小学奥数几何的五大模型练习
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型一一很重要,小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等;⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如下图右图S i : = a :b⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图S^ ACD = S^ BCD 反之,如果S A ACD =S A BCD,则可知直线AB平行于CD⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;经典例题:(第四届”迎春杯欄试题)如图‘三角形A眈的面积为1 ,其中AE = 3AB ,,三角形册肉的面积是多少?解析:连接CE,如图。
AE=3AB,所以S A AEC =3S △ABC=3所以S A BCE =2又因为:BD=2BC,所以S A BDE=2S A BCE=4点评:此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在△ ABC中,D,E分别是AB,AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上,E 在AC 上( 女口图2) ,则S A ABC:ADE二(AB AC): (AD AE)此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明!因为S^ABC=AB >ACsinA,S^ADE=AD >AEsinA所以:S A ABC: S A ADE= (AB/CsSA): (AD >AEsinA) = (AB 0C):(AD >AE)经典例题:已知MEF的面积为7平方厘米,BE = CE、AD = 2BD*CF=3AF,求心眈的面积・三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理”:① S i: S 2 = S 4 : S3 或者S S^ = S2 S 4②AO:OC 二 $ S 2 : S 4 S 3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径•通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系 与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应 的对角线的比例关系。
小学奥数几何篇 五大模型——蝴蝶定理(附答案)
五大模型——蝴蝶模型例1. 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,如果三角形ABD1,且AO=2,DO=3,那么CO的长的面积等于三角形BCD的面积3度是DO的长度的倍例2. 如图,平行四边形ABCD的对角线交与点O点,△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6 求:(1)△OCF 的面积;(2)求△GCE的面积例3.如图,边长为1的正方形ABCD中,BE=3EC,CF=FD,求三角形AEG的面积。
例4. 如图,边长为1的正方形ABCD的边长为10厘米,E为AD 中点,F为CE中点,G为BF中点,求三角形BDG的面积例5. 如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知AOB于BOC的面积分别为25平方厘米于35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是平方厘米例6.梯形ABCD的对角线AC与BD交与点O,已知梯形上底为2,2,求三角形AOD与且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的3三角形BOC的面积之比。
例7. 如下图,一个长方形一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH的面积是23,求四边形EGFH 的面积。
例8. 右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米例9. 如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知期中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米例10. 如图,正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少?蝴蝶模型习题1、如图,长方形ABCD中,BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,三角形DFC面积为2平方厘米,求长方形ABCD的面积.2、梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC的面积是9cm2,问三角形AOD的面积是多少?3、如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4:5,四边形2的面积为36,则三角形1的面积为4、如图,长方形ABCD中,阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9,那么四边形OECD的面积是多少?5、如图,△ABC是等腰三角形,DEFG是正方形,线段AB与CD相较于K点,已知正方形DEFG的面积48,AK:KB=1:3,则△BKD的面积是多少?答案【例1】因为AO : OC =S∆ABD : S∆BDC= 1: 3 ,所以OC = 2⨯3 = 6 ,所以OC : OD = 6: 3 = 2:1.解法二:作AH ⊥BD于H ,CG ⊥BD 于G .因为S所以S ∆ABD=1S3=1S∆BCD,所以AH =1 CG ,3,∆AOD 3 ∆DOCAO =1CO ,3OC = 2⨯3 = 6 ,OC : OD = 6: 3 = 2:1.C【例2】⑴⑴BCD 的面积为2 + 4 + 4 + 6 =16 ,⑴BCO 和∆CDO 的面积都是16 ÷ 2 = 8 ,所以⑴OCF 的面积为8 - 4 = 4 ;⑴由于⑴BCO 的面积为8,⑴BOE 的面积为6,所以⑴OCE 的面积为8 - 6 = 2 ,根据蝴蝶定理,EG : FG =S∆COE : S∆COF= 2 : 4 = 1: 2所以S∆GCE : S∆GCF=EG : FG = 1: 2 ,S∆GCE =11+ 2S∆CEF=1⨯ 2 =2 .33【例3】A DFB EC 连接EF .因为BE = 2EC ,CF =FD ,所以S∆DEF = (1⨯1⨯1)S2 3 2ABCD=1S12ABCD.因为S∆AED =1S2ABCD,由蝴蝶定理,AG : GF =1 : 12 12= 6 :1 ,所以S∆AGD = 6S∆GDF=6S7∆ADF=6⨯1S74ABCD=3S14ABCD.所以S∆AGE =S∆AED-S∆AGD=1S2ABCD-3 S14ABCD=2S7ABCD=2,7【例4】A E DB C设BD 与CE 的交点为O ,连接BE 、DF .由蝴蝶定理EO : OC =S BED : S BCD ,而SBED =1S4ABCD,SBCD=1S2ABCD,所以EO : OC =SBED : SBCD= 1: 2 ,故EO =1EC .3F 为CE 中点,所以EF =1 EC ,2故EO: EF = 2: 3,FO : EO =1: 2 .由蝴蝶定理SBFD : SBED=FO : EO = 1: 2 ,所以SBFD =1S2BED=1S8ABCD,SBGD =1S2BFD=1S16ABCD=1⨯10⨯10 = 6.2516AOB BOC AOB DOC 梯形蝴蝶定理B① S 1 : S 3 C= a 2 : b 2② S : S : S : S = a 2 : b 2 : ab : ab ; 1 3 2 4 ③ S 的对应份数为(a + b )2【例 5】由梯形蝴蝶定理, S : S = a 2 : ab = 25 : 35 , 可得 a : b = 5: 7 ,再根据梯形蝴蝶定理, S : S = a 2 :b 2 = 52 : 72 = 25 : 49 , 所以S DOC = 49梯形 ABCD 的面积为25 + 35 + 35 + 49 =144【例 6】由蝴蝶定理, S AOB : S BOC = ab : b 2 = 2 : 3得a : b = 2: 3,S AOD : S BOC = a 2 : b 2 = 22 : 32 = 4 : 9O∆OCD ∆OCD【例 7】AF BDE C如图,连结 EF ,显然 ADEF 和 BCEF 都是梯形, 于是 EFG 的面积等于三角形 ADG 的面积三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积所以四边形 EGFH 的面积是11+ 23 = 34.【例 8】A DB C连接 AE .由于 AD 与 BC 平行,所以 AECD 也是梯形,那么S ∆OCD = S ∆OAE .据蝴蝶定理, S ∆OCD ⨯ S ∆OAE = S ∆OCE ⨯ S ∆OAD = 2 ⨯ 8 = 16 故 S 2 = 16 ,所以S = 4另解:在平行四边形 ABED 中, S ∆ADE =1 S2 ABED = 1 ⨯(16 + 8) = 12 2 所以S ∆AOE = S ∆ADE - S ∆AOD = 12 - 8 = 4根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为8⨯ 2 ÷ 4 = 4【例 9】A EBD连接 DE 、CF . EDCF 为梯形,所以S ∆EOD = S FOC , 又根据蝴蝶定理, S ∆EOD ⋅ S ∆FOC = S ∆EOF ⋅ S ∆COD 所以S ∆EOD = 4 , S ∆ECD = 4 + 8 = 12ABCD 面积为12⨯2 = 24S ∆EOD ⋅ S ∆FOC = S ∆EOF ⋅ S ∆COD = 2 ⨯ 8 = 16 ,四边形OFBC 的面积为24 - 5 - 2 -8 = 9 (平方厘米).【例 10】连接阴影图形的长对角线,此时六边形被平分为两半根据六边形的特殊性质,和梯形蝴蝶定理把六边形分为 18 份 阴影部分占了其中 8 份,所以阴影部分的面积 8 ⨯ 6 = 8 .183∆ AOD ∆ AOD ∆BOC123作业题答案1.AD FBEC连接 AE , FE .因为 BE : EC = 2: 3 , DF : FC =1: 2 ,所以S = (3 ⨯ 1 ⨯ 1)S = 1S. DEF 5 3 2长方形ABCD10 长方形ABCD 因为S= 1 S , A G : GF = 1 : 1= 5 :1,所以S = 5S = 10 平方厘米,所AED2 长方形ABCD 2 10AGD GDF 以 S = 12 平方厘米.