勾股定理竞赛试卷(含解答)

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勾股定理(六套试卷)

勾股定理（一）一、填空题1.._____,13,5)2(._____,3,2190======︒=∠∆b c a c b a C ABC 则若则）若（，中，在,60)5(._____,20,5:3:)4(.______,11,61)3(︒=∠======A b c c a a b c 若则且若则若且AC =7, 则___________,==BC AB .2.如图，2,45,,,//=︒=∠⊥⊥AD BAD AC BA DB AD BC AD , 则AB = , ABC ∆的周长为 .3.如果等边三角形的周长为12.________,2cm cm 则它的面积为4.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ,已知正方形的边长为22cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2.5.已知直角三角形的三边长分别为2、4、x ，则x 的值为 .6.直角三角形一条直角边与斜边分别长为8厘米和10厘米，则斜边上的高等于厘米.7.一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ，高是12 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是_____________.二、单选题1.分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直角三形的有：（）Ａ.４组Ｂ.３组Ｃ.２组Ｄ.１组 2.如图，在直角三角形中，∠C ＝︒90，AC =3，将其绕B 点顺时针旋转一周, 则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一环，该圆环的面积为（）Ａ.3π Ｂ.３π Ｃ.９π Ｄ.６π3.在△ABC 中，AB =12cm ， BC =16cm ， AC =20cm ，则△ABC 的面积是( ) A.96cm 2 B.120cm 2 C.160cm 2 D. 200cm 24.如图，以直角三角形的三边为直径作半圆，画出两个月牙形（阴影部分）.则有（）A. ABC S S ∆>阴影B. ABC S S ∆<阴影C.ABC S S ∆=阴影D.不能确定三、解答题1.“中华人民共和国道路交通管理条理”规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过 70千米／时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪”正前方30米处，过了2秒后，测得 “小汽车”与“车速检测仪”间的距离变为 50 米，这辆“小汽车”超速了吗？CABDB2.请用下列图形证明勾股定理.3.某校一块三角形的废地开辟为动物园，如图所示，测得AC =80米，BC=60米，AB =100米. （1）若入口E 在边AB 上，且与A 、B 等距离，求从入口E 到出口C 的最短路线的长；（2）若线段CD 是一条小渠，且点D 在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，则D 点距A 点多远，水渠的造价最低？最低造价是多少？4.设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……如图所示．（1）设正方形ABCD 的边长为11=a ，按上述方法所作的正方形的边长依次为2a ，3a ，4a ，…，n a ，请求出2a ，3a ，4a 的值；（2）根据以上规律写出n a 的表达式．5.若△ABC 的三边长a , b , c 满足c b a c b a 201612200222++=+++,试判断△ABC 的形状.6.如图所示,在△ABC 中，AB =17，BC =30，BC 边上的中线AD =8，说明△ABC 是等腰三角形.7.如图是由5个同样大小的正方形组成的图形，将它分成3块，然后拼成一个大正方形.b bc c c c b b b b a aaaaaabc cbaBCA勾股定理（一）答案一、1.3714,16,60,12,13、； 2.42,422+； 3.34； 4.）（2-π； 5.52/32； 6.8.4 7.cm 193 二、BCAC三、1.解：m 40,m 30,m 50===BC AC AB )s /m (20240=÷20367003600100070<=÷⨯，故超速了. 2.解：由左图有：ab b a b a 2)(222++=+; 由右图有：421)(22⨯+=+ab c b a 比较两式有：222c b a =+3.解：（1）由︒=∠⇒=+90222C AB BC AC5021==AB EC 米（2）当AB CD ⊥时，CD 最小，此时CD =48米，AD =64米,最低造价为480元. 4.解：（1）22,2,2432===a a a （2）1)2(-=n n a5.解：0)10()8()6(222=-+-+-c b a︒=∠⇒=+⇒===⇒9010,8,6222C c b a c b aABC ∆为直角三角形6.解：1521,8,17====BC BC AD AB ︒=∠⇒︒=∠⇒+=⇒9090222ADC ADB BD AD ABAC AB CD AD AC =⇒=+=⇒17227.如图，已知Rt △ABC ，以斜边AB 为斜边作等腰直角△ABD ，连接CD . （1）求ACD ∠的度数；（2）若AC =3，BC =5，求△ADB 的面积.解：（1）135°；（2）8.5角平分线定理的逆定理；面积如图，AC =BC ，︒=∠90ACB ，D 在AB 上，CD =CE ，︒=∠90DCE ，F 为AD 的中点，求AEB ∠与AFC ∠的关系. 解：︒=∠+∠180AFC AEB.在△BCD 中，DC =DB ，AD =AB ，连接AC ，∠ACD =30°. 求证：∠BAD =2∠DAC ；已知：OP 为∠MON 的平分线，点A 、B 分别是射线OM 、ON 上的点，BC 平分∠ABN ，交射线OP 于点C ，连接AC .求证：︒=∠+∠90OCB M AC ；证明：OCB OAB ∠=∠2故只要证AC 平分∠MABB图1CC图1BCEBBE CC EBC图1NB勾股定理（二）一、填空题1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、 2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是________dm.2.如图，四边形ABCD ，BD AC ⊥于O , AB =5, AD =7,CD =8, 则BC = .3.如图，学校校园内有一块三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境. 预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园需要投资元（精确到1元,732.13≈）.4.如图，小亮用一个锐角为30°的直角三角尺测量树高. 当他离树10米时，他的视线刚好沿眼前的三角尺的斜边穿过树顶C 点，若三角尺的一边和地面平行且相距 1.5米，这棵树高大约是米(73.13,41.12≈≈).5.设一个直角三角形的两条直角边为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h ，那么以c ＋h 、a ＋b 、h 为边构成的三角形形状是 .二、单选题1. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A.13 B.8 C.25 D.642. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）3.在ΔABC 中∠C =90°，两直角边AC =7，BC =24，在三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（）A.1B.3C.6D.非以上答案4.三角形的三条边分别为22b a +、22b a -、2ab ，则这个三角形是（） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定5.已知，如图长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（） A.3cm 2B.4cm 2C.6cm 2D.12cm 2BFEDCBADBAO120︒30m20m72425207152024257252024257202415(A)(B)(C)(D)三、解答题1.一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为7米. (1)这个梯子顶端离地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？2.如图，A 、B 两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为AC =10千米，BD =30千米，且CD =30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、 B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万. 请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？3.已知:在Rt △ABC 中，、A C ∠︒=∠,90CB ∠∠、的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S , 周长为l .（1）填表：（2）如果m c b a =-+，观察上表猜想=lS（用含m 的代数式表示）. (3)证明（2）中的结论.4.如图，公路MN 上有一拖拉机由P 点向N 点行驶，在公路一侧A 点有一所中学，已知 PA =160m ，且︒=∠30NPA ．假设拖拉机在行驶时，100m 范围以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；如果受影响，己知拖拉机的速度为18km ／h ，那么学校受影响的时间是多少秒？5.如图，CD 是△ABC 的边AB 上的高，且DB AD CD ⋅=2，求证：︒=∠90ACB .D CDBCAS/l 6428、15、175、12、133、4、5a+b-c三边a 、b 、c勾股定理（二）答案一、1.25； 2.102； 3.7794（45003）； 4. 7.27（5.13310+）； 5.直角三角形提示：2.2222AD BC CD AB +=+ 5.222222)()(2121,h b a h c ch ab c b a ++=+⇒==+ 二、BCBCC提示：3.设这个距离为x ，连PA 、PB 、PC ，有BC AC x CA x BC x AB S S S S ABC PCA PBC PAB ⋅=⋅+⋅+⋅⇒=++∆∆∆∆21212121 3)(=⇒⋅=++⇒x BC AC x CA BC AB 5.设4)9(3,222=⇒-=+=x x x x AE 则三、1.解：（1）22725-=24(米) （2）87)424(2522=---(米)2.解：如图，作A 关于CD 的对称点A ',连结B A '交CD 于M 即为所求50)1030(3022=++='=+B A BM AM (千米)150503=⨯(万)3.（1）如右表；（2）m 41；（3）证明：S ab c b a c b a c b a lm 42)())((22=--+=-+++=4m l S =⇒4.解：8021==PA AB m<100m ，受影响；如图，AE =AF =100m,则BE =BF =60m,EF =120m,当拖拉机在线段EF 上行驶时学校受噪音影响，时间为 243600181000120=⨯÷÷(秒)5.证明：222CD AD AC +=222CD BD BC +=222222CD BD AD BC AC ++=+⇒2222)(2AB BD AD BD AD BD AD =+=⋅++=︒=∠⇒90ACB30︒F EP NMB A勾股定理（三）一、填空题1. 如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2， 3，正放置的四个正方形的面积依次为._______,,,,43214321=+++S S S S S S S S 则2. 如图，AM 是△ABC 的中线，︒=∠45AMC . 把△ACM 沿AM 对折，点C 落在点之间的和的位置，则C B BC C ''数量关系是 .3. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm, 则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ___________cm 2.4. 在一棵树的10米高B 处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A 处（离树20米）的池塘边. 另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_____米.5. 如图，将矩形ABCD 沿BD 折叠，使C 落在C '处，C B '交AB 于E , AB =4, AD =8,则=∆BED S .6. 如图，︒=∠=︒=∠15,12,90B AB C ,那么=∆ABC S .二、单选题1. 在ABC ∆中，AB =15, AC =13,高AD =12,则ABC ∆的周长是（） A.42 B.32 C.42或32 D.37或332. 已知如图，水厂A 和工厂B 、C 正好构成等边△ABC ，现由水厂A 和B 、C 两厂供水，要在A 、B 、C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最合理的方案是（）C BAEC 'DCBA3. 直角三角形有一条直角边长是11，另外两边的长也是自然数，那么它的周长是（） A.132 B.121 C.120 D.以上都不对4. 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为︒75，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为︒45. 这间房子的宽AB 是（）A.米2b a +B.米2b a - C.b 米 D.a 米三、解答题1. 如图，请在坐标轴上标出（1）表示20的点；（2）表示7的点.2. 如图，正方形ABCD 的边长为4，M 为AD 的中点，BE ⊥CM 于E, 求BE 的长.3. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力. 如图所示，据气象部门观测，在沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心20km,风力就会减弱1级，该台风中心现正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响. （1）该城市是否受到台风影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？4. 如图，在ABC ∆中，E CB CA ACB ,,90=︒=∠、F 是AB 上两点且,45︒=∠ECF 求证：222BF AE EF +=.MEDCBANMCBA75︒45︒FECBA勾股定理（三）答案一、1.4； 2.C B BC '=2; 3.49; 4.15; 5.10; 6.18 提示：1.根据勾股定理，3,124232221=+=+S S S S 6. 如图给出两种做法：二、CDAD提示：3.设另两边为b 、c ，则⎩⎨⎧=+=-⇒=+-⇒=+121111))((112222b c b c b c b c c b 4.如图，MCN ∆为正三角形MDN MAC ∆≅∆⇒三、1.略2.解：558 3.解：（1）220÷2=110 110÷20=5.5 12-5.5=6.5>4 受影响；（2）154小时（3）6.5级4. 如图给出两种做法：12DCBA x 3x2x2x126A'D12C BA勾股定理（四）1．（西宁）如图，某建筑物直立于水平地面，9BC =米，30B ∠=°，要建造楼梯，使每阶台阶高度不超过20阶（最后一阶不足20 1.732）．2. (北京)如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ', 折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则N A '= ; 若 M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则N A '= （用含有n 的式子表示）. 3．（哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，则BM 的长为．4．(哈尔滨)如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）.5．（哈尔滨）图（a ）、图（b ）、图（c ）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a ）、图（b ）、图（c ）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．6．（哈尔滨）如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（）． A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 7．（哈尔滨）如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处．求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离（结果保留根号）．AC8. 如图，在△ABC 中，AB =5,AC =13,边BC 上的中线AD =6，则BC 的长为 .9. 如图，在等腰Rt ,7,90=∆︒=∠∆PA ABC P C ABC 内一点，是中， PB =3, PC =1, 则APC ∠的度数为 .10. 设正△ABC 的边长为2，M 为AB 边的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA +PM 的最大值和最小值分别记为s 和t , 则22t s -等于（）A.32B.33C.34D.以上都不对11. 如图，已知ΔABC 是等边三角形，边长为6，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥A C 于F ，FD ⊥AB 于D ，求AD 的长.12. (1)如图（1），在四边形ABCD 中，BC ⊥CD ,∠ACD =∠ADC ,求证：AB +AC >22CD BC +(2)如图（2），在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ,试判断2224)(CD AB BC AC ++与的大小.13. 如图，,90︒=∠=∠CAD C BD 交AC 于E , DE =2AB . 求证:ABC DBC ∠=∠3114.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝CD ，求证：222BC BA BD +=.PCBA(1)DCBA(2)DCBAE DCBADCBADBCA FEDCBA勾股定理（四）答案1.26；2.n n 12,23-；3.512/25； 4.34+； 5.6.A ；7.640；8.612提示：中线加倍；9.︒135提示：将△ACP 绕C 顺时针旋转90° 至△BCQ ，连PQ ，则由勾股定理的逆定理知，∠PQB =90°；10.C 提示：如图，7)23()25(,3222=+=+=t s ；11.2；12.（1）略；（2）2224)(CD AB BC AC +≥+；证明如下：如图，AE CE AC ≥+,即224CD AB BC AC +≥+两边平方即得.13.提示：取CD 的中点M ，连AM . 14.证明：向外作正△ABE ，连AC 、CE , 则有正△ACD , ∠EBC =90°，且有 △ABD ≌△AEC ,于是对Rt △EBC 应用勾股定理即得.补充题如图，在正方形ABCD 中，边长为a 4，F 为DC 的中点，E 为BC上一点，且BC CE 41=.问：AF 与EF 垂直吗？请说明理由.如图，有一张L 型纸片，由5个边长为1的小正方形组成. 通过它的内侧拐角点A 切一刀，将纸片恰好分成面积相等的两部分，那么刀痕MN 的长度是多少？答案：15如图，A B C ∆是等腰直角三角形，AB=AC , D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF , 若BE =12,CF =5,求△DEF 的面积.如图，在ABC ∆中，AB CD B A ⊥∠=∠,2于D ，M 为AB 的中点. 求证：DM =AC 21. FED CBAFEDCBAA勾股定理（例题）例1．（1）直角三角形两条直角边的长为5、12，则斜边上的高是 . （2）等边三角形的面积是23cm ，则它的周长是 . （3）等腰三角形的两条边是，则它的面积是和cm cm 24 . （4）直角三角形的两条边为，则第三条边为和86 .例2.（1）等腰三角形底边上的高为，则三角形的面积为，周长为cm cm 164 . （2）若一个直角三角形三边的长是三个连续的整数，则它的面积为 .例3.（1）已知三角形三边长分别为，、、cm cm cm 321则此三角形最短边上的高为（） A.cm 1 B.cm 2 C.cm 3 D.cm 2 （2）是，那么满足，，的三边若ABC c b a c b a c b a ABC ∆++=+++∆108650222（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定例4.（1）如图,四边形4390==︒=∠AB AD BAD ABCD ，，中，，，，1312==CD BC 求ABCD 四边形的面积.（2）在的面积，求，，中，ABC AB B BAC ABC ∆=︒=∠︒=∠∆64575. （3）如图,四边形，，，，中，126090==︒=∠︒=∠=∠CD AB A D B ABCD 求ABCD 四边形的面积.例5.（1）如图，，是角平分线，，中，5.190=︒=∠∆CD AD C ABC的长，求AC BD 5.2=.（2）矩形纸片ABCD 中，AD =4,AB =10,按如图折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ,则DE = ,EF = .(3) 如图，，于，，，中，D BC AD BC AC AB ABC ⊥===∆675=AD 则 . 三边5、6、7，求面积（(4)如图，的斜边，中线是ABC AB ∆Rt AD 的长为7，中线BE 的长为4，则AB 的长为多少？（5）如图，正方形ABCD 外有一点P ，5,2,17===PC PB PA 若,则PD 的长为（）A.52B.19C.23D.1711111111111111例6. （1）如图，正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为8，一只蚂蚁欲从点A 沿棱柱的表面到顶点C '处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？（2）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ABCDC /EFDCBAABCDA BCDA B CDABCED/PD CBA例7.（1）如图，在，于的中点为，中E AB DE AC D C ABC ⊥︒=∠∆,90, 求证：222BC AE BE +=.（2）如图，上任意一点，求证：为底边中，等腰BC P ABC ∆ CP BP AP AB ⋅+=22.例8. 若一个三角形的三边长分别为3、10、13，请在给出的5×5的方格内画出这个三角形，并求出它的面积.例9. 如图，在，求证：的中点为，中DF DE AB D C ABC ⊥︒=∠∆,90, 222BF AE EF +=.例10. （1）已知直角三角形两直角边长分别为l 、m ,斜边长为n ,且l 、m 、n 均为正整数，l 为质数. 证明：2（l +m +1）是完全平方数.（2）若直角三角形的三边长都为整数，且面积的数值等于周长的数值，那么这样的三角形有几个，分别求出它们的三边长.例11. 如图，已知,17,,111111=∠=∠AA B A BB PP AA B A 均垂直于、、 PB AP B A BB PP +===则,12,20,161111的值是（） A.12 B.13 C.14 D.15例12. 如图，CD 是Rt CAB ABC ∠∆斜边上的高，的平分线分别交CD 、BC 于E 、F , EG //AB 交BC 于G , 求证：CF =BG .例13. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，5=PC ，3=PA ，4=PB ，求A P B∠的度数．例14.,60,45,2,,︒=∠︒=∠=∆APC ABC PB PC BC ABC P 若且上一点边为如图的度数求ACB ∠.新如图，在△ABC 中，︒=∠=90,BCA BC AC ，P 为△ABC 内部一点，且2,135=︒=∠PB BPC ,求△PAB 的面积. 解：2.CADEABCPP 1B 1A 1PBAGFE DCBACABDEFPCBABBQ勾股定理（五）一、单选题1.下列各组线段中的三个长度:①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m>n >0）其中可以构成直角三角形的有（） A.5组 B.4组 C.3组 D.2组2.已知在等腰ABC ∆中，，，2030=︒=∠=∠AB C B 则BC 的长为（） A.10 B.210 C.310 D.3203.王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（）A.350mB.100 mC.150mD.3100m4.已知c b a 、、是三角形的三边长，如果满足,0108)6(2=-+-+-c b a 则三角形的形状是（）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形5.在的长为，那么，，中，AC AB C B ABC 84530=︒=∠︒=∠∆（） A.64 B.34 C.24 D.4二、填空题1.直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线为 .2.已知三角形三内角的度数之比为3:2:1，它的最大边长为6cm, 那么它的最小边长为 cm.3.如图，ABC ∆中，∠BAC ＝90°，将ABP ∆绕着点A 逆时针旋转后，能与P AC '∆重合，已知AP ＝3，则P P '的长等于 .4.校园内有两棵树，相距12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米.5.如图，空白部分是两个直角三角形，两阴影部分都是正方形，那么，两正方形的面积之和为 .6.如图，OA PC BOP AOP ⊥︒=∠=∠,15于C ，OA PD //交OB 于D . 若PD =6, 则PC = .7.已知a , b , c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，则 △ABC 的形状为 .8.的外角，且平分，平分中，如图，在ACB CF ACB CE ABC ∠∠∆，若于交M AC BC EF //5=CM ，则=+22CF CE .三、解答题1.印度数学家什迦逻（1141年一1225年）曾提出过一个“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；P /PCBA MF EDC BADC PBA O能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”此题意思是：如图所示，OB OA =，5.0=CA 尺，2=CB 尺，求 OC ．2.海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．3.如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8=AB ，10=BC ，求EC 的长．4.如图，在四边形ABCD 中，AB =AD =8,︒=∠︒=∠150,60D A ,已知四边形的周长为32，求它的面积.EBA勾股定理（五）答案一、1.B; 2.D; 3.D; 4.D; 5.C;二、1.5； 2.3； 3.23； 4.13； 5.36； 6.3； 7.等腰三角形或直角三角形； 8.100. 三、1.解：设OC =x 尺，则CB =2尺，OB =OA =(x +0.5)尺由415)5.0(422222=⇒+=+⇒=+x x x OB CB OC . 答：湖水深415尺. 2.解：设点P 到直线AC 的距离为xkm ，则18636,312<+==+x x x ，故有触礁的危险.3.解：4,610==⇒==FC BF AD AF 设EC=x ，3)8(4222=⇒-=+x x x4.解：6422=-CD BC ,16=+CD BC64=⇒=-⇒CD CD BC24316+=⇒ABCD SAEB勾股定理测试一、单选题1.下列各组线段中的三个长度:①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m>n >0）其中可以构成直角三角形的有（） A.5组 B.4组 C.3组 D.2组2.已知在等腰ABC ∆中，，，2030=︒=∠=∠AB C B 则BC 的长为（） A.10 B.210 C.310 D.3203.王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（）A.350mB.100 mC.150mD.3100m4.已知c b a 、、是三角形的三边长，如果满足,0108)6(2=-+-+-c b a 则三角形的形状是（）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形5.在的长为，那么，，中，AC AB C B ABC 84530=︒=∠︒=∠∆（） A.64 B.34 C.24 D.4二、填空题1.直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线为 .2.已知三角形三内角的度数之比为3:2:1，它的最大边长为6cm, 那么它的最小边长为 cm.3.如图，ABC ∆中，∠BAC ＝90°，将ABP ∆绕着点A 逆时针旋转后，能与P AC '∆重合，已知AP ＝3，则P P '的长等于 .4.校园内有两棵树，相距12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米.5.如图，空白部分是两个直角三角形，两阴影部分都是正方形，那么，两正方形的面积之和为 .6.如图，OA PC BOP AOP ⊥︒=∠=∠,15于C ，OA PD //交OB 于D . 若PD =6, 则PC = .7.已知a , b , c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，则 △ABC 的形状为 .8.的外角，且平分，平分中，如图，在ACB CF ACB CE ABC ∠∠∆，若于交M AC BC EF //5=CM ，则=+22CF CE .三、解答题1.印度数学家什迦逻（1141年一1225年）曾提出过一个“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；P /PCBA MF EDC BADC PBA O能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”此题意思是：如图所示，OB OA =，5.0=CA 尺，2=CB 尺，求 OC ．2.如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？3.如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8=AB ，10=BC ，求EC 的长．4.如图，在四边形ABCD 中，AB =AD =8,︒=∠︒=∠150,60D A ,已知四边形的周长为32，求它的面积.EBA答案：一、1.B; 2.D; 3.D; 4.D; 5.C;二、1.5； 2.3； 3.23； 4.13； 5.36； 6.3； 7.等腰三角形或直角三角形； 8.100. 三、1.解：设OC =x 尺，则CB =2尺，OB =OA =(x +0.5)尺由415)5.0(422222=⇒+=+⇒=+x x x OB CB OC . 答：湖水深415尺.2.解：作,,PA P l B A A l A ，连于交连的对称点关于河这岸''则 B A PB AP '=+根据两点间线段最短知B A '即为最短路线，由题意，18,15=='BC C A)(178152222km BC C A B A =+=+'='答：最短距离为17千米.3.解：4,610==⇒==FC BF AD AF设EC=x ，3)8(4222=⇒-=+x x x4.解：6422=-CD BC ,16=+CD BC 64=⇒=-⇒CD CD BC24316+=⇒ABCD SA EB。

初二数学勾股定理试卷

初二数学勾股定理试卷一．选择题（共2小题）1．下列说法正确的是（）A．a0=1B．夹在两条平行线间的线段相等C．勾股定理是a2+b2=c2D．若有意义，则x≥1且x≠22．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（）A． B．27 C．3 D．25二．填空题（共1小题）3．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是米．三．解答题（共5小题）4．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．5．身高1.6米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝CE的高度，于是他测得BD的长度为25米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．求风筝的高度CE．6．阅读：（1）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）若xy=0，根据乘法法则，得x=0或y=0．利用你在阅读材料中所掌握的知识解决问题．问题：如图，在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，求三边长．7．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，（1）求证：CE平分∠BCD；（2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积；（3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解）8．如图；已知甲、乙分别从正方形ABCD广场的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度是1千米/分，乙的速度是2千米/分．若正方形广场的周长为40千米，问：几分钟后甲、乙两之间相距2千米？（友情提示：可以用直角三角形的勾股定理求解）初二数学勾股定理试卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014•佛山）下列说法正确的是（）A．a0=1B．夹在两条平行线间的线段相等C．勾股定理是a2+b2=c2D．若有意义，则x≥1且x≠2【分析】分别利用零指数幂的性质以及二次根式有意义的条件和勾股定理以及平行线的距离等知识，分别判断得出即可．【解答】解：A、a0=1（a≠0），故A选项错误；B、夹在两条平行线间的线段不一定相等，故B选项错误；C、当∠C=90°，则由勾股定理得a2+b2=c2，故C选项错误；D、若有意义，则x≥1且x≠2，此D选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及二次根式有意义的条件和勾股定理等知识，正确把握相关定义是解题关键．2．（2014春•祁阳县校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（）A． B．27 C．3 D．25【分析】根据AC，DC解直角△ACD，可以求得AD，根据求得的AD和BD解直角△ABD，可以计算AB．【解答】解：∵△ACD为直角三角形，∴AC2=AD2+DC2，∴AD==2，∵△ABD为直角三角形，∴AB2=AD2+BD2，∴AB==3，故选C．【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，根据两直角边求斜边，根据斜边和一条直角边求另一条直角边．二．填空题（共1小题）3．（2013秋•华龙区校级期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是12米．【分析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可．【解答】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为x+1米，由勾股定理得，（x+1）2=x2+52，解得，x=12米．答：旗杆的高度是12米．故答案为12．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键三．解答题（共5小题）4．（2006•临沂）△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．【分析】当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，根据AD 不变由勾股定理得出等式b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2，化简得出a2+b2＞c2．当△ABC是钝角三角形时过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为y，根据勾股定理，得（b+x）2+a2﹣x2=c2．化简得出a2+b2＜c2．【解答】解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2（1分）若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．（2分）当△ABC是锐角三角形时，证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a﹣x（3分）根据勾股定理，得b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2．∴a2+b2=c2+2ax（5分）∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0．∴a2+b2＞c2．（6分）当△ABC是钝角三角形时，证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为y，则有BD2=a2﹣y2（7分）根据勾股定理，得（b+y）2+a2﹣y2=c2．即a2+b2+2by=c2．（9分）∵b＞0，y＞0，∴2by＞0，∴a2+b2＜c2．（10分）【点评】本题考查了勾股定理的运用．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．5．（2014秋•福安市期末）身高1.6米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝CE的高度，于是他测得BD的长度为25米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．求风筝的高度CE．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【解答】解：在Rt△CBD中，∵BD2+CD2=BC2，∴252+CD2=652，∴CD=60（米），∵CE=CD+DE，∴CE=60+1.6=61.6（米）．∴风筝的高为61.6米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．6．（2013秋•巴州区校级期中）阅读：（1）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）若xy=0，根据乘法法则，得x=0或y=0．利用你在阅读材料中所掌握的知识解决问题．问题：如图，在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，求三边长．【分析】根据勾股定理得到关于x的方程，求出x的值，再求出各边的长即可．【解答】解：∵在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，∴x2+（x﹣1）2=（x+1）2解得：x1=0（舍去），x2=4，x﹣1=3，x+1=5，∴三边长分别是3、4、5．【点评】本题考查了勾股定理与一元二次方程，正确列出方程是解决本题的关键，注意把不合题意的解舍去．7．（2013秋•丹江口市校级期中）如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，（1）求证：CE平分∠BCD；（2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积；（3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解）【分析】（1）过点E作EF⊥CD，垂足为F，利用角平分线的性质以及其判定得出即可；（2）首先得出S△DEC的面积，进而得出Rt△ADE≌Rt△FDE，Rt△BCE≌Rt△FCE，S四边=2S△DEC，进而求出即可；形ABCD（3）由（2）得：AD=DF，FC=BC，则AD+BC=CD，利用S梯形ABCD=（AD+BC）×AB=300，进而得出CD的长．【解答】（1）证明：过点E作EF⊥CD，垂足为F，∵DE平分∠ADC，∠A=90°，∴EA=EF（角平分线上的点到角的两边距离相等），∵E是AB的中点，∴AE=BE，∴EF=BE，∵∠B=90°，∴CE平分∠BCD（到角两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵四边形ABCD中∠A=∠B=90°∴∠ADC+∠BCD=180°∵∠EDC=∠ADC，∠ECD=∠BCD∴∠EDC+∠ECD=90°∴∠DEC=90°∴S△DEC=DE×CE=×15×20=150，∵在Rt△ADE和Rt△FDE中，∴Rt△ADE≌Rt△FDE（HL），在Rt△BCE和Rt△FCE中，∴Rt△BCE≌Rt△FCE（HL），∴S四边形ABCD=2S△DEC=300；（3）解：由（2）得：AD=DF，FC=BC，∴AD+BC=CD，∵S梯形ABCD=（AD+BC）×AB，由（2）知S梯形ABCD=300，∴（AD+BC）×AB=300，∴CD=25．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质与定理和梯形的面积求法，熟练利用角平分线的性质与判定是解题关键．8．（2013秋•镇赉县校级月考）如图；已知甲、乙分别从正方形ABCD广场的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度是1千米/分，乙的速度是2千米/分．若正方形广场的周长为40千米，问：几分钟后甲、乙两之间相距2千米？（友情提示：可以用直角三角形的勾股定理求解）【分析】本题可设时间为x分钟，依题意得CF=x，则BE=2x，周长为40km，边长为10km，CE=10﹣2x，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：设x分钟后两车相距2km，此时甲运动到F点，乙运动到E点，可知：FC=x，EC=10﹣2x，在Rt△ECF中，x2+（10﹣2x）2=（2）2，解得：x1=2，x2=6，当x=2时，FC=2，EC=10﹣4=6＜10符合题意，当x=6时，FC=6，EC=10﹣12=﹣2＜0不符合题意，舍去，答：2分钟后，两车相距2千米．【点评】此题考查了勾股定理的应用，根据路程=速度×时间，表示线段的长度，将问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法．。

