福建师范大学2008年实变函数与泛函分析考博试题

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实变函数与泛函分析报告答案

试卷一（参考答案及评分标准）一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、1．∅ 2、[]0,1； ∅ ； []0,1 3、***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂4、充要5、11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑成一有界数集。

三、1．错误……………………………………………………2分例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密 ………………………..5分2．错误…………………………………………………………2分例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ，故其为不可数集……………………….5分3．错误…………………………………………………………2分例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;(),,;x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数………………………………………………………………..5分4．错误…………………………………………………………2分0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0Ef x dx =⎰…5分四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]120,101()3f x dx x dx ==⎰⎰…8分 2．解：设ln()()cos x n x n f x e x n-+=，则易知当n →∞时，()0n f x → …………………………..2分又因'2ln 1ln 0t t t t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，ln()ln()ln 3ln 3(1)33x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++………………4分从而使得ln 3|()|(1)3x n f x x e -≤+…………………………………6分但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有 00lim ()lim ()0n n n n f x dx f x dx ∞∞==⎰⎰…………………………………8分五、1．设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =⋂=⋂B M B ∴∃⊂Q 是无限集，可数子集 …………………………2分 .A A M M ∴⋃Q :是可数集， ……………………………….3分 (\),(\),()(\),(\),B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=⋃=⋃=⋃⋃⋃⋂=⋂=Q 且…………..5分 ,.E B B c ∴∴=:………………………………………………6分 2．,{},lim n n n x E E x x x →∞'∀∈=则存在中的互异点列使……….2分 ,()n n x E f x a ∈∴≥Q ………………………………………….3分 ()()lim ()n n f x x f x f x a →∞∴=≥Q 在点连续， x E ∴∈…………………………………………………………5分 E ∴是闭集.…………………………………………………….6分 3.对1ε=，0δ∃〉，使对任意互不相交的有限个(,)(,)i i a b a b ⊂ 当1()n i i i b a δ=-<∑时，有1()()1ni i i f b f a =-<∑………………2分将[,]a b m 等分，使11ni i i x x δ-=-<∑，对:T ∀101i x z z -=<k i z x <<=L ，有11()()1k i i i f z f z -=-<∑，所以()f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函数……………………………….5分所以1()1,i i x x f V -≤从而()b af m V ≤，因此，()f x 是[,]a b 上的有界变差函数…………………………………………………………..6分4、()f x 在E 上可积lim (||)(||)0n mE f n mE f →∞⇒≥==+∞=……2分据积分的绝对连续性，0,0,,e E me εδδ∀>∃>∀⊂<，有|()|ef x dx ε<⎰………………………………………………….4分对上述0,,,(||)k n k mE f n δδ>∃∀>≥<，从而|()|n n e n me f x dx ε⋅≤<⎰，即lim 0n n n me ⋅=…………………6分5．,n N ∀∈存在闭集()1,,()2n n n F E m E F f x ⊂-<在nF 连续………………………………………………………………2分令1n k n k F F ∞∞===UI ，则,,,()n n n kx F k x F n k x F f x ∞=∀∈⇒∃∈⋂∀≥∈⇒在F 连续…………………………………………………………4分又对任意k ,()[()][()]n n n k n k m E F m E F m E F ∞∞==-≤-⋂=⋃-1()2n k n km E F ∞=≤-<∑…………………………………………….6分故()0,()m E F f x -=在F E ⊂连续…………………………..8分又()0,m E F -=所以()f x 是E F -上的可测函数，从而是E 上的可测函数………………………………………………………..10分。

实变函数与泛函分析报告初步试题

浙江省2008年1月高等教育自学考试实变函数与泛函分析初步试题课程代码：10023一、单项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设Q 是I =［0，1］中有理数的全体，从R 1来看，边界∂Q =（）A.IB.QC.I ＼QD.φ2.设R 是实数集，P 是Cantor 三分集，x ∈P ，下列叙述正确的是（）A.x 是P 的内点B.x 是P 的外点C.x 是P 的界点D.x 是P 的孤立点 3.设f (x )在闭集E ⊂R n 上R 可积，I 1=(R )⎰E x x f )d (，I 2=(L )⎰E x x f )d (，则有（） A.I 1＜I 2B.I 1=I 2C.I 1＞I 2D.不能比较4.设A n (n =1，2，…)是一列递增集合，F = ∞=∞→=1lim n n n n A G A ，，则F 与G 的外测度满足（）A.m *F ＜m *GB.m*F=m*GC.m *F ＞m *GD.不能比较二、判断题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1.完全集是没有邻接余区间的闭集.（）2.Cantor 三分集中必含有内点.（）3.外测度为零的集是可测集.（）4.设f (x )=0 a . e . 于E ,则⎰Ex )x (f d =0.（）5.设f (x )是［a ，b ］上有界变差函数，则f ′(x )在［a ，b ］上可积.（）6.y =f (x )在［a ，b ］满足Lipschitz 条件，则y =f (x )在［a ，b ］能表示为两个增函数之差.（）三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1.设A n (n =1，2，…)是一列集合，则 ∞=∞=1n n m m A=_________.2.设A 2n -1=［0，n1］， A 2n =［0,n ］，n =1，2，…，则n n A ∞→lim =_________. 3.设S n =(n ，+∞)，则n n mS ∞→lim =_________.4.设f (x )=⎩⎨⎧∈∈Q \R x Q x 01，则∀x ∈R ＼Q ，f (x )在x 的振幅ω(x ，f ) =_________. 5.设h (x )与g (x )是E 上两个非负实函数，它们分别是某个实函数的正部与负部的充分必要条件是_________.6.设f (x )是E ⊂R n 上实函数，则对任意实数a ，∞=+>1]1[n n a f E =_________. 7.设E 是函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0001sin x x x 的图象上的点构成的集合，从R 2来看，闭包E =_________.8.设G n =(-1-n 1，1+n 1)，n =1，2，…，则 ∞=1n n G =_________. 9.设f n (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∈∈]11()210[0]121[，，，n n x n n x n ，则⎰∞→10n )d (lim x x f n =_________. 10.设I 1,I 2分别是R p ，R q 的区间， E =I 1×I 2，当x ∉I 1，则截面E x =_________.四、完成下列各题（本大题共3小题，第1与第2小题各8分，第3小题10分，共26分）1.设f (x )是［a ，b ］上可微函数，证明f ′(x )在［a ，b ］上可测.2.证明⎰∞=+)0(1n 1d )(11lim ,nn t t n t . 3.设f (x )是［0，1］上有界变差函数且在x =0连续,如果对任意的1＞ε＞0，f (x )在［ε，1］上绝对连续,证明f (x )在［0，1］上绝对连续.。