因为S = 1S ,所以长方形 ABCD 的面积是72 平方 AFD厘米.2.AFDA D6 长方形ABCDBC根据梯形蝴蝶定理, a : b =1:1.5 = 2: 3 , S : S = a 2:b 2 = 22 : 32 = 4 : 9 , 所以S = 4(cm 2 ) .3.O 做辅助线如下:利用梯形模型,这样发现四边形 2 分成左右两边,其面积正好等于三角形 1 和三角形 3,所以 1 的面积就是36 ⨯44 + 5= 16 ,3 的面积就是 36 ⨯54 + 5= 20 .4.ADBEC因为连接 ED 知道⑴ABO 和⑴EDO 的面积相等即为54 ,又因为OD ⑴OB =16⑴9 ,所以 ⑴AOD 的面积为54 ÷ 9⨯16 = 96 ,根据四边形的对角线性质知道:⑴BEO 的面积为:54⨯54 ÷ 96 = 30.375 ,所以四边形OECD 的面积为: 54 + 96 - 30.375 =119.625 (平方厘米).5.BM C由于 DEFG 是正方形,所以 DA 与 BC 平行,那么四边形 ADBC 是梯形.在梯形ADBC 中,∆BDK 和∆ACK 的面积是相等的.而 AK : KB =1: 3 ,所以∆ACK 的面积是∆ABC 面积的 1 = 1 ,那么∆BDK 的面积也是∆ABC 面积的 1.1+ 3 4 4由于∆ABC 是等腰直角三角形,如果过 A 作 BC 的垂线,M 为垂足,那么 M 是BC 的中点,而且 AM = DE ,可见∆ABM 和∆ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半,所以∆ABC 的面积与正方形 DEFG 的面积相等,为 48. 那么∆BDK 的面积为48⨯ 1= 12 .4。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型(任意四边形模型)任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC 、BD 分成四个部分,△AOB 面积为1平方千米,△BOC 面积为2平方千米,△COD 的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米,公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米,所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,求:⑴三角形BGC 的面积;⑵:AG GC =?B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,123BGCS ⨯=⨯,那么6BGCS=;⑵根据蝴蝶定理,()():12:361:3AG GC =++=. (???)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的任意四边形、梯形与相似模型面积的13,且2AO =,3DO =,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。
小学奥数几何五大模型
几何五大模型一、五大模型简介(1)等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等;2、两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图①所示,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b;3、两个三角形底相等,面积在之比等于高之比,如图②所示,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b;4、在一组平行线之间的等积变形,如图③所示,S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub];反之,如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub],则可知直线AB平行于CD。
例、如图,三角形ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点,求三角形DEF的面积。
(2)鸟头(共角)定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形;2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中,D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有:S[sub]△ABC[/sub]:S[sub]△ADE[/sub]=(AB×AC):(AD×AE)我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理!如图连接BE,根据等积变化模型知,S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub]=AD:AB、S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△CBE[/sub]=AE:CE,所以S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]:(S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub])=AE:AC,因此S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABC[/su b]=(S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub])×(S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub])=(AD:AB)×(AE:AC)。
小学奥数几何五大模型
(4)相似模型1、相似三角形:形状相同、大小不相等的两个三角形相似;2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质:①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比;②相似三角形周长的比等于相似比;③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论:因为DE BC ∥,所以ADE ABC △∽△,则①AD AE DE==;②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△;ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 (1)等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点,如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是多少?GFE D CBA解析:把另外三个三等分点标出之后,正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接,这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形,同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1~6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一;阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知,CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等;BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等;AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此,阴影面积是空白面积的二分之一,是正方形面积的三分之一,即:12×12÷3=48。
例2、如图所示,Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点,且DQ CP ME 、、彼此平行,已知5753AD BC AE EB ====、、、,求阴影部分三角形PQM 的面积。
小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型(任意四边形模型)任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC 、BD 分成四个部分,△AOB 面积为1平方千米,△BOC 面积为2平方千米,△COD 的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米,公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米,所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,求:⑴三角形BGC 的面积;⑵:AG GC =?任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,123BGC S ⨯=⨯V ,那么6BGC S =V ;⑵根据蝴蝶定理,()():12:361:3AG GC =++=. (???)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13,且2AO =,3DO =,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
小升初奥数几何五大模型经典例题
小升初奥数几何五大模型经典例题【奥数】小升初几何五大模型经典例题
二、五大模型经典例题详解
(1)等积变换模型
例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点,如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是多少?
例2、如图所示,Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点,且DQ、CP、ME彼此平行,已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3,求阴影部分三角形PQM的面积。
(2)鸟头(共角)定理模型
例1、如图所示,平行四边形ABCD,BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD,平行四边形ABCD的面积为2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
例2、如图所示,△ABC的面积为1,BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG,求△FGS的面积。
(3)蝴蝶模型
例1、如图,正六边形面积为1,那么阴影部分面积为多少?