勾股定理习题(附答案)

C勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ）钝角三角形（B ）锐角三角形（C ）直角三角形（D ）等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（）. （A ）50a 元（B ）600a 元（C ）1200a 元（D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（）.（A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）135米3米（第10题）（第11题）（第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题）（第16题）（第17题） 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.C三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

2022年必考点解析沪科版八年级数学下册第18章勾股定理综合测评试卷(含答案详解)

八年级数学下册第18章勾股定理综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（）A．B C．D．102、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（）A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．15 cm3、以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．8，15，17 C．2，3，4 D．1，34、如图，四棱柱的高为9米，底面是边长为6米的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A开始，爬向顶点B．那么它爬行的最短路程为（）A．10米B．12米C．15米D．20米5、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．5，11，12 B．4，5，6 C．4，6，8 D．5，12，136、如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（）A．50 B．C．100 D．7、下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：4 B．a＝1，b，cC．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2：b2：c2＝3：4：58、以下列各组线段为边作三角形，不能．．作出直角三角形的是（）A ．1，2B ．6，8，10C ．3，7，8D ．0.3，0.4，0.59、如图，在等腰1Rt OAA 中，190OAA ∠=︒，1OA =，以OA 1为直角边作等腰12Rt OA A ，以OA 2为直角边作等腰23Rt OA A ，则2n OA 的长度为（）A ．2nB ．C ．2nD ．210、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的点B '处，点A 的对应点为点A '，3B C '=，则AM 的长为（）A ．1.8B ．2C ．2.3D 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知：点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为()1,1-，那么点A 和点B 两点间的距离是______．2、如图，点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C ，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，若∠AOB ＝60°，OC ＝2，则PD ＝_____________．3、如图，在平面直角坐标系中，5AB AC ==，点B ，C 的坐标分别是()5,2，()5,8，则点A 的坐标是______．4、直角三角形中，根据勾股定理，已知两边可求第三边： Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，（1）若已知边a ，b ，则c ＝_____（2）若已知边a ，c ，则b ＝ _____（3）若已知边b ，c ，则a ＝_____．5、如图，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，动点M 满足1AM =，将线段CM 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CN ，连接AN ，则AN 的最小值为_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道OC ，撑杆AB 、BC 组成，滑道OC 固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆AB 、BC 的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点A 与点O 重合，撑杆AB 、BC 恰与滑道OC 完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆AB 与撑杆BC 恰成直角，即90B ∠=︒，测量得12cm OA =，撑杆15cm AB =，求滑道OC 的长度．2、如图，在△ABC 和△DEB 中，AC ∥BE ，∠C ＝90°，AB ＝DE ，点D 为BC 的中点，12AC BC =．（1）求证：△ABC ≌△DEB ．（2）连结AE ，若BC ＝4，直接写出AE 的长．3、如图在55⨯的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，点B 都在格点上，按下列要求画图．（1）在图①中，AB 为一边画ABC ，使点C 在格点上，且ABC 是轴对称图形；（2）在图②中，AB 为一腰画等腰三角形，使点C 在格点上；（3）在图③中，AB 为底边画等腰三角形，使点C 在格点上．4、一个三角形三边长分别为a ，b ，c ．（1）当a ＝3，b ＝4时，① c 的取值范围是________；② 若这个三角形是直角三角形，则c 的值是________；（2）当三边长满足3a b c b ++=时， ① 若两边长为3和4，则第三边的值是________；② 在作图区内，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：已知两边长为a ，c （a ＜c ），求作长度为b 的线段（标注出相关线段的长度）．5、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 给出如下定义：点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”．已知点()6,0A ，()0,6B ．（1）在点()6,0D -，()3,0E ，()0,3F 中，______是点A 和点O 的“等距点”；（2）在点()2,1G --，()2,2H ，()3,6I 中，______是线段OA 和OB 的“等距点”；（3）点(),0C m 为x 轴上一点，点P 既是点A 和点C 的“等距点”，又是线段OA 和OB 的“等距点”．①当8m =时，是否存在满足条件的点P ，如果存在请求出满足条件的点P 的坐标，如果不存在请说明理由；②若点P 在OAB 内，请直接写出满足条件的m 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、C【分析】因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当6为腰时，此时等腰三角形的边长为6、6、8；②当8为腰时，此时等腰三角形的边长为6、8、8；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用勾股定理的知识求出高．【详解】解：∵△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，边长为6和8的等腰三角形有6、6、8与6、8、8两种情况，①当三边是6、6、8时，底边上的高AD②当三边是6、8、8时，同理求出底边上的高AD故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．2、B【分析】立体图形展开后，利用勾股定理求解．【详解】解：将长方体沿着AB边侧面展开，并连接'AB，如下图所示：由题意及图可知：'13138AB cm=，=+++=，''6AA cm两点之间，线段最短，故'AB的长即是细线最短的长度，''∆中，由勾股定理可知：'10Rt AABAB cm===，故所用细线最短需要10cm．故选：B ．【点睛】本题主要是考查了勾股定理求最短路径、两点之间线段最短以及立体图形的侧面展开图，因此，正确得到立体图形的侧面展开图，熟练运用勾股定理求边长，是解决此类问题的关键．3、B【分析】根据勾股定理的逆定理：若三角形三边分别为a ，b ，c ，满足222+=a b c ，则该三角形是以c 为斜边的直角三角形，由此依次计算验证即可．【详解】解：A 、22245416+=≠，则长为4，5，6的线段不能组成直角三角形，不合题意；B 、22281528917+==，则长为8，15，17的线段能组成直角三角形，符合题意；C 、22223134+=≠，则长为2，3，4的线段不能组成直角三角形，不合题意；D 、222133+=≠，则长为13的线段不能组成直角三角形，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握并熟练运用勾股定理的逆定理是解题关键．4、C【分析】将立体图形展开，有两种不同的展法，连接AB ，利用勾股定理求出AB 的长，找出最短的即可．【详解】解：如图，（1）AB（2）AB15，由于15则蚂蚁爬行的最短路程为15米．故选：C．【点睛】本题考查了平面展开--最短路径问题，要注意，展开时要根据实际情况将图形安不同形式展开，再计算．5、D【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】解：A．∵52+112＝25+121＝146，122＝144，∴52+112≠122，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，∴42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵42+62＝16+36＝52，82＝64，∴42+62≠82，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，∴52+122＝132，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于最长边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．6、B【分析】根据题意过D作DN⊥BF于N，连接DI，进而结合全等三角形的判定与性质得出S1+S2+S3+S4+S5＝Rt△ABC的面积×4进行分析计算即可.【详解】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，∴BC＝12AB＝5，AC过D作DN⊥BF于N，连接DI，在△ACB和△BND中，90 ACB BNDCAB NBD AD BD ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△MND≌Rt△OCB，∴MD＝OB，∠DMN＝∠BOC，∴EM＝DO，∴DN＝BC＝CI，∵DN ∥CI ，∴四边形DNCI 是平行四边形，∵∠NCI ＝90°，∴四边形DNCI 是矩形，∴∠DIC ＝90°，∴D 、I 、H 三点共线，∵∠F ＝∠DIO ＝90°，∠EMF ＝∠DMN ＝∠BOC ＝∠DOI ，∴△FME ≌△DOI （AAS ），∵图中S 2＝S Rt△DOI ，S △BOC ＝S △MND ，∴S 2+S 4＝S Rt△ABC ．S 3＝S △ABC ，在Rt△AGE 和Rt△ABC 中，AE AB AG AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt△AGE ≌Rt△ACB （HL ），同理，Rt△DNB ≌Rt△BHD ，∴S 1+S 2+S 3+S 4+S 5＝S 1+S 3+（S 2+S 4）+S 5＝Rt△ABC 的面积+Rt△ABC 的面积+Rt△ABC 的面积+Rt△ABC 的面积＝Rt△ABC 的面积×4＝故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，解题的关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．7、B【分析】根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角等于180︒逐项判断即可．【详解】A ，设3a x =，4b x ，4=c x ，此时()()()222344x x x +≠，故ABC 不能构成直角三角形，故不符合题意；B ，2221+=，故ABC 能构成直角三角形，故符合题意C ，::3:4:5A B C ∠∠∠=且180A B C ∠+∠+∠=︒，设3A x ∠=，4B x ∠=，5C x ∠=，则有12180x =︒，所以15x =︒，则75C ∠=︒，故ABC 不能构成直角三角形，故不符合题意；D ，设23a x =，24b x =，25c x =，则345x x x +≠，即222a b c +≠，故ABC 不能构成直角三角形，故不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，和三角形的内角和等知识，能熟记勾股定理的逆定理内容和三角形内角和等于180︒是解题关键．8、C【分析】先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，看看是否相等即可．【详解】解：A 、∵2221+2=5=，∴以1，2B 、∵62+82=36+64=100=102，∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、∵32+72=9+49=58≠82，∴以3，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D 、∵0.32+0.42=0.09+0,16=0.25=0.52，∴以0.3，0.4，0.5为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的两边a 、b 的平方和等于第三边c 的平方，那么这个三角形是直角三角形．9、C【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．【详解】解：∵△OAA 1为等腰直角三角形，OA =1，∴AA 1=OA=1，OA 11；∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，∴A1A2=OA1OA2OA1=2=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA323；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4=OA3，OA4OA3=4=4，∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴A4A5=OA4=4，OA545．OA的长度为2n=2n，∴2n故选C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．10、B【分析】连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【详解】解：连接BM，MB′，设AM=x，在Rt △ABM 中，AB 2+AM 2=BM 2，在Rt △MDB ′中，B ′M 2=MD 2+DB ′2，∵折叠，∴MB =MB ′，∴AB 2+AM 2= MD 2+DB ′2，即92+x 2=(9-x )2+(9-3)2，解得x =2，即AM =2，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．二、填空题1、5【分析】根据两点间距离公式求解即可．【详解】∵点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为(1,1)-，∴点A 和点B 5=．故答案为：5．【点睛】本题考查两点间距离，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则两点间的距离是AB =点间距离公式是解题的关键．2【分析】作PE OB ⊥，则PD PE =，由等腰三角形的性质可得，2OC PC ==，在Rt PCE △中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：作PE OB ⊥，如下图：∵OP 平分AOB ∠，PE OB ⊥，PD OA ⊥，∴PD PE =，1302AOP BOP AOB ∠=∠=∠=︒，∵PC OA ∥，∴30DOP OPC POC ∠=∠=︒=∠，∴2OC PC ==，60PCE POC OPC ∠=∠+∠=︒，在Rt PCE △中，2PC =，60PCE ∠=︒，∴30CPE ∠=︒ ∴112CE CP ==，由勾股定理得，PE【点睛】此题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质以及含30直角三角形的性质等，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．3、()1,5A【分析】如图，过A 作AD BC ⊥于,D 证明BC x ⊥轴，则AD x ∥轴，826,BC 再利用等腰三角形的性质求解3,BD = 利用勾股定理求解4,AD = 从而可得答案.【详解】解：如图，过A 作AD BC ⊥于,D5,2,5,8,B CBC x ∴⊥轴，则AD x ∥轴，826,BC5,AB AC3,BD CD 224,ADAB BD541,325,A A D x y y1,5.A故答案为：()1,5A【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理的应用，掌握“坐标与线段长度的关系”是解本题的关键.4【分析】（1）（2）（3）根据勾股定理及题意可直接进行求解．【详解】解：（1）若已知边a ，b ，则根据勾股定理得c（2）若已知边a ，c ，则根据勾股定理得b =（3）若已知边b ，c ，则根据勾股定理得a【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5、1##【分析】证明△AMC ≌△BNC ，可得1BN AM ==，再根据三角形三边关系得出当点N 落在线段AB 上时，AN 最小，求出最小值即可．【详解】解：∵线段CM 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CN ，∴MC NC =，90MCN ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，4AC BC ==，∴ACM BCN ∠=∠，AB =∴△AMC ≌△BNC ，∴1BN AM ==，∵1AN AB BN ≥-=∴AN 的最小值为1；故答案为：1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形全等，得出1BN AM ==，根据三角形三边关系取得最小值．三、解答题1、滑道OC 的长度为51cm ．【分析】设OC m =cm ，可得出(15)BC m =-cm ，(12)AC m =-cm ，在在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得m 的值，由此可得结论．【详解】解：设OC m =cm ，则由图①可知(15)BC OC AB m =-=- cm ，由图②可知(12)AC OC OA m =-=-cm ，∵90B ∠=︒，∴在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，222AB BC AC +=，∴22215(15)(12)m m +-=-，解得51m =，∴滑道OC 的长度为51cm ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，能结合撑杆AB 、BC 的长度始终保持不变正确表示出BC 和AC 是解题关键．2、（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行可得∠DBE ＝90°，再由HL 定理证明直角三角形全等即可；（2）构造Rt AHE ，利用矩形性质和勾股定理即可求出AE 长．【详解】（1）∵AC ∥BE ，∴∠C ＋∠DBE ＝180°．∴∠DBE ＝180°－∠C ＝180°－90°＝90°．∴△ABC 和△DEB 都是直角三角形．∵点D 为BC 的中点，12AC BC =，∴AC ＝DB ． ∵AB ＝DE ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEB （HL ）．（2）AE =过程如下：连接AE 、过A 点作AH ⊥BE ，∵∠C ＝90°，∠DBE ＝90°．∴AC BH ∥，AH BC ∥，∴AH =BC =4， 122BH AC BC ===，∴2EH EB EH =-=，在Rt AHE 中，AE =【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形，解题关键是构造直角三角形，利用用平行线间的距离处处相等得线段AH =BC ，从而利用勾股定理求AE ．3、（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解．【分析】（1）先根据以AB 为边△ABC 是轴对称图形，得出△ABC 为等腰三角形，AB 长为3，画以AB 为腰的等腰直角三角形即可；（2）先根据勾股定理求出AB 的长，利用平移画出点C 即可；（3）先求出以AB 为底等腰直角三角形腰长AC C 即可．【详解】解：（1）∵以AB 为边△ABC 是轴对称图形，∴△ABC 为等腰三角形，AB 长为3，画以AB为直角边，点B为直角顶点△ABC如图也可画以AB为直角边，点A为直角顶点△ABC如图；（2）根据勾股定理ABAB，以点A为顶角顶点根据勾股定理构建横1竖3，或横3竖1；点A向左1格再向下平移3格得C1，连结AC1，C1B，得等腰△ABC1，点A向右3格再向上平移1格得C2，连结AC2，BC2，得等腰△ABC2，点A向右3格再向下平移1格得C3，连结AC3，BC3，得等腰△ABC3，点B向右3格再向上平移1格得C4，连结AC4，BC4，得等腰△ABC4，点B向右3格再向下平移1格得C5，连结AC5，BC5，得等腰△ABC5，点B向右1格再向上平移3格得C6，连结AC6，BC6，得等腰△ABC6；（3）AB为底边画等腰三角形，等腰直角三角形腰长为m，根据勾股定理222AB AC BC=+，22+m m =，解得m =1竖2，或横2竖1得图形，点A 向右平移2格，再向下平移1格得点C 1，连结AC 1，BC 1，得等腰三角形ABC 1，点A 向左平移1格，再向下平移2格得点C 2，连结AC 2，BC 2，得等腰三角形ABC 2．【点睛】本题考查网格作图，图形平移性质，勾股定理应用，等腰直角三角形性质，轴对称性质，掌握网格作图，图形平移性质，勾股定理应用，等腰直角三角形性质，轴对称性质是解题关键．4、（1）①17c <<或5；（2）①2或72或5；②图见解析．【分析】（1）①根据三角形的三边关系定理即可得；②分斜边长为b 和斜边长为c 两种情况，分别利用勾股定理即可得；（2）①先根据已知等式得出2a c b +=，再分,a c 中有一个为3，4b =；,a c 中有一个为4，3b =；,a c 中有一个为3，另一个为4三种情况，分别代入2a c b +=求解即可得； ②先画出射线AM ，再在射线AM 上作线段AB a ，然后在射线BM 上作线段BC c =，最后作线段AC 的垂直平分线，交AC 于点D 即可得．【详解】解：（1）①由三角形的三边关系定理得：4334c -<<+，即17c <<，故答案为：17c <<；②当斜边长为b 时，c ===当斜边长为c 时，2222345c a b ，综上，c 5，或5；（2）①由3a b c b ++=得：2a c b +=，因此，分以下三种情况：当,a c 中有一个为3，4b =时，不妨设3a =，则17c <<，将3,4a b ==代入2a c b +=得：324c +=⨯，解得5c =，符合题设，当,a c 中有一个为4，3b =时，不妨设4a =，则17c <<，将4,3a b ==代入2a c b +=得：423c +=⨯，解得2c =，符合题设，当,a c 中有一个为3，另一个为4时，不妨设3,4a c ==，则17b <<，将3,4a c ==代入2a c b +=得：342b +=，解得72b =，符合题设，综上，第三边的值是2或72或5，故答案为：2或72或5； ②由3a b c b ++=得：2a c b +=，如图，线段AD 即为所求．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的三边关系定理、作线段和线段垂直平分线（尺规作图）等知识点，较难的是题（2）①，正确分三种情况讨论是解题关键．5、（1）点E ；（2）点H ；（3）①存在，点P 的坐标为（7，7）；②60m -<<【分析】（1）根据“等距点”的定义，即可求解；（2）根据“等距点”的定义，即可求解；（3）①根据点P 是线段OA 和OB 的“等距点”，可设点P （x ，x ）且x ＞0，再由点P 是点A 和点C 的“等距点”，可得22AP CP = ，从而得到()()222286x x x x -+=-+ ，即可求解；②根据点P 是线段OA 和OB 的“等距点”，点P 在∠AOB 的角平分线上，可设点P （a ，a ）且a ＞0，根据OA =OB ，可得OP 平分线段AB ，再由点P 在OAB 内，可得0<<3a ，根据点P 是点A 和点C 的“等距点”，可得22AP CP = ，从而得到()()22226a m a a a -+=-+，整理得到()()()2666m a m m -=+-，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：()6612AD =--= ，633AE =-= ，AF = ， 6OD = ，3OE = ，3OF = ， ∴AE OE = ，∴点()3,0E 是点A 和点O 的“等距点”；（2）根据题意得：线段OA 在x 轴上，线段OB 在y 轴上，∴点()2,1G --到线段OA 的距离为1，到线段OB 的距离为2，点()2,2H 到线段OA 的距离为2，到线段OB 的距离为2，点()3,6I 到线段OA 的距离为6，到线段OB 的距离为3，∴点()2,2H 到线段OA 的距离和到线段OB 的距离相等，∴点()2,2H 是线段OA 和OB 的“等距点”；（3）①存在，点P 的坐标为（7，7），理由如下：∵点P 是线段OA 和OB 的“等距点”，且线段OA 在x 轴上，线段OB 在y 轴上，∴可设点P （x ，x ）且x ＞0，∵点P 是点A 和点C 的“等距点”，∴22AP CP = ，∵点C （8，0），()6,0A ，∴()()222286x x x x -+=-+ ，解得：7x = ，∴点P 的坐标为（7，7）；②如图，∵点P 是线段OA 和OB 的“等距点”，且线段OA 在x 轴上，线段OB 在y 轴上，∴点P 在∠AOB 的角平分线上，可设点P （a ，a ）且a ＞0，∵()6,0A ，()0,6B ．∴OA =OB =6，∴OP 平分线段AB ，∵点P 在OAB 内，∴当点P 位于AB 上时，此时点P 为AB 的中点，∴此时点P 的坐标为6060,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()3,3 ， ∴0<<3a ，∵点P 是点A 和点C 的“等距点”，∴22AP CP = ，∵点(),0C m ，()6,0A ，∴()()22226a m a a a -+=-+，整理得：()()()2666m a m m -=+- ，当6m = 时，点C （6，0），此时点C 、A 重合，则a =6（不合题意，舍去），当6m ≠时，62m a += ， ∴6032m +<<，解得：60m -<< ，即若点P 在OAB 内，满足条件的m 的取值范围为60m -<<．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，点到坐标轴的距离，等腰三角形的性质，角平分线的判定等知识，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键．。

数学数学勾股定理试题含答案

一、选择题1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（）A ．47B ．62C ．79D ．984．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2016的值为（）A．（22）2013B．（22）2014C．（12）2013D．（12）20145．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm6．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30,40,60B．7,12,13C．6,8,10D．3,4,67．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．245B．5 C．6 D．88．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．②B．①②C．①③D．②③9．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C．再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（）A ．3．5B ．23C ．13D ．36210．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA 2018A 2019，则点A 2019的坐标为________．12．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．13．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．14．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．15．如图，长方形ABCD 中，∠A =∠ABC =∠BCD =∠D =90°，AB =CD =6，AD =BC =10，点E 为射线AD 上的一个动点，若△ABE 与△A ′BE 关于直线BE 对称，当△A ′BC 为直角三角形时，AE 的长为______．16．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.17．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．20．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.三、解答题△中，∠ACB = ∠DCE=90°．21．如图，在两个等腰直角ABC和CDE（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是；△绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？（2）探究证明：把CDE说明理由；△绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、（3）拓展延伸：把CDED三点在直线上时，请直接写出 AD的长．22．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．24．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.25．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.26．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)27．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.28．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 29．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠，∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，221697AG AC CG =--=， ∴1272ACD S AG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠， ∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确； ∴47GF AF AG =-=-在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理．2．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。

《勾股定理》专题复习(含答案)

第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180—60=120，由勾股定理得: AB 2=902+1202=22500,所以AB=150（mm ）（2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边,求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理,得:4532C E C E ===，4532A E A E ===,44332A C A C ==,445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠图1 图21A2A3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A 2A 3A4A 5A 5E2E 1E1D 1C 1B 4C 3C 2C图3122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=．即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2:1：1,a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =; （C)222c a =； (D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4,x,则x 的可能值有（）（A ）1个；（B ）2个； (C ）3个； (D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（）（A ）10.5米；（B ）7。

