2 典型激光器的速率方程
第二章激光器的速率方程理论
dn WDn n dt
均匀加宽
W
c3 8
2
A21 g ( )
c3 1 W A21 2 2 2 (0 ) 2 (V / 2) 2
第 个模的光场与第 个原子作用的受激辐射速率为
2 c3 A21 W sin 2 k z 2 2 2 ( ) 2 2
速地转移到激光上能级E2，其跃迁几率用S32表示。 3. 处在E2能级的粒子，能通过自发辐射、非辐射跃迁和 受激辐射，跃迁到激光下能级E1，其跃迁几率分别用A21， S21和W21表示。
4. 处在E1能级的粒子，能通过受激吸收到达E2，或非辐
射跃迁到E0，其跃迁几率分别用 W12和S10表示。 各能级上的粒子数密度N0，N1，N2，N3如果变化？ 光子数密度n如果变化？
在脉冲开始建立的时间内，光子数和反转粒子数为
n(t ) ni e t
( WDi )
D(t ) Di {1
Wni
[1 e t ]}
2.5 均匀加宽的激光器的多模振荡
纵模
q qc / 2 L
c q q 1 q 2L
谱线线型 激光器阈值 增益饱和 均匀加宽 多模振荡
n 0, dD 0 dt
( a b ) 1 D0 [(a b ) N0 ( a b )]/ 2 2
引入
1 || ( a b ) 2
dD || ( D D0 ) 2WDn dt
dd dt
dd dt
|| (d d0 ) 2Wd n
当激光器在阈值之上不太高时，激光光子数不太大，有
dn (G0 )n Cn 2 dt
激光原理-4.2 典型激光器的速率方程
f2 f1
B21
在辐射场 的作用下的总受激跃迁几率 W21 中，
分配在频率 处单位频带内的受激跃迁几率为：
W21 B21 B21 g% ,0
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4、公式的修正
dn21 dt
sp
n2 A21
d
n2 A21g% , 0
d n2 A21
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
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g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
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物理意义: 由于谱线加宽, 外来光的频率 并不 一定要精确等于原子发光的中心频率 0 才能产生 受激跃迁,而是主要在=0 附近的一个频率范围内 都能产生受激辐射。当ν偏离中心频率ν0时，跃 迁几率急剧下降。
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6、受激辐射、受激吸收几率的其它表达形式
W21
B21 g% ,0
—吸收截面
中心频率处发射截面和吸收截面最大！
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均匀加宽工作物质中心频率发射截面
21 0
A21 2
4
2
2 0
H
非均匀加宽工作物质中心频率发射截面
激光技术基础-第七讲
E2→E1 荧光量子效率 N--各模式光子数密度总和
n0 + n1 + n2 + n3 = n 总量子效率 ηF = η1η2 = 发射荧光的光子数 工作物质从光泵吸收的光子数
• 速率方程→ 增益系数表达式（影响因素）→ 增益饱和行为 （均匀、非均匀加宽工作物质）
中心频率处的发射截面
根据简化模型, 四能级多模速率方程
dn3 nS = n0W03 − 3 32 η1 dt
n3 (S32 + A30 )
η1 =
S 32 E3→E2 无辐射跃迁 S 32 + A30 量子效率 (泵浦效率) n2 ( A21 + S21 )
dn2 f n A = − n2 − 2 n1 σ 21vN − 2 21 + n3 S 32 dt f1 η2 dn0 A21 = n1S10 − n0W03 η2 = dt A21 + S 21
均匀加宽工作物质的增益系数 §4.5 均匀加宽工作物质的增益系数
一、小信号稳态增益系数 （ 四能级系统为例）
∆n>0
I I+d I
不计损耗
ν 0 )vN − dt f1 τ Rl
∆n
dz
I= Nhνv
dz=vdt
dI = ∆ n σ 21 (ν ,ν 0 )vNh ν dt
E2 R2 E1 R1 E0
τ20
τ21 τ1
R1, R2 为单位时间内抽运到E1,E2能级的粒子数密度
τ1, τ2 为E1, E2能级寿命; τ21为 E2 → E1自发辐射(荧光)寿命
激光原理-4.2 典型激光器的速率方程
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1、三能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W13
A31
S31
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
S31, A31 S32; S31 A31
E1（激泵光浦下下能能级级）
S21 A21
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F
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思考：分别求洛仑兹线型和高斯线型下简
化线型函数对应的等效谱宽 。
21 , 0
A21 2
8
h
2 0
g% ,0
21 l , 0 Nl 21 Nl 21 N
l
l
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根据简化模型, 四能级多模速率方程
dn3 dt
n0W03
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
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g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
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n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
R1,R2为单位体积中，在单位时间内激励至 E1,E2能级的粒子数；τ1，τ2为E1, E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级的跃迁造成的有限寿命。
第四章典型激光器 的速率方程
dDn Dn Dn 21 n l ,n 0 )vNl n0W03 dt 2
2
1 A21 S21
dDn Dn ) Dn 21 n l ,n 0 vN n0W03 dt 2 n0W03 2 n0 w03 2 Dn 0 Dn 21 n 1 ,n 0 ) 2 In1 In 1 1 21 n 1 ,n 0 )vN 2 1 1 hn 0 I s n 1 ) dDn0 Dn0 1 I s n1 ) n0W03 In1 Nh n1v n 0 , n 0 , 3 1 dt 2
S10
dn0 n1 S10 n0W03 n3 A30 dt
dNl Nl Nl f2 n2W21 n1W12 (n2 n1 ) 21 n ,n 0 )vN l dt Rl f1 Rl
n0 n1 n2 n3 n
忽略n3W30 , n2A21 ?
