建筑力学 第3章：平面力系的合成与平衡

第三章
平面力系的合成与平衡
第一节 汇交力系的合成与平衡
3.1 汇交力系的合成与平衡
第一节 汇交力系的合成与平衡
若力系中各力的作用线汇交于一点，则该力 系称为汇交力系。 若一个汇交力系的各力的作用线都位于同一 平面内，则该汇交力系称为平面汇交力系，否则 称为空间汇交力系。
根据力的可传性，各力作用线的汇交点可 以看作各力的公共作用点，所以汇交力系有 时也称为共点力系。
第二节 平面任意力系的简化
有些空间力系的问题，可近似地简化为平面力系问 题来分析计算。 如水利工程上常见的重力坝，如图a所示。在对其进行 力学分析时，往往取单位长度（如１ｍ）的坝段来考察， 而将坝段所受的力简化成为作用于坝段中央平面内的平面 力系，如图b所示。
一、平面任意力系的简化
设在某一刚体上作用着平面一般力系F1、F2、…Fn，如 图所示。显然无法象平面汇交力系那样，用力的平行四边形 法则来合成它。
F1
F2
Fn
应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的 某一点o（称为简化中心）平移，再将所得的平面汇交力系和 平面力偶系分别合成。过程为：
合成
合成 Mo（合力偶）
向一点简化
平面一般力系
平面汇交力系
平面力偶系
F’（合力）
F2
Fn F2 ' M 2 Mn
o
F1
（a)
F2
d1 d2 dn o
例题
解：
1.取梁AB作为研究对象。
2.画出受力图。
60º
3.作出相应的力三角形。
30º
4.由力多边形解出：
FA = F cos30=17.3 kN FB = F sin30=10 kN
60º
30º
例题
如图轧路碾子自重P = 20 kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高 h = 0.08 m碾子中心O处作用一 水平拉力F，试求: (1)当水平 拉力F = 5 kN时，碾子对地面和
图 节点O受力图
第一节 汇交力系的合成与平衡
图是一索道运输设 备的示意图，其中钢 绳及立柱作用于滑轮A 上的力F1、F2、F3及 F4 都通过轮的中心， 但不在同一平面内， 组成一空间汇交力系。
图 滑轮A受力图
一、汇交力系的合成 ——几何法 应用力多边形法则，合力即为力多边形的封闭边。 如图所示。用解析式表达为
F1
(b)
Fn
y
FR '
F1 '
M1
(c)
o
Mo
x
Fn '
(d)
图 平面一般力系的简化
第二节 平面任意力系的简化
根据汇交力系合成的理论， FR 应等于所有汇交力的
矢量和，即
FR = F1 + F2 + + Fn
亦即
FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
根据力偶系合成的理论， M O 应等于各附加力偶矩的 代数和，又等于原力系各力对点O 的矩的代数和， 即:
h
由已知条件可求得 Rh cos q 0.866 R q 30
再由力多边形图c 中各矢量的 几何关系可得
F FB
B
O
P
A
FB
(b)
q
FB sin q F FA FB cos q P
解得
FA
FA F
(c)
P
F FB 10 kN, sin q
FA P FB cos q 11.34 kN
2 2 F xi F yi 0
F
xi
0 ， Fyi 0
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个 坐标轴中上的投影之代数和均等于零。 由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。
第一节 汇交力系的合成与平衡
对于空间汇交力系，有三个独立平衡方程， 可用来求解三个未知数；而平面汇交力系只有两 个独立平衡方程，可以求解两个未知数。 虽然上述方程是由直角坐标系导出的，但在实 际运算中，并不一定取直角坐标，只须取互不平行 且不都在同一平面内的三轴为投影轴即可。根据具 体情况，适当选取投影轴，往往可以简化计算。 解答平衡问题时，未知力的指向可以任意假设， 如结果为正值，表示假设的指向就是实际的指向； 如结果为负值，则表示实际的指向与假设的指向相 反。
M=Fd
(a)
(b) 图力线平移定理的证明