实变函数与泛函分析总复习题

实变函数与泛函分析总复习题第一章复习题（一）一、判断题1、大人全体构成集合。

（× ）2、小个子全体构成集合。

（× ）3、所有集合都可用列举法表示。

（× ）4、所有集合都可用描述法表示。

（√ ）5、对任意集合A ，总有A ??。

（√ ）6、()A B B A -?=。

（× ）7、()()A B B A B B A A -?=?=-?。

（√ ） 8、若B A ?，则()A BB A -?=。

（√ ）9、c A A ?≠?，c A A X ?=，其中X 表示全集。

（× ） 10、A BB A ?=?。

（× ）11、()c c c A B A B ?=?，()c c c A B A B ?=?。

（× ）12、()()()A B C A C B C ??=，()()()A B C A C B C ??=。

（√ ） 13、若A B :，B C :，则A C :。

（√ ） 14、若A B :，则A B =，反之亦然。

（√ ）15、若12A A A =?，12B B B =?，且11A B :，22A B :，则AB :。

（× ） 16、若A B ?，则A B ≤。

（√ ） 17、若A B ?，且A B ≠，则A B <。

（× ） 18、可数集的交集必为可数集。

（× ）19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。

（√ ） 20、因整数集Z ?有理数集Q ，所以Q 为不可数集。

（× ） 21、()c c A A =。

（√ ）第二章复习题一、判断题1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=?P Q =。

（× ）2、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ>。

（× ）3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。

(完整版)《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点

试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分）1、1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

福建师范大学2008年实变函数与泛函分析考博试题解答

《实变函数与泛函分析》参考答案与评分标准一、（1）（15 分）（a）由 ∀y ∈ H (c), x − y ≥
d ( x, H (c)) ≥ f ( x) − c f f ( x) − f ( y )
推出
f
（5 分），（ b ）对 ∀0 < ε < f ，有
f ( x) − c iz ，则 f ( z)
δy
2 y
δy
2 y
∈ δ BY (0,1) ，就有 x0 ∈ BX (0,1) ，使
2
= Tx0 ，于是对 x =
2ห้องสมุดไป่ตู้
2 y
δ
x0 ，满足 Tx = y ，且 x ≤
δ
y ，
取 c = 即可.（10 分）.
δ
证法二（a）用开映射定理得 R(T ) = Y （5 分）；（b）由 T 连续，知 N (T ) 闭，于是 X N (T ) 是 Banach 空间，且依商范数定义，对每个 [ x] ，可取 x0 ∈ [ x], x0 ≤ 2 [ x] （5 分）；（c）定义 T : X N (T ) → Y ,[ x] → Tx ，说明 T 是有界双射（5 分）；（d）对 T 用逆算子定理得：
应用共鸣定理，存在 c > 0 ，使 sup Tn ≤ c （5 分）；（c）故
n
∞ n =1
对 ∀f ∈ X * ， . 5 分） . lim ∑ f ( xn ) = lim TN f ≤ c f （ ∑ f ( xn ) = N →∞ N →∞
n =1
N
证法二（a）用所与条件直接定义
T : X * → l1 : f → ( f ( xn ))∞ ，（b）证 n =1 ∈ l1 ，说明 T 线性（5 分）

《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案（可编辑修改word版）

《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案（可编辑修改word版）ob 得分试卷⼀：⼀、单项选择题（3 分×5=15 分）1、1、下列各式正确的是（）∞ ∞∞ ∞（A ） lim A n = ? ? A k ; （B ） lim A n = ? ? A k ; n →∞n =1 k =n n →∞n =1 k =n∞ ∞∞ ∞（C ） lim A n = ? ? A k ; （D ） lim A n = ? ? A k ;n →∞n =1 k =nn →∞n =1 k =n2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成⽴的是（）（A ） P = c (B) mP = 0 (C) P '= P(D) P = P3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何⼦集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷⽿集（D ）波雷⽿集都可测 4、设{ f n (x )} 是 E 上的a .e . 有限的可测函数列,则下⾯不成⽴的是()（A ）若 f n (x ) ? f (x ) , 则 f n (x ) → f (x )(B) sup { f n (x )} 是可测函数n（C ） i nf { f n (x )} 是可测函数;（D ）若 f n (x ) ? nf (x ) ,则 f (x ) 可测5、设 f(x)是[a , b ] 上有界变差函数，则下⾯不成⽴的是（）(A) f (x ) 在[a , b ] 上有界(B) f (x ) 在[a , b ] 上⼏乎处处存在导数（C ） f '(x ) 在[a , b ] 上 L 可积 (D)af '(x )dx = f (b ) - f (a )⼆. 填空题(3 分×5=15 分)1、(C s A ? C s B ) ? ( A - ( A - B )) =2、设 E 是[0,1]上有理点全体，则 E '=, E =, E = .3 、设 E 是R n 中点集，如果对任⼀点集T 都有得分，则称E 是L 可测的4、f (x) 可测的条件是它可以表成⼀列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设 f (x) 为[a, b]上的有限函数，如果对于[a, b]的⼀切分划，使f (x) 为, 则称[a, b]上的有界变差函数。

