2 典型激光器的速率方程

st
n2 B21
g
, 0
d n2 B210
dn12 dt
st
n1B12
g
, 0
d n1B12 0
与原来唯象公式一样！
推论：W21 B210 W12 B120
典型事例：原子与黑体辐射场作用。
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(2)、原子与准单色辐射场的相互作用
g ',0 g~g',',00
n1 21 ,0 Nl
Nl
Rl
n0 n1 n2 n3 n
dn3
dt
n0W03
n3
A30 S32
dn0 dt
n1S10
n0 W03 n3 A30
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特点：非常复杂。在处理一些不涉及各模差别的问 题时，为了使问题简化，可作简化假设。
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3、自发辐射、受激辐射和受激吸收概率
P n2h0 A21g ,0 n2h0 A21
1 A21 A21g , 0
表示在总自发跃迁几率 A21 中，分配在频率 处
单位频带内的自发跃迁几率。
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2
B21
B21g , 0
c3
8 3
A21
3
B12 B12 g , 0
2、三能级系统的单模振荡速率方程组
dn3
dt
n1W13 n3
A31 S32 S31
形 式 一
dn2
dt
n3S32
n1W12
n2
S21 A21
n2W21
n1 n2 n3 n
dNl dt
n2W21
n1W12
Nl
Rl
又因为： W21 21 ,0 Nl
W12
12 , 0 Nl
2、简化假设
(1) 前提: 研究的问题无需考虑模式差别,模式间衍 射损耗(选择性损耗)差别可忽略。
(2)简化情况：各个模式 损耗, 光子寿命相同； 线型函数简化为矩形 。
矩形面积＝原谱线 下曲线所围面积
g ,0
g~ g~ '
g 0,0 g ' ,0
g 0, 0
g
,
0
d
1 1 g 0,0
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太原理工大学理学院物理系
f2 f1
21
,
0
N
l
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dn3
dt
n1W13
n3
A31 S32
形 式
dn2 dt
n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
n2 S21
A21 n3S32
二
n1 n2 n3 n
净受激辐射
dNl dt
n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
Nl
Rl
注意：在光子数方程中忽略了少量自发辐射非相干 光子的贡献！
n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
R1,R2为单位体积中，在单位时间内激励至 E1,E2能级的粒子数；τ1，τ2为E1, E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级的跃迁造成的有限寿命。
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三 能 级 系 统 和 四 能 级 系 统 比 较
W13 A31
S31
E3 泵浦上能级
典型的三能级系统：红宝石、掺铒光纤。
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3、四能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W03
A30
S30
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2 激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
E1 激光下能级
S10
E0 泵浦下能级
S30 , A30 S32; S21 A21; S10极大
单模：具有一定谐振频率和准单色光
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1、三能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W13
A31
S31
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
S31, A31 S32; S31 A31
E1（激泵光浦下下能能级级）
S21 A21
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A21 n
g , 0 Nl
21 , 0 Nl
W12
B12g~ , 0
f2 f1
A21 n
g , 0 Nl
12 , 0 Nl
其中：
激光第 l 个模内的光子数密度
21 , 0
A21 2
8
2 0
g ,0
—发射截面
12 ,0
f2 f1
A12 2
8
2 0
g ,0
出发。忽略光子的相位特性、 光子数的起伏特性。
2、作用：激光的强度特性、烧孔效应、兰姆 凹陷、多模竞争等。
3、优势：简洁明了。
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一、考虑谱线加宽后对唯象公式的修正
1、速率方程组：腔内光子数和工作物质各有关能 级上的原子数随时间变化的微分方程组。
2、爱因斯坦唯象公式的回顾
dn12 dt
st
dn21 dt
st
辐射场的带宽： '
(黑体辐射场)
g~ , g(',0)0
原子
0
原子谱线的宽度：
此时有： '
g
,
0
d
中的被积函数
只在 0 附近很小范围内
（ ）才不为零。
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0
g , 0 d 0
dn21 dt
n3S32
1
n3S32 A30
1
S32 S32 A30
E3E2 量子效率 (泵浦效率)
dn2 dt
n2
f2 f1
n1
21 N
n2 A21
2
n3S32
dn0 dt
n1S10
n0W03
2
A21 A21 S21
n2 A21 S21
E2E1 荧光量子效率
dN dt
n2
f2 f1
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4、四能级系统的单模振荡速率方程组
dn3
dt
n0W03
n3
A30 S32
dn2 dt
n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