• 小信号增益曲线的形状完全取决于谱线线型函数 均匀加宽介质
中心频率处小 信号增益系数
2 ) D n 2 0 0 H n ) g H n 0 ) gH 2 n n 0 ) Dn H 2)2
g n 0 ) Dn 21
0 H 0
v A21 Dn 2 4 2n 0 Dn H
ln 2
g n)
Dn n )
• 增益线宽～ (自发辐射)荧光线宽DnF 氦氖 Nd:YAG 钕玻璃 若丹明 6G GaAlAs (0.85mm) InGaAsP (1.55mm)
荧光线宽（s-1） 1.5×109 1.95×1011 7.5×1012 5×1012~3×1013 1013 1012~1013
1 2 n
N l N l 1 ,N l 2 N l n
激光原理(4)-速率方程
均匀加宽线型函数
∆ν H 2π
2
g H (ν ,ν 0 ) =
∆ν H 2 (ν − ν 0 ) + ( ) 2
1 1 1 ∆ν H = ( + ) = ∆ν N + ∆ν L 2π τ s τ L
一般气体激光器：
NJUPT
非 均 匀 加 宽
气体激光器的非均匀加宽往往只有多普勒加宽
gi (ν ,ν 0 ) = g D (ν ,ν 0 ) ∆ν i = ∆ν D
原子和准单色光辐射场的相互作用 在频率为 ν 的单色辐射场作用下，受激跃迁（吸收与发射）几率：
W21 = B21 g (ν ,ν 0 ) ρ W12 = B12 g (ν ,ν 0 ) ρ
g (ν ,ν 0 )
ρ = N l hν
发自发辐射线型函数 在v处的函数值 N l ——第 l 模式的光子数密度
x( t ) = x e
e
γ ——衰减因子（阻尼系数）
NJUPT
谱线加宽的机理
自然加宽（Natural broadening）
g N (ν ,ν 0 ) =
4 最大值： ν ν= = g (ν 0 ,ν 0 ) 0，
( )2 + 4π 2 (ν − ν 0 )2 2
γ
γ
γ 1 线宽：ν = g N (ν ,ν 0 ) ν 0 ± ， g N (ν ,ν 0 ) = 4π 2
= n2 B21 ∫
+∞ −∞
g (ν ,ν 0 ) ρν dν
NJUPT
原子和准单色光辐射场的相互作用
∆ν ′ ∆ν
在 ∆ν ′ 作不变
g (ν ′,ν )
范围内： 近似看
激光原理2.2速率方程组与粒子数反转(2014)
激光原理高福斌gaofubin@gaofubin@163com2013.10.201高福斌/342.2 速率方程组与粒子数反转(!可实现粒子数反转的几种量子系统)回顾——实现粒子数反转的两个必要条件:①工作物质粒子有适当的能级结构②有合适的激励能源前瞻——分析方法:速率方程方法以及速率方程的求解步骤速率方程方法: 分析粒子系统能否实现反转的一种方法速率方程:描述各能级粒子数(密度)变化速率高福斌/342的方程组态E 上的粒子抽运到E 、E 能级上的速率；0122.速率方程: 3个能级应有22n 个独立方程(1) E 2能级在单位时间内增1n ρ加的粒子数密度为：dn 图(2-5)简化的四能级图n 2R n A n W n W =−−+R n A n B νn B νd =−−+(2-5a)2221221112()()f f dtρρ()2n ρ1n 2120A A 图(2-5)）简化的四能级图n2n ρ1n 图(2-5)）简化的四能级图n dn二.小信号粒子数反转的物理条件:1. 激光上能级E 2的寿命要长,使该能级上的粒子不能轻易地通过非受激辐射而离开;2. 激光下能级E 1的寿命要短,使该能级上的粒子很121220)(ττR R R n +−=Δ快地衰减;3. 选择合适的激励能源,使它对介质的E 2能级的抽运速率R 2愈大愈好,2n 而对E 1能级的抽运速率R 1愈小愈好.1n ρ即满足条件12ττ>0n 高福斌/3422足12R R>{图(2-5)）简化的四能级图本节研究:反转粒子数密度Δn 的饱和效应（讨论Δn 2n （与各种因素的关系，引出Δn 饱和效应的概念。
）1n ρ。
）图(2-5)）简化的四能级图n 由下式可知：()R R R nττ−+ΔnΔ0nΔ20n0IsI0s nΔ0nΔ:0(1)s I f ν+Δ043n Δ由上式可见: 只要I ≠0, 则Δn <Δn0, 仍有饱和效应.20n 012I I νννΔ−=+⋅在处I ≈I s 时s 2202(/2)(/2)3n n n ννΔ+ΔΔ=Δ=Δ222(/2)2(/2)4ννΔ+Δ频率在此范围内的入射光才会引起显著的饱和作用。
激光原理教学大纲
《激光原理》课程教学大纲课程代码：090631009课程英文名称：PrinciplesofLaser课程总学时：48讲课：48实验：0上机：适用专业：■■■■■■■■■大纲编写（修订）时间：2017.10一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标本课程是光电信息科学与工程专业的必修主干专业基础课程，主要讲授有关激光的基本知识和基本理论，在光电信息科学与工程专业培养计划中，它起到由专业基础理论课向专业课过渡的承上启下的作用。