实变函数与泛函分析概要答案

实变函数与泛函分析概要答案以下是十道实变函数与泛函分析的概要试题及答案：1.试题：定义实变函数及其特点。

答案：实变函数是以实数为自变量的函数，其特点是定义域和值域均为实数集合，并且满足函数的基本运算法则。

2.试题：定义实变函数的连续性。

答案：实变函数在其中一点连续，意味着在这一点的函数值与自变量趋近这一点时的函数值趋近于相同的值。

3.试题：什么是函数的一致连续性？答案：函数的一致连续性是指函数在整个定义域上均满足连续性的性质，即对于任意给定的正数ε，存在对应的正数δ，使得函数在任意两个自变量间的距离小于δ时，函数值的差的绝对值小于ε。

4.试题：定义函数的导数。

答案：函数在其中一点的导数表示了函数在这一点的变化率，即函数值的变化对应于自变量的变化。

5.试题：什么是函数的凸性？答案：函数的凸性是指函数的导函数是递增的性质，即函数的曲线在任意两点之间的斜率是递增的。

6.试题：定义泛函。

答案：泛函是一类以函数为自变量的函数，其值为实数或复数。

泛函可以看作函数的函数，用来描述函数集合的性质。

7.试题：什么是泛函空间？答案：泛函空间是指一组满足一定运算性质的泛函所构成的向量空间。

8.试题：定义泛函的线性性质。

答案：泛函的线性性质指泛函满足线性运算法则，即对于任意给定的两个函数f和g以及标量α和β，有泛函T(αf+βg)=αT(f)+βT(g)。

9.试题：什么是极小值和极大值？答案：函数在其中一点的极小值是指在这一点的函数值小于或等于附近的其他函数值，而极大值则相反。

10.试题：定义泛函的变分。

答案：泛函的变分是指泛函在给定函数上的微小变化，用来研究泛函的极值性质。

福建师范大学2008年实变函数与泛函分析考博试题

2008年《实变函数与泛函分析》考博题本试卷共五大题，每题20分，要求在指定答卷纸中答题.一、设0f ≠是Banach 空间X 上的一个连续线性泛函，对给定的一个数c ，相应定义了一个超平面():{:()}H c x X f x c =∈=.（1）证明空间任一点x X ∈到()H c 的距离()(,())f x cd x H x f −=.（2）就三维欧氏空间3X R =的情况，说明上述结论的几何意义.二、（1）叙述赋范线性空间X 上的线性泛函保范延拓的Hahn Banach −定理.（2）写出你所熟悉的上述Hahn Banach −定理的两个推论.（3）Hahn Banach −定理有这样一个几何形式的表现：设M 是X 的一个线性子空间，0x X ∈，0:g x M =+=0{:}x x x M +∈是X 中的一个线性族，如果g 与单位开球:{:1}B x X x =∈<不相交，则有超平面H 包含g 而且与B 不相交.请证明之.三、设X 和Y 是Banach 空间，:T X Y →是有界线性算子，且T 的值域()R T 是Y 中的第二类型（也称第二纲）集.证明存在一个正数0c >，使对每个y Y ∈，有x X ∈，使 ,Tx y x c y =≤.四、1{}n n x ∞=是Banach 空间X 中的点列，如果对任何连续线性泛函*f X ∈，都有1()n n f x ∞=<∞∑，证明存在0c >，使对每个*f X ∈都成立1()n n f x c f ∞=≤∑. 五、给定一个有界数列1{}n n A a ∞==，对每一复数列12{}n n x x l ∞==∈，按1{}n n n Tx a x ∞==定义了一个2l 到自身的线性映射.（1）证明T 是有界线性算子，并求出T ；（2）求出T 的谱()T σ（要求尽可能地细分出()T σ的成份）；（3）说明T 是否可能为紧算子；（4）如果X 是一个有Schauder 基1{}n n e ∞=的复Banach 空间，对每个1n n n x x e ∞==∑，仍然按1n n n n Tx a x e ∞==∑定义算子:T X X →，情况又如何？讨论之.。

实变函数与泛函分析基础习题.doc

实变函数与泛函分析基础习题.docn —1第⼀章集合4.证明，c s (u^)= nc-A.I —1 I证明 are C.( U All llli|⼯WS 、但⼯宅⼝ A ?，因此对任总2电44<,因⽽t —1<—1X € n C,4t- SxG n CM—1 c —1t —1得 H € c.( u A t y 所以 C.( 0 ^) = A C.A.<>i —1& 证明 lim A n = U nfi —?n —1 m —f>证明lix€ lim 则存在M 使⼀切n>N^eAn.所以⼯€ A⼉n u 0 Afl —*OQTIl ?fl ⼗ 1 f>*?l TT>?fl所以lim zt n C 0 n 4m . X € 0 A ⼼，则右F 使⼯€ Q 仏，即对任总m > n, {j fl —*8H —■ 1 Ffl—FB fl —1FII —fl WV-?fl x € 所以⼯ € lim /4n-n —*txj因此 lim 4n = U n 4m .R —*00Fl —1 ni —fl12.证明,所有系数为宵理数的多:爼成 I 放集.远明设俎是n 次存理系软多项式的全体，n=L2,-.*t WlM= J A n .A n 由n+1个 n —0独⽴的记号所決定，即⼏次多项式的n + l 个”理数系敖，其中肖项系数町取除0以外的⼀列#理ft, Kte 系数叮取⼆切〃理数，因此毎个记号迪⽴地跑対?个可数集，因此由M 定理 6X =⼇⼜由§4定理4亍=a.16. i ⽎A 是■数集合,则A 的所WVR f ?集作成的集4炉必可■证明设4 = {却严…}"的有限⽚集的全^A.An = {SZ2,,%}, A B 的F 集的 ' 兀?易汁算兀中焦有2"个尤索，⽽4 = J 4W ，因此久⾄多为町数的.乂 4中个尤奈纽成的集今是町数的，因⽽j 是叮数的.第⼆章点集注：E 。