n2 S21 A21 n3S32
dn0 dt
n1S10
n0 W03
n3 A30
n0 n1 n2 n3 n
dNl dt
n1 21 N
N
R
N--各模式光子数密度总和
n0 n1 n2 n3 n
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1
S32 A30 S32
E3向E2的无辐射 跃迁量子效率
2
A21 A21 S21
E2向E1的跃迁的 荧光量子效率
总量子效率
பைடு நூலகம்
F
12
发荧光的光子数 从光泵吸收的光子数
物理意义：由光泵抽运列 E3 的粒子，只有一部分通 过无辐射跃迁到达激光上能级 E2 ，另一部分通过其 他途径返回基态。而到达E2能级的粒子，也只有一部 分通过自发辐射跃迁到达E1能级并发射荧光，其余粒 子通过无辐射跃迁到 E1 能级。
g
', 0
'd
'
g
,
0
'
d
'
g
,
0
dn21 dt
st
n2 B21
g
', 0
'd
'
n2 B21g
, 0
dn12 dt
st
n1B12
g
', 0
'd
'
n1B12 g
, 0
W21 B21g , 0
W12
B12 g
, 0
－ 准单色光辐射场总能量密度
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1、多模振荡速率方程组 设共有m个模振荡，其中第 l 个模的频率、光子数密
度、光子寿命分别为 l、 Nl 、 Rl ，对每个光模
都应建立各自的光子数速率方程，则有：
dn2
dt
l
n2
f2
f1
n1
21
l , 0
Nl n2
A21 S21
n3S32
dNl dt
n2
f2 f1
—吸收截面
中心频率处发射截面和吸收截面最大！
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均匀加宽工作物质中心频率发射截面
21 0
A21 2
4
2
2 0
H
非均匀加宽工作物质中心频率发射截面
21 0
ln 2 A21 2
4
3
2
2 0
D
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二、单模振荡速率方程组
速率方程组：腔内光子数和工作物质各有关能级上 的原子数随时间变化的微分方程组。
S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21 W12
W03 A30
S30
E1(基态（) 激泵光浦下下能能级级）
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2 激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
E1 激光下能级
S10
E0(基态) 泵浦下能级
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三、多模振荡速率方程组(四能级系统 )
谱线加宽对自发辐射表达式无影响！
dn21 dt
st
n2W21
d n2 B21 g , 0
d
dn12 dt
st
n1W12
d
n1B12
g
, 0
d
※积分与辐射场的带宽有关！
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5、两种情况讨论
目标：找积分
g
,
0
d
(1)、原子与连续谱光辐射场 的相互作用
物理意义: 由于谱线加宽, 外来光的频率 并不 一定要精确等于原子发光的中心频率 0 才能产生 受激跃迁,而是主要在=0 附近的一个频率范围内 都能产生受激辐射。当ν偏离中心频率ν0时，跃 迁几率急剧下降。
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6、受激辐射、受激吸收几率的其它表达形式
W21
B21 g ,0
dn21 dt
sp
n2 A21
dn12 dt
st
n1W12
dn21 dt
st
n2W21
W21 B21 W12 B12
B12 f1 B21 f2
A21 B21
8 h 3
c3
n h
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说明：上述关系建立在能级无限窄，因而自发辐射 是单色的假设基础上。实际上，自发辐射并 非是单色，因此需做必要的修正。
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
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g
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g ',0 g ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
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n2
f2 f1
n1 21 ,0 Nl
Nl
Rl
典型的四能级系统： He -Ne, Nd: YAG 。
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对于四能级系统，另一种常见的粒子数密度速 率方程
dn2 dt
R2
n2
2
n2
f2 f1
n1 21 , 0
Nl
dn1 dt
R1
n1
1
n2
21
f2 f1
B21
在辐射场 的作用下的总受激跃迁几率 W21 中，
分配在频率 处单位频带内的受激跃迁几率为：
W21 B21 B21 g ,0
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4、公式的修正
dn21 dt
sp
n2 A21
d
n2 A21g , 0
d n2 A21
F
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思考：分别求洛仑兹线型和高斯线型下简
化线型函数对应的等效谱宽 。
21 , 0
A21 2
8
h
2 0
g ,0
21 l , 0 Nl 21 Nl 21 N
l
l
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根据简化模型, 四能级多模速率方程
dn3 dt
n0W03
§4.2 典型激光器的速率方程
Rate Equation of the Typical Laser
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激光器的理论
一、经典理论 二、半经典理论——激光器的兰姆理论 三、量子理论 四、速率方程理论
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速率方程理论——量子理论的简化形式 1、处理方法：从光子与物质原子的相互作用