本课程在教学内容方面除基本知识、基本理论的教学外，还通过课程设计培养学生的理论分析及其实际应用能力。
通过本课程的学习，可以使学生：1.掌握激光的概念及产生原理、光学谐振腔理论、速率方程理论、激光器的特性及其控制和改善的原理。
了解激光技术新的发展和应用；2.具有综合运用数学、物理等学科知识对实际与激光有关的问题进行理论分析的能力；3.获得初步的激光器件设计技能，为后续课程的学习以及相关课程设计、毕业设计等奠定重要的基础。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求1.知识方面的基本要求通过本科程的学习，使学生掌握：激光的概念、特性及产生原理；激光器的构成及工作原理；光学谐振腔与高斯光束知识；光与物质的共振相互作用的速率方程理论；激光的振荡特性、放大特性及其特性的控制和改善知识。
2.能力方面的基本要求通过本科程的学习，培养学生：光学谐振腔分析能力及其初步设计能力；激光器的振荡特性、放大特性的分析能力；激光器特性的控制与改善的初步设计能力。
3.技能方面的基本要求通过本课程的学习，使学生获得：光学谐振腔设计的初步技能；激光器特性的控制与改善的初步的理论设计能力。
（三）实施说明1．教学方法：课堂中要重点突出对基本概念和基本原理的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导学生主动思考，提高学生的自学能力；鼓励学生参与讨论和课堂发言，调动学生学习的积极性；教学中注意理论联系实际，培养学生的工程意识（创新、实践、安全、标准、竞争、法律和管理等意识）和工程能力（思维、自学、研究、操作和创造能力等）。
第二节 典型激光器速率方程
l 为第l模式单程损耗
将W21 21 ( )vNl g2 W12 12 ( )vNl 21 ( )vNl 代入, 得 g1
单模振荡速率方程组
dn3 dt n1W13 n3 ( S32 A31 ) dn g2 2 n S ( n n1 ) 21 ( )vNl n2 ( A21 S 21 ) 3 32 2 g1 dt n n n n 1 2 3 dNl (n2 g 2 n1 ) 21 ( )vNl N l dt g1 Rl
量子效率
E3向E2无辐射跃迁的量子效率 ： S32 1＝ S32 A30 E2向E1跃迁的荧光效率：
2＝
A21 A21 S 21
总量子效率： 发射荧光的光子数 F＝1 2＝ 工作物质从光泵吸收的 光子数
吸收截面和发射截面 2.发射截面
同理, 可定义上能级原子的发 射截面 21 ( ) W21 21 ( )vNl
A 21 又W21 g ( ) N l n
A 21 A 21v 2 21 ( ) g ( ) g ( ) 2 n v 8 0
其中 :
N N l 为各模式光子数密度的 总和;
单模振荡速率方程组 2. 四能级系统速率方程组(Nd:YAG,He-Ne激光器)
E3
W03 S30 A30 S32
S21
W A21 W21 12
激光原理第18讲 速率方程、小信号增益系数
第18讲 速率方程、小信号增益系数
18.1 单模振荡速率方程
• 1、三能级系统速率方程
– W13为抽运几率 – A31为自发辐射几率
E2
– S32、S31为热驰豫(无辐射跃迁)几率
S32
– S31<<S32、A31<<S32 – S32远大于S31和A31，基态E1上的粒子被
四能级系 统速率方程 其中忽略了 n3W30，因
为n3太小
dn3
dt
n0W 03
n3 S 32
A30
dn2
dt
n2
g2 g1
n1
21
,
0
v
N
l
n2
A21
S21
n3 S12
d
n
0
dt
n1 S 1 0
n0W03
n3 A30
n0 n1 n2 n3 n
dNl dt
能级的粒子数，τ1、τ2为E1、E2能级的寿命，τ21表示E2
上的粒子由于各种因素跃迁到E1造成的有限寿命；
• 这种表示方式采用激励速率和能级寿命来描述粒子数变化
速率而不涉及具体的激励及跃迁过程，而前面给出的速率
方程则忽略了激光下能级的激励过程。
连续激光器的增益和工作特性
• 增益特性是分析激光器震荡条件、模式竞争、输 出功率和激光放大器净增益系数的基础。
n1S10 n0W03 n3A30
vNl n2
A21 S21
n3S12 W03
A30
S30
n0 n1 n2 n3 n
E0
S32 E2
S21 A21 W21 W12
E1 S10
激光器速率方程讲解
n：腔内单位体积中频率处于附近单位频率间隔内 的光波模式数
得到：一个模式内的一个光子引起的受激跃迁 几率等于分配到同一模式上的自发跃迁几率。
f2 W21 al nl ,W12 al nl f1