例2、如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,求余下的四边形OFBC的面积。
例3、如图,已知正方形ABCD的边长为10厘米,E为AD的中点,F为CE的中点,G为BF的中点,求三角形BDG的面积。
(4)相似模型
例2、如图,长方形ABCD,E为AD的中点,AF与BD、BE分别交于G和H,OE垂直于AD,交AD于E点,交AF 于O点,已知AH=5,HF=3,求AG的长。
(5)燕尾模型
例1、如图,正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,求四边形BGHF的面积。
例2、如图,在△ABC中,BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC,那么△ABC的面积是阴影△GHI面积的几倍?。
小学奥数-几何五大模型(等高模型)
模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式:三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小); 如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍,底变为原来的13,则三角形面积与原来的一样.这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论: ①等底等高的两个三角形面积相等;②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如图 12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图ACD BCD S S =△△;反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; ⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.三角形等高模型与鸟头模型【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成:⑴ 3个面积相等的三角形;⑵ 4个面积相等的三角形;⑶6个面积相等的三角形。
【解析】 ⑴ 如下图,D 、E 是BC 的三等分点,F 、G 分别是对应线段的中点,答案不唯一:C ED BAFC DB A GDCBA⑵ 如下图,答案不唯一,以下仅供参考:⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图,答案不唯一,以下仅供参考:【例 2】 如图,BD 长12厘米,DC 长4厘米,B 、C 和D 在同一条直线上。
小学奥数几何五大模型
(4)相似模型1、相似三角形:形状相同、大小不相等的两个三角形相似;2、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质:①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比;②相似三角形周长的比等于相似比;③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论:因为DE BC ∥,所以ADE ABC △∽△,则①AD AE DE==;②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△;ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 (1)等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点,如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是多少?GFE D CBA解析:把另外三个三等分点标出之后,正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接,这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形,同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1~6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一;阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知,CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等;BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等;AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此,阴影面积是空白面积的二分之一,是正方形面积的三分之一,即:12×12÷3=48。
例2、如图所示,Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点,且DQ CP ME 、、彼此平行,已知5753AD BC AE EB ====、、、,求阴影部分三角形PQM 的面积。
小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)
模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上如图 2), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△,::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△,所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△,设8ADE S =△份,则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC △的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 .【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少?EDC B AA B C DE【解析】 连接BE .∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷,∴1515ABC ADE S S ==.【巩固】如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍?乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD .∵3BE =,6AE =∴3AB BE =,3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==,∴2ABC ABD S S =,∴6ABC BDE S S =,5S S =乙甲.【例 2】 如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,:3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ,::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△,所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△,设6ADE S =△份,则25ABC S =△份,12ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,ABC △的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示,在平行四边形ABCD 中,E 为AB 的中点,2AF CF =,三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米?E F D CB A【解析】 连接FB .三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍,而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍,所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=()倍.因此,平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米).【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米,,2,3BE CE AD BD CF AF ===,求ABC △的面积.FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△,:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份,则4BDE S =△份,4ADF S =△份,9CEF S =△份,244497DEF S =---=△份,恰好是7平方厘米,所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图,三角形ABC 的面积为3平方厘米,其中:2:5AB BE =,:3:2BC CD =,三角形BDE 的面积是多少?AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=,所以可以用共角定理,设2AB =份,3BC =份,则5BE =份,325BD =+=份,由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△,设6ABC S =△份,恰好是3平方厘米,所以1份是0.5平方厘米,25份就是250.512.5⨯=平方厘米,三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示,正方形ABCD 边长为6厘米,13AE AC =,13CF BC =.三角形DEF 的面积为_______平方厘米.F ED C BA【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =,可得23CE AC =.根据”共角定理”可得,():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△;而66218ABC S =⨯÷=△;所以4CEF S =△;同理得,:2:3CDE ACD S S =△△;,183212CDE S =÷⨯=△,6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米).【例 7】 如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =;延长BC 至E ,使2CE BC =;延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积.F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用.连接AE 、CD . ∵11ABC DBC S S =,1ABC S =, ∴S 1DBC =.同理可得其它,最后三角形DEF 的面积18=.(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中,ACB ∠与FCE ∠互补, ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯. 又1ABCS=,所以8FCES=.同理可得6ADFS =,3BDES=.所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=.【例 8】 如图,平行四边形ABCD ,BE AB =,2CF CB =,3GD DC =,4HA AD =,平行四边形ABCD 的面积是2, 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD .根据共角定理∵在ABC △和BFE △中,ABC ∠与FBE ∠互补,∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△. 又1ABC S =△,所以3FBE S =△.同理可得8GCF S =△,15DHG S =△,8AEH S =△.所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△.所以213618ABCD EFGH S S ==.【例 9】 如图,四边形EFGH 的面积是66平方米,EA AB =,CB BF =,DC CG =,HD DA =,求四边形ABCD 的面积.H GFED CB AA B CDEFGH【解析】 连接BD .由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△,即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△,即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ,同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】 如图,将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ,若四边形ABCD 的面积为5,则四边形EFGH 的面积是 .A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD .由于2BE AB =,2BF BC =,于是4BEF ABC S S ∆∆=,同理4HDG ADC S S ∆∆=. 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=.再由于3AE AB =,3AH AD =,于是9AEH ABD S S ∆∆=,同理9CFG CBD S S ∆∆=. 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=.那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==.【例 11】如图,在ABC △中,延长AB 至D ,使BD AB =,延长BC 至E ,使12CE BC =,F 是AC 的中点,若ABC △的面积是2,则DEF △的面积是多少?A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中,ACB ∠与FCE ∠互补,∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△. 又2ABCS=,所以0.5FCES=.同理可得2ADF S =△,3BDE S =△.所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图,1ABC S =△,5BC BD =,4AC EC =,DG GS SE ==,AF FG =.