(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题1．如图，在22⨯的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A 为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D．则CD的长为（）A．12B．13C．23-D．32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（）A．2 B．52C．4 D．63．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A．1 条B．2条C．3条D．4条4．在下列四组数中，属于勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．123 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为（）A ．103B ．256C ．203D ．1546．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，在BA 上截取BD ＝BC ，再在AC 上截取AE ＝AD ，则AE AC的值为（）A ．352 B ．51- C ．5﹣1 D ．51+ 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x 尺，根据题意可列方程（）A ．222(6)10x x ++=B ．222(6)10x x -+=C ．222(6)10x x +-=D ．222610x +=8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长．则AC 的长为（）A ．4.2尺B ．4.3尺C ．4.4尺D ．4.5尺 9．一个直角三角形的两条边分别是9和40，则第三边的平方是（）A ．1681B ．1781C ．1519或1681D ．1519 10．如图，在33⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是ABC 的边AC 上的高，则BD 的长为（）A ．52613B ．102613C ．13137D ．7131311．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（）A ．3B ．5C ．31+或31-D ．51+或51- 12．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（）A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题13．如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ︒∠==，点M 为射线AE 上一点，连接CM ，点N 为三角形ABC 外右侧一点，连接CN ，连接NB 交射线AE 于点D ，已知,,15CN CM CN CM EAC ︒⊥=∠= ，6260,2ACM BD ︒+∠==，则线段DN 长为________．14．将一根24cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm ，则h 的最小值__，h 的最大值__．15．如图，在ABC 中，90C =∠，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若5AB =，3AC =，则ACD △的周长为__________．16．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是_________17．如图，两个正方形的面积分别是118S =，212S =，则第三个正方形的面积3S =_________．18．若直角三角形的两直角边长为a 、b 21025a a -+b ﹣12|＝0，则该直角三角形的斜边长为_____．19．现有两根木棒，长度分别为5dm 和12dm ，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需的第三根木棒的长度可以是________dm ．20．若一个直角三角形的两条直角边长分别是4和6，则斜边长为__________．三、解答题21．如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线与外角∠ACD 的角平分线相交于点E ．（1）设∠A ＝α，用含α的代数式表示∠E 的度数；（2）若EC ∥AB ，AC ＝4，求线段CE 的长；（3）在（2）的条件下，过点C 作∠ACB 的角平分线交BE 于点F ，若CF ＝3，求边AB 的长．22．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9.求AB 的长.23．如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D 到地面的垂直距离DE=32米．求点B 到地面的垂直距离BC ．24．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 的长．25．如图，//,90AD BC A ∠=︒，E 是AB 上的点，且,12AD BE =∠=∠．（1）求证：ADE BEC ≌△△．（2）若30,3AED AE ∠=︒=，求线段CD 的长度．26．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是AC 上一点，点E 、点F 是BC 上的点，且∠CDF =∠CEA ，CF =CA ．（1）如图1，若AE 平分∠BAC ，∠DFC =25°，求∠B 的度数；（2）如图2，若过点F 作FG ⊥AB 于点G ，连结GC ，求证：AG +GF =2GC ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由勾股定理求出DE ，即可得出CD 的长．【详解】解：连接AD ，如图所示：∵AD =AB =2，∴DE =2221-=3，∴CD =23-，故选：C ．本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．2．D解析：D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝，即可求解．【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，∴AB=，AC=，BC=，∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴2a2+2b2＝2c2，∴a2+b2＝c2，∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，∴BG＝GH＝a，∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，∴1（a+c）（c﹣a）＝9，2∴c2﹣a2＝18，∴b2＝18，∴b＝∴AC=＝6，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．3．B解析：B【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，即可得出结果．【详解】∵=，=d=2，=5∴长度是无理数的线段有2条，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理、无理数，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．4．B解析：B根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，成为勾股数，据此可判断．【详解】A ．0.3、0.4、0.5，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；B ．9、40、41，是正整数，且满足22294041+=，是勾股数，选项正确；C ．2、3、4，是正整数，但222234+≠，所以不是勾股数，选项正确；D ．1、2、3，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了勾股数的判定方法，解题关键是要看这组数是否为正整数，且满足最小两个数的平方和等于最大数的平法．5．C解析：C【分析】利用勾股定理求BC 的长度，连接AE ，然后设BE=AE=x ，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：如图，∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BD=12AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253x =∴BE=AE=253 在Rt △BDE 中，ED=22222520()533BE BD -=-=．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．6．B解析：B【分析】先由勾股定理求出BD=BC=1，得1，即可得出结论．【详解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，∴==∵BD=BC=1，∴1-，∴AE AC =，故选B ．【点睛】本题考查了黄金分割以及勾股定理，熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键． 7．A解析：A【分析】设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据勾股定理解答．【详解】设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据题意可列方程222(6)10x x ++=，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理计算，正确理解题意掌握勾股定理计算公式是解题的关键． 8．A解析：A【分析】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺，利用勾股定理解答．【详解】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺， ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB +=，∴2224(10)x x +=-，解得：x=4.2，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 9．C解析：C【分析】由题意可分当第三边为直角边时和当第三边为斜边时，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：当第三边是直角边时，第三边的平方是402﹣92＝1519；当第三边是斜边时，第三边的平方是402+92＝1681；故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用割补法可得△ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：AC=∵S△ABC＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72，∴12AC•BD＝72，∴＝7，∴BD故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．11．C解析：C【分析】分Q在CB延长线上和Q在BC延长线上两种情况分类讨论，求出CQ长，根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：如图1，当Q在CB延长线上时，在Rt△ACQ中，CQ===∴1；如图2，当Q 在BC 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=，∴BQ=CQ+BC=31+；∴BQ 的长为31+或31-．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．12．B解析：B【分析】由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，∴S=3，故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．二、填空题13．【分析】根据题意可求证延长CM 交AB 与点G 过G 作GK 垂直于BC 于点K 根据角相等判断边相等AG=AM 列出方程求出AG 的长从而求出AM 的长从而求出BN 的长DN=BN-BD 即可求解【详解】∵∴∵CN=CM【分析】根据题意可求证ACM BCN ≅，延长CM 交AB 与点G ，过G 作GK 垂直于BC 于点K ，根据角相等判断边相等，AG=AM ，列出方程求出AG 的长，从而求出AM 的长，从而求出BN 的长，DN=BN-BD 即可求解．【详解】∵60ACM ︒∠=，90M B N A C C ︒=∠∠=，∴60ACM BCN ︒∠=∠=，∵AC BC =，CN=CM∴ACM BCN ≅，∴15CAM CBN ︒∠=∠=，延长CM 交AB 与点G ，过G 作GK 垂直于BC 于点K ，∵90,ACB AC BC ︒∠==，60ACM ︒∠=∴45ABC ︒∠=，45CAB ︒∠=，30GCB ∠=︒，∴60ABD ︒∠=，30BAD ︒∠=，75AGC ∠=︒，75AMG ∠=︒∴90ADB ︒∠=，AM=AG ，∵BD = ∴AB =∴12AC BC ===，设BK=a ，则GK=a ，CK =， ∴1a +=，∴a=1，∴1BK KG ==， ∴BG =∴AG =AM =∴6BN =， ∴622DN BN BD -=-=，故答案为：62-．【点睛】本题主要考查的是三角形全等的性质及判定，正确做出辅助线，熟练掌握三角形全等的性质及判定是解答本题的关键．14．11cm12cm 【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小利用勾股定理计算即可【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大h 最大=24﹣12=12（cm解析：11cm 12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，利用勾股定理计算即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大，h 最大=24﹣12=12（cm ）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，此时，在杯子内的长度22512+=13（cm ），故h =24﹣13=11（cm ）．故h 的取值范围是11≤h ≤12cm ．故答案为：11cm ；12cm ．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 15．7【分析】先根据勾股定理求出BC 的长再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD 即AD+CD=BC 再由AC=6即可求出答案【详解】解：∵△ABC 中∠C=90°AB=5AC=3∴BC==4∵DE 是线段AB 的解析：7【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，即AD+CD=BC，再由AC=6即可求出答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC=2222-=-=4，53AB AC∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD，即AD+CD=BC，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=3+4=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质求出AD+CD=BC是解题的关键．16．2021【分析】根据勾股定理求出生长了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和结合图形总结规律根据规律解答即可【详解】解：如图由题意得正方形A的面积为1由勾股定理得正方形B的面积+正方形C的面积=1∴解析：2021【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故答案为：2021．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．17．6【分析】根据题意和图形可以得到AB2和AC2再根据△ABC是直角三角形和勾股定理可以得到BC2【详解】解：∵两个正方形的面积分别是S1=18S2=12∴AB2=18AC2=12∵△ABC是直角三角解析：6【分析】根据题意和图形，可以得到AB2和AC2，再根据△ABC是直角三角形和勾股定理，可以得到BC2．【详解】解：∵两个正方形的面积分别是S1=18，S2=12，∴AB2=18，AC2=12，∵△ABC是直角三角形，∴BC2=AB2-AC2=18-12=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．13【分析】根据非负数的性质得到ab的值然后结合勾股定理求得斜边的长度即可【详解】解：∵∴∴|a﹣5|+|b﹣12|＝0∴a＝5b＝12∴该直角三角形的斜边长为：故答案是：13【点睛】本题考查了勾股解析：13【分析】根据非负数的性质得到a、b的值，然后结合勾股定理求得斜边的长度即可．【详解】解：∵|12|0b-=，∴|12|0b-=∴|a﹣5|+|b﹣12|＝0，∴a＝5，b＝12，∴13=．故答案是：13．【点睛】本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．19．13或【分析】分情况讨论当的木棒为直角边时以及当的木棒为斜边时利用勾股定理解答即可【详解】解：当的木棒为直角边时第三根木棒的长度为；当的木棒为斜边时第三根木棒的长度为；故答案为：13或【点睛】本题考解析：13【分析】分情况讨论当12dm的木棒为直角边时以及当12dm的木棒为斜边时，利用勾股定理解答即可．【详解】解：当12dm13dm；当12dm=；故答案为：13【点睛】本题考查勾股定理的应用，分情况讨论是解题的关键．20．【分析】直接根据勾股定理求解可得【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6∴斜边长为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理在任何一个直角三角形中两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方即如果直解析：【分析】直接根据勾股定理求解可得．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6，∴故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．三、解答题21．（1）12α；（2）4；（3）5625【分析】（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，利用三角形的外角的性质，构建方程组求解即可．（2）证明CA＝CB＝CE，可得结论．（3）如图，连接AF，过点C作CT⊥BE于T．解直角三角形求出EF，BE，BF，再利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则有22y x Ay x E=+∠⎧⎨=+∠⎩，可得∠E ＝12∠A ＝12α．（2）∵EC ∥AB ，∴∠ABE ＝∠E ，∵∠ABC ＝2∠ABE ，∠A ＝2∠E ，∴∠A ＝∠ABC ，∠E ＝∠CBE ，∴CA ＝CB ＝4，CE ＝CB ＝4.（3）如图，连接AF ，过点C 作CT ⊥BE 于T ，延长CF 交AB 于R ．∵CF 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∴∠FCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝90°， ∵CF ＝3，CE ＝4，∴EF5，∵S △CEF ＝12•EC•CF ＝12•EF•CT ， ∴CT ＝125，在Rt △BCT 中，BT＝165， ∵CB ＝CE ，CT ⊥BE ，∴BT ＝TE ，∴BE ＝2BT ＝325， ∴BF ＝BE ﹣EF ＝325﹣5＝75， ∵CA ＝CB ，CF 平分∠ACB ，∴CR ⊥AB ，BR ＝AR ，设BR ＝x ，RF ＝y ，则有2222227()5(3)4x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得2825215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（不符合题意的解已经舍弃）． ∴AB ＝2BR ＝5625．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，平行线的性质，勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，题目有一定的难度．22．【分析】由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长，再利用勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长．【详解】∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20∴∠CDA=∠CDB=90°在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2，∴CD2+92=152∴CD=12；在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2∴122+AD2=202∴AD=16，∴AB=AD+BD=16+9=25．23．33【分析】在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．【详解】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，2．∴AD2=AE2+DE2=（2）2+（2）2=36，∴AD=6，即梯子的总长为6米．∴AB=AD=6．在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=1AB=3，2∴BC2=AB2-AC2=62-32=27，∴BC=27=33m，∴点B到地面的垂直距离BC=33m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键．24．25 4【分析】连接BE，先利用勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后设AE＝BE＝x，再由勾股定理可得方程（8−x）2＋62＝x2，求解后即可得出答案．【详解】解：连接BE，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴AC2＋BC2＝AB2．即82＋BC2＝102，解得：BC＝6．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE．设AE＝BE＝x，则EC＝8−x，∵Rt△BCE中，EC2＋BC2＝BE2，∴（8−x）2＋62＝x2，解得：x＝254，∴AE＝254．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质并结合勾股定理求解线段的长度是解题的关键，且要注意数形结合思想应用．25．（1）证明见详解；（2）26【分析】（1）根据已知可得到∠A =∠B =90°，DE =CE ，AD =BE 从而利用HL 判定两三角形全等；（2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC =90°，由30,3AED AE ∠=︒=，可求得AD 、DE 的长，再利用勾股定理求得CD 的长即可．【详解】（1）∵AD ∥BC ，∠A =90°，∴∠A =∠B =90°，∵∠1=∠2，∴DE =CE ．∵AD =BE ，在Rt △ADE 与Rt △BEC 中AD BE DE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ）（2）由△ADE ≌△BEC 得∠AED =∠BCE ，AD =BE ．DE=CE ,∴∠AED +∠BEC =∠BCE +∠BEC =90°．∴∠DEC =90°．在Rt △ADE 中又∵30,3AED AE ∠=︒=设AD =x ，则DE =2x,由勾股定理222AD AE DE +=，即2294x x +=解得x =∴在Rt △CDE 中由勾股定理，DC 2=DE 2+CE 2∴CD【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握等三角形的判定与性质的运用是解题关键．26．（1）∠B=40°；（2）见解析．【分析】（1）先利用SAS 证明△AEC ≌△FDC ，得出∠EAC=∠DFC=25°，从而得出∠BAC=50°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论（2）过点C 作GC 的垂线交GF 的延长线于点P ，根据同角的余角得出∠PCF =∠GCA ，再根据ASA 得出△AGC ≌△FPC ，从而得出△GCP 是等腰直角三角形，即可得出答案【详解】（1）在△AEC 和△FDC 中，∵∠CDF=∠CEA CE=CD ∠C=∠C，∴△AEC≌△FDC，∴∠EAC=∠DFC=25°∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC=50°∵∠C=90°，∴在Rt△ABC中，∠B=90°－∠BAC=40°．（2）如答图，过点C作GC的垂线交GF的延长线于点P∴∠GCP = 90°∴∠GCF＋∠PCF = 90°，∵∠ACB = 90°∴∠GCF＋∠GCA = 90°，∴∠PCF =∠GCA．∵∠ACB=90°，GF⊥AB∴∠B＋∠BAC=∠B＋∠BFG= 90°，∴∠BAC=∠BFG．又∵∠PFC=∠BFG∴∠GAC=∠PFC．由（1）知，△AEC≌△FDC，∴CA=CF，∴△AGC≌△FPC，∴GC=PC，AG=FP．又∵PC⊥GC，∴△GCP是等腰直角三角形，∴GF＋2GC，∴AG＋2GC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

2021-2022学年人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项攻克试卷(含答案详解)

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B C．1.5，2，3 D．9，12，152、现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（）A ．3米B ．5米C ．7米D ．9米3、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3．若正方形EFGH 的边长为3，则S 1+S 2+S 3的值是（）A ．20B ．27C ．25D ．494、下列各组数中，是勾股数的是（）A ．0.3，0.4，0.5B ．52，6，132 C 2 D ．9，12，155、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A ．5，11，12B ．4，5，6C ．4，6，8D ．5，12，136、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A ．445B ．887C ．888D ．8897、以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（）A．2，3，5 B．6，8，9 C．5，12，13 D．6，12，138、我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（）A．函数思想B．数形结合思想C．分类思想D．统计思想9、如图，点P表示的数是－1，点A表示的数是2，过点A作直线l垂直于PA，在直线l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，PB为半径画弧交数轴于点C，则点C所表示的数为（）．A B．1C1D110、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A B．2 C D．3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知在△ABC中，AB＝AC＝2，BC BC的长是_____．2、定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，则Rt△ABC的面积等于_____．3、如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_____．4、如图，在Rt ABC中，∠A是直角，AB=3，AC=3，则BC的长为________．5、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD，若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP，则EP12AP的最小值为 _____，则2BP+AP的最小值为 _____．（注：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ．图中大正方形的面积可表示为()2a b +，也可表示为2142c ab +⨯，即()22142a b c ab +=+⨯=，所以222+=a b c ．（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE ，其中BCA ADE △△≌，90C D ∠=∠=︒，根据拼图证明勾股定理．（定理应用）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B 、C ∠所对的边长分别为a 、b 、c ．求证：222244a c a b c b +=-．2、如图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B 两点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画出以AB为底边的等腰△ABC，并且点C为格点．（2）在图②中，画出以AB为腰的等腰△ABD，并且点D为格点．（3）在图③中，画出以AB为腰的等腰△ABE，并且点E为格点，所画的△ABE与图②中所画的△ABD 不全等．3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长．4、△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE= 90°，△DBE可以点B为旋转中心进行旋转．（1）如图1，当边BD恰好在△ABC的BC边上时，连接AD，若BE=1，AD= 2．求线段DC的长；（2）如图2，当边BD旋转至△ABC外时，连接CD、AD、CE，其中AD与CE相交于点F．求证：CE⊥ AD；（3）如图3，F为AC的中点，当边BD旋转至△ABC内时，连接AD、CE、FD，并在FD的延长线上取一点G，连结CG，使CG＝CE．求证：∠FDA=∠CGF．5、如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．（1）求∠B的度数；（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．---------参考答案-----------一、单选题1、C【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详解】解：∵32+42＝52，∴A可以；∵222+=，∴B可以；∵1.52+22≠32，∴C不能；∵92+122＝152，∴D可以，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．2、A【分析】根据题意结合图形可得：3AB CD==m，在两个直角三角OB=-=m，15312OE=m，1239OD=-=m，15形ABO和COD中，分别运用勾股定理求出AO，CO，即可得出移动的距离．【详解】解：如图所示：3AB CD==m，OB=-=m，15312OE=m，1239OD=-=m，15在Rt ABO中，AO==m，12在Rt COD中，CO m，9=-=m，AC AO CO3故选：A．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，找出相应的线段运用勾股定理是解题关键．3、B【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG ＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．【详解】解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2=GF2，∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，∴CG=KG=FN，CF=DG=KF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=CG2+CF2+2CG•DG=GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（KF-NF）2，=KF2+NF2-2KF•NF=KF2+KG2-2DG•CG=FG2-2CG•DG，∵正方形EFGH的边长为3，∴GF2=9，∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+FG2-2CG•DG=3GF2=27，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质等知识，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=27是解题的关键．4、D【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项不符合题意；B、不是勾股数，因为52，132不是正整数，故此选项不符合题意；CD、是勾股数，因为222912=15，故此选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．5、D【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】解：A．∵52+112＝25+121＝146，122＝144，∴52+112≠122，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，∴42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵42+62＝16+36＝52，82＝64，∴42+62≠82，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，∴52+122＝132，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于最长边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．6、D【分析】根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n 次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n ＋1）倍．【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过n 次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的(1)n +倍，∴生长n 次后，变成的图中所有正方形的面积1n S n =+，∴生长了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是8881889+=，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边分别是,a b ，斜边是c ，那么222+=a b c ．7、C【分析】根据两小边的平方和是否等于最长边的平方进行判断是否是直角三角形．【详解】A 、选项：22223135+=≠，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B 、选项：222681009+=≠，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、选项：22251216913+==，能构成直角三角形，故本选项符合题意；D 、选项：22261218013+=≠，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．8、B【分析】利用各类数学思想的概念及相关应用，进行判断分析即可．【详解】解：两个图都验证了勾股定理即：222a b c的成立，故属于数形结合思想．+=故选：B．【点睛】本题主要是考查了数形结合思想在勾股定理的证明中的应用，明确数形结合思想的含义及其与勾股定理的证明的关系，是解决本题的关键，另外，数形结合思想还可用于函数与方程、不等式当中，后面学习一定要注意该思想的应用．9、D【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB的长度，然后根据PB=PC即可求出OC的长度，接着可以求出数轴上点C所表示的数．【详解】解：PB∴PB=PC，∴11=-=，OC PC∴点C1，故选：D．【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，首先正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．10、B【分析】首先由勾股定理得AB ，AC ，BC 的三边长，从而有AB 2+AC 2＝BC 2，得∠BAC ＝90°，再根据S △ABC 1122AC AB BC AD =⋅=⋅，代入计算即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=AC BC 5=，∵AB 2+AC 2＝25，BC 2＝25，∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴∠BAC ＝90°，∴S △ABC 1122AC AB BC AD =⋅=⋅，5AD =⨯，∴AD ＝2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC ＝90°是解题的关键．二、填空题1、4cm 或2cmcm 或4cm【分析】首先应分两种情况进行讨论，∠C 是锐角和钝角两种情况．在直角△ABD 和直角△ACD 中，利用勾股定理求得BD ，CD 的长，当∠C 是锐角时，BC ＝BD +CD ；当∠C 是钝角时，BC ＝BD ﹣CD ，据此即可求解．【详解】解：在直角△ABD 中，3BD ==在直角△ACD中，1CD==当∠C是锐角时（如图1），D在线段BC上，BC＝BD+CD＝3+1＝4；当∠C是钝角时，D在线段BC的延长线上时（如图2），BC＝BD﹣CD＝3﹣1＝2cm．则BC的长是4cm或2cm．故答案是：4cm或2cm．【点睛】本题主要考察了勾股定理的应用，分类讨论三角型的形状是解题的关键．2、9【分析】分∠A＝90°或∠A≠90°，分别画图，根据“特征三角形”的定义即可解决问题．【详解】解：如图，若∠A＝90°，∵Rt △ABC 是特征三角形，∠A 是特征角，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴AC ＝AB ＝2BC ＝∴12ABC S =⨯△9；如图，若∠A ≠90°，∵Rt △ABC 是特征三角形，∠A 是特征角，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ，由勾股定理得：222AC BC AB +=，即22264AC AC +=，∴AC ＝±，∴162ABC S =⨯△＝故答案为：9或【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．3、222+=a b c【分析】利用勾股定理：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方和，即可得到答案．【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可知：222+=a b c ．故答案为：222+=a b c ．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容，注意区分好直角边和斜边，这是解决该类问题的关键．4、【分析】根据勾股定理可直接进行求解．【详解】解：在Rt ABC 中，∠A 是直角，AB =3，AC =3，∴BC =；故答案为【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5【分析】先证明ABD △是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，根据线段和的最小值转化12AP ，进而勾股定理求解即可【详解】解：过点E 作EF AB ⊥于点F ，交AC 于点Q ，过点P 作PG AB ⊥于点G ，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，12PG AP ∴= ∴EP 12+AP EP PG EG =+≥ 当,,E P G 三点共线时，点P 和点Q 重合，,G F 重合，如图，∴ EP 12+AP 的最小值为EF 的长， ∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°， 60B ∴∠=︒EF AB ⊥30FEB ∴∠=︒12FB BE ∴= CD ＝BC ，AC BC ⊥ AD AB ∴=又∵60B ∠=︒ABD ∴是等边三角形 4BD AD ∴==E 为线段CD 的中点，11124EC CD BD ∴=== 3EB ∴=在Rt EFB △中EF ==∴EP 12+AP 的最小值=如图，过点B 作BM AD ⊥于M ，过点P 作PN AB ⊥于N ，则12PN AP = 则12BP PN BP AP BN +=+≥当,,B P N 三点共线时，12BP AP +取得最小值，即2BP AP +取得最小值即此时,N M 重合，12BP AP +BM =ABD 是等边三角形，BM AD ⊥ 60ABD ∴∠=︒1302DBM ABD ∴∠=∠=︒ 在Rt BDM 中，4BD =，122DM BD ==BM ∴=即12BP AP +最小值为2BP AP ∴+的最小值为【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，线段和的最小值，转化12AP 是解题的关键．三、解答题1、尝试探究：证明见解析；定理应用：证明见解析【分析】尝试探究：根据全等三角形性质，得BAC AED ∠=∠，结合题意，根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得90BAE ∠=︒；结合梯形、三角形面积计算公式，通过计算即可证明222+=a b c ；定理应用：根据提取公因式、平方差公式的性质分析，即可完成222244a c a b c b +=-证明．【详解】尝试探究：∵BCA ADE △△≌，∴BAC AED ∠=∠．∵90D ∠=︒∴90DAE AED ∠+∠=︒．∴90DAE BAC ∠+∠=︒．∵180BAC AED BAE ∠+∠+∠=︒．∴90BAE ∠=︒． ∵直角梯形的面积可以表示为()212a b +，也可以表示为211222ab c ⨯+， ∴()221112222a b ab c +=⨯+，整理，得222+=a b c ．定理应用：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，∴222+=a b c ；∵2222a c a b +()222a c b =+．44c b -()()()2222222c b c b a c b =+-=+∴222244a c a b c b +=-．【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形、全等三角形、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形两锐角互余、平方差公式的性质，从而完成求解．2、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）根据勾股定理AB ，以AB 为底等腰直角三角形，两直角边为x , 根据勾股定理求出x =找横1竖2个格，或横2竖1个格画线即可；（2）以AB 为腰的等腰△ABD ，AB =AD ,以点A 为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格画线；如图△ABD ； AB =BD ,以点B 为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格画线；如图△ABD ．（3）以AB 为腰的等腰△ABD ，AB =BE ,以点B 为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；如图△ABE ．AB =AE ,以点A 为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；所画的△ABE 与图②中所画的△ABD 不同即可．【详解】解：（1）∵根据勾股定理ABAB 为底等腰直角三角形，两直角边为x , 根据勾股定理222x x +=，解得x =横1竖2，或横2竖1个画线；如图△ABC ；ABD，AB=AD,以点A为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格画（2）以AB线；如图△ABD；AB=BD,以点B为起点找横1竖3个格画线，或横3竖1个格；如图△ABD；ABD，AB=BE,以点B为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；（3）以AB如图△ABE．AB=AE,以点A为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；所画的△ABE与图②中所画的△ABD不全等．【点睛】本题考查网格作图，掌握网格作图方法与勾股定理，利用勾股定理确定腰长构造直角三角形是解题关键．3、5【分析】由DE是线段AB的垂直平分线，得到AE=BE，设AE=BE=x，则CE=AC-AE=8-x，在△BCE中利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接BE∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AE =BE ，设AE =BE =x ，则CE =AC -AE =8-x ，∵∠C =90°，∴222BE BC CE =+，∴()22248x x =+-，解得5x =，∴AE =5．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．4、（11（2）见解析（3）见解析【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质与勾股定理求出AB ，故可求出CD ；（2）设AD 、BC 交于O 点，证明△ABD ≌△CBE ，再利用三角形的内角和得到∠CFO =∠ABO =90°，故可求解；（3）延长GE至H，令HE=GE，证明△AHF≌△CGF，得到∠H=∠G，AH=CG，再由△ABD≌△CBE得到AD=CE，故可得到AD=CG=AH，则∠FDA=∠H=∠CGF，即可求解．【详解】解：（1）∵△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形∴BD=BE=1∵∠ABC= 90°BC∴AB∴CD=BC-BD1；（2）设AD、BC交于O点∵△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE= 90°，∴AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE= 90°∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD∴∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△CBE（SAS）∴∠OAB=∠OCF∵∠AOB=∠COF∴∠CFO=∠ABO=90°∴AD⊥CE；（3）如图，延长GE至H，令HE=GE ∵F点是AC中点∴AF=CE又∵∠HFA=∠GFC∴△AHF≌△CGF∴∠H=∠G，AH=CG由（2）同理可得△ABD≌△CBE∴AD=CE∵CE=CG∴AD=CG=AH∴∠FDA=∠H=∠CGF．即∠FDA=∠CGF．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理，根据图形的特点作辅助线求解．5、（1）∠B＝90°；（2）P、Q两点之间的距离为13cm【分析】（1）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）依据运动时间和运动速度，即可得到BP和BQ的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到PQ的长．【详解】解：（1）∵AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，∴AB2+BC2＝625＝AC2，∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；（2）运动2s时，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），Rt△BPQ中，13cmPQ===，∴P、Q两点之间的距离为13cm．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解题的关键在于能够根据题意求出∠B＝90°．。

(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试(含答案解析)(3)