• 对W21作出近似计算 • 设谱线的总自发辐射跃迁几率为A21，谱线 宽度为，并假设A21均匀分配在所包含 的所有模式上，则分配在一个模式上的自发 辐射跃迁几率为 A21
对表达式进行修正
dn21 ( ) sp n2 A21 ( )d n2 A21 dt dn21 ~( , ) d ( ) st n2W21 ( )d n2 B21 g 0 dt
该积分与辐射场的带宽有关。 1 原子和连续光辐射场的相互作用， 2 原子和准单色光辐射场相互作用，
3 原子和准单色光相互作用
• 由于激光的高度单色性，认为原子和准单色光相互 作用，辐射场的中心频率为 ，带宽为，且 << 。被积函数只在中心频率附近的一个极 ~( , )可 窄范围内才有非零值。在此频率范围内， g 0 以近似看成不变。 表示频率为的准 • 引入函数=(-)
f 2 A21 ~ 12 ( , 0 ) g ( , 0 ) 2 f1 8 0
2
匀加宽物质和非均匀加宽物 质的发射截面分别为
2 A21 ln 2 2 A21 21 2 2 , 21 3 2 2 4 0 H 4 0 D
~( , ) ~( , ) ~( , ) A21 g A21 g A21 g 8 2 0 0 0 W21 Nl N lV nl n 3 n n V n V c ~( , ) A21 g W21 0 al n 为腔内第 l 模内的总光子数 l nl n V
4.1激光物理的各种基本理论
3、缺陷：数学处理也复杂。理论上还掩盖了光场的量子特性， 无法解释自发辐射的产生、线宽极限、振荡过程的量子起伏效 应(噪声和相干性)等。
四、速率方程理论——量子理论的简化形式
1、处理方法：从光子(即量子化的辐射场)与物质原子的相 互作用出发的。但是，忽略了光子的相位特性和光子数的 起伏特性。
2、作用和优势：简明性而诱人。能给出激光的强度特性。 对于烧孔效应、兰姆凹陷、多模竞争等，能给出粗略的近似 描述。
(4) 描述：平均碰撞时间 —统计方法
(5) 碰撞加宽线型函数
碰撞线宽
L 1
~ g L ,0
L 2 2 2 0 L 2
L
L 碰撞时间间隔一个原子与其它原子发生碰撞的平均时间间
隔-描述碰撞的频繁程度
在气压不太高时， 碰 撞线宽与气压成正比 例子：CO2 ： He3:Ne20(7:1)
结果：不会使激发态原子减少，却会使自发辐射波列 相位发生突变，波列长度，等效于激发态寿命 。
b、非弹性碰撞 无 辐射跃迁
激发态原子与其他原子或器壁碰掩使内能转换 为其他原子或器壁的动能，而自己回到基态。 结果：使激发态原子减少， 也使激发态寿命 。
(3) 结果：使激发态寿命 ，从而谱线加宽。
mv z2 / 2 KT e dvz
12
单位体积内,某能级上z向速度 分量在vz~vz+dvz的原子数。 n(v z )单位体积内,某能级上，z向 速度分量为vz附近，单位速度间 隔内内的原子数。
总原子数密度
n(vz)
n(vz)dvz
dvz 0 vz
m mv z2 / 2 KT dvz e E2能级上： n2 vz dvz n2 2KT
激光原理（）-速率方程（ＰＤＦ）
激光器理论
3.量子理论（量子电动力学） 光场 量子理论 原子
激光器的严格理论，原则上可解释激光器全部特性
4.速率方程理论 自发辐射、受激辐射、受激吸收几率和爱因斯坦系数 激光器速率方程
量子理论的简化形式
NJUPT
自发辐射、受激辐射、受激吸收几率的基本公式
（简化：仅考虑两个能级的情况）
A21 ——自发辐射跃迁几率
洛仑兹型线型函数
∆ν
L
1 =
2πτ L
τ 平均碰撞时间 L ： 任一原子与其他原子发生碰撞的 平均时间间隔
NJUPT
谱线加宽的机理
碰撞加宽（Pressure (collisions) broadening ）
τ L、∆ν L 可直接由实验测得
经验公式： ∆ν L = α P
α ——比例系数
P ——气体总气压
① 经典理论。该理论体系的特点，是将激光场看成经典的电磁场而采用麦克 斯韦方程组加以描述，将与激光相互作用的物质体系看成是经典谐振子的集合。 采用这种理论能较好地解决激光场的空间结构和时－空传输特性等，其最成功 之处是建立了光学共振腔理论和激光模式理论。
② 半经典理论。该理论体系的特点，是将激光场看作是可用麦克斯韦方程组 描述的经典电磁场，而将与激光发生作用的物质体系看成是服从量子力学规律 的微观粒子（原子、分子、离子或电子）的集合。这种理论能比较好地解决有 关激光与物质体系相互作用过程中的许多重要问题，特别是能正确反映那些与 激光场波动性有关的现象的规律性；这种理论的局限性，是不能反映与激光场 的量子化特性（光子特性）有关的某些现象的规律性，其中包括不能解释与场 的量子起伏和物质体系自发辐射行为有关的现象规律性。半经典理论最成功的 例证，是解决了有关激光振荡与放大过程中的增益饱和、模式牵引、相位锁定 （见激光锁模技术）等基本特性的描述；此外是有关光学媒质在强光作用下的 各种非线性电极化效应的描述。
半导体激光器速率方程