(完整)《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案,推荐文档

试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分）1、1、下列各式正确的是（）（A ）; （B ）;1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃（C ）; （D ）;1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋂⋃1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋂2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ） c (B) (C) (D) =P 0mP =P P ='PP = 3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ){}()n f x E ..a e （A ）若, 则 (B) 是可测函数()()n f x f x ⇒()()n f x f x →{}sup ()n nf x （C ）是可测函数;（D ）若,则可测{}inf ()n n f x ()()n f x f x ⇒()f x 5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（）],[b a (A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数)(x f ],[b a )(x f ],[b a （C ）在上L 可积 (D) )('x f ],[b a ⎰-=ba a fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、_________()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=2、设是上有理点全体，则=______,=______,=______.E []0,1'E o E E 3、设是中点集，如果对任一点集都有E n R T _________________________________，则称是可测的E L 得分得分4、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. )(x f （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使()f x [],a b [],a b _____________________________________________________,则称为 ()f x 上的有界变差函数。

泛函分析试题及答案

泛函分析试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的公理之一？A. 封闭性B. 加法结合律C. 交换律D. 分配律答案：A2. 一个线性泛函在定义域内是连续的，那么它在定义域内也是：A. 有界的B. 无界的C. 可微的D. 可导的答案：A3. 紧算子一定是：A. 有界算子B. 单射算子C. 满射算子D. 可逆算子答案：A4. 希尔伯特空间中，下列哪个性质不是正交性的定义？A. 正交向量的长度不为零B. 正交向量的内积为零C. 正交向量的数量可以是无限的D. 正交向量在同一个空间中答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是巴拿赫空间，并给出一个例子。

答案：巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，即在该空间中，任何柯西序列都收敛于该空间中的一个点。

一个典型的例子是所有连续函数构成的空间，赋予最大范数。

2. 什么是紧算子？请解释其性质。

答案：紧算子是定义在巴拿赫空间上的有界线性算子，其值域是原空间的一个闭子空间，并且是可分的。

紧算子的一个重要性质是它们将单位球面映射到一个相对紧集。

三、计算题（每题20分，共40分）1. 设线性算子A在希尔伯特空间H上定义，且满足A^*A = I，证明A是单射的。

答案：设x, y属于H，且Ax = Ay，那么A^*(Ax) = A^*(Ay)，即x = y。

因此，A是单射的。

2. 给定线性泛函f在希尔伯特空间H上定义，且满足f(x) = <x, y>，其中y是H中的一个固定向量。

证明f是连续的。

答案：由于f(x) = <x, y>，根据内积的性质，|f(x)| ≤ ||x||||y||，其中||y||是y的范数。

因此，f在H上是连续的。

四、论述题（每题20分，共20分）1. 论述希尔伯特空间中正交投影算子的性质。

答案：希尔伯特空间中的正交投影算子P具有以下性质：- P是线性的。

- P是自伴的，即P^* = P。

泛函分析试题及解答

n1en?h找到有界集e?n1二二二设设设x为为为b空空空间间间ex0都都都是是是x的的的闭闭闭子子子空空空间间间且且且ex00那那那么么么ex0是是是否否否在在在x中中中闭闭闭
∞
一 (X, ρ)是完备的距离空间，Ωn ⊂ X 列紧，n = 1, 2,…，问 Ωn 是
n=1
否列紧？若不列紧，如何增加条件使之列紧？
设 xn = Cn · e + yn，要证 x = C · e + y，y ∈ X0。
d(xn, xm) = xn − xm = (Cn − Cm)e + (yn − ym)
=| Cn − Cm | ·
e
+
yn Cn
− −
ym Cm
d | Cn − Cm |
其中 d = d( e, X0) > 0。所以 | Cn − Cm |−→ 0。Cn −→ C，yn −→ y ∈ X0（ X0 闭）。
要证明 E 中有界集是列紧集，由 Arzela-Ascoli 定理，只需要证明一
致有界和等度连续即可。只证等度连续：对于 ∀f (x) ∈ E, x, y ∈ [0, 1]，都
有
| f (x) − f (y) |=|
y x
f
(t)dt
|
y x
|
f
(t)
|
dt。那么只需证
f
(t)
有界即
可。
考虑等价范数 f C1[0,1]= f C[0,1] + f C[0,1]，由 (E , · C1 ) 和 (E , · C[0,1]) 的完备性，知 f (t) 有界。
f1 与 f2 结合为 f ，由三知 f 连续。
五设 X 是 B 空间，A, B ∈ L(X)，若 AB = BA，则对 ∀λ，Eλ = ker(λI − B) 一定是 A 的不变子空间。

实变函数与泛函分析复试面试

实变函数与泛函分析复试面试
Q1：复试面试中如何介绍自己？
首先介绍自己的基本情况很重要，然后开始介绍出你的闪光点，毕竟每个人自己只有2分钟时间，让导师看到你的研究成果、工作经历，这些闪光点，让老师记住你。

Q2：该怎么回答面试中的问题？
首先当你抽到题后，不要慌张，给自己几秒钟，将逻辑思维整理好，然后该用那个点回答，那条理论回答，是否需要举例子，这些都需要想好。

当然有的同学也会用正反两个观点来回答，据说还不错。

Q3：如果问读过哪些书该怎么回答？
这个一定会问的，其实很简单，学校指定的参考书即可，因为有的学校有指定的参考书，如果你不回答，学校会怎么想？
Q4：问你对某本书的看法？
这个和上题一样，其实一定要中性，不能带有偏见的想法，万一你说的书老师不喜欢，你却夸奖，那岂不是很糟糕，如果想得高分，那就要深度解读。

