求正弦余弦函数的单调区间16页PPT

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《三角函数的图象与性质》PPT教学课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)

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12
(1)B
(2)xx≠－4kπ－43π，k∈Z
(3)x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
[(1)当－π4＜x＜0时，－1＜tan x
＜0，∴ta1n x≤－1；
当0＜x＜π4时，0＜tan x＜1，∴ta1n x≥1.
即当x∈－π4，0∪0，π4时，函数y＝ta1n x的值域是(－∞，－1) ∪(1，＋∞)．
[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
第五章三角函数
5.4 三角函数的图象与性质第4课时正切函数的性质与图象
2
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图象．(重点)
1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的 2.通过正切函数的性质的应
渐近线．(易错点)
28
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(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z ，关于原点对称，又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4 ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．
29
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30
正切函数单调性的应用 [探究问题] 1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
用，提升逻辑推理素养.
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正弦函数、余弦函数的性质17页PPT

Hale Waihona Puke xRy [1,1]
x2k 时， ymax 1
x2k时，ymin 1
x [2k,2k] 增函数
x[2k,2k] 减函数
偶函数
2 对称轴： xk,kZ
对称中心：(2 k,0) k Z
例1 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合
（1） y=cosx＋1，x∈R；
（2）y=－3sin2x，x∈R.
16
17
单调性奇偶性周期性对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3
2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
x
2
2k
时， ymax
1
x
2
2k
时，ymin
1
x[-22k,22k] 增函数
x[22k,322k] 减函数
奇函数
2
对称轴：
x
2
k,
k
Z
对称中心： (k,0) kZ
y=cosx
y
1
0
2
3
2 5 x
2
2
-1
例2:比较下列各组数的大小：
(1)sin( )与sin( )
18
10
(2)cos(23 )与cos(17 )
5
4
例3：求函数 ysi1 nx()x , 2,2
23 的单调递增区间。
求函数 ysi n (1x)x , 2,2
32
的单调递增区间。
求函数 ycos2(x)
3
的单调递减区间。
谢谢！
具体做法：
(1)选择一个恰当的区间（这个区间的长为一个周期，且仅有一个单增区间和一个单减区间）

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数余弦函数的单调性和最值 (课件)

当 x [,0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由-1 增大到 1.
当 x [0, ]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由 1 减小到-1.
问题3：推广到整个定义域呢？
当 x [2k π, 2k], k Z时，余弦函数 y cos x是增函数，cos x的值由-1 增大到 1.
sin
2
x
π 6
，
π x π ， π 2x π 5π ，
4
2
3
66
f
(x)max
1 2
1
3 2
.故选
A.
练一练
3.设函数
f
(x)
cos
x
π 3
，则下列结论错误的是(
)
A. f (x) 的一个周期为 2π
B. f (x) 的图象关于直线 x 8π 对称
3
C. f (x π) 的一个零点为 x π
例3
(2) y 3sin 2x, x R.
（2）令 z 2x，使函数 y 3sin 2x, x R 取得最大值的 z 的集合，就是使 y sin z, z R
取得最小值的
z
的集合z
z
2k , k
Z.
由2x z 2k，得 x k.所以，使函数 y 3sin 2x, x R 取得最大值的 x 的
当
x
2
,
2
时，曲线逐渐上升，是增函数，sin
x的值由-1
增大到
1
当
x
2
,
3 2
时，曲线逐渐下降，是减函数，sin
x的值由
1
减小到-1.
问题2：推广到整个定义域呢？
当
x

正弦函数、余弦函数的性质-PPT课件

最小值：当 x 2 k 时，有最小值y 1
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解：这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的x的集合，就是使函数y cos x, x R 取得最大值的x的集合：
k
8 ，0)，k Z
4
.
28
(2)求
y
cos(
1 2
x
4
)
函数的对称轴和对称中心:
函数图形定义域值域最值
单调性奇偶性
周期对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3 2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
x[2
2k ,
3
2
2k
∴函数 y＝－2sinx－4π的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)① 2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋2π(k∈Z)② 解①得，2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k∈Z)，解②得，2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π(k∈Z)．
故函数 y＝2sin4π－x的单调增区间、单调减区间分别为 2kπ＋34π，2kπ＋74π(k∈Z)、2kπ－π4，2kπ＋34π(k∈Z)．
(1)y cos x 1, x R;
(2)y 3sin 2x, x R.