求FGSS.SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单,但它把本讲的两个重要知识点融合到一起,既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用,也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的3种情况.最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△.【例 13】 如图所示,正方形ABCD 边长为8厘米,E 是AD 的中点,F 是CE 的中点,G 是BF 的中点,三角形ABG 的面积是多少平方厘米?ABCD EF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG .因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△,根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =,8EFG S =,再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,得到16BFCS =,32ABFE S =,24ABFS=,所以12ABGS=平方厘米.【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积.HGFEDCB A【解析】 如图,将原图扩展成一个大正三角形DEF ,则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形.假设正六边形的边长为为a ,则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ,所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍.而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的,所以一个单位小正三角形的面积为16,三角形DEF 的面积为496.由于4FA a =,3FB a =,所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=.同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249,所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=,所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=.【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 .B DCEA【解析】 从图中可以看出,虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半,也就是都等于一个正六边形的面积;虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半,那么它们合起来等于一个正六边形的面积;虚线AE外的图形是两个三角形,从右图中可以看出,每个三角形都是一个正六边形面积的16,所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=,所以五边形的面积是12103633-=.8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中,而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分,蝴蝶定理是一个非常有用的工具,它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
蝴蝶定理主要描述了在四边形中,当两条对角线互相垂直时,四边形被分成四个小三角形,而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。
蝴蝶定理的内容如下:设四边形ABCD中,AC和BD是互相垂直的对角线,交于点O。
设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。
那么,蝴蝶定理可以表述为:S1 + S2 = S3 + S4。
这个定理听起来可能有些抽象,但实际上它的应用非常广泛。
我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。
下面,我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。
例1:在四边形ABCD中,AC和BD是互相垂直的对角线,且AC =8cm,BD = 6cm。
如果三角形ABC的面积是24cm²,那么三角形ADC的面积是多少?解答:根据蝴蝶定理,我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是24cm²,所以S1 = 24cm²。
又因为AC = 8cm,BD = 6cm,我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。
因此,三角形ADC的面积也是24cm²。
例2:在四边形ABCD中,AC和BD是互相垂直的对角线,且AC = 10cm,BD = 5cm。
如果三角形ABC的面积是20cm²,那么三角形ADC的面积是多少?解答:同样地,根据蝴蝶定理,我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是20cm²,所以S1 = 20cm²。
又因为AC = 10cm,BD = 5cm,我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。
因此,三角形ADC的面积是25cm²。
小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)
模型二 鸟头模型如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上如图 2), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△,::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△,所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△,设8ADE S =△份,则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC △的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 .【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少?EDC B AA B C DE【解析】 连接BE .∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷,∴1515ABC ADE S S ==.【巩固】如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍?乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD .∵3BE =,6AE =∴3AB BE =,3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==,∴2ABC ABD S S =,∴6ABC BDES S=,5S S =乙甲.【例 2】 如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,:3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ,::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△,所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△,设6ADE S =△份,则25ABC S =△份,12ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,ABC △的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示,在平行四边形ABCD 中,E 为AB 的中点,2AF CF =,三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米?【解析】 连接FB .三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍,而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍,所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=()倍.因此,平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米).【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米,,2,3BE CE AD BD CF AF ===,求ABC △的面积.FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△,:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份,则4BDE S =△份,4ADF S =△份,9CEF S =△份,244497DEF S =---=△份,恰好是7平方厘米,所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图,三角形ABC 的面积为3平方厘米,其中:2:5AB BE =,:3:2BC CD =,三角形BDE 的面积是多少?AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=,所以可以用共角定理,设2AB =份,3BC =份,则5BE =份,325BD =+=份,由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△,设6ABC S =△份,恰好是3平方厘米,所以1份是0.5平方厘米,25份就是250.512.5⨯=平方厘米,三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示,正方形ABCD 边长为6厘米,13AE AC =,13CF BC =.三角形DEF 的面积为_______平方厘米.A【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =,可得23CE AC =.根据”共角定理”可得,():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△;而66218ABC S =⨯÷=△;所以4CEF S =△;同理得,:2:3CDE ACD S S =△△;,183212CDE S =÷⨯=△,6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米).【例 7】 如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =;延长BC 至E ,使2CE BC =;延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积.F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用.连接AE 、CD . ∵11ABC DBC S S =,1ABC S =, ∴S 1DBC =.同理可得其它,最后三角形DEF 的面积18=.(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中,ACB ∠与FCE ∠互补, ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯. 又1ABCS=,所以8FCES=.同理可得6ADFS =,3BDES=.所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=.【例 8】 如图,平行四边形ABCD ,BE AB =,2CF CB =,3GD DC =,4HA AD =,平行四边形ABCD 的面积是2, 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD .根据共角定理∵在ABC △和BFE △中,ABC ∠与FBE ∠互补,∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△. 又1ABC S =△,所以3FBE S =△.同理可得8GCF S =△,15DHG S =△,8AEH S =△.所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△.所以213618ABCD EFGH S S ==.【例 9】 如图,四边形EFGH 的面积是66平方米,EA AB =,CB BF =,DC CG =,HD DA =,求四边形ABCD 的面积.H GFED CBAA BCDEFGH【解析】 连接BD .由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△,即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△,即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ,同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】 如图,将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ,若四边形ABCD 的面积为5,则四边形EFGH 的面积是 .A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD .由于2BE AB =,2BF BC =,于是4BEF ABC S S ∆∆=,同理4HDG ADC S S ∆∆=.于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=.再由于3AE AB =,3AH AD =,于是9AEH ABD S S ∆∆=,同理9CFG CBD S S ∆∆=. 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=.那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==.【例 11】 如图,在ABC △中,延长AB 至D ,使BD AB =,延长BC 至E ,使12CE BC =,F 是AC 的中点,若ABC △的面积是2,则DEF △的面积是多少?A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中,ACB ∠与FCE ∠互补,∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△. 