对一类复系数多项式分解求复根

对一类复系数多项式分解求复根

崔尚菲

摘 要：应用本原单位根的思想把复系数多项式分解成一次因式的乘积。复系数多项式求根方法各式各样，对不同类型的多项式有不同的处理方法，大部分采用的计算机的数值计算方法，优缺点不一而足。对多项式的求根问题，在工学、理学、经济学等方面都有重要的作用。

关键词：本原单位根 复系数多项式 一次因式

由代数基本定理可以证明，任意一个n 次复系数多项式)(x f ，0>n ，则)(x f 恰有n 个复数根n c c c c ，，，321，而且)())(()(210n c x c x c x a x f ---= .然而具体多项式有专门的方法进行分解.本文针对一种特殊的复系数多项式，从5道题目下手给出了这一特殊类型题目的一般性解法.

一、论文背景介绍

1.1代数基本定理

代数基本定理（任意一个 n 次复系数多项式一定有复数根， n ⩾1．）是人们早就知道的.直到1797年，二十岁的德国大数学家Gauss 才第一个给出证明．后来 Gauss 又给出三个证明．由于十九世纪以前的代数是以研究代数方程为中心的，而这个定理对代数方程论又具有基本重要性，所以人们称它为代数基本定理．

1.2本原单位根

由高等代数的知识我们知道，在方程1=n

x 中，其本原单位根可定义为

i n k k e x π

2=；在方程

1-=n

x 中，其本原单位根可定义为i

n

k k e

x π

π2+=，其中

10-≤≤N ∈n k k ，.

二、论文引入的两组多项式

因为以下各节的需要，我们在这里先引入两组多项式并进行简单的变形处理. 2.1两个偶数次二项展开式

∑∑∑-=+-++=--=+==+1

0)

12(21212202222222022)(n k k n k k n n

k k n k k n k

n k n

k k n n b a

c b a c b

a c

b a

∑∑∑=-=+-++-=---=-=-n

k n k k n k k n k n k k n n

k k

n k k n k n n b a

c b a c b

a c

b a 01

0)

12(21212222222202222)1()(

将以上两式相加减便分别有以下两式

∑=-=-++n k k n k k n n n b a c b a b a 02222222])()[(21 (2.1.1)

∑-=+-++=--+10)12(21212222])()[(2

1n k k n k k n n

n b a c b a b a

(2.1.2)

这便是我们要引入的两个偶数次二项展开式.

2.2两个奇数次二项展开式

∑∑∑=-+++=-+++=-++++==+n

k k

n k k n n

k k n k k n n k k

n k k n n b a

c b a c b

a c

b a 022121212021222121

20121212)(

∑∑∑=-+++=-+++=-++-+++-=-=-n

k k n k k n n

k k n k k n n k k n k k n k n n b a

c b a c b

a c

b a 022121212021222121

201212121

2)1()

(

以上两式相加减则分别有以下两式

∑=-++++=-++n k k

n k k n n n b a c a b a b a 022*********])()[(21 (2.2.1)

∑=-+++=--+n k k n k k n n n b a c b b a b a 022********])()[(2

1 (2.2.2)

这便是我们要引入的两个奇数次二项展开式.

三、所要分解为一次因式乘积的5道复系数多项式的题目

在这一节我们开始着手进行对特定类型的复系数多项式分解为一次因式乘积的工作，为了使大家对将要处理的问题有一个初步的认识，我们先给出以下5个复系数多项式.

3.1 n n i x i x )sin cos ()sin cos (θθθθ-++++ 3.2 n n x x )1()1(-++

3.3 n

n n n n n n n c x c x c x 22242122)1(-+++---

3.4 n

n n

n n n n n

x x c x x c x x c x

)1()1()1(2022224242222222-++-+-+-- 3.5 n

n n n n n n n x x c x x c x x c x )1()1()1(21212223241221221212-++-+-++-+-++

四、将以上特定复系数多项式分解为一次因式的乘积

4.1将复系数多项式n n i x i x )sin cos ()sin cos (θθθθ-++++分解为一次因式的乘积.

解：令0)sin cos )sin cos =-++++n n i x i x θθθθ（（，则该方程有以下变形

n

n

n n i x a i x i x )sin cos )sin cos )sin cos θθθθθθ-+=-+-=++（（（

其中1012-≤≤N ∈=-=+n k k e

a a

i

n

k k n

，，，π

π.

我们在这里把1-用n

a 进行了替换，用到了本原单位根的思想，以后各节中一直沿用这种思想.

取)sin cos (sin cos θθθθi x a i x -+=++，则解方程可得到

）

（θθθθθθsin 11cos sin 11cos sin 11cos k k

k k k a a i a a i x a a i

x -++-=-+--=-+--= 其中102-≤≤N ∈=+n k k e

a i

n

k k ，，π

π.

到这里我们已经求得了该多项式所有的复根，因此有原式的一次因式分解为

)]

sin 11(cos [)]sin 11(cos )][sin 11(cos [))(())(()sin cos ()sin cos (1

1

1

1

001210θθθθθθθθθθ-----+++-+++-+++=----=-++++n n n n n n a a i

x a a i x a a i

x x x x x x x x x i x i x

其中 102-≤≤N ∈=+n k k e

a i

n

k k ，，π

π.

4.2将复系数多项式n n x x )1()1(-++分解为一次因式的乘积. 解：令0)1)1=-++n n x x （（，则有以下变形

n

n

n n x a x x )1)1)1-=--=+（（（

其中101

2-≤≤N ∈=-=+n k k e a a i

n

k k n

，，，π

π.

取)1(1-=+x a x ，则解方程可得