Q5：对今年某件事的看法？
这个是每年必问的问题，所以大家一定要关注一下最近的时政热点，然后用自己的专业进行解析出来，或者观察导师的研究方向，然后用导师研究方向去说出来。

Q6：对于所报考专业你看中的那一本书比较有印象？
这个最好准备一两个案例，如果没有如实回答；
Q7：请你举例和你专业相关的热点事件？
这个需要准备一下，用自己所学的专业知识进行作答；。

福建自考2008年4月实变与泛函分析

2008年4月高等教育自学考试福建省统一命题考试实变与泛函分析初步试卷(课程代码 2012)本试卷满分100分，考试时间150分钟。

一、填空题(本大题共15空,每空2分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1．{正奇数全体}与{正偶数全体}对等，事实上只要令φ(x)=___________即可(x为正奇数). 2．设A2n={(x,y)|x≥0，0≤y≤l+}，n=l，2，…，A2n+1={(x，y)|0≤x≤1-,y≥0}，n=1，2，…，则___________3．设E={(x，0)|x∈[O，1]∩ Q|，则=___________．4．设P为康托尔集，则=___________．5．设E={(x，0)|x∈(-∞，+∞)R2，则mE=___________．6．闭区间[a,b]可以写成[a，b]= ___________故[a，b]是Gδ型集．7．填写鲁津定理：设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，则________________________ ___________________.8．E[f>n]=E=[___________]．9．定义在[]的函数列：{f n(x)=cos n-1x| n=1，2，…}，则 { f n(x) }=___________.10．设f(x)=，g(z)= ，h(x)= 则它们中在(0，+∞)上L-可积的函数有：___________.11．设E=([0，1]∩Q) R1，则=___________．12．设f n(z)在[a，b]上定义，n=l，2，3，4，且f1(x)绝对连续f2(x)一致连续f3(x)单调减少正(x)满足李普西茨条件，则可以断言___________是有界变差函数．13．设X、Y为实线性空间，Q是X的线性子空间，T为Q到Y映照，x，y∈Q及数α,成立： T(x+y)= ___________，T(αx)= ___________称T为Q到Y中的线性算子．14．l2，设x=(ξ1,ξ2，…)，y=(η1,η2,…)，定义内积<x，y>=___________则l2按此内积成为Hilbert空间．15．设是Banach空间X上的一列泛函，如果在X的每点x处有界，那么___________．二、定理证明 (本大题共2小题,每小题10分,共20分)16．设{S i}是一列递降可测集合,令S= ,则当mS1<∞时，mS= . 17．设f(x)在[a,b]上连续,a(x)处处可导且a′(x)又R可积则：(S) f(x)da(x)=(R)f(x)a′(x)dx．三、证明题 (本大题共6小题，第20小题10分,其余每小题8分，共50分) 18．证明：[0，1]上的全体无理数作成的集,其势为C.19．设E i [0，1],mE i=l,i=l，2，…，n,试证：m(E1∩E2∩…∩E n)=120．设函数列{fn(x)}在E上依测度收敛于f(x)，且fn(x)≤0在E上几乎处处成立,n=1，2，…，试证:f(x)≤0 a.e. 于E．21．设f(x)在[a,b]上绝对连续，且f′(x)≥0 a.e.于[a，b]，则f(x)为增函数．22．设f(x)在(0，+∞)上可积，且一致连续，则=0.23．证明: .。

实变函数试题及答案

实变函数试题及答案【篇一：实变函数测试题10-参考答案】本试题参考答案由陈丽仙（学号：2008750105，应数班）提供，11??a??1?,1?,n?1,2,3,?, 分别求?a?的上极限与下极限。

1、设n??nnn??解：limak?{x存在无限多个ak，使x?ak}???1,1?x??limak?{x当k充分大，总有x?ak}???1,1?x??2、试证明下面三个陈述等价（1）p0是e的聚点。

（2）p0的任意领域内，至少含有一个属于e而异于p0的点。

（3）存在中互异的点所成的点列?pn?，使得pn?p0(n??)。

证：由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是显然的，现证由（2）推出（3）.由假定在u(p0,1)中至少有一点p1属于e而异于p0，令?1?mind{p0(?11213),则在}u(p0,?1)中至少有一点p2属于e而异于p0，令，?2?min{d(p2,p0),，则在u(p0,?2)中又至少有一点p3属于e而异于p0，这样继续下去，便得到点列{pn}，它显然满足要求，证毕.3、设s1,s2,?,sn是一些互不相交的可测集合，ei?si,i?1,2,?,n,求证m*(e1?e2???en)?m*e1?m*e2???m*en。

证：因为s1,s2,???,sn互不相交，且ei?si,i?1,2,???,n,所以e1,e2,???,en也不相nniinni交。

令t?所以?e，易知t?si?1?ei,t?(?si)?i?1?(t?si?1)??ei?1i?t。

n***nnn*mt?m(t?(?si))?m(?(t?si))?i?1i?1?mi?1(t?si)??mi?1*ei.4、证明有理数集是可测集。

证：令e为r中的有理数全体，则e为可数集。

设e?{r1,r2,?,rn,?}，则对???????0，令 ii??ri?i?1,ri?i?1?22??，则ii??2i??i?，e??i，而?i?1i?1ii??2i?1?i??，故me?inf*??i?1ii即m*e?0。