又2ABCS=,所以0.5FCES=.同理可得2ADF S =△,3BDE S =△.所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】 如图,1ABC S =△,5BC BD =,4AC EC =,DG GS SE ==,AF FG =.求FGSS.SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单,但它把本讲的两个重要知识点融合到一起,既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用,也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的3种情况.最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△.【例 13】 如图所示,正方形ABCD 边长为8厘米,E 是AD 的中点,F 是CE 的中点,G 是BF 的中点,三角形ABG 的面积是多少平方厘米?ABCD EF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG .因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△,根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =,8EFG S =,再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,得到16BFCS =,32ABFE S =,24ABFS=,所以12ABGS=平方厘米.【例 14】 四个面积为1的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积.【解析】 如图,将原图扩展成一个大正三角形DEF ,则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形.假设正六边形的边长为为a ,则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ,所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍.而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的,所以一个单位小正三角形的面积为16,三角形DEF 的面积为496.由于4FA a =,3FB a =,所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=.同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249,所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=,所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=.【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 .B DCEA【解析】 从图中可以看出,虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半,也就是都等于一个正六边形的面积;虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半,那么它们合起来等于一个正六边形的面积;虚线AE外的图形是两个三角形,从右图中可以看出,每个三角形都是一个正六边形面积的16,所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=,所以五边形的面积是12103633-=.8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中,而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)
燕尾定理:在三角形ABC 中,AD ,BE ,CF 相交于同一点O , 那么,::ABO ACO S S BD DC ∆∆=OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题 证明燕尾定理:如右图,D 是BC 上任意一点,请你说明:1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高,分别以BD 、DC 为底,所以有14::S S BD DC =;三角形ABE 与三角形EBD 同高,12::S S ED EA =;三角形ACE 与三角形CED 同高,43::S S ED EA =,所以1423::S S S S =;综上可得, 1423:::S S S S BD DC ==.例题精讲燕尾定理【例 1】 (2009年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形ABC 的面积是1,E 是AC 的中点,点D 在BC 上,且:1:2BD DC =,AD 与BE 交于点F .则四边形DFEC 的面积等于 .FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一:连接CF ,根据燕尾定理,12ABF ACF S BD S DC ==△△,1ABF CBF S AES EC==△△,设1BDF S =△份,则2DCF S =△份,3ABF S =△份,3AEF EFC S S ==△△份,如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△方法二:连接DE ,由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△,11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△,所以11ABD ADE S BF FE S ==△△, 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△,而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△.所以则四边形DFEC 的面积等于512.【巩固】如图,已知BD DC =,2EC AE =,三角形ABC 的面积是30,求阴影部分面积.【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形,所以我们需要对它进行改造,那么我们需要连一条辅助线,(法一)连接CF ,因为BD DC =,2EC AE =,三角形ABC 的面积是30,所以1103ABE ABC S S ==△△,1152ABD ABC S S ==△△.根据燕尾定理,12ABF CBF S AE S EC ==△△,1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△,157.57.5BFD S =-=△,所以阴影部分面积是30107.512.5--=.(法二)连接DE ,由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△,11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△,所以11ABE BDE S AF FD S ==△△, 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△,而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△.所以阴影部分的面积为12.5.【巩固】如图,三角形ABC 的面积是2200cm ,E 在AC 上,点D 在BC 上,且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =,AD 与BE 交于点F .则四边形DFEC 的面积等于 .FED CBAABC DEF FEDCBA【解析】 连接CF ,根据燕尾定理,2639ABF ACF S BD S DC ===△△,36510ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份,则9ACF S =△份,10BCF S =△份,5459358EFC S =⨯=+△份,310623CDF S =⨯=+△份,所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+=【巩固】如图,已知3BD DC =,2EC AE =,BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几?OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份,则其他部分的面积如图所示,所以1291830ABC S =+++=△份,所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示,在ABC △中,12CP CB =,13CQ CA =,BQ 与AP 相交于点X ,若ABC △的面积为6,则ABX △的面积等于 .XQPABC XQPABC4411XQPCBA【解析】 方法一:连接PQ .由于12CP CB =,13CQ CA =,所以23ABQ ABC S S =V V ,1126BPQ BCQ ABC S S S ==V V V .由蝴蝶定理知,21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===V V V V ,所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=V V V V .方法二:连接CX 设1CPX S =△份,根据燕尾定理标出其他部分面积,所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△【巩固】如图,三角形ABC 的面积是1,2BD DC =,2CE AE =,AD 与BE 相交于点F ,请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【解析】 连接CF ,设1AEF S =△份,则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示,所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217FDCE S +==【巩固】如图,E 在AC 上,D 在BC 上,且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =,AD 与BE 交于点F .四边形DFEC的面积等于222cm ,则三角形ABC 的面积 .A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【解析】 连接CF ,根据燕尾定理,12ABFACFS BD S DC ==△△,23ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份,则2DCF S =△份,2ABF S =△份,4AFC S =△份,24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABCS =÷⨯=△【巩固】三角形ABC 中,C 是直角,已知2AC =,2CD =,3CB =,AM BM =,那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少?【解析】 连接BN .ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理,::2:1ACN ABN CD BD ==△△; 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份,则MNB △的面积也是1份,所以ANB △的面积是112+=份,而ACN △的面积就是224⨯=份,CBN △也是4份,这样ABC △的面积为441110+++=份,所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=.【巩固】如图,长方形ABCD 的面积是2平方厘米,2EC DE =,F 是DG 的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A【解析】 设1DEF S =△份,则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 2】 如图所示,在四边形ABCD 中,3AB BE =,3AD AF =,四边形AEOF 的面积是12,那么平行四边形BODC 的面积为________.OFE DCBA684621O F E DCB A【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设1BEO S =△,则其他图形面积,如图所标,所以221224BODC AEOF S S ==⨯=.【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形,E 、F 分别是AB 、BC 边的中点,AF 与CE 交于G ,则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米.GFE DCBAGFE D CBA【解析】 连接AC 、GB ,设1AGC S =△份,根据燕尾定理得1AGB S =△份,1BGC S =△份,则11126S =++⨯=正方形()份,314ADCG S =+=份,所以22126496(cm )ADCG S =÷⨯=【例 4】如图,正方形ABCD 的面积是120平方厘米,E 是AB 的中点,F 是BC 的中点,四边形BGHF 的面积是_____平方厘米.EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份,根据燕尾定理2CHD S =△份,2BHD S =△份,因此122)210S =++⨯=正方形(份,127236BFHG S =+=,所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).【例 5】 如图所示,在ABC △中,:3:1BE EC =,D 是AE 的中点,那么:AF FC = .FE D C B AFE DCB A【解析】 连接CD .由于:1:1ABD BED S S =△△,:3:4BED BCD S S =△△,所以:3:4ABD BCD S S =△△,根据燕尾定理,::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△.【巩固】在ABC ∆中,:3:2BD DC =, :3:1AE EC =,求:OB OE =?A BCDE OABCDE O【解析】 连接OC .