调递增， 值域为[1,()]f a -又20,()2x f x x x >=-+，20,()2x f x x x <=+ 则10a -<≤时，值域为2[1,2]a a -+01a <≤时，值域为2[1,2]a a --+ (9)分19、（1）23183,3)(,18)2(2=⇒=∴==++a a xx f a f ，()(3)424,[1,1]a x x x x g x x ∴=-=-∈- (4)分（2）()24,[1,1]xxg x x =-∈-， 任取实数12,x x 满足1211x x -≤<≤11221122122121121222()()24(24)242422(2)(2)(22)(221)x x x x x x x x x x x x x x x x g x g x -=---=--+=-+-=-+-2xy =为单调递增函数，1211x x -≤<≤，则21220x x->12111122,2222x x x -≥=>≥，则11221x x +> 则12()()0g x g x ->，于是()g x 在[1,1]-上为单调递减函数 ...............8分20、：（1）S ΔAEH ＝S ΔCFG ＝21x 2，S ΔBEF ＝S ΔDGH ＝21(a －x )(2－x )。
2020-2021学年湖北荆州高一上数学期中试卷
2020-2021学年湖北荆州高一上数学期中试卷一、选择题1. 已知集合A={x|x−5x−2≤0,x∈N}，则集合A的非空真子集个数为( )A.7B.6C.4D.52. 命题“∃x∈R，使得1<y≤2“的否定形式是( )A.∀x∈R，有1<y≤2B.∃x∉R，使得1<y≤2C.∃x∈R，使得y≤1或y>2D.∀x∈R，有y≤1或y>23. 已知f(√x+1)=x+2√x，则f(x)的解析式为( )A.f(x)=x2−4x−1(x≥1)B.f(x)=x2−4x−1C.f(x)=x2−1D.f(x)=x2−1(x≥1)4. 函数f(x)=x+1x−1在区间[2,6]上的最大值为( )A.5 3B.2C.3D.755. 已知幂函数f(x)=(n2−n−1)x n2+3n 是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，则n的值为( )A.−1或2B.2C.−2D.−16. 函数y=√3−x+2ln(x−1)的定义域为( )A.(−∞,1)∪[3,+∞）B.(1,2)∪(2,3)C.(1,2)∪(2,3]D.(1,3]7. 已知a=log20.1，b=20.1，c=0.21.1，则a，b，c的大小关系是( )A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a8. 已知集合A={x|ax2+2x+1=0}，若集合A为单元素集，则a的取值为( )A.−1或0或1B.0或1C.1D.−19. 若函数f(x)={ax(x>1)，(2−3a)x+1(x≤1)在R上是减函数，则实数a的取值范围( )A.(23,+∞) B.(23,34] C.(23,1) D.[34,1)10. 已知函数f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，在区间(−1,0]上单调递增，若实数a满足f(a−1)+f(a)<0，则实数a的取值范围是( )A.(0,12) B.[0,12) C.(−∞,12) D.(12,+∞)二、多选题已知log2a>log2b，则下列不等式一定成立的是( )A.2a>3bB.2a−b>1C.1a<1bD.log2(a−b)>0若函数f(x)是[−m,m](m>0)上的奇函数，且函数g(x)=3f(x)+1在[0,m]上的最大值为7，最小值为−2，则函数g(x)在区间[−m,0]上有( )A.最小值为−5B.最小值为−4C.最大值为4D.最大值为5三、填空题函数f(x)=2a x+2−1(a>0且a≠1)的图象所过定点为________.已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y≥m2−2m恒成立，则实数m的取值范围是________.若定义∀x1，x2，min{x1, x2}表示其两个数中的较小者，若f(x)=2−x2，g(x)=x，则min{f(x), g(x)}的最大值为________.已知函数g(x)={31−x(x≤0),log2x(x>0),若f(a)>3，则实数a的取值范围为________.四、解答题计算：(1)(94)12−(−2020)0+(827)−23+(1−13)−2−√(−4)2；(2)log535+log√5√10−1log145−2log√212+e ln2.若集合A={x|1<x≤4}，B={x|2a≤x<3−a} .(1)若a=−1，求A∪B；(2)命题p:x∈A，命题q:x∈B，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=x2+2(k−1)x+4.(1)若函数f(x)在区间[2,4]上是单调的，求实数k的取值范围；(2)若f(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立，求实数k的取值范围．已知生产某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．其中生产成本C（万元）与生产量x（百件）间的函数关系是C=x+3，销售收入S（万元）与生产量x（百件）间的函数关系是S={3x+18x−8+5(0<x≤6)，14(x>6).(1)将商品的利润y表示为生产量x的函数；(2)为使利润最大化，应如何确定生产量.已知函数f(x)=log a(x+1)−log a(1−x)，a>0且a≠1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性并予以证明；(3)若a>1，解关于x的不等式f(x)>0.已知函数f(x)=2a x+a−42a x+a(a>0且a≠1）是定义在R上的奇函数.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈(0,1]时，m⋅f(x)≥2x−2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖北荆州高一上数学期中试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】分式不体式目解法子明与织填集速个数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】全称命因与特末命题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】函数于析式偏速站及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数因值的十用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】指数来数与慢数太数的截系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】集合中都连的个数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用已知都数环单梯遗求参数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】函数单验家的性质函数奇明性研性质其他不三式的解州【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函根的萄送木其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】指数体数白单调员与说殊点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函根的萄送木其几何意义函数来定义雨题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】根式与使数指数如色见化及其化简运算对数都北算性质对数根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱集合体系拉的参污取油问题根据较盛必食例件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】已知都数环单梯遗求参数问题函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数函表的透义域函数奇三性的判刺对数函数表础象与性质其他不三式的解州【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数的较域及盛求法不等式都特立问题函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期期中数学试题解析
绝密★启用前2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U ＝{}4x x ≤，A ＝{}{}23,32x x B x x -<<=-≤≤，则UU ()()A B ⋃＝（）A ．(,2](2,)-∞-⋃+∞B ．(,2](2,4]-∞-⋃C ．(,2)[2,4]-∞-⋃D ．(3,4]-答案：B【分析】根据全集U 求出A 的补集，找出A 补集与B 补集的并集即可． 解：解：全集{|4}U x x =，{|23}A x x =-<<，{|32}B x x =-，{|2U A x x ∴=-或34}x ，{|3UB x x =<-或24}x <()()(,2](2,4]U U A B ∴=-∞-⋃．故选：B ．2．下列从集合A 到集合B 的对应中，是函数的是（） A ．{}{}0,3,0,1,:2A B f x y x==→=B．{}{}2,0,2,4,:A B f x y x =-=→=C ．{}21,0,,:A R B y y f x y x==>→= D ．,A R B R ==，:21f x y x →=+ 答案：D【分析】根据映射的定义，逐一判断四个答案中的对应，是否满足映射的定义，可得答案．解：解：A 中对应，当3x =时B 中无对应元素，故不是映射；B 中对应，A 中任一元素的绝对值在B 中均无对应元素，故不是映射；C 中对应，当0x =时，B 中无对应元素，故不是映射；D 中对应，任意x A R ∈=，都有唯一21y x B R =+∈=与之对应，故是映射；故选：D ．3．若2(1)g x x =-，221[()]1xf g x x-=+，则(0)f =（） A ．1 B ．0 C ．35D ．12答案：C【分析】令()0g x =，求出x ，代入[()]f g x ，即可求出结果. 解：令()120g x x =-=，则12x =， 所以22131324(0)551142f ⎛⎫- ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故选：C.4．已知函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则函数(13)f x -的定义域是（） A ．21(,)33- B ．11(,)63-C ．(0,3)D ．7(,1)2-答案：A【分析】先求出函数()f x 的定义域(0,3)，再求出函数(13)f x -的定义域.解：函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则302x <<，所以023x << 所以函数()f x 的定义域为(0,3)，则0133x <-<解得2133x -<<函数(13)f x -的定义域为21(,)33-故选:A点评：对于抽象函数定义域的求解方法：(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；(2)若已知函数()()f g x 的定义域为[]a b ，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．5．函数2()2f x x x =--在[],a b 上的值域是[]3,1-，若1b =，则+a b 的取值集合为（） A ．[]3,1--B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．[]2,1-答案：B【分析】因为函数()f x 在1x =-处取得最大值1，并且方程223x x --=-的根是3-或1，又1b =，则31a --，从而求得+a b 的取值集合． 解：解：22()2(1)1f x x x x =--=-++，1x ∴=-时，()f x 取到最大值1，方程223x x --=-的根是3x =-或1． 若1b =，则31a --，a b ∴+的取值集合围是：[2-，0]．故选：B ． 6．函数1()ax f x x a+=+在()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,+∞ B ．[)2,-+∞ C ．()2,-+∞ D ．[)()2,11,--⋃+∞答案：D【分析】根据分离常数法，得到21()a f x a x a-=++，结合函数的单调性求出a 的取值范围即可．解：解：21()a f x a x a-=++，函数1y x a=+在(2,)+∞递减， 而()f x 在(2,)+∞递增，故210a -<，解得：1a >或1a <-， 但20a +，故2a -，故a 的取值范围是[2-，1)(1-⋃，)+∞， 故选：D ．7．已知(1)y f x =+为偶函数，且()y f x =在[)1,+∞上单调递增，则不等式4(2)3f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：A【分析】根据函数奇偶性，以及给定区间的单调性，得到()y f x =在(],1-∞上单调递减，将原不等式化为42113x -<-，求解即可得出结果. 解：因为(1)y f x =+为偶函数，所以(1)y f x =+关于y 轴对称， 因此()y f x =关于直线1x =对称， 又()y f x =在[)1,+∞上单调递增， 所以()y f x =在(],1-∞上单调递减， 因此由4(2)3f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭可得42113x -<-，即1213x -<， 所以112133x -<-<，则1233x <<，即不等式4(2)3f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为12,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A.8．关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（） A ．(0,4) B ．(4,0)-C ．(4,4)-D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞答案：D【分析】画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得解：数形结合法：画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得由图可得：204a a <<解得4a >或204a a >>-解得4a故选：D点评：数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断. 二、多选题 9．若110a b<<，则下列不等式中，正确的有（） A ．a b ab +< B ．a b > C ．a b < D ．2b aa b+≥ 答案：AD【分析】利用不等式的基本性质即可得出． 解：110a b<<， 0b a ∴<<，C 错误；2b aa b +>,所以2b a a b+≥，D 正确， 而0,ab a b a b >>+<， 所以B 错误，A 正确， 故选：AD点评：本题主要考查了不等关系的命题判定，考查了不等式的性质，属于中档题. 10．下列说法正确的有（）A ．函数1()f x x=在其定义域内是减函数 B ．命题“2,10x R x x ∃∈++>”的否定是“2,10x R x x ∀∈++≤” C ．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D ．若()y f x =为奇函数，则()y xf x =为偶函数 答案：BD【分析】直接结合函数的定义域，利用函数的单调性和奇偶性判定AD 的正误，利用命题的否定判断B 的正误，利用充分条件和必要条件的定义判断C 的正误. 解：选项A 中，函数1()f x x=定义域是()()00-∞∞，，+，如图所示，函数在定义域内不是连续的，在()0-∞，上是减函数，在()0+∞，上是减函数，不能说在定义域内是减函数，故错误；选项B 中，根据含有一个量词的命题的否定可知，命题“2,10x R x x ∃∈++>”的否定是是“2,10x R x x ∀∈++≤”，故正确；选项C 中，“两个三角形全等”，可推出“两个三角形相似”，反过来，“两个三角形相似”推不出“两个三角形全等”，故“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分不必要条件，故错误；选项D 中，若()y f x =为奇函数，则满足()()f x f x -=-，故函数()()y g x xf x ==中，[]()()()()()g x xf x x f x xf x g x -=--=--==，故()()y g x xf x ==是偶函数，故正确. 故选：BD.11．已知幂函数()f x x α=的图象经过点(16,4)，则下列说法正确的有（） A ．函数是偶函数 B ．函数是增函数 C ．当1x >时，()1f x >D．当120x x <<时，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭答案：BCD【分析】根据幂函数过点(16,4)，求出函数解析式，再结合幂函数的性质，逐项判断，即可得出结果.解：因为幂函数()f x x α=的图象经过点(16,4)， 所以164α=，则12α=， 所以12()f x x ==，其定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A 错；又102>，所以12()f x x =是增函数，故B 正确； 因此当1x >时，()(1)1f x f >=，故C 正确；当120x x <<时，因为12()()2f x f x +=，122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭，则22121212()()222f x f x x x x x f +⎡+⎤+⎡⎤⎛⎫-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦20=-<⎝⎭，所以1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：BCD.12．若函数y =[)0,+∞，则a 的可能取值为（） A ．0 B ．2C ．4D ．6答案：ABC【分析】根据题中条件，先讨论0a =，确定值域，判定是否满足题意；再讨论0a ≠，根据函数值域列出不等式求解，即可得出结果.解：当0a =时，0y =≥，即值域为[)0,+∞，满足题意；当0a ≠时，设2()41f x ax x =++，为使函数y =[)0,+∞， 只需2()41f x ax x =++取尽大于等于零的全体实数，即只需函数2()41f x ax x =++与x 轴有交点即可，因此20440a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得04a <≤，综上，04a ≤≤，因此ABC 都有可能取到，D 不能取到， 故选：ABC. 三、填空题13．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，2()1f x x x =++；那么()y f x =在0x <上的解析式为___________答案：2()1f x x x =-+-【分析】根据题意，若0x <，则0x ->，求出()f x -的表达式，结合函数的奇偶性分析可得答案．解：解：根据题意，若0x <，则0x ->， 则22()()()11f x x x x x -=-+-+=-+，又由()f x 为奇函数，则2()()1f x f x x x =--=-+-，故2()1f x x x =-+-， 故答案为：2()1f x x x =-+-． 14．已知1()1x f x x +=-，则135199()()()()100100100100f f f f ++++=______________答案：100【分析】分析得出(2)()2f x f x -+=得解. 解：1()1x f x x +=-211211(2)()2f x f x x x x x -+∴-+=++=--- ∴135199()()()()100100100100f f f f ++++ 1199319799101[()()][()()][()()]100100100100100100f f f f f f =+++++250100=⨯=故答案为：100．点评：由函数解析式得到(2)()2f x f x -+=是定值是解题关键.15．已知函数()f x x x =，若(21)(4),f a f a +≥-则a 的取值范围是_______ 答案：[)1,+∞【分析】根据函数解析式，先判断函数单调性，利用单调性，即可求出结果.解：因为22,0(),0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，当0x ≥时，2()f x x =显然单调递增，且()(0)0f x f ≥=；当0x <时，2()f x x =-显然也单调递增，且()(0)0f x f <=，所以()f x x x =在R 上单调递增；由(21)(4)f a f a +≥-可得214a a +≥-，解得1a ≥， 即a 的取值范围是[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞. 四、双空题16．已知正数,x y 满足2x y xy a +=+，当0a =时，x y +的最小值为_______；当2a =-时，x y +的最小值为_______答案：3+7【分析】当0a =时，则211y x+=，则212()()3x yx y x y y x y x +=++=++，利用基本不等式即可求出； 当2a =-时，2(1)1x y x +=-，则可得4131x y x x +=-++-，利用基本不等式即可求出．解：解：当0a =时，2x y xy +=，则211y x+=， 2122()()332322x y x yx y x yy x y x y x∴+=++=+++=+，当且仅当1x =+，2y =+故x y +的最小值为3+当2a =-时，22x y xy +=-，当1x =时，等式不成立，当1x ≠则2(1)01x y x +=>-， 则1x >， 2(1)44421323437111(1)x x y x x x x x x x ++=+=++=-++=+=----，当且仅当3x =时取等号，x y ∴+的最小值为7，故答案为：3+，7．点评：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 五、解答题17．记函数()f x =A ，函数()g x =(1)a <的定义域为B. （1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围. 答案：(]1,2,12⎡⎫-∞-⋃⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求函数的定义域，就是求使得根式有意义的自变量x 的取值范围，然后求解分式不等式即可；（2）因为1a <，所以一定有21a a <+，从而得到()2,1B a a =+，要保证B A ⊆，由它们的端点值的大小列式进行计算，即可求得结果. 解：（1）要使函数()f x 有意义， 则需3201x x +-≥+，即101x x -≥+， 解得1x <-或1≥x ， 所以()[),11,A =-∞-+∞；（2）由题意可知，因为1a <，所以21a a <+， 由()()120x a a x --->，可求得集合()2,1B a a =+，若B A ⊆，则有111a a <⎧⎨+≤-⎩或121a a <⎧⎨≥⎩，解得2a ≤-或112x ≤<， 所以实数a 的取值范围是(]1,2,12⎡⎫-∞-⋃⎪⎢⎣⎭.点评：该题考查的是有关函数的定义域的求解，以及根据集合之间的包含关系确定参数的取值范围的问题，属于简单题目. 18．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12()25f =（1）求()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间(1,1)-上是增函数； （3）解关于t 的不等式()()10f t f t -+>. 答案：(1)2()1x f x x =+;(2)证明见解析；（3）1[0,)2 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合12()25f =列方程组，解方程组求得,a b 的值，也即求得函数()f x 的解析式.（2）任取1211x x -<<<，通过计算12())0(f x f x -<，证得函数()f x 在()1,1-上是增函数.（3）利用奇函数的性质化简不等式(1)()0f t f t -+<，在根据函数()f x 的定义域和单调性列不等式，解不等式求得t 的取值范围.解：解：（1）依题意得(0)012()25f f =⎧⎪⎨=⎪⎩，即20101221514ba b ⎧=⎪+⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎪⎩，得10a b =⎧⎨=⎩，2()1x f x x ∴=+； （2）证明：任取1211x x -<<<，则12()()f x f x -12221211x xx x =-++()()()()12122212111x x x x x x --=++，1211x x -<<<，∴120x x -<，2110x +>，2210x +>又1211x x -<<，1210x x ∴->，12()()0f x f x ∴-<，()f x ∴在(1,1)-上是增函数； （3）(1)()()f tf t f t ，()f x 在(1,1)-上是增函数，111t t ∴-≤-<-≤，解得：102t ≤<．所以不等式解集为1[0,)2点评：利用奇偶性解题的类型及方法(1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足()()f x f x -=-或偶函数满足()()f x f x -=列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据()00f =列式求解，若不能确定则不可用此法．19．在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2v ;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2v(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数;(2)试确定下潜速度v ,使总的用氧量最少. 答案：（1）12230(0)y v v v =++>；（2）5v =. 试题分析：（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；（2）利用基本不等式可得v =总的用氧量最少. 试题解析：(1)2303012·50.4?0.2230(0)2y v v v v v v =+⨯+=++>(2)1223022y v v =++≥+=+当且仅当1230v v =即5v =时取等号答：当下潜速度为v =点睛：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想；常用到的四种函数模型：①直线模型：一次函数模型0y kx b k =+≠（）；②反比例函数模型：k y x=型；③指数函数模型：xy a b c =⋅+；④对数函数模型，即a y mlog n x =+型.20．已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()f x y f y +-=(21)x x y ++成立，且(1)0f =.（1）求(0)f 的值，及()f x 的解析式；（2）当21x -≤≤时，不等式()(1)5f x a a x -≥--恒成立，求a 的取值范围. 答案：（1）()02f =-；()22f x x x =+-；（2）2a ≤.【分析】（1）通过对抽象函数赋值，令1,1x y =-=进行求解，即得(0)f ；令0y =可消去y ，再结合()0f 的值，即求得解析式； （2）先讨论1x =时不等式恒成立，21x 时，再通过分离参数法求得a 的取值范围即可.解：解：（1）令1,1x y =-=，可得()()()01121f f -=--++，又由()10f =，解得()02f =-；令0y =，得()()()01f x f x x -=+，又因()02f =-，解得()22f x x x =+-；（2）当21x -≤≤时，不等式()(1)5f x a a x -≥--恒成立，即()213x a x -≤+，若1x =时不等式即04≤，显然成立； 若21x时，10x ->，故231x a x +≤-恒成立，只需2min31x a x ⎛⎫+≤ ⎪-⎝⎭，设()()()22121434()12111x x x g x x x x x---++===-+----，设(]1,0,3t x t =-∈ 则4()2g t t t=+-是对勾函数，在()0,2递减，在()2,3递增，故2t =时，即1x =-时min ()2g x =，故2a ≤，综上，a 的取值范围为2a ≤. 点评：方法点睛：1.抽象函数通常利用赋值法求函数值或者求解析式；2.二次函数含参恒成立的问题，一般是通过分离参数进行求解，当然也可以根据判别式法进行求解，视具体情况而定.21．已知函数1,01,()1, 1.xx xf x x x x -⎧<<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩，画出函数()f x 图象，并指出函数()f x 在区间(0,1)及[)1,+∞上的单调性；（2）当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值； （3）若对所有的[][]1,2,1,1x a ∈∈-，都有21()22f x m am ≤-+恒成立，求实数m 的取值范围.