第二章2传递函数

例：求传递函数
Page: 14
四．相似性原理 相似系统： 能用形式相同的数学模型来描述的两个系统； 相似量： 在微分方程或在传递函数中占有相同 位置的物理量。
ui (i2 i1 )R1 uo
1 (i2 i1 ) R1 i1dt C1 1 uo i2 R2 i2 dt C2
1
t -1
t
7
8
三. 传递函数
(an p n a1 p a0 ) xo (t ) (bm p m b1 p b0 ) xi (t ) (n m)
作拉氏变换（在零初始条件下） p s
jik03
10
Page: 11
(an s n a1s a0 ) X o ( s) (bm s m b1s b0 ) X i ( s) ( n m ) 1.定义： m b s b1s b0 (n m) L[ xo (t )] X o ( s) m G( s) n
x(t ) (e
t
t 1) (2e
jik03
t
3e ) = 6e
t
t
+
(t 1)
9
Page: 10
特点：
(1)只有一个特征根， 只有一项瞬态响应6e-t； 两项稳态响应，t 和 -1; (2)系统的初值≠初始条件（状态）. δ(t)改变了系统的初始条件（状态）
8 x ( t) 7 6 5 瞬态响应 6 e - t 4 3 稳 态 响 应 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6
d 注意∶在零初始条件下，dt p s
二．微分方程的解与系统的响应 1．特征方程与特征根 2．零输入响应[自由运动]
输入=0，初始条件(状态)≠0， 齐次方程的解(微分方程的通解)
jik03 4
Page: 5
x (t ) 5 x (t ) 6 x(t ) 0 ， 例 2.7 求解 初始条件 x(0) 2 ， x (0) 2 。
L[ xi (t )] X i ( s)
an s a1s a0
例:
dxo (t ) T xo (t ) kxi (t ) dt
L:
TsX o ( s ) X o ( s ) kX i ( s ) (Ts 1) X o ( s ) kX i ( s )
jik03
s X ( s) sx(0) x (0) 5sX ( s) 5x(0) 6 X ( s) 0
代入初始条件用部分分式法展开
X (s) 2 s 12 8 6 ( s 2 5 s 6) s 2 s 3
1
解： L变换:
2
x(t ) L [ X ( s)] （查表） 2t 3t (t 0) x(t ) x Z (t ) 8e 6e
jik03 5
Page: 6
特点：
（1）解的各项系数: 指数: （2）只有瞬态响应，稳态响应=0； 2.5 x Z (t) （3）初始条件变化 2 只改变各组成项的系数。 瞬 态 响 应
1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
8 e -2 t - 6 e -3 t
常用机电相似系统：力—电压相似系统, 力—电流相似系统
jik03
c1s c2 s ( 1)( 1) k1 k2 G( s ) c1s c2 s c1s ( 1)( 1) k1 k2 k2 1 对比： R1 c1 R2 c2 C1 k1
1 C2 k2
15
五．传递函数的表达形式
4.由微分方程求传递函数的方法： p s
5. 传函的零点、极点（系统微分方程的特征根）； 1 x ( t ) L [G(s) X i (s)] 6.输出的时域表示： o
(i ) a x ( t ) b x i i (t ) j 0 ( j) j o i 0 n m
§2.2 传递函数
一.拉氏变换
1.定义
F (s) L[ f (t )]
jik03

0
f (t )e dt
1
st
Page: 2
2.讨论：
(1)零初始条件。 (2) f(t)∶原函数，时间域。 F(s)∶象函数，复数域。S=σ+jω且σ>0。
（3）G(s)的量纲 （4）一切物理系统都有n≥m 3．传递函数的物理意义 传递函数是系统单位脉冲响应的象函数
xi (t ) (t ) ， X i (s) 1
X o ( s) G( s) X i ( s) G( s)
xo (t ) L1 [ X o ( s)] L1[Gjik03 ( s)] w(t ) G( s ) L[ w(t )] 12
Page: 17
组成环节：
4．传递函数相互转换的MATLAB命令 （1）多项式形式的表达 num=[bm bm-1 … b1 b0]; den=[an an-1 … a1 a0]; g=tf(num,den) （2）零极点形式的表达 Z=[z1;z2];P=[p1;p2+j*p3; p2-j*p3];K=k; d=zpk(Z,P,K) jik03
3．零状态响应 [强迫运动]
稳 态 响 应
0 t
初始条件(状态)=0，输入≠0 微分方程的特解，包括瞬态响应和稳态响应
jik03 6
Page: 7
x (t ) 5x (t ) 6x(t ) 6， 例 2.8 求解 (0) 0 初始条件 x(0) 0 ， x
t0 1 1 解：单位阶跃函数 u (t ) t0 0 1 0 L[u (t )] s 6 2 s X ( s ) 5sX ( s ) 6 X ( s ) L变换: s
1．多项式分式形式 X o ( s ) bm s m b1s b0 G( s) X i ( s ) an s n a1s a0 2．零极点增益形式 分子、分母首一化，再分解因式
Page: 16
K bm / a n 系统增益 零极点增益形式：
N ( s) ( s z1 )( s z2 )( s zm ) G( s ) K K D( s ) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