因为:3:2BD DC =,根据燕尾定理,::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==,即32AOB AOC S S ∆∆=; 又:3:1AE EC =,所以43AOC AOE S S ∆∆=.则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=, 所以::2:1AOB AOEOB OE S S ∆∆==.【巩固】在ABC ∆中,:2:1BD DC =, :1:3AE EC =,求:OB OE =?A B CDE O【解析】 题目求的是边的比值,一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值,也可以通过三角形的面积比来做桥梁,但题目没告诉我们边的长度,所以应该通过面积比而得到边长的比.本题的图形一看就联想到燕尾定理,但两个燕尾似乎少了一个,因此应该补全,所以第一步要连接OC . 连接OC .A B CDE O因为:2:1BD DC =,根据燕尾定理,::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==,即2AOB AOC S S ∆∆=; 又:1:3AE EC =,所以4AOC AOE S S ∆∆=.则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=, 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==.【例 6】 (2009年清华附中入学测试题)如图,四边形ABCD 是矩形,E 、F 分别是AB 、BC 上的点,且13AE AB =,14CF BC =,AF 与CE 相交于G ,若矩形ABCD 的面积为120,则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 .BEH BEBE【解析】 (法1)如图,过F 做CE 的平行线交AB 于H ,则::1:3EH HB CF FB ==,所以122AE EB EH ==,::2AG GF AE EH ==,即2AG GF =,所以122311033942AEG ABF ABCD S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=X .且22313342EG HF EC EC ==⨯=,故CG GE =,则1152CGF AEG S S ∆∆=⨯⨯=.所以两三角形面积之和为10515+=. (法2)如上右图,连接AC 、BG .根据燕尾定理,::3:1ABG ACG S S BF CF ∆∆==,::2:1BCG ACG S S BE AE ∆∆==,而1602ABC ABCD S S ∆==X ,所以3321ABG S ∆=++,160302ABC S ∆=⨯=,2321BCG S ∆=++,160203ABC S ∆=⨯=,则1103AEG ABG S S ∆∆==,154CFG BCG S S ∆∆==,所以两个三角形的面积之和为15.【例 7】 如右图,三角形ABC 中,:4:9BD DC =,:4:3CE EA =,求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△(都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!【巩固】如右图,三角形ABC 中,:3:4BD DC =,:5:6AE CE =,求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△(都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如图,:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCGS S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△【巩固】如右图,三角形ABC 中,:2:3BD DC =,:5:4EA CE =,求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△(都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图,三角形ABC 中,:::3:2AF FB BD DC CE AE ===,且三角形ABC 的面积是1,则三角形ABE 的面积为______,三角形AGE 的面积为________,三角形GHI 的面积为______.I HGFEDC BAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG .由于:3:2CE AE =,所以25AE AC =,故2255ABE ABC S S ∆∆==; 根据燕尾定理,::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==,::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==,所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=,则419ACG S ∆=,919BCG S ∆=;那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=;同样分析可得919ACH S ∆=,则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==,::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==,所以::4:5:10EG GH HB =,同样分析可得::10:5:4AG GI ID =,所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=,55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=.【巩固】 如右图,三角形ABC 中,:::3:2AF FB BD DC CE AE ===,且三角形GHI 的面积是1,求三角形ABC 的面积.IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ,AGC S △=6份根据燕尾定理,::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△,::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份),9ABG S =△(份),则19ABC S =△(份),因此619AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△, 所以1966611919GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1,所以三角形ABC 的面积是19【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图,ABC ∆中2BD DA =,2CE EB =,2AF FC =,那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍.BCB【分析】 如图,连接AI .根据燕尾定理,::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==,::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==,所以,::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=,那么,221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++.同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27,所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=,所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍.【巩固】如图在ABC △中,12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值. IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份,根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份),4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份),因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△, 所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的,那么在同样的位置上的图形,虽然形状千变万化,但面积是相等的,这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在ABC △中,13DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值. IHG FEDCBAIH G FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份,根据燕尾定理::3:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::3:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得3AGC S =△(份),9ABG S =△(份),则13ABC S =△(份),因此313AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得13ABH ABC S S =△△,313BIC ABC S S =△△, 所以1333341313GHI ABC S S ---==△△【巩固】如右图,三角形ABC 中,:::4:3AF FB BD DC CE AE ===,且三角形ABC 的面积是74,求角形GHI的面积.IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ,AGC S △=12份根据燕尾定理,::4:312:9AGC BGC S S AF FB ===△△,::4:316:12ABG AGC S S BD DC ===△△得9BGC S =△(份),16ABG S =△(份),则9121637ABC S =++=△(份),因此1237AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得1237ABH ABC S S =△△,1237BIC ABC S S =△△, 所以3712121213737GHI ABC S S ---==△△ 三角形ABC 的面积是74,所以三角形GHI 的面积是174237⨯=【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形,如图所示, 三个三角形的面积 分别是3,7,7,则阴影四边形的面积是多少?【解析】 方法一:遇到没有标注字母的图形,我们第一步要做的就是给图形各点标注字母,方便后面的计算.再看这道题,出现两个面积相等且共底的三角形.设三角形为ABC ,BE 和CD 交于F ,则BF FE =,再连结DE . 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ,则()():33:10:10x AD DB x +==+,所以15x =,四边形的面积为18.方法二:设ADF S x =△,根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△,再根据向右下飞的燕子,有(37):7:3x x ++=,解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形,其中4个的面积已经标在图中,那么,阴影三角形的面积是 .【解析】 方法一:整个题目读完,我们没有发现任何与边长相关的条件,也没有任何与高或者垂直有关系的字眼,由此,我们可以推断,这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系:()2:13:4S =+阴影,解得2S =阴影.方法二:回顾下燕尾定理,有2:41:3S +=阴影(),解得2S =阴影.【例 10】 如图,三角形ABC 被分成6个三角形,已知其中4个三角形的面积,问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【解析】 设BOF S x =△,由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344ACO S x x =⨯+=+△,再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△,列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=【例 11】 三角形ABC 的面积为15平方厘米,D 为AB 中点,E 为AC 中点,F 为BC 中点,求阴影部分的面积.F CBA F CBA【解析】 令BE 与CD 的交点为M ,CD 与EF 的交点为N ,连接AM ,BN .在ABC △中,根据燕尾定理,::1:1ABM BCM S S AE CE ==△△,::1:1ACM BCM S S AD BD ==△△,所以13ABM ACM BCN ABC S S S S ===△△△△由于1122AEM AMC ABM S S S ==△△△S ,所以:2:1BM ME =在EBC △中,根据燕尾定理,::1:1BEN CEN S S BF CF ==△△::1:2CEN CBN S S ME MB ==△△设1CEN S =△(份),则1BEN S =△(份),2BCN S =△(份),4BCE S =△(份),所以1124BCN BCE ABC S S S ==△△△,1148BNE BCE ABC S S S ==△△△,因为:2:1BM ME =,F 为BC 中点,所以221133812BMN BNE ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,11112248BFN BNC ABC S S S ==⨯=△△△,所以115515 3.1251282424ABC ABC S S S ⎛⎫=+==⨯= ⎪⎝⎭△△阴影(平方厘米)【例 12】 如右图,ABC △中,G 是AC 的中点,D 、E 、F 是BC 边上的四等分点,AD 与BG 交于M ,AF 与BG 交于N ,已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米,则ABC △的面积是多少平方厘米?N M GA BCD EFNMGA BCD EF【解析】 连接CM 、CN .