答案：（1）图象见解析，()f x 在()0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增；（2）2；（3）(]{}[),202,-∞-+∞【分析】（1）111,01,()111, 1.x x x xf x x x xx -⎧=-<<⎪⎪=⎨-⎪=-≥⎪⎩，进而根据函数1y x =与1y x =-的图象平移得到；由图象可得到函数的单调区间； （2）由题知01a b <<<，进而根据题意得1111a b-=-，即112a b +=；（3）由题得[]2max 1()22f x m am ≤-+，[][]1,2,1,1x a ∈∈-，进而得对所有的[]1,1a ∈-，都有202m am ≤-恒成立，令()22g a ma m =-+，所以()()22120120g m m g m m ⎧=-+≥⎪⎨-=+≥⎪⎩，可解得实数m 的取值范围. 解：（1）111,01,()111, 1.x x x xf x x x xx -⎧=-<<⎪⎪=⎨-⎪=-≥⎪⎩，所以结合函数1y x =与1y x=-的图象得，当()0,1x ∈时，11yx=-是函数1y x =在()0,1x ∈上的图象向下平移一个单位得到；当[)1,x ∈+∞时，11y x =-是函数1y x=-在[)1,x ∈+∞上的图象向上平移一个单位得到；所以函数图象如图：由函数图象可知函数()f x 在()0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增； （2）因为0a b <<，且()()f a f b =， 所以01a b <<<， 所以1111a b-=-，整理得：112a b +=.故112a b+=. （3）因为对所有的[][]1,2,1,1x a ∈∈-，都有21()22f x m am ≤-+恒成立， 所以[]2max 1()22f x m am ≤-+，[][]1,2,1,1x a ∈∈-， 由于[]1,2x ∈时，()f x 是增函数，故[]()max 1()22f x f ==， 故对所有的[]1,1a ∈-，都有211222m am ≤-+恒成立， 所以对所有的[]1,1a ∈-，都有202m am ≤-恒成立， 令()22g a ma m =-+，所以()()22120120g m m g m m ⎧=-+≥⎪⎨-=+≥⎪⎩，解得0220m m m m ≤≥⎧⎨≤-≥⎩或或， 所以实数m 的取值范围为：(]{}[),202,-∞-+∞.点评：本题第三问解题的关键是将问题转化为[]2max 1()22f x m am ≤-+，[][]1,2,1,1x a ∈∈-，计算整理可得对所有的[]1,1a ∈-，都有202m am ≤-恒成立，进而将其看成关于a 的一次函数列不等式组求解.22．对于定义域为D 的函数()f x ，若同时满足下列条件：①()f x 在D 内有单调性；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在区间[],a b 上的值域也为[],a b ，则称()f x 为D 上的精彩函数，[],a b 为函数()f x 的精彩区间． （1）求精彩区间3y x =符合条件的精彩区间； （2）判断函数()()40f x x x x=+>是否为精彩函数？并说明理由． （3）若函数()g x m =是精彩函数，求实数m 的取值范围．答案：(1)[]1,0-,[]1,1-,[]0,1;(2)不是精彩函数,证明见解析;(3)]17,44m ⎛∈-- ⎝. 【分析】(1)由精彩函数的定义,建立等量关系,即可求得3y x =符合条件的精彩区间; (2)判断函数()()40f x x x x=+>是否满足精彩函数的条件即可. (3)由函数()g x m =在定义域上单调递增,然后由()==g x m x 有两个不等的实数解,转化为利用根的判别式求解m 的取值范围.解：(1)由函数3y x =在定义域上为增函数,则由题意可得33a a b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩,解得110,,011a a ab b b =-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩,所以函数3y x =符合条件的精彩区间有:[]1,0-,[]1,1-,[]0,1. (2)不是精彩函数,证明如下:由函数()()40f x x x x =+>在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,可得函数()4f x x x =+在定义域(0,+∞)上不单调,即不满足精彩函数的第一个条件,所以函数()()40f x x x x=+>不是精彩函数.(3)由函数()g x m =定义域为[)4,-+∞,且易知函数在定义域上为单调递增函数,因函数()g x m =是精彩函数,则需()==g x m x 有两个不等的实数解,即方程()222140x m x m -++-=有两个不等的实数根设为21x x >,且214x x >≥-,21x x m >≥,1x =则令()()22214h x x m x m =-++-,由题意得:()()()2221440214240m m m m h ⎧=+-->⎪⎪+>-⎪≥⎪⎪-≥⎩, 联立解得]17,44m ⎛∈-- ⎝点评：本题考查了函数与方程的综合应用,考查了函数基本性质的运用,考查了在给定区间上利用根的判别式判断方程解的问题,属于中档题.。
2020-2021学年湖北省某校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年湖北省某校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出的4个选项只有一项是符合题目要求的.）1. 若{1, 2, a}∪{2, a2}={1, 2, a}，则a的取值集合为（）A.{0, −1}B.{0, ±1}C.{0, 1 }D.{−1, 1}2. 已知全集U=R，集合M={x|x2+x−2≤0}，集合N={y|y=√3−x}，则(∁U M)∪N等于（）A.{x|x>1}B.{x|x<−2或x≥0}C.RD.{x|x<−1或1<x≤3}3. 已知a>c，b>d，则下列结论正确的是（）A.ab+cd−ad−bc>0B.(a+b)2>(c+d)2C.a−b>c−dD.ab>cd4. 直角梯形OABC中AB // OC、AB=1、OC=BC=2，直线l:x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S=f(t)的图象大致为( )A. B.C. D.5. 已知函数f(x)=(x−2)(mx+n)为偶函数且在(−∞, 0)上单调递增，则使f(x+1)<0成立的x的取值范围是（）A.(1, +∞)B.(−3, 1)C.(−∞, −3)∪(1, +∞)D.(−∞, −3)6. 设p“两个一元二次不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集相同”，q“∃k≠0，使a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2”，那么p是q的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 若函数f(x)={(1−2a)x+3a,x<1x2−4x+3，x≥1的值域为R，则a的取值范围是（）A.[−2,12) B.(−1,12) C.(−2,12) D.[−1,12)8. 使函数f(x)＝{mx−1，x>1−x+1,x≤1满足：对任意的x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)的充分不必要条件为（）A.−1<m<12B.m<0或m>1C.−12<m<12D.0<m<1二、多项选择题（本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得3分.）集合M={x|x=2k−1, k∈Z}，P={y|y=3n+1, n∈Z}，S={z|z=6m+1, m∈Z}之间的关系表述正确的有（）A.S⊆MB.S⊆PC.P⊆SD.M⊆S设a>0，b>0，则下列不等式恒成立的是（）A.a2>2a−1B.(a+b)(1a+1b)≥4 C.a2+b2a+b≥√ab D.a2b+b2a≥a+b如果对定义在R上的奇函数y=f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，则称函数y=f(x)为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A.f(x)=−x3B.f(x)＝x+1xC.f(x)=x|x|D.f(x)＝x13已知函数f(x)＝|x|x+1，则（）A.f(x)在[0, +∞)上单调递增B.f(x)是奇函数C.方程f(x)+x 2−1=0有两个实数根D.函数f(x)的值域是(−∞, −1)∪[0, +∞) 三．填空题（本大题共4小题，共20分）已知幂函数f(x)=x m+2过点(2, 8)，且f(k 2+1)+f(2k −4)<0，则实数k 的取值范围是________．函数y =1−√−x 2+6x 的单调递增区间是________．已知函数f(x)的定义域为[1, 3]，则函数f(2x +1)的定义域为________．若正实数a ，b 满足a +2b =4，则2a+2+1b 的最小值是________．四．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（1）求函数y ＝x +2√2−x 的值域； （2）若函数y ＝=√kx 2+2kx+21的定义域为R ，求实数k 的取值范围．已知集合A ={x|62+x ≥1}，B ={x|x 2−(m +4)x +m +7<0}． （1）若m =3时，求A ∩(∁R B)；（2）若A ∪B =A ，求实数m 的取值范围．已知函数f(x)是定义在(−3, 3)上的奇函数，当−3<x <0时，f(x)=x 2+2x −1．（1）求函数f(x)在(−3, 3)上的解析式．（2）画出函数f(x)的图象并根据图象写出函数的单调区间和值域．（3）解不等式xf(x)>0．2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎．今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电子仪器的小公司．该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元（如房租、水电等成本），每生产一台仪器需增加投入80元，已知每月生产x 台的总收益满足函数R(x)＝{480x −12x 2，0≤x ≤500115000,x >500，其中x 是仪器的月产量． （1）将月利润f(x)表示为月产量的x 的函数．（总收益=总成本+利润）（2）当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？设函数f(x)＝ax+b 1+x 2是定义在(−1, 1)上的奇函数，且f(1)=1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）判断f(x)在(−1, 1)上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式f(t −1)+f(t 2)<f(0)．已知函数f(x)=x|a −x|+2x ，a ∈R ．（1）若函数f(x)在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ∈[−4, 6]，使得关于x 的方程f(x)−tf(a)=0有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省某校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出的4个选项只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】利表不础式丁内两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数模型较选溴与应用函数表图层变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多项选择题（本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得3分.）【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函体奇序微病性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法函体奇序微病性质与判断函验掌够性权性质与判断函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三．填空题（本大题共4小题，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】复合函表的型调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换函数于析式偏速站及常用方法函体奇序微病性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于析式偏速站及常用方法函体奇序微病性质与判断函验掌够性权性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函验掌够性权性质与判断函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高一(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，则（∁U A）⋃（∁U B）＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪（2，4]C．（﹣∞，﹣2）∪[2，4]D．（﹣3，4]2．（5分）下列从集合A到集合B的对应中，是映射的是（）A．A＝{0，3}，B＝{0，1}，f：x→y＝2xB．A＝{﹣2，0，2}，B＝{4}，f：x→y＝|x|C．A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝D．A＝R，B＝R，f：x→y＝2x+13．（5分）若，则f（0）＝（）A．1B．0C．D．4．（5分）已知函数f（2x）的定义域为，则函数f（1﹣3x）的定义域是（）A．B．C．（0，3）D．5．（5分）函数f（x）＝﹣x2﹣2x在[a，b]上的值域是[﹣3，1]，若b＝1，则a+b的取值集合为（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣2，0]C．[﹣4，0]D．[﹣2，1]6．（5分）函数在（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，﹣1）∪（1，+∞）7．（5分）已知y＝f（x+1）为偶函数，且y＝f（x）在[1，+∞）上单调递增，则不等式的解集为（）A．（）B．[）C．（）D．[）8．（5分）若关于x的方程x|x﹣a|＝a有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为（）A．（0，4）B．（﹣4，0）C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）D．（﹣4，0）∪（0，4）二、多选题（共4小题）9．（5分）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）A．a+b＜ab B．|a|＞|b|C．a＜b D．+＞2 10．（5分）下列说法正确的有（）A．函数在其定义域内是减函数B．命题“∃x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≤0”C．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件D．若y＝f（x）为奇函数，则y＝xf（x）为偶函数11．（5分）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列命题正确的有（）A．函数是偶函数B．函数是增函数C．当x＞1时，f（x）＞1D．当0＜x1＜x2时，12．（5分）若函数的值域为[0，+∞），则a的可能取值为（）A．0B．2C．4D．6二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+x+1；那么y＝f（x）在x＜0上的解析式为．14．（5分）已知，则＝．15．（5分）已知函数f（x）＝x|x|，若f（2a+1）≥f（4﹣a），则a的取值范围是．16．（5分）已知正数x，y满足2x+y＝xy+a，当a＝0时，x+y的最小值为；当a ＝﹣2时，x+y的最小值为．三、解答题（70分）17．（10分）记函数f（x）＝的定义域为A，g（x）＝（a＜1）的定义域为B．（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＞0．19．（12分）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为v2；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．（1）将y表示为v的函数；（2）试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．20．（12分）已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0．（1）求f（0）的值，及f（x）的解析式；（2）当﹣2≤x≤1时，不等式f（x）﹣a≥（1﹣a）x﹣5恒成立，求a的取值范围．21．（12分）已知函数（1）画出函数f（x）图象，并指出函数f（x）在区间（0，1）及[1，+∞）上的单调性；（2）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b）时，求的值；（3）若对所有的x∈[1，2]，a∈[﹣1，1]，都有恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．（Ⅰ）求“和谐”函数y＝x3符合条件的“和谐”区间；（Ⅱ）判断函数是否为“和谐”函数？并说明理由．（Ⅲ）若函数是“和谐”函数，求实数m的取值范围．参考答案一、单选题（每小题5分，40分）1．（5分）已知全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，则（∁U A）⋃（∁U B）＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪（2，4]C．（﹣∞，﹣2）∪[2，4]D．（﹣3，4]【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B补集的并集即可．解：∵全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x≤﹣2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x＜﹣3或2＜x≤4}∴（∁U A）⋃（∁U B）＝（﹣∞，﹣2]∪（2，4]．故选：B．2．（5分）下列从集合A到集合B的对应中，是映射的是（）A．A＝{0，3}，B＝{0，1}，f：x→y＝2xB．A＝{﹣2，0，2}，B＝{4}，f：x→y＝|x|C．A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝D．A＝R，B＝R，f：x→y＝2x+1【分析】根据映射的定义，逐一判断四个答案中的对应，是否满足映射的定义，可得答案．解：A中对应，当x＝3时B中无对应元素，故不是映射；B中对应，A中任一元素的绝对值在B中均无对应元素，故不是映射；C中对应，当x＝0时，B中无对应元素，故不是映射；D中对应，任意x∈A＝R，都有唯一y＝2x+1∈B＝R与之对应，故是映射；故选：D．3．（5分）若，则f（0）＝（）A．1B．0C．D．【分析】根据题意，由函数的解析式：在f[g（x）]＝f（1﹣2x）＝中，令x＝，计算可得答案．解：根据题意，若1﹣2x＝0，则x＝，在f[g（x）]＝f（1﹣2x）＝中，令x＝，可得f（0）＝＝，故选：C．4．（5分）已知函数f（2x）的定义域为，则函数f（1﹣3x）的定义域是（）A．B．C．（0，3）D．【分析】由0＜x＜，得出0＜2x＜3，从而0≤1﹣3x＜3，解出即可．解：∵0＜x＜，∴0＜2x＜3，∴0＜1﹣3x＜3，解得：﹣＜x＜，故选：A．5．（5分）函数f（x）＝﹣x2﹣2x在[a，b]上的值域是[﹣3，1]，若b＝1，则a+b的取值集合为（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣2，0]C．[﹣4，0]D．[﹣2，1]【分析】因为函数f（x）在x＝﹣1处取得最大值1，并且方程﹣x2﹣2x＝﹣3的根是﹣3或1，又b＝1，则﹣3≤a≤﹣1，从而求得a+b的取值集合．解：f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，∴x＝﹣1时，f（x）取到最大值1，方程﹣x2﹣2x＝﹣3的根是x＝﹣3或1．若b＝1，则﹣3≤a≤﹣1，∴a+b的取值集合围是：[﹣2，0]．故选：B．6．（5分）函数在（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根据分离常数法，得到f（x）＝a+，结合函数的单调性求出a的取值范围即可．解：f（x）＝a+，函数y＝在（2，+∞）递减，而f（x）在（2，+∞）递增，故1﹣a2＜0，解得：a＞1或a＜﹣1，但2+a≥0，（x＞2），故a≥﹣2，故a的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．7．（5分）已知y＝f（x+1）为偶函数，且y＝f（x）在[1，+∞）上单调递增，则不等式的解集为（）A．（）B．[）C．（）D．[）【分析】根据y＝f（x+1）是偶函数，得到y＝f（x+1）的对称轴为y轴，进而确定出f （x）的对称轴，利用函数增减性求出所求不等式的解集即可．解：∵函数y＝f（x+1）是偶函数，∴y＝f（x+1）关于y轴对称，∵y＝f（x+1）向右平移1个单位得到y＝f（x），∴y＝f（x）关于直线x＝1对称，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，∵不等式，|2x﹣1|＜|﹣1|，即|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选：A．8．（5分）若关于x的方程x|x﹣a|＝a有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为（）A．（0，4）B．（﹣4，0）C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）D．（﹣4，0）∪（0，4）【分析】因为本题是选择题，答案又都是范围，所以可采用特殊值代入法．取a＝2时排除答案A，D．a＝﹣2时排除答案B可得结论．【解答】解；因为本题是选择题，答案又都是范围，所以可采用特殊值代入法．取a＝2时，关于x的方程x|x﹣a|＝a转化为x|x﹣2|＝2，即为当x≥2时，就转化为x（x﹣2）＝2，⇒x＝1+或x＝1﹣（舍），有一根1+．当x＜2时，就转化为x（x﹣2）＝﹣2，⇒x不存在，无根．所以a＝2时有1个根不成立．排除答案A，D．同理可代入a＝﹣2解得方程的根有1个，不成立．排除答案B、故选：C．二、多选题（每小题5分，20分）9．（5分）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）A．a+b＜ab B．|a|＞|b|C．a＜b D．+＞2【分析】由＜＜0，判断出a，b的符号和大小，再利用不等式的性质及重要不等式判断命题的正误．解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故A正确．∴﹣b＞﹣a＞0，则|b|＞|a|，故B错误．C显然错误．由于，，∴+＞2＝2，故D正确．故选：AD．10．（5分）下列说法正确的有（）A．函数在其定义域内是减函数B．命题“∃x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≤0”C．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件D．若y＝f（x）为奇函数，则y＝xf（x）为偶函数【分析】直接利用函数的定义域和单调性和函数的奇偶性的应用判定AD的结论，利用命题的否定判断B的结论，利用充分条件和必要条件判断C的结论．解：对于A：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以函数在（0，+∞）和（﹣∞，0）上都为单调递减函数，故A错误；对于B：命题“∃x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≤0”故B正确；对于C：两个三角形全等，则两个三角形必相似，但是两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等，则两个三角形全等是两个三角形相似的充分不必要条件，故C错误；对于D：若y＝f（x）为奇函数，且函数y＝x也为奇函数，则函数则y＝xf（x）为偶函数，故D正确．故选：BD．11．（5分）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列命题正确的有（）A．函数是偶函数B．函数是增函数C．当x＞1时，f（x）＞1D．当0＜x1＜x2时，【分析】求出幂函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确．解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），所以16α＝4，解得α＝，所以f（x）＝＝；所以f（x）是非奇非偶的函数，是定义域[0，+∞）上的增函数；当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1；画出f（x）在[0，+∞）上的图象，如图所示：由图象知，当0＜x1＜x2时，；所以正确的选项是BCD．故选：BCD．12．（5分）若函数的值域为[0，+∞），则a的可能取值为（）A．0B．2C．4D．6【分析】分a＝0和a≠0两类，结合一次函数、二次函数和根式的性质，求解即可．解：当a＝0时，y＝≥0成立，符合题意；当a≠0时，设f（x）＝ax2+4x+1，要使原函数的值域为[0，+∞），则a＞0且△＝16﹣4a≥0，解得0＜a≤4，综上，a的取值范围为[0，4]，故选：ABC．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+x+1；那么y＝f（x）在x＜0上的解析式为f（x）＝﹣x2+x﹣1．【分析】根据题意，若x＜0，则﹣x＞0，求出f（﹣x）的表达式，结合函数的奇偶性分析可得答案．解：根据题意，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）+1＝x2﹣x+1，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+x﹣1，故f（x）＝﹣x2+x﹣1，故答案为：f（x）＝﹣x2+x﹣1．14．（5分）已知，则＝100．【分析】根据题意，求出f（2﹣x）的表达式，分析可得f（x）+f（2﹣x）＝2，据此计算可得答案．解：根据题意，，则f（2﹣x）＝＝，则f（x）+f（2﹣x）＝+＝2，故＝f（）+f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（）＝2×50＝100，故答案为：100．15．（5分）已知函数f（x）＝x|x|，若f（2a+1）≥f（4﹣a），则a的取值范围是[1，+∞）．【分析】画出函数f（x）的图象，结合函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．解：由题意f（x）＝，画出函数f（x）的图象，如图示：，显然函数f（x）在R递增，若f（2a+1）≥f（4﹣a），则2a+1≥4﹣a，解得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．16．（5分）已知正数x，y满足2x+y＝xy+a，当a＝0时，x+y的最小值为3+2；当a＝﹣2时，x+y的最小值为7．【分析】当a＝0时，则+＝1，则x+y＝（x+y）•（+）＝3++，利用基本不等式即可求出；当a＝﹣2时，y＝，则可得x+y＝x﹣1++3，利用基本不等式即可求出．解：当a＝0时，2x+y＝xy，则+＝1，∴x+y＝（x+y）•（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当x＝1+，y＝2+，故x+y的最小值为3+2，当a＝﹣2时，2x+y＝xy﹣2，当x＝1时，等式不成立，当x≠1则y＝＞0，则x＞1，x+y＝x+＝x+2+＝x﹣1++3≥2+3＝4+3＝7，当且仅当x＝3时取等号，∴x+y的最小值为7，故答案为：3+2，7．三、解答题（70分）17．（10分）记函数f（x）＝的定义域为A，g（x）＝（a＜1）的定义域为B．（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】（1）要使f（x）有意义，则需由2﹣≥0按分式不等式的解法求求A；（2）要使g（x）有意义，则由真数大于零求解，然后按照B⊆A，求解．解：（1）由2﹣≥0得：≥0，解得x＜﹣1或x≥1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）；（2）由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）≥0得：（x﹣a﹣1）（x﹣2a）≤0由a＜1得a+1＞2a，∴B＝[2a，a+1]∵B⊆A，∴2a≥1或a+1＜﹣1即a≥或a＜﹣2，而a＜1，∴≤a＜1或a＜﹣2故当B⊆A时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪[，1）．18．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＞0．