一、选择题1．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（） A ．20B ．40C ．80D ．1002．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（） A ．2mB ．2.5cmC ．2.25mD ．3m3．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A ．1 条B ．2条C ．3条D ．4条4．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 是BC 上一点，AD ＝BD ，若AB ＝8，BD ＝5，则CD ＝（）A ．2.1B ．1.4C ．3.2D ．2.45．下列各组数据中，是勾股数的是（）A ．3，4，5B ．1，2，3C ．8，9，10D ．5，6，96．下列以a ，b ，c 为边的三角形，不是直角三角形的是（）A ．1,1,2a b c ===B ．1,3,2a b c ===C ．3,4,5a b c ===D ．2,2,3a b c ===7．如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定 8．一个直角三角形的两条边分别是9和40，则第三边的平方是（） A ．1681B ．1781C ．1519或1681D ．15199．如图，在矩形OABC 中，点B 的坐标是(2,5)，则,A C 两点间的距离是（）A ．26B ．33C ．29D ．5 10．已知Rt ABC 的两直角边分别是6cm ，8cm ，则Rt ABC 的斜边上的高是（）A ．4.8cmB ．2.4cmC ．48cmD ．10cm 11．下列各组数是勾股数的是（）A ．4，5，6B ．5，7，9C ．6，8，10D ．10，11，1212．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则小正方形的面积为（）．A ．21cmB ．22cmC ．42cmD ．23cm二、填空题13．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8．现将ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ．则CECB的值是__________．14．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若图2中阴影部分的面积是5，则两个较小正方形重叠部分的面积为____.15．一个直角三角形，一边长5cm ，另一边长4cm ，则该直角三角形面积为____ 16．在平面直角坐标系中，若点M （2，4）与点N （x ，4）之间的距离是3，则x 的值是_____．17．如图，ABC 中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，17AB cm =，10AD cm =，8AC cm =，则BD 的长为________.18．若一个直角三角形的两条直角边长分别是4和6，则斜边长为__________． 19．如图，它是四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短的直角边长为a ，较长的直角边为b ，那么+a b 的值为__________．20．如图，Rt ABC 中，9,6,90AB BC B ==∠=︒，将ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为,MN 则线段BN 的长为________．三、解答题21．已知ABC ∆中，ACB ∠=90°，如图，作三个等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB ∆，AB ，AC ，BC 为斜边，阴影部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ．（1）当AC =6，BC =8时， ①求1S 的值；②求4S -2S -3S 的值；（2）请写出1S ，2S ，3S ，4S 之间的数量关系，并说明理由．22．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝AC ＝6，D 是AB 边上任意一点，连接CD ，以CD 为直角边向右作等腰直角△CDE ，其中∠DCE ＝90°，CD ＝CE ，连接BE ．（1）求证：AD ＝BE ；（2）当△CDE 的周长最小时，求CD 的值；（3）求证：2222AD DB CE +=．23．已知：在ABC ∆中，点E 在直线AC 上，点,,B D E 在同一条直线上，且BA BD =，.BAE D ∠=∠（问题初探）（1）如图1，若BE 平分ABC ∠，求证：180AEB BCE ∠+∠=︒．请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．（变式再探）（2）如图2，若BE 平分ABC ∆的外角ABF ∠，交CA 的延长线于点E ，问：AEB ∠和BCE ∠的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．（拓展运用）（3）如图3，在()2的条件下．若,1AB BC CD ⊥=，求EC 的长度．24．阅读材料，并解决问题．有趣的勾股数定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．一般地，若三角形三边长a ，b ，c 都是正整数，且满足222=a b c +，那么数组()a b c ，，称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数()3，4,5以外，还提到()5，12,13，()7，24,25，()8，15,17，()20，21,29等勾股数．数学小组的同学研究勾股数时发现：设m ，n 是两个正整数，且m n >，三角形三边长a ，b ，c 都是正整数．下表中的a ，b ，c 可以组成一些有规律的勾股数()a b c ，，．mnabc2 1345 3 2 5 12 13 4 1 15 8 17 4 3 7 24 25 5 2 21 20 29 5 4 9 40 416 1 35 12 37 651160617 2 45 28 53 7 4 33 56 65 76138485通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数()a b c ，，可以写成()2222mn b m n -+，，．解答下列问题：（1）表中b 可以用m ，n 的代数式表示为_____________．（2）若4m =，2n =，则勾股数()a b c ，，为______________．（3）小明通过研究表中数据发现：若1c b -=，则勾股数的形式可表述为()211k b b ++，，（k 为正整数），请你通过计算求此时的b ．(用含k 的代数式表示b )25．如图所示，在一棵树的1?0?米高的 B?处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20?米的 A?处．另一只猴子爬到树顶 D?处后顺绳子滑到 A?处，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高．26．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，∠C ＝60°，BC ＝CD ＝6，现将梯形折叠，点B 恰与点D 重合，折痕交AB 边于点E ，则CE ＝_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．【详解】解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，即斜边的平方为，800÷2=400，∴斜边长=400=20，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键．2．A解析：A【分析】设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】解：在直角△ABC中，AC＝1.5m．AB﹣BC＝0.5m．设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2，∴1.52+x2＝（x+0.5）2，解得：x＝2．故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键．3．B解析：B【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，即可得出结果．【详解】∵223213+=d=2，+=，22+=223451417∴长度是无理数的线段有2条，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理、无理数，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．4．B解析：B【分析】设CD=x ，在Rt △ACD 和Rt △ABC 中，利用勾股定理列式表示出AC 2，然后解方程即可．【详解】解：设CD=x ，则BC=5+x ，在Rt △ACD 中，AC 2=AD 2-CD 2=25-x 2，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2-BC 2=64-（5+x ）2，所以，25-x 2=64-（5+x ）2，解得x=1.4，即CD=1.4．故答案为：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟记定理并在两个三角形列出等式表示出AC 2，然后列出方程是解题的关键．5．A解析：A 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A 、222345+=，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； B 、222123+≠，不能构成三角形，故不是勾股数； C 、2220981，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D 、222569+≠，不能构成直角三角形，故不是勾股数．故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，熟悉相关性质是解题的关键．6．D解析：D 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项分别进行判定，则可得出结论．【详解】解：A 、因为12＋12）2，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；B 、因为122＝22，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；C 、因为32＋42＝52，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；D 、因为22＋22≠32，所以此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．7．C解析：C 【分析】由,AD BC ⊥结合勾股定理可得：2222,AC AB DC BD -=-2222MC MB DC BD -=-，再把已知线段的长度代入计算即可得到答案．【详解】解：,AD BC ⊥222222,,AB AD BD AC AD DC ∴=+=+22222222,AC AB AD DC AD BD DC BD ∴-=+--=-1713AC AB ==，，22221713304120DC BD ∴-=-=⨯=，,AD BC ⊥222222,,MC MD DC BM BD DM ∴=+=+22222222120.MC MB MD DC DM BD DC BD ∴-=+--=-=故选：.C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解决问题是解题的关键．8．C解析：C 【分析】由题意可分当第三边为直角边时和当第三边为斜边时，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：当第三边是直角边时，第三边的平方是402﹣92＝1519；当第三边是斜边时，第三边的平方是402+92＝1681；故选：C ．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．9．C解析：C 【分析】根据矩形的性质可得OB ＝AC ，根据勾股定理即可求出答案．【详解】在矩形OABC 中， OB ＝AC ，∵B （2，5），∴OB ==AC OB ==故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理．10．A解析：A 【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高，即可．【详解】∵Rt ABC 的两直角边分别是6cm ，8cm ，∴斜边cm ， ∴斜边上的高=68=4.810⨯cm ，故选A 【点睛】本题主要考查求直角三角形斜边上的高，掌握勾股定理以及“面积法”是解题的关键．11．C解析：C 【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数a 、b 、c 叫做勾股数，逐一进行判断即可．【详解】解：A. 222456+≠，故此选项错误； B. 222579+≠，故此选项错误； C. 2226810+=，故此选项正确； D. 222101112+≠，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股数的概念，熟记勾股数的概念是解题的关键．12．C解析：C 【分析】结合题意，得小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长；结合直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm，即可得到小正方形的边长及其面积．【详解】结合题意，可知：小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长∵直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm∴小正方形的边长=5cm-3cm=2cm∴小正方形的面积=222=4cm故选：C．【点睛】本题考查了正方形、直角三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形的性质，从而完成求解．二、填空题13．【分析】先设CE=x再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8-x再根据勾股定理求出x的值进而可得出的值【详解】解：设CE=x则AE=8-x∵△BDE是△ADE翻折而成∴AE=BE=8-x在Rt△B解析：7 24【分析】先设CE=x，再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8-x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出CECB的值．【详解】解：设CE=x，则AE=8-x，∵△BDE是△ADE翻折而成，∴AE=BE=8-x，在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2，解得x=74，∴CECB =746=724，故答案为：7 24．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”的知识是解答此题的关键．14．5【分析】根据勾股定理可知大正方形面积等于两个小正方形面积和再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积【详解】解：由图可知阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积根据勾股定解析：5【分析】根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积．【详解】解：由图可知，阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积，根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，所以阴影部分面积=重叠部分面积，故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是树立数形结合思想，知道大正方形面积等于两个小正方形面积和，通过面积和差得出阴影部分面积等于重叠部分面积．15．10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可【详解】解：当5为直角边时4也为直角边则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5为斜边时由勾股定理得另一直角边为=3则该直角三角形解析：10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可．【详解】解：当5为直角边时，4也为直角边，则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5，则该直角三角形的面积为3×4÷2=6，综上，该直角三角形的面积为10或6，故答案为：10或6．【点睛】本题考查直角三角形的面积、勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解答的关键．16．﹣1或5【分析】根据点M（24）与点N（x4）之间的距离是3可以得到|2-x|=3从而可以求得x的值【详解】解：∵点M（24）与点N（x4）之间的距离是3∴|2﹣x|＝3解得x＝﹣1或x＝5故答案为解析：﹣1或5【分析】根据点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，可以得到|2-x|=3，从而可以求得x的值．【详解】解：∵点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，∴|2﹣x |＝3，解得，x ＝﹣1或x ＝5，故答案为﹣1或5．【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17．9cm 【分析】由可知为直角三角形利用勾股定理可分别计算求得BC 和CD 从而完成BD 求解【详解】∵∴同理∴故答案为：【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长解析：9cm【分析】由90C ∠=︒可知ABC 为直角三角形，利用勾股定理，可分别计算求得BC 和CD ，从而完成BD 求解．【详解】∵90C ∠=︒∴15BC ==同理6CD ===∴1569BD BC CD =-=-=故答案为：9cm ．【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长．18．【分析】直接根据勾股定理求解可得【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6∴斜边长为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理在任何一个直角三角形中两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方即如果直解析：【分析】直接根据勾股定理求解可得．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6，∴故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2． 19．5【分析】根据题意结合图形求出ab 与a2+b2的值原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值【详解】解：根据题意得：c2=a2+b2=134×ab=13-1=12即2ab=12则（a+b ）2=a2解析：5【分析】根据题意，结合图形求出ab 与a 2+b 2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：c 2=a 2+b 2=13，4×12ab=13-1=12，即2ab=12，则（a+b ）2=a 2+2ab+b 2=13+12=25，则a+b=5故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20．4【分析】根据题意设BN=x 由折叠DN=AN=9-x 在利用勾股定理列方程解出x 就求出BN 的长【详解】∵D 是CB 中点BC=6∴BD=3设BN=xAN=9-x 由折叠DN=AN=9-x 在中解得x=4∴BN解析：4【分析】根据题意，设BN=x ，由折叠DN=AN=9-x ，在Rt BDN 利用勾股定理列方程解出x ，就求出BN 的长．【详解】∵D 是CB 中点，BC=6∴BD=3设BN=x ，AN=9-x ，由折叠，DN=AN=9-x ，在Rt BDN 中，222BN BD DN +=，()22239x x +=-，解得x=4∴BN=4．故答案是：4．【点睛】本题考查折叠的性质和勾股定理，关键是利用方程思想设边长，然后用勾股定理列方程解未知数，求边长．三、解答题21．（1）① 9；② 9；（2）4123S S S S =++，见解析【分析】（1）①在等腰直角三角形ACD ∆中，根据勾股定理AD =CD = ②设5BEG S S ∆=，则()45235423++BEA BFC S S S S S S S S S S ∆∆-=+-=--，利用勾股定理得出52AE BE ==，42CF BF ==即可求解；（2）设5BEG S S ∆=，假设一个等腰直角三角形的斜边为a ，则面积为214a ，利用勾股定理得出222AC BC AB +=，则222111444AC BC AB +=，即ABE ADC BFC S S S =+△△△，依此即可求解．【详解】解：（1）①ACD ∆是等腰直角三角形，AC =6，∴AD =CD =32，11323292S ∴=⨯⨯=； ②ACB ∠=90°，AC =6，BC =8，∴AB =10，EAB ∆和FCB ∆是等腰直角三角形，∴52AE BE ==，42CF BF ==，设5BEG S S ∆=()4523542311++52524242922BEA BFC S S S S S S S S S S ∆∆-=+-=--=⨯⨯-⨯⨯=；（2）设5BEG S S ∆=，如图，等腰直角三角形的面积公式12ABC S AB CD =⋅=214a ，∵等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB ∆，∴222111,,444ADC BFC ABE S AC S BC S AB ===△△△， ∵222AC BC AB +=，∴222111444AC BC AB +=，即ABE ADC BFC S S S =+△△△， ∴451253S S S S S S +=+++，∴4123S S S S =++．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，有一定难度，解题关键是将勾股定理和直角三角形的面积公式进行灵活的结合和应用．22．（1）见解析；（2）32；（3）见解析【分析】（1）先判断出∠ACD=∠BCE ，得出△ADC ≌△CBE （SAS ），即可得出结论；（2）先判断出DE=2CD ，进而得出△CDE 的周长为（2+2）CD ，进而判断出当CD ⊥AB 时，CD 最短，即可得出结论；（3）先判断出∠A=∠ABC=45°，进而判断出∠DBE=90°，再用勾股定理得出BE 2+DB 2=DE 2，即可得出结论．【详解】证明：（1）∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2．∵BC ＝AC ，CD ＝CE ，∴△CAD ≌△CBE ，∴AD ＝BE ．（2）∵∠DCE =90°，CD =CE ． ∴由勾股定理可得CE 2DC ．∴△CDE 周长等于CD +CE +DE =22CD CD =(22)CD +．∴当CD 最小时△CDE 周长最小．由垂线段最短得，当CD ⊥AB 时，△CDE 的周长最小．∵BC ＝AC ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝2．此时AD ＝CD ＝11623222BD AB ==⨯ ∴当CD 32=时，△CDE 的周长最小．（3）由（1）易知AD ＝BE ，∠A ＝∠CBA ＝∠CBE ＝45°，∴∠DBE ＝∠CBE ＋∠CBA ＝90°．在Rt △DBE 中：222BE BD DE +=．222AD BD DE ∴+=在Rt △CDE 中：222CD CE DE +=．222CE CE DE ∴+=∴2222AD BD CE +=．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出CD ⊥AB 时，CD 最短是解本题的关键．23．（1）见解析（2）BEC BCE ∠=∠；理由见解析（3）12+【分析】（1）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得BEC BCE ∠=∠，进一步可得结论；（2）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得ABE BCE ∠=∠；（3）连结AD ，分别求出∠AEB=∠ADE=∠ACB=22．5°,再证明AE=CD ，∠ADC=90°，由勾股定理可得AC ，由EC=EA+AC 可得结论．【详解】解：（1）证明BE 平分ABC ∠，,ABE DBC ∴∠=∠在ABE ∆和DBC ∆中，BAE D BA BDABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，,BE BC ∴=,BEC BCE ∴∠=∠180AEB BCE AEB BEC ∴∠+∠=∠+∠=︒；()2BEC BCE =∠∠．理由：BE 平分ABF ∠，,ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠在ABE ∆和DBC ∆中，BAE D BA BDABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，,BE BC ∴=BEC BCE ∴∠=∠．()3连结AD ，AB BC ⊥，45ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠=︒，ABE DBC ∆≅∆，,BAE BDC ∴∠=∠且E E ∠=∠，45,ABE ACD ∴∠=∠=︒由()2得BE BC =，22.5BCD BCE BEC ∴∠=∠=∠=︒，,AB BD =22.5,BAD BDA ∴∠=∠=︒,BEC BDA ∴∠=∠,45,AE AD DAC ACD ∴=∠=︒=∠1,CD =221,112AD AE AC ∴===+=12EC ∴=+【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD 是解答此题的关键．24．（1）2b mn =；（2）(12,16,20)；（3）222b k k =+【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；（2）把4m =，2n =代入()22222m n mn m n -+，，即可求解；（3）根据勾股定理求解即可；【详解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，∴2b mn =，故答案为：2b mn =；（2）当4m =，2n =时，a=m 2-n 2=42-22=12，2b mn ==2×4×2=16，c=m 2+n 2=42+22=20，∴勾股数()a b c ，，为(12,16,20)，故答案为：(12,16,20)；（3）根据题意，得222(21)(1)k b b ++=+，∴22244121k k b b b +++=++，解得222b k k =+．【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．25．这棵树的高为15?米【分析】设树高为x 米，则可用x 分别表示出CD ，利用勾股定理可得到关于x 的方程，可求得x 的值．【详解】解：设树高为x 米，由题意得，BC 10=米，CD x =米，()BD 10x =-米，AC 20=米，在Rt ADC 中， AD ==∵两只猴子所经过的距离相等，BC CA BD DA +=+，即102010x +=-15x =，即树高15米．答：这棵树的高为15米．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，用树的高度表示出CD ，利用勾股定理得到方程是解题的关键．26．【分析】连接DE ，BD ，由题意可证△BCD 是等边三角形，可得BD ＝BC ＝6，∠DBC ＝60°，由直角三角形的性质可求AD ＝3，AB ＝BE ＝，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，连接DE ，BD ，∵∠BCD＝60°，BC＝CD＝6，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝6，∠DBC＝60°，∵∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAB＝90°，∠ABD＝30°，∠ADB＝∠DBC＝60°，∴AD＝1BD＝3，AB3＝32∵折痕交AB边于点E，∴BE＝DE，∵∠DBE＝∠BDE＝30°，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴BE＝2AE，∵AE+BE＝AB＝3∴BE＝3∴EC22+3，BC BE+＝3612故答案为：3【点睛】本题考查了折叠和勾股定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质和勾股定理．。

基础强化北师大版八年级数学上册第一章勾股定理专题训练试卷(含答案解析)

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A ．5B ．6C ．7D ．82、我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA 的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即'10P C =尺，秋千踏板离地的距离P B '和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x 尺，根据题意可列方程为（）A ．()2221510x x --+=B ．()222510x x -+=C ．()2221510x x +-+= D ．()222110x x ++=3、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将AC 沿AD 折叠，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，则CD 长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm4、观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a ，b ，a b >，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（）A ．2()a a b a ab -=-B ．22()()a b a b a b +-=-C ．222( )2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b +=++5、两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖8cm ，另一只朝正东方向挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A ．50cmB ．120cmC ．140cmD ．100cm6、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A ．13米B ．12米C ．5米 D7、如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两直角边分别是a 、b ，且2()15a b +=，大正方形的面积是9，则小正方形的面积是（）A ．3B ．4C ．5D ．68、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A ．6B ．8C ．9D ．159、如图所示，圆柱的高AB =3，底面直径BC =3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（）A ．B ．CD ．10、如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A ，B 在格点上．若再选择一个格点C ，使△ABC 是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C 的个数是（）A．2 B．4 C．5 D．6第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）OA OB，那么数轴上点A所表示的数是________．1、如图，已知=2、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高 1 丈（1 丈=10 尺），折断后顶端落在离竹子底端 3 尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为x 尺，根据题意，可列出关于x 方程为:__________.3、学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．4、我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为__________．5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB=10，BC=8，则△ACE的面积为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD=1米，AD=15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．2、在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．3、如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．4、如图，某商家想在商场大楼上悬挂一块广告牌，广告牌高2m AB =．根据商场规定广告牌最高点不得高于地面20m ，经测量，测角仪支架高1m GH CE DF ===，在F 处测得广告牌底部点B 的仰角为30°，在E 处测得标语牌顶部点A 的仰角为45°，12m EF =，请计算说明，商家这样放广告牌是否符合规定？（图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 在同一平面内）5、在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A 、B ．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O （如图）沿北偏东40°的方向向目标A 前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O 出发，以12海里/时的速度向着目标B 出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A 、B ．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】直接根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，，故选A．【考点】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2、C【解析】【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论．【详解】解：由题意知：OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，在Rt△OCP'中，由勾股定理得：[x-（5-1）]2+102=x2．即()222+-+=．1510x x故选：C．【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意是解题的关键．3、A【解析】【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．【详解】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，∴AB10=（cm），由折叠的性质得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝10cm−6cm＝4cm，∠BED＝90°，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝8−x，在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，即42＋x2＝（8−x）2，解得：x＝3，∴CD＝3cm，故选：A．【考点】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．4、C【解析】【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案．【详解】标记如下：∵4Rt ABN PQMN ABCD S S S 正方形正方形＝﹣，∴（a ﹣b ）2＝a 2+b 2﹣412ab ⨯＝a 2﹣2ab +b 2．故选：C ．【考点】此题考查的是利用勾股定理的证明，可以完全平方公式进行证明，掌握面积差得算式是解决此题关键．5、D【解析】【分析】画出图形，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，81080OA =⨯=cm ，61060OB =⨯=cm ，∴在Rt AOB ∆中，100AB ===cm ，故选：D【考点】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，画出图形是解题的关键．6、A【解析】【分析】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可. 【详解】如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E,∵AB=13，CD=8，又∵BE=CD，DE=BC，∴AE=AB−BE=AB−CD=13−8=5,∴在Rt △ADE 中，DE=BC=12,∴22222512169,AD AE DE =+=+=∴AD=13（负值舍去）,故小鸟飞行的最短路程为13m,故选A.【考点】考查勾股定理，画出示意图，数形结合是解题的关键.7、A【解析】【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积−4个直角三角形的面积，利用已知(a +b )2=15，大正方形的面积为9，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【详解】解：∵(a +b )2=15，∴a 2+2ab +b 2=15，∵大正方形的面积为：a 2+b 2=9，∴2ab =15−9=6，即ab =3， ∴直角三角形的面积为：1322ab =， ∴小正方形的面积为：394=32-⨯，故选：A ．【考点】此题主要考查了完全平方公式及勾股定理的应用，熟练应用完全平方公式及勾股定理是解题关键．8、D【解析】【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：如图，将台阶展开，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选：D．【考点】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．9、C【解析】【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C之间的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=32π，∴AC故选C．【考点】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．10、D【解析】【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图符合条件的格点C的个数是6个故选：D．【考点】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．二、填空题1、【解析】【分析】首先根据勾股定理得：OB OA A在数轴的负半轴上，则点A对应的数是【详解】解：由图可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足为C，取BC=1，故OB OA=∵A在x的负半轴上，∴数轴上点A所表示的数是故答案为：【考点】此题主要考查了实数与数轴，勾股富士蝗应用，熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号．2、()222103x x -=+【解析】【分析】设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：()222103x x -=+ 故答案为：()222103x x -=+【考点】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．3、7.5；【解析】【分析】旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【详解】解：如图，设旗杆的长度为x m，则绳子的长度为：（x+1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，解得：x=7.5，∴旗杆的高度为7.5m，故答案为7.5．【考点】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．4、x2−（x−3）2＝82【解析】【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【详解】解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2−（x−3）2＝82，故答案为：x2−（x−3）2＝82．【考点】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．5、72 5【解析】【分析】求出AC=6，面积法求出CD=245，在Rt△BCD中，用勾股定理得BD=325，即可得B'D=B'C-CD=165，设BE=B'E=x，则DE=BD-BE=325-x，在Rt△B'DE中，用勾股定理可得BE=4，即可得到答案．【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8，∴AC，∵CD⊥AB，∴2S△ABC=AB•CD=AC•BC，∴CD=AC BCAB=245，在Rt△BCD中，BD325==，∵将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，∴B'C=BC=8，BE=B'E，∴B'D=B'C-CD=8-245=165，设BE=B'E=x，则DE=BD-BE=325-x，在Rt△B'DE中，B'D2+DE2=B'E2，∴（165）2+（325-x）2=x2，解得x=4，∴BE=4，∴AE=AB-BE=6，∴△ACE的面积为12AE•CD=12×6×245=725，故答案为：725．【考点】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理．三、解答题1、小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．【解析】【分析】延长FC交AB于点G，设BG=x米，在Rt△BGC中利用勾股定理可求x，进而可得AB的正确长度【详解】解：如图，延长FC交AB于点G则CG⊥AB，AG=CD=1米，GC=AD=15米设BG=x米，则BC=(26－1－x)米在Rt△BGC中，∵222BG CG CB +=∴22215(261)x x +=--解得8x =∴ BA =BG ＋GA =8+1=9（米）∴ 小敏的猜想错误，立柱AB 段的正确长度长为9米．【考点】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形2、（1）是，理由见解析；（2）2.5米．【解析】【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB 是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设AC ＝AB ＝x ，则AH ＝x －1.8，在Rt△ACH 中，根据勾股定理列方程求得x 即可．【详解】（1）∵2221.8 2.43+=，即222+=BH CH BC ，∴Rt△CHB 是直角三角形，即CH⊥BH，∴CH 是从村庄C 到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）设AC ＝AB ＝x ，则AH ＝x －1.8，∵在Rt△ACH，∴222CH AH AC +=，即 2222.4 1.8)x x -=+(，解得x ＝2.5，∴原来的路线AC 的长为2.5米．【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键．3、8.5尺【解析】【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可．【详解】解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，根据勾股定理可得：x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1，解得：x＝7.5，∴门高7.5尺，竹竿高＝7.5+1＝8.5（尺）．故答案为8.5尺．【考点】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解题关键．4、9，不符合规定【解析】【分析】根据勾股定理即可求解．【详解】=解：设GC x=∠=︒且GC x45ACGAG GC x∴==CD EF==12∴==+GD HF x12BDG∠=︒30()∴=⋅︒=+=tan3012BG GD x=+AG BG AB∴+=x x2解得：9x==++=≈＞921.1220AH AB BG GH∴商家这样放广告牌不符合规定．【考点】本题考查了勾股定理、一元一方程等内容，解决问题的关键在于理解题意，找到等量关系，列出方程．5、第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【解析】【分析】根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，即可得出答案．【详解】解：根据题意得：OA＝16海里/时×1.5小时＝24海里；OB＝12海里/时×1.5小时＝18海里，∵OB2＋OA2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900，∴OB2＋OA2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∵艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，∴∠BOD＝50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【考点】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：如果三角形两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．。

人教版初中数学八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2等于（）A ．29B ．32C ．36D ．452．如图，在等腰ABC ∆中，,AB AC =点E 为AC 的中点，且CD CE =．若60,4A EF cm ∠=︒=，则DF 的长为（）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cm 3．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长．则AC 的长为（）A ．4.2尺B ．4.3尺C ．4.4尺D ．4.5尺 4．如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定 5．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为123S S S ､､；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为456S S S ､､．其中125616,45,11,14S S S S ====，则34S S +=（）A ．86B ．64C ．54D ．486．有一圆柱高为12cm ，底面半径为5πcm ，在圆柱下底面点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B 处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（）A ．12cmB ．13cmC ．10cmD ．16cm 7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，下列结论：①AD 是BAC ∠的平分线；②∠ADB=120°；③DB=2CD ；④若CD=4，83AB =△DAB 的面积为20．其中正确的结论共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（）A ．3B ．5C ．31+或31-D ．51+或51- 9．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（）A ．34h <<B ．34h ≤≤C ．24h ≤≤D ．4h = 10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在边BC 上，AD =BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．若AC =12，BC =16，则AE 的长为（）A ．6B ．8C ．10D ．12 11．若实数m 、n 满足340m n --=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（）．A ．5B 7C ．57D ．以上都不对 12．下列条件能使ABC （a ，b ，c 为ABC 的三边长）为直角三角形的是（）A ．a b c +=B ．::4:5:3a b c =C ．2A B C ∠+∠=∠D ．::5:12:13A B C ∠∠∠= 二、填空题13．如图，ABC 中，AB 5=，BC 6=，BC 边上的中线AD 4=，则ADC ∠=________．14．如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4，MA=1，MB ＞1．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成ABC ．设AB=x ，若ABC 为直角三角形，则x=__．15．如图所示，在ABC 中，90C DE ∠=︒,垂直平分AB ，交BC 于点E ，垂足为点D ，8,15BE B =∠=︒，则EC 的长为________________________．16．已知一个直角三角形的两边长分别是a ，b ，且a ，b 满足340a b -+-=．则斜边长是____________17．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，27AB =，10BC =，8CD =，90BAD ∠=︒，那么四边形ABCD 的面积是___________．18．如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C ，而另一只爬到树顶D 后直扑池塘C ，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是______________ ．19．如图，∠AOD =90°，OA =OB =BC =CD ，若AC =3，则AD =_______．20．如图AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，则图形ABCD的面积=______________．三、解答题21．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．22．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？23．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°（1）若D为△ACB内部一点，如图，AE＝BD吗？说明理由（2）若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长24．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形ABC；（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形DEFG；H；（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段1的格点直角三角形JKL．（4）在图4中画出一个周长为321025．如图，△ABC中，AB＝42，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．26．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE=DC，BE=AC，点F为BC 的中点，连结EF并延长至点M，使FM=EF，连结CM．（1）求证：△BDE≌△ADC；（2）求证：AC⊥MC；（3）若AC=m，则点A、点M之间的距离为（用含m的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．2．A解析：A【分析】由已知可得DF⊥AB，∠D=∠AEF=30°,所以根据含30°角的直角三角形性质可以算得DF的值．【详解】解：∵AB=AC,∠A=60°，∴ΔABC 为等边三角形，∴∠ACB=60°,∵CD=CE ，∴∠CED=∠D=12∠ACB=30°， ∴∠AEF=30°， ∴∠AFE=180°-∠A-∠AEF=90°，∵EF=4cm ，∴设AF=x ，则AE=2x ，∴由勾股定理得：22244x x +=，∴∴AF AE == ∴2BF AB AF AE AF =-=-=∵∠D=30°， ∴2BD BF ==， ∴22223DF BD BF BF =-=，∴DF=16412BF ==-=，故选A ．【点睛】本题考查等边三角形与直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形与直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用是解题关键． 3．A解析：A【分析】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺，利用勾股定理解答．【详解】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺， ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB +=，∴2224(10)x x +=-，解得：x=4.2，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 4．C解析：C【分析】由,AD BC ⊥结合勾股定理可得：2222,AC AB DC BD -=-2222MC MB DC BD -=-，再把已知线段的长度代入计算即可得到答案．【详解】解：,AD BC ⊥222222,,AB AD BD AC AD DC ∴=+=+22222222,AC AB AD DC AD BD DC BD ∴-=+--=-1713AC AB ==，，22221713304120DC BD ∴-=-=⨯=，,AD BC ⊥222222,,MC MD DC BM BD DM ∴=+=+22222222120.MC MB MD DC DM BD DC BD ∴-=+--=-=故选：.C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解决问题是解题的关键．5．C解析：C【分析】分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．【详解】解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ，∴，∴S 2=122x x ⨯⨯=24AB ，同理：S 12AC ，S 32BC ， ∵BC 2=AB 2-AC 2，∴S 3=S 2-S 1，如图2，S 4=21122AB π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=28AB π，同理S 5=28AC π，S 6=28BC π，则S 4=S 5+S 6， ∴S 3+S 4=45-16+11+14=54．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．6．B解析：B【分析】要想求得最短路程，首先要把A 和B 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即52ππ=5cm ，矩形的宽是圆柱的高12cm ．根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线AB 的长，即222251213AC BC +=+=cm 故选：B ．【点睛】此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算． 7．C解析：C【分析】连接PN 、PM ．根据题意易证明APM APN ≅，即可证明①正确；根据三角形外角的性质即可求出=120ADB ∠︒，故②正确；由30BAD B ∠=∠=︒，可说明AD=BD ，再由AD=2CD ，即可证明BD=2CD ，故③正确；由④所给条件可求出AC 和DB 的长，即可求出=163DAB S ，故④错误．【详解】如图，连接PN 、PM ．由题意可知AM=AN ，PM=PN ，AP=AP ，903060BAC ∠=︒-︒=︒．∴APM APN ≅，∴1302CAD BAD BAC ∠=∠=∠=︒，即AD 是BAC ∠的平分线，故①正确； ∵=ADB C CAD ∠∠+∠，∴=9030=120ADB ∠︒+︒︒，故②正确；在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，∴AD=2CD ，又∵30BAD B ∠=∠=︒，∴AD=BD ，∴BD=2CD ．故③正确；在Rt ABC 中，30B ∠=︒， ∴3122BC AB ==， ∴=1248BD BC CD -=-=，又在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，∴343AC CD ==，∴11==843=16322DAB S BD AC ⨯⨯，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定以及勾股定理．熟练掌握各个知识点是解答本题的关键．8．C解析：C【分析】分Q 在CB 延长线上和Q 在BC 延长线上两种情况分类讨论，求出CQ 长，根据线段的和差关系即可求解．解：如图1，当Q 在CB 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=， ∴BQ=CQ-BC=31-；如图2，当Q 在BC 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=，∴BQ=CQ+BC=31+；∴BQ 3131．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．9．B解析：B【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长2234+，高为12cm ，由勾股定理可得：杯里面管长22512+＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），∴34h ≤≤【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．10．C解析：C【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB 的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE 的长度．【详解】解：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理知：20AB ===，∵AD=BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ． ∴1102AE BE AB ===，故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 11．C解析：C【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】∵30m -=，30m -≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=故选：C ．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．12．B解析：B【分析】根据三角形三边关系可分析出A的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B的正误；根据三角形内角和定理可分析出C、D的正误；【详解】解：A、a b c+=，不能组成三角形，不是直角三角形；B、222a c b+=，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、由∠A+∠B=2∠C，可得∠C=60°，∠A+∠B=120°，不一定是直角三角形；D、由∠A：∠B：∠C=5：12：13，可得最大角131807830C∠=︒⨯=︒，不是直角三角形．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理．二、填空题13．【分析】根据中线的性质及勾股定理的逆定理即可求出的度数【详解】∵边上的中线∴∵∴【点睛】本题考查中线的性质勾股定理的逆定理的应用掌握相应的性质定理是解答此题的关键解析：90【分析】根据中线的性质及勾股定理的逆定理即可求出ADC∠的度数．【详解】∵AB5=，BC6=，BC边上的中线4AD=，∴BD3=，∵222345+=，∴ADC ADB90∠∠==．【点睛】本题考查中线的性质勾股定理的逆定理的应用，掌握相应的性质定理是解答此题的关键．14．或【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边即可得到关于x 的不等式组求出x的取值范围再根据勾股定理即可列方程求解【详解】解：∵在△ABC中AC=1AB=xBC=3-x解得1＜x＜2；①∵1＜x解析：43或53【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x的不等式组，求出x的取值范围，再根据勾股定理，即可列方程求解．【详解】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x．1313x x x x +>-⎧∴⎨+->⎩，解得1＜x ＜2；①∵1＜x ，∴AC 不能为斜边，②若AB 为斜边，则x 2=（3-x ）2+1，解得x=53，满足1＜x ＜2， ③若BC 为斜边，则（3-x ）2=1+x 2，解得x=43 ，满足1＜x ＜2，故x 的值为：43或53，故答案为：43或53．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键． 15．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC 根据线段垂直平分线性质求出求出然后求出∠EAC 根据含30°角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：∵在△ABC 中∴∵垂直平分∴∴∴∵∴∴∴在Rt △ECA 中故答解析：【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分线性质求出8BE AE ==，求出15EAB B ∠=∠=︒，然后求出∠EAC ，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵在△ABC 中，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，∴901575BAC ∠=︒-︒=︒，∵DE 垂直平分AB ，8BE =，∴8BE AE ==，∴15EAB B ∠=∠=︒，∴751560EAC ∠=︒-︒=︒，∵90C ∠=︒，∴30AEC ∠=︒， ∴184221AC AE =⋅=⨯=， ∴在Rt △ECA 中，EC ==故答案为：【点睛】本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．16．5或4【分析】根据绝对值和算术平方根具有非负性可得ab 的值然后再利用勾股定理分类求出该直角三角形的斜边长即可【详解】∵满足∴a−3＝0b−4＝0解得：a ＝3b ＝4当ab 为直角边该直角三角形的斜边长为解析：5或4．【分析】根据绝对值和算术平方根具有非负性可得a 、b 的值，然后再利用勾股定理，分类求出该直角三角形的斜边长即可．【详解】∵a ，b 40b -=，∴a−3＝0，b−4＝0，解得：a ＝3，b ＝4，当a ，b 为直角边，5=；4也可能为斜边长．综上所述：直角三角形的斜边长为：5或4．故答案为：5或4．【点睛】此题主要考查了勾股定理和绝对值和算术平方根的非负性，关键是掌握绝对值和算术平方根具有非负性，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．17．+24【分析】连结BD 可求出BD=6再根据勾股定理逆定理得出△BDC 是直角三角形两个三角形面积相加即可【详解】解：连结BD ∵∴∵∴BD=6∵BD2=36CD2=64BC2=100BD2+CD2=BC解析：+24【分析】连结BD ，可求出BD=6，再根据勾股定理逆定理，得出△BDC 是直角三角形，两个三角形面积相加即可．【详解】解：连结BD ，∵90BAD ∠=︒， ∴BD =∵AD =，AB =∴BD=6，∵BD 2=36，CD 2=64，BC 2=100，BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC=90°，S △ABD =122272142⨯⨯=， S △BDC =168242⨯⨯=，四边形ABCD 的面积是= S △ABD + S △BDC =214+24故答案为：214+24．【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．15米【分析】根据题意确定已知线段的长再根据勾股定理列方程进行计算【详解】设BD=米则AD=（）米CD=（）米∵∴解得即树的高度是10+5=15米故答案为：15米【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用解析：15米【分析】根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．【详解】设BD=x 米，则AD=（10x +）米，CD=（30x -）米，∵222CD AD AC -＝，∴()()222301020x x --+＝，解得5x =．即树的高度是10+5=15米．故答案为：15米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．19．【分析】设OA=OB=BC=CD=a 可知AB=AC=AD=由题意知AC=3即可求出AD 的长；【详解】∵OA=OB=BC=CD ∴设OA=OB=BC=CD=a ∵∠AOD=90°∴AC===∴∵AC==3解析：32【分析】设OA=OB=BC=CD=a ，可知2a ，5a ，10a ,由题意知AC=3，即可求出AD 的长；【详解】∵ OA=OB=BC=CD ，∴ 设OA=OB=BC=CD=a ，∵∠AOD=90°，∴ AC=22AO OC + =()222a a + =5a ， ∴2222(3)10AD OD OA a a a =+=+=，∵AC=5a =3，∴ a=35 ∴ AD=3510⨯=32 故答案为：32．【点睛】本意考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键；20．24【分析】连接AC 在中根据勾股定理求得AC 的长度利用勾股定理逆定理可得为直角三角形根据即可求解【详解】解：连接AC 在中∴∵∴∴为直角三角形∴故答案为：24【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理掌握勾股解析：24【分析】连接AC ，在Rt ACD △中根据勾股定理求得AC 的长度，利用勾股定理逆定理可得ABC 为直角三角形，根据ABCD ABC ACD S SS =-即可求解．【详解】解：连接AC ，，在Rt ACD △中，90ADC ∠=︒，4=AD ，3CD =，∴225AC AD CD =+=，∵13AB =，12BC =，∴222AC BC AB +=，∴ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒，∴112422ABCD ABC ACD S S S AC BC AD CD =-=⋅-⋅=，故答案为：24．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）根据完全平方公式的变形解答即可．【详解】解：（1）∵大正方形面积为c 2，直角三角形面积为12ab ，小正方形面积为（b ﹣a ）2， ∴c 2＝4×12ab +（a ﹣b ）2＝2ab +a 2﹣2ab +b 2即c 2＝a 2+b 2；（2）由图可知：（b ﹣a ）2＝3，4×12ab ＝13﹣3＝10， ∴2ab ＝10，∴（a +b ）2＝（b ﹣a ）2+4ab ＝3+2×10＝23．【点睛】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．22．水深12尺，芦苇长13尺【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x -1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，利用勾股定理求出x 的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，如下图，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x -1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，在Rt△ACB'中，52+（x-1）2=x2，解得：x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．23．（1）AE＝BD，见解析；（2）13【分析】（1）由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD；（2）由全等三角形的性质可得BD=AE=12，∠CAE=∠CBD=45°，由勾股定理可求DE的长．【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD在△ACE和△BCD中∵EC＝CD，∠ACE＝∠BCD，AC＝BC，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE＝BD；（2）如图，由（1）可知：△ACE≌△BCD，∴BD＝AE＝12，∠CAE＝∠CBD＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2＋AD2＝ED2，即52＋122＝ED2∴DE＝13；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明△ACE≌△BCD是本题的关键．24．（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解；（213（3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可；（4）根据勾股定理画出长为2，22，10的三角形，即可．【详解】（1）∵2121ABC S=⨯÷=，∴ABC 即为所求；（2）∵EF=FG=GD=DE=222313+=，∴正方形DEFG 的面积为13；（3）HI=22345+=；（4）∵KL=22112+=，JL=222222+=，JK=221310+=，且222(2)(22)(10)+=∴JKL 是直角三角形，且周长为3210+．【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．25．DC ＝2．【分析】过点A 作AE ⊥BC 于点E ，则∠AEB=90°，DE=CE ，结合∠ABC=45°可得出∠BAE=45°，进而可得出AE=BE ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理可求出BE 的长，即BD+12DC=4，结合BD-DC=1可求出DC 的长．【详解】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，如图所示．∵AD ＝AC ，AE ⊥BC ，∴∠AEB ＝90°，DE ＝CE ．∵∠ABC ＝45°，∴∠BAE ＝45°，∴AE ＝BE ．在Rt △ABE 中，AB ＝∴AE 2+BE 2＝AB 2，即BE 2+BE 2＝（）2，∴BE ＝4，∴BD +12DC ＝4．又∵BD ﹣DC ＝1， ∴DC +1+12DC ＝4， ∴DC ＝2．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在Rt △ABE 中，利用勾股定理求出BE 的长是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．【分析】（1）先根据垂直的定义可得BDE 和ADC 都是直角三角形，再利用HL 定理证明三角形全等即可；（2）先根据（1）中的全等三角形可得DBE DAC ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得DBE FCM ∠=∠，从而可得DAC FCM ∠=∠，然后根据角的和差、等量代换即可得证；（3）先根据（2）中的全等三角形可得BE CM =，从而可得CM AC m ==，再在Rt ACM △中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）AD BC ⊥，90BDE ADC ∠∴∠==︒，∴BDE 和ADC 都是直角三角形，在BDE 和ADC 中，DE DC BE AC =⎧⎨=⎩， ()BDE ADC HL ∴≅；（2）BDE ADC ≅，DBE DAC ∠=∠∴，点F 为BC 的中点，BF CF ∴=，由对顶角相等得：BFE CFM ∠=∠，在BEF 和CMF 中，BF CF BFE CFM EF MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEF CMF SAS ∴≅，FBE FCM ∴∠=∠，即DBE FCM ∠=∠，DAC FCM ∠=∠∴，又在Rt ACD △中，90DAC ACD ∠+∠=︒，90FCM ACD ∴∠+∠=︒，即90ACM ∠=︒，AC MC ∴⊥；（3）如图，连接AM ，BEF CMF ≅，BE CM ∴=，,BE AC AC m ==，CM AC m ∴==，AC MC ⊥，ACM ∴是直角三角形，222AM AC CM m ∴+，即点A 、点M 2m ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．。