第二章 光注入半导体激光器的速率方程模型2.1 光反馈半导体激光器光反馈或光注入半导体激光器的速率方程是分析和模拟系统特性的理论基础，本节先推导光反馈半导体激光器的电场速率方程―Lang-Kobayashi 方程[29]，并分析了振荡条件。
为方便分析，将半导体激光器的参量及各参量的关系分别列入表2-1和表2-2。
表2-1 激光器参量的意义符号 物理量 单位 电量 C 有源区体积 m 3 载流子寿命 ns 光子寿命 ps 限制因子 --- 阈值载流子密度 m -3 透明载流子密度 m -3 增益饱和系数 m 3 线宽增强因子 --- 微分增益 m 3s -1 自发辐射因子 --- 端面强度反射率 ---波长nm表2-2 参量之间的关系Table 2-2 Relationships of parameters2.1.1 图2-1 光反馈Fabry-Perot 谐振腔示意图图2-1为光反馈的示意图，激光谐振腔两端面的反射率分别为1R 、2R ，腔长为L ，外部反射镜的反射率为e R 、距离为/2e L c τ=，τ为激光在外腔中环行一次的时间。
E +、E-分别表示正向、负向传播的时变电场的复振幅。
激光的动态变化行为取决于增益，因此可以将增益作为算子。
激光在腔内环行一次的增益为int 2())r G i kL Γg L α=-+- (2-1)将其变为指数形式，上式可变为int exp(2())r m G i kL Γg L αα=-+-- (2-2)其中/k n c ω=为波数。
实际上，激光器有源区内载流子密度()N t 随时间的变化将导致介质折射率和振荡频率的变化。
因此将波数在无光反馈阈值点(th n ,th ω)展开()()g th th th th th n n n nN N c c c N cωωωωω∂≈+-+-∂ (2-3) 其中，g th nn n ωω∂=+∂为介质的群折射率。
将(2-3)式代入(2-2)中，并将r G 分解成1r G G G ω=，其中：频率无关项1int exp[()]exp((2/)())m th th nG Γg L i L c N N Nααω∂=----∂ (2-4) 频率相关项22exp[()]g th th th n Ln L G ii c cωωωω=--- (2-5) 由于2th th n L c ω是2π的整数倍，并且角频率为ω的单色波电场满足关系式di dtω=，G ω可改写为算子exp()exp()th L LdG i dtωωττ=- (2-6) 由于激光器振荡频率在阈值附近，即th ωω≈，因此对时变复电场()e t 可引入慢变化复电场振幅()|()|exp(())E t E t i Φt =，即()()exp()th e t E t i t ω= (2-7)其中th d dtΦωω=-。
激光原理第四章
n1W14 n 4S43
n 4S43 n 3 A 32 n 2S21 n1W14
n1+n3=n
n n3
0
→
W14 n
n1+n3=n
W14 A32
小信号增益系数
定义
G dI(z) I( z)dz
计算
G
1 l
ln
I I0
I0:初光强，I:末光强, l:传播距离
孔宽
1
0
I 1 Is
H
)
增益曲线均匀下降
孔深 增益曲线烧孔
Gi ( 1 ) Gt
二、非均匀加宽
1、对入射强光 ( 1 , I ) 的增益系数
1
Gi ( ν 1 , I 1 )
G ( 1)
0 i
Gm 1 I 1 Is
4 ln 2 ( 1 0 ) i
2
2
e
1
I 1 Is
各增益系数
均匀加宽
G ( ν)
0
非均匀加宽
Gm 2
4 ln 2( 0 ) i
4 i
大信号反转粒子数
一、均匀加宽
1、反转粒子数表达式
n( ν1 , I 1 ) ( ν1 ν 0 )
2
2 2
νH 2
( ν1 ν 0 )
2
(1
νH 2
I 1 Is
n )
0
Is
4 ν0 h H
2 3
v
2
的强光入射时的 大信号反转粒子数 ，Is:饱和光强参数(w/mm2)
(1)光源静止、接收器运动
典型激光器速率方程
(
dn21 dt
)
sp
A21n2
(
dn21 dt
)
st
W21n2 ,W21
B21
(
dn12 dt
)
st
W12n1,W12
B12
A21 B21
8h 3
c3
, B12
f1
B21 f2
2 考虑线型函数后必要的修正
• 线型函数可以理解为几率按频率的分布函数
P( ) Pg~( , 0 ) n2h 0 A21g~( , 0 ) n2h 0 A21( )
A21( ) A21g~( , 0 )
A21( )d
A21g~(
,
0
)d
A21
A21()表示在总自发跃迁几率A21中，分配在频率处单
位频率内的自发跃迁几率； W21()表示在总受激跃迁几
率W21中，分配在频率处单位频率内的受激跃迁几率
• 21(,0)和12(,0)分别称为发射截面和吸收截面，
它们具有面积的量纲
21( , 0 )
A21 2
8
2 0
g~( ,0 )