实变函数与泛函分析

实变函数与泛函分析实变函数是泛函分析的一个重要分支，它研究的是由实数到实数的函数。

在数学中，函数是一种映射关系，将输入映射为输出。

实变函数在数学中有广泛的应用，特别是在微积分、微分方程、拓扑和概率论等领域。

泛函分析是数学中研究无穷维向量空间上的连续线性函数的分支。

它是实变函数理论的推广和拓展，主要研究函数空间上的性质和运算。

泛函分析的主要对象是函数空间、算子空间和线性泛函等概念。

它的研究方法主要是通过利用度量、拓扑和凸分析等工具来研究函数的性质和运算。

在实变函数中，我们研究的是由实数到实数的函数的性质和运算。

例如，我们可以研究函数的连续性、可导性、积分性质等。

通过研究函数的性质，我们可以得到函数的极限、导数、积分等重要的数学概念和工具。

在微积分中，我们利用这些工具来研究函数的变化规律和求解问题。

而在泛函分析中，我们研究的是无穷维向量空间上的函数的性质和运算。

例如，我们可以研究函数空间上的连续性、收敛性、紧性等。

通过研究函数空间的性质，我们可以得到函数空间上的线性泛函、算子等重要的数学概念和技巧。

这些概念和技巧在拓扑学、偏微分方程、优化问题等领域中有重要的应用。

在实变函数理论中，我们研究的是由实数到实数的函数的性质，主要是通过利用微积分和数学分析的工具来研究函数的性质和运算。

而在泛函分析中，我们研究的是无穷维向量空间上的函数的性质，主要是通过利用度量、拓扑和凸分析等工具来研究函数的性质和运算。

总结起来，实变函数是泛函分析的一个重要分支，它研究的是由实数到实数的函数的性质和运算。

泛函分析是研究无穷维向量空间上的函数的性质和运算的一个分支。

实变函数是泛函分析的基础和起点，通过研究实变函数的性质和运算，我们可以进一步推广和拓展到泛函分析。

泛函分析在数学中有广泛的应用，特别是在微分方程、拓扑和概率论等领域。

实变函数试题库参考答案

《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能组成集合的是:（）A 、全部自然数B 、0,1 之间的实数全部C 、[0, 1]上的实函数全部D 、全部大个子二、下列对象不能组成集合的是:（）A 、{全部实数}B 、{全部整数}C 、{全部小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能组成集合的是:（）A 、{全部实数}B 、{全部整数}C 、{x ：x>1}D 、{全部胖子}4、下列对象不能组成集合的是:（）A 、{全部实数}B 、{全部整数}C 、{x ：x>1}D 、{全部瘦子}五、下列对象不能组成集合的是:（）A 、{全部小孩子}B 、{全部整数}C 、{x ：x>1}D 、{全部实数}六、下列对象不能组成集合的是:（）A 、{全部实数}B 、{全部大人}C 、{x ：x>1}D 、{全部整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全部实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞) 八、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( )A 、(-1, 1)B 、(-1, 0)C 、[0, 1]D 、[-1, 1] 九、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)1一、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}1二、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1] 1五、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)1六、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 1八、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 1九、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C 2一、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C 2二、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)2五、集合E 的全部内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包2六、集合E 的全部聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全部边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包2八、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全部孤立点}2九、E 的全部边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点3一、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的组成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 3二、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的组成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的组成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的组成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)3五、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的组成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)3六、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的组成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂3八、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}3九、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)( 4一、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}4二、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 4五、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断 4六、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断 4八、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断 4九、若]1,0[ Q E =，则=mE （）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤ 5一、下列说法正确的是（）A 、x x f 1)(=在（0，1）有限B 、x x f 1)(=在)1,21(无界C 、⎪⎩⎨=∞+=0,)(x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 5二、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、大体上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=E x E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（）.A 、持续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限 5五、若QE -=]1,0[，则=mE （）A 、0B 、1C 、2D 、35六、下列说法不正确的是（）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无穷，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无穷57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限C 、⎪⎩⎪⎨==2,12)(πx x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限5八、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、大体上一致收敛 D 、a.e.一致收敛5九、设⎩⎨⎧-∈-∈=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其概念域中的（）点处都是持续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.6一、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （）A 、0B 、1C 、2D 、36二、设A 是B 的真子集，则（）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、大体上一致收敛 D 、a. e.一致收敛6五、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -6六、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 大体上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上大体上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（）A 、0B 、1C 、2D 、36八、设21,S S 都可测，则21S S （）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对 6九、下列说法正确的是（）A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界 B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、大体上一致收敛 D 、a. e.一致收敛7一、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f7二、关于持续函数与可测函数，下列论述中正确的是（）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是持续函数C 、a , e 有限的可测函数是大体上持续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 持续的函数73、()=-)2,1()1,0( m ( )A 、一、B 、2C 、3D 、474、A 可测，B 是A 的真子集，则（）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对 7五、下列说法正确的是（）A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、B 、21)(x x f =在]1,21[无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界7六、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（）于0.A 、收敛B 、大体上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x E x x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -7八、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）A 、简单函数必然是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念7九、()=-]3,2()1,1[ m （）A 、1B 、2C 、3D 、480、L 可测集类，对运算（）不封锁.A 、可数和B 、有限交C 、单集结列的极限D 、任意和.8一、下列说法正确的是（）A 、31)(x x f =在)1,21(无界B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有界8二、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（）于0.A 、大体一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π 则下列函数在]2,0[π上可测的是（）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（）A 、依测度收敛不必然一致收敛B 、依测度收敛不必然收敛C 、若)}({x f n 在E 上 a.e.收敛于 a.e.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f8五、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分肯定D 、不必然积分肯定8六、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不必然可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（）A 、)(x f 在E 上不必然可测B 、)(x f 在E 上可测但不必然可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积8八、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（）A 、持续函数B 、几乎处处持续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数8九、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （） A 、 0 B 、 1 C 、1/2 D 、不存在90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （） A 、 0 B 、 1/3 C 、2/3 D 、 1填空题一、设A 为一集合，B 是A 的所有子集组成的集合；若A =n, 则B =二、设A 为一集合，B 是A 的所有子集组成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A五、若c A =, n B =, 则=⋃B A六、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂= 八、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃= 九、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂= 10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃= 1一、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim1二、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 1五、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=1六、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)=17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)= 1八、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=1九、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E = 2一、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂=2二、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂=24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇= 2五、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) =2六、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) =27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=2八、两个非空集合A, B 距离的概念为 d (A, B ) = 2九、一个非空集合A 的直径的概念为)(A δ=30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=3一、n R E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，概念=E m *________。

