2.3.2高阶非线性效应

−∞
（2.3.2） ） （2.3.3） ） （2.3.4） ） （2.3.31） ） （2.3.1） ）
v v v v v v t (3) PNL (r , t ) = ε 0 χ E t1 ) |2 dt1
v v v 2 2 2 v ∂ PN L 1 ∂ E ∂ PL ∇2E − 2 = µ0 − µ0 c ∂t 2 ∂t 2 ∂t 2
2
|2 − t ′
∂ | A ( z , t ) |2 ∂t
做变换： = t − z vg ≡ t − β1 z （如下图所示） T 如下图所示） 定义： 定义： R ≡ T
非线性响应函数的 一次矩阵。 一次矩阵。
∫
∞ −∞
tR (t ) d t = f R
∫
∞ −∞
thR (t ) d t = f R
A(z,T) z T(t,z) t z
2
利用上式替换掉方程（2.3.33） ） 可以得到： 的左端的 ∂A ∂z 可以得到：
∂A α ∂A i ∂ 2A 1 ∂ 3A + A + β1 + β 2 2 − β3 3 ∂z 2 ∂t 2 ∂t 6 ∂t
将方程（2.3.33）右边 | A( z, t − t ′) | 泰 ） ∞ T R = ∫ tR ( t ) dt 可以得 勒展开， 勒展开，利用 −∞ 到： i ∂ ∞ 2
（2.3.41） ）
拉曼效应
拉曼效应(Ramanscattering)，也称拉曼散射， 1928年由印度物理学家拉曼发现，指光波在被 散射后频率发生变化的现象。 定义： 定义：强单色光照射透明物质时，被物质分子 散射后引起频率变化的现象。
返回
群折射率
返回
∂A ∂A i ∂ 2A α + β1 + β 2 2 + A = iγ | A |2 A （2.3.27） ） ∂z ∂t 2 ∂t 2
变换过后的慢变振幅A(z,T)可作如下变化： 变换过后的慢变振幅A(z,T)可作如下变化： A(z,T)可作如下变化 Q T = t − β1 z
∂A( z, t ) ∂A( z , T ) ∂A( z , T ) ∂T ∴ = + ∂z ∂z ∂T ∂z ∂A( z , t ) ∂A( z , T ) ∂A( z , T ) ⇒ = + (− β1 ) ∂z ∂z ∂T
∫∫
∞
% R (ω − ω 1 ) ×
(2.3.32)
可以像（ 可以像（2.3.21）一样，定义慢变振幅 ）一样，定义慢变振幅A(z,t)，经计算后 ， 换成A） 可得到如下单模光纤内脉冲演化的方程： （将E换成 ） ，可得到如下单模光纤内脉冲演化的方程： 换成
损 耗 时延 色散 高阶色 散
∂A α ∂A i ∂ 2A 1 ∂ 3A + A + β1 + − β3 β2 2 ∂z 2 ∂t 2 ∂t 6 ∂t3 (2.3.33) ∞ i ∂ = i γ (1 + ) [ A ( z , t ) ∫ R ( t ′) | A ( z , t − t ′) |2 d t ′] −∞ ω 0 ∂t
−1
iβ 2 ∂A α + A+ 2 ∂z 2 2 i iγ | A | A + ω0
∂ 2 A β3 ∂ 3 A − = 2 3 6 ∂T ∂T ∂ ∂ | A |2 (| A |2 A) − TR A ∂T ∂T
（2.3.39） ）
因此可将方程化为： 因此可将方程化为：
∂ A iα β2 ∂ 2A i A− + + γ | A |2 A = 0 ∂z 2 2 ∂T 2
在光信号非常窄的时候，即信号谱宽很宽， 在光信号非常窄的时候，即信号谱宽很宽，则必须考虑 更高阶的色散效应和由拉曼效应导致的自频移等效应， 更高阶的色散效应和由拉曼效应导致的自频移等效应，注 ∞ 方程（ 意到 ∫0 R(t )dt = 1 ，方程（2.3.33）可近似为（2.3.39）： ）可近似为（ ）：
2.3脉冲传输方程 2.3脉冲传输方程
§2.3.2 高阶非线性效应
在上一节的讨论中，非线性薛定谔方程： 在上一节的讨论中，非线性薛定谔方程：
∂A ∂A i ∂ 2A α 2 + β1 + β 2 2 + A = iγ | A | A ∂z ∂t 2 ∂t 2
(2.3.27)
虽已成功地解释了许多非线性效应， 虽已成功地解释了许多非线性效应，但没有讨论包含像 SRS、SBS那样的受激非弹性散射；并且该方程不满足 那样的受激非弹性散射； 、 那样的受激非弹性散射 对于脉宽小于1ps的超短波脉冲。 的超短波脉冲。 对于脉宽小于 的超短波脉冲 造成这一现象的重要原因是在上节提出的三个假中忽 （ 略了“拉曼效应” 略了“拉曼效应” 。 （分子振动对χ 3） 的影响） 如果要考虑高阶非线性效应， 如果要考虑高阶非线性效应，那么在数学处理上推导方 程（2.3.27）的过程中不能用（2.3.6）而必须用方程 ）的过程中不能用（ ） （2.1.10）给出的非线性极化强度的一般形式。 ）给出的非线性极化强度的一般形式。