中心频率处的发射截面与吸 收截面最大。当=0时，均
12 ( , 0 )
f2 f1
A21 2
8
2 0
g~( ,0 )
匀加宽物质和非均匀加宽物 质的发射截面分别为
21
2 A21
4
2
2 0
H
, 21
ln 2 2 A21 4 3 2 02 D
W21
A21g~( , 0 )
n
Nl
A21g~( , 0 )
典型激光器单模振荡速率方程
• 量子理论：对光频电磁波和物质原子都作 量子化处理，并将二者作为一个统一的物 理体系加以描述（量子电动力学）。只是 在需要严格地确定激光的相干性和噪声以 及线宽极限等特性时才是必要的 • 速率方程理论：量子理论的简化形式，从 光子（量子化的电磁场）与物质原子的相 互作用出发，忽略了光子的相位特性和光 子数的起伏特性，只能给出激光的强度特 性
中心频率处的发射截面和吸收截面最大。
三、典型激光器单模振荡速率方程
• 三能级系统 • 四能级系统 根据跃迁过程写出速率方程组
思路小结: • 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互作用 的关系式 • 考虑线型函数后必要的修正：几率按频率的 分布函数 • 原子和准单色光相互作用 • 单模振荡速率方程组（三能级系统和四能级 系统） • 多模振荡速率方程组
书中图4.4.3
小结（非均匀加宽）： 1、频率为1 的准单色光的增益系数 、光强为 I1
gi ( 1 , I1 )
gi0 ( 1 ) 1 I1 Is
非均匀加宽工作物质的增益饱和效应的强弱 与频率无关 2、烧孔效应 反转集居数烧孔效应（书中图4.5.1）、强光入 射时弱光的增益系数（图4.5.2） 3、多普勒非均匀加宽驻波腔激光器中，强光在 弱光的增益曲线上对称地烧2个孔（图4.5.3）
1 1 1 H ( ) （下能级为基态） 2 2 2 s nr 1 1 1 H ( ) 2 2 1 1
（下能级不为基态）
在固体工作物质中占主导地位的均匀加宽是晶 格振动引起的加宽，它随温度的升高而增加。
•3、非均匀加宽
特点：原子（分子、离子）体系中每个原子只对谱线 内与它的表观中心频率相应的部分有贡献，因而可以 区分谱线上的某一频率范围是由哪一部分原子发射的 1）气体工作物质的多普勒加宽 由于气体原子的热运动，原子在光传输方向上具有 热运动速度z ，原子在自发辐射和受激辐射跃迁时表 现出来的中心频率不再是0，而是0=0(1+z/c)。 0 称作表观中心频率。 由于气体原子的热运动速度服从麦克斯韦分布，导 致了谱线的非均匀多普勒加宽。其线型函数具有高斯 线型
速率方程程序说明
速率方程程序说明一、基本公式阐述鉴于实验中绝大多数情况都采用四能级系统，所以本程序以四能级系统为例进行计算。
假设从泵浦带到激光上能级跃迁的速率非常快，故可以忽略泵浦带的粒子数，即30n =。
在这种假设下的四能级系统中，两个激光能级之间的变化量为：222021112212112110()()p f dn g nW n n n c dt g dn g n n n n c dt g σφτσφττ=---=-+-其中，0p W n 为单位时间和单位体积内从基能级到上激光能级的粒子数；0n 为基态粒子数；1n 为激光下能级粒子数；2n 为激光上能级粒子数；φ为光子密度；c 为光速；f τ为从上激光能级的荧光衰减时间；1g ，2g 分别为激光下能级、上能级的简并度；21τ为激光上能级到激光下能级的自发辐射弛豫时间；10τ为激光下能级的寿命；σ为晶体的有效发射截面，在本程序中Nd:Y AG 的有效截面为1922.810cm -⨯。
在激光器中，下能级的的粒子数向基态能级无辐射跃迁的速率远远大于从基态向3能级泵浦的速率，则可以认为10n =，所以四能级速率方程就化为2202p fdn nW n n c dt σφτ=-- 在激光器中，需要考虑激光介质和谐振腔的特性来模拟激光能量的输出，所以需要推导出光子数的方程：220exp cr r s t t d n c c dt n t φασφφφξ⎡⎤⎛⎛⎫-⎢⎥=---- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中， Nd:Y AG 的吸收系数为α=311.910m --⨯，折射率 1.82r n =，81410s ξ-=⨯，10c t s μ=，1s t s μ=，1R 、2R 为前后反射镜的反射率。
0p W n 给出了单位时间和单位体积内从基能级到上激光能级的粒子数，经过推导可得：0Q T a B s inp fP W n Vhv ηηηηη=其中，Q η为量子效率，Nd:Y AG 的量子效率为0.95；T η为俘获效率和传输效率之和，典型值在0.85~0.98之间；a η为增益介质吸收的有效泵浦辐射，Nd:YAG 中取0.75；u η为从基能态向上激光能级的高效能量传输，Nd:Y AG 中取0.72；s η为斯托克斯因子，Nd:Y AG 中取0.7；B η为光束的交叠效率，取值范围在0.1~0.95之间；in P 为泵浦光的输入功率。