【分析】（1）首先利用函数在（﹣1，1）上有定义且为奇函数，所以f（0）＝0，首先确定b的值，进一步利f（）＝求出a的值，最后确定函数的解析式．（2）直接利用定义法证明函数的增减性．（3）根据以上两个结论进一步求出参数的取值范围．【解答】（1）解：函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数．所以：f（0）＝0，得到：b＝0，由于且f（）＝所以：＝，解得：a＝1所以：f（x）＝；（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，则：f（x2）﹣f（x1）＝﹣＝，由于：﹣1＜x1＜x2＜1，所以：0＜x1x2＜1，即：1﹣x1x2＞0，所以＞0，则：f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x）在（﹣1，1）上的增函数；（3）由于函数是奇函数，所以：f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（t﹣1）+f（t）＞0，转化成f（t﹣1）＞﹣f（t）＝f（﹣t）．则：﹣1＜t﹣1＜1且﹣1＜t＜1且t﹣1＞﹣t，解得：＜t＜1，所以不等式的解集为：{t|＜t＜1}．19．（12分）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为v2；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．（1）将y表示为v的函数；（2）试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．【分析】（1）利用已知条件直接求解y表示为v的函数．（2）利用基本不等式求解函数的最值即可．解：（1）①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为v2；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．…（8分）（2）…（12分）当且仅当即时取等号…（15分）答：当下潜速度为时，总用氧量最少．…（16分）20．（12分）已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0．（1）求f（0）的值，及f（x）的解析式；（2）当﹣2≤x≤1时，不等式f（x）﹣a≥（1﹣a）x﹣5恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）令x＝﹣1，y＝1，由条件，结合f（1）＝0，即可得到f（0）；令y＝0，结合f（0），即可求出f（x）的解析式；（2）将不等式转化为x2+ax+3﹣a≥0，令g（x）＝x2+ax+3﹣a，利用二次函数的性质求得g（x）的最小值，从而可求得a的取值范围．解：（1）令x＝﹣1，y＝1，则由已知f（0）﹣f（1）＝﹣1（﹣1+2+1），∴f（0）＝﹣2，令y＝0，则f（x）﹣f（0）＝x（x+1），又∵f（0）＝﹣2，∴f（x）＝x2+x﹣2．（2）根据题意f（x）﹣a≥（1﹣a）x﹣5，则有x2+ax+3﹣a≥0，令g（x）＝x2+ax+3﹣a，x∈[﹣2，1]，对称轴为x＝﹣，当﹣≤﹣2，即a≥4时，g（x）的最小值g（﹣2）＝7﹣3a≥0，解得a≤，与a≥4矛盾；当﹣≥1，即a≤﹣2时，g（x）的最小值g（1）＝4≥0恒成立，故a≤﹣2符合题意；当﹣2＜﹣＜1，即﹣2＜a＜4时，g（x）的最小值g（﹣）＝﹣+3﹣a≥0，解得﹣6≤a≤2，所以﹣2＜a≤2．综上，a的取值范围是a≤2．21．（12分）已知函数（1）画出函数f（x）图象，并指出函数f（x）在区间（0，1）及[1，+∞）上的单调性；（2）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b）时，求的值；（3）若对所有的x∈[1，2]，a∈[﹣1，1]，都有恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）运用分段函数的图象画法可得f（x）的图象，结合图象可得所求单调性；（2）由题意可得0＜a＜1，b＞1，可得f（a），f（b），整理可得所求和；（3）由题意可得m2﹣2am+≥f（x）max，由f（x）在[1，2]的单调性可得最大值，再设g（a）＝m2﹣2am，a∈[﹣1，1]，只需g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，解不等式可得所求范围．解：（1）由分段函数的图象画法可得f（x）的图象，由图象可得f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数；（2）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b），即为＝，即有﹣1＝1﹣，可得＝2；（3）对所有的x∈[1，2]，a∈[﹣1，1]，都有恒成立，可得m2﹣2am+≥f（x）max，由y＝f（x）在[1，2]递增，可得f（x）max＝f（2）＝，可得m2﹣2am≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，设g（a）＝m2﹣2am，a∈[﹣1，1]，可得g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，即为，即，解得m≥2或m≤﹣2或m＝0．22．（12分）对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．（Ⅰ）求“和谐”函数y＝x3符合条件的“和谐”区间；（Ⅱ）判断函数是否为“和谐”函数？并说明理由．（Ⅲ）若函数是“和谐”函数，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据“和谐”函数的定义，建立条件关系，即可求y＝x3符合条件的“和谐”区间；（Ⅱ）判断函数是否满足“和谐”函数？的条件即可．（Ⅲ）根据函数g（x）是“和谐”函数，建立条件关系，即可求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）因为y＝x3是单调递增函数，所以有，即[a，b]＝[﹣1，1]或[a，b]＝[﹣1，0]或[a，b]＝[0，1]．（Ⅱ）函数在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，故f（x）在（0，+∞）上不单调，不是“和谐”函数．（Ⅲ）若是“和谐”函数．设﹣4≤x1＜x2，则，所以是单调递增函数．若它是“和谐”函数，则必具备方程有两个不相同的实数解，即方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4＝0有两个不同的实数解且同时大于或等于﹣4和m．若令h（x）＝x2﹣（2m+1）x+m2﹣4，则，解得m∈（，﹣4]．另解：方程有两个不相同的实数解，等价于两函数y1＝x﹣m与的图象有两个不同的交点，当直线过（﹣4，0）时，m＝﹣4；直线与抛物线相切时，∴．若它是“和谐”函数，则必具备方程有两个不相同的实数解，即方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4＝0有两个不同的实数解且同时大于或等于﹣4和m．若令h（x）＝x2﹣（2m+1）x+m2﹣4，则，解得m∈（，﹣4]．。
2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣2，0，1}D ．{﹣2，﹣1，1}2．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0，则（ ） A ．￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0B ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0C ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0D ．a ＝2时，p 为真命题3．3133)16√2+(0.001)−13+√√2=（ ）A ．2√3−1.9B ．12+√2−√3C ．12D ．2√3+84．函数y =|x|x 2−1的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．若a =5√3，b ＝50.3，c ＝0.82，则（ ） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c6．已知函数F （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +5，若F （a ）＝7，则F （﹣a ）的值为（ ） A ．2B ．﹣7C ．3D ．﹣37．“a ∈(12，23]”是“f(x)={(13−a)x +1，(x ＜1)a x，(x ≥1)满足对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知f （x ）是定义在实数集R 上的函数，在（0，+∞）内单调递增，f （2）＝0，且函数f （x +1）关于点（﹣1，0）对称，则不等式x •f （1﹣x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C ．（﹣1，0）∪（1，3）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＜0，则ac＞bcB ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a＜b+m a+mC ．对任意实数a ，b ，都有a 2+b 2﹣2|ab |≥0D ．若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b ，实数x 1≠x 2，则f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)210．已知函数f(x)=2x2−4x+3，则（ ）A ．f （x ）在[2，+∞）上单调递增B ．f （x ）的值域为（0，+∞）C ．不等式f （x ）＜256的解集为（﹣1，5）D ．若g （x ）＝2﹣ax•f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）11．设函数f （x ）＝min {|x ﹣3|，3|x |﹣1，|x +3|}，则下列说法正确的是（ ） A ．f （f （3））＝1 B ．函数f （x ）为偶函数 C ．函数f （x ）的最小值为0D ．当x ∈[﹣3，3]时，f （x ）﹣1≤a ，则a 的取值范围为[2，+∞） 12．已知不等式x 2y−1+y 2x−1≥3m 2−1对x ＞1，y ＞1恒成立，则m 的值可以是（ ）A ．−√2B ．﹣1C ．√3D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知x 12−x −12=2，则x 2+x﹣2的值为 ．14．已知幂函数f （x ）＝（m 2+4m +4）x m +2在（0，+∞）上单调递减，若（2a ﹣1）﹣m＜（a +3）﹣m，则a的取值范围为 ．15．已知函数f （x ）＝x 2﹣2kx +4在[1，3]上的最大值为﹣12，则实数k 的值为 ．16．已知图象连续不断的函数f （x ）是定义域为[﹣4，4]的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈（0，4]，当x 1＜x 2时，总有f(x 1)x 2−f(x 2)x 1＞0，则满足不等式（a +2）f （a +2）＜（1﹣a ）f （1﹣a ）的a 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0}，集合B ＝{x |{2x ≥41−13x ≥0}． （1）当a ＝1时，求A ∪B ；（2）设a ＞0，A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．18．（12分）若关于x 的不等式2x 2+ax ﹣（a +2）＜0的解集是{x|−32＜x ＜1}． （1）求实数a 的值； （2）当x ＞a 时，求y =x 2−2x+5x−a的最小值． 19．（12分）已知函数f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8）是增函数，且f （1）＝5． （1）若a ＞0，b ＞0，[f （a ）+4]•[f （b ）+4]＝27，求9a+1b 的最小值；（2）是否存在实数m ，n （m ＜n ），使得当x ∈[m ，n ]时，函数y ＝f （x ）的最小值恰为−13m ，而最大值恰 为−13n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由； 20．（12分）已知函数f(x)=a x −ba x (a ＞0，且a ≠1)的图象过点（0，0）和(1，32)． （1）求证：f （x ）是奇函数，并判断f （x ）的单调性（不需要证明）；（2）若∀t ∈[13，3]，使得不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0都成立，求实数k 的取值范围． 21．（12分）先看下面的阅读材料：已知三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），称相应的二次函数f 1(x)=3ax 2+2bx +c 为f （x ）的“导函数”，研究发现，若导函数f 1（x ）＞0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递增；若导函数f 1（x ）＜0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递减．例如：函数f （x ）＝﹣2x 3+3x 2+12x +5，其导函数f 1(x)=−6x 2+6x +12=−6（x 2﹣x ﹣2） ＝﹣6（x ﹣2）（x +1），由f 1（x ）＞0，得﹣1＜x ＜2，由f 1（x ）＜0，得x ＜﹣1或x ＞2，所以三次函数f （x ）在区间（﹣1，2）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减． 结合阅读材料解答下面的问题：（1）求三次函数f(x)=−x 3+12x 2+4x 的单调区间；（2）某市政府欲在文旅区内如图所示的矩形ABCD 地块中规划出一个儿童乐园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE （线段EO 和RP 为两条底边，OP ⊥OE ），已知AB ＝2km ，BC ＝6km ，AE ＝BF ＝4km ，其中曲线AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分． ①设OP ＝xkm （0＜x ＜2），求出梯形OPRE 的面积S 与x 的解析式； ②求该公园的最大面积．22．（12分）已知函数f(x)={−x(x −2a)+a 2−4a(x ≤2a)x(x −2a)+a 2−4a(x ＞2a)，（a ∈R ）．（1）当a ＝2时，求f （x ）＝x |x ﹣2a |+a 2﹣4a （a ∈R ）的单调区间； （2）如果关于x 的方程f （x ）＝0有三个不相等的非零实数解x 1，x 2，x 3，求1x 1+1x 2+1x 3的取值范围．2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣2，0，1}D ．{﹣2，﹣1，1}解：B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则∁R B ＝{x |x ≥1或x ≤﹣1}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A ∩（∁R B ）＝{﹣2，﹣1，1}． 故选：D ．2．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0，则（ ） A ．￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0B ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0C ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0D ．a ＝2时，p 为真命题解：命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0， 当a ＝2时，x ＝1或2时，x 2﹣3x +2＝0，故p 为假命题． 故选：B ．3．3133)16√2+(0.001)−13+√√2=（ ）A ．2√3−1.9B ．12+√2−√3C ．12D ．2√3+8解：原式=313×316×212212+(110)3×(−13)+2−√3=312+10+2−√3=12． 故选：C ． 4．函数y =|x|x 2−1的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．解：由函数 y =|x|x 2−1，可得x ≠±1，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）， 又 f(−x)=|−x|(−x)2−1=x x 2−1=f(x)，所以y =|x|x 2−1是偶函数，其图象关于y 轴对称，因此 A ，D 错误； 当 0＜x ＜1时，x 2−1＜0，y =|x|x 2−1＜0，所以C 错误． 故选：B ．5．若a =5√3，b ＝50.3，c ＝0.82，则（ ） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c解：∵5√3＞50.3＞50=1，∴a ＞b ＞1， ∵0＜0.82＜0.80＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＞b ＞c ． 故选：D ．6．已知函数F （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +5，若F （a ）＝7，则F （﹣a ）的值为（ ）A ．2B ．﹣7C ．3D ．﹣3解：函数F （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +5，F （a ）＝7，F （a ）+F （﹣a ）＝a 3+2a ﹣2﹣a +5+（﹣a ）3+2﹣a ﹣2a +5＝10，所以F （﹣a ）＝10﹣F （a ）＝10﹣7＝3． 故选：C ．7．“a ∈(12，23]”是“f(x)={(13−a)x +1，(x ＜1)a x，(x ≥1)满足对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意得f （x ）在R 上单调递减，故{ 13−a ＜00＜a ＜113−a +1≥a ，解得：13＜a ≤23，故“a ∈(12，23]”是“f(x)={(13−a)x +1，(x ＜1)a x，(x ≥1)满足对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立”的充分不必要条件． 故选：A ．8．已知f （x ）是定义在实数集R 上的函数，在（0，+∞）内单调递增，f （2）＝0，且函数f （x +1）关于点（﹣1，0）对称，则不等式x •f （1﹣x ）＜0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣1，0）∪（1，3）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞） 解：因为函数f （x +1）关于点（﹣1，0）对称， 所以f （x ）的图象关于原点对称，即f （x ）为奇函数， 因为f （x ）在（0，+∞）内单调递增，f （2）＝0， 故f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，f （﹣2）＝0， 由x •f （1﹣x ）＜0可得xf （x ﹣1）＞0， 即{x ＞0f(x −1)＞0或{x ＜0f(x −1)＜0，即{x ＞0x −1＞2或−2＜x −1＜0或{x ＜00＜x −1＜2或x −1＜−2，解得x ＞3或0＜x ＜1或x ＜﹣1． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＜0，则ac＞bcB ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a＜b+m a+mC ．对任意实数a ，b ，都有a 2+b 2﹣2|ab |≥0D ．若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b ，实数x 1≠x 2，则f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2解：对于A ，由1c＜0，a ＞b ，可得a c＜b c，故A 错误； 对于B ，若a ＞b ＞0，m ＞0，则ba −b+m a+m=m(b−a)a(a+m)＜0，可得b a＜b+m a+m，B 正确；对于C ，a 2+b 2﹣2|ab |＝（|a |﹣|b |）2≥0，当且仅当|a |＝|b |时，等号成立，故a 2+b 2﹣2|ab |≥0，C 正确； 对于D ，二次函数f （x ）＝x 2+ax +b ，实数x 1≠x 2， 则f(x 1+x 22)=14(x 1+x 2)2+a 2(x 1+x 2)+b ，f(x 1)+f(x 2)2=12[(x 12+ax 1+b)+(x 22+ax 2+b)]， 可得f(x 1+x 22)−f(x 1)+f(x 2)2=14(x 12+x 22)−12(x 12+x 22)=−14(x 1−x 2)2≤0， 由x 1≠x 2可知等号不能成立，故f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2，D 正确． 故选：BCD ．10．已知函数f(x)=2x2−4x+3，则（ ）A ．f （x ）在[2，+∞）上单调递增B ．f （x ）的值域为（0，+∞）C ．不等式f （x ）＜256的解集为（﹣1，5）D ．若g （x ）＝2﹣ax•f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）解：根据题意，设t ＝x 2﹣4x +3，则y ＝2t ， 依次分析选项：对于A ，t ＝x 2﹣4x +3是对称轴为x ＝2的二次函数，开口向上，则t ＝x 2﹣4x +3在[2，+∞）上单调递增，y ＝2t 在R 上单调递增，故f （x ）在[2，+∞）上单调递增，A 正确；对于B ，t ＝x 2﹣4x +3≥﹣1，则y ＝2t ≥12，则f （x ）的值域为[12，+∞），B 错误；对于C ，不等式f （x ）＜256＝28，即x 2﹣4x +3＜8，解可得﹣1＜x ＜5，即不等式的解集为（﹣1，5），C 正确；对于D ，g （x ）＝2﹣ax•f （x ）=2x2−(4+a)x+3，设m ＝x 2﹣（4+a ）x +3，则y ＝2m ，若g （x ）＝2﹣ax•f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则m ＝x 2﹣（4+a ）x +3在（﹣∞，1]上单调递减，必有12（4+a ）≥1，解可得a ≥﹣2，即实数a 的取值范围为[﹣2，+∞），D 正确． 故选：ACD ．11．设函数f （x ）＝min {|x ﹣3|，3|x |﹣1，|x +3|}，则下列说法正确的是（ ） A ．f （f （3））＝1 B ．函数f （x ）为偶函数 C ．函数f （x ）的最小值为0D ．当x ∈[﹣3，3]时，f （x ）﹣1≤a ，则a 的取值范围为[2，+∞）解：在同一坐标系作出 y ＝3|x |﹣1，y ＝|x ﹣3|和 y ＝|x +3|的图象，如图所示，则A （﹣1，2），B （1，2），所以f （x ）={|x +3|，x ≤−13|x|−1，−1≤x ≤1|x −3|，x ≥1，其图象是图中实线部分．则f （f （3））＝f （0）＝0，故A 错误；函数f （x ）为偶函数，函数f （x ）的最小值为0，无最大值，B ，C 正确； 当x ∈[﹣3，3]时，f （x ）max ＝2，所以a ≥2﹣1＝1，D 错误． 故选：BC ． 12．已知不等式x 2y−1+y 2x−1≥3m 2−1对x ＞1，y ＞1恒成立，则m 的值可以是（ ）A ．−√2B ．﹣1C ．√3D ．2解：由题意x 2y−1+y 2x−1=[(x−1)+1]2y−1+[(y−1)+1]2x−1=(x−1)2y−1+1y−1+(y−1)2x−1+1x−1+2(x−1)y−1+2(y−1)x−1≥2√(x−1)2y−1⋅1y−1+2√(y−1)2x−1⋅1x−1+2√2(x−1)y−1⋅2(y−1)x−1=2(y−1x−1+x−1y−1)+4≥2×2√y−1x−1⋅x−1y−1+4=8，第一个等号成立当且仅当x ＝y ＝2＞1，第二个等号成立当且仅当x ＝y ＞1， 综上，(x 2y−1+y 2x−1)min =8，当且仅当x ＝y ＝2＞1时成立； 又不等式x 2y−1+y 2x−1≥3m 2−1对x ＞1，y ＞1恒成立，等价于3m 2﹣1≤8，解得−√3≤m ≤√3， 对比选项可知，m 的值可以是−√2或﹣1或√3． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知x 12−x−12=2，则x 2+x﹣2的值为 34 ．解：∵x 12−x −12=2，∴(x 12−x−12)2=x +x ﹣1﹣2＝4，∴x +x ﹣1＝6，∴（x +x ﹣1）2＝x +x ﹣2+2＝36，∴x +x ﹣1＝34．故答案为：34．14．已知幂函数f （x ）＝（m 2+4m +4）x m +2在（0，+∞）上单调递减，若（2a ﹣1）﹣m＜（a +3）﹣m，则a的取值范围为 （﹣∞，4） ．解：由题意可知{m 2+4m +4=1m +2＜0，解得m ＝﹣3，∴不等式（2a ﹣1）﹣m＜（a +3）﹣m，可化为（2a ﹣1）3＜（a +3）3，又∵函数y ＝x 3在R 上单调递增， ∴2a ﹣1＜a +3，解得a ＜4． 故a 的取值范围为（﹣∞，4）． 故答案为：（﹣∞，4）．15．已知函数f （x ）＝x 2﹣2kx +4在[1，3]上的最大值为﹣12，则实数k 的值为 172．解：函数f （x ）＝x 2﹣2kx +4开口向上，对称轴x ＝k ， 区间[1，3]的中点x ＝2，当k ≤2时，|3﹣k |≥|1﹣k |，所以x ＝3离对称轴较远，所以f （x ）max ＝f （3）＝9﹣6k +4＝﹣12，解得k =256＞2，不符合k ≤2； 当k ＞2时，|3﹣k |＜|1﹣k |，所以x ＝1离对称轴较远， 所以f （x ）max ＝f （1）＝1﹣2k +4＝﹣12，解得k =172＞2，符合条件． 所以k 的值为172．故答案为：172．16．已知图象连续不断的函数f （x ）是定义域为[﹣4，4]的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈（0，4]，当x 1＜x 2时， 总有f(x 1)x 2−f(x 2)x 1＞0，则满足不等式（a +2）f （a +2）＜（1﹣a ）f （1﹣a ）的a 的取值范围为 (−12，2] ．解：因为函数f （x ）是定义域为[﹣4，4]的偶函数， 若对任意的x 1，x 2∈（0，4]，当x 1＜x 2时，总有f(x 1)x 2−f(x 2)x 1＞0，即x 1f （x 1）＞x 2f （x 2），令g （x ）＝xf （x ），则g （x ）在（0，4]上单调递减， 因为f （x ）为偶函数，即f （﹣x ）＝f （x ）， 故g （﹣x ）＝﹣xf （﹣x ）＝﹣xf （x ）＝﹣g （x ）， 根据奇函数的对称性可知，g （x ）在R 上单调递减，由不等式（a +2）f （a +2）＜（1﹣a ）f （1﹣a ）可得g （a +2）＜g （1﹣a ）， 所以{−4≤a +2≤4−4≤1−a ≤4a +2＞1−a，解得−12＜a ≤2．故答案为：(−12，2]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0}，集合B ＝{x |{2x ≥41−13x ≥0}． （1）当a ＝1时，求A ∪B ；（2）设a ＞0，A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：（1）B ={x|{2x ≥41−13x ≥0}={x|{x ≥2x ≤3}={x|2≤x ≤3}， 当a ＝1时，A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}＝{x |1＜x ＜3}， ∴A ∪B ＝{x |1＜x ≤3}；（2）∵a ＞0，∴A ＝{x |a ＜x ＜3a }， 又A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， ∴{a ＜23a ＞3，∴1＜a ＜2， ∴实数a 的取值范围为（1，2）．18．（12分）若关于x 的不等式2x 2+ax ﹣（a +2）＜0的解集是{x|−32＜x ＜1}． （1）求实数a 的值；（2）当x ＞a 时，求y =x 2−2x+5x−a的最小值．解：（1）因为不等式2x 2+ax ﹣（a +2）＜0的解集是{x|−32＜x ＜1}， 所以−32和1是方程2x 2+ax ﹣（a +2）＝0的两个根， 由根与系数的关系知，{−32+1=−a2−32×1=−a+22，解得a ＝1． （2）由（1）知，a ＝1，当x ＞a 时，x ﹣1＞0时，所以y =x 2−2x+5x−a =x 2−2x+5x−1=(x−1)2+4x−1=(x −1)+4x−1≥2√(x −1)4x−1=4， 当且仅当x ﹣1=4x−1，即x ＝3时取等号，所以y min ＝4．19．（12分）已知函数f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8）是增函数，且f （1）＝5． （1）若a ＞0，b ＞0，[f （a ）+4]•[f （b ）+4]＝27，求9a+1b 的最小值；（2）是否存在实数m ，n （m ＜n ），使得当x ∈[m ，n ]时，函数y ＝f （x ）的最小值恰为−13m ，而最大值恰 为−13n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由； 解：∵f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8），且f （1）＝5，∴3（2k ﹣1）+k 2﹣8＝5，即k 2+6k ﹣16＝0，解得k ＝2或k ＝﹣8，又函数f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8）是增函数，∴2k ﹣1＞0，即k ＞12， ∴k ＝2，则f （x ）＝3×3x ﹣4．