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一 个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该 力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力 来等效替换 如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心 （球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与 球相切——“削球”，则球将产生平动和转动。 c
600 2000cos300 425 N
FRy Fiy 500 1000sin 450
0 2000sin 300 207 N
第一节 汇交力系的合成与平衡
合力的大小：
FR F F 473 N
2 Rx 2 Ry
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
425 cos( FR , x) cos 0.9 473 207 cos( FR , y ) cos 0.438 473
合力与轴x，y的夹角分别为：
26
116
第一节 汇交力系的合成与平衡
梁AB 支承和受力情况如图所示，求支 座A、B 的反力。
第一节 汇交力系的合成与平衡
解：根据铰支座的性质，FA的方向本属未定，
但因梁只受三个力，而FP与FB交于C，故FA必沿 AC作用，并由几何关系知FA与水平线成30°。 假设FA与FB的指向如图所示。取x、y轴如图2-6b 所示，由平衡方程为：
第一节 汇交力系的合成与平衡
实际工程中的汇交力系实例 如起重机起吊重 物时(图a)，作用于 吊钩C 的力有：钢绳 拉力F3及绳 AC 和 BC 的拉力F1及F2 (图b)，它们都在同 一铅直平面内并汇交 于C 点，组成一平面 汇交力系。
图 吊钩受力图
第一节 汇交力系的合成与平衡
图b为图a所示的 屋架的一部分， 其中各杆所受的 力F1、F2、F3、 F4在同一平面内 并汇交于一点， 也组成一平面汇 交力系。
第一节 汇交力系的合成与平衡
y
F4
用解析法求图所示 平面汇交力系的合力 。
其中：
F1 = 500 N，F2 = 1000 N， F3 = 600 N，F4 = 2000 N。 F3 F2
O
x
F1 图 例3-1附图
第一节 汇交力系的合成与平衡
解：根据合力投影定理，得合力
在轴x，y上的投影分别为：
FRx Fix 0 1000cos 450
Fy tan Fx
式中 表示合力 F 与 x 轴间所夹的锐角。合力指向 由 Fx、Fy的正负号用图判定。这种运用投影求 合力的方法，称为解析法。 用图可表示为：
F F
y
Fy
F3
Fn
o
F2
F F1
Fx
x
第一节 汇交力系的合成与平衡
二、汇交力系的平衡 如果一个汇交力系的合力等于零，则该 力系成为平衡力系。反过来，如果一个汇交 力系成平衡，其该力系的合力必为零。所以， 汇交力系成平衡的必要与充分条件是：汇交 力系的合力等于零。 即： 亦即
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi
Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi
这个定理也可很直观地理解，如下图表示
F3
o
F2
y
D
F3
C
F
A
B
F1
b d
F2
x
F1
o
c Fx1 ab, Fx 2 bc, Fx3 cd, Fx ad
a
因 ad ab bc cd ,故 同理可得
Fx Fx1 Fx 2 Fx3
Fy Fy1 Fy 2 Fy 3
合成 当应用合力投影定理求出力系的合力的投影Fx、Fy后， 可用下式求出合力的大小和方向
F
Fx Fy
2 2
( Fxi)2 ( Fyi)2
yi xi
例题
2. 碾子能越过障碍的力学条 件是 FA=0， 得封闭力三角形abc。
F
FB
B
O
由此可得
P
A
F P tan q 11.5 kN
a
q
FA FB
q
FB P c Fmin F
P FB 23.09 kN cos q
P b
3. 拉动碾子的最小力为
FA F
Fmin P sin q 10 kN
Fx F cos
Fy F cos F sin
即力在某轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正向间夹 角的余弦。这样当 、 为锐角时, Fx、Fy 均为正值； 为钝角时， Fx、Fy可能为负值。 当 、 故力在坐标轴上的投影是个代数量。
合力投影定理