k2 c1 k1 c2 xi
i2 i1
C1 R1
i2
xo
ui
C2 R2
uo
jik03
14
Page: 15
先做L变换，再消去I1(s)、I2(s)
U o ( s) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1) U i ( s ) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1) R1C2 s
x (t )
xs ( t )
稳 态 响 应
1
2 1.5 1 0.5 0 0
瞬 态 响 应 5 e -2 t-4 e -3 t 稳 态 响 应 +1
1
2
3
4
t
4．总响应[复合运动]
总响应x(t)= 零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t) =瞬态响应+稳态响应 前例:x(t ) x Z (t ) x S (t )
6 3 2 1 X (s) 2 s ( s 5 s 6) s 2 s 3 s
2t
jik03
u (t )
t
x(t ) L1[ X ( s )] （查表）
x (t ) x s (t ) 3e
2e
3 t
1 (t≥0)
7
Page: 8
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 瞬 态 响 应 -3 e 2 t + 2 e - 3 t
F (s) L[ f (t )] :
拉氏变换将原函数变换成象函数
(3)拉氏逆变换将象函数变换成原函数 f(t)=L-1[F(s)]
(4)s的量纲是时间的倒数[T]-1 F(s)的量纲? jik03
2
Hale Waihona Puke Baidu
Page: 3
(5)要求:会查表，会使用。 熟悉几个最简单函数的拉氏变换。
3．最简单的性质：
（1）叠加性质
X o ( s) k G( s) X i ( s) Ts 1
11
Page: 12
2.讨论
(1)传递函数的分母是系统特征多项式， 分子反映系统与外界的关系。
(2) X o (s) G(s) X i (s) 时域函数
Xi (s) G(s) X o( s)
xo (t ) L1[ X o (s)] L1[G(s) X i (s)]
Page: 13
k2 ( xi xo ) c2 ( x i x o ) k 2 c 2 xi c1 ( x o x 2 ) k1 x2 c1 k2 ( X i ( s) X o ( s)) c2 s( X i ( s) X o ( s)) xo k1 c s ( X ( s ) X ( s )) k X ( s ) 1 o 2 1 2 ， c1sX o ( s ) X 2 ( s) c1s k1 k 2 c2 xi X o ( s) (c1s k1 )(c2 s k2 ) G( s ) c1 X i ( s ) (c1s k1 )(c2 s k2 ) c1k1s xo k1 c1s c2 s x2 ( 1)( 1) k1 k2 c1s c2 s c1s ( 1)( 1) k1 k2 k2 jik03 13
(8e 2t 6e 3 t ) (3e 2t 2e 3t 1)
(5e 2t 4e 3t ) 1 jik03
8
Page: 9
例 2.9 求解 x (t ) x(t ) t 2 (t )， 初始条件x(0) 3
(t )
解：单位脉冲函数δ(t)
K
( s zi )
) ( s p j jik03
j 1 i 1 n
m
( n m)
16
传递函数的零点：-zi(i=1,2,…m) 传递函数的极点：-zj(j=1,2,…n),（特征根） 3．典型环节形式 分子、分母“末1化”，再分解因式
K (1s 1) G( s) s(T1s 1)(T 2 s 2 2Ts 1)
17
Page: 18
（2）多项式与零极点形式的转换 [Z,P,K]=tf2zp(num,den) [num,den]=zp2tf(Z,P,K) 小结： 1.微分方程的拉氏算子解法; 2.系统的响应就是微分方程的解 总响应x(t) =零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t) =瞬态响应+稳态响应
X o (s) L[ xo (t )] 3.传函的的定义（零初始条件） G(s) X i (s) L[ xi (t )]
若
L[ f1 (t )] F1 ( s) ， L[ f 2 (t )] F2 ( s)
则
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aF1 ( s) bF2 ( s)
d L[ f (t )] sF ( s ) f (0) dt
jik03 3
（2）微分性质
Page: 4
dn L[ n f (t )] dt s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) sf ( n 2) (0) f ( n 1) (0)
Page: 1
复习：线性系统微分方程的一般形式
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t )
( m) ( m1) bm xi (t ) bm1xi (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
t0 0 (t ) (t )dt 1 0 t0 0 1 L 变换: sX ( s) 3 X ( s) 2 2 s 1 2 3 X ( s) 2 s ( s 1) s 1 s 1
L[ (t )] 1
0
t
x(t ) L1[ X ( s )] （查表）