（1）由[f （a ）+4]•[f （b ）+4]＝27，得3a +b ＝3，∴a +b ＝1， 又a ＞0，b ＞0，∴9a+1b=(9a+1b)(a +b)=10+9b a+a b≥10+2√9b a⋅a b=16，当且仅当a b=9b a，即a =34，b =14时取等号，故9a+1b的最小值为16；（2）∵f （x ）＝3×3x ﹣4为增函数，∴当x ∈[m ，n ]时，函数y ＝f （x ）的最小值为f （m ），最大值为f （n ）， 由{f(m)=−13m f(n)=−13n ，得{3×3m −4=−13m3×3n−4=−13n，即{3×(3m )2−4×3m +1=03×(3n )2−4×3n +1=0， 可得3m ，3n 是方程3x 2﹣4x +1＝0的两个根， ∵m ＜n ，∴3m =13，3n ＝1，解得m ＝﹣1，n ＝0， ∴存在m ＝﹣1，n ＝0 满足要求．20．（12分）已知函数f(x)=a x −ba x (a ＞0，且a ≠1)的图象过点（0，0）和(1，32)． （1）求证：f （x ）是奇函数，并判断f （x ）的单调性（不需要证明）；（2）若∀t ∈[13，3]，使得不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0都成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）证明：函数f(x)=a x −ba x (a ＞0，a ≠1)的图象过点（0，0）和(1，32)， 则{f(0)=1−b =0f(1)=a −b a =32，解得{b =1a =2，所以f(x)=2x −12x ， 函数定义域为R ，f(−x)=2−x −12−x =12x −2x =−(2x−12x )=−f(x)， 所以函数f （x ）是奇函数． 由函数y ＝2x 和y =−12x 都是R 上的增函数，所以f(x)=2x−12x 在R 上单调递增． （2）f （x ）是奇函数，且在R 上单调递增，不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0等价f （t 2﹣kt +10）＞﹣f （2）＝f （﹣2）， 可得t 2﹣kt +10＞﹣2，若∀t ∈[13，3]，使得不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0都成立， 等价于∀t ∈[13，3]，t 2−kt +12＞0恒成立，即t 2+12＞kt ，k ＜t 2+12t =t +12t 在[13，3]上恒成立，设g(t)=t +12t (t ∈[13，3])，∀t 1，t 2∈[13，3]，且t 1＜t 2， 有g(t 1)−g(t 2)=(t 1+12t 1)−(t 2+12t 2)=(t 1−t 2)(t 1t 2−12t 1t 2)，由13≤t 1＜t 2≤3，可得t 1−t 2＜0，19＜t 1t 2＜9＜12，t 1t 2−12＜0，则g （t 1）﹣g （t 2）＞0，所以g （t 1）＞g （t 2）， 所以g （t ）在[13，3]上单调递减， 所以g （t ）min ＝g （3）＝7，所以k ＜7， 所以实数k 的取值范围为（﹣∞，7）． 21．（12分）先看下面的阅读材料：已知三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），称相应的二次函数f 1(x)=3ax 2+2bx +c 为f （x ）的“导函数”，研究发现，若导函数f 1（x ）＞0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递增；若导函数f 1（x ）＜0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递减．例如：函数f （x ）＝﹣2x 3+3x 2+12x +5，其导函数f 1(x)=−6x 2+6x +12=−6（x 2﹣x ﹣2） ＝﹣6（x ﹣2）（x +1），由f 1（x ）＞0，得﹣1＜x ＜2，由f 1（x ）＜0，得x ＜﹣1或x ＞2，所以三次函数f （x ）在区间（﹣1，2）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减． 结合阅读材料解答下面的问题：（1）求三次函数f(x)=−x 3+12x 2+4x 的单调区间；（2）某市政府欲在文旅区内如图所示的矩形ABCD 地块中规划出一个儿童乐园（如图中阴影部分）， 形状为直角梯形OPRE （线段EO 和RP 为两条底边，OP ⊥OE ），已知AB ＝2km ，BC ＝6km ，AE ＝BF ＝4km ，其中曲线AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分． ①设OP ＝xkm （0＜x ＜2），求出梯形OPRE 的面积S 与x 的解析式； ②求该公园的最大面积．解：（1）f(x)=−x 3+12x 2+4x 的导函数为f 1(x)=−3x 2+x +4， 由f 1（x ）＞0，得−1＜x ＜43，由f 1（x ）＜0，得x ＜﹣1或x ＞43，所以三次函数f （x ）在区间(−1，43)上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1）和(43，+∞)上单调递减． （2）①以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 设曲线AF 所在抛物线的方程为y ＝ax 2（a ＞0）， ∵抛物线过F （2，4），∴4＝a ×22，得a ＝1，∴AF 所在抛物线的方程为y ＝x 2，P （x ，x 2）（0＜x ＜2）， ∴又E （0，4），C （2，6），则EC 所在直线为y ＝x +4， 则OE ＝4﹣x 2，PR ＝4+x ﹣x 2，∴公园的面积S =12(4−x 2+4+x −x 2)⋅x =−x 3+12x 2+4x （0＜x ＜2）， ②由（1）知，S （x ）在(0，43)上单调递增，在(43，2)上单调递减， 当x =43时，S 取得最大值10427．故该公园的最大面积为10427km 2．22．（12分）已知函数f(x)={−x(x −2a)+a 2−4a(x ≤2a)x(x −2a)+a 2−4a(x ＞2a)，（a ∈R ）．（1）当a ＝2时，求f （x ）＝x |x ﹣2a |+a 2﹣4a （a ∈R ）的单调区间； （2）如果关于x 的方程f （x ）＝0有三个不相等的非零实数解x 1，x 2，x 3，求1x 1+1x 2+1x 3的取值范围．解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x |x ﹣2a |+a 2﹣4a ＝x |x ﹣4|﹣4， 当x ＞4时，f （x ）＝x 2﹣4x ﹣4；当x ≤4时，f （x ）＝﹣x 2+4x ﹣4， 即有f(x)={−x 2+4x −4，x ≤4x 2−4x −4，x ＞4，据二次函数的性质可知，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，2]和[4，+∞），单调递减区间为[2，4]． （2）f(x)={−x(x −2a)+a 2−4a(x ≤2a)x(x −2a)+a 2−4a(x ＞2a)，当a ＝0时，f(x)={−x 2，x ≤0x 2，x ＞0，不符合题意；当a ＞0时，方程有3个不相等的实数根，且f （x ）在（2a ，+∞）上递增，所以x ≥2a 时，x 2﹣2ax +a 2﹣4a ＝0有1个根，且x ＜2a 时，﹣x 2+2ax +a 2﹣4a ＝0有2个根， 所以只需满足{Δ=4a 2+4(a 2−4a)＞0f(2a)=a 2−4a ＜0，解得2＜a ＜4；当a ＜0时，当x ＞2a 时，方程x 2﹣2ax +a 2﹣4a ＝0的判别式Δ＝4a 2﹣4（a 2﹣4a ）＝16a ＜0， 由二次方程的解的分布可得方程x 2﹣2ax +a 2﹣4a ＝0无解，所以此时不符合题意； 综上：a 的取值范围是（2，4）．不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 1+x 2=2a ，x 1x 2=−a 2+4a ，x 3=2a+√4a 2−4(a 2−4a)2=a +2√a ，所以1x 1+1x 2+1x 3=x 1+x 2x 1x 2+1x 3=2a −a 2+4a +a+2√a =2a a(4−a)+√a (a+2√a)(a−2√a)=2a a(4−a)−a−2√a a(4−a)=a+2√a (a+2√a)(a−2√a)=1a−2√a =−1(√a)2−2√a =−1(√a−1)2−1， 因为2＜a ＜4，则√2−1＜√a −1＜1，可得2−2√2＜(√a −1)2−1＜0， 所以1x 1+1x 2+1x 3=(√a−1)2−12√2−2=1+√22． 故1x 1+1x 2+1x 3的取值范围为(1+√22，+∞)．。
湖北省荆州中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
荆州中学2020～2021学年度高一年级上学期期中考试数 学 试 题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知{}|215A x x =->，{}3,4,5,6B =，则A B =（ ） A ．[3,)+∞ B ．φ C ．{}3,4,5,6 D ．{}4,5,62．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．，0()g x x =B ．()1f x x =-，21()1x g xx -=+C ．()f x x =，33()g x x =D ．()||f x x =，2()()g x x =3．已知a b c d ,,,为实数，则“a b c d +>+”是“a c >且b d >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由() 1.06(1)2m f m <>=+（元）决定，其中0m >，m <>是不小于m 的最小整数（如：33, 3.84,<>=<>= 5.1<>6=）, 则从甲地到乙地通话时间为7.3分钟的电话费为（ ） A ．4.24 元B ．4.77 元C ．5.30 元D ．4.93 元5．已知函数32()=1x f x x +，则()f x 的大致图象为（ ）A B C D6．已知254a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1345b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，452log c =，则,,a b c 的大小关系是( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a b c <<7．已知函数(43)(32),1()1log ,1a a x a x f x x x --+<⎧=⎨+≥⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2(,1)3B ．3[,1)4C ．23(,]34D ．4(1,)38．已知)(x f 为定义在实数集R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又)2(f ＝0，则不等式()10x f x ⋅-<的解集是（ ）A ．(,2)(1,0)(2,)-∞--+∞B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,3)-D ．(,1)(0,1)(3,)-∞-+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()f x x x =-，则下列说法正确的有（ ） A. (1)0f -=B. ()f x 在(1,0)-上是增函数C. ()0f x >的解集为(0,1)D. ()f x 的最大值为1410. 定义一种运算,()min{,},()a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩.设2()min{42, ||}f x x x x t =+-- （t 为常数），且[],3,3x ∈-则使函数()f x 最大值为4的t 值可以是（ ）A. 2-B. 6C. 4D. 4-11．对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ）A ．若am bm >，则a b >B ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ C ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞ D ．若a b >，则3322a b a b ab +>+ 12.下列说法正确的是( )A. “ 0200,2x x R x ∃∈> ”的否定是“ 2,2x x R x ∀∈≤ ”B. 函数()f x =的最小值为6C. 函数1()(2g x = 1[, 1]2-D.a b >的充要条件是||||a a b b >.三、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知53()2f x ax bx =++且(5)16f -=，则(5)f 的值为 .14.函数()2x f x =+的定义域为 ，值域为 . (第一个空2分，第二个空3分) 15. 已知函数2()2f x x x a =-++，21()7log g x x=+，若对任意1[0,3]x ∈，总存在24]x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________.16. 已知正实数,a b 满足223122a b a b +=++，则a b +的最大值为 .四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10分) 计算或化简:(1)634130.00116100-⎛⎫-++⨯ .（2）53372l 6og 75424log log 5log log -++⋅ .18. (12分) 已知集合456{|22}x x A x +=≥，2{|2150}B x x x =+-≤.(Ⅰ)求A 和 ()RA B ；(Ⅱ)集合1{|2}2C x x k =-≤-≤，若C B ⊆,求实数k 的取值范围：19. (12分) 已知2()3f x ax bx =++，且{|()0}{1,3}x f x ==. (Ⅰ)求实数a 和b 的值，并求 ()()(0)f x g x x x=> 的最小值； (Ⅱ)若不等式2()(37)0f x mx m -++>对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围.20. (12分) 已知2()log (1)f x x =-.(Ⅰ)若00(1)(1)0f x f x ++-=，求0x 的值；(Ⅱ)记()()(6)g x f x f x =+-，（1）求()g x 的定义域D ，并求()g x 的最大值m ； （2）已知322224log 2log 2b aba ab b++=++- ，试比较b 与ma 的大小并说明理由。
湖北省荆州中学高一数学上学期期中考试(a)【会员独享】.doc
荆州中学～上学期高一数学期中试卷（A ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置） 1．若集合{|1}M x x =>-，下列关系式中成立的为 ( ) A ．0M ⊆ B ．{}0M ∈ C ．M ∅∈ D ．{}0M ⊆ 2．已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2ab c ===，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a << 3．下列对应法则f 中，构成从集合A 到集合B 的映射是 ( )A ．2||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>=B ．2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-= C ．21:},0|{,x y x f y y B R A =→>== D ．2:},1,0{},2,0{x y x f B A =→== 4． 右图给出了红豆生长时间t （月）与枝数y （枝）的散点图; 那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系 用下列哪个函数模型拟合最好？ （ ） A ．指数函数：t y 2= B ．对数函数：t y 2log = C ．幂函数：3t y = D ．二次函数：22t y =5．设函数()y f x =的定义域为[，则函数2)y f =的定义域是（ ）A ．[B ．[22+C ．[6-6+D ．[0，6+6．已知()log a f x x =，()log b g x x =，()log c r x x =，()log d h x x =的图象如图所示则a,b,c,d 的大小为 （ ）A ．c d a b <<<B ．c d b a <<<C ．d c a b <<<D ．d c b a <<<7. 若(,1]x ∈-∞-时，不等式2()420x x m m -⋅-<恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．（－2，1） B.（－4，3） C.（－1，2） D.（－3，4） 8.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()2f a f ≥-，则a 的取值范围是 （ ） A.2a ≤ B.2a ≥C.22a a ≤-≥或D.22a -≤≤9.已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,4)13()(x a x a x a x f x 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围（ ）A.(0,1) B ．1(0,)3 C. )31,61[ D. [)1,6110.对于集合M 、N,定义{}|,()()M N x x M x N M N M N N M -=∈∉⊕=--且设{}R x x x y y M ∈-==，4|2,{}R x y y N x∈-==，2|,则N M ⊕= （ ） A.(]04，- B.[)04，- C.()[),40,-∞-+∞ D.(](),40,-∞-+∞二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分，各题答案必须填写在答题卷相应位置上，只填结果，不要过程）11．幂函数3222)14(--+-=m m xm m y 的图像过原点，则实数m 的值等于12．已知函数2()log (2)a f x x ax =-+在()+∞,2上为增函数，则实数a 的取值范围为___________13. 若 33log 2,log 5m n == ， 则 lg 5用,m n 表示为 .14.设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51,1.52=-=-.若函数()()0,11x x a f x a a a =>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为______ 15.若函数()x f 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0=-+x f x f ②对于定义域内任意21,x x ，当21x x ≠时，恒有()()02121<--x x x f x f ，则称函数()x f 为“理想函数”。
湖北省荆州市2020年高一上学期数学期中考试试卷(II)卷
湖北省荆州市2020年高一上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共13分)1. （1分） (2018高一下·汕头期末) 已知，，，则，，的大小关系为（）A .B .C .D .2. （1分）已知集合M={0，a}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，若M∩N≠∅，则a的值为（）A . 1B . 2C . 1或2D . 不为零的任意实数3. （1分）(2018·河北模拟) 已知集合=，集合，集合=，则（）A .B .C .D .4. （1分） (2017高一上·西城期中) 设，，，则（）A .B .C .D .5. （1分） (2016高二下·河北期末) 已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）=2f（2），若y=f （x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则f（402）=（）A . 2B . 3C . 4D . 06. （1分） (2019高一上·琼海期中) 若表示不超过的最大整数,例如 ,那么函数的值域是（）A . [0,1]B . (0,1)C . [0,1)D . (0,1]7. （1分） (2018高一上·浏阳期中) 若，则（）A . 2B . 3C .D . 18. （1分） (2017高三上·襄阳期中) 已知g（x）=[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，x0是函数的零点，则g（x0）等于（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （1分） (2016高一上·江北期中) 定义在R上的偶函数f（x），在（0，+∞）上是增函数，则（）A . f（3）＜f（﹣4）＜f（﹣π）B . f（﹣π）＜f（﹣4）＜f（3）C . f（3）＜f（﹣π）＜f（﹣4）D . f（﹣4）＜f（﹣π）＜f（3）10. （1分） (2018高一上·长春月考) 不等式的解集是，则（）A .B .C .D .11. （1分） (2019高一上·大庆期中) 已知函数 ,则方程的实数根的个数是（）A .B .C .D .12. （1分）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”．若函数存在“和谐区间”，则a的取值范围是（）A .B .C .D .13. （1分）已知偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f(2x－1)＜的x的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)14. （1分）方程的解是________15. （1分） (2016高一上·温州期末) 若幂函数f（x）=xa的图象过点（2，），则a=________．16. （1分） (2017高一上·定州期末) 函数的定义域为________．三、解答题 (共6题；共13分)17. （2分） (2019高一上·鸡东月考)（1）求函数的值域；（2）若函数的定义域为 ,求实数的取值范围.18. （2分） (2016高一上·汉中期中) 已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，（1）求A∩B、（∁UA）∪（∁UB）；（2）若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集，求实数k的取值范围．19. （2分）求下列函数的值域：（1） y=x2﹣2x+3，x∈[0，3）（2） y=x+ ．20. （2分） (2019高一上·葫芦岛月考) 已知不等式的解集为，求、的值．21. （2分） (2018高一上·四川月考) 二次函数满足，且 .（1）求的解析式；（2）若函数，，求的值域.22. （3分） (2019高一上·蕉岭月考) 已知函数为奇函数.（1）求的值；（2）用定义法证明在R上为增函数；（3）解不等式 .参考答案一、单选题 (共13题；共13分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、填空题 (共3题；共3分)14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共13分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
湖北省荆州中学高一上学期期中考试(数学理).doc
湖北省荆州中学高一上学期期中考试（数学理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CBC B ．()()A B A C C ．()()A B B CD ．()A B C2．下列函数中，奇函数的个数是（ ）①11x x a y a +=- ②2lg(1)33x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=-A ．1B ．2C ．3D ．43．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ）A ．14400亩B ．172800亩C ．17280亩D ．20736亩 4.已知函数()ln 26f x x x =+-有一个零点在开区间（2，3）内，用二分法求零点时，要使精确度达到0.001，则至少需要操作（一次操作是指取区间中点并判断中点对应的函数值的符号）的次数为( )A ．8B ．9C ．10D ．11 5．若1x 是方程lgx+x=3的解，2103x x x +=是的解，则12x x +的值为（ ）A ．32B ．23C ．3D ．136．直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7.在222,log ,x y y x y x ===这三个函数中，当1201x x <<<时，使1212()()22x x f x x f ++>恒成立的函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．下列四个说法：(1)函数f(x)>0在x>0时是增函数，x<0也是增函数，所以f(x)是增函数；(2)若函数2bx ++2f(x)=ax 与x 轴没有交点，则280b a -<且a>0；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) y=1+x和y =表示相等函数。
湖北省荆州中学2020-2021学年高一上学期9月月考数学试题 答案和解析
