2020南京市高三二模数学试题及答案

南京市2020届高三第二次模拟考试数学

2020.3.24

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、已知集合{}|lg M x y x ==，{}

|1N x y x ==-，则M

N =

2、已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是

3、若0,0x y ≥≥，且11x +≤，则z x y =-的最大值是

4、已知函数2()21,f x x ax =++其中[]2,2a ∈-，则函数()

f x 有零点的概率是

5、下图是根据某小学一年级10名学生的身高（单位：cm ）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的

百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，则选10名学生平均身高是 cm 6、根据如图所示的算法语句，可得输出的结果是 7、等比数列{}n a 的公比q ﹥0，已知11116n m m a a a a ++=++=，则{}

n a 的前四项和是

8、过点（1，2）的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB D 的面积最小时，直线l 的方程是

9、若平面向量a,b 满足｛a+b ｝=1,a+b 平行于y 轴，a=(2,-1),则b=

10、定义在R 上的奇函数()f x ,当x∈（0，+∞）时，f(x)=2log x ,则不等式f(x)<-1的解集是 。

11、.以椭圆 22

221x y a b

+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原

点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△O AB 是正三

角形，则该椭圆的离心率是 。

12、定义在R 上的()f x 满足()f x =13,0,

(1)(2),0,

x x f x f x x -⎧≤⎨--->⎩则

10 7 8

11 2 5 5 6 8 12 3 4

119

1Pr int S I While I I I S S I

End While

S ←←≤←+←+

(2010)f =

13、讲一个半径为5cm 的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA 、PB 、PC 组成，它们两两成600角。则水晶球的球心到支架P 的距离是 cm. 14、已知定义域为D 的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数f(x)是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：

①f(x)=2x②()f x =2sin()4x π+；③()f x =1x -；④()f x =21

x

x x -+，其中是“倍

约束函数的是

二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本题满分14题，第1小题6分，第2小题8分） 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且

sin 3A C

a c

= （1）求角C 的大小；（2）如果a+b=6，4CA CN +=,求c 的值。Wwm

16.（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分） 在

三

棱

柱

ABC -

111

A B C 中,

1AA BC ⊥,160A AC ∠=,111, 2.A A AC BC A B ===(1)求证：平面111ACC A A BC ⊥平面;

(2)如果D 为AB 中点，求证：11A CD BC 平面

17. （本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）

如图，现在要在一块半径为1m 。圆心角为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在AB 弧上，点Q 在OA 上，点M,N 在OB 上，设BOP=.MNPQ θ∠的面积为S 。

（1） 求S 关于θ的函数关系式； （2） 求S 的最大值及相应θ的值

18. （本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分） 已知圆O ：224x y +=和点M （1，a ），

（1） 若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； （2） 若2a =M 的圆的两条弦AC.BD 互相垂直，求AC+BD 的最大值。

19. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分） 已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++

（1） 当a=1时，求函数f(x)的单调增区间 （2） 求函数f(x)区间【1，e 】上的最小值；

（3） 设()(1)g x a x =-，若存在01,x e e ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，使得00()()f x g x ≥成立，求实数a 的取

值范围。

20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题10分， ）

设数列{}n a 的前n 项积为,1n n n T T a =-；数列{}n b 的前n 项和为,1n n n S S b =- （1） 设1

n n

c T =

。○1证明数列{}n c 成等差数列；○2求证数列{}n a 的通项公式； （2） 若(2)n n T nb n kn n N ++-≤∈对恒成立，求实数k 的取值范围

附加题

解答题（本大题满分40分，1-4题为选做题，每小题10分，考生只需选做其中2题，多选做的按前两题计分，5-6题为必做题，每题10分） 1.（几何证明选讲选做题）

如图，在△ABC 中，∠C=900,BE 是角平分线，DE⊥BE 交AB 于D ，⊙O 是△BDE 的外接圆。

（1）求证：AC 是⊙O 的切线。

（2）如果，AD=6,AE=6,求BC 的长。

2.（矩阵与变换选做题） 在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A （0，0），B （2，0），C （2，1），求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵：

3.（坐标系与参数方程选做题）

在平面直角坐标系xOy 中，直线L 的参数方程为（t 为参数），椭圆C 的方程为 试在椭圆C 上求一点P,使得P 到直线L 的距离最小。

4.（不等式选做题）

已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a +4b +4c2的最小值，并求出取最小值时a,b,c 的值。 5.袋中有8个除颜色不同其他都相同的球，其中1个为黑球，2个为白球，5个为红球，

（1）如果从袋中遗传摸出2个球，求所摸出的2个球颜色不同的概率；

（2）如果从袋中一次摸出3个球，记得到红球的个数为X,求随机变量X 的分布概