微积分基础知识

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２．函数类别： 显函数 y=f(x) 隐函数 F(x,y)=0 参量函数 初等代数函数(只含代数运算显函数） 分段表达函数 单值函数 多值函数
基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数 和反三角函数）.
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几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
n
S lim 2nr sin
n
sin

n 2 r
4

n
y
2)切线的斜率
C
o

y f ( x)
N T
M

x0
x
x
f ( x ) f ( x0 ) k tan lim . x x0 x x0
5
3)计算曲边梯形面积
y
y f ( x)
o
n
a
b
x
曲边梯形面积为
n=11
n=20
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数列极限的 -N定义(P261): 0,N 0,当n N时，xn落在[a , a ]内
即有 xn a lim xn a. n 性质：设 lim an A, lim bn B, 则
n n
(1) lim[an bn ] A B;
n
(2) lim[an .bn ] A B; lim kan kA
n n
an A (3) lim , 其中B 0. n b B n
如:唯一性,有界性,局部保号性,夹挤规则（两边夹）
马克思
2. 学数学最好的方式是做数学. 聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 .
华罗庚
3
3、极限的思维方法 1） 计算圆的周长
圆内接正n 边形
O
n
r
S n 2nr sin n
S3
S4
S5
n 3,4,5,

n lim 2 r
设有函数链
— 复合映射的特例 ① ②
y f (u ), u D1
则
且 g ( D) D 1
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D 1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsinu , 函数 但函数链 y arcsin u , u 2 x 2 不能构成复合函数 .
y a0 a1 x an x n 为初等函数 y a0 a1 x an x n 不是初等函数
x y x 1 x, y x,
y e sin x 1
x 2
为初等函数
x0
x0 x0 x0
不是初等函数
可表为 y
2.反双曲函数
反双曲正弦 y arshx ;
y arshx ln(x x 2 1 ).
y arshx
D : ( ,)
奇函数,
在 (,) 内单调增加 .
24
反双曲余弦 y archx
y archx ln(x x 2 1 ).
y archx
P（x)表示元素具有性质
9
2.邻域:
设a与是两个实数 , 且 0.
数集{x x a () }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .


x
a a a 点a的去心的邻域, 记作U(a, ).
U(a, ) {x 0 x a }.
A lim f ( i )xi
0 i 1
6
4)无穷级数
1 1 1 1 1 1 n lim n n 2 2 4 2 4 2 1 1 (1 n ) 2 1 lim 2 n 1 1 2
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具备的数学素质：
从实际问题抽象出数学模型的能力
D : [1,)
在 [1,) 内单调增加.
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反双曲正切 y arthx
y arthx
1 1 x ln . 2 1 x
y ar tanh x
D : ( 1,1)
奇函数,
在 ( 1,1) 内单调增加.
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三. 函数的几种特性
(1) 有界性 设函数
x D , A, B 0 ,使
单调减函数 .
27
x1 x 2
x
(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若 若 则称 f (Baidu Nhomakorabea) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.
y
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
x o
y x e
xx
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
e x e x y f ( x) 偶函数 2
y f ( x) , x D , 且有区间 I D .
B f ( x) A
称 f (x) 为有界函数. A为上界，B为下界。 (2) 单调性
x1 , x2 I , x1 x2 时,
当 单调增函数 ;
y
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的
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2) 函数 对称 .
与其反函数 的图形关于直线
y yx
Q(b, a) y f (x)
例如 ,
指数函数 y e x , x ( , ) 对数函数 它们都单调递增, 其图形关于直线
o
x
互为反函数 , 对称 .
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例1 证明若函数 y = f (x)是奇函数且存在反函数
x = f
第0章 基本知识
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成
恩格斯
为必要的了.
1
二、主要内容
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二、函数
１． 定义 设数集 D，若存在对应法则 f ，使对 x D ， 存在唯一确定 y M R 与之对应，则称 f 是定义在数集Ｄ 上的函数。记作 f : D M ( x | y ). 函数 f 在点 x 的函数值，记为 f ( x) ， 全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记作 f ( D) 。 即 f ( D) y | y f ( x), x D 。
• o 无理数点 有理数点
x
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(4) 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x
o
x
在自变量的不同变化范围中,对应法则
用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.
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复合函数
计算与分析的能力
了解和使用现代数学语言和符号的能力
使用数学软件学习和应用数学的能力
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第0章
基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体.
组成集合的事物称为该集合的元素.
a M, a M, A { a1 , a 2 , , a n }
M { x P( x) }
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
2
三、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.会运用 数学能力。
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
故命题的证.
(4) 周期性
x D, l 0 , 且 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
2
o 2 x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f ( x) C 狄里克雷函数
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可定义复合
注: 复合函数
代入法
设 y u, u 1 x 2 ,
y 1 x2
复合函数可以由两个以上的函数经过复合 构成.
x 例如 y cot , 2
y u,
x u cot v , v . 2
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初等函数
定义: 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合 运算所构成并可用一个式子表示的显函数，称为初等函数。 例：
x , 故为初等函数.
20
2
双曲函数与反双曲函数
双曲函数
e e 双曲正弦 shx 2
x x
y chx
D : ( ,),
奇函数.
1 x y e 2 1 x y e 2
y shx
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ex e x 双曲余弦 chx 2
D : ( ,),
偶函数.
sinh x e x e x 双曲正切 thx x cosh x e e x
周期为
1, 0,
x 为有理数
x 为无理数
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四. 反函数
若函数 为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1 为 f 的反函数 . 习惯上, y f ( x) , x D 的反函数记成
y f 1 ( x) , x f ( D)
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数 且也单调递增 (减) .
1(y),
则反函数也是奇函数。
证明：f 1 ( y ) f 1 ( f ( x )) f 1 ( f ( x )) x f 1 ( y ).
∴反函数是奇函数。
例2
x2 1 x 0 求 f ( x) 的反函数 . x 1 x0
例2 设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与 一个偶函数的和。 证明：设 g( x ) f ( x ) f ( x ), h( x ) f ( x ) f ( x )
显然 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而
g( x ) h( x ) f ( x) 2
29
D : ( ,)
奇函数,
有界函数,
22
双曲函数常用公式
sh( x y ) shxchy chxshy ;
ch( x y ) chxchy shxshy ;
ch2x sh2x 1;
sh2x 2shxchx ;
ch2x ch2 x sh 2 x.
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代入法
设 y u, u 1 x 2 ,
y 1 x
2
定义: 设函数y=f(u),uU，函数u=(x), x X, 其值域
为(X)={u\u= (x), xX } U，则称函数y=f[(x)]为
x的复合函数。
x 自变量, u 中间变量,
y 因变量,
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复合函数
几何解释:
a x 2 x1 x N 1
2
a
xN 2
a
x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在 [a , a ] 内, 只有有限个 (至多只有N 个) 落在其外.
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( 1)n1 观察数列 {1 } 当 n 时的变化趋势. n
n=5 n=7
( 1) n1 xn 1 . n
y2 1
2 解: 当x0时,y1, y x 1 x
当x<0时,y<1,x=y-1,
x 2 1, x 1 综上, 得反函数 y . 33 x 1, x1
lim xn a 数列的极限(P6): n 数列xn当n无限变大时， xn能无限制的接近唯 一确定常数a
记
e x
y ch x
ch x
双曲余弦
o
x
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例1
2 判断函数 y f ( x ) ln( x 1 x ) 的奇偶性.
解： f ( x ) ln( x 1 ( x ) 2 )
ln( x 1 x 2 ) f ( x )
∴ f(x)是奇函数.
o
x
-1
x sgn x x
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(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o
y
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
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(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1