湖北省荆州中学【最新】高一上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合U ={1，2，3，4，5，6}，S ={1，4，5}，T ={2，3，4}，则S ∩（∁U T ）等于（ ） A ．{1，4，5，6} B ．{1，5}C ．{4}D ．{1，2，3，4，5}2．已知函数()y f x =，则该函数与直线x a =的交点个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．无数个D ．至多一个3．已知2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则44()()33f f +-的值等于（ ）A ．2-B ．4C ．2D ．4-4．已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（ ） A ．3,1xyB ．()3,1-C ．{}31，-D ．3,15．函数1()3f x x =+的定义域为（ ） A ．(3,0]- B ．(3,1]- C ．(,3)(3,0]-∞--D ．(,3)(3,1]-∞--6．已知()f x 的定义域为[1,5]-，则(25)f x +的定义域为（ ）A ．[1,5]-B ．[3,15]C ．[3,0]-D ．[0,3]7．已知()224f x x x -=-，那么()f x = ( ) A ．284x x --B ．24x x --C ．28x x +D ．24x -8．如果奇函数()f x 在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则()f x 在区间[-8，-2]上是（ ）A ．增函数且最小值为6-B ．增函数且最大值为6-C ．减函数且最小值为6-D ．减函数且最大值为6-9．已知函数2()1xf x a x =≥-在区间[3，5]上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．3B ．13C ．25D ．5210．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是A ．0B ．1C ．2D ．311．已知定义域为R 的函数()y f x =在()0,4上是减函数, 又()4y f x =+是偶函数, 则( )A ．()()()257f f f <<B ．()()()527f f f <<C ．()()()725f f f <<D ．()()()752f f f <<12．已知奇函数()f x 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[1,0(0,1]-⋃，则不等式()()1f x f x -->-的解集（ ）A ．1|02x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭B ．{|11x x -≤≤且0}x ≠C ．1|12x x ⎧-≤<-⎨⎩或01}x < D ．{|10x x -≤<或112x <}二、填空题13．若不等式210kx kx --<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是_______.14． 设函数f (x )＝(1)()x x a x++为奇函数，则a ＝________.15．函数y =______.三、双空题16．甲乙两地相距500km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度v 不能超过120km/h.已知汽车每．小时运输成本为29360250v +元,则全程运输成本与速度的函数关系是y =______,当汽车的行驶速度为______km/h 时,全程运输成本最小.四、解答题17．设集合{}33A x a x a =-<<+，{|1B x x =<-或}3x >. （1）若3a =，求AB ；（2）若A B =R ，求实数a 的取值范围.18．设函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x >时，2()331f x x x =-+-，求()f x 在R 上的解析式.19．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：某人在此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元.（1）写出y 关于x 的解析式. (2) 若y=30，求此人购物实际所付金额． 20．已知函数2()2(1)f x x a x a =+-+. （1）当1a =-时，求()f x 在[3,3]-上的值域； （2）求()f x 在区间[3,3]-上的最小值.21．规定[]t 为不超过t 的最大整数，例如[12.6]12=，[ 3.5]4-=-.对任意实数x ，令1()[4]f x x =，()4[4]g x x x =-，进一步令21()(())f x f g x =.（1）分别求1716f ⎛⎫⎪⎝⎭和2716f ⎛⎫⎪⎝⎭； （2）求x 的取值范围，使它同时满足1()1f x =，2()3f x =. 22．已知()21ax bf x x +=+是定义在()-1,1上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并证明你的结论； （3）解不等式 ()()220f t f t -+<.参考答案1．B 【分析】由集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4T =，由补集的运算有{}1,5,6U C T =,又{}1,4,5S =，再结合交集的运算即可得解. 【详解】解：因为集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4T =， 所以{}1,5,6U C T =,又{}1,4,5S =， 所以{}()1,5U S C T ⋂=, 故选B. 【点睛】本题考查了补集，交集的运算，重点考查了对交集、补集概念的理解能力，属基础题. 2．D 【解析】试题分析：此题出得巧，此时无形胜有形，充分检验了学生对函数概念的掌握情况，根据函数的概念在定义域范围内任意的一个自变量x 都有唯一的函数值对应，直线x a =与函数()y f x =的图像最多只有一个交点，从而得出正确的答案是D.考点：1.函数的概念；2.函数图像. 3．B 【详解】2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩,448()2333f ∴=⨯=，44112()(1)()(1)()33333f f f f f ∴-=-+=-=-+=24233=⨯=，4484()()43333f f ∴+-=+=，故选B.考点：分段函数. 4．D【分析】解对应方程组，即得结果 【详解】由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D. 【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．C 【分析】直接利用负数不能开偶次方根和分母不能为零求解. 【详解】 因为030x x -≥⎧⎨+≠⎩，所以0x ≤且3x ≠-，所以函数1()3f x x =+的定义域为(,3)(3,0]-∞--， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 6．C 【分析】根据()f x 的定义域为[1-，5]即可得出：要使得(25)f x +有意义，则需满足1255x -+，解出x 的范围即可． 【详解】()f x 的定义域为[1-，5]，∴要使(25)f x +有意义，则1255x -+，解得30x -，(25)f x ∴+的定义域为[3-，0]．故选：C ． 【点睛】本题考查抽象函数定义域的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意形如[()]f g x 复合函数的求解原则. 7．D 【解析】因为()224f x x x -=-=()224x --,则()24f x x =-,故选D.点睛: 本题考查函数的表示方法,属于基础题目.求函数解析式的一般方法主要有:待定系数法,配凑法,换元法,构造方程组法,赋值法等.已知函数类型时,比如一次函数,二次函数,反比例函数以及指数函数或者对数函数时,往往使用待定系数法设出函数的表达式,再利用已知条件带入求出参数的值. 8．D 【分析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，()f x 在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即()86f =，且()6f x ≥，又由()f x 为奇函数， 则()f x 在区间[-8，-2]上是减函数，且()86f -=-，则有()6f x ≤-， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题． 9．D 【分析】根据题意需求出()f x 的最小值，利用分离常数的方法分析函数的单调性，即可求解. 【详解】因为22(1)22()2111x x f x x x x -+===+---，所以函数()f x 在[]3,5上单调递减，函数()f x 的最小值为5(5)2f =，所以52a ≤, a 的最大值是52.故选D. 【点睛】本题主要考查根据函数恒成立求参数，利用函数的单调性求最值，考查逻辑推理和运算求解能力，属于中档题. 10．C 【详解】2541()2222x x f x x x x-+==+-≥--，所以选C.11．B 【分析】根据条件将自变量转化到()0,4上，再根据单调性判断大小 【详解】因为()4y f x =+是偶函数,所以()()44f x f x +=-+ 因此()()5(3),7(1)f f f f ==，因为()y f x =在()0,4上是减函数,所以()()()321,f f f <<()()()527f f f <<，选B 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查基本分析判断能力，属基础题. 12．C 【分析】由奇函数的定义可得，不等式即1(2)f x >-，结合图象求出它的解集． 【详解】由题意可得，不等式()()1f x f x -->-，即()()1()1f x f x f x >--=--，即2()1f x >-，即1(2)f x >-，结合图象可得112x -<-或01x <. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查奇函数的定义，利用函数图象解不等式，求得不等式即1(2)f x >-，是解题的关键，属于基础题． 13．-4<k ≤0 【分析】对不等式的最高次项的系数进行分类讨论进行求解即可. 【详解】当0k =时，原不等式变为10-<，显然对一切实数x 都成立；当0k ≠时，要想不等式210kx kx --<对一切实数x 都成立，则满足：k 0<且2()40k k ∆=-+<，解得40k -<<，综上所述：实数k 的取值范围是40k -<≤. 【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数问题.考查了分类讨论思想. 14．1- 【详解】 因为函数f (x )＝(1)()x x a x++为奇函数，(11)(1)(11)(1)(1)=(1), 1.11a a f f a ++-+-+∴=--=∴=-经检验符合题意.故答案为1-. 15．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题意首先确定函数的定义域，然后结合复合函数的单调性法则即可确定所给函数的单调递增区间. 【详解】函数有意义，则：260x x -++≥，解得：23x -≤≤， 令()26u x x x =-++，则()u x 在区间12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数y =由复合函数同增异减的法则可得，函数的单调递增区间为：12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，复合函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16．18000018y v v=+(0120)v <≤ 100 【分析】由已知可得汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为500v，结合汽车每小时运输成本为29360250v +元，可得全程运输成本与速度的函数关系式，再由基本不等式可得100v =时，y 取最小值.【详解】甲乙两地相距500km ，故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为500v， 又由汽车每小时运输成本为29360250v +元， 则全程运输成本与速度的函数关系是()25009180000360180120250y v v v v v ⎛⎫=⋅+=+<≤ ⎪⎝⎭，由基本不等式得180000183600v v +≥=， 当且仅当18000018v v+，即100v =时，取最小值, 故答案为()180000180120y v v v=+<≤，100.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.17．（1）{|1x x <-或}0x >；（2）()0,2. 【分析】（1）先求出集合A ，再求A ∪B ；（2）根据A B =R 得到31,33,a a -<-⎧⎨+>⎩解不等式组即得解. 【详解】（1）若3a =，则{}06A x x =<<，故{|1A B x x ⋃=<-或}0x >. （2）若A B =R ，则31,33,a a -<-⎧⎨+>⎩解得02a <<.∴实数a 的取值范围为()0,2.【点睛】本题主要考查集合的补集运算和根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的解掌握水平和分析推理能力.18．22331,0()0,0331,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩【分析】设0x <，则0x ->，再利用奇函数的定义得到()f x 的解析式，再将函数写成分段函数的形式.【详解】设0x <，则0x ->，22()3()3()1331f x x x x x ∴-=--+--=--- ()f x 是奇函数，2()()331f x f x x x ∴=--=++，又()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ∴=，22331,0,()0,0,331,0.x x x f x x x x x ⎧++<⎪∴==⎨⎪-+->⎩【点睛】本题考查分段函数的奇偶性及解析式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19．（1）（2）x="1350 "【解析】解：（1）由题可知： ………6分（2）∵y=30＞25∴x ＞1300∴ 10℅(x -1300)+25="30 " 解得，x="1350 " ………12分20．（1）[5,20]-；（2）2min 73,2,()31,24,155, 4.a a f x a a a a a +≤-⎧⎪=-+--<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）当1a =-时，判断函数在区间[3,3]-的单调性，从而求得最值；（2）函数()f x 的对称轴为1x a =-，讨论对称轴与区间的位置关系，分别求得最小值，最后将函数的最小值写成分段函数的形式.【详解】（1）当1a =-时，2()41f x x x =--，()f x ∴的对称轴为2x =，()f x ∴在[3,2]-上单调递减，在(2,3]上单调递增，min ()(2)5f x f ∴==-，又(3)20f -=，(3)4f =-，()f x ∴在[3,3]-上的值域为[5,20]- .（2）函数()f x 的对称轴为1x a =-，①当13a -≤-，即4a ≥时，()f x 在[3,3]-上单调递增，min ()(3)155f x f a ∴=-=-；②当313a -<-<，即24a -<<时，∴()f x 在[3,1]a --上单调递减，在(1,3]a -上单调递增，2min ()(1)31f x f a a a ∴=-=-+-③当13-≥a ，即2a ≤-时，()f x 在[3,3]-上单调递减，min ()(3)73f x f a ∴==+ 综上所述，2min 73,2,()31,24,155, 4.a a f x a a a a a +≤-⎧⎪=-+--<<⎨⎪-≥⎩【点睛】本题考查一元二次函数的图象和性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对区间与对称轴位置关系的讨论. 21．（1）34，3；（2）71162⎡⎫⋅⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）直接利用题目信息的要求求出函数的值；（2）利用已知，1()[4]1f x x ==，()4[4]41g x x x x =-=-，又21()(41)[164]3f x f x x =-=-=，根据规定[]t 为不超过t 的最大整数，可得不等式组，解出即为x 的取值范围.【详解】（1）∵当716x =时，744x =， 1771164f ⎛⎫⎡⎤∴== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，777316444g ⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 211773[3]316164f f g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）1()[4]1f x x ==，()4[4]41g x x x x =-=-，21()(41)[164]3f x f x x ∴=-=-=.142,31644,x x <⎧∴⎨-<⎩解得71162x <.故满足题意的x 的取值范围为71162⎡⎫⋅⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 本题为创新题，考查函数与方程的综合运用，解题的关键在于对题目中新定义、新概念的理解和应用，例如本题中若[]x a =，则必有+1a x a ≤<成立，属于较难题.22．（1）()21x f x x =+；（2）()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析；（3）12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得()00f b ==，又由1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得a 的值，代入函数的解析式即可得答案；（2）设1211x x -<<<，由作差法分析()1f x 与()2f x 的大小关系，结合函数单调性的定义，即可得结论； （3）利用函数的奇偶性以及单调性，可以将()()220f t f t -+<转化为22122111t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解可得t 的取值范围，即可得答案．【详解】（1）∵()f x 是()1,1-上的奇函数，∴()00f b ==，∴()21ax f x x =+， 又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2225112a=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴()21x f x x =+；（2）()f x 在()1,1-上单调递增，证明：任意取()12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， ∵1211x x -<<<，∴120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1,1-上单调递增；（3）∵()()220f t f t -+<，∴()()22f t f t -<-，易知()f x 是()1,1-上的奇函数，∴()()f t f t -=-，∴()()22f t f t -<-，又由（2）知()f x 是()1,1-上的增函数，∴22122111t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩， 解得1223t <<， ∴不等式的解集为12,23⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力．。
2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期元月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期元月月考数学试题一、单选题1．sin 454cos176+的值为（ ） A ．sin 4 B ．cos 4C ．0D ．2sin 4【答案】C【分析】利用诱导公式化简计算. 【详解】sin 454cos176sin(36094)cos(1804)sin(904)cos4cos4cos40+=++-=+-=-= 故选：C.2．已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ） A ．{}1,1- B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．∅【答案】B【分析】因为集合A 仅有两个子集,可知集合A 仅有一个元素.对m 分类讨论,即可求得m 的值.【详解】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集 当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()22240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1-故选:B【点睛】本题考查了集合的元素的特征,子集个数的计算,属于基础题.3．已知命题：命题:1p x +1≥；命题:q x a ，且p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围A ．2a <-B ．2a ≤-C ．0a <D ．0a ≤【答案】B【详解】命题:1p x +1≥，解得0x ≥或2x -≤，命题:q x a ，因为 p 是q 的必要不充分条件，所以(](],,2a -∞⊆-∞- ，2∴≤-a ，故选B. 4．函数2()2|cos |cos 3f x x x =+-在区间[0,2]π内的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】分[0,]2x π∈，[,]2x ππ∈，3[,]2x ππ∈，3[,2]2x ππ∈，结合余弦函数的单调性求解.【详解】当[0,]2x π∈时，2()3cos 3f x x =-，令()0f x =得2cos 9x =， 因为cos y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()0f x =有一解；当[,]2x ππ∈时，2()cos 3f x x =--，令()0f x =得2cos 3x =-， 因为cos y x =在[,]2ππ上递减，所以()0f x =有一解；当3[,]2x ππ∈时，2()cos 3f x x =--，令()0f x =得2cos 3x =-，因为cos y x =在3[,]2ππ上递增，所以()0f x =有一解； 当3[,2]2x ππ∈时，2()3cos 3f x x =-，令()0f x =得2cos 9x =，因为cos y x =在3[,2]2ππ上递增，所以()0f x =有一解；综上：函数()f x 在区间[0,2]π内的有4个零点， 故选：D5．已知函数()cos(sin )f x x =，()sin(cos )g x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]- B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C ．()f x 的值域为[cos1,1]，()g x 的值域为[sin1,sin1]-D ．()f x 与()g x 都不是周期函数 【答案】C【分析】根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【详解】A ．()f x 与()g x 的定义域都是R ，故A 错误，B ．()cos(sin())cos(sin )cos(sin )()f x x x x f x -=-=-==，则()f x 是偶函数，故B 错误，C ．1sin 1x -，1cos 1x -，()f x ∴的值域为[cos1，1]，()g x 的值域[sin1-，sin1]，故C 正确，D ．(2)cos(sin(2))cos(sin )()f x x x f x ππ+=+==则()f x 是周期函数，故D 错误，故选C ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合复合函数性质之间的关系，利用三角函数的单调性，奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键． 6．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 A ．函数()g x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象关于直线6x π=对称D ．函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D【分析】由三角函数图像的平移变换及伸缩变换可得()sin()6g x x π=-，再结合三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称点的求法求解即可.【详解】解：将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，所得图像的解析式为 sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()sin()6g x x π=-，令6x k ππ-=，则6x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于点,06k ππ⎛+⎫⎪⎝⎭，k Z ∈对称,即A 错误； 令62x k πππ-=+，则23x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于直线23x k ππ=+，k Z ∈对称,及C 错误；由221T ππ==，即C 错误； 令 22262k x k πππππ-≤-≤+，得22233k x k ππππ-≤≤+，即函数()g x 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 正确， 故选D.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.7．已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]【答案】A【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈， ∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈， 0ω>，1524ω∴≤≤．故A 正确．【解析】三角函数单调性．8．已知()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()3f x a -=在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．01a <≤ B ．1a <C ．01a <<D ．1a ≥【答案】A【分析】根据函数()f x 的定义域和单调函数，可得必存在唯一的正实数m 满足13()log f x x m +=，()4f m ∴=，结合13()log f m m m +=，可得3m =，所以函数13()3log f x x =-，由方程()3f x a -=在区间(0,3]上有两解，则13log x a =在区间(0,3]上有两解，设()13log g x x =，作出函数()g x 在(0,3]上的图象， 结合图象，可得实数a 的取值范围.【详解】解:因为函数()f x 是定义域为(0,)+∞的单调函数，对于任意的(0,)x ∈+∞， 都有13[()log ]4f f x x +=，所以必存在唯一的正实数m 满足13()log f x x m +=，()4f m ∴=，所以13()log f m m m +=，可得134log m m +=，即13log 4m m =-，所以3m =，所以13()log 3f x x +=，所以函数13()3log f x x =-，由方程()3f x a -=在区间(0,3]上有两解，则13log x a =在区间(0,3]上有两解，设()13log g x x =，作出函数()g x 在(0,3]上的图象，如图所示，结合图象，可得方程()3f x a -=在区间(0,3]上有两解， 实数a 满足01a <≤. 故选:A【点睛】本题考查了对数函数的运算性质及对数函数的图象与性质的综合应用，综合性强，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理进行等价转化，本题的解答中根据13[()log ]4f f x x +=，等价转换求得函数()f x 的解析式是解答的关键.二、多选题9．下列结论中正确的是（ ）A ．终边经过点()()0a a a ≠，的角的集合是4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭， B ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是3πC ．若α是第三象限角，则2α是第二象限角，2α为第一或第二象限角 D ．{}4590M x x k k Z ==+⋅∈，，{}9045N y y k k Z ==+⋅∈，，则M N【答案】ABD【分析】根据角的终边位置判断A ；根据角的定义判断B ；利用特殊值判断C ；根据集合间的包含关系判断D ．【详解】对于选项A ：终边经过点(a ，)(0)a a ≠的角在第一和第三象限的角平分线上，故角的集合是,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭， 正确； 对于选项B ：将表的分针拨慢10分钟，按逆时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是3π， 正确；对于选项C ：若2252450αα，2α既不是第一象限角又不是第二象限角，错误；对于选项D ：{|4590M x x k ==︒+⨯︒，()}{|2145}k Z x x k k Z ∈==+⨯∈，，而()2145k k Z +⨯∈，表示45的奇数倍，{|9045N y y k ==︒+⨯︒，()}{|245}k Z y y k k Z ∈==+⨯∈，，而()245k k Z +⨯∈，表示45的整数倍，所以MN ，正确．故选：ABD.10．下列说法正确的是（ ）A ．若α，β都是第一象限角且αβ>，则sin sin αβ>；B ．1312tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； C ．cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为132⎡⎢⎣⎦； D ．已知()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中,,,a b αβ都是非零实数.若()20201f =-，则()20211f =.【答案】BD【分析】利用反例当390α=，30β=可知A 错误；利用诱导公式化简得13tan tan 44ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，122tan tan 55ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据tan y x =的单调性可确定大小关系，知B 正确； 利用x 的范围可求得2x π-的范围，结合余弦函数性质可求得值域，知C 错误；利用诱导公式可化简得到()()202120201f f =-=，知D 正确.【详解】对于A ，当390α=，30β=时，,αβ均为第一象限角且αβ>，此时sin sin αβ=，A 错误；对于B ，1313tan tan tan 3tan 4444πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1212tan tan 55ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭22tan 2tan 55πππ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭， tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，2tan tan 54ππ∴>，2tan tan 54ππ∴-<-， 即1312tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确； 对于C ，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,263x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1cos ,122x π⎛⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，cos 2y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 错误； 对于D ，()()()2020sin 2020cos 2020sin cos 1f a b a b παπβαβ=+++=+=-， ()()()()2021sin 2021cos 2021sin cos 1f a b a b παπβαβ∴=+++=-+=，D 正确. 