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st
n2 B21
g
, 0
d n2 B210
dn12 dt
st
n1B12
g
, 0
d n1B12 0
与原来唯象公式一样！
推论：W21 B210 W12 B120
典型事例：原子与黑体辐射场作用。
太原理工大学物理与光电工程学院
(2)、原子与准单色辐射场的相互作用
g ',0 g~g',',00
dn12 dt
st
dn21 dt
st
辐射场的带宽： '
(黑体辐射场)
g~ , g(',0)0
原子
0
原子谱线的宽度：
此时有： '
g
,
0
d
中的被积函数
只在 0 附近很小范围内
（ ）才不为零。
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0
g , 0 d 0
dn21 dt
单模：具有一定谐振频率和准单色光
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1、三能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W13
A31
S31
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
S31, A31 S32; S31 A31
E1（激泵光浦下下能能级级）
S21 A21
太原理工大学物理与光电工程学院
太原理工大学物理与光电工程学院
太原理工大学理学院物理系
§4.2 典型激光器的速率方程
Rate Equation of the Typical Laser
太原理工大学理学院物理系
激光器的理论
一、经典理论 二、半经典理论——激光器的兰姆理论 三、量子理论 四、速率方程理论
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速率方程理论——量子理论的简化形式 1、处理方法：从光子与物质原子的相互作用
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
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g
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g ',0 g ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
太原理工大学物理与光电工程学院
谱线加宽对自发辐射表达式无影响！
dn21 dt
st
n2W21
d n2 B21 g , 0
d
dn12 dt
st
n1W12
d
n1B12
g
, 0
d
※积分与辐射场的带宽有关！
太原理工大学物理与光电工程学院
5、两种情况讨论
目标：找积分
g
,
0
d
(1)、原子与连续谱光辐射场 的相互作用
F
太原理工大学物理与光电工程学院
思考：分别求洛仑兹线型和高斯线型下简
化线型函数对应的等效谱宽 。
21 , 0
A21 2
8
h
2 0
g ,0
21 l , 0 Nl 21 Nl 21 N
l
l
太原理工大学物理与光电工程学院
根据简化模型, 四能级多模速率方程
dn3 dt
n0W03
物理意义: 由于谱线加宽, 外来光的频率 并不 一定要精确等于原子发光的中心频率 0 才能产生 受激跃迁,而是主要在=0 附近的一个频率范围内 都能产生受激辐射。当ν偏离中心频率ν0时，跃 迁几率急剧下降。
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6、受激辐射、受激吸收几率的其它表达形式
W21
B21 g ,0
n1 21 N
N RN-Fra bibliotek各模式光子数密度总和
n0 n1 n2 n3 n
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1
S32 A30 S32
E3向E2的无辐射 跃迁量子效率
2
A21 A21 S21
E2向E1的跃迁的 荧光量子效率
总量子效率
F
12
发荧光的光子数 从光泵吸收的光子数
物理意义：由光泵抽运列 E3 的粒子，只有一部分通 过无辐射跃迁到达激光上能级 E2 ，另一部分通过其 他途径返回基态。而到达E2能级的粒子，也只有一部 分通过自发辐射跃迁到达E1能级并发射荧光，其余粒 子通过无辐射跃迁到 E1 能级。
典型的三能级系统：红宝石、掺铒光纤。
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3、四能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W03