部编数学八年级下册专题11勾股定理中的蕴含数学思想的典型试卷(解析版)含答案

专题11 勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题（解析版）第一部分典例剖析类型一方程思想（1）单勾股列方程1．（2022秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）思路引领：根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．解：设AB＝x米，则BC＝（x+10）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：m2+702＝（m+10）2，解得m＝240，答：河宽240米．总结提升：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2．（2021春•全南县期中）小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD＝3，求AC的长．思路引领：根据勾股定理求出BC，设AB＝x，根据直角三角形的性质得到AC＝2x，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．解：由题意得，∠ADB＝∠ABC＝90°，∠DCB＝45°，∠ACB＝30°，则DB＝DC＝3，由勾股定理得，BC==设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理得，AC2＝AB2+BC2，即（2x）2＝x2+（2，解得，x=则AC＝2x＝总结提升：本题考查的是直角三角形的性质，勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．3．（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？思路引领：由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC 中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，∵∠AOB＝90°，∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，∴62+（18﹣x）2＝x2，解方程得出x＝10（cm）．答：机器人行走的路程BC是10cm．总结提升：本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．二、双勾股方程4．（2018秋•仪征市期中）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）．（1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝；（2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝　；（3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值．思路引领：（1）求出BC的长即可解决问题；（2）如图4中，求出高BH即可解决问题；（3）如图3中，作CD⊥AB于D，求出CD即可解决问题．解：（1）如图2中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝8，∴h（BC）＝BC﹣AD＝8﹣6＝2．故答案为2．（2）如图4中，作BH⊥AC于H．∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=10，∵12•AC•BH=12•AB•BC，∴BH=24 5，∴h（AC）＝AC＝BH＝10―245=265．故答案为26 5．（3）如图3中，作CD⊥AB于D．设BD＝x，则AD＝21﹣x．∵CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，∴202﹣（21﹣x）2＝132﹣x2，解得x＝5，∴CD12，∴h（AB）＝AB﹣CD＝21﹣12＝9．总结提升：本题属于三角形综合题，考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2020秋•金台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．思路引领：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE=12∠ACD，∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'，再根据∠ACB＝90°，即可得出∠ECF＝45°；（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC设AE＝x，则AB＝x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，求得x=165，得出AE的长和AB的长，再由三角形面积公式即可得出S△ABC．解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE=12∠ACD，∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCB'＝90°，∴∠ECD+∠FCD=12×90°＝45°，即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，∴∠EFC＝45°＝∠ECF，∴CE＝EF＝4，∴BE＝4+1＝5，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC=设AE＝x，则AB＝x+5，∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，解得：x=16 5，∴AE=165，AB＝AE+BE=165+5=415∴S△ABC =12AB×CE=12×415×4=825．总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．6．如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D 重合．（1）填空：△ADC是三角形；（2）若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求BC边上的高AE的长；（3）如图②，若∠DAC＝90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明．思路引领：（1）根据折叠得到AD＝AC，所以△ADC是等腰三角形；（2）设CE＝x，利用勾股定理得到方程132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2解得：x＝5，在Rt△AEC中，由勾股定理即可解答；（3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC﹣BD＝2AE．由△ADC是等腰三角形，又∠DAC＝90°，得到△ADC是等腰直角三角形又AE是CD边上的高，所以△AED与△AEC都是等腰直角三角形，即可得到CD＝2AE．由BC﹣BD＝CD，即可解答．解：（1）∵三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合．∴AD＝AC，∴△ADC是等腰三角形；故答案为：等腰．（2）设CE＝x，则BE＝14﹣x，在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2＝AC2﹣CE2，∴AE2＝132﹣x2在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2，∴AE2＝152﹣（14﹣x）2∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2解得：x＝5，在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE12．（3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC﹣BD＝2AE．证明如下：由（1）得：△ADC是等腰三角形，又∠DAC＝90°，∴△ADC是等腰直角三角形又AE是CD边上的高，∴DE＝CE，∠DAE=∠EAC=12∠DAC=12×90°=45°，∴△AED与△AEC都是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝EC，即CD＝2AE．∵BC﹣BD＝CD∴BC﹣BD＝2AE．总结提升：本题考查了等腰三角形的性质定理与判定定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的根据是判定△ADC是等腰三角形和勾股定理的应用．类型二数形结合思想7．（2022•锡山区一模）如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A．B．C．5D．思路引领：直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案．解：由题意可得：OB＝4，BC＝2，则OC故点M对应的数是：故选：B．总结提升：此题主要考查了勾股定理，根据题意得出CO的长是解题关键．8．（2022春•+形，根据“三角形三边关系”A．分类讨论思想B．方程思想C．类比思想D．数形结合思想思路引领：“三角形三边关系”，可得+“三角形三边关系”故选：D．总结提升：本题主要考查了勾股定理以及三角形三边关系的运用，解题时注意三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．9．（2019秋•海州区校级月考）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．（1①，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x 轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），即OP＝|x|，OQ＝|y|，在△OPM中，PM＝OQ＝|y|，则MO解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离OM．N1 （填写坐标）与点O（0，0）之间的距离N1O；②点N2（5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON2为．（2②，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（1）可知，A′O=A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB＝A′O，所以AB=A（x，y）与点B（1，5）之间的距离．（32）的方法，在图③中画出图形，那么C （填写坐标）与点D（x，y）之间的距离．（4）拓展应用：A（x，y）与点E（1，﹣4）的距离与点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和．的最小值为（直接写出结果）思路引领：（1）①构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案；②由两点间的距离即可得出答案；（3）设点D′的坐标为（x+2，y﹣3），由两点间的距离和平移的性质即可得出结论；（4）①由（3）即可得出答案；②根据三角形的三边关系即可求出答案．解：（1）N1（﹣2，3）或（3，﹣2）与点O（0，0）之间的距离N1O，故答案为：（﹣2，3）或（3，﹣2）；②点N2（5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON2（3）设点D′的坐标为（x+2，y﹣3），如图③所示：由探究（2）可知，D′O=将线段D′O先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到线段CD，此时，D的坐标为（x，y），点C的坐标为（﹣2，3），∵CD＝D'O，∴CDC（﹣2，3）到点D（x，y）之间的距离；故答案为：（﹣2，3）；（4）①由（2+点A（x，y）与点E（1，﹣4）的距离与点A（x，y）与点F（﹣2，﹣3）的距离之和，故答案为：（﹣2，﹣3）；②当A（x，y）位于直线EF外时，此时点A、E、F三点组成△AEF，∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，当点A位置线段EF之间时，此时EF＝AF+AE，EF的距离，∴EF==总结提升：本题是三角形综合题，主要考查学生的阅读理解能力以及两点间距离公式的运用，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考核学生综合能力，属于中等题型．类型三分类讨论思想10．（2019春•自贡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC P有（）A．0个B．1个C．2个D．3个思路引领：根据已知条件得到∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，根据点P到AC解：∵AB＝BC＝AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，∵点P到AC∴AP＝CP=∴在AB和BC边上存在这样的P点，∵AD＝2，∴D到AC∴当点P与点D重合时，P到AC∴这样的点P有3个，故选：D．总结提升：本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．11．（如皋市期末）已知∠MAN＝30°，点B在射线AN上，点C在射线AM上，且AB＝12．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；（2）若BC＝8，求AC的长；（3）要使满足条件的△ABC唯一确定，直接写出BC的长度x的取值范围．思路引领：（1）分两种情形求解即可；（2）如图，作BH ⊥AM 于H ，则BH =12AB ＝6，AH ＝（3）当BC ≥12或BC ＝6时，△ABC 唯一确定．解：（1）如图，①当∠ACB ＝90°，AC ＝②当∠ABC ′＝90°时，AC ′＝（2）如图，作BH ⊥AM 于H ，则BH =12AB ＝6，AH ＝∵BC ＝8，∴CH =∴AC ＝AH +CH ＝AC ′＝（3）当BC ≥12或BC ＝6时，△ABC 唯一确定．总结提升：本题考查解直角三角形、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 出发，沿A →B 方向运动，速度为每秒2cm ；点Q 从点B 出发，沿B →C →A 方向运动，速度为每秒4cm ；两点同时开始运动，设运动时间为t 秒．（1）①Rt △ABC 斜边AC 上的高为；②当t＝3时，PQ的长为；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．思路引领：（1）①利用勾股定理可求解AC的长，利用面积法进而可求解Rt△ABC斜边AC上的高；②可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．解：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=20(cm)，∴Rt△ABC斜边AC上的高为12×1620=9.6(cm)；②当t＝3时，则AP＝6cm，BQ＝4t＝12cm，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（cm），在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ==cm)，即PQ的长为，故答案为：①9.6cm；②；（2）由题意可知AP＝2tcm，BQ＝4tcm，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣2t（cm），当△BPQ为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣2t＝4t，解得t=8 3，∴出发83秒后△BPQ能形成等腰三角形；（3）在△ABC中，AC＝20cm，当点Q在AC上时，AQ＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t（cm），CQ＝4t﹣12（cm），∵△BCQ为等腰三角形，∴有BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，①当BQ＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC于E，则CE=12CQ=2t―6，由（1）知BE＝9.6cm，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝9.62+（2t﹣6）2，解得t＝6.6或t＝﹣0.6＜0（舍去）；②当CQ＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6；③当CQ＝BQ时，则∠C＝∠QBC，∴∠C+∠A＝∠CBQ+∠QBA，∴∠A＝∠QBA，∴QB＝QA，∴CQ=12AC=10，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5；综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形．总结提升：本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．熟练掌握这些知识点是解题的关键．类型四转化思想13．（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　．思路引领：根据垂直的定义和勾股定理解答即可．解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．总结提升：本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．14．（2019•柯桥区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=13AB，AF=13AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2 D．S2=13（S1+S3）思路引领：根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S3＝4S2．解：∵在Rt△ABC中，AE=13AB，AF=13AC，∴AE=12BE，AF=12CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2=14BE2+14CF2．∴12π•14EF2=18π•（14BE2+14CF2），即S2=14（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．总结提升：考查了勾股定理，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．第二部分专题提升训练1．（2020春•长春期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为．思路引领：设△ABE的面积为S，则S正方形ABCD ＝S+140，S正方形AEFG＝S+124，再根据正方形的面积公式得到S正方形ABCD ＝AB2，S正方形AEFG＝AE2，所以AB2﹣AE2＝16，然后利用勾股定理计算BE的长．解：设△ABE的面积为S，∵S正方形ABCD ＝S+S1＝S+140，S正方形AEFG＝S+S2＝S+124，而S正方形ABCD ＝AB2，S正方形AEFG＝AE2，∴AB2﹣AE2＝140﹣124＝16，在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2＝16，∴BE＝4．故答案为4．总结提升：本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．2．（2021春•东昌府区期末）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′D＝6，则BN的长是　．思路引领：由正方形的性质得出BC＝CD＝9，则B'C＝3，由折叠的性质得出BN＝B'N，设BN＝x，由勾股定理列出方程可得出答案．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝9，∵B'D＝6，∴B'C＝3，∵将四边形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，∴BN＝B'N，设BN＝x，∵B'N2＝B'C2+CN2，∴x2＝32+（9﹣x）2，∴x＝5．故答案为5．总结提升：本题考查翻折变换，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3．（2022秋•绥中县校级期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝25cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝24cm，BD＝7cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求AB的长．思路引领：（1）由BC ＝25cm ，CD ＝24cm ，BD ＝7cm ，知道BC 2＝BD 2+CD 2，根据勾股定理的逆定理可得△BDC 为直角三角形；（2）设AB ＝xcm ，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程可求出AB 的长．（1）证明：∵BC ＝25cm ，CD ＝24cm ，BD ＝7cm ，∴BC 2＝132＝169，BD 2+CD 2＝52+122＝25+144＝169，即BC 2＝BD 2+CD 2，∴△BDC 为直角三角形；（2）解：设AB ＝xcm ，∵△ABC 是等腰三角形，∴AB ＝AC ＝xcm ．∵△BDC 为直角三角形，∴△ADC 为直角三角形，∴AD 2+CD 2＝AC 2，即x 2＝（x ﹣7）2+242，解得：x =62514，故AB 的长为：62514cm ．总结提升：此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理解答．4．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点．（1）求证：DF ＝GF ；（2）求DF 的长度．思路引领：（1）利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF；（2）设FD＝x，表示出CF、BF，利用勾股定理构建方程即可．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE＝EG，AB＝BG，∴ED＝EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，ED＝EG，EF＝EF，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF＝FG，（2）解：设DF＝x，则CF＝3﹣x，BF＝3+x，在Rt△BFC中，∵BF2＝BC2+CF2∴（2+（3﹣x）2＝（3+x）2，解得：x＝2∴DF＝2．总结提升：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．5．（2022•岳池县模拟）在劳技课上，老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上）．请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的面积．（求出所有可能的情况）思路引领：（1）在BA、BC上分别截取BE＝BF＝5cm；（2）在AB上截取BE＝5cm，以E为圆心，5cm长为半径作弧，交AD于F；（3）在BC上截取BE＝5cm，以E为圆心5cm为半径作弧，交CD于F．解：如图1所示：S=12EB•BF=12×5×5＝12.5（cm2），如图2所示：BE＝5cm，则AE＝3cm，∵EF＝5cm，∴AF=4（cm），S=12BE•AF=12×5×4＝10（cm2），如图3所示：BE＝5cm，则CE＝4cm，∵EF＝5cm，∴CF=3（cm），S=12BE•CF=12×5×3＝7.5（cm2）．总结提升：此题主要考查了应用与设计作图，本题需仔细分析题意，结合图形即可解决问题．6．设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值．思路引领：显然AB是四条线段中最长的线段，分AB＝x或AB＝9两种情况来讨论．解：显然AB是四条线段中最长的线段，分AB＝x或AB＝9两种情况来讨论．把AB平移至ED（如图所示）．①若AB＝x，当CD＝9时，则x当CD＝5时，则x当CD＝1时，则x②若AB＝9，当CD＝5时，由（x+1）2+52＝92，得x=1；当CD＝1时，由（x+5）2+12＝92，得x=―5；当CD＝x时，由x2+（1+5）2＝92，得x=（以上每种情况2分）…（12分）总结提升：本题考查勾股定理的知识，解题关键是分AB＝x或AB＝9两种情况进行讨论，注意不要漏解．7．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求BC的长．（2）斜边AB上的高是．（3）若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为　．（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．思路引领：（1）由勾股定理可求得BC的值，（2）再设斜边AB上的高为h，由面积法可求得答案；（3）如图，当点P'在∠BAC的角平分线上时可先利用三角形全等，求出AD＝AC＝8，分别表示各线段，在直角三角形中，利用勾股定理求出t的值．（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，②当点P在线段AC上时，又分三种情况：BC＝BP；PC＝BC；PC＝PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得：BC＝6；（2）设斜边AB上的高为h，∵12AB⋅ℎ=12AC⋅BC，∴10h＝6×8，∴h＝4.8．∴斜边AB上的高为4.8；故答案为：4.8；（3）当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P'作P'D⊥AB，如图：∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB，∴P'D＝P'C＝2t﹣8，∵BC＝6，∴BP'＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t，在Rt△ACP'和Rt△ADP'中，AP′=AP′P′D=P′C，∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'（HL），∴AD＝AC＝8，又∵AB＝10，∴BD＝2，在Rt△BDP'中，由勾股定理得：22+（2t﹣8）2＝（14﹣2t）2，解得：t=16 3．故答案为：16 3．（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，∴此时CP＝BC＝6，∴AP＝AC﹣CP＝8﹣6＝2，∴2t＝2，∴t＝1；②当点P在线段AB上时，若BC＝BP，则点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+6＝20，∴2t＝20，∴t＝10；若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB•CH＝AC•BC，∴10CH＝8×6，∴CH=24 5，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=2=3.6，∴BP＝7.2，∴点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+7.2＝21.2，∴2t＝21.2，∴t＝10.6；若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ＝0.5×BC＝3，∠PQB＝90°，∴∠ACB＝∠PQB＝90°，∴PQ∥AC，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ＝0.5×AC＝0.5×8＝4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=5，点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+5＝19，∴2t＝19，∴t＝9.5．综上，t的值为1或9.5或10或10.6．总结提升：本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键。

(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试(包含答案解析)(3)