故选：BD.【点睛】易错点点睛：本题考查三角函数部分知识的综合应用，涉及到诱导公式的应用、利用正切函数的单调性比较大小、余弦型函数值域的求解等知识；对于A 选项，易错点是忽略三角函数的周期性；对于C 选项，易错点是忽略余弦函数在区间内的单调性，造成值域求解错误.11．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为{}12x x x x <<，则（ ）A ．12120x x x x ++<的解集为403a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1212x x x x ++的最小值为43- C ．1212a x x x x ++的最大值为 D ．1212a x x x x ++【答案】ABC【分析】根据不等式()224300x ax a a -+<<的解集为{}12x x x x <<，利用根与系数的关系，得到2123x x a =，124x x a +=，然后逐项判断.【详解】∵不等式()224300x ax a a -+<<的解集为{}12x x x x <<， 根据根与系数的关系，可得2123x x a =，124x x a +=，则12120x x x x ++<可化为2340a a +<，解得403a -<<，∴A 正确； 221212244343333x x x x a a a ⎛⎫++=+=+-≥- ⎪⎝⎭，∴B 正确；1212143a x x a x x a ++=+，∵0a <，∴1433a a --≥=， 当且仅当143a a -=-，即a =即143a a +≤，故1212a x x x x ++的最大值为，∴C 正确，D 错误． 故选：ABC12．已知函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭(0a >且)1a ≠只有一个零点，则实数m 可能的取值为（ ） A ．1m ≤- B ．12m =-C ．2m ≥D ．0m =【答案】ABD【分析】利用对数的性质将等式变形为()21220mx m x +--=有唯一解，且需保证220,210mx m x+>++>，结合二次函数的性质分别讨论0m =，0m ≠有唯一解的情况，检验是否满足定义域大于0即可得出结果.【详解】解：()()22log 2log 21log 221a a amx f x mx m x m x+⎛⎫=+-++= ⎪⎝⎭++，因为()0f x =有唯一解，则21221mx m x+=++有唯一解，且220,210mx m x+>++> 即2221mx m x+=++，等价于()21220mx m x +--= 当0m =时，2x =，代入220,210mx m x+>++>成立，所以0m =成立；当0m ≠时，若0∆=，则()21280m m -+=，解得12m =-，2x =，代入检验成立，所以12m =-成立；若0∆≠，()()()2122210mx m x x mx +--=-+=，2x =或1x m=-，当1x m =-时，1210m m ⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭且()21210m m ++-=>，则1x m =-为()0f x =的解，所以2x =不是()0f x =的解，即220m +≤或2110m ++≤，解得：1m ≤-. 故选：ABD.【点睛】易错点睛：（1）方程20ax bx c ++=，不一定为二次函数，需讨论a 是否为0； （2）用∆判断根的个数问题，仅适用于二次函数，非二次函数不可用.三、填空题13．若22cos()sin ()1sin()cos ()2πααπαα+-=+-，则tan α=________.【答案】12【分析】利用诱导公式化简即得解.【详解】由题得221cos sin sin tan 2sin cos cos ααααααα-===-. 故答案为：1214．如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为____________.【答案】{}105|180+30180,n n n αα⋅︒︒⋅∈+<︒︒Z【分析】首先确定0360范围内角α的范围，根据终边相同角的定义可求得满足题意的角α的范围. 【详解】在0360范围内，终边落在阴影内的角α满足：30105α<<或210285α<<∴满足题意的角α为：{}{}30360105360210360285360k k k k αααα+⋅≤<+⋅⋃+⋅≤<+⋅{}{}302180105218021021802852180k k k k αααα=+⋅≤<+⋅⋃+⋅≤<+⋅{}()(){}3021801052180302118010521180k k k k αααα=+⋅≤<+⋅⋃++⋅≤<++⋅{}30180105180n n αα=+⋅≤<+⋅，k Z ∈，n Z ∈本题正确结果：{}30180105180,n n n Z αα+⋅≤<+⋅∈【点睛】本题考查根据终边位置确定角所处的范围，重点考查了终边相同的角的定义，属于基础题.15．我国南宋数学家秦九留撰写的名著《数书九章》第五卷提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长，求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为“海伦—秦九韶”公式，现有一个三角形的边长满足4c =，6p ，则三角形面积的最大值为________. 【答案】43【分析】根据题意,求得+a b 的值,结合三角形的面积公式,由基本不等式即可求得面积的最大值.【详解】因为4c =,162p a b c所以1248a b +=-=而S=(6)(6)2a b -+-=而由基本不等式可知()(6)(6)122a b a b -+-=-+=⎡⎤⎣⎦所以S ≤当且仅当66a b -=-时取得最大值,此时4a b == 即三角形面积的最大值为故答案为: 【点睛】本题考查了对新定义的理解和应用,基本不等式在求最值中的应用,属于基础题.16．已知函数()ln(x x f x e e x -=-+（其中 2.718e ≈），若对任意的[]1,2x ∈-，2(2)(2)0f x f ax ++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是________________. 【答案】32⎡-⎢⎣ 【分析】判断函数f （x ）是R 上的奇函数，且是增函数；把f （x 2+2）+f （﹣2ax ）≥0恒成立化为x 2+2≥2ax 恒成立，设g （x ）=x 2﹣2ax+2，利用二次函数的图象与性质，即可求出实数a 的取值范围．【详解】函数()(xxf x e eln x -=-+（其中e≈2.718），x ∈R ；且f （﹣x ）=e ﹣x ﹣ex +ln （﹣）=﹣（e x ﹣e ﹣x ）﹣ln （）=﹣f （x ）， ∴f （x ）是R 上的奇函数，又f′（x ）=e x +e ﹣x0恒成立，∴f （x ）是定义域R 上的单调增函数；若对任意的x ∈[﹣1，2]，f （x 2+2）+f （﹣2ax ）≥0恒成立， ∴f （x 2+2）≥﹣f （﹣2ax ）恒成立， ∴f （x 2+2）≥f （2ax ）恒成立， ∴x 2+2≥2ax 恒成立，即x 2﹣2ax+2≥0在x ∈[﹣1，2]上恒成立；设g （x ）=x 2﹣2ax+2，其对称轴为x=a ，且开口向上；应满足()111220a g a -⎧⎨-=++≥⎩＜或()224420a g a ⎧⎨=-+≥⎩＞或()2212220a g a a a -≤≤⎧⎨=-+≥⎩； 解得﹣32≤a ＜-1或∅或﹣∴实数a 的取值范围是﹣32故答案为﹣32【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了分类讨论与转化思想的应用问题，是综合性题目．四、解答题17．已知点()1,P t 在角θ的终边上，且sin 3θ=-， （1）求t 和cos θ的值；(2)求()()sin sin 23sin cos cos 2πθθπθπθπθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）? cos t θ==； （2）1-. 【分析】(1)解方程sin θ==即得t 的值，再利用平方关系求cos θ.(2)用诱导公式化简再代入sin θ和cos θ的值求解. 【详解】（1）由已知r op ==，所以sin 3θ==-解得t =，故θ为第四象限角，cos θ==（2）()()sin sin 23sin cos cos 2πθθπθπθπθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭()3sin cos 1θθ-=-.【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义和同角的平方关系，考查诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成,2k k z πα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2k πα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“-”，就加在前面）.用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间00(0,360)的角，再变到区间00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算.18．设关于x 的不等式2(2)0x b x c -++<的解集为{}|23x x <<. （1）设不等式2(1)0bx c x c -+->的解集为A ，集合[2,2)B =-，求AB ；（2）若1x >，求21x bx cx -+-的最小值.【答案】（1）2[2,)3A B ⋂=--（2）最小值为3【详解】试题分析：（1）由不等式()220x b x c -++<的解集为{|23}x x <<可知2,3是方程得根，由韦达定理即可得结果3{6b c ==，代入不等式()210bx c x c -+->可得解集A ，再求A B ⋂（2）可先将原式21x bx cx -+-化为()4111x x -+--再借助基本不等式求解即可 试题解析：解：∵关于x 的不等式()220x b x c -++<的解集为{|23}x x <<∴232{23b c+=+⨯=，解得3{6b c ==.（1）不等式()210bx c x c -+->可化为23760x x -->由23760x x -->得23x <-或3x >，即()2,3,3A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭∵[)2,2B =-，∴22,3A B ⎡⎫⋂=--⎪⎢⎣⎭（2）∵1x >，∴10x ->则223611x bx c x x x x -+-+=-- ()()21141x x x ---+=-()4114131x x =-+-≥-=- 当且仅当3x =时等号成立即2361x x x -+-的最小值为319．（Ⅰ）已知a +a －1＝3，求3344a a a a--+-的值； （Ⅱ）化简计算：233(lg5)lg 2lg50(lg 2)3lg 2lg5(lg5)+⨯+⨯+．【答案】（I ） （II ）1 【分析】（I ）利用配方法，求得22a a -+的值，将1a a --两边平方化简后，求得1a a --=.（2）利用对数的运算公式，将lg50化为lg22lg5+并代回原式，合并同类项后化简，可求得最终结果.【详解】（I ）()222127a a a a --+=+-=，()212225a a a a ---=+-=3344a a a a --+-＝()()()()()12211221a a a a a a a a a a -----++-+-+ ＝()()221221a a a a a a ---+--+＝()167a a --＝（II ）()()()233lg5lg2lg50lg23lg2lg5lg5+⨯+⨯+＝()()()()()222lg5lg2lg22lg5lg2lg5lg2lg2lg5lg53lg2lg5++⎡⎤+-⨯++⨯⎣⎦ ＝()()22lg5lg2lg2lg5++＝1 【点睛】本小题主要考查指数的运算，考查对数的运算，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力，属于中档题.20．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0>ω，且()f x 的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程()f x m =有唯一实根，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）15,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）[{2}⋃.【分析】（1）根据()f x 的最小正周期为π，由2T ππω==，求得函数的解析式，再利用正弦函数的性质求解；（2）由（1）得到函数的单调性和最值，画出函数的图象，根据方程()f x m =有唯一实根，利用数形结合法求解.【详解】（1）因为()f x 的最小正周期为π. 所以2T ππω==，解得2ω=， 由222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈解得1212k x k π5ππ-≤≤π+，k Z ∈所以函数的单调递增区间为15,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由（1）得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，又(0)2sin 33⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f π， 552sin 22sin 2121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2sin 23223f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，如图所示：由图象知：若方程()f x m =有唯一实根，则33m -≤<2m =，所以m 的取值范围为[3,3){2}-⋃.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 21．已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-. （1）当m 取何值时，函数的图象与x 轴有交点；（2）如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求m 的值. 【答案】（1）1m ；（2）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）当10m +=时，一次方程有一个根，当10m +≠时，方程有根只需0∆≥；（2）【详解】解：（1）当10m +=时，()43f x x =--，与x 轴有一个交点，所以1m =-成立；当10m +≠时，若与x 轴有交点，只需：2168(1)(21)0m m m ∆=-+-≥得1m 且1m ≠-，所以当1m 时，函数()f x 的图象与x 轴有交点.（2）当1m =-时，则()43f x x =--，从而由430x --=得304x =-<， ∴函数的零点不在原点的右侧，1m =-不成立；当1m ≠-时，有两种情况：①原点的两侧各有一个，则212168(1)(21)02102(1)m m m m x x m ⎧∆=-+->⎪-⎨=<⎪+⎩，解得112m -<<； ②都在原点的右侧，则21212168(1)(21)0402(1)2102(1)m m m mx x m m x x m ⎧⎪∆=-+-≥⎪⎪+=->⎨+⎪⎪-=>⎪+⎩，解得m φ∈，综①②可得11,2m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.【点睛】易错点睛：二次型函数需讨论最高次项的系数，当最高次项系数为0时，不是二次函数；（2）二次函数有根包括有两个相等的实根以及两个不相等的实根两种情况. 22．已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求实数m 的值.（2）令函数2()()6(1)5f x g x ax x a =-+--，当[]4,5x ∈时，求函数()g x 的最大值. （3）是否存在实数p ，a ，当(),2x p a ∈-时，函数()f x 的值域是()1,+∞，若存在，求出实数p ，a ，若不存在，说明理由.【答案】（1）1m =-；（2）max31625,,14933()1,5432531,05a a a g x a aa a ⎧-+≥≠⎪⎪⎪=+<<⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩；（3）存在1p =，2a =【分析】（1）根据奇函数()()0f x f x 恒成立，化简得1m =±，再验证1m =函数无意义，1m =-符合题意即可；（2）先化简为二次函数，再讨论对称轴与区间端点的关系，即结合单调性求得最大值的情况；（3）先求定义域，讨论区间与(,1)-∞-、(1,)+∞的关系，再结合复合函数判断单调性判断最值，根据已知条件值域为()1,+∞列关系，解方程即得结果. 【详解】解：（1）函数1()log (0,1)1amxf x a a x -=>≠-是奇函数. ()()0f x f x ∴-+=，即11log log 11aa mx mx x x +-=----，即1111mx x x mx---=+-恒成立， 化简得222m x x =恒成立，故21m =，所以1m =±，又1m =时，表达式无意义，所以1m =-，1()log 1axf x x +=-符合题意； （2）2()()6(1)5f x g x ax x a=-+--，1()log 1a x f x x +=-，有1log ()111a x f x x a x a x +-+=-=， 2()61g x ax x ∴=-++，[4,5]x ∈，0a >，1a ≠，二次函数开口向下，对称轴3x a=， ①当34a ≤，即34a ≥时，1a ≠时，函数()g x 在[4,5]上单调递减， 所以max ()(4)1625g x g a ==-+，②当35a≥，即305a <≤时，函数()g x 在[4,5]上单调递增，所以max ()(5)2531g x g a ==-+，③当3354a <<时，函数()g x 在34,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以max 39()1g x g a a⎛⎫==+⎪⎝⎭. 综上①②③，max31625,,14933()1,5432531,05a a a g x a a a a ⎧-+≥≠⎪⎪⎪=+<<⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩；（3）由题设知：函数1()log 1axf x x +=-的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞， ①当21p a <-≤-时，有01a <<，而()l 2og 11a f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，复合函数内外两层均是减函数，故()f x 为增函数，要使其值域为(1,)+∞，知1log 1121a p p a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩(与题设矛盾，无解)；②当12p a ≤≤-时，有3a >，而()l 2og 11a f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，复合函数外层log a y u =是()0,∞+上增函数，内层112u x =+-是(),2x p a ∈-上的减函数，故()f x 为减函数， 要使其值域为(1,)+∞，知11(2)log 13a p a f a a =⎧⎪-⎨-==⎪-⎩，解得1p =，2410a a -+=，即2a =2a =.综上①②知，存在这样的实数p ，a 满足条件，1p =，2a =【点睛】思路点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分四种情况：（1）轴定区间定，（2）轴定区间动，（3）轴动区间定，（4）轴动区间动，这四种情况都需要先判定抛物线开口方向，再按照三个方向来研究最值，对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而利于单调性判断最值.。
2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期9月月考数学试题(解析版)
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注：资料封面，下载即可删除2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期9月月考数学试题一、单选题1．下列各式表述正确的是（ ） A ．20{0}x ∈= B ．0{(0,0)}∈C ．0N ∈D ．0∈∅【答案】C【解析】根据元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项． 【详解】2{0}x =表示集合中有一个元素是20x =，20{0}x ∴∉=，A 错误，{(0,0)}表示集合中有一个元素为(0,0)，0{(0,0)}∴∉，B 错误，N 表示自然数集，包含数0，0N ∴∈成立，C 正确， φ表示集合一个元素也没有，0φ∴∉，D 错误.故选：C 【点睛】本题考查集合的含义，以及元素与集合的关系，属于基础题. 2．已知集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．MNB ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M 与N 的关系不确定 【答案】B【解析】整数分为奇数和偶数，由此可得答案． 【详解】 解：∵1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭211,4222n n x x ⎧==+=+⎨⎩或21111,4224n n x n Z ++⎫=+=+∈⎬⎭， 且1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， ∴M N ⊆， 故选：B ．本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题． 3．设0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）A ．2a ba b +<<<B ．2a ba b +<<C ．2a ba b +<<<D 2a ba b +<<< 【答案】B【解析】利用不等式的基本性质和基本不等式即可求出答案． 【详解】解：∵0a b <<，2a b+，a <22a b b b b ++<=，∴2a ba b +<<<， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质和基本不等式的应用，属于基础题． 4．集合{}{}1,2,3,4,(1)()0A B x x x a ==--<若集合{}2,3A B =，则实数a 的范围是（ ） A ．34a << B ．34a <≤C ．34a ≤<D ．3a >【答案】B【解析】分类讨论a 的值，根据集合间的交集运算，确定实数a 的范围. 【详解】当1a <时，{1}B xa x =<<∣，显然不满足{}2,3A B =当1a =时，B =∅，不满足{}2,3AB =当1a >时，{1}B xx a =<<∣，因为{}2,3A B =，所以34a <≤故选：B 【点睛】本题主要考查了根据交集运算的结果确定参数的范围，属于基础题.5．若集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．{}19a a ≤≤B ．{}69a a ≤≤C ．{}9a a ≤D ．φ【解析】若A =∅，即2135a a +>-，解得6a <时，满足A B ⊆成立，若A ≠∅，即6a ≥时，要使A B ⊆成立，则2133522a a +≥⎧⎨-≤⎩，即19a a ≥⎧⎨≤⎩，解得19a ≤≤，此时69a ≤≤，综上，9a ≤，故选C.6．已知,a b +∈R ，21a b +=，求11a b+的最小值为（ ）A ．3+B ．3-C ．D ．4【答案】A【解析】由正实数a ，b 满足21a b +=，代入()1111223b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】 解：正实数a ，b 满足21a b +=，则()111122233232b a b aa b a b a b a b a b⎛⎫+=++=+++=+ ⎪⎝⎭当且仅当1a ==时取等号．故选：A 【点睛】本题考查基本不等式的性质，考查乘1法则,考查推理能力与计算能力，属于基础题． 7．已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．10【答案】D【解析】列举法得出集合()()()()()()()()()(){}2,1314151324252435354B =，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共含10个元素．故答案选D8．若关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,4]-B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．[2,5]-【答案】A【解析】试题分析：由题意得，因为0x >，则4424x x x x+≥⋅=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，又关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则234a a -≤，即，解得14a -≤≤，故选A.【考点】基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.二、多选题9．下面关于集合的表示正确的是（ ）①{2,3}{3,2}≠；②{}{}(,)11x y x y y x y +==+=； ③{}{}11x x y y >=>；④{}{}11x x y y x y +==+= A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】CD【解析】根据集合中元素的特征，可得判定①不正确；根据集合的表示方法和集合的元素的特征，可判定②不正确；③④正确，即可得到答案. 【详解】根据集合元素的无序性和集合的表示，可得{2,3}{3,2}=，所以①不正确；根据集合的表示方法，可得集合{}(,)1x y x y +=为点集，集合{}1y x y +=表示数集， 所以{}{}(,)11x y x y y x y +=≠+=，所以②不正确；根据集合的表示方法，可得集合{}{}11x x y y >=>，所以③正确； 根据集合的表示方法，可得集合{}{}1,1x x y R y x y R +==+==， 所以{}{}11x x y y x y +==+=，所以④是正确的. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中熟记集合的表示方法，合理推算是解答的关键，属于基础题.10．下列四个命题中，是真命题的有（ ）A ．没有一个无理数不是实数B ．空集是任何一个集合的真子集C ．已知,m n ∈R ，则“||||1m n +>”是“1n <-”的必要不充分条件D ．命题“对任意2,220x x x ∈++>R ”的否定是“存在2,220x x x ∈++≤R ” 【答案】ACD【解析】根据实数、空集的概念分别判断A 、B ；举反例判断C ；全称命题的否定为特称命题，D 正确. 【详解】所有的无理数均是实数，A 正确； 空集是任何集合的子集，B 错误；若1n <-，则||1n >，||||1m n +>成立；可取1,1m n ==时，||||21m n +=>，故C 正确；全称命题的否定为特称命题，D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查实数的概念、空集的概念、必要不充分条件的判断、含有一个量词的命题的否定，属于基础题.11．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的有（ ）①1ab ≤≤；③222a b +≥；④112a b+≥ A ．① B ．② C ．③D ．④【答案】ACD【解析】①.由2a b +=≥②.由()22=++≤+a b a b 判断；③.由()2222a b a b ab +=+-判断；④.由()111111122⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b 判断. 【详解】因为0a >，0b >，2a b +=，所以2a b +=≥1≤，故A 正确；因为()224=++≤+=a b a b 2，故B 错误；因为()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，故C 正确；因为()11111111122222⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b ，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 12．设a b c >>，使不等式11ma b b c a c+≥---恒成立的充分条件是（ ） A ．4m ≤ B ．3m ≤C ．