《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案

试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分）1、1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =ο3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

福建师范大学数学分析考研试题汇编2000-2008(缺2001、2003)

福建师范大学研究生入学考试试卷(2000年)一、判断下列结论是否正确对的用√，错的用×表示，共10分，每小题2分()1．若－～－，则～. A B B A A B ()2．是中的孤立点集，则导集. E nR φ='E ()3．上的绝对连续函数必在上一致连续. ],[b a ],[b a ()4．设在上可测，则也在上可测.f E 2f E ()5．设,且，则于.)(E L f n ∈⎰→En dm f 0..0e a f n ，→E ()二、单项选择题共15分，每小题3分()1．设是开集，是闭集，则－是A B A B ()1闭集 2开集 3既开又闭集 4非开非闭集()()()()2．系数为有理数的多项式全体所成的集，其势是()1自然数 2可数势 3连续势 4大于连续势()n ()a ()c ()c 3．设为无界可测集，则满足E mE ()1=0 20﹤﹤ 3= 40()mE ()mE ∞()mE ∞()≤mE ≤∞4．设、在上可测，且，则当时，.f g E f ≤g ())(E L f ∈1、2、 3、 4、()+f )(E L g ∈+()+f )(E L g ∈-()-f )(E L g ∈+()-f)(E L g ∈-5．关于积分的－公式成立的充要条件L N L ⎰≤≤=-xab x a dm x f a f x f )()()()('是在上f ],[b a ()1连续 2可积 3有界变差 4绝对连续()()L ()()三、填空题共15分，每小题3分()1．设表示到的距离，则___. ),(A x d x A =⇔∈),(A x d A x 2．设，，则的势___.nR E ⊂φ≠0E E =E3．设为奇数时，；为偶数时，，则 n ]1,1[n A n -=n ]1,1[nA n -=____. ____.=n nlim =n nA lim 4．设为康妥集，则P Cantor ()⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[cos .sin )(P x x P x x x f ，，____.=⎰dm f ]1,0[5．上的函数若满足_____条件，则是绝对连续函数. ][b a ，)(x f 四、证明题共60分，每小题10分.()1．试证上的单调递增函数的不连续点至多可数个.][b a ，2．设…都是可测集，，且，证明，，、21(=n B A n n )n n B E A ⊂⊂0)(→-n n A B m E 是可测集.3．设和…都是上有限的可测函数，若对任何>0，有可测集f ，，21(=n f n )E ..e a ε，使得<且在上一致收敛于，证明(依测度收E F ⊂)(F E m -εF {}n f f f f n ⇒敛).4．求(应说明理由).⎰-+=nxn ndm e n x I 02)1(lim5．设，且对任意闭集有，证明：f )(E L ∈E A ⊂⎰=Afdm 0于...,0)(e a x f =E 6．设和…都是上的可积函数，且　于，f ，，21(=n f n )E ..)()(e a x f x f n ，→E ，证明.dm f dm f EEn n⎰⎰=lim dm f f En ⎰-1福建师范大学研究生入学考试试卷(2002年)一、判断题(2分×5.答题册内写法示范：一.1.对 2.错 3….)1．.''')(A A =2．是集上的实值函数， ),2,1( =n f f n ，X 令，})()({1mn mn x f x f X x A <-∈=：则.11{()()}n mk k n m nx X f x f x A ∞∞∞→∞===∈==I UIn ：lim 3．中Lebesgue 可测集的基数等于的子集的全体的基数. R R 4．设和都是中的可测集，则A B nR -L .)()()()(B m A m B A m B A m +=+ 5．对任意是可测集.'\2E E E R ，∈-L 二、选择题(3分×5.答题册内写法示范：二.1…)C B A A B A ,,3.2.,注意：请依各小题具体情况，自行判定是单项或多项选择.1．是中的开集的一个子集，则满足的充分条件是 A nR G A G G \=() ()是至多可数集；（）是有限集 A ；0=mA B A C A 2．表示中的内点的集，则0E nR E ()()（）A 0()A B A B ⊃U U ；B ；000)(B A B A ⊂C.)(000B A B A =3．完备测度空间(上的一个函数是可测函数的充分必要条件是)μ，，A X f ()有简单函数列一致收敛于；()有简单函数列处处收敛于；A n f f B n f f （）有可测函数列几乎一致收敛于.C n f f 4．有限闭区间上的有界可测函数黎曼可积的充分条件是],[b a f ()可积；()几乎处处连续；（）的不连续点集只有可数个A f -L B f C f 极限点.5．是完备测度空间(上的可测函数，则f )μ，，A X2()可积等价于可积；()可积等价于可积；（）是可积函A f f B 2f f C f 数列的一致收敛极限时可积.f 三、计算题（3分×5.只要计算结果，不必给过程.答题册内写法示范：三.1=20，2=3，…） 1．设求∑∞==12)(n n A ，μ().n limA μ2．在集上在的长度为的余区间Cantor P ，0)(=x f P n-3，n x f =)(求.⎰1)(dm x f 3．，求. )21(1 ，，，===⊂n A X X A n n μμ)(n A μ4．在上可积，且一致连续，求.)(x F R -L lim ()x F x →∞5．当时，，而当时，求全变差]1,0[∈x x x f -=1)()21(，∈x 2)(=x f .)(20f V 四、论证题（任选5题作答，以12分×5计分，如6题都答，以10分×6计分）1．（1）叙述中疏集定义，并证明集疏等价于无处稠，即：每个开区R A A 间都包含一个闭子区间，使得是空集； ),(b a ],[11b a ],[11b a A （2）可数个疏集的并集还是疏集吗?请证明或举反例；（3）证明每个闭区间都不可能表示为可数个疏集的并集. )](,[b a b a <2．是非空集，取定一，对任给的，定义.证明：X X a ∈X A ⊂)(a A A χμ=是完备的概率测度空间.其中表示集的特征函数.)(μ，X )(x A χA 3．