根据燕尾定理,::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△,::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△,所以15ABM ABC S S =△△;再根据燕尾定理,::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△,所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△,所以:4:3AN NF =,那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△,所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△.根据题意,有157.2528ABCABC S S -=△△,可得336ABC S =△(平方厘米)【巩固】(2007年四中分班考试题)如图,ABC ∆中,点D 是边AC 的中点,点E 、F 是边BC 的三等分点,若ABC ∆的面积为1,那么四边形CDMF 的面积是_________.F ABCDEM NFABCDE MN【解析】 由于点D 是边AC 的中点,点E 、F 是边BC 的三等分点,如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比,那么所分成的六小块的面积都可以求出来,其中当然也包括四边形CDMF 的面积. 连接CM 、CN .根据燕尾定理,::2:1ABM ACM S S BF CF ∆∆==,而2ACM ADM S S ∆∆=,所以24ABM ACM ADM S S S ∆∆∆==,那么4BM DM =,即45BM BD =.那么421453215BMF BCD BM BF S S BD BC ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=,14721530CDMF S =-=四边形. 另解:得出24ABM ACM ADM S S S ∆∆∆==后,可得111155210ADM ABD S S ∆∆==⨯=,则11731030ACF ADM CDMF S S S ∆∆=-=-=四边形.【例 13】 如图,三角形ABC 的面积是1,BD DE EC ==,CF FG GA ==,三角形ABC 被分成9部分,请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ,BG 与AE 交于点Q ,BF 与AD 交于点M ,BF 与AE 交于点N .连接CP ,CQ ,CM ,CN .根据燕尾定理,::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△,::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△,设1ABP S =△(份),则1225ABC S =++=△(份),所以15ABP S =△同理可得,27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△,所以2137535APQ S =-=△,1213721AQG S =-=△.同理,335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形,139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图,ABC ∆的面积为1,点D 、E 是BC 边的三等分点,点F 、G 是AC 边的三等分点,那么四边形JKIH 的面积是多少?K JI HABC D EF GKJI HA BCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ .根据燕尾定理,::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==,::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==,所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=,那么111247ACK S ∆==++,11321AGK ACK S S ∆∆==.类似分析可得215AGI S ∆=.又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==,::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==,可得14ACJ S ∆=. 那么,111742184CGKJ S =-=. 根据对称性,可知四边形CEHJ 的面积也为1784,那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABES S S ∆∆⨯++=⨯++=,所以四边形JKIH 的面积为61917070-=.【例 14】 如右图,面积为1的ABC △中,::1:2:1BD DE EC =,::1:2:1CF FG GA =,::1:2:1AH HI IB =,求阴影部分面积.CBB【解析】 设IG 交HF 于M ,IG 交HD 于N ,DF 交EI 于P .连接AM , IF .∵:3:4AI AB =,:3:4AF AC =,916AIF ABC S S ∴=△△∵::2FIM AMF S S IH HA ==△△,::2FIM AIM S S FG GA ==△△,∴19464AIM AIF ABC S S S ==△△△ ∵:1:3AH AI = ∴364AHM ABC S S =△△,∵:1:4AH AB = :3:4AF AC = ∴316AHF ABC S S =△△ .同理 316CFD BDH ABC S S S ==△△△ ∴716FDH ABC S S =△△ 33::1:46416HM HF ==,∵ :3:4,:3:4AI AB AF AC ==, ∴IF BC ∥ ,又∵:3:4,:1:2IF BC DE BC ==,∴:2:3,:2:3DE IF DP PF ==,同理 :2:3HN ND =,∵:1:4HM HF =,∴:2:5HN HD =,∴17710160160HMN HDF ABC S S S ===△△△. 同理 6个小阴影三角形的面积均为7160.阴影部分面积721616080=⨯=.【例 15】 如图,面积为l 的三角形ABC 中,D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GCBAGCBA【解析】 三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI 与CD 的交点为M ,AF 与CD 的交点为N ,BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形:在ABC △中,根据燕尾定理,::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份),则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△,所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形:在ABC △中,根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC △中,根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABC S S =△△所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 16】 如图,面积为l 的三角形ABC 中,D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ,连接CR在ABC △中根据燕尾定理,::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△同理17MNP S =△根据容斥原理,和上题结果11131777010S =+-=六边形【例 17】(2009年数学解题能力大赛六年级初试试题)正六边形1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A 的面积是2009平方厘米,1B ,2B ,3B ,4B ,5B ,6B 分别是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米.A 4B 5A 3A 45A 3【解析】 (方法一)因为空白的面积等于23A A G △面积的6倍,所以关键求23A A G △的面积,根据燕尾定理可得2312333117732A A G A A A S S S ==⨯⨯△△正六边形,但在123A A A △用燕尾定理时,需要知道13,A D A D 的长度比,连接1363,A A A A ,1A G ,过6B 作12A A 的平行线,交13A A 于E ,根据沙漏模型得1A D DE =,再根据金字塔模型得13A E A E =,因此13:1:3A D A D =,在123A A A △中,设121A A G S =△份,则233A A G S =△份,313A A G S =△份,所以2312333111773214A A G A A A S S S S ==⨯⨯=△△正六边形正六边形,因此141620091148147S S =-⨯=⨯=阴影正六边形()(平方厘米)(方法二)既然给的图形是特殊的正六边形,且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路,把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形,其中阴影有8个梯形,所以阴影面积为82009114814⨯=(平方厘米)FA 3A【例 18】已知四边形ABCD ,CHFG 为正方形,:1:8S S =乙甲,a 与b 是两个正方形的边长,求:?a b =baEDA baNMHFED【解析】 观察图形,感觉阴影部分像蝴蝶定理,但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走,注意到题目条件中给出了两个正方形的边长,有边长就可以利用比例,再发现在连接辅助线后可以利用燕尾,那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO 、AF ,根据燕尾定理:::AOE AOF S S a b =△△,::AOF EOF S S a b =△△所以 22::AOE EOF S S a b =△△,作OM ⊥AE 、ON ⊥EF , ∵AE =EF∴22::OM ON a b = ∴33::1:8S S a b ==乙甲 ∴:1:2a b =。
小学奥数_几何五大模型(鸟头模型)
模型二 鸟头模型如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上如图 2), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△,::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△,所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△,设8ADE S =△份,则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC △的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 .三角形等高模型与鸟头模型【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少?EDCBA AB CDE【解析】 连接BE .∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABCS S S=÷=÷,∴1515ABCADESS==.【巩固】如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍?乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD .∵3BE =,6AE =∴3AB BE =,3ABD BDES S=又∵4BD DC ==, ∴2ABC ABD S S =,∴6ABCBDESS=,5S S =乙甲.【例 2】 如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,:3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ,::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△,所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△,设6ADE S =△份,则25ABC S =△份,12ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,ABC △的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示,在平行四边形ABCD 中,E 为AB 的中点,2AF CF =,三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米?【解析】 连接FB .三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍,而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍,所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=()倍.因此,平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米).【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米,,2,3BE CE AD BD CF AF ===,求ABC △的面积.FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△,:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份,则4BDE S =△份,4ADF S =△份,9CEF S =△份,244497DEF S =---=△份,恰好是7平方厘米,所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图,三角形ABC 的面积为3平方厘米,其中:2:5AB BE =,:3:2BC CD =,三角形BDE 的面积是多少?AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=,所以可以用共角定理,设2AB =份,3BC =份,则5BE =份,325BD =+=份,由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△,设6ABC S =△份,恰好是3平方厘米,所以1份是0.5平方厘米,25份就是250.512.5⨯=平方厘米,三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示,正方形ABCD 边长为6厘米,13AE AC =,13CF BC =.