清华大学量子力学讲义Lecture14[1]

n
ˆ n n , ˆ 2 n n n n n n ˆ,
2 , 0,1 。
如果取表象中的一个基矢与态 n 同方向，则纯系综的密度矩阵在该表象为
bb' b n n b ' bnb'n ，是一个对角矩阵，只有一个矩阵元＝1，其它矩阵元＝0：
0
...
1
...
0
对于完全混合系综，由于取各个态的几率相同， w w0 1/ N ，N 是状态数，
3. 系综与密度算符
1）纯系综和混合系综
相同的物理体系构成系综，例如由具有自旋的粒子构成的系综。
一个自旋为 1/2 的粒子的自旋态（方位角 , ）
( , )
c ( , )
c ( , )
cos
2
ei / 2
sin
2
ei / 2
，
其中 , 是 sˆz 的本征态，
c c
cos( / 2) ei sin( / 2)
si 0 。
例题 3：部分极化系统的密度矩阵。
设
ˆ 3 4
1 4
sx
sx ,
在 sz 表象，
7 / 8, 1/ 8, 1/ 8, 1/ 8,
sx / 8, sy 0, sz 3 / 8.
4
3）系综的演化
态密度算符如何随时间演化？
如果体系的哈密顿量不随时间变化，态的几率分布 w 不随时间变化。设
2）系综平均与态密度算符
系统的力学量平均值
A Aˆ ， 这里态 是固定的，是量子平均。进入任意表象 B，
A b ' b ' Aˆ b b ， b,b '
对表象的维数求和。 系综平均
A w A ，
这里 w 是体系处于态 的几率，显然满足归一化条件
w 1 ，
是统计平均，求和指标不是对表象的维数，而是对态。例如自旋 1/2 的粒子构成的系综，自旋表 象的维数为 2，但不同粒子的自旋态可以有很多取向，求和就是对不同的取向。
bb' w b
b' 1 N
b
b'
1 N
b b'
1 N
bb '
密度矩阵是一个单位矩阵
1
1
... 1
。
N
...
1
例题 1：完全极化系统的密度矩阵。
假设完全极化态为 sˆz 的本征态 ，
ˆ ，
在 sz 表象， 是一个 2X2 的矩阵，
1, 0, 0, 0,
N 2, ˆ 1 1 ,
2
2
在wk.baidu.comsz 表象，
1/ 2, 0, 0, 1/ 2,
1 2
1 0
0 1
，
表明在完全混合系综中密度矩阵是一个单位矩阵。
在完全不极化系综中的平均值显然相互抵销，等于零：
si
tr
ˆ
sˆi
1 2
tr
sˆi
，
代入自旋矩阵 sx , sy , sz ，有
ˆ (t) w ,t ,t ，
由态的时间演化
i ,t Hˆ ,t , t
i ,t ,t Hˆ , t
有
i ˆ t
w
Hˆ ,t
,t ,t
,t Hˆ
ˆ, Hˆ
这就是密度算符的时间演化。虽然类似于 Heisenberg 绘景中力学量的运动方程，只差一个负号，
但 ˆ 不是力学量算符，而是 Schrodinger 绘景中由态构成的算符。
1 0
0 0
。
3
如果完全极化态是 sˆx 的本征态 sx
1 2
1 2
,
ˆ sx sx ，
在 sz 表象，
sx sx sx sx
sx 1/ 2, sx 1/ 2, sx 1/ 2, sx 1/ 2,
1 2
1 1
1 1
。
例题 2：完全不极化系统的密度矩阵。
1
A w b ' ,b,b'
b ' Aˆ b
b
b,b'
w
b
b'
b'
Aˆ
b
。
定义态密度算符
ˆ w ，
它在表象 B 的矩阵元
bb' b ˆ b ' w b b ' ，
A b ˆ b ' b ' Aˆ b b ˆ Aˆ b tr ˆ Aˆ 。
b,b '
b
这是量子统计力学的基本公式。注意：表象变换不改变矩阵的求迹，上式不依赖于表象的选取。
在连续表象，例如坐标表象，密度算符的矩阵元
xx'
x
ˆ
x'
w
x
x'
w
(
x
)
*
(
x
')
，
系综平均
A tr
ˆ Aˆ
d
3
x
x
ˆ Aˆ
x
。
密度矩阵满足归一化条件
trˆ w b b ,b
5
。
如果所有粒子的自旋都取相同方向，则称体系是极化系统，构成的系综是纯系综。
如果粒子的自旋不在同一方向，则构成的系综叫混合系综。例如自旋向上的粒子数占 70％，
自旋向下的粒子数占 30％，体系是部分极化。一个自旋方向完全随机的系综，其自旋向上，向下
的几率各有 50％，整的表现是相互抵销，自旋为零，完全没极化。
w b b ,b
w
完备性条件
w
态的量子归一化条件
1
态的统计归一化条件
这里用到了归一化条件 1和表象的完备性条件 b b 1。 b
设密度算符 ˆ 的本征态为 ，
ˆ , ˆ 2 ˆ ＝ 2 。
对于纯系综，所有系统都取同一个态 n ，
2
w
1 0
n ,