γ
为方程（ 为方程（2.3.28）定义的非线性参数 ）
当考虑到脉冲内拉曼散射时，脉冲能量就不在保持不变， 当考虑到脉冲内拉曼散射时，脉冲能量就不在保持不变， 这是因为部分脉冲能量被石英分子吸收，方程（ 这是因为部分脉冲能量被石英分子吸收，方程（2.3.33） ） 则包含了这种非线性损耗。 则包含了这种非线性损耗。
v v 1 v ˆ E ( r , t ) = x [ E ( r , t ) ex p ( − iω 0 t ) + c .c .] 2 v v 1 v ˆ PL ( r , t ) = x [ PL ( r , t ) ex p ( − iω 0 t ) + c .c .] 2 v v 1 v ˆ PN L ( r , t ) = x [ PN L ( r , t ) ex p ( − iω 0 t ) + c .c .] 2
∞ −∞
v v v v v v t (3) PNL ( r , t ) = ε 0 χ E ( r , t ) ∫ R ( t − t1 ) |E ( r , t1 ) |2 dt1
−∞
(2.3.31)
将方程2.3.2~2.3.4与方程 与方程2.3.31联立后代入波动方程中求解： 联立后代入波动方程中求解： 将方程 与方程 联立后代入波动方程中求解
2 ∂A α iβ2 ∂ 2 A β3 ∂ 3A i ∂ ∂ | A|2 + A+ − = iγ | A| A+ (| A|2 A) −TR A ∂z 2 2 ∂T 2 6 ∂T3 ω0 ∂T ∂T
非线性极化强PNL的 的 非线性极化强 慢变部分的一阶导数 引起的， 引起的，对应于脉冲 沿的自陡。 沿的自陡。
% d (Im h R ) d (∆ ω )
∆ω =0
∂A α ∂A i ∂ 2A 1 ∂ 3A + A + β1 + β 2 2 − β3 3 ∂z 2 ∂t 2 ∂t 6 ∂t （2.3.33） ） ∞ i ∂ = iγ (1 + )[ A( z , t ) ∫ R(t ′) | A( z , t − t ′) |2 dt ′] −∞ ω0 ∂t
由以上所得结果做傅里叶变换（由时域到频域）可以得到： 由以上所得结果做傅里叶变换（由时域到频域）可以得到：
% % ∇ E + n ( ω ) k E = − ik 0 α + χ
2 2 2 0 (3)
ω2
2
−∞ c % % % E (ω 1 , z ) E (ω 2 , z ) E ∗ (ω 1 + ω 2 − ω , z ) d ω 1 d ω 2
−∞
(2.3.30)
v v vv vv vv ∞ (3) P (r , t) = ε0 ∫∫∫ χ (t − t1,t − t2 , t − t3 )ME(r , t1)E(r , t2 )E(r , t3 )dt1dt2dt3 (2.1.10) NL
归一化，将方程（ 按δ 函数相似的方式 ∫ R ( t ) d t = 1 归一化，将方程（2.3.30） ） 代入方程（ 代入方程（2.1.10）可得非线性极化率为 ）可得非线性极化率为:
iγ (1 +
ω0 ∂t
)[ A( z , t ) ∫ R(t ′) | A( z , t − t ′) | dt ′]
−∞
∂A α i ∂ 2A 1 ∂ 3A + A + β2 − β3 ∂z 2 2 ∂T 2 6 ∂T 3
2 i ∂ ∂ | A |2 2 iγ | A | A + (| A | A) − TR A ∂T ω0 ∂T
高阶色散效应， 高阶色散效应，传输常 数展开式的三阶项引起。 数展开式的三阶项引起。
与延迟非线性响应有关， 与延迟非线性响应有关， 对应于脉冲内拉曼散射诱 发的自频移效应。 发的自频移效应。
若脉宽To>5ps，参量 (ω0T0 ) 和 TR T0 很小（小于 ， 很小（小于0.001）， 若脉宽 ）， 则方程（ 则方程（2.3.39）中的最后两项可以忽略；同时对这种脉冲， ）中的最后两项可以忽略；同时对这种脉冲， 三阶色散项的贡献也很小。 三阶色散项的贡献也很小。
通过假设三阶极化具有如下形式， 通过假设三阶极化具有如下形式，可将非谐振的不相干的 强度相关的）非线性效应包括进去： （强度相关的）非线性效应包括进去：
R（t）为非线性响应系数 （）
χ (3) (t − t1, t − t2 , t − t3 ) = χ (3) R(t − t1 )δ (t − t2 )δ (t − t3 )
拉曼响应函数 基于方程2.3.33，对其中的某些项作如下处理： ，对其中的某些项作如下处理： 基于方程