正弦函数、余弦函数的图象_优质课件

3) y 3sin(1 x ), x R 一般
35
结论：
函数y Asin(x )及y Acos(x ), x R
( A,,为常数, A 0, 0)的周期T 2
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (三)关于奇偶性（复习）
一般地, •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= f( x )，那么就说f( x )是偶函数 •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= -f( x )，那么就说f( x )是奇函数
小结回顾
正切函数的基本性质
4 5
应用提升
练习1：试着画出y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性.
练习2.如果、
(
,
)且
tan
cot
,
2
那么必有（）
A.
B.
C. 3 D. 3
2
2
应用提升
例3.求函数y tan x 1 的定义域 3 tan x
例4.试讨论函数y loga tan x的单调性
2
2
y=cosx
y cos x : 定义域为R，值域[1,1]
1
最-6大值1,此-5时 x
2-k4; 最小值-3-1,
此时x
-2
2k
-;
-1
2 3 2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
(2) y sin x, y cosx与y Asin(x ), y Acos(x )间的换元思想

高中数学《正、余弦函数的单调性与最值》课件

19
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
即 2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)， ∴kπ＋38π≤x≤kπ＋78π(k∈Z)， ∴函数 y＝3sin4π－2x的递增区间为kπ＋38π，kπ＋78π(k ∈Z)．要取 y＝－3sinz 的减区间即取 y＝sinz 的增区间，
26
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
解析 (1)cos－78π＝cos78π＝cosπ－π8＝－cosπ8，而 cos76π＝－cosπ6， ∵0<π8<π6<π2，∴cosπ8>cosπ6， ∴－cosπ8<－cosπ6，∴cos－78π<cos76π.
27
课前自主预习
为增函数．
6
课前自主预习
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数学 ·必修4
(2)函数 y＝2－sinx 的最大值及取最大值时 x 的值为 ()
A．ymax＝3，x＝π2 B．ymax＝1，x＝π2＋2kπ(k∈Z) C．ymax＝3，x＝－π2＋2kπ(k∈Z) D．ymax＝3，x＝π2＋2kπ(k∈Z)
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
∵函数 y＝cosx 在区间6π，23π上单调递减，∴函数的值域为－12， 23.
(2)令 t＝cosx，则－1≤t≤1. ∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1， ∴t＝－1 时，y 取得最大值 10，t＝1 时，y 取得最小值 2. 所以 y＝cos2x－4cosx＋5 的值域为[2,10]．

正弦,余弦函数的单调性和奇偶性[优质ppt]

x 内的任意一个，都有 f(x)f(x)则称 f (x) 为
这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数 f ( x)的定义
域内的任意一个 x都 f(x)f(x),则称 f (x)
为这一定义域内的奇函数。奇函数图像关于原点对称。
x 注意：1、是任意的
2.奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
知识回顾 y
1
3 5 2
2 3
2

2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
y=sinx (xR) 定义域 xR
值域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
3 5 2
x( , )
x( , )
且f(x)(x)si nx)(
且f(x)1si nx)(
xsinx
1sin x
f (x)
f(x)f(x)且 f(x)f(x)
函数 yxsinx是偶函数 y 1sinx是非奇非偶函数
判断下列函数的（ 1）yxsinx
再观察正弦函数图像
y
1
3 5 2
2 3
2

2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
正弦函数 ysinx在
在每个闭区间 [2k,2k]k (Z)上是增函数，
22
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [2k,32k](kZ)是减函数，
其关于原点的对称点 P'(x,sinx) ，由诱导公式 sinx()sixn, 即 P'(x,sinx()) 故P '也在正弦函数的图像上。

正弦,余弦函数的单调性课件

x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升，sinα的值由 1增大到 1 。
7 5 3 3 5 7 [ ， ]、 [ ， ]、 [ , ]… 当x在区间 … [ , ]、 2 2 2 2 2 2 2 2
上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1减小到 1 。
三、正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2

3 2
-

2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx (xR) 增区间为
[[ 2 ， +2k , 22 2
3 3 +2k , 2 2 ， 22
] ],kZ 其值从-1增至1 +2k +2k ] ],kZ 其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的单调性
函数
单调递增区间
单调递减区间
正弦函数
3 [ +2k, +2k],kZ [ +2k, +2k],kZ 2 2 2 2
余弦函数
[ +2k, 2k],kZ
[2k, 2k + ], kZ
例 1：不求值，判断下列各式的大小。
23 17 2、 cos( )与 cos( ) 5 4 分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的
1. y = -| sin(x+ )| 4 解：令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|