4m ≥D ．5m ≤【答案】AB【解析】把不等式11m a b b c a c +≥---恒成立，即a c a c m a b b c --≤+--恒成立，结合基本不等式，求得a c a ca b b c--+--的最小值为4，进而结合选项，即可求解. 【详解】因为a b c >>，可得0,0,0a b b c a c ->->->，又由不等式11m a b b c a c +≥---恒成立，即a c a c m a b b c --≤+--恒成立， 因为()()()()2a c a c a b b c a b b c b c a ba b b c a b b c a b b c---+--+---+=+=++------24≥+=，当且仅当b c a b a b b c --=--时，即2b a c =+时等号成立， 所以a c a ca b b c--+--的最小值为4，故4m ≤， 所以结合选项，可得不等式11m a b b c a c+≥---恒成立的充分条件是4m ≤和3m ≤. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了充分条件的判定及应用，以及利用基本不等式求最小值，其中解答中熟练应用基本不等式求得a c a ca b b c--+--的最小值，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、填空题13．设{}28150A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 组成的集合C =________.【答案】110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】解出集合A ，由A B B =，可得出B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，可得出实数a 的值. 【详解】{}{}281503,5A x x x =-+==，且A B B =，B A ∴⊆.当B =∅时，则0a =，此时B A ⊆成立；当B ≠∅时，则0a ≠，此时{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，则有13a=或15a =，解得13a =或15a =.因此，110,,35C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.故答案为：110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，解题时要对含参集合分空集和非空集合两种情况讨论，考查分类讨论思想的应用，属于基础题.14． 一元二次不等式26x x <+的解集为_________． 【答案】(-2，3)【解析】试题分析：解不等式,解得.【考点】解一元二次不等式.15．若集合{}2|320A x ax x =-+=中至多有一个元素，则实数a 的取值范围是________． 【答案】0a =或98a ≥【解析】条件可转化为方程2320ax x -+=至多有一个根，然后分0a =和0a ≠两种情况讨论即可. 【详解】因为集合{}2|320A x ax x =-+=中至多有一个元素所以方程2320ax x -+=至多有一个根， 当0a =时解得23x =，满足题意 当0a ≠时，980a ∆=-≤，解得98a ≥ 综上：0a =或98a ≥ 【点睛】解答本题时一定要注意讨论0a =的情况，否则就会漏解.16．集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意的,a b G ∈，都有a b G ⊕∈；（2）存在e G ∈，对任意a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G ={非负整数}，⊕为整数的加法；②G ={偶数}，⊕为整数的乘法；③G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是________．（写出所有“融洽集”的序号） 【答案】①【解析】根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e 进行验证，分别用加法、乘法的法则判断，只有都满足时才是G 关于运算⊕为“融洽集”． 【详解】根据题意，判断给出的集合对运算⊕是否满足条件（1）（2）即可．其中，条件（1）的含义是：集合G 中任意两个元素关于运算⊕的结果仍然是集合G 的元素；条件（2）的含义是：集合G 中存在元素e ，它与G 中任何一个元素a 关于运算⊕满足交换律，且运算结果等于a ．①中，G ={非负整数}，⊕为整数的加法，满足对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈，且存在0e =，使得00a a a ⊕=⊕=，所以①中的G 关于运算⊕为“融洽集”； ②中，G ={偶数}⊕为整数的乘法，若存在e G ∈，使a e e a a ⊕=⊕=，则1e =，与e G ∈矛盾，所以②中的G 关于运算⊕不是“融洽集”；③中，G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以③中的G 关于运算⊕不是“融洽集”． 综上，G 关于运算⊕为“融洽集”的只有①． 故答案为① 【点睛】本题考查了学生对新定义的理解和运用能力，可结合学过的运算性质进行类比理解，比如：第一条是运算的封闭性，第二条如加法中的“0”或乘法中的“1”．四、解答题17．设命题:p x ∃∈R ，2230x x m -+-=，命题:q x ∀∈R ，222(5)190x m x m --++≠.若p 、q 都为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】3|45m m ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【解析】先求出命题,p q 为真时，m 的取值范围，再取交集可得答案. 【详解】若命题:p x ∃∈R ，2230x x m -+-=为真命题，则44(3)0m ∆=--≥，解得4m ≤； 若命题:q x ∀∈R ，222(5)190x m x m --++≠为真命题，则命题:q x ∃∈R ，222(5)190x m x m --++=为假命题，即方程222(5)190x m x m --++=无实数根， 因此，()224(5)4190m m ∆=--+<，解得35m >. 又p 、q 都为真命题，所以实数m 的取值范围是33{|4}||455m m m m m m ⎧⎫⎧⎫≤⋂>=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭.【点睛】本题考查全称命题与特称命题的真假求参数值、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 18．解关于x 的不等式：(1)(1)0(0)ax x a -->>. 【答案】当01a <<时，解集为{1x x <或1x a ⎫>⎬⎭； 当1a =时，解集为{x x R ∈且}1x ≠； 当1a >时，解集为1x x a⎧<⎨⎩或}1x >. 【解析】根据0a >，结合方程(1)(1)0ax x --=两根大小的关系分类讨论,求解不等式的解集即可. 【详解】0a >，∴方程(1)(1)0ax x --=的两根分别为121,1==x x a（1）当01a <<时，11a >∴解得：1x <或1x a>； （2）当1a =时，原不等式即为2(1)0x ->，解得：1x ≠（3）当1a >时，11a <，∴解得：1x a<或1x > 综上可知：当01a <<时，解集为{1x x <或1x a ⎫>⎬⎭； 当1a =时，解集为{x x R ∈且}1x ≠；当1a >时，解集为1x x a⎧<⎨⎩或}1x >. 【点睛】 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.19．已知集合{}()22(2)[(31)]0,01x a A x x x a B x x a ⎧⎫-⎪⎪=--+<=<⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭其中1a ≠ （1）当2a =时，求A B ；（2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围【答案】（1）(4,5)A B ⋂=；（2）13a 或1a =-.【解析】（1）由交集的定义直接计算即可；（2）分13a <，13a =，13a >三种情况讨论得出. 【详解】（1）当2a =时，(2,7),(4,5),(4,5)A B A B ==∴⋂=（2）()22,1B a a =+当13a <时，(31,2)A a =+，要使B A ⊆，必须2231121a a a a ≥+⎧⎪+≤⎨⎪≠⎩，此时1a =-； 当13a =时，A =∅，使B A ⊆的a 不存在； 当13a >时，(2,31)A a =+，要使B A ⊆，则2221311a a a a ≥⎧⎪+≤+⎨⎪≠⎩，解得13a ， 综上可得：a 的取值范围是13a或1a =-.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查根据集合包含关系求参数，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，属于基础题.20．某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2．5米，前后墙用2．5米高的彩色钢板，两侧用2．5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2．5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为x ，两侧墙的长为y ，一套简易房所用材料费为p ，试用,x y 表示p ．（2）一套简易房面积S 的最大值是多少？当S 最大时，前面墙的长度是多少？【答案】（1）；（2） 100，．【解析】试题分析：（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，；（2） S xy =根据基本不等式得200120032000S S +≤，解得0100S <≤．试题解析：（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，（2）∵S xy =，∴90040020029004002002001200p x y xy S S S S =++≥⨯+=+又因为32000p ≤，所以200120032000S S +≤，化简得61600S S +-≤， 解得1610S -≤≤，又0S >，∴0100S <≤，当且仅当900400{100x y xy ==，即203x =时S 取得最大值． 答：每套简易房面积S 的最大值是100平方米，S 最大时前面墙的长度是米． 【考点】数学建模能力及利用基本不等式求最值．21．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥.（1）当3a =时，求AB ； （2）若“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，且A ≠∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤；（2）{}01a a ≤<.【解析】(1)根据两个集合交集运算性质即可解得;(2) “x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件即A B R ，然后求解出集合B 的补集，根据集合间的关系列出关于a 的不等式即可解得范围.【详解】（1）当3a =时，{}15A x x =-≤≤，又{1B x x =≤或}4x ≥， {11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤（2）{1B x x =≤或}4x ≥，{}R 14B x x =<<.由“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，得A B R ，.又{}22,A x a x a A =-≤≤+≠∅， 222124a a a a -≤+⎧⎪∴->⎨⎪+<⎩，01a ∴≤<即实数a 的取值范围是{}01a a ≤<.【点睛】：本题考查了集合交集的运算、利用集合间的关系求解参数的范围，属于中档题目，解题中需要准确的将充分条件和必要条件的关系转化为集合间的关系.22．设504a <≤，若满足不等式22()x ab -<的一切实数x ，亦满足不等式()2214x a -<求正实数b 的取值范围. 【答案】30,16⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】先化简集合,A B ,从而得到221212b a a b a a ⎧≤-+-⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，504a ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，分别求出两个不等式中b 的范围即得解.【详解】设集合{}22()(,)A x x a b a b a b =-<=-+，()2222111{|},422B x x a a a ⎛⎫=-<=-+ ⎪⎝⎭由题设知A B ⊆，则221212a b a a b a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩于是得不等式组221212b a a b a a ⎧≤-+-⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，504a ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭ 又22113224a a a ⎛⎫-+-=--+ ⎪⎝⎭，函数的最小值为316； 22111224a a a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，函数的最小值为14； 316b ∴≤， 所以b 的取值范围是30,16⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
湖北省荆州中学2020-2021学年高一月考数学答案
答 案1. C2. B3. B4. D5. C6. D7. A8. A9. ABD10. BD 11. ABC12. ABD 13. 1214. {α|n ·180°+30°≤α<n ·180°+105°,n ∈Z} 15. 4√3 16. −32⩽a ⩽√217. 解：(1)∵点P(1,t)在角θ的终边上，且sinθ=−√63，∴t <0， ∴t √1+t2=−√63，解得t =−√2(正值舍去)，∴cosθ=1√1+t 2=1√3=√33；=−√2sinθ−cosθ−3sinθcosθ=−1．18. 解：(1)关于x 的不等式的解集为∴{2+3=b +22×3=c ，解得{b =3c =6；∴不等式可化为，由，解得或，即；又；，，则=(x −1)+4x−1−1⩾4−1=3，当且仅当x =3时等号成立，即x 2−3x+6x−1的最小值为3．19. 解：(1)∵a +a −1=3，∴a 2+a −2=(a +a −1)2−2=9−2=7，a −a −1=±√(a −a −1)2=±√(a +a −1)2−4=±√5．∴a 3+a −3a 4−a −4=(a +a −1)(a 2+a −2−1)(a −a −1)(a +a −1)(a 2+a −2) =a 2+a −2−1(a−a −1)(a 2+a −2)，∴当a −a−1=√5时，a 3+a −3a 4−a −4=a 2+a −2−1(a−a −1)(a 2+a −2)=√5×7=6√535， 当a −a −1=−√5时，a 3+a −3a 4−a −4=a 2+a −2−1(a−a −1)(a 2+a −2)=√5×7=−6√535．∴a 3+a −3a 4−a −4=±6√535(2)(lg5)2+lg2×lg50(lg2)3+3lg2×lg5+(lg5)3=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5)(lg2+lg5)[(lg2)2−lg2lg5+(lg5)2]+3lg2×lg5=(lg5+lg2)2(lg2+lg5)2=1．第2页，共3页20. 解：(Ⅰ)因为ω>0由T =2πω=π，解得ω=2， 由2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2,k ∈Z ， 解得，kπ−π12≤x ≤kπ+5π12,k ∈Z ， 所以函数的单调递增区间为．(Ⅱ)由(Ⅰ)得f (x )=2sin (2x −π3)在[0,5π12]递增，[5π12,π2]递减， f (0)=2sin (−π3)=−√3，f (5π12)=2sin (2×5π12−π3)=2sin π2=2f (π2)=2sin (2×π2−π3)=√3 ， 若方程f (x )=m 有唯一实根，则−√3≤m <√3或m =2， 所以m 的取值范围为[−√3,√3)⋃{2}.21. 解：(1)原题意中包含函数f(x)的图象与x 轴有两个交点，即方程2(m +1)x 2+4mx +2m −1=0有两个不相等的实根，得m <1且m ≠−1，和只有一个交点即m =−1时∴当m <1时，函数f(x)的图象与x 轴有交点．(2)m =−1时，则f(x)=−4x −3，从而由−4x −3=0得x =−34<0， ∴函数的零点不在原点的右侧， 当m ≠−1时，有两种情况： ①原点的两侧各有一个，则 {Δ=16m 2−8(m +1)(2m −1)>0x 1x 2=2m−12(m+1)<0，解得−1<m <12；②都在原点的右侧，则 {Δ=16m 2−8(m +1)(2m −1)≥0x 1+x 2=−4m2(m+1)>0x 1x 2=2m−12(m+1)>0，解得m ∈ϕ ， 综①②可得m ∈(−1,12)．22. 解：(1)∵函数是奇函数．∴f(−x)+f(x)=0 ，解得m =±1又 m =1时，表达式无意义，所以m =−1; (2)∵g(x)=−ax 2+6(x −1)a f(x)−5，，∴g(x)=−ax 2+6x +1， x ∈[4,5]且a >0,a ≠1 ， ①当3a ⩽4⇒a ⩾34,a ≠1时，函数g(x)在[4,5]上单调递减， 所以g(x)max =g(4)=−16a +25，②当3a ⩾5⇒0<a ⩽35时，函数g(x)在[4,5]上单调递增 ， 所以g(x)max =g(5)=−25a +31，③当35<a <34时，函数g(x)在[4,3a ]上单调递增，在[3a ,5]上单调递减， 所以g(x)max =g(3a )=9a +1．综上①②③，g(x)={−16a +25,a ≥34,a ≠19a +1,35<a <34−25a +31,0<a ≤35 ; (3)由题设知：函数f(x)的定义域为，①当p <a −2⩽−1时，有0<a <1． 此时f(x)为增函数，其值域为 ，知与题设矛盾，无解)；②当1⩽p ⩽a −2时，有a >3. 此时f(x)为减函数，其值域为，知，解得a =2+√3,p =1.符合题意，综上①②：存在这样的实数p,a 满足条件，p =1,a =2+√3．。
湖北省荆州市高一上学期数学期中考试试卷
湖北省荆州市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 6 题；共 12 分)1. （2 分） (2020 高一上·遂宁期末) 已知集合 A= A . A=B B . A B= C.A B D.B A,B=，则（ ）2. （2 分） (2018 高一上·西宁期末) 下列函数中，既是偶函数，又在区间 A.上是增函数的为（ ）B. C.D.3. （2 分） (2017 高三上·惠州开学考) 函数 f（x）= A . {x|x＜1} B . {x|0＜x＜1} C . {x|0＜x≤1} D . {x|x＞1}+的定义域为（ ）4. （2 分） 已知 A . 1或2，若， 则 x 的值是（ ）第1页共8页B . 2 或－1 C . 1 或－2 D . ±1 或±2 5. （2 分） 下列函数中，既是偶函数又在区间 A. B. C. D.上单调递增的函数为（ ）6. （2 分） 设变量 a，b 满足约束条件： 的极小值等于（ ）的最小值为 m，则函数A.-B.C.2D.二、 填空题 (共 8 题；共 32 分)7. （5 分） (2017 高一上·金山期中) 若全集 U={1，2，3，4，5}，且∁UA={2，3}，则集合 A=________．8. （5 分）________9. （5 分） (2019 高一上·宁乡期中) 若函数 ________．第2页共8页，则函数的零点个数为10. （5 分） (2018 高一上·张掖期末) 函数 递减区间是________．11. （1 分） (2018 高二上·凌源期末) 已知函数 解集为________．12. （1 分） (2019 高一上·山西月考) 已知集合若，实数 的取值范围是________．，当时，，则该函数的单调，则关于 的不等式的，集合，13. （5 分） (2018 高一上·北京期中) 已知 a＞0 且 a≠1，函数 f（x）=满足对任意不相等的实数 x1 ， x2 ， 都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，成立，则实数 a 的取值范围________．14. （5 分） (2017·杨浦模拟) 已知函数 f（x）= 围为________．的最小值为 a+1，则实数 a 的取值范三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)15. （5 分） (2016 高一上·商州期中) 不用计算器求下列各式的值（1） （2 ） ﹣（﹣9.6）0﹣（3 ） +（1.5）﹣2（2） lg5+lg2﹣（﹣ ）﹣2+（ ﹣1）0+log28．16. （10 分） (2019 高二上·阜阳月考) 已知命题 ：关于 的不等式指数函数是 上的增函数.（1） 若命题为真命题，求实数 的取值范围；（2） 若满足 为假命题且 为真命题的实数 取值范围是集合 ，集合且，求实数 的取值范围.无解；命题 ： ，17. （15 分） 设集合 （1） b 的取值范围是________；，B={（x，y）|y≤﹣|x|+b}，A∩B≠∅．第3页共8页（2） 若（x，y）∈A∩B，且 x+2y 的最大值为 9，则 b 的值是________．18. （10 分） (2016 高一上·江北期中) 求函数 y=2x﹣的值域：19. （10 分） (2019 高一上·都匀期中) 已知函数为偶函数，且．（1） 求 的值，并确定的解析式；（2） 若(且)，求在上值域．20. （15 分） (2019 高三上·番禺月考) 2019 年 3 月 5 日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提 到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部 2014 年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定： 每篇抽检的学术论文送 3 位同行专家进行评议，3 位专家中有 2 位以上（含 3 位）专家评议意见为“不合格”的学 术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有 1 位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外 2 位 同行专家（不同于前 3 位专家）进行复评，2 位复评专家中有 1 位以上（含 1 位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1） 若，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2） 现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元，需要复评的总评审费用 1500 元；若某次评审抽 检论文总数为 3000 篇，求该次评审费用期望的最大值及对应 的值．第4页共8页一、 单选题 (共 6 题；共 12 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、二、 填空题 (共 8 题；共 32 分)7-1、参考答案8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)第5页共8页15-1、15-2、 16-1、16-2、 17-1、 17-2、第6页共8页18-1、 19-1、 19-2、第7页共8页20-1、 20-2、第8页共8页。
湖北省荆州市沙市第四中学2020-2021学年高一上学期期中数学试卷及解析
湖北省荆州市沙市第四中学2020-2021学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知命题200:,10p x R x ∃∈+<，那么命题p 的否定是（ ） A.200,10x R x ∃∈+>B.200,10x R x ∃∈+≥C.200,10x R x ∀∈+≥ D.200,10x R x ∀∈+<2.函数y = ）A.13,24⎛⎫-⎪⎝⎭B.13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.()1,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭3.已知集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，且A B R =，则实数a 的取值范围是（ ）A.1a <B.1a >C.1a ≤D.1a ≥4.“x 0＞”是“20x x +>”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数f （x ）=-2x 2+4x ，[]0,3x ∈的值域为（ ） A.[]6,2-B.[]6,0-C.(],2-∞D.[]0,26.若1x >，则1411x x ++-的最小值等于（ ） A.6B.9C.4D.17.若关于x 的一元二次不等式2210ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A.(,0)(1,)-∞⋃+∞ B.(0,1) C.(,0](1,)-∞+∞D.[0,1]8.定义域均为R 的两个函数()f x ，()g x ，“()()f x g x +为偶函数”是“()f x ，()g x 均为偶函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题）二、填空题9.已知,0()22,0x x x f x x ⎧<=⎨-≥⎩则((2))f f -=________.10.函数12y x =-的单调减区间为______. 11.已知函数()f x 是定义在（-2，2）上的奇函数且是减函数，若()()1120f m f m -+-≥，则实数m 的取值范围是______．12.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则[(0)]f f =_________；()2f x≤的解集为________.三、解答题13.已知函数f x x mx =+的图象过点()1,5. （1）求实数m 的值； （2）判断函数()f x 的奇偶性.14.已知函数()2212411491x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎪⎩，，， （1）求(){}2ff f -⎡⎤⎣⎦的值；（2）若()3f a =，求实数a 的值.15.设集合{|2A x x =≤或6}x ≥，{|13}B x x =-<<，{|13}C x m x m =-<<+. （1）求AB ；（2）若C A ⊆，求实数m 的取值范围.16.（1）已知13x<<，求()()13f x x x=-的最大值.（2）已知x，y为正实数，且115x yx y+++=，求x y+的最大值.17.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就能减少10个.（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？（2）这种台灯的售价应定为多少元时利润最大？18.已知函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数．（1）求实数m的值；（2）判断并证明函数y=f(x)在(−∞,0]上单调性；在[−3,2]上的最大值与最小值．四、新添加的题型19.（多选）已知集合2{|320}x x x=-+=，{|20}B x ax=-=，若A B B=，则实数a的值可能为（）A.0B.1C.2D.320.（多选）下列函数中，满足“1x∀，()2x∞∈+，，都有1212()()f x f xx x-<-”的有（）A.()1f x x=- B.()31f x x=-+ C.()243f x x x=++ D.()2f xx=21.（多选）下列命题中是真命题的有（）A.“11a b>>，”是“1ab>”成立的充分不必要条件B.“0a b>>”是“22a b>”成立的充要条件C.“a b>”是“11a b<”成立的既不充分又不必要条件D.若x∈R，则函数y= 222.(多选)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)＝x－x2，则下列说法正确的是（）A.f (x)的最大值为14B.f (x)在(－1，0)上是增函数C.f (x)＞0的解集为(－1，1)D.f (x)＋2x≥0的解集为[0，3]参考答案1.C【解析】1.根据特称命题的否定的求解原则，即可写出其命题的否定.命题200:,10p x R x ∃∈+<，那么命题p 的否定是：200,10x R x ∀∈+≥.故选：C. 2.B【解析】2.令210340x x +≥⎧⎨-≥⎩，解不等式可得答案．令210340x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得1324x -≤≤故选：B 3.C【解析】3. 由A B R =即可求出a 的取值范围.解：{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，且A B R =，得：1a ≤. 故选：C. 4.A【解析】4.