勾股定理竞赛试卷(含解答)

八年级数学《勾股定理》竞赛试卷

（时间：120分钟，总分：120分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1、△ABC 周长是24，M 是AB 的中点MC=MA=5，则△ABC 的面积是（ ）

A ．12;

B ．16;

C ．24;

D ．30

2、如图，在正方形ABCD 中，N 是CD 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则AM ：AB=（ ）

A ．31;

B ．33;

C ．2

1; D ．63

第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图

3、如图，已知O 是矩形ABCD 内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD 的长为（ ）

A.2;

B.22;

C.23;

D.3

4、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（ ）

A ．200;

B ．225;

C ．256;

D ．150+102

5、如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为（ ）

A ．12;

B ．102;

C ．16;

D ．20

二、填空题（每小题5分，共25分） 第（5）题图

6、如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有10个不同的点1021,,P P P ，记 C P B P AP M i i i i ⋅+=2（i = 1，2，……，10），那么，

1021M M M +++ =_________。

第（6）题图

7、 如图，设∠MPN=20°，A 为OM 上一点，OA=43，D 为ON 上一点，OD=83，C 为AM 上任一点，B 是

OD 上任意一点，那么折线ABCD 的长最小为__________。

第（7）题图 第（8）题图

8、如图，四边形ABCD 是直角梯形，且AB=BC=2AB ，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD 的面积=__________。

9、若x + y = 12，那么9422+++y x 的最小值=___________。

10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为____________。

三、解答题（共70分）

11、（本题10分）如图△ABC 三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内的点P 向△ABC 三边分别作垂线PD ，PE ，PF ，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的长度。

12、（本题15分）如图，在△ABC 中，AB=2，AC=3， ∠A=∠BCD=45°，求BC 的长及△BDC 的面积。

13、（本题15分）设a,b,c,d 都是正数。 求证：ad d b a c b cd d c a 2222222222+++>

+++++

14、（本题15分）如图，四边形ABCD 中， ∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5-3，CD=6，求AD 。

15、（本题15分）如图，正方形ABCD 内一点E ，E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为62+，求此

正方形的边长。

答案

一、选择题

1．C

2．A

3．B

4．C

5．C

解答：

1．∵MA=MB=MC=5， ∴∠ACB=90°

知周长是24，则AC+BC=14，AC 2+BC 2=102，

∴2AC ·BC=(AC+BC)2-(AC 2+BC 2) = 142-102=4×24 ∴2421=⋅=∆BC AC S ABC 2．如图，延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则△BAM ∽△TOB

∴AM ：MB=OB ：BT

∴MB 2=2AM ·BT （1）

令DN=1，CT=MD=k ，则AM=2 – k

所以BM=222)2(4k AM AB -+=+

BT= 2 + k 代入（1），得4 + (2 – k )2= 2 (2 – k ) (2 + k ) 所以 k =

34 所以AM ：AB=32：2 = 3

1 3．如图，过O 作EF ⊥AD 于E ，交BC 于F ；过O 作GH ⊥DC 于G ，交AB 于H

设CF=x ，FB = y, AH = s, HB = x,

所以OG=x, DG = s

所以OF 2=OB 2- BF 2=OC 2-CF 2 即42- x 2= 32- y 2

所以x 2- y 2= 16 – 9 =7 （1）

同理有OH 2=12- s 2= 32- t 2

所以t 2- s 2= 32- 12= 8 （2）

又因为OH 2+HB 2=OB 2 即y 2+ t 2= 9

（1）-（2）得(x 2+s 2) – (y 2+ t 2) = – 1

22222 所以OD 2=x 2+ s 2= (y 2+ t 2) – 1 = 9 – 1 = 8

所以OD=22 4．如图，过P 作EF ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则PF ⊥CD

所以PF=PA=PB=10，E 为AB 中点

设PE = x ，则AB=AD=10 + x

所以AE=21AB=2

1(10 + x) 在Rt △PAE 中，PA 2=PE 2+AE 2

所以102= x 2+ [2

1(10 + x )]2 所以x = 6 所以正方形ABCD 面积=AB 2=(10 + 6)2 = 256

5．如图，作B 关于AC 的对称点B '，连A B '，

则N 点关于AC 的对称点N '在A B '上，

这时，B 到M 到N 的最小值等于B →M →N '的最小值，等于

B 到A B '的距离BH '，连B 与A B '和D

C 的交点P ，

则ABP S ∆=2

1×20×10=100， 由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA

所以PA=PC ， 令PA=x ，则PC=x ，PD=20 – x ，

在Rt △ADP 中，PA 2=PD 2+AD 2

所以 x 2 = (20 – x )2 + 102 所以 x = 12.5

因为ABP S ∆=

21PA ·BH ' 所以BH '=

165.1221002=⨯=∆PA S ABP 二、填空题

1．40；

2．12；

3．22

3415+； 4．13；

5．6，8，10或5，12，13

解答：