一、选择题1．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角AOB ∠走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB ，他们踩伤草坪，仅仅少走了（）A ．4mB ．6mC ．8mD ．10m 2．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线DE 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（）A ．60BAC ∠=︒B ．2CD BE =C ．DE AC =D ．122CD BC AB =+ 3．如图，分别以Rt ABC 的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边6AB =，则图中阴影部分的面积为（）．A ．6B ．12C ．16D ．184．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为（）A ．103B ．256C ．203D ．1545．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2等于（）A ．29B ．32C ．36D ．456．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（）A ．22-B ．2C ．21+D ．17．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB 长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A C '＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A D '就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA 长为（）A ．13.5尺B ．14尺C ．14.5尺D ．15尺8．我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝2，BC ＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A ．413B ．810C ．41312+D ．81012+ 9．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（）A ．34h <<B ．34h ≤≤C ．24h ≤≤D ．4h = 10．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O 为中心，A ，B ，C ，D 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l 上与点O 相距14m 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．若实数m 、n 满足340m n --=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（）．A ．5B 7C ．57D ．以上都不对 12．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（）A ．25B ．19C ．13D ．169二、填空题13．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺（1尺＝10寸），则AB 的长是_____寸．14．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，如果在AC 边上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，那么CE 的长为________．15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，且12AC DC AB ==，若2AD =，则BD =___________．16．如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AD=CD ，AB+BC=8，则四边形ABCD 的面积是_________．17．如图，圆柱形容器中，高为1m，底面周长为4m，在容器内壁离容器底部0.4m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6m与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m（容器厚度忽略不计）．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6、BC＝8，CD⊥AB，则CD＝___．19．一架5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动______．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为_____．三、解答题21．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．（2）若BD=1，CD=3，求AD的长．22．如图，ABC中，∠C=90°，BC=5厘米，AB=55厘米，点P从点A出发沿AC边以2厘米/秒的速度向终点C匀速移动，同时，点Q从点C出发沿CB边以1厘米/秒的速度向终点B匀速移动，P、Q两点运动几秒时，P、Q两点间的距离是210厘米？23．中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B．问机器人从点A到点B之间的距离是多少？24．已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，2)、B(﹣4，0)、C(0，2)（1）在下面的平面直角坐标系中分别描出A，B，C三点，并画出ABC；（2）求线段BC的长；（3）求ABC的面积．25．现代电视屏幕尺寸的设计，主要追求以下目标：一是更符合人体工程学要求（宽与长的比接近与0.618）；二是设计适当的长宽比使屏幕的面积尽可能大现行的电视机屏幕有“宽屏”和“普屏”两种制式，宽屏的长宽比为16:9；普屏的长宽比为4:3．（1）哪种屏幕更适合人体工程学要求？请说明理由．（2）一般地，电视屏幕的“几寸”指的是这个屏幕的长方形的对角线长有多少英寸，1英寸2.54cm =，小明家想买80寸的宽屏．．电视机（边框宽都为1cm ），并嵌入到墙中．则需要预留的长方形位置的长、宽各多少cm 33718.4≈，33.7 5.8≈）（3）在相同尺寸的电视机屏幕中，宽屏的屏幕面积大还是普屏的屏幕面积大？请说明理由．26．阅读下列材料并完成任务：中国古代三国时期吴国的数学家赵爽最早对勾股定理作出理论证明.他创制了一幅“勾股圆方图”(如图l)，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为12ab ；中间的小正方形边长为b a -，面积为()2b a -.于是便得到式子：222+=a b c .赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.如图2，是“赵爽弦图”，其中ABH ∆、BCG ∆、CDF ∆和DAE ∆是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设AD c =，DE a =，AE b =，取10c =，2b a -=.任务：(1)填空：正方形EFGH 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；(2)求()2a b +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据勾股定理求出AB 即可．【详解】解：∵90AOB ∠=︒，∴22226810AO OB ++=（m ），6+8-10=4（m ）,∴他们踩伤草坪，仅仅少走了4m ；故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．2．B解析：B【分析】利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD 、AD ，过点D 作DM ⊥BC 于M ，DN ⊥CA 的延长线于N ，A 、在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴60BAC ∠=︒．故此选项说法正确；B 、∵DM ⊥BC ，DN ⊥CA∴∠DNC ＝∠DMC ＝90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠DCN ＝∠DCM ＝45°．∴∠DCN ＝∠CDN ＝45°．∴CN=DN ．则△CDN 是等腰直角三角形．同理可证：△CDM 也是等腰直角三角形，∴222DN CN DN +=．222DM CM DM +，∴DM=DN= CM=CN ，∠MDN ＝90°．∵DE 垂直平分AB ，∴BD=AD ，AB=2BE ．∴Rt △BDM ≌△ADN ，∴∠BDM=∠AND ．∴∠BDM+∠ADM =∠AND+∠ADM ＝∠MDN ．∴∠ADB=90°．∴222BD AD +=．即2．∵在Rt △AND 中，AD 是斜边，DN 是直角边，∴AD ＞DN 22DN ．∴2BE ＞CD ．故此选项说法错误．C 、∵BD=AD ，∠ADB=90°，∴△ABD 是等腰直角三角形．∴DE=12AB ．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∴AC=12AB ． ∴DE=AC ．故此选项说法正确．D 、∵Rt △BDM ≌△ADN ，∴BM=AN．∴CN=AC+AN=AC+BM=CM．∴BC=BM+CM=AC+2BM．∵CD=2CN，∴2CD=2CN=2AC+2BM=AC+2BM+AC．∵AC=12AB，∴2CD=12AB+BC．故此选项说法正确．故选：B．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．【详解】解：在Rt△AHC中，AC2=AH2+HC2，AH=HC，∴AC2=2AH2，∴2，同理：22，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=6，S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=12HC•AH+12CF•BF+12AE•BE，即22211112224222++=(AC2+BC2+AB2)14=(AB 2+AB 2) 12=AB 2 2162=⨯ 18=．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．4．C解析：C【分析】利用勾股定理求BC 的长度，连接AE ，然后设BE=AE=x ，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：如图，∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BD=12AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253x =∴BE=AE=253 在Rt △BDE 中，ED=22222520()533BE BD -=-=．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．5．D解析：D【分析】在Rt △ABD 及Rt △ADC 中可分别表示出BD 2及CD 2，在Rt △BDM 及Rt △CDM 中分别将BD 2及CD 2的表示形式代入表示出BM 2和MC 2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，BD 2＝AB 2−AD 2，CD 2＝AC 2−AD 2，在Rt △BDM 和Rt △CDM 中，BM 2＝BD 2＋MD 2＝AB 2−AD 2＋MD 2，MC 2＝CD 2＋MD 2＝AC 2−AD 2＋MD 2，∴MC 2−MB 2＝（AC 2−AD 2＋MD 2）−（AB 2−AD 2＋MD 2）＝AC 2−AB 2＝45．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC 2和MB 2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．6．B解析：B【分析】连接BP ，根据已知条件求出AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，1，证明△BDP ≌△EDP ，推出BP=EP ，当点P 与点D 重合时，即可求出PEC ∆的周长的最小值．【详解】连接BP ，在Rt ABC ∆中，90,45B BCA ︒∠=∠=︒，∴∠BAC=45BCA ∠=︒，AB=BC ，∴22222AB AC ===，∴AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，∴1，在△BDP 和△EDP 中， BD ED BDP EDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDP ≌△EDP ，∴BP=EP ，∴当点P 与点D 重合时，PE+PC=PB+PC=BC 的值最小，此时PEC ∆的周长最小， PEC ∆的周长的最小值为BC+CE=1+21-=2，故选：B ．．【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是根据翻折的性质证得△BDP ≌△EDP ，由此推出当点P 与点D 重合时PEC ∆的周长最小，合情推理科学论证．7．C解析：C【分析】设绳索有x 尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．【详解】解：设绳索有x 尺长，则102+（x+1-5）2=x 2，解得：x=14.5．故绳索长14.5尺．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．8．D解析：D【分析】将CB 延长至点D ，使CB BD =，利用勾股定理求出AD 的长，即可求出结果．【详解】解：如图，将CB 延长至点D ，使CB BD =，∵2AC =，26CD BC ==，∴22436210AD AC CD +=+=2103AD BD +=+，一共有4个这样的长度，∴这个风车的外围周长是：()4210381012⨯+=+．故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求直角三角形边长．9．B解析：B【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长2234+，高为12cm ，由勾股定理可得：杯里面管长22512+＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），∴34h ≤≤故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．10．B解析：B【分析】把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.【详解】设喷头在点P ，则A(6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0）则AP=14-6=8m<10m ，故A 需调整；BP=14-3=11m>10m ，故B 不需调整；=，不需调整；=<10m ，故D 需调整；故选：B【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键.11．C解析：C【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】∵30m -=，30m -≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=故选：C ．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．12．A解析：A 【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【详解】解：由条件可得：22131131240a b ab a b ⎧+=⎪-⎪=⎨⎪>>⎪⎩，解之得：32a b =⎧⎨=⎩．所以2()25a b +=，【点睛】本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．二、填空题13．101【分析】取AB的中点O过D作DE⊥AB于E根据勾股定理解答即可得到结论【详解】解：取AB的中点O过D作DE⊥AB于E如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸则解析：101【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝12CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故答案为：101【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．14．3【分析】利用勾股定理可求出AC=8根据折叠的性质可得BD=ABDE=AE根据线段的和差关系可得CD的长设CE=x则DE=8-x利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案【详解】∵∠ACB＝90°BC＝解析：3【分析】利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB，DE=AE，根据线段的和差关系可得CD的长，设CE=x，则DE=8-x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，∴，∵BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，∴BD=AB=10，DE=AE ，∠DCE=90°，∴CD=BD-BC=10-6=4，设CE=x ，则DE=AE=AC-CE=8-x ，∴在Rt △DCE 中，DE 2=CE 2+CD 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得：x=3，∴CE=3，故答案为：3【点睛】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键． 15．【分析】设在中利用勾股定理求出x 值即可得到AC 和CD 的长再求出AB 的长再用勾股定理求出BC 的长即可得到结果【详解】解：设∵∴即解得或（舍去）∴∵∴∴∴故答案是：【点睛】本题考查勾股定理解题的关键是掌1【分析】设AC DC x ==，在Rt ACD △中，利用勾股定理求出x 值，即可得到AC 和CD 的长，再求出AB 的长，再用勾股定理求出BC 的长，即可得到结果．【详解】解：设AC DC x ==，∵90C ∠=︒，∴222AC CD AD +=，即222x x +=，解得1x =或1-（舍去）， ∴1AC DC ==， ∵12AC AB =， ∴2AB =，∴BC ===， ∴1BD BC CD =-=．1．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握利用勾股定理解直角三角形的方法．16．16【分析】求不规则四边形的面积可以转化为两个三角形的面积由题意可知：求出与的面积即为四边形ABCD 的面积【详解】连接AC ∵∴∴∵AB+BC=8∴∴∴故答案为：16【点睛】本题主要考查的是四边形面积解析：16【分析】求不规则四边形的面积，可以转化为两个三角形的面积，由题意B D 90∠∠==︒，可知：求出Rt ABC 与Rt ADC 的面积，即为四边形ABCD 的面积．【详解】连接AC ，∵B D 90∠∠==︒，∴222AB BC AC +=，222AD DC AC +=， ∴11=22ABC ADC ABCD S S S BC AB CD AD +=⋅+⋅四边形21122BC AB AD =⋅+ ()2221111=2224BC AB CD AB BC AB BC ⋅+=⋅++， ∵AB+BC=8， ∴222=64AB BC BC AB ++⨯，∴4464ABC ADCS S +=， ∴=16ABC ADC ABCD S SS +=四边形故答案为：16．【点睛】本题主要考查的是四边形面积的求解，三角形面积以及勾股定理，熟练运用三角形面积公式以及勾股定理是解答本题的关键．17．【分析】将容器侧面展开建立A 关于EC 的对称点A′根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求【详解】如图将容器侧面展开作A 关于EC 的对称点A′连接A′B 交EC 于F 则A′B 即为最短距离∵高为1m 底面周解析：234 5【分析】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为1m，底面周长为4m，在容器内壁离容器底部0.4m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6m与蚊子相对的点A处，∴A′D=42=2(m)，BD=1+0.6-0.4=1.2(m)，∴在直角△A′DB中，2222234A'D BD2 1.2+=+=，故答案是：2345．【点睛】本题考查了平面展开－最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．18．8【分析】根据勾股定理求得AB的长再根据三角形的面积公式得到关于CD 的方程解方程求得CD即可【详解】解：∵在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝6BC＝8∴AB＝10∵S△ABC＝×6×8＝×10×CD解析：8【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式得到关于CD的方程，解方程求得CD即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵S △ABC ＝12×6×8＝12×10×CD ， ∴CD ＝4.8．故答案为：4.8．【点睛】本题考查了直角三角形中的面积的求解，解题的关键是熟知等面积法求线段的长度． 19．【分析】根据条件作出示意图根据勾股定理求解即可【详解】解：由题意可画图如下：在直角三角形ABO 中根据勾股定理可得如果梯子的顶度端下滑1米则在直角三角形中根据勾股定理得到：则梯子滑动的距离就是故答案为解析：1m【分析】根据条件作出示意图，根据勾股定理求解即可．【详解】解：由题意可画图如下：在直角三角形ABO 中，根据勾股定理可得，22534OA =-=，如果梯子的顶度端下滑1米，则'413OA m =-=．在直角三角形''A B O 中，根据勾股定理得到：'4OB m =，则梯子滑动的距离就是'431OB OB m -=-=．故答案为：1m ．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据题目画出示意图是解此题的关键． 20．【分析】根据勾股定理正方形的面积公式计算即可【详解】在Rt △ACB 中AC2+BC2＝AB2＝25则正方形ADEC 与正方形BCFG 的面积之和＝AC2+BC2＝25故答案为：25【点睛】本题考查的是勾股解析：【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．【详解】在Rt △ACB 中，AC 2+BC 2＝AB 2＝25，则正方形ADEC 与正方形BCFG 的面积之和＝AC 2+BC 2＝25．故答案为：25．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2.三、解答题21．（1）见解析；（2）17AD =【分析】（1）根据△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形可得DC CE =，BC CA =，再根据两个角的和可得BCD ACE ∠=∠，从而判断两个三角形全等；（2）根据△ACE ≌△BCD ，以及角的和可得DAE △为直角三角形，根据DCE 为等腰直角三角形，可求出DE 的长度，再根据勾股定理求出AD 的长度即可．【详解】（1）△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形∴90BCA DCE ∠=∠=，DC CE =，BC CA =∴BCD DCA DCA ACE ∠+∠=∠+∠∴BCD ACE ∠=∠，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）；（2）△ACE ≌△BCD∴CBD CAE ∠=∠∴90CBD BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠=∴DAE △为直角三角形DCE 为等腰直角三角形∴22223332DE DC CE =+=+=△ACE ≌△BCD∴BD=AE=1∴2218117AD DE AE =-=-=【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质、判定定理以及勾股定理得运用，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理，熟练运用角和角之间的关系是解题的关键．22．2秒【分析】设P 、Q 两点运动x 秒时，P 、Q 两点间的距离是210厘米，先利用勾股定理求出AC 的长度，得到AP=2x 厘米，CQ=x 厘米，CP=（10﹣2x ）厘米，再利用勾股定理得到（10﹣2x ）2+x 2=（210）2求出x 的值.【详解】解：设P 、Q 两点运动x 秒时，P 、Q 两点间的距离是210厘米.在△ABC 中，∠C=90°，BC=5厘米，AB=55厘米，∴AC=2222(55)5AB BC -=-=10（厘米），∴AP=2x 厘米，CQ=x 厘米，CP=（10﹣2x ）厘米，在Rt △CPQ 内有PC 2+CQ 2=PQ 2，∴（10﹣2x ）2+x 2=（210）2，整理得：x 2﹣8x+12=0，解得：x=2或x=6，当x=6时，CP=10﹣2x=﹣2＜0，∴x=6不合题意舍去.∴P 、Q 两点运动2秒时，P 、Q 两点间的距离是210厘米.【点睛】此题考查勾股定理，动点问题与几何图形，熟练掌握勾股定理的计算公式并运用解决问题是关键.23．132【解析】试题分析：过点B 作BC ⊥AD 于C ，可以计算出AC 、BC 的长度，在直角△ABC 中根据勾股定理即可计算AB ．试题过点B 作BC ⊥AD 于C ，所以AC=4﹣2+0．5=2．5m ，BC=4．5+1．5=6m ，在直角△ABC 中，AB 为斜边，则22225136()22AB BC AC =+=+=m,答：机器人从点A到点B之间的距离是132m．考点：勾股定理．24．（1）见解析；（2）25；（3）3【分析】（1）在平面直角坐标系中，描出A，B，C三点，然后顺次连接，即可画出△ABC；（2）由勾股定理来求线段BC的长度；（3）△ABC的底是BC的长度，高是点C的纵坐标，由三角形的面积公式进行解答．【详解】解：（1）如图所示；（2）在直角△BOC中，由勾股定理得到：BC＝22OB OC+＝2242+＝25，即线段BC的长是25；（3）S△ABC＝12AC×OC＝12×3×2＝3，即△ABC的面积是3．【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形性质．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．25．（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由见解析；（2）需要预留的长方形位置的长为178cm，宽为101cm；（3）普屏的屏幕面积大，理由见解析【分析】（1）根据人体工程学要求求出宽与长的比与0.618比较大小即可（2）根据勾股定理先求出80寸的宽屏．．电视机的长和宽，再分别加2即可（3）分别求出宽屏的屏幕面积和普屏的屏幕面积比较大小即可【详解】解：（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由如下：∵宽屏的长宽比为16:9；∴宽屏的宽与长的比为9:16=0.5625；∴0.5625-0.618=-0.0555∵普屏的长宽比为4:3．∴普屏的宽与长的比为3:4=0.75∴0.75-0.618=0.132∴宽屏更适合人体工程学要求（2）∵宽屏的长宽比为16:9；∴设长为16xcm ，则宽为9xcm(x>0)，∵电视机屏幕为80寸，∴（16x ）2+（9x ）2=(80 2.54)⨯2， ∴18.4x=80 2.54≈⨯∴x 11≈，∴长为16x=1611=176cm ⨯，宽为9x=911=99cm ⨯∴需要预留的长方形位置的长为：176+2=178cm,宽为：99+2=101cm（3）普屏的屏幕面积大，理由如下：设相同尺寸为a 寸，宽屏电视的长宽分别为16m 和9m ，普屏电视的长宽分别为4n 和3n∴222(16m)(9m)(2.54a)+=，222(4n)(3n)(2.54a)+= ∴2222.54a m 337=，222 2.54a n =25 ∴宽屏的屏幕面积=22214416m 9m 144m =2.54a 337⨯=⨯ 普屏的屏幕面积=222124n 3n 12n =2.54a 25⨯=⨯ ∵1441233725< ∴普屏的屏幕面积大【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及长方形的面积，读懂题意，根据已知条件得出所需内容是解题的关键26．(1)4，96；(2)196.【分析】（1）根据题意得图中的四个直角三角形都全等，可得正方形EFGH 的边长为2，即可得正方形EFGH 的面积；再利用正方形ABCD 的面积-正方形EFGH 的面积即可得四个直角三角形的面积和；（2）易求得ab 的值，和a 2+b 2的值，根据完全平方公式即可求得（a+b ）2的值，即可解题．【详解】(1)根据题意得，图中的四个直角三角形都全等，∴AB=c=10，AE-AH=b-a=2，∴正方形EFGH 的面积为22=4，正方形ABCD 的面积为102=100，∴四个直角三角形的面积和=正方形ABCD 的面积-正方形EFGH 的面积=100-4=96；(2)由(1)可知四个直角三角形的面积和为96，14962ab ∴⨯=，即296ab =. 222100a b c +==，()222210096196a b a b ab ∴+=++=+=. 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，求得ab 的值是解题的关键．。

人教版初中数学八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测(含答案解析)(1)

一、选择题1．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点E 是AB 的中点，点D 是AC 边上一点，且DE AB ⊥，连接DB ．若6AC =，3BC =，则CD 的长（）A ．112B ．32C ．94D ．3 2．如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则ABC 中AB 边上的高长为（）A ．35B ．25C ．35D ．3223．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（）A ．a ＝7，b ＝25，c ＝24B ．a ＝11，b ＝41，c ＝40C ．a ＝12，b ＝13，c ＝5D ．a ＝8，b ＝17，c ＝15 4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为（）A ．103B ．256C ．203D ．1545．如图，长方形的长为3，宽为2，对角线为OB ，且OA OB =，则下列各数中与点A 表示的数最接近的是（）A ．-3.5B ．-3.6C ．-3.7D ．-3.86．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为123S S S ､､；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为456S S S ､､．其中125616,45,11,14S S S S ====，则34S S +=（）A ．86B ．64C ．54D ．487．有一圆柱高为12cm ，底面半径为5πcm ，在圆柱下底面点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B 处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（）A ．12cmB ．13cmC ．10cmD ．16cm8．如图，在Rt ABC 中，AB AC =，BAC 90∠=︒，点D ，E 为BC 上两点．DAE 45∠=︒，F 为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论： ①CE BF =；②222BD CE DE +=；③ADE 1S AD EF 4=⋅△；④222CE BE 2AE +=，其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③ 9．如图，90ABC ︒∠=，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平面直角坐标系中，点P 为x 轴上一点，且到A （0，2）和点B （5，5）的距离相等，则线段OP 的长度为（）A ．3B ．4C ．4.6D ．511．下列条件能使ABC （a ，b ，c 为ABC 的三边长）为直角三角形的是（） A ．a b c +=B ．::4:5:3a b c =C ．2A B C ∠+∠=∠D ．::5:12:13A B C ∠∠∠=12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（）A ．152B ．152C ．3D ．125二、填空题13．已知在ABC 中，45ABC ︒∠=，32AB =，1BC =，且以AB 为边作等腰Rt ABD ，90ABD ︒∠=，连结CD ，则CD 的长为________．14．如图，已知圆柱体底面圆的半径为a π，高为2,AB CD 、分别是两底面的直径，,AD BC 是母线．若一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则蚂蚁爬行的最短路线的长度是_____．（结果保留根式）15．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，25AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．16．在ABC ∆中，AC ＝8，45C ∠=︒，AB ＝6，则BC ＝___________．17．在平面直角坐标系中有两点A(5，0)，B(2，1)，如果点C 在坐标平面内，且由点A 、O 、C 连成的三角形与△AOB 全等（△AOC 与△AOB 不重合），则点C 的坐标是_________ 18．一个直角三角形，一边长5cm ，另一边长4cm ，则该直角三角形面积为____ 19．如图，在边长为3ABC 中，过点C 作垂直于BC 的直线交∠ABC 的平分线于点P ，则点P 到边AB 所在直线的距离为_________．20．如图ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝22.5°，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，若CE ＝2，则BE ＝______________．三、解答题21．在ABC 中，AB c =，BC a =，AC b =．如图1，若90C ∠=︒时，根据勾股定理有222+=a b c ．（1）如图2，当ABC 为锐角三角形时，类比勾股定理，判断22a b +与2c 的大小关系，并证明；（2）如图3，当ABC 为钝角三角形时，类比勾股定理，判断22a b +与2c 的大小关系，并证明；（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD ，已知90B ∠=︒，80AB =米，60BC =米，90CD =米，110AD =米，求这块试验田的面积．22．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，垂足是D ，F 是BC 上一点，EF 平分∠AFC ，EG ⊥AF 于点G ．（1）试判断EC 与EG ，CF 与GF 是否相等；（直接写出结果，不要求证明）（2）求证：AG ＝BC ；（3）若AB ＝10，AF +BF ＝12，求EG 的长．23．为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在ABC 中，AB AC =，E 是AC 上的一点，5CE =，13BC =，12BE =．（1）判断ABE △的形状，并说明理由．（2）求线段AB 的长．24．如图，ABC ∆中，,AB AC AD >是BC 边上的高，将ADC 沿AD 所在的直线翻折，使点C 落在BC 边上的点E 处．()1若20,13,5AB AC CD ===，求ABC ∆的面积；()2求证：22AB AC BE BC -=⋅．25．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如下图，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E 、试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请直接写出_________（2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如下图，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=（其中α为任意锐角或钝角）﹒如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如下图，F 是BAC ∠角平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，D 、E 分别是直线m 上A 点左右两侧的动点（D 、E 、A 互不重合），在运动过程中线段DE 的长度为n ，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠．①试判断DEF 的形状，并说明理由．②直接写出DEF 的面积．26．如图，在等边ABC 中，AO 是BAC ∠的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边CDE △，连接BE ．（1）求证：≌ACD BCE ；（2）延长BE 至Q ，P 为BQ 上一点，连接CP 、CQ 使5CP CQ ==，若8BC =时，求PQ 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD ，继而在Rt △BCD 中利用勾股定理列式进行计算即可．【详解】∵E 是AB 中点，DE AB ⊥，∴DE 是AB 的垂直平分线，∴DA DB =，则6DA DB AC CD CD ==-=-，在Rt CDB 中，∠C=90°，BC=3，∴222CD CB DB +=，即()22236CD CD +=-， ∴94CD =．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．2．A解析：A【分析】首先利用大正方形的面积减去周围三个三角形的面积计算出△ABC 的面积和AB 的长，利用三角形面积公式可得答案．【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，如图：∵2111321211122222ABC S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△，且12ABC S AB CD =⋅△，∵AB == ∴1322AB CD ⋅=，则5CD ==，故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，关键是正确求出三角形面积．3．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．【详解】解：A 、72+242＝52，能构成直角三角形，不符合题意；B 、112+402≠412，不能构成直角三角形，符合题意；C 、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；D 、82+152＝172，能构成直角三角形，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，准确分析计算是解题的关键．4．C解析：C【分析】利用勾股定理求BC 的长度，连接AE ，然后设BE=AE=x ，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：如图，∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°， ∴6BC ===，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BD=12AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253x =∴BE=AE=253在Rt △BDE 中，ED=22222520()533BE BD -=-=．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．5．B解析：B【分析】先根据勾股定理求得A 点坐标，再利用二分法估算即可得出13比较接近-3.6．【详解】解：∵长方形的长为3，宽为2， ∴223213OA OB =+=∴A 所表示的数为13-∵23.612.9613=<，23.713.6913=>， ∴13-3.6和-3.7之间，∵23.6513.322513=>，∴13-3.6，故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理，算术平方根的估算．掌握二分法估算是解题关键．6．C解析：C【分析】分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．【详解】解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ， ∴DE=22AE AD -=32x ， ∴S 2=132x x ⨯⨯=23AB ，同理：S 1=23AC ，S 3=234BC ， ∵BC 2=AB 2-AC 2，∴S 3=S 2-S 1，如图2，S 4=21122AB π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=28AB π，同理S 5=28AC π，S 6=28BC π，则S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=45-16+11+14=54．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．7．B解析：B【分析】要想求得最短路程，首先要把A 和B 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即52ππ=5cm ，矩形的宽是圆柱的高12cm ．根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线AB 的长，即222251213AC BC +=+=cm故选：B ．【点睛】此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算． 8．A解析：A【分析】①利用全等三角形的判定得AFB ≌AEC ，再利用全等三角形的性质得结论；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性质得FD DE =，再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得AD EF EF 2EG ⊥=，，再利用三角形的面积计算结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得结论．【详解】解：如图：对于①，因为BAC 90FA AE DAE 45∠∠=︒⊥=︒，，，所以CAE 90DAE BAD 45BAD ∠∠∠∠=︒--=︒-，FAB 90DAE BAD 45BAD ∠∠∠∠=︒--=︒-，因此CAE FAB ∠∠=．又因为BAC 90AB AC ∠=︒=，，所以ABC ACB 45∠∠==︒．又因为FB BC ⊥，所以FBA ACB 45∠∠==︒．因此AFB ≌()AEC ASA △，所以CE BF =．故①正确．对于②，由①知AFB ≌AEC ，所以AF AE =．又因为DAE 45FA AE ∠=︒⊥，，所以FAD DAE 45∠∠==︒，连接FD ，因此AFD ≌()AED SAS △．所以FD DE =．在Rt FBD △中，因为CE BF =，所以222222BD CE BD BF FD DE +=+==．故②正确．对于③，设EF 与AD 交于G ．因为FAD DAE 45AF AE ∠∠==︒=，，所以AD EF EF 2EG ⊥=，．因此ΔADE 11S AD EG AD EF 24=⨯⨯=⨯⨯．故③正确．对于④，因为CE BF =，又在Rt FBE △中，22222CE BE BF BE FE +=+= 又AEF △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，所以22EF 2AE =因此，222CE BE 2AE +=．故④正确．故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积． 9．B解析：B【分析】根据题意结合勾股定理可求出AE 长，再根据//AD BC ，可证明AEB CBF ∠=∠，即可证明()ABE FCB AAS ≅，得出结论BF=AE ，即可求出EF ．【详解】根据题意可知BC=BE=10，90BAE BFC ∠=∠=︒．在Rt ABE △中，22221068AEBE AB ． ∵//AD BC ，∴AEB CBF ∠=∠，∴()ABE FCB AAS ≅，∴BF=AE=8，∴EF=BE-BF=10-8=2．故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明ABE FCB ≅是解答本题的关键．10．C解析：C【分析】设点P （x ，0），根据两点间的距离公式列方程，即可得到结论．【详解】解：设点P （x ，0），根据题意得，x 2+22=(5﹣x )2+52，解得：x =4.6，∴OP =4.6，故选：C ．【点睛】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 11．B解析：B【分析】根据三角形三边关系可分析出A 的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B 的正误；根据三角形内角和定理可分析出C 、D 的正误；【详解】解：A 、a b c +=，不能组成三角形，不是直角三角形；B 、222a c b +=，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C 、由∠A+∠B=2∠C ，可得∠C=60°，∠A+∠B=120°，不一定是直角三角形；D 、由∠A ：∠B ：∠C=5：12：13，可得最大角131807830C ∠=︒⨯=︒，不是直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理． 12．D解析：D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】在AB 上取一点G ，使AG ＝AF∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB=5，∵∠CAD ＝∠BAD ，AE ＝AE ，∴△AEF ≌△AEG （SAS ）∴FE ＝GE ，∴要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值，故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，此时，作CH ⊥AB 于H 点，则CH 的长即为CE+EG 的最小值，此时，AC BC AB CH =，∴CH=·AC AB BC =125，即：CE+EF 的最小值为125，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．二、填空题13．或5【分析】根据点C 和点D 与AB 的位置关系分类讨论分别画出对应的图形根据等腰直角三角形的性质勾股定理分别求解即可【详解】解：若点C 和点D 在AB 的同侧时如下图所示延长BC 交AD 于E ∵△ABD 为等腰直角解析：13或5【分析】根据点C 和点D 与AB 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求解即可．【详解】解：若点C 和点D 在AB 的同侧时，如下图所示，延长BC 交AD 于E∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ︒∠=∴BD=32AB =∠DBC=∠ABD －∠ABC=45°∴226AB BD +=，∠DBC=∠ABC∴BE ⊥AD ，BE 是AD 的中线 ∴BE=DE=12AD=3 ∴CE=BE －BC=2在Rt △CDE 中，2213CE DE +=若点C 和点D 在AB 的两侧时，如下图所示，过点D 作DE ⊥CB 交CB 延长线于E∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ︒∠=∴BD=32AB =，∠DBE=180°－∠ABD －∠ABC=45°∴△EDB 为等腰直角三角形，DE=BE∵DE 2＋BE 2=BD 2∴2DE 2=()232解得：DE=3∴BE=3∴CE=BE ＋BC=4在Rt △CDE 中，CD=225CE DE +=；综上：CD=13或5．故答案为：13或5．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质及判定和勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质及判定、勾股定理和分类讨论的数学思想是解题关键． 14．【分析】要求一只蚂蚁从A 点出发从侧面爬行到C 点蚂蚁爬行的最短路线利用在圆柱侧面展开图中线段AC 的长度即为所求【详解】解：圆柱的展开图如下在圆柱侧面展开图中线段AC 的长度即为所求在Rt △ABC 中AB=解析：2+4a【分析】要求一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，蚂蚁爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求．【详解】解：圆柱的展开图如下，在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求，在Rt △ABC 中，AB=π•a π=a ，BC=2，则：2222=+=4AC AB BC a +，所以2+4a即蚂蚁爬行的最短路线的长度为2+4a ．故答案是2+4a ．【点睛】本题以圆柱为载体，考查旋转表面上的最短距离，解题的关键是利用圆柱侧面展开图． 15．【分析】根据中点的含义先求解作点C 关于AB 对称点则连接交AB 于P 连接此时的值最小由对称性可知于是得到再证明然后根据勾股定理即可得到结论【详解】解：为的中点作点C 关于AB 对称点交于则连接交AB 于P 连接解析：25【分析】根据中点的含义先求解,BD 作点C 关于AB 对称点C '，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '，此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小，由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥于是得到90C BC '∠=︒，再证明4BC BC '==，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：4AC BC D ==，为BC 的中点，90ACB ∠=︒，2CD BD ∴==， 45CBA ∠=︒，作点C 关于AB 对称点C '，CC '交AB 于O ，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '．此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小．由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥ ∴90C BC '∠=︒，∴BC BC '⊥，点C 关于AB 对称点C '，∴AB 垂直平分CC '，∴4BC BC '==，根据勾股定理可得22422 5.DC '+=故答案为：5【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P 何位置时，使PC+PD 的值最小是解题的关键．16．【分析】有两种情况可能是锐角三角形可能是钝角三角形过A 点作AD 垂直于BC 当为锐角三角时BC=CD+BD 当为钝角三角形时BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案【详解】如图过点A 作垂足为D 当为解析：422±【分析】ABC ∆有两种情况，可能是锐角三角形，可能是钝角三角形，过A 点作AD 垂直于BC ，当为ABC ∆锐角三角时，BC=CD+BD ，当ABC ∆为钝角三角形时，BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案．【详解】如图，过点A 作AD BC ⊥ 垂足为D当为ABC ∆锐角三角时，AC ＝8，45C ∠=︒，90ADC ∠=︒∴ AD=CD=42在Rt ABD ∆中 22226(42)3632AB AD -=-=-∴ BC=CD+BD=422当为ABC ∆钝角三角时，同理可得 CD=2 ,BD=2∴ BC=CD-BD=422故答案为：422【点睛】本题考查了三角形的分类，勾股定理的应用，准确的画出图形是解决本题的关键． 17．或或【分析】设点C 的坐标为先根据两点之间的距离公式可得的值再根据全等三角形的性质建立方程组解方程组即可得【详解】设点C 的坐标为由题意分以下两种情况：（1）当时则即解得或则此时点C 的坐标为或（与点B 重解析：(2,1)-或(3,1)-或(3,1)【分析】设点C 的坐标为(,)C a b ，先根据两点之间的距离公式可得2222,,,AC OC AB OB 的值，再根据全等三角形的性质建立方程组，解方程组即可得．【详解】设点C 的坐标为(,)C a b ，(5,0),(0,0),(2,1)A O B ，222(5)AC a b ∴=-+，222OC a b =+，222(25)(10)10AB =-+-=，222(20)(10)5OB =-+-=，由题意，分以下两种情况：（1）当AOC AOB ≅时，则,AC AB OC OB ==，2222,AC AB OC OB ∴==，即2222(5)105a b a b ⎧-+=⎨+=⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=⎩，则此时点C 的坐标为(2,1)C -或(2,1)C （与点B 重合，不符题意，舍去）；（2）当OAC AOB ≅时，则,AC OB OC AB ==，2222,AC OB OC AB ∴==，即2222(5)510a b a b ⎧-+=⎨+=⎩，解得31a b =⎧⎨=-⎩或31a b =⎧⎨=⎩，则此时点C 的坐标为(3,1)C -或(3,1)C ；综上，点C 的坐标为(2,1)-或(3,1)-或(3,1)，故答案为：(2,1)-或(3,1)-或(3,1)．【点睛】本题考查了两点之间的距离公式、全等三角形的性质、利用平方根解方程等知识点，熟练掌握全等三角形的性质，并正确分两种情况讨论是解题关键．18．10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可【详解】解：当5为直角边时4也为直角边则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5为斜边时由勾股定理得另一直角边为=3则该直角三角形解析：10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可．【详解】解：当5为直角边时，4也为直角边，则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5，则该直角三角形的面积为3×4÷2=6，综上，该直角三角形的面积为10或6，故答案为：10或6．【点睛】本题考查直角三角形的面积、勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解答的关键． 19．2【分析】根据△ABC 为等边三角形BP 平分∠ABC 得到∠PBC=30°利用PC ⊥BC 所以∠PCB=90°根据含30°直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答【详解】解：∵△ABC 为等边三角形BP 平分解析：2【分析】根据△ABC 为等边三角形，BP 平分∠ABC ，得到∠PBC=30°，利用PC ⊥BC ，所以∠PCB=90°，根据含30°直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答.【详解】解：∵△ABC 为等边三角形，BP 平分∠ABC ， ∴1302PBC ABC ∠=∠=︒ ， ∵PC ⊥BC ，∴∠PCB=90°，在Rt △PCB 中，设PC x =，则 2PB x =,根据勾股定理可得：(()2222x x +=，且0x >，解得：2x =，∵∠ABC 的平分线是PB ，∴点P 到边AB 所在直线的距离与点P 到边BC 所在直线的距离相等.故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用勾股定理求值，解决本题的关键是等边三角形的性质． 20．2【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】∵DE 垂直平分AB ∴AE ＝BE ∴∠EAB ＝∠B ＝225°∴∠AEC ＝∠EAB ＋∠B ＝45°∵∠C ＝90°∴AC ＝CE ＝2A解析：【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】∵DE 垂直平分AB ，∴AE ＝BE ，∴∠EAB ＝∠B ＝22.5°，∴∠AEC ＝∠EAB ＋∠B ＝45°，∵∠C ＝90°，∴AC ＝CE ＝2，AE 2＝AC 2＋CE 2，∴AE ＝2CE ＝22，∴BE ＝AE ＝22．故答案为：22．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．三、解答题21．（1）猜想：222a b c +> ，证明见解析；（2）猜想：222+b a c <，证明见解析；（3）四边形ABCD 的面积是()240030002+米2．【分析】（1）先作高线如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，构造两个直角三角形，设CD x =，则BD a x =-，由勾股定理和AD 构造等式2222()b x c a x -=-- ，利用放缩法可得 222b a c +>（2）先作高线如图3，过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，构造两个直角三角形设CD y =，则BD a y =+，利用勾股定得2222()b y c a y -=-+，整理得，2222b a c ay +=-利用放缩法222b a c +<（3）如图4，连接AC ．过点D 作DE AC ⊥于点E ，由勾股定理求出100AC = 设AE x =，则EC=100-x ，由勾股定理构造方程222211090(100)x x -=--，解方程的70x =，再求出DE ，利用分割法求面即可【详解】解：（1）猜想：222a b c +> ，证明：如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，设CD x =，则BD a x =-，在Rt ACD △中，有222b x AD -=,在Rt ABD △中，有222()c a x AD --= ，∴2222()b x c a x -=-- ，解之：2222b a c ax +=+，∵a b c x ，，，均为正数，∴222b a c +> ；（2）猜想：222b a c +<证明：如图3，过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，设CD y =，则BD a y =+，在Rt ACD △中，有222b y AD -=，在Rt ABD △中，有222()c a y AD -+= ， ∴2222()b y c a y -=-+，解之：2222b a c ay +=-，∵a b c y ，，，均为正数，∴222b a c +< ；（3）如图4，连接AC ．在Rt ABC 中，有222AC AB BC =+，∴222806010000AC =+=，∵0AC >，∴100AC = ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，设AE x =，则EC=100-x ，在Rt ADE 中，有222AD AE DE -=，即222110x DE -=，在Rt CDE △中，有222CD CE DE -=，即22290(100)x DE --= ，∴222211090(100)x x -=--，解之：70x =，在Rt ADE 中，有2222211070DE AD AE =-=-，∴DE=602±∴DE=602，∴1122ABC ADC ABCD S S S AB BC AC DE =+=⨯⨯+⨯⨯四边形， =11608010060222=⨯⨯+⨯⨯， =240030002+（米2），∴四边形ABCD 的面积是()240030002+米2．【点睛】本题考查作高线，勾股定理，利用勾股定理推出锐角三角形，钝角三角形结论，用分割法求四边形面积，掌握高线最烦，利用勾股定理构造方程，判读锐角三角形与钝角三角形，利用分割法四边形求面是解题关键．22．（1）,EC EG CF GF ==；（2）证明见解析；（3）EG 的长是134．【分析】（1）根据角平分线性质得出EC ＝EG ，再根据勾股定理推出CF ＝GF 即可．（2）连接BE ，推出AE ＝BE ，根据HL 证出Rt △AGE ≌Rt △BCE 即可．（3）求出BC ，根据勾股定理求出AC ，设EG ＝EC ＝x ，则AE ＝8﹣x ，在Rt △AGE 中，由勾股定理得出方程62+x 2＝（8﹣x ）2，求出方程的解即可．【详解】（1）解：EC ＝EG ，CF ＝GF ，理由是：∵∠C ＝90°，EG ⊥AF ，EF 平分∠AFC ，∴CE ＝EG ，∵EF ＝EF ，∴由勾股定理得：2222,,CF EF CE GF EF EG =-=-∴ CF ＝GF ．（2）证明：连接BE ，∵AB 的垂直平分线DE ，∴AE ＝BE ，在Rt △AGE 和Rt △BCE 中，AE BE EG EC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AGE ≌Rt △BCE （HL ），∴AG ＝BC ．（3）解：,,AG BC FG FC ==∴ AG ＝BC ＝BF +GF ，212,AF BF AG GF BF AG +=++==∴AG ＝BC ＝12×12＝6，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：8,AC ===设EG ＝EC ＝x ，则AE ＝8﹣x ，在Rt △AGE 中，由勾股定理得：62+x 2＝（8﹣x ）2，22366416,x x x ∴+=-+1628,x ∴= 解得：31,4x =∴EG 的长是31.4【点睛】本题考查的是角平分线的性质定理，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质定理，直角三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．23．（1）ABE △是直角三角形；理由见解析；（2）线段AB 的长为16.9．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；（2）设AB AC x ==，则5AE x =-，由勾股定理列得222BE AE AB +=，代入数值得22212(5)x x +-=，计算即可．【详解】解：（1）ABE △是直角三角形．理由：∵22222213169,12144,525BC BE CE ======，∴222169BE CE BC +==，∴90BEC ∠=︒，∴BE AC ⊥，∴ABE △是直角三角形．（2）设AB AC x ==，则5AE x =-，由（1）可知ABE △是直角三角形，∴222BE AE AB +=，∴22212(5)x x +-=，解得16.9x =，∴线段AB 的长为16.9．【点睛】此题考查勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的运算及应用是解题的关键． 24．（1）126；（2）见解析【分析】（1）利用勾股定理容易求出AD 长；进而求出BD ，从而得到BC 长，再由三角形面积公式即可求解；（2）利用勾股定理易得2222AB AC BD DE -=-，再利用平方差公式分解因式可得()()22AB AC BD DE BD DE -=-+，根据折叠性质和线段和差关系即可得出结论．【详解】（1）解：AD 是BC 边上的高，90ADB ADC ∴∠=∠=在Rt ADC 中，13,5,AC CD ==2213514412AD ∴=-=在Rt ADB 中，20,12,AB AD ==22201225616BD ∴=-==16521,BC BD CD ∴=+=+=11211212622ABC S BC AD ∴=⨯⨯=⨯⨯=(平方单位)．（2）证明：ADC 沿AD 所在的直线翻折得到,ADE,,AC AE DC DE ∴==在Rt ADC 中，由勾股定理，得222,AC AD DC =+在Rt ADB 中，由勾股定理，得222BD AB AD =-， ()22222AB AC AB AD DC ∴-=-+222AB AD DC =-- 22BD DE =-()(),BD DE BD DE =-+,,BE BD DE BC BD DC BD DE =-=+=+22AB AC BE BC ∴-=⋅．【点睛】本题主要考查了勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，利用由勾股定理求解是解决问题的关键．25．（1）DE BD CE =+；（2）结论DE BD CE =+成立，证明见解析；（3）①DFE △为等边三角形，证明见解析．2．【分析】（1）由题意可知90ADB CEA ∠=∠=︒，又可推出ABD CAE ∠=∠，即可证明(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，AD CE =．即推出DE AD AE BD CE =+=+．（2）由题意易证ABD CAE ∠=∠，即证明(AAS)ADB CEA ≌，同理即DE AD AE BD CE =+=+．（3）①由（2）知(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，由ABD CAE ∠=∠，易证FBD FAE ∠=∠，又由题意可知FB=FA ，即证明出(SAS)FBD FAE ≌，得出结论FD FE =，BFD AFE ∠=∠，即可求出60DFE ∠=︒，即证明DEF 为等边三角形． ②由DE n =，DEF 为等边三角形，即可求出DEF 的面积．【详解】（1）DE BD CE =+，理由：∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵BD m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∴90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ABD CAE ∠=∠，在ADB △和CEA 中，90ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)ADB CEA ≌， ∴BD AE =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+．故答案为：DE BD CE =+．（2）结论DE BD CE =+成立；理由如下：∵180BAD CAE BAC ∠+∠=︒-∠，180BAD ABD ADB ∠+∠=︒-∠，BDA BAC ∠=∠，∴ABD CAE ∠=∠，在BAD 和ACE △中，ABD CAE ADB CEA AB AC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴(AAS)BAD ACE ≌， ∴BD AE =，AD CE =，∴DE DA AE BD CE =+=+．（3）①DEF 为等边三角形，理由：由（2）得，BAD ACE ≌△△，∴BD AE =，∵ABD CAE ∠=∠，∴ABD FBA CAE FEC ∠+∠=∠+，即FBD FAE ∠=∠，在FBD 和FAE ∠中，FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)FBD FAE ≌，∴FD FE =，BFD AFE ∠=∠，∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴DEF 为等边三角形．②∵DEF 为等边三角形． ∴DEF的高为2DE ．∴213224DFE S DE DE ==．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键．26．（1）见详解；（2）6【分析】（1）由△ABC 与△DCE 是等边三角形，可得AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，又由∠ACD ＋∠DCB ＝∠ECB ＋∠DCB ＝60°，即可证得∠ACD ＝∠BCE ，所以根据SAS 即可证得△ACD ≌△BCE ；（2）首先过点C 作CH ⊥BQ 于H ，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC ＝30°，则根据等腰三角形“三线合一”与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ 的长．【详解】（1）证明：ABC 和CDE △均为等边三角形，∴AC BC =，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，∵60ACD DCB DCB BCE ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD BCE∠=∠，∴≌ACD BCE；（2）过点C作CH⊥BQ于H，∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，∴∠DAC＝30°，∵△ACD≌△BCE，∴∠PBC＝∠DAC＝30°，∴在Rt△BHC中，CH＝12BC＝12×8＝4，∵PC＝CQ＝5，CH＝4，∴PH＝QH225-43=，∴PQ＝6．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、等边三角形的性质以及勾股定理，此题综合性较强，但难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．。