设A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＜1-,或x ＞0}，判断集合A ，B 的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案． 设A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＜1-,或x ＞0}， ∵A ≠⊂B ， 故“x ＞0”是“20x x +>”成立的充分不必要条件． 故选：A ． 5.A【解析】5.求出二次函数的对称轴方程，得到函数的单调区间，从而得出其最值，得到答案. 二次函数()224f x x x =-+开口向下，对称轴为1x =，则函数在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,3]上单调递减， 函数的最大值为()12f =， 函数的最小值为()36f =-， 据此可得函数的值域为[−6,2]. 故选：A 6.B【解析】6.配凑出基本不等式的结构求解即可.()11414155911x x x x ++=-++≥=--,当且仅当()2411x -=,32x =时取等号. 故答案为：9 7.B【解析】7.由于一元二次不等式2210ax ax ++>的解集为R ，所以可得其对应的二次函数开口向上，且与x 轴无交点，所以00a >⎧⎨∆<⎩，从而可求出a 的取值范围由题，因为为一元二次不等式，所以0a ≠ 又因为2210ax ax ++>的解集为R 所以201(2)40a a a a >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩故选：B 8.B【解析】8.由函数()f x ，()g x 定义在R 上，令()()()h x f x g x =+，则()()()h x f x g x =+的定义域也为R ，关于原点对称，只要看()h x -与()h x 的关系即可得出()h x 为偶函数，反之，通过举反例可得出非充分条件． 解：令()()()h x f x g x =+，由()f x ，()g x 均为偶函数，则x ∈R ，()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，故()h x 是偶函数，即必要性成立；反之，设2()f x x x =+，()2g x x =-，()2()()2h x f x g x x =+=+是偶函数，而()f x ，()g x 均不是偶函数，故充分性不成立；则“()()f x g x +为偶函数”是“()f x ，()g x 均为偶函数”的必要不充分条件． 故选：B ． 9.14【解析】9.根据函数解析式，由内而外，逐步计算， 即可得出结果.因为2,0()22,0x x x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，所以2(2)(2)4f -=-=，则4((2))(4)2216214f f f -==-=-=. 故答案为：14. 10.(,2)-∞、(2,)+∞【解析】10. 先求出函数12y x =-的定义域，再画出函数图像，结合图像即可求出函数12y x =-的单调递减区间. 解：由12y x =-知2x ≠， 即12y x =-的定义域为()(),22,-∞+∞，作出12y x =-的图像如图所示：由图可知：12y x =- 的单调递减区间为(,2)-∞和(2,)+∞. 故答案为：(,2)-∞、(2,)+∞. 11.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】11.由奇函数定义把不等式化为()()121f m f m -≥-，再由单调性求解，注意函数的定义域． 由题意知212,2122,m m -<-<⎧⎨-<-<⎩解得1322m -<<，∵函数()f x 为奇函数，由()()1120f m f m -+-≥，得 ()()121f m f m -≥- ∵函数()f x 在（－2，2）上是减函数，∴121m m -≤-，解得0m ≥∴实数m 的取值范围是30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故答案为：30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 12.2 {|14}x x ≤≤【解析】12.根据图像得到函数表达式()()()2262402x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+≤<⎪⎩，计算()04f =再计算[(0)]f f 得到答案；分段解不等式()2f x ≤得到答案.根据图像易知()()()2262402x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+≤<⎪⎩故()04f =，()[(0)]42f f f ==；当26x ≤≤时，()2f x ≤即224x x -≤∴≤故24x ≤≤；当02x ≤<时，()2f x ≤即2421x x -+≤∴≥故12x ≤< 综上所述：{|14}x x ≤≤ 故答案为：2；{|14}x x ≤≤ 13.（1）4m =；（2）()f x 为奇函数.【解析】13.（1）由()15f =可求得实数m 的值；（2）求出函数()f x 的定义域，计算出()f x -与()f x 的关系，进而可得出结论. （1）因为函数()f x 的图象过点()1,5，所以()115f m =+=，即4m =； （2）由（1）可得函数()334f x x mx x x =+=+，该函数的定义域为R ，因为()()()()333()444f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，即()()f x f x -=-成立，故()f x 为奇函数. 14.（1）21；（2）12-.【解析】14.（1）代入求值即可；（2）对a 进行讨论，令()3f a =解出即可.解：(1)函数()2212411491x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎪⎩，，，， ()2212f ∴-=-=-， ()2(1)2146f f f ⎡⎤-==⨯+=⎣⎦，(){}()226646921f f f f ⎡⎤-==-⨯+=⎣⎦； ()(2)3f a =，∴当1a <-时，()23f a a=-=，解得：23a =-，不成立； 当11a -≤≤时，()243f a a =+=， 解得：12a =-，成立； 当1a >时，()2493f a a a =-+=， 此方程无解，综上所述：实数a 的值为12-. 15.（1）{|12}A B x x =-<≤；（2）{|1m m ≤-或7}m ≥.【解析】15.（1）由集合的交集运算求解即可；（2）根据集合的包含关系求解实数m 的取值范围. 解：（1）{|2A x x =≤或6}x ≥，{|13}B x x =-<<{|12}A B x x ∴⋂=-<≤；（2）{|13}C x m x m =-<<+，C A ⊆32m ∴+≤或16m -≥，即1m ≤-或7m ≥∴实数m 的取值范围是{|1m m ≤-或7}m ≥.16.（1）112；（2）4.【解析】16.（1）利用基本不等式可求最大值.（2）利用基本不等式可得()2()540x y x y +-++≤，从而可求x y +的最大值.解：（1）若103x <<，则031x <<，130x ∴->， ()()()()231311113313[]33212x x f x x x x x +-⎡⎤=-=⋅⋅-⋅=⎣⎦， 当且仅当：313x x =-，即16x =时，取“=”，因此，函数()f x 的最大值为112. （2）115x y x y+++=，()()()1152224y xx y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤∴+-+=++=+++= ⎪⎣⎦⎝⎭， ()2()540x y x y ∴+-++≤，14x y ∴≤+≤，∴当且仅当2x y ==时，x y +取最大值4.17.（1）50元或80元；（2）65元.【解析】17.（1）设商品售价x 元/个，根据题意可得关于x 的方程，求解后可得其值.（2）设利润为y 元，则根据题意可得()2y 10x 6512250=--+，根据二次函数的性质可得所求的最大值.解：（1）设商品售价x 元/个，则()()30600104010000x x ---=⎡⎤⎣⎦， 其中()6001040040x x ⎧-->⎨≥⎩，故40100x ≤<.又213040000x x -+=， 解得50x =或80x =，即为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为50元或80元. （2）设利润为y 元，则()()306001040y x x =---⎡⎤⎣⎦210130030000x x =-+-()2106512250x =--+，40100x ≤<，∴当65x =时，y 有最大值12250，答：销售单价定为65元时，最大总利润为12250元.18.（1）m =0；（2）详见解析；（3）最大值为1，最小值为110.【解析】18.试题分析：（1）依据偶函数的定义建立方程求出实数m 的值；（2）先判断其单调性，然后再运用单调性的定义及差比法进行推理和证明；（3）借助（2）中的单调性及函数的对称性进行推断和探求最大、小值。
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2020-2021学年湖北省荆州中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知A＝{x|2x﹣1＞5}，B＝{3，4，5，6}，则A∩B＝（）A．[3，+∞）B．∅C．{3，4，5，6}D．{4，5，6} 2．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0B．f（x）＝x﹣1，C．f（x）＝x，D．f（x）＝|x|，3．（5分）已知a，b，c，d为实数，则“a+b＞c+d”是“a＞c且b＞d”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）从甲地到乙地通话m分钟的电话费由（元）决定，其中m＞0，＜m＞是不小于m的最小整数（如：＜3＞＝3，＜3.8＞＝4，＜5.1＞＝6），则从甲地到乙地通话时间为7.3分钟的电话费为（）A．4.24元B．4.77元C．5.30元D．4.93元5．（5分）已知函数，则f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．6．（5分）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c7．（5分）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知f（x）为定义在实数集R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f （2）＝0，则不等式x•f（1﹣x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞）二、多项选择题（共4小题）9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的有（）A．f（﹣1）＝0B．f（x）在（﹣1，0）上是增函数C．f（x）＞0的解集为（0，1）D．f（x）的最大值为10．（5分）定义一种运算．设f（x）＝min{4+2x﹣x2，|x﹣t|}（t为常数），且x∈[﹣3，3]，则使函数f（x）最大值为4的t值可以是（）A．﹣2B．6C．4D．﹣411．（5分）对于实数a，b，m，下列说法正确的是（）A．若am＞bm，则a＞bB．若b＞a＞0，m＞0，则＞C．若a＞b＞0且|lna|＝|lnb|，则2a+b∈（3，+∞）D．若a＞b，则a3+b3＞a2b+ab212．（5分）下列说法正确的是（）A．“”的否定是“∀x∈R，2x≤x2”B．函数的最小值为6C．函数的单调增区间为D．a＞b的充要条件是a|a|＞b|b|三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知f（x）＝ax5+bx3+2且f（﹣5）＝16，则f（5）的值为．14．（5分）函数f（x）＝2x+的定义域为，值域为．15．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+2x+a，，若对任意x1∈[0，3]，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知正实数a，b满足，则a+b的最大值为．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）计算或化简：（1）0.001﹣（）0+16+100×（）6．（2）log354﹣log32+5+log74•log27．18．（12分）已知集合A＝{x|24x+5≥26x}，B＝{x|2x2+x﹣15≤0}．（Ⅰ）求A和（∁R A）∪B；（Ⅱ）集合，若C⊆B，求实数k的取值范围：19．（12分）已知f（x）＝ax2+bx+3，且{x|f（x）＝0}＝{1，3}．（Ⅰ）求实数a和b的值，并求g（x）＝（x＞0）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）﹣mx2+（3m+7）＞0对一切实数x都成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知f（x）＝log2（x﹣1）．（Ⅰ）若f（x0+1）+f（x0﹣1）＝0，求x0的值；（Ⅱ）记g（x）＝f（x）+f（6﹣x），（1）求g（x）的定义域D，并求g（x）的最大值m；（2）已知4a+log2a＝2b+log2+﹣，试比较b与ma的大小并说明理由．21．（12分）如图所示，河（阴影部分）的两岸分别有生活小区ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB ＝FE＝3千米，千米，千米，EC＝千米，若以OA，OD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系xOy，则河岸DE可看成是函数（其中a，b是常数）图象的一部分，河岸AC可看成是函数y＝kx+m（其中k，m为常数）图象的一部分．（Ⅰ）写出点A和点C的坐标，并求k，m，a，b的值．（Ⅱ）现准备建一座桥MN，其中M在曲线段DE上，N在AC上，且MN⊥AC．记M 的横坐标为t．（1）写出桥MN的长l关于t的函数关系式l＝f（t），并标明定义域；（注：若点M 的坐标为（t，y0），则桥MN的长l可用公式计算）．（2）当t为何值时，取到最小值？最小值是多少？22．（12分）已知函数f（x）＝a x﹣k•a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，且．（Ⅰ）求k的值，并判断f（x）的单调性（不要求证明）；（Ⅱ）是否存在实数m（m＞2，m≠3），使函数g（x）＝log（m﹣2）[a2+a﹣2x﹣mf（x）+1]在[1，2]上的最大值为0？如果存在，求出实数m所有的值；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知A＝{x|2x﹣1＞5}，B＝{3，4，5，6}，则A∩B＝（）A．[3，+∞）B．∅C．{3，4，5，6}D．{4，5，6}解：∵A＝{x|x＞3}，B＝{3，4，5，6}，∴A∩B＝{4，5，6}．故选：D．2．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0B．f（x）＝x﹣1，C．f（x）＝x，D．f（x）＝|x|，解：A中，f（x）＝1定义域为R，g（x）＝x0，定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；B中f（x）＝x﹣1，定义域为R，g（x）＝＝x﹣1（x≠﹣1），定义域不同不是同一函数，C中，f（x）＝x，定义域为R，g（x）＝＝x，定义域为R，定义域相同，对应法则相同，是同一函数；D中，f（x）＝|x|，定义域为R，g（x）＝（）2＝x，定义域为{x|x＞0}，两者定义域不同，不是同一函数．故选：C．3．（5分）已知a，b，c，d为实数，则“a+b＞c+d”是“a＞c且b＞d”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：令a＝4，b＝1，c＝2，d＝2，显然由a+b＞c+d，推不出a＞c且b＞d，故“a+b＞c+d”不是“a＞c且b＞d”的充分条件，由a＞c且b＞d，根据不等式的基本性质得：a+b＞c+d，故“a+b＞c+d”是“a＞c且b＞d”的必要条件，故选：B．4．（5分）从甲地到乙地通话m分钟的电话费由（元）决定，其中m＞0，＜m＞是不小于m的最小整数（如：＜3＞＝3，＜3.8＞＝4，＜5.1＞＝6），则从甲地到乙地通话时间为7.3分钟的电话费为（）A．4.24元B．4.77元C．5.30元D．4.93元解：根据题意，，当m＝7.3时，＜m＞＝8，此时f（m）＝1.06（4+1）＝5.30，故选：C．5．（5分）已知函数，则f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．解：因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，排除A，f（5）＝＞4，故排除CD，故选：B．6．（5分）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c解：∵，，∴c＜a＜b．故选：A．7．（5分）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解：由已知可得函数是R上的单调递增函数，则只需满足：，解得，所以实数a的取值范围为：（，]，故选：C．8．（5分）已知f（x）为定义在实数集R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f （2）＝0，则不等式x•f（1﹣x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞）解：∵f（x）为奇函数，且满足f（2）＝0，且在（﹣∞，0）是增函数，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，f（x）在（0，+∞）内是增函数函数图象示意图：∵xf（1﹣x）＜0，∴或，根据函数图象可得或，解得x＞3或0＜x＜1或x＜﹣1即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞）．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的有（）A．f（﹣1）＝0B．f（x）在（﹣1，0）上是增函数C．f（x）＞0的解集为（0，1）D．f（x）的最大值为解：根据题意，依次分析选项：对于A，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则f（1）＝1﹣1＝0，又由f（x）为偶函数，则f （﹣1）＝f（1）＝0，A正确；对于B，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2＝﹣（x﹣）2+，在区间（0，）上为增函数，又由f（x）为偶函数，则f（x）在区间（﹣，0）为减函数，B错误，对于C，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2＞0，解得0＜x＜1，又由f（x）为偶函数，当x＜0时，若f（x）＞0，必有﹣1＜x＜0，则f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1），C错误，对于D，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2＝﹣（x﹣）2+，在区间[0，+∞）上，f（x）的最大值为，又由f（x）为偶函数，在区间（﹣∞，0]，f（x）的最大值为，综合可得：f（x）的最大值为，D正确，故选：AD．10．（5分）定义一种运算．设f（x）＝min{4+2x﹣x2，|x﹣t|}（t为常数），且x∈[﹣3，3]，则使函数f（x）最大值为4的t值可以是（）A．﹣2B．6C．4D．﹣4解：y＝4+2x﹣x2在x∈[﹣3，3]上的最大值为4，所以由4+2x﹣x2＝4，解得x＝2或x＝0，所以要使函数f（x）最大值为4，则根据定义可知，当t＜1时，即x＝2时，|2﹣t|＝4，此时解得t＝﹣2，当t＞1时，即x＝0时，|0﹣t|＝4，此时解得t＝4，故t＝﹣2或4，故选：AC．11．（5分）对于实数a，b，m，下列说法正确的是（）A．若am＞bm，则a＞bB．若b＞a＞0，m＞0，则＞C．若a＞b＞0且|lna|＝|lnb|，则2a+b∈（3，+∞）D．若a＞b，则a3+b3＞a2b+ab2解：取m＝﹣1，a＝﹣2，b＝﹣1，则有am＞bm，但a＜b，故选项A错误；取a＝2，b＝﹣2，则有a3+b3＝a2b+ab2，故选项D错误；∵b＞a＞0，m＞0，∴﹣＝＞0，∴＞，故选项B正确；∵a＞b＞0且|lna|＝|lnb|，∴lna＝﹣lnb，即lna+lnb＝0＝lnab，∴ab＝1，即a＝＞b，∴2a+b＝b+，b∈（0，1），∵y＝b+在b∈（0，1）上单调递减，∴y＞y（1）＝3，即2a+b＞3，故选项C正确，故选：BC．12．（5分）下列说法正确的是（）A．“”的否定是“∀x∈R，2x≤x2”B．函数的最小值为6C．函数的单调增区间为D．a＞b的充要条件是a|a|＞b|b|解：“”的否定是“∀x∈R，2x≤x2”满足命题的否定形式，所以A正确；函数＞2＝6，所以函数的最小值大于6，所以B不正确；因为y＝是减函数，x∈时，y＝函数是减函数，所以函数，单调增区间为，所以C正确；设f（x）＝x|x|＝，则函数f（x）为增函数，则a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知f（x）＝ax5+bx3+2且f（﹣5）＝16，则f（5）的值为﹣12．解：根据题意，f（x）＝ax5+bx3+2，则f（﹣x）＝﹣ax5﹣bx3+2，则有f（x）+f（﹣x）＝4，故有f（5）+f（﹣5）＝4，若f（﹣5）＝16，则f（5）＝4﹣16＝﹣12，故答案为：﹣12．14．（5分）函数f（x）＝2x+的定义域为[3，+∞），值域为[8，+∞）．解：由x﹣3≥0，解得：x≥3，故函数的定义域是[3，+∞），显然y＝2x和y＝在[3，+∞）递增，故f（x）的最小值是f（3）＝8，故f（x）的值域是[8，+∞），故答案为：[3，+∞），[8，+∞）．15．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+2x+a，，若对任意x1∈[0，3]，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．解：f（x）＝﹣x2+2x+a在[0，1]递增，[1，3]递减，可得f（x）max＝f（1）＝1+a，g（x）＝在[，4]递减，可得g（x）max＝g（）＝＝，由对任意x1∈[0，3]，总存在，使得成立，可得f（x）max≤g（x）max，则1+a≤，解得a≤﹣，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．16．（5分）已知正实数a，b满足，则a+b的最大值为3．解：a+b+3＝（1+a）+（2+b）＝＝，令a+b＝t（t＞0），所以，即2t2﹣3t﹣9≤0，解得0＜t≤3，即0＜a+b≤3．故a+b的最大值为3．故答案为：3．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）计算或化简：（1）0.001﹣（）0+16+100×（）6．（2）log354﹣log32+5+log74•log27．【解答】（1）原式＝10﹣1++100×＝10﹣1+8+4×27＝125，（2）原式＝log3+62log27•log27＝log333+6+2ו＝3+6+2＝11．18．（12分）已知集合A＝{x|24x+5≥26x}，B＝{x|2x2+x﹣15≤0}．（Ⅰ）求A和（∁R A）∪B；（Ⅱ）集合，若C⊆B，求实数k的取值范围：解：（Ⅰ）由24x+5≥26x，得4x+5≥6x，∴2x≤5，x≤，∴A＝{x|x≤}，∴∁R A＝{x|x＞}，B＝{x|2x2+x﹣15≤0}＝{x|（x+3）（2x﹣5）≤0}＝{x|﹣3≤x≤}，∴（∁R A）∪B＝{x|x≥﹣3}；（Ⅱ）＝{x|k﹣2≤x≤k+}，∵C⊆B，∴，∴﹣1≤k≤2，即k的取值范围为[﹣1，2]．19．（12分）已知f（x）＝ax2+bx+3，且{x|f（x）＝0}＝{1，3}．（Ⅰ）求实数a和b的值，并求g（x）＝（x＞0）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）﹣mx2+（3m+7）＞0对一切实数x都成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）由{x|f（x）＝0}＝{1，3}，可得1，3是ax2+bx+3＝0的两个根，所以1+3＝﹣，1×3＝，解得a＝1，b＝﹣4．所以f（x）＝x2﹣4x+3，x＞0 时，g（x）＝＝x+﹣4≥2﹣4＝2﹣4，当且仅当x＝即x＝时上式取等号，所以g（x）min＝2﹣4．（Ⅱ）由f（x）﹣mx2+（3m+7）＞0，得（1﹣m）x2﹣4x+（3m+10）＞0 （*），当1﹣m＝0即m＝1 时，不等式（*）为﹣4x+13＞0，不满足对任意实数x都成立，所以1﹣m≠0，可得，即为，所以﹣3＜m＜，所以m的取值范围为（﹣3，）．20．（12分）已知f（x）＝log2（x﹣1）．（Ⅰ）若f（x0+1）+f（x0﹣1）＝0，求x0的值；（Ⅱ）记g（x）＝f（x）+f（6﹣x），（1）求g（x）的定义域D，并求g（x）的最大值m；（2）已知4a+log2a＝2b+log2+﹣，试比较b与ma的大小并说明理由．解：（Ⅰ）由已知得，log2x0+log2（x0﹣2）＝0，log2x0（x0﹣2）＝0，∴x0（x0﹣2）＝1，x02﹣2x0﹣1＝0，解得x0＝1±，又x0＞2，∴x0＝1+．（Ⅱ）（1）g（x）＝f（x）+f（6﹣x）＝log2（x﹣1）+log2（5﹣x），由，得1＜x＜5，∴x∈（1，5）．由于g（x）＝log2（x﹣1）（5﹣x）＝log2[﹣（x﹣3）2+4]，∴当x＝3时，m＝g（x）max＝log24＝2，（2）由4a+log2a＝2b+log2+﹣，得4a+log2a﹣＝2b+log2b﹣﹣log23+，即22a+log22a﹣＝2b+log2b﹣﹣log23++1＝2b+log2b﹣﹣log23+，因为﹣log23+＜0，所以22a+log22a﹣＜2b+log2b﹣，考虑函数h（x）＝2x+log2x﹣，所以h（2a）＜h（b），因2x，log2x，都是增函数，所以h（x）为增函数，∴2a＜b，又m＝2，故始终有b＞ma成立．21．（12分）如图所示，河（阴影部分）的两岸分别有生活小区ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB ＝FE＝3千米，千米，千米，EC＝千米，若以OA，OD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系xOy，则河岸DE可看成是函数（其中a，b是常数）图象的一部分，河岸AC可看成是函数y＝kx+m（其中k，m为常数）图象的一部分．（Ⅰ）写出点A和点C的坐标，并求k，m，a，b的值．（Ⅱ）现准备建一座桥MN，其中M在曲线段DE上，N在AC上，且MN⊥AC．记M 的横坐标为t．（1）写出桥MN的长l关于t的函数关系式l＝f（t），并标明定义域；（注：若点M 的坐标为（t，y0），则桥MN的长l可用公式计算）．（2）当t为何值时，取到最小值？最小值是多少？解：（Ⅰ）由题意得：OF＝BC＝4，OA＝EC，∴A（，0），C（），把A（，0），C（）代入y＝kx+m，得，解得k＝，m＝﹣2．∵D（0，），E（3，4），把D（0，），E（3，4）代入y＝1﹣，得，解得a＝4，b＝3．（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）得：M点在y＝1﹣上，∴M（t，1﹣），t∈[0，3]，∴桥MN的长l为l＝f（t）＝＝，t∈[0，3]；（2）由（1）得：f（t）＝＝，而t﹣4＜0，＜0，∴﹣4（t﹣4）﹣，当且仅当﹣4（t﹣4）＝﹣，即t＝时“＝”成立，∴．22．（12分）已知函数f（x）＝a x﹣k•a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，且．（Ⅰ）求k的值，并判断f（x）的单调性（不要求证明）；（Ⅱ）是否存在实数m（m＞2，m≠3），使函数g（x）＝log（m﹣2）[a2+a﹣2x﹣mf（x）+1]在[1，2]上的最大值为0？如果存在，求出实数m所有的值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝a x﹣k•a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，0∈R，∴f（0）＝0，即1﹣k＝0，解得：k＝1，∵f（1）＝，∴a﹣＝，2a2﹣3a﹣2＝0，a＝2或a＝﹣，∵a＞0，∴a＝2，f（x）＝2x﹣2﹣x，因为y＝2x为增函数，y＝2﹣x为减函数，所以f（x）为R上的增函数；（Ⅱ）g（x）＝log（m﹣2）[a2x+a﹣2x﹣mf（x）+1]＝log（m﹣2）[22x+2﹣2x﹣m（2x﹣2﹣x）+1]＝log（m﹣2）[（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+3]，设t＝2x﹣2﹣x，则（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+3＝t2﹣mt+3，∵x∈[1，2]，∴t∈[，]，记h（t）＝t2﹣mt+3，（1）当0＜m﹣2＜1，即2＜m＜3时，要使g（x）的最大值为0，则要h（t）min＝1，∵h（t）＝+（3﹣），1＜m＜，t∈[，]，∴h（t）在[，]上单调递增，∴h（t）min＝h（）＝﹣m，由h（t）min＝1，得m＝，因∈（2，3），所以m＝满足题意；（2）当m﹣2＞1，即m＞3 时，要使g（x）的最大值为0，则要h（t）max＝1，且h（t）min＞0，∵＞，①若＜≤，则h（t）max＝h（）＝﹣m+3＝1，解得：m＝，又h（t）min＝h（）＝3﹣＞0，∴3＜m＜2，由于＞2，∴m＝不合题意，②若＞，即m＞，则h（t）max＝h（）＝﹣m＜﹣×＝﹣＜0，h（t）max≠1，综上所述，只存在m＝满足题意．。