定义：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。即
第一节 汇交力系的合成与平衡
对于成平衡的空间(或平面)汇交力系，如 用作图法将F1、……、Fn相加，得到的将是闭 合的力多边形。就是说，空间汇交力系成平衡 的图解条件是力多边形闭合。 对于刚体受不平行的三个力作用而成平衡 的情况，有如下结论：若刚体受不平行的三个 力作用而成平衡，则此三个力的作用线必共面 且汇交于一点。这就是所谓的三力平衡定理。
∑Fix＝０ ∑Fiy＝０
图
例3-2附图
第一节 汇交力系的合成与平衡
即：
FA cos 30 FB cos 60 F cos 60 0
FA sin 30 FB sin 60 F sin 60 0
联立解得：
FA
3FP / 2,
FB FP / 2
结果为正值，表明假设的FA与FB的指向是正确的。 请考虑，怎样选取投影轴， 请考虑，怎样选取投影轴， 可以避免解联立方程。 可以避免解联立方程。
R
F B
O
障碍物的压力；(2)欲将碾子拉
过障碍物，水平拉力至少应为多 大；(3)力F 沿什么方向拉动碾 子最省力，此时力F为多大。
q
A
h
例题
解：
1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。
R
Fwk.baidu.com
O
各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条 件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。
B
q P
A
(a)
第一节 力的平移定理
注意：一般说来，在研究变形问题时，力是不能
移动的。
思考：图所示的梁A端受一力Ｆ，如将Ｆ平行移动
至O点成为F′并附加一力偶矩M，其变形效果将如何？
图
悬臂梁
第二节 平面任意力系的简化
3.3 平面一般力系的合成
第二节 平面任意力系的简化
各力作用线位于同一平面内但不全汇交于一点、也 不全相互平行，则该力系称为平面任意力系，简称平面 力系。 例如，厂房建筑中常采用刚架结构，取其中一个刚架 来考察,如图a所示，作用于其上的力可简化为图b所示的 平面力系。
F
c
c
m
F
(a)
F
(b)
图
第一节 力的平移定理
工程上有时也将力平行移 动，以便了解其效应。 例如，作用于立柱上A点 的偏心力F，可平移至立柱轴 线上成为F′，并附加一力偶矩 为M=Mo(F)的力偶，这样并不 改变力F的总效应，但却容易 看出，轴向力F′将使立柱压缩， 而力偶矩M将使短柱弯曲。 图 立柱
FR = 0
F = F + F
i 1
2
+ +Fn = 0 （2-4）
（二）平衡 ——几何法 平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封 闭，即 或
FR =0 F1+F2+F3+F4=0
F4
O
F1 F2
a
F1 b
F2
c
F3
F4
F3
d
平 衡——解析法 由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件 是该力系的合力为零，即 F 0 而 则
FR=F1+F2+F3
F1
O
F1 b
F2
c
F2
F3
a
FR
F3
d
二、汇交力系的合成——解析法
y
力在坐标轴上投影
y
A
o
B
图 a 平行光线照射 下物体的影子
a
b
x
b1 Fy a1 A
o
Fy

FB

Fx
图b 力在坐标轴上的投影
a
Fx
b
x
由图b知，若已知力 F 的大小 和其与x轴、y轴的夹角为 ，则力在x、y轴上的投影为 、
第一节 力的平移定理
3.2 力的平移定理
定理 ：作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动到刚体 上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。 证明：如下图所示： M B ( F ) Fd M M B ( F )
F
B
F
B
d
A
F
F”
B
F
d
A
d A (c)
MO M1 M 2 M n MO Fi
平面一般力系的三种简化结果 1 . 力系简化为力偶
FR' 0, Mo 0
F
C
力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置无关。 例
a
a
F
A
a
B
F
FR' 0, M A M B MC 0.866Pa