八年级数学勾股定理试卷含答案

八年级数学试卷（勾股定理）一、选择题（将正确答案代号填入下表中，每小题3分，共36分）1．以下列数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（）A．4，6，8 B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，122．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（）A．该命题为假命题 B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题3．一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm，高为32cm，则桶内所能容下的木棒最长为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm4．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．4 B．C．2 D．35．如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿最长边翻转180°成△ABC1，则CC1的长等于（）A．B．C．D．6．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对7．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）A．B．C．D．8．长方形的一边长为4，对角线与长方形另外一条边相差2，则长方形的面积为（）A．8 B．4 C．6 D．129．在直角三角形中，如果有一个角是30°，这个直角三角形的三边之比最有可能的是（）A．3：4：5 B．1：1：C．5：12：13 D．1：：210．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．311．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm12．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A 点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上）13．如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为．14．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC 上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为．15．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=a，则图中阴影部分的面积为．16．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为cm2．三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出计算过程）17．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）已知c=25，b=15，求a；（2）已知a=，∠A=60°，求b、c．18．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD=9，BC=15，AC=20．（1）求CD的长；（2）求AB的长；（3）判断△ABC的形状．19．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC 的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．20．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？21．如图，△ABC，△AED是两个大小一样的三角形，已知∠ADE=90°，AE=5，AD=4，连接EB，求DE和EB的长．22．在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．23．在△ABC中，a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m、n都是正整数；且m ＞n，试判断△ABC是否为直角三角形？24．长方形OABC绕顶点C（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到CO′A′B′位置时，边O′A′交边AB于D，且A′D=2，AD=4．（1）求BC长；（2）求阴影部分的面积．八年级数学试卷（勾股定理）参考答案与试题解析一、选择题（将正确答案代号填入下表中，每小题3分，共36分）1．以下列数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（）A．4，6，8 B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，12【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．【解答】解：A、∵42+62≠82，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；B、∵42+82≠102，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、∵62+82=102，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；D、∵82+102≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选C．2．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（）A．该命题为假命题 B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题【考点】命题与定理．【分析】首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项．【解答】解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，故选B．3．一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm，高为32cm，则桶内所能容下的木棒最长为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出示意图，AC为圆桶底面直径，AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理即可求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=2×12=24cm，CB=32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB===40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．4．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．4 B．C．2 D．3【考点】等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．【解答】解：∵等边三角形高线即中点，AB=2，∴BD=CD=1，在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，∴AD=，=BC•AD=×2×=，∴S△ABC故选B．5．如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿最长边翻转180°成△ABC1，则CC1的长等于（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的逆定理．【分析】首先设AB与CC1相较于点D，由△ABC的三边分别为3、4、5，且32+42=52，可得△ABC是直角三角形，即可求得CD的长，继而求得答案．【解答】解：设AB与CC1相较于点D，∵△ABC的三边分别为3、4、5，且32+42=52，∴△ABC是直角三角形，由折叠的性质可得：AB⊥CD，且CD=C1D，∴CD==，∴CC1=2CD=．故选：D．6．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．【解答】解：∵正方形小方格边长为1，∴BC==2，AC==，AB==，在△ABC中，∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．故选：A．7．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）A．B．C．D．【考点】勾股定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．∴∠BDC=∠CBD=30°．∴∠BDE=90°．∴BD==4．故选：D．8．长方形的一边长为4，对角线与长方形另外一条边相差2，则长方形的面积为（）A．8 B．4 C．6 D．12【考点】矩形的性质．【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：∵如图，AB=4，AC=BC+2，∴根据勾股定理得到：AB2+BC2=（BC+2）2，即16+BC2=（BC+2）2，∴BC=3，∴它的面积为4×3=12．故选：D．9．在直角三角形中，如果有一个角是30°，这个直角三角形的三边之比最有可能的是（）A．3：4：5 B．1：1：C．5：12：13 D．1：：2【考点】含30度角的直角三角形．【分析】设30°角所对的直角边为a，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出斜边的长度，再利用勾股定理求出另一条边的长度，然后即可求出比值．【解答】解：如图，设30°角所对的直角边BC=a，则AB=2BC=2a，∴AC==a，∴三边之比为a：a：2a=1：：2．故选D．10．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【考点】勾股定理．【分析】由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．【解答】解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b+2.5=6，∴a+b=3.5，①∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2+b2=2.52，②由②得a2+b2=（a+b）2﹣2ab=2.52∴3.52﹣2ab=2.52ab=3，故选D．11．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，∴AC2=22+22=4+4=8，∴AC=2dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4dm．故选：A．12．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A 点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【考点】勾股定理的应用．【分析】如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可．【解答】解：根据题意得出最短路程如图所示，最短路程长为+1=2+1，则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上）13．如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为90°．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得答案．【解答】解：∵（）2+22=（）2，∴此三角形是直角三角形，∴这个三角形的最大角的度数为90°，故答案为：90°．14．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC 上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为（10，3）．【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8﹣x，CF=10﹣6=4，根据勾股定理列方程求出EC 可得点E的坐标．【解答】解：∵四边形A0CD为矩形，D的坐标为（10，8），∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中，OF==6，∴FC=10﹣6=4，设EC=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，即EC的长为3．∴点E的坐标为（10，3），故答案为：（10，3）．15．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=a，则图中阴影部分的面积为a2．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，然后判断出阴影部分的面积=2S△ABE，再利用等腰直角三角形的面积等于直角边的平方的一半计算即可得解．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∵三个阴影部分三角形都是等腰直角三角形，=2×•a•（a）=a2．∴阴影部分的面积=2S△ABE故答案为：a2．16．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【解答】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．∴S△PBQ故答案为：18．三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出计算过程）17．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）已知c=25，b=15，求a；（2）已知a=，∠A=60°，求b、c．【考点】解直角三角形．【分析】（1）根据勾股定理即可直接求出a的值；（2）根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c的值．【解答】解：（1）根据勾股定理可得：a==20；（2）∵△ABC为Rt△，∠A=60°，∴∠B=30°，∴c=2b，根据勾股定理可得：a2+b2=c2，即6+b2=（2b）2，解得b=，则c=2．18．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD=9，BC=15，AC=20．（1）求CD的长；（2）求AB的长；（3）判断△ABC的形状．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】（1）在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长；（2）在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，故可得出AB的长；（3）由勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，所以BD2+CD2=BC2．所以CD2=BC2﹣BD2=152﹣92=144．所以CD=12．（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，所以CD2+AD2=AC2．所以AD2=AC2﹣CD2=202﹣122=256．所以AD=16．所以AB=AD+BD=16+9=25．（3）因为BC2+AC2=152+202=625，AB2=252=625，所以AB2=BC2+AC2．所以△ABC是直角三角形．19．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC 的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，首先求出BD的长，根据勾股定理列出关于线段AN的方程，问题即可解决．【解答】解：如图，∵点D为BC的中点，∴BD=CD=；由题意知：AN=DN（设为x），则BN=9﹣x；由勾股定理得：x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5，∴BN=9﹣5=4，即BN的长为4．20．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？【考点】勾股定理的应用．【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即（h+3）2=h2+62，∴h2+6h+9=h2+36，6h=27，解得：h=4.5．答：水深4.5尺．21．如图，△ABC，△AED是两个大小一样的三角形，已知∠ADE=90°，AE=5，AD=4，连接EB，求DE和EB的长．【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出DE的长，再利用全等三角形的性质结合勾股定理得出BE的长．【解答】解：∵∠ADE=90°，AE=5，AD=4，∴DE==3，∵△ABC，△AED是两个大小一样的三角形，∴AB=AE=5，∴BD=1，∴BE===．22．在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．【考点】勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质．【分析】根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．【解答】解：∵AC=4，BC=2，AB=，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．∵DE⊥CB（已知）∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义），∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），∵△ABD为等腰直角三角形（已知），∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义），∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义），∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），在△ACB与△BED中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等），∴CE=6（等量代换）根据勾股定理得：CD=2；如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．∵BC⊥CA（已知）∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义）∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）∵△ABD为等腰直角三角形（已知）∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）在△ACB与△DEA中，∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证）AB=DA（已证）∴△ACB≌△DEA（AAS）∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等）∴CE=6（等量代换）根据勾股定理得：CD=2；如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，∴△AFD≌△DEB，则ED=AF，由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，则四边形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4，设DF=x，则BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF﹣DF=4﹣x，则2+x=4﹣x，解得：x=1，故EC=DE=3，则CD=3．23．在△ABC中，a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m、n都是正整数；且m ＞n，试判断△ABC是否为直角三角形？【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：∵a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，∴a2+b2=（m2﹣n2）2+4m2n2=m4+n4﹣2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2=c2．∴△ABC是为直角三角形．24．长方形OABC绕顶点C（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到CO′A′B′位置时，边O′A′交边AB于D，且A′D=2，AD=4．（1）求BC长；（2）求阴影部分的面积．【考点】坐标与图形变化-旋转；勾股定理的应用；矩形的性质；旋转的性质．【分析】（1）先根据旋转的性质以及矩形的性质，求得BC=AO=O′A′，AB=CO=CO'=5，∠B=∠O'=90°，BD=1，再连接CD，设BC=x，根据勾股定理得出BC2+BD2=CD2=CO'2+DO'2，据此列出方程求解即可；（2）根据阴影部分的面积=△BCD面积+△O'CD面积，进行计算即可．【解答】解：（1）∵长方形OABC绕顶点C（0，5）逆时针方向旋转得到矩形CO′A′B′∴BC=AO=O′A′，AB=CO=CO'=5，∠B=∠O'=90°，∵AD=4，AB=5，∴BD=5﹣4=1，设BC=x，则DO'=O'A'﹣A'D=x﹣2，连接CD，则BC2+BD2=CD2=CO'2+DO'2即x2+12=52+（x﹣2）2解得：x=7，∴BC=7；（2）∵BC=7，BD=1，CO'=5，DO'=7﹣2=5，∠B=∠O'=90°，∴阴影部分的面积=△BCD面积+△O'CD面积=×7×1+×5×5=16．。

八年级数学勾股定理试卷含答案

八年级数学试卷（勾股定理）一、选择题（将正确答案代号填入下表中，每小题3分，共36分）1．以下列数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（）A．4，6，8 B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，122．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（）,A．该命题为假命题 B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题3．一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm，高为32cm，则桶内所能容下的木棒最长为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm4．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）·A．4 B．C．2 D．35．如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿最长边翻转180°成△ABC1，则CC1的长等于（）A．B．C．D．6．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）、A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对7．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）`A．B． C． D．8．长方形的一边长为4，对角线与长方形另外一条边相差2，则长方形的面积为（）A．8 B．4 C．6 D．129．在直角三角形中，如果有一个角是30°，这个直角三角形的三边之比最有可能的是（）A．3：4：5 B．1：1：C．5：12：13 D．1：：2~10．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为，则ab的值是（）A． B．2 C． D．311．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm…12．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A 点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上）…13．如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为．14．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC 上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为．15．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=a，则图中阴影部分的面积为．！16．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为cm2．三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出计算过程）17．在Rt△ABC中，∠C=90°．~（1）已知c=25，b=15，求a；（2）已知a=，∠A=60°，求b、c．18．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD=9，BC=15，AC=20．（1）求CD的长；（2）求AB的长；*（3）判断△ABC的形状．19．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC 的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．20．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少|21．如图，△ABC，△AED是两个大小一样的三角形，已知∠ADE=90°，AE=5，AD=4，连接EB，求DE和EB的长．22．在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．23．在△ABC中，a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m、n都是正整数；且m ＞n，试判断△ABC是否为直角三角形，24．长方形OABC绕顶点C（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到CO′A′B′位置时，边O′A′交边AB于D，且A′D=2，AD=4．（1）求BC长；（2）求阴影部分的面积．-八年级数学试卷（勾股定理）参考答案与试题解析一、选择题（将正确答案代号填入下表中，每小题3分，共36分）\1．以下列数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（）A．4，6，8 B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，12【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．【解答】解：A、∵42+62≠82，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；|B、∵42+82≠102，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、∵62+82=102，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；D、∵82+102≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选C．%2．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（）A．该命题为假命题 B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题【考点】命题与定理．【分析】首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项．【解答】解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，故选B．3．一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm，高为32cm，则桶内所能容下的木棒最长为（）【A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出示意图，AC为圆桶底面直径，AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理即可求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=2×12=24cm，CB=32cm，@∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB===40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．…4．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．4 B．C．2 D．3【考点】等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．/【解答】解：∵等边三角形高线即中点，AB=2，∴BD=CD=1，在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，∴AD=，=BC•AD=×2×=，∴S△ABC(故选B．5．如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿最长边翻转180°成△ABC1，则CC1的长等于（）A．B．C．D．￥【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的逆定理．【分析】首先设AB与CC1相较于点D，由△ABC的三边分别为3、4、5，且32+42=52，可得△ABC是直角三角形，即可求得CD的长，继而求得答案．【解答】解：设AB与CC1相较于点D，∵△ABC的三边分别为3、4、5，且32+42=52，∴△ABC是直角三角形，—由折叠的性质可得：AB⊥CD，且CD=C1D，∴CD==，∴CC1=2CD=．故选：D．)6．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对}【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．【解答】解：∵正方形小方格边长为1，∴BC==2，AC==，}AB==，在△ABC中，∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．！故选：A．7．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）A．B． C． D．【考点】勾股定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．∴∠BDC=∠CBD=30°．}∴∠BDE=90°．∴BD==4．故选：D．8．长方形的一边长为4，对角线与长方形另外一条边相差2，则长方形的面积为（）；A．8 B．4 C．6 D．12【考点】矩形的性质．【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：∵如图，AB=4，AC=BC+2，∴根据勾股定理得到：AB2+BC2=（BC+2）2，即16+BC2=（BC+2）2，[∴BC=3，∴它的面积为4×3=12．故选：D．^9．在直角三角形中，如果有一个角是30°，这个直角三角形的三边之比最有可能的是（）A．3：4：5 B．1：1：C．5：12：13 D．1：：2【考点】含30度角的直角三角形．【分析】设30°角所对的直角边为a，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出斜边的长度，再利用勾股定理求出另一条边的长度，然后即可求出比值．【解答】解：如图，设30°角所对的直角边BC=a，@则AB=2BC=2a，∴AC==a，∴三边之比为a：a：2a=1：：2．故选D．￥10．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为，则ab的值是（）A． B．2 C． D．3【考点】勾股定理．【分析】由该三角形的周长为6，斜边长为可知a+b+=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．）【解答】解：∵三角形的周长为6，斜边长为，∴a+b+=6，∴a+b=，①∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2+b2=，②]由②得a2+b2=（a+b）2﹣2ab=∴﹣2ab=ab=3，故选D．$11．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．^【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，∴AC2=22+22=4+4=8，∴AC=2dm，~∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4dm．故选：A．12．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A 点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）￥A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【考点】勾股定理的应用．【分析】如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可．【解答】解：根据题意得出最短路程如图所示，（最短路程长为+1=2+1，则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，故选：C．{二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上）13．如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为90°．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得答案．【解答】解：∵（）2+22=（）2，`∴此三角形是直角三角形，∴这个三角形的最大角的度数为90°，故答案为：90°．14．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC 上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为（10，3）．%【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8﹣x，CF=10﹣6=4，根据勾股定理列方程求出EC 可得点E的坐标．【解答】解：∵四边形A0CD为矩形，D的坐标为（10，8），∴AD=BC=10，DC=AB=8，￥∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中，OF==6，∴FC=10﹣6=4，设EC=x，则DE=EF=8﹣x，|在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，即EC的长为3．∴点E的坐标为（10，3），故答案为：（10，3）．~15．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=a，则图中阴影部分的面积为a2．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，然后判断出阴影部分的面积=2S△ABE，再利用等腰直角三角形的面积等于直角边的平方的一半计算即可得解．|【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∵三个阴影部分三角形都是等腰直角三角形，=2×•a•（a）=a2．∴阴影部分的面积=2S△ABE故答案为：a2．!16．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．—【解答】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3，;∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．∴S△PBQ)故答案为：18．三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出计算过程）17．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）已知c=25，b=15，求a；>（2）已知a=，∠A=60°，求b、c．【考点】解直角三角形．【分析】（1）根据勾股定理即可直接求出a的值；（2）根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c的值．【解答】解：（1）根据勾股定理可得：】a==20；（2）∵△ABC为Rt△，∠A=60°，∴∠B=30°，∴c=2b，\根据勾股定理可得：a2+b2=c2，即6+b2=（2b）2，解得b=，则c=2．18．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD=9，BC=15，AC=20．（1）求CD的长；}（2）求AB的长；（3）判断△ABC的形状．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】（1）在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长；^（2）在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，故可得出AB的长；（3）由勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，所以BD2+CD2=BC2．所以CD2=BC2﹣BD2=152﹣92=144．￥所以CD=12．（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，所以CD2+AD2=AC2．所以AD2=AC2﹣CD2=202﹣122=256．所以AD=16．！所以AB=AD+BD=16+9=25．（3）因为BC2+AC2=152+202=625，AB2=252=625，所以AB2=BC2+AC2．所以△ABC是直角三角形．,19．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC 的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，首先求出BD的长，根据勾股定理列出关于线段AN的方程，问题即可解决．【解答】解：如图，！∵点D为BC的中点，∴BD=CD=；由题意知：AN=DN（设为x），则BN=9﹣x；由勾股定理得：:x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5，∴BN=9﹣5=4，即BN的长为4．(20．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少【考点】勾股定理的应用．【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可|【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即（h+3）2=h2+62，∴h2+6h+9=h2+36，6h=27，.解得：h=．答：水深尺．21．如图，△ABC，△AED是两个大小一样的三角形，已知∠ADE=90°，AE=5，AD=4，连接EB，求DE和EB的长．，【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出DE的长，再利用全等三角形的性质结合勾股定理得出BE的长．【解答】解：∵∠ADE=90°，AE=5，AD=4，∴DE==3，(∵△ABC，△AED是两个大小一样的三角形，∴AB=AE=5，∴BD=1，∴BE===．【22．在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．【考点】勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质．【分析】根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．【解答】解：∵AC=4，BC=2，AB=，∴AC2+BC2=AB2，-∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．∵DE⊥CB（已知）∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义），'∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），∵△ABD为等腰直角三角形（已知），∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义），∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义），∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），在△ACB与△BED中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等），∴CE=6（等量代换）根据勾股定理得：CD=2；如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．∵BC⊥CA（已知）∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义）∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）∵△ABD为等腰直角三角形（已知）∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）在△ACB与△DEA中，∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证）AB=DA（已证）∴△ACB≌△DEA（AAS）∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等）∴CE=6（等量代换）根据勾股定理得：CD=2；如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，∴△AFD≌△DEB，则ED=AF，由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，则四边形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4，设DF=x，则BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF﹣DF=4﹣x，则2+x=4﹣x，解得：x=1，故EC=DE=3，则CD=3．23．在△ABC中，a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m、n都是正整数；且m ＞n，试判断△ABC是否为直角三角形【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：∵a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，∴a2+b2=（m2﹣n2）2+4m2n2=m4+n4﹣2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2=c2．∴△ABC是为直角三角形．24．长方形OABC绕顶点C（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到CO′A′B′位置时，边O′A′交边AB于D，且A′D=2，AD=4．（1）求BC长；（2）求阴影部分的面积．【考点】坐标与图形变化-旋转；勾股定理的应用；矩形的性质；旋转的性质．【分析】（1）先根据旋转的性质以及矩形的性质，求得BC=AO=O′A′，AB=CO=CO'=5，∠B=∠O'=90°，BD=1，再连接CD，设BC=x，根据勾股定理得出BC2+BD2=CD2=CO'2+DO'2，据此列出方程求解即可；（2）根据阴影部分的面积=△BCD面积+△O'CD面积，进行计算即可．【解答】解：（1）∵长方形OABC绕顶点C（0，5）逆时针方向旋转得到矩形CO′A′B′∴BC=AO=O′A′，AB=CO=CO'=5，∠B=∠O'=90°，∵AD=4，AB=5，∴BD=5﹣4=1，设BC=x，则DO'=O'A'﹣A'D=x﹣2，连接CD，则BC2+BD2=CD2=CO'2+DO'2即x2+12=52+（x﹣2）2解得：x=7，∴BC=7；（2）∵BC=7，BD=1，CO'=5，DO'=7﹣2=5，∠B=∠O'=90°，∴阴影部分的面积=△BCD面积+△O'CD面积=×7×1+×5×5=16．。