设的个可测子集有性质：每个至少X X ，∞<μn )1(n k A k ，=X x ∈属于个，求证有某个.q )1(n q A k ≤≤X A n q k μμ)(≥4．是上的单调函数，求证绝对连续的充分必要条件是：)(x F ],[b a )(x F .⎰=-badm F a F b F ')()(5．在中几乎处处连续且在每个有限闭区间中有界，证明：),[∞a )(x f ],[b a 广义黎曼积分绝对收敛的充分必要条件是在可积，且⎰∞adx x f )(f -∞L a ),[3这时.⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞==aaaafdm dx x f dm f dx x f )()2()()1(；6．设是上的绝对连续函数列，.求证：(1)n f ],[b a '1bn an f dm ∞=<∞∑⎰；''11bb nn aan n f dm f dm ∞∞===∑∑⎰⎰　(2)当进而知道在某点收敛时，则是绝对连续1()nn fx ∞=∑],[b a c ∈1n n f f ∞==∑函数，且几乎处处有.''1nn f f∞==∑福建师范大学2004年数学分析考试试卷一.(20分)判断下列命题,若正确请在答题卡括号内填””,否则填”” √⨯1.若,则lim ,lim n n n n x y a →∞→∞=∞=≠∞lim n n n x y →∞=∞2.若对,在上连续,则在上连续 0ε∀>()f x [],a b εε+-()f x [],a b 3.若在上可积,则必存在一点使得()f x [],a b (),a b ξ∈()()()baf x dx f b a ξ=-⎰4.平面中点集的界点要么是孤立点要么是聚点,二者必居其一 5.若,为自然数,则 ()1lim n n f x f x A n →∞⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦n ()f x A '=6.广义积分收敛 0⎰7.若幂级数的收敛半径为,则幂级数的收敛半径为0nn n a x∞=∑20nn n a x∞=∑2R 8.函数列在上一致收敛{}nx(]0,1ε-()01ε<<9.若在点存在偏导数,则在点必连续 (),u f x y =()00,x y (),u f x y =()00,x y 10.设区域由曲线所围成,则二重积分D 222x y a +=222222x y a a a DDDedxdy e dxdy edxdy ea π+===⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰二.(16分)求下列极限1.)lim x x →+∞-2.()()()()22,0,0limln x y x y x y →++三.(10分)从定义出发证明数列的极限不存在(){}11,1,2,n n +-=⋅⋅⋅四.(12分)求球面的内部被柱面所划出的部分的体积 22224x y z R ++=222x y Rx +=五.(12分)设具有连续导数,计算积分()f t ,其中为下半球面()()222232113SI f xy dydz f xy dzdx x z y z z dxdy y x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰S 的上侧()22210x y z z ++=<六.(15分)若在上可微,试证: 在上连续的充要条件是在()f x [],a b ()f x '[],a b ()f x [],a b上一致可微,即,当时0,0εδ∀>∃>0h δ<<,对一切成立()()()f x h f x f x hε+-'-<[],x a b ∈七.(15分)计算之值 ()20cos 2x I y e yxdx +∞-=⎰八.(15分)求级数的和()()221121nn n n ∞=-⋅-∑九.(15分)设在上存在二阶导数,且,,则[]0,1()()010f f ==()[]{}min 0,11f x x ⎜∈=-,使()0,1ξ∃∈()8f ξ''≥十.(20分)1.设在必矩形上有意义,若对于,在连续,证明(),f x y []0,1;0,1[]00,1x ∀∈(),f x y ()0,0x ,使在矩形上有界0δ∃>(),f x y []0,1;0,δ2.设是正数列,对所有的自然数成立,求证:存在{}n x ,m n m n n m x x x +≤+limnn x n→∞福建师范大学2005年数学分析考试试卷一.(10分)从定义出发证明21lim 123x x x →-=+二.(10分)指出函数的不连续点,并确定其不连续点的类型.(其中表示()[]1sin f x x x=[]x x 的整数部分) 三. (16分)计算1. 132lim 2x x x x x e →+∞⎡⎛⎫-+-⎢ ⎪⎝⎭⎣2.sin cos 2dxx x ⎰四. (16分)设在上具有连续导数,为上半平面内的有向分段光滑曲()f x (),-∞+∞L ()0y >线,其起点为,终点,记 (),a b (),c d ()()222111L x I y f xy dx y f xy dy y y ⎡⎤⎡⎤=++-⎣⎦⎣⎦⎰(1)证明曲线积分与路径无关 I (2)当时,求的值ab cd =I 五. (15分)设函数列的每一项在上连续,且在上一致收敛于(){}n S x ()n S x [],a b [],a b ,求证在上也连续()S x ()S x [],a b 六.(15分)设正值函数在上连续,试证:()f x []0,1()()11ln 0f x dx e f x dx ⎰≤⎰七.(15分)证明函数在上连续 ()21sin x F dx xαα+∞=⎰0α>八.(18分)设()22220,00x y f x y x y +≠=+=⎩(1)证明在点连续(),f x y ()0,0(2)证明,在全平面有界 (),x f x y (),y f x y (3)证明在点不可微(),f x y ()0,0九.(15分)若函数具有二阶连续偏导数,试将方程变成(),z z x y =2222202z z zx x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂.假设 (),w w u v =,,22u v u vx y w xy z +-===-十.(20分)1.设是上的非负连续函数并满足 ()f x [)0,+∞(1)在上存在有界导数 [)0,+∞()f x '(2),试证()f x dx <+∞()lim 0x f x →+∞=2.设是上连续,单调,有界,,试证明数列收敛()f x [)0,+∞()()0F n f x dx +∞=⎰(){}F n12006年福建师范大学研究生入学考试《数学分析》试题和答案一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。