最新向量空间的定义教案(50分钟)

向量空间的定义教案

(50分钟)

“向量空间的定义”教案（50分钟）

I 教学目的

1、使学生初步掌握向量空间的概念。

2、使学生初步了解公理化方法的含义。

3、使学生初步尝试现代数学研究问题的特点。

II 教学重点

向量空间的概念。

Ⅲ 教学方式

既教知识，又教思想方法。

Ⅳ 教学过程

第六章 向量空间

§6.1 定义和例子

一、向量空间概念产生的背景

1）αββα+=+

数 a+b, ab; 2）)()(γβαγβα++=++ 几何向量 αβα a ,+; 3）αα=+0

多项式 f(x)+g(x),af(x); 4）0='+αα

函数 f(x)+g(x),af(x); 5）βαβαa a a +=+)(

矩阵 A+B ，aA; 6）αααb a b a +=+)(

…… 7）)()(ααb a ab =

8）αα=1

二、向量空间的定义

定义1 令F 是一个数域，F 中的元素用小写拉丁字母a,b,c,…来表示。令V 是一个非空集合，V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα来表示。把V 中的元素叫做向量，而把F 中的元素叫做数（标）量，如果下列条件被满足，就称V 是F 上的向量空间：

1 在V 中定义了一个加法，对于V 中任意两个向量βα,，有唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做βα与的和，并且记作βα+。

即若,,V V ∈∈βα则V ∈+→βαβα),(。

2 有一个数量与向量的乘法，对于F 中每一个数a 和v 中每一个向量α有v 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a 与α的积，并且记作αa 。

即V a a V F a ∈→∈∈ααα),(,,。

3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律：

1）αββα+=+；

2）)(γβαγβα++=++；

3）在V 中存在一个零向量，记作0，它具有以下性质：对于V 中每一个向量

α，都有αα=+0；

4）对于V 中每一向量α，在V 中存在一个向量α'，使得0=+'αα，这样的α'叫做α的负向量。

5）βαβαa a a +=+)(；

6）ba a b a +=+αα)(；

7）)()(ααb a ab =；

8）αα=1。

注1：定义1称为公理化定义，以公理化定义为基础进行研究的方法称为公理化方法。

公理化方法⎩⎨⎧形式以理化方法

实质公理化方法 注2：数域F 称为基础域。

三、向量空间的例子

例1 解析几何里，V 2或V 3对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域上的向量空间。

例2 M mn （F ）对于矩阵的加法和数乘来说作成F 上的向量空间。

特别，},,2,1,|),,,{(21n i F a a a a F i n n =∈=关于矩阵加法和数乘构成的F 上的向量空间称为F 上的n 元列空间。

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i F a a a a F i n n ,,2,1,|21 关于矩阵加法和数乘构成的F 上的向量空间称为

F 上的n 元列空间。

例3 复数域C 可以看成实数域R 上向量空间

},|{R b a b a C ∈+=ε

例4 任何数域F 都可以看成它自身上的向量空间。

例5 F[x]关于多次式的加法和数与多项式的乘法来说作为F 上一个向量空间。 例6 C[a,b]关于函数的加法和数与函数的乘法来说作成实数域R 上的向量空间。 )()()(x af x g x f +

例7 R 为实数域，V 为全体正实数组成的集合，定义V 中两个元素的加法运算⊕为：

V b a ab b a ∈=⊕,,

定义V 中元素与R 中元素的数乘运算“ ”为

p R v a a a k k ∈∈=,,

下面验证V 对于这两种运算满足定义中的八条规则：

1 a b ba ab b a ⊕===⊕；

2 )()()()(c b a c ab c ab c b a ⊕⊕==⊕=⊕⊕；

3 a a a =⋅=⊕11；

4 a 的负元素是a -1, 111==⊕--aa a a ;

5 a lk a a k a l k lk l ===)(;

6 )()()(a l a k a a a a l k l k l k ⊕=⊕==++;

7 k k k k k k b a b a ab b a b a k ⊕===⊕=⊕)()()(

=)()(b k a k ⊕;

8 a a a ='= 1;

所以V 是实数域上的向量空间。

……

向量空间的例子是大量的，仅从以上例子也是可以看出，向量空间的涵义是多么广泛！

四、向量空间的简单性质

⎪⎩

⎪⎨⎧完备性独立性相容性公理体系

1、∑=++=n

i n i 121αααα 有意义且可以任意交换被加项次序。

证 由于向量空间中的加法适合结合律和交换律。

2、在一个向量空间V 里，零向量是唯一的；对于V 中每一向量α,α的负向量是由α唯一确定的。

证 先证零向量的存在性，设0和0′都是V 的零向量，那么

0=0+0=0′

再证负向量唯一，设αα'''和都是α的负向量，那么0,0=+''=+'αααα，于是

ααααααααα''=''+=''++'=''++'=+'='0)()(0a .

把α唯一的负向量记作α-，则有

（1）βγαγβα-+⇔=+.

即有移项变号法则成立.

3、对于任意向量α和数域F 中的数a ，有

（2）00,0==a o α

（3）αααa a a -=-=-)()(

（4）000==⇒=αα或a a

证：ααααααααo o o o o o O o o -+=-+=+=)()(

=0)(=-=-+ααααo o o o o

同理可证 aO=O

O aO a a a ==-+=-+))(()(αααα

同理可证 ααa a -=-)(