勾股定理竞赛试卷(含解答)

勾股定理竞赛试卷(含解答)八年级数学《勾股定理》竞赛试卷时间：120分钟，总分：120分一、选择题（每小题5分，共25分）1、△ABC周长是24，M是AB的中点MC=MA=5，则△ABC的面积是（）A．12.B．16.C．24.D．302、如图，在正方形ABCD中，N是CD的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠XXX，则AM：AB=（）A．第（1）题图3、如图，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的长为（）A.2.B.22.C.23.D.34、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD边的距离也等于10，那么，正方形ABCD的面积是（）A．200.B．225.C．256.D．150+1025、如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为（）A．12.B．102.C．16.D．20二、填空题（每小题5分，共25分）6、如图，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点P1,P2,P10，记Mi=API2+PiB PiC（i=1，2，……，10），那么。

M1+M2++M10=_________。

第（5）题图7、如图，设∠MPN=20°，A为OM上一点，OA=43，D 为ON上一点，OD=83，C为AM上任一点，B是OD上任意一点，那么折线ABCD的长最小为__________。

第（6）题图8、如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AB，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD的面积=__________。

第（7）题图第（8）题图9、若x + y = 12，那么x2+4+y2+9的最小值=___________。

10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为____________。

三、解答题（共70分）11、求解BD+BF长度问题已知三角形ABC的边长分别为BC=17，CA=18，AB=19，且点P向三边分别作垂线PD，PE，PF，使得BD+CE+AF=27.要求求出BD+BF的长度。

第十七章勾股定理达标检测试卷(原卷版)-2020-2021学年度八年级数学下册精讲精练(人教版)

第十七章勾股定理达标检测试卷（满分100分，答题时间120分钟）一、单项选择题（本题8个小题，每题4分，共32分）1．（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A．1013√13B．913√13C．813√13D．713√132.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为203.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或334.△ABC中，a、b、c是三角形的三条边，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（）A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形5.如图，AD⊥AB，BD⊥BC，AB=3，AD=4，CD=13，则BC的大小为（）A.11B.12C.13D.146．如图，在△ABC 中，三边a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c7．（2019•巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（）A ．，，B ．32，42，52C ．D ．0.3，0.4，0.58．（2019•南岸区）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，BC 的垂直平分线交AC 于点D ，并交BC 于点E ，若ED ＝3，则AC 的长为（）A ．3B ．3C ．6D ．9二、填空题（本题8个小题，每空4分，共32分）9.（2020•苏州）如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ＝2CD ．若E 是AD 的中点，则EC ＝．10.（2019山东东营）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为________．11.在Rt △ABC 中，∠C=90°，b=6，c=10，则a= ．12.如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，若AC ，BC 边上的中线BE ，AD 垂直相交于O 点，则AB= ．13.若直角三角形的三边长分别是n +1，n +2，n +3，求n=_____。

(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测(含答案解析)(1)

一、选择题1．如图所示，数轴上的点A 所表示的数为a ，则a 的值是（）A ．51+B ．51-+C ．51-D ．52．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，以Rt △ABC 各边为斜边分别向外作等腰Rt △ADB 、等腰Rt △AFC 、等腰Rt △BEC ，然后将等腰Rt △ADB 和等腰Rt △AFC 按如图方式叠放到等腰Rt △BEC 中，其中BH ＝BA ，CI ＝CA ，已知，S 四边形GKJE ＝1，S 四边形KHCJ ＝8，则AC 的长为（）A ．2B ．52C ．4D ．63．下列各组数中是勾股数的是（）A ．4，5， 6B ．1.5，2， 2.5C ．11，60， 61D ．1，3，2 4．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm ，高为5cm 的圆柱粮仓模型．如图BC 是底面直径，AB 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A ，C 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A ．10πcmB ．20πcmC ．2cmD ．2cm 5．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（）A ．4cmB ．5cmC ．17cmD ．94cm 6．下列以a ，b ，c 为边的三角形，不是直角三角形的是（）A ．1,1,2a b c ===B ．1,3,2a b c ===C ．3,4,5a b c ===D ．2,2,3a b c === 7．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（）A ．∠B ＝∠C +∠AB ．a 2＝（b +c ）（b ﹣c ）C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．a ：b ：c ＝3：4：58．如图，已知ABC 中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点，5AC =，2BD =，则线段DF 的长度为（）A ．22B ．2C ．3D ．19．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（）A 73B ．10厘米C ．82D ．8厘米 10．下列各组数是勾股数的是（）A ．123B ．0.6，0.8，1C ．3，4，5D ．5，11，12 11．已知Rt ABC 的两直角边分别是6cm ，8cm ，则Rt ABC 的斜边上的高是（）A ．4.8cmB ．2.4cmC ．48cmD ．10cm 12．在平面直角坐标系中，点P(1-，3)到原点的距离是( )A ．10B ．4C ．22D ．2 二、填空题13．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺（1尺＝10寸），则AB 的长是_____寸．14．将一根24cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm ，则h 的最小值__，h 的最大值__．15．一个直角三角形，一边长5cm ，另一边长4cm ，则该直角三角形面积为____ 16．如图所示，在△ABC 中，∠B =90°，AB =3，AC =5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为．17．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.18．如图，ABC 中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，17AB cm =，10AD cm =，8AC cm =，则BD 的长为________.19．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离______cm ．20．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC 中，34AC =，30BC =，则阴影部分的面积是_________．三、解答题21．在△ABC 中，AB=8，AC=5，若BC 边上的高等于4，求BC 的长．22．八年级（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE ，他们进行了如下操作：①测得BD 的长为15米（注：BD CE ⊥）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.6米.（1）求风筝的高度CE .（2）过点D 作DH BC ⊥，垂足为H ，求BH 、DH .23．如图，一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A 处看风小岛C 在船的北偏东60°．40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东30°．已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能．24．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AC +AD ＝32，BD ＝5，CD ＝16，试确定AB 的长．25．先阅读下列一段文字，再回答问题．已知平面内两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，这两点的距离P 1P 2222121))((x x y y =-+-．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x 2﹣x 1|或|y 2﹣y 1|．（1）已知点A (2，4)，B (﹣3，﹣8)，试求A ，B 两点间的距离；（2）已知点A ，B 所在的直线平行于y 轴，点B 的纵坐标为﹣1，A ，B 两点间的距离等于6．试求点A 的纵坐标；（3）已知一个三角形各顶点的坐标分别为A (﹣3，﹣2)，B (3，6)，C (7，﹣2)，你能判断三角形ABC 的形状吗？说明理由．26．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A 在离水面的BD 的1.3米处，在距离鱼线1.2米处D 点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．【详解】解：BC＝BA＝22+=，125∵数轴上点A所表示的数为a，∴a＝51-故选：C．【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．2．D解析：D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝2，即可求解．【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，∴AB2=，=，AC2=，BC2∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴2a2+2b2＝2c2，∴a2+b2＝c2，∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，∴BG＝GH＝a，∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，∴1（a+c）（c﹣a）＝9，2∴c2﹣a2＝18，∴b2＝18，∴b＝2∴AC2=＝6，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．3．C解析：C【分析】根据勾股数的定义判断即可．【详解】解：A 、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意；B 、1.5， 2.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；C 、112+602＝612，三个数都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；D 、3不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数． 4．C解析：C【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC =A 'C ，且点C 为BB '的中点，∵AB =5cm ，BC =12×10=5cm ， ∴装饰带的长度=2AC =22222255102AB BC +=+=cm ，故选：C ．【点睛】本题考查平面展开-最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．5．A解析：A【分析】根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =，22AC BC +，根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ，∵AC=12cm ，∴CE=AE-AC=3cm ，设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ，在Rt △CDE 中，根据勾股定理得CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2，解得x=4，即CD 长为4cm ．故选：A ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．6．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项分别进行判定，则可得出结论．【详解】解：A 、因为12＋12）2，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；B 、因为122＝22，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；C 、因为32＋42＝52，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；D 、因为22＋22≠32，所以此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．7．C解析：C【分析】由三角形的内角和定理求解B 可判断,A 由勾股定理的逆定理可判断,B 由三角形的内角和定理求解 ,C ∠ 可判断,C 设()30,a k k =≠ 则4,5,b k c k == 利用勾股定理的逆定理可判断.D【详解】解：,180,B C A A B C ∠=∠+∠∠+∠+∠=︒2180B ∴∠=︒，90B ∴∠=︒，故A 不符合题意；()()222,a b c b c b c =+-=-222,a c b ∴+=90B ∴∠=︒，故B 不符合题意； ::3:4:5,A B C ∠∠∠=51807512C ∴∠=⨯︒=︒， ABC ∴不是直角三角形，故C 符合题意，::3:4:5,a b c =设()30,a k k =≠ 则4,5,b k c k ==()()()222222234255,a b k k k k c ∴+=+===90C ∴∠=︒，故D 不符合题意，故选：.C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 8．D解析：D【分析】先证明△BDF ≌△ADC ，得到【详解】解：∵AD 和BE 是△ABC 的高线，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠DBF=∠CAD ，∵45ABC ∠=︒，∴∠BAD=45°，∴BD=AD ，∴△BDF ≌△ADC ，∴在Rt △BDF 中，1==．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF ≌△ADC 是解题关键． 9．B解析：B【分析】把圆柱沿着点A 所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A 所在母线展开，如图所示，作点A 的对称点B ，连接PB ，则PB 为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.10．C解析：C【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A 23A 错误；B 、0.6，0.8，不是整数，故B 错误；C 、3，4，5是整数，且222345+=，故C 正确；D 、5，11，12是整数，但22251112+≠，故D 错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．11．A解析：A【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高，即可．【详解】∵Rt ABC 的两直角边分别是6cm ，8cm ，∴斜边cm ，∴斜边上的高=68=4.810⨯cm ，故选A【点睛】本题主要考查求直角三角形斜边上的高，掌握勾股定理以及“面积法”是解题的关键． 12．A解析：A【分析】根据平面直角坐标系中，两点间的距离公式，即可求解．【详解】∵P(1-，3)，原点坐标为（0，0），∴点P(1-，3)到原点的距离=故选A ．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，两点间的距离公式，掌握“若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则”，是解题的关键．二、填空题13．101【分析】取AB 的中点O 过D 作DE ⊥AB 于E 根据勾股定理解答即可得到结论【详解】解：取AB 的中点O 过D 作DE ⊥AB 于E 如图2所示：由题意得：OA ＝OB ＝AD ＝BC 设OA ＝OB ＝AD ＝BC ＝r 寸则解析：101【分析】取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，如图2所示：由题意得：OA ＝OB ＝AD ＝BC ，设OA ＝OB ＝AD ＝BC ＝r 寸，则AB ＝2r （寸），DE ＝10寸，OE ＝12CD ＝1寸， ∴AE ＝（r ﹣1）寸，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2，即（r ﹣1）2＋102＝r 2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故答案为：101【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．14．11cm12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小利用勾股定理计算即可【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大h最大=24﹣12=12（cm解析：11cm 12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，在杯子内的长度22+=13（cm），512故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范围是11≤h≤12cm．故答案为：11cm；12cm．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．15．10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可【详解】解：当5为直角边时4也为直角边则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5为斜边时由勾股定理得另一直角边为=3则该直角三角形解析：10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可．【详解】解：当5为直角边时，4也为直角边，则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当522-，54则该直角三角形的面积为3×4÷2=6，综上，该直角三角形的面积为10或6，故答案为：10或6．【点睛】本题考查直角三角形的面积、勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解答的关键．16．7【解析】∵在△ABC中∠B=90°AB=3AC=5∴BC=∵△ADE是△CDE翻折而成∴AE=CE∴AE+BE=BC=4∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7故答案是：7解析：7【解析】∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=2222-=-=.534AC AB∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE=CE，∴AE+BE=BC=4，∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．故答案是：7．17．【分析】如图由于倒下部分与地面成30°夹角所以∠BAC=30°由此得到AB=2CB而离地面米处折断倒下即BC=4米所以得到AB=8米然后即可求出这棵大树在折断前的高度【详解】如图∵∠BAC=30°∠解析：【分析】如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面米处折断倒下，即BC=4米，所以得到AB=8米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．【详解】如图，∵∠BAC=30°,∠BCA=90°，∴AB=2CB，而BC=4米，∴AB=8米，∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米.故答案为12.【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键. 18．9cm【分析】由可知为直角三角形利用勾股定理可分别计算求得BC和CD 从而完成BD求解【详解】∵∴同理∴故答案为：【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长解析：9cm【分析】由90C ∠=︒可知ABC 为直角三角形，利用勾股定理，可分别计算求得BC 和CD ，从而完成BD 求解．【详解】∵90C ∠=︒ ∴222217815BC AB AC =-=-=同理 22221086CD AD AC =-=-=∴1569BD BC CD =-=-=故答案为：9cm ．【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长．19．15【分析】在侧面展开图中过C 作CQ ⊥EF 于Q 作A 关于EH 的对称点A′连接A′C 交EH 于P 连接AP 则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离求出A′QCQ 根据勾股定理求出A′C 即可【详解】解：沿过A 的圆解析：15【分析】在侧面展开图中，过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P ，连接AP ，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q ，CQ ，根据勾股定理求出A′C 即可．【详解】解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH ，过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P ，连接AP ，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A′E ，A′P=AP ，∴AP+PC=A′P+PC=A′C ，∵CQ=12×18cm=9cm ，A′Q=12cm -3cm+3cm=12cm ，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C=2222+=+=15(cm)，A'Q CQ129故答案为：15．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．20．256【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方利用勾股定理即可求出【详解】解：两个阴影正方形的面积和为342-302=256故答案为：256【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理解析：256【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．【详解】解：两个阴影正方形的面积和为342-302=256．故答案为：256．【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中根据勾股定理求阴影部分的边长是解题的关键．三、解答题21．BC=43+3或43-3【分析】作AD⊥BC于D，分点D在线段BC上和BC的延长线上两种情况，根据勾股定理计算即可．【详解】解：作AD⊥BC于D，分两种情况：①高BD在线段BC上，如图1所示：在Rt△ABD中，22228443-=-=AB AD在Rt△ACD中，2222-=-，54AC AD∴3；②高AD在CB的延长线上，如图2所示：BC=BD-CD=43-3；综上所述，BC 的长为43+3或43-3．【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．22．（1）21.6（米）；（2）DH=12（米），BH=9（米）.【分析】（1）利用勾股定理求出CD ，进一步即可求出CE 的高度；（2）如图，利用“等面积法”求出DH 长度，然后再利用勾股定理即可求出BH 的长度.【详解】（1）在Rt CDB ∆中，由勾股定理，得：2222251520CD CB BD =-=-=（米）. ∴20 1.621.6CE CD DE =+=+=（米）；（2）如图所示：由题意得：1122BD DC BC DH ⨯=⨯， ∴15201225DH ⨯==（米）， ∴在Rt BHD ∆中，229BH BD DH =-=（米）【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握相关概念是解题关键.23．不可能．【分析】根据题意实质是比较C 点到AB 的距离与10的大小．因此作CD ⊥AB 于D 点，求CD 的长．【详解】解：作CD ⊥AB 于D ，根据题意，AB=30×23=20，∠CAD=30°，∠CBD=60°，在Rt△ACD中，AD=CD=3tan30︒CD，在Rt△BCD中，BD=CD3=tan60︒CD，∵AB=AD﹣BD，∴3CD﹣3CD=20，CD=103＞10，所以不可能．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题．24．13【分析】设AD＝x，则AC＝32﹣x，根据勾股定理可求出x的值，在直角三角形ABD中，再利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】解：设AD＝x，则AC＝32﹣x，∵AD⊥BC于点D，∴△ADC和△ADB是直角三角形，∵CD＝16，∴x2+162＝（32﹣x）2，解得：x＝12，∴AD＝12，在直角三角形ABD中，AB22512+＝13．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是设出未知数，利用勾股定理列出方程求解．25．（1）13；（2）﹣7或5；（3）△ABC为等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可．（2）根据与y轴平行的线段的特点以及两点间距离公式求解即可．（3）根据两点间距离公式求该三角形的各边长，从而进行判断即可．【详解】（1）∵点()2,4A ，()3,8B --，∴()()22234813AB =+++=；（2）∵点A ，B 所在的直线平行于y 轴，点B 的纵坐标为﹣1，A ，B 两点间的距离等于6，∴点A 的纵坐标为﹣1﹣6=﹣7或﹣1+6=5；（3）∵()()22332610AB =--+--=， ()()22372210AC =--+-+=， ()()22376245BC =-++=，∴△ABC 为等腰三角形．【点睛】本题考查了两点间的距离公式问题，掌握两点间距离公式、等腰三角形的性质是解题的关键．26．5【分析】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，根据题意直接得出AE ，EC 的长，再利用勾股定理得出AC 的长，进而求出答案．【详解】如图所示：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，由题意可得：EC ＝BD ＝1.2m ，AE ＝AB−BE ＝AB−DC ＝1.3−0.8＝0.5m ，∴AC=22221.20.5 1.3CE AE +=+=m ，∴1.3÷0.2＝6.5s ，答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．。

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八年级数学《勾股定理》竞赛试卷（时间：120分钟，总分：120分）一、选择题（每小题5分，共25分）1、△ABC 周长是24，M 是AB 的中点MC=MA=5，则△ABC 的面积是（）A ．12;B ．16;C ．24;D ．302、如图，在正方形ABCD 中，N 是CD 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则AM ：AB=（）A ．31;B ．33;C ．21; D ．63第（1）题图第（2）题图第（3）题图3、如图，已知O 是矩形ABCD 内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD 的长为（）A.2;B.22;C.23;D.34、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（）A ．200;B ．225;C ．256;D ．150+1025、如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为（）A ．12;B ．102;C ．16;D ．20二、填空题（每小题5分，共25分）第（5）题图6、如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有10个不同的点1021,,P P P ，记 C P B P AP M i i i i ⋅+=2（i = 1，2，……，10），那么，1021M M M +++ =_________。

第（6）题图7、如图，设∠MPN=20°，A 为OM 上一点，OA=43，D 为ON 上一点，OD=83，C 为AM 上任一点，B 是OD 上任意一点，那么折线ABCD 的长最小为__________。

第（7）题图第（8）题图8、如图，四边形ABCD 是直角梯形，且AB=BC=2AB ，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD 的面积=__________。

9、若x + y = 12，那么9422+++y x 的最小值=___________。

10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为____________。

三、解答题（共70分）11、（本题10分）如图△ABC 三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内的点P 向△ABC 三边分别作垂线PD ，PE ，PF ，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的长度。

12、（本题15分）如图，在△ABC 中，AB=2，AC=3， ∠A=∠BCD=45°，求BC 的长及△BDC 的面积。

13、（本题15分）设a,b,c,d 都是正数。

求证：ad d b a c b cd d c a 2222222222+++>+++++14、（本题15分）如图，四边形ABCD 中， ∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5-3，CD=6，求AD 。

15、（本题15分）如图，正方形ABCD 内一点E ，E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为62+，求此正方形的边长。

答案一、选择题1．C2．A3．B4．C5．C解答：1．∵MA=MB=MC=5， ∴∠ACB=90°知周长是24，则AC+BC=14，AC 2+BC 2=102，∴2AC ·BC=(AC+BC)2-(AC 2+BC 2) = 142-102=4×24 ∴2421=⋅=∆BC AC S ABC 2．如图，延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则△BAM ∽△TOB∴AM ：MB=OB ：BT∴MB 2=2AM ·BT （1）令DN=1，CT=MD=k ，则AM=2 – k所以BM=222)2(4k AM AB -+=+BT= 2 + k 代入（1），得4 + (2 – k )2= 2 (2 – k ) (2 + k ) 所以 k =34 所以AM ：AB=32：2 = 31 3．如图，过O 作EF ⊥AD 于E ，交BC 于F ；过O 作GH ⊥DC 于G ，交AB 于H设CF=x ，FB = y, AH = s, HB = x,所以OG=x, DG = s所以OF 2=OB 2- BF 2=OC 2-CF 2 即42- x 2= 32- y 2所以x 2- y 2= 16 – 9 =7 （1）同理有OH 2=12- s 2= 32- t 2所以t 2- s 2= 32- 12= 8 （2）又因为OH 2+HB 2=OB 2 即y 2+ t 2= 9（1）-（2）得(x 2+s 2) – (y 2+ t 2) = – 122222 所以OD 2=x 2+ s 2= (y 2+ t 2) – 1 = 9 – 1 = 8所以OD=22 4．如图，过P 作EF ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则PF ⊥CD所以PF=PA=PB=10，E 为AB 中点设PE = x ，则AB=AD=10 + x所以AE=21AB=21(10 + x) 在Rt △PAE 中，PA 2=PE 2+AE 2所以102= x 2+ [21(10 + x )]2 所以x = 6 所以正方形ABCD 面积=AB 2=(10 + 6)2 = 2565．如图，作B 关于AC 的对称点B '，连A B '，则N 点关于AC 的对称点N '在A B '上，这时，B 到M 到N 的最小值等于B →M →N '的最小值，等于B 到A B '的距离BH '，连B 与A B '和DC 的交点P ，则ABP S ∆=21×20×10=100，由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA所以PA=PC ，令PA=x ，则PC=x ，PD=20 – x ，在Rt △ADP 中，PA 2=PD 2+AD 2所以 x 2 = (20 – x )2 + 102 所以 x = 12.5因为ABP S ∆=21PA ·BH ' 所以BH '=165.1221002=⨯=∆PA S ABP 二、填空题1．40；2．12；3．223415+； 4．13；5．6，8，10或5，12，13解答：1．如图，作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 和Rt △AP i D 中，AB 2=AD 2+BD 2222D P AD AP i i +=所以22222)(D P AD BD AD AP AB i i +-+=-BP C P D P BD D P BD D P BD i i i i i ⋅=-+=-=))((22所以422==⋅=AB B P C P AP i i i 所以4=i M所以401021=+++M M M1．如图，作A 关于ON 的对称点A '，D 关于OM 的对称点D '，连结A 'B ，CD '，则A 'B=AB ，C 'D=CD ，从而AB+BC+CD=A 'B+BC+CD '≥A 'D '因为∠A 'ON=∠MON=∠MOD '=20°，所以∠A 'OD '=60°又因为OA '=OA=43，OD '=OD=83，所以OD '=2OA '即△OD 'A '为直角三角形，且∠OA 'D '=90°所以A 'D '=12)34()38(222'2'=-=-OA OD所以，折线ABCD 的长的最小值是123．如图，作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N ，设AB = m, PM = x, PN = y ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+)3(9)()2(1)()1(4222222y x m y m x y x由（2）、（3）分别得，12222=+-+y my m x （3）92222=+-+x mx m y （4）将（1）代入（4）得;2303222m m y my m +=⇒=+- 将（1）代入（5）得;2505222m m x mx m -=⇒=-- 把x,y 的表达式分别代入（1）得0171024=+-m m因为m 2>0 所以m 2=5+22所以 AB=22521,225,225+=+=+=AD BC m 所以223415)(21+=⋅+=AB BC AD S ABCD4．如图，AB=12，AC=2，BD=3，且AB ⊥AC ，AB ⊥BD ，P 在AB 上且PA=x ，PB=y ，连PC ，PD ，在Rt △CAP 和Rt △DBP 中9,4222222+=+=+=+=y PB BD PD x PA AC PC 如图，P 点在0P 位置时，PC+PD 的值最小，为线段CD 的长度，而CD=1312)32(22=++所以9422+++y x 的最小值为13。

5．设三边长为a,b,c ，其中c 是斜边，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=+)3(2)1(222ab c b a c b a （2）代入（1）得222)2(b a ab b a --=+ 即0)844(4=+--b a ab ab 因为ab ≠0 所以ab – 4a – 4b + 8 = 0所以484-+=b a (a,b 为正整数) 所以b – 4 = 1，2，4，8，所以b = 5，6，8，12；a = 12，8，6，5；c = 13，10，10，13，所以，三边长为6，8，10或5，12，13三、解答题1．如图,连结PA,PB ，PC ，设BD=x ，CE=y ，AF=z ，则DC=17-x ，EA=18 – y ，FB = 19 – z在Rt △PBD 和Rt △PFB 中，有2222)19(PF z PD x +-=+ 同理有： 22222222)18()17(PEy PF z PD x PE y +-=++-=+ 将以上三式相加，得222222)19()18()17(z y x z y x -+-+-=++即17x + 18y + 19z = 487又因为x + y + z = 27，所以x = z – 1,所以BD + BF = x + (19 – z ) = z – 1 + 19 – z = 182．如图，作CE ⊥AB 于E ，则CE=AE=2622=AC 所以BE=AB-AE=2 - 26426-= 又222BE CE BC +=所以BC=1662722-=-=+BE CE再过D 作DF ⊥BC ，交CB 延长线于F ，并设DF=CF=x ，则BF= x – BC = x + 1 - 6又Rt △DFB ∽Rt △CEB ，所以DF ：BF=CE ：BE ，即x ：(x + 1 - 6) = 264:26- 所以x = 2623+ 所以4692623)16(2121+=+⨯-⨯=⋅=∆DF BC S BCD 2．如图，构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形ABCD ，在Rt △ABE 中，BE=22AB AE + 所以BE=cd d c a d c a 2)(22222+++=++在Rt △BCF 中， BF=ab d b a d b a CF BC 2)(2222222+++=++=+ 在R t △DEF 中，EF=2222c b DF DE +=+在△BEF 中，BE+EF>BF即ab d b a c b cd d c a 2222222222+++>+++++3．如图，过A 作AE ∥BC 交CD 于E ，则∠1=45°，∠2=60°，过B 作BF ⊥AE 于F ，作CG ⊥AE 于G ，则Rt △ABF 为等腰直角三角形，BCFG 为矩形，又因为AB=6，BC=5-3，所以BF=AF=22AB=3，所以CG=BF=3，所以CE=32CG=2，EG=31CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4过D 作DM ⊥AE 延长线于M∠MED=180°-∠AED=180°-∠BCD=180°-120°=60°所以EM=21DE=2，DM=23DE=23 在Rt △AMD 中，AD=192)32()26(2222=++=+DM AM5．如图，以A 为中心，将△ABE 旋转60°到△AMN ，连NB ，MB ，则AE+EB+EC=AN+MN+EC因为AE=AN ，∠NAE=60°所以AE=NE所以AE+EB+EC=MN+NE+EC当AE+EB+EC 取最小值时，折线MNEC 成为线段，且MC=62+，∠MBC=150°在Rt △PMC 中，设BC=x ，PM=x PB x 23,2= 所以222)23()2()62(x x x ++=+ 所以x = 2, BC=2。

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