A30
S30
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2 激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
E1 激光下能级
S10
E0 泵浦下能级
S30 , A30 S32; S21 A21; S10极大
n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
R1,R2为单位体积中，在单位时间内激励至 E1,E2能级的粒子数；τ1，τ2为E1, E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级的跃迁造成的有限寿命。
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三 能 级 系 统 和 四 能 级 系 统 比 较
W13 A31
S31
E3 泵浦上能级
n1 21 ,0 Nl
Nl
Rl
n0 n1 n2 n3 n
dn3
dt
n0W03
n3
A30 S32
dn0 dt
n1S10
n0 W03 n3 A30
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特点：非常复杂。在处理一些不涉及各模差别的问 题时，为了使问题简化，可作简化假设。
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出发。忽略光子的相位特性、 光子数的起伏特性。
2、作用：激光的强度特性、烧孔效应、兰姆 凹陷、多模竞争等。
3、优势：简洁明了。
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一、考虑谱线加宽后对唯象公式的修正
1、速率方程组：腔内光子数和工作物质各有关能 级上的原子数随时间变化的微分方程组。
2、爱因斯坦唯象公式的回顾
2、简化假设
(1) 前提: 研究的问题无需考虑模式差别,模式间衍 射损耗(选择性损耗)差别可忽略。
(2)简化情况：各个模式 损耗, 光子寿命相同； 线型函数简化为矩形 。
矩形面积＝原谱线 下曲线所围面积
g ,0
g~ g~ '
g 0,0 g ' ,0
g 0, 0
g
,
0
d
1 1 g 0,0
3、自发辐射、受激辐射和受激吸收概率
P n2h0 A21g ,0 n2h0 A21
1 A21 A21g , 0
表示在总自发跃迁几率 A21 中，分配在频率 处
单位频带内的自发跃迁几率。
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2
B21
B21g , 0
c3
8 3
A21
3
B12 B12 g , 0
g
', 0
'd
'
g
,
0
'
d
'
g
,
0
dn21 dt
st
n2 B21
g
', 0
'd
'
n2 B21g
, 0
dn12 dt
st
n1B12
g
', 0
'd
'
n1B12 g
, 0
W21 B21g , 0
W12
B12 g
, 0
－ 准单色光辐射场总能量密度
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S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21 W12
W03 A30
S30
E1(基态（) 激泵光浦下下能能级级）
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2 激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
E1 激光下能级
S10
E0(基态) 泵浦下能级
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三、多模振荡速率方程组(四能级系统 )
f2 f1
21
,
0
N
l
太原理工大学物理与光电工程学院
dn3
dt
n1W13
n3
A31 S32
形 式
dn2 dt
n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
n2 S21
A21 n3S32
二
n1 n2 n3 n
净受激辐射
dNl dt
n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
Nl
Rl
注意：在光子数方程中忽略了少量自发辐射非相干 光子的贡献！
1、多模振荡速率方程组 设共有m个模振荡，其中第 l 个模的频率、光子数密
度、光子寿命分别为 l、 Nl 、 Rl ，对每个光模
都应建立各自的光子数速率方程，则有：
dn2
dt
l
n2
f2
f1
n1
21
l , 0
Nl n2