正弦、余弦单调性优秀课件

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2

3 2
-
2
o
-1
2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
sinx

2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1
y=sinx (xR)
增区间为 [[ 2 2 减区间为 [[ 2 2
17 4
– cos
4
<0
) - cos(
) <0
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解：令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
2
3 2
y=|sinu|
2

2
O

3 2
2
u
u k ,k Z 即：增区间为 k 2 减区间为 k u k ,k Z
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满

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[ +2k, 2k],kZ 单调递增
[2k, 2k + ], kZ 单调递减
课后作业：
求下列函数的单调区间（三选一）
(1) y sin 2 x
(2) y sin( 2 x )
3
(3) y cos( 2 x )
3
正弦函数图像
3 5 2
2 3
2
2
余弦函数图像
y
1
O
2
1
3 2
2
4
2
k3xk7
8
8
(kz)
所以：单调增区间为单调减区间为
[k,k3] (kz)
8
8
[k3,k7]
8
8
(kz)
小结：
2 3
2
2
y
o
2
3
2
2
x
函数奇偶性正弦函数奇函数余弦函数偶函数
单调性（单调区间）
[
2
+2k,2来自+2k],kZ
单调递增
[
2
+2k, 3 +2k],kZ
2
单调递减
求正弦、余弦函数的单调区间
教学难点
求复合型正弦、余弦函数的单调区间
引入：请作出下列函数的图象
(1) ysixnx [,3]
22
(2 )y cx ox s [, ]
正弦函数图像
3 5 2
2 3
2
2
y
1
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
正弦函数在每个闭 [2k区间 ,2k]
2
下列关于函数 y 4 sixnx [ ,]的单调性的叙述，
正确的是（ B ）变式 y 4 si x n ) x ( [ ,] （ D ）
（A）在 [ , 0]上是增函数，在 [0 , ]上是减函数
（B）在
[ 2
,
2
] 上是增函数，在
[
,
]
2
及
[ 2
, ] 上是减函数
（C）在 [0 , ]上是增函数，在 [ , 0]上是减函数
2
(kZ)上都是增函 ,在数每一个闭[区 2k间
,2k3](kZ)上都是减函 ; 数
2
2
余弦函数图像
3 5 2
2 3
2
2
y
1
O
2
1
3 2
2
5 3 x
2
余弦函数在每[个 2k闭区 ,2k间 ](k Z)上都是增,在函每数一个闭 [2k区 ,2k间 ](kZ)上都是减; 函数
正弦曲线的应用
例题：确定下列函数的单调区间。
(2) ysi3 n x
(2 )令 z 3 x ,则 y siz,n 在 [ 2 k , 2 k ]k ( Z )上单增
在[2k，32k]
22 (k z)上单减
由 2 2 k 3 x 2 2 k 由 2 2 k 3 x3 2 2 k
(k z)得
2 k x 2 k 63 63
2
5 3 x
2
3 5 2
2 3
2
2
y
1
O
2
1
3 2
2
5 3 x
2
谢谢！
(k z)
(k z)得 2 kx2 k (k z)
2
2
63 23
所以 ysin3x在
[2 k ,2 k]上单 [2 k 增 ,2 ， k] 在上单减。
3 63 6
3 63 2
变式: 求函数 y=3sin(2x- ) 的单调区间：
4
解：2k2x2k (kz)
2
4
2
kxk3 (kz)
8
8
2k2x2k3 (kz)
三维目标
❖ 1、知识与技能
❖ 理解正弦函数、余弦函数的性质，并能在解题中应用。
❖ 2、过程与方法
❖ 根据正弦曲线和余弦曲线，总结出这两种函数的单调性，进一步体验“形”对“数”的体现作用。
❖ 3、情感、态度与价值观
❖ 感受数形结合思想的重要作用，养成多动手、多观察、勤思考、善总结的习惯。
教学重点
（D）在[ 2
,
]
及 [ , ]上是增函数，在
2
[ 2
,
] 上是减函数 2
例题：确定下列函数的单调区间。
(1) ycoxs
分析：利用ysixn,ycox的s单调性来解。
解：1、函数 ycoxs的单调递增区间为
[2 k , 2 k ](k z )
单调递减区间为 [ 2 k ,2 k ](k z )