三角形DEF 的面积为_______平方厘米.A【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =,可得23CE AC =.根据”共角定理”可得,():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△;而66218ABC S =⨯÷=△;所以4CEF S =△;同理得,:2:3CDE ACD S S =△△;,183212CDE S =÷⨯=△,6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米).【例 7】 如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =;延长BC 至E ,使2CE BC =;延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积.F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用.连接AE 、CD . ∵11ABC DBC S S =,1ABC S =, ∴S1DBC=.同理可得其它,最后三角形DEF 的面积18=.(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中,ACB ∠与FCE ∠互补, ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯. 又1ABCS=,所以8FCES=.同理可得6ADFS =,3BDES=.所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=.【例 8】 如图,平行四边形ABCD ,BE AB =,2CF CB =,3GD DC =,4HA AD =,平行四边形ABCD 的面积是2, 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD .根据共角定理∵在ABC △和BFE △中,ABC ∠与FBE ∠互补,∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△. 又1ABC S =△,所以3FBE S =△.同理可得8GCF S =△,15DHG S =△,8AEH S =△.所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△.所以213618ABCD EFGH S S ==.【例 9】 如图,四边形EFGH 的面积是66平方米,EA AB =,CB BF =,DC CG =,HD DA =,求四边形ABCD 的面积.H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD .由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△,即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△,即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ,同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】 如图,将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ,若四边形ABCD 的面积为5,则四边形EFGH 的面积是 .A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD .由于2BE AB =,2BF BC =,于是4BEF ABC S S ∆∆=,同理4HDG ADC S S ∆∆=.于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=.再由于3AE AB =,3AH AD =,于是9AEH ABD S S ∆∆=,同理9CFG CBD S S ∆∆=. 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=.那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==.【例 11】 如图,在ABC △中,延长AB 至D ,使BD AB =,延长BC 至E ,使12CE BC =,F 是AC 的中点,若ABC △的面积是2,则DEF △的面积是多少?A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中,ACB ∠与FCE ∠互补,∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△. 又2ABCS=,所以0.5FCES=.同理可得2ADF S =△,3BDE S =△.所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】 如图,1ABC S =△,5BC BD =,4AC EC =,DG GS SE ==,AF FG =.求FGSS.SGF E DCB【解析】 本题题目本身很简单,但它把本讲的两个重要知识点融合到一起,既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用,也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的3种情况.最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△.【例 13】 如图所示,正方形ABCD 边长为8厘米,E 是AD 的中点,F 是CE 的中点,G 是BF 的中点,三角形ABG 的面积是多少平方厘米?ABCDEF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG .因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△,根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =,8EFG S =,再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,得到16BFCS =,32ABFE S =,24ABFS=,所以12ABGS=平方厘米.【例 14】 四个面积为1的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积.【解析】 如图,将原图扩展成一个大正三角形DEF ,则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形.假设正六边形的边长为为a ,则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ,所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍.而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的,所以一个单位小正三角形的面积为16,三角形DEF 的面积为496.由于4FA a =,3FB a =,所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=.同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249,所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=,所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=.【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 .BDCA【解析】从图中可以看出,虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半,也就是都等于一个正六边形的面积;虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半,那么它们合起来等于一个正六边形的面积;虚线AE外的图形是两个三角形,从右图中可以看出,每个三角形都是一个正六边形面积的16,所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=,所以五边形的面积是12103633-=.。
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要,小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等;⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACDBCD S S =△△;反之,如果ACDBCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;经典例题:1S 2S 解析:连接CE ,如图。
AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为:BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评:此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明!因为S △ABC =AB ×ACsinA ,S △ADE =AD ×AEsinA所以:S △ABC :S △ADE= (AB ×ACsinA ):(AD ×AEsinA )=(AB ×AC ):(AD ×AE )经典例题:S △ADF :S △ABC=(AD ×AF ):(AB ×AC )=(2BD ×AF ):(3BD ×4AF )=1:6 S △BDE :S △ABC=(BD ×BE ):(AB ×BC )=(BD ×BE ):(3BD ×2BE )=1:6 S △CEF :S △ABC=(CE ×CF ):(CB ×CA )=(CE ×3AF ):(2CE ×4AF )=3:8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评:本题直接用到鸟头模型,先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例,再求出S △DEF 占S △ABC 的比例,就能直接求出S △ABC 的面积。
小学奥数 几何五大模型(鸟头模型)学生版
模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上如图 2),则:():()ABCADES S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADES =△平方厘米,求ABC △的面积.EDCBAEDCBA三角形等高模型与鸟头模型【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少?EDCBAABCD E【巩固】如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍?乙甲E DCBAABCDE甲乙如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,:3:2AE EC =,12ADES=△平方厘米,求ABC △的面积. ED CBAEDCBA如图所示,在平行四边形ABCD 中,E 为AB 的中点,2AF CF =,三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米?。
小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)
小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)燕尾定理是一个有关于三角形的定理。
它表明在三角形ABC中,若有AD,BE,CF三条线段相交于同一点O,则可以得出以下关系:S△现在我们通过一道例题来证明燕尾定理。
如右图,D是BC上任意一点,请你说明:解析】我们可以通过以下方法来证明燕尾定理。
首先,我们连接CF,然后根据燕尾定理,我们可以得到△ABF/△ACF=BD/DC=1/2.接着,我们可以得到△ABF=3份,△DCF=2份,△AEF=△EFC=3份。
因此,我们可以得到SDFEC=S△ABC/2=1/2.另外一种证明方法是连接DE。
根据题目条件,我们可以得到S△ABD=S△ABC=1/3,S△ADE=S△ADC=1/6.因此,我们可以得到S△DEF/S△DEB=S△ADE/S△ABD*S△BEC/S△ADC=1/2*1/3*2/1=2/3.同时,我们可以得到S△CDE/S△ABC=1/3.因此,我们可以得到SDFEC=S△ABC/2=1/2.综上所述,我们证明了燕尾定理。
已知BD=3DC,EC=2AE,可以得到连接OE,可以得到△OEC和△OEB的面积比为2:3,因此△ABC被分成的第一部分面积为2/5.连接OD,可以得到△OBD和△OCD的面积比为1:3,因此△ABC被分成的第二部分面积为3/20.连接AE,可以得到△ABE和△AEC的面积比为2:5,因此△ABC被分成的第三部分面积为5/20=1/4.连接BO和CO,可以得到△BOC和△BEO的面积比为3:2,因此△ABC被分成的第四部分面积为3/20.因此,△ABC被分成的四部分面积分别为2/5、3/20、1/4、3/20,即它们各占△ABC面积的40%、15%、25%、15%。
解析】连接CF,设S△ABF=1份,则S△ACF=2份,S△BDF=1份,S△DCF=2份,S△AEF=4份,S△EFC=4份。
根据燕尾定理,SDFEC=S△ACF+S△DCF+S△BDF=5份。
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小学奥数几何的五大模型练习
这篇关于小学奥数几何的五大模型练习,是特地为大家整理的,希望对大家有所帮助!
有一个长方体木块,长125厘米,宽40厘米,高25厘米。
把它锯成若干个体积相等的小正方体,然后再把这些小正方体拼成一个大正方体。
这个大正体的表面积是多少平方厘米?
分析与解一般说来,要求正方体的表面积,一定要知道正方体的棱长。
题中已知长方体的长、宽、高,同正方体的棱长又没有直接联系,这样就给解答带来了困难。
我们应该从整体出发去思考这个问题。
按题意,这个长方体木块锯成若干个体积相等的小正方体后,又拼成一个大正方体。
这个大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。
已知长方体的长、宽、高,就可以求出长方体的体积,这就是拼成的大正方体的体积。
进而可以求出正方体的棱长,从而可以求出正方体的表面积了。
长方体的体积是
125×40×25=125000(立方厘米)
将125000分解质因数:
125000=2×2×2×5×5×5×5×5×5
=(2×5×5)×(2×5×5)×(2×5×5)
可见大正方体的棱长是
2×5×5=50(厘米)
大正方体的表面积是
50×50×6=15000(平方厘米)
答:这个大正方体的表面积是15000平方厘米。