2021年高中数学《1.3弧度制》教学案新人教版必修4
人教版高中数学必修4-1.1《_弧度制》教学设计
《弧度制》教学设计一、教学目标：（一）核心素养通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系.（二）教学目标1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题（三）学习重点1．理解弧度“是什么”；2．熟练弧度和角度之间“如何化”；3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”；（四）学习难点1．理解弧度“是什么”；2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第6页至第11页．（2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？2．预习自测=____________（1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB【答案】1rad．（2）2π rad =（）A．180°B．200°C．270°D．360°【答案】D．（3）把50°化为弧度制（）A．50B．5 18πC．18 5πD．9000π【答案】B．（4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π(二)课堂设计1．知识回顾（1）角的概念的推广；（2）终边相同的角的表示2．问题探究探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；●活动结合实例，引入弧度制有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.。
高中数学 112弧度制导学案 新人教A版必修4 学案
§1．1．2 弧度制导学案【学习目标】了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算。
【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习1、写出终边在下列位置的角的集合。
（1）x轴：；（2）y轴：。
复习2、角度制规定，将一个圆周分成份，每一份叫做度，故一周等于度，平角等于度，直角等于度。
（二）自主研讨：（预习教材P6-P9）探究一：弧度制定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，这种度量角的单位制称为。
新知：①正角的弧度数是数，负角的弧度数是数，零角的弧度数是。
②角α的弧度数的绝对值lrα=（l为弧长，r为半径）反思：① 1rad等于度，②1︒等于弧度。
试试：完成特殊角的度数与弧度数的对应表：二、合作探究1、按要求解答下列各题：（1）把3730'︒化成弧度，（2）把35radπ化成度。
2、用弧度制表示：（1）终边在x轴上的角的集合，（2）终边在y轴上的角的集合。
3、利用弧度制证明扇形面积公式：（1）12S lR=，（2）212S Rα=。
三、交流展示1、把2230'︒化成弧度表示是（）A.4πB.8πC.16πD.32π2、下午正2点时，时针和分针的夹角为（）A.6πB.4πC.3πD.2π3、半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为rad。
4、54π化为度表示是。
四、达标检测（A组必做，B组选做）A组：1、时钟经过一小时，时针转过了( )A.6πrad B.－6πrad C.12πrad D.－12πrad2、若α＝－3，则角α的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、半径为πcm，中心角为120o的弧长为（）A．cm3πB．cm32πC．cm32πD．cm322π4、若扇形的圆心角α＝2，弧长l＝3π，则该扇形的面积S＝（）A. 3πB.32πC. 6πD. 6B组：1、已知集合M =｛x∣x =2π⋅k, k∈Z｝，N =｛x∣x =2ππ±⋅k, k∈Z｝，则（）A．集合M是集合N的真子集 B．集合N是集合M的真子集C．M = N D．集合M与集合N之间没有包含关系2、如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（）A．｛α∣120°<α<330°｝B．｛α∣k·360°－30°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z｝C．｛α∣k·360°＋120°≤α≤k·360°＋330°，k∈Z｝D．｛α∣k·180°＋120°≤α≤k·180°＋330°，k∈Z｝3、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
最新人教版高中数学必修4第一章《弧度制和弧度制与角度制的换算》示范教案
示范教案整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位进行度量，并且一度的角等于周角的1360，记作1°.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式，使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的．进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点．有条件的学校可进行计算机练习，学习电子表格和Scilab中的公式计算功能．以后学生可使用这一功能检查自己的计算结果.三维目标1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．通过弧度制的学习，培养学生理性思维的良好习惯．2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．推进新课新知探究提出问题(1)在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？(2)我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便，那么角的度量是否也能用不同单位制呢？活动：教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，的长等于半径r ，AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即lr＝1.图1讨论结果： (1)1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．(2)能，用弧度制． 提出问题 (1)作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连结圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？(2)如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？活动：教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．教师要强调，为了让学生习惯使用弧度制，本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制．讨论结果：(1)完全重合，因为都是1弧度的角．(2)α＝l r ；将角度化为弧度：360°＝2π rad ，1°＝π180 rad ≈0.017 45 rad ；将弧度化为角度：2π rad ＝360°，1 rad ＝(180π)°≈57.30°＝57°18′.弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad ＝(180απ)°，n°＝n π180(rad)．在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．提出问题 (1)引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示？扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？(2)填写下列的表格，找出某种规律． 的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向r 1 2r －2 －π 0 180°360°(3)你能写出把角度值n 换算为弧度值的一个算法吗？活动：设置这个表格的意图是让学生对一些特殊角填表，然后概括出一般情况．教师让学生互动起来，讨论并总结出规律，提问学生的总结情况，让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬，对没有总结完全的学生进行简单的提示．检查完毕后，教师做个总结．由上表可知，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数的绝对值是lα.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．教师指出，角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应．在理解以上的对应关系时，应该注意角度制是60进位制，遇到35°6′这样的角，应该把它化为10进制的数值35.1°，但是弧度数不存在这个问题，因为弧度数是十进制的实数．这是角度制与弧度制的一个重要区别．值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两种单位不能混用，绝对不能出现k·360°＋π3或者2kπ＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k ∈Z )的形式．如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．图2讨论结果：(1)与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k ∈Z )的形式．弧度制下关于扇形的公式为l ＝αR ，S ＝12αR 2，S ＝12lR.(2)的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr 逆时针方向 π 180° 2πr 逆时针方向 2π 360° r 逆时针方向 1 57.3° 2r 顺时针方向 －2 －114.6° πr 顺时针方向 －π －180° 0 未旋转 0 0° πr 逆时针方向 π 180° 2πr逆时针方向2π360°(3)把角度值n 换算为弧度值的一个“算法”如下：①给变量n 和圆周率π的近似值赋值；②如果角度值n 是以“度、分、秒”形式给出，先把n 化为以“度”为单位的10进制表示；③计算π180(把1°换算为弧度值)，得出的结果赋给变量a ；④计算na ，赋值给变量α. α就是这个角的弧度值． 应用示例思路1例 1下列命题中，真命题是( ) A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 活动：本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，熟练掌握定义．根据弧度制的定义，对照各项，可知D 为真命题．变式训练例 2(1)把112°30′化成弧度(精确到0.001)； (2)把112°30′化成弧度(用π表示)．解：(1)按照上面写出的算法步骤，依次计算： ①n ＝112°30′，π＝3.141 6； ②n ＝1123060＝112.5；③a ＝π180≈0.017 5；④α＝na ＝1.968 75. 因此α≈1.969 rad.(2)112°30′＝(2252)°＝2252×π180＝5π8.例 3将下列用弧度制表示的角化为2kπ＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，并指出它们所在的象限：(1)－15π4；(2)32π3；(3)－20；(4)－2 3. 活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是：{β|β＝kπ，k ∈Z }，{β|β＝π2＋kπ，k ∈Z }．第一、二、三、四象限角的集合分别为：{β|2kπ<β<2kπ＋π2，k ∈Z }，{β|2kπ＋π2<β<2kπ＋π，k ∈Z }，{β|2kπ＋π<β<2kπ＋3π2，k ∈Z }，{β|2kπ＋3π2<β<2kπ＋2π，k ∈Z }．解：(1)－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角．(2)32π3＝10π＋2π3，是第二象限角．(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－23≈－3.464，是第二象限角．点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2kπ＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k ×6.28＋α，k ∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π2，π，3π2比较大小，估计出角所在的象限.(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解：(1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9<2π，∴－1 480°＝2(－5)π＋16π9.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－20π9.例 4如图3，(1)扇 形AOB 中，所对的圆心角是60°，半径为50米，求A B 的长l(精确到0.1米)．图3(2)利用弧度制推导扇形面积公式：S ＝12lr ，其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径．活动：本例目的是让学生在教师的指导下以扇形为背景，进一步理解弧度制的优越性．可先让学生多做相应的随堂练习，在黑板上当场演练，教师给予批改指导，对易出错的地方特别强调．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生的练习操作中一一纠正，这对以后学习大有好处．解：(1)如图3，因为60°＝π3，所以l ＝α·r ＝π3×50≈1.05×50＝52.5.答：的长约为52.5米．(2)如图4，因为圆心角为1 rad 的扇形的面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角的大小为l r rad ，所以它的面积S ＝l r ·r 22＝12lr ，即S ＝12lr.图4例 5已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．活动：这道应用题考查了函数思想．教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤，函数法求最值所包括的五个基本环节：(1)选取自变量；(2)建立目标函数；(3)指出函数的定义域；(4)求函数的最值；(5)作出相应结论．其中自变量的选取不唯一，建立目标函数结合有关公式进行，函数定义域要根据题意确定，有些函数是结构确定求最值的方法，并确保在定义域内能取到最值．解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S.由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r.∴S ＝12l·r ＝12(a －2r)·r ＝－r 2＋a 2r ＝－(r －a 4)2＋a 216.∵r>0，l ＝a －2r>0，∴0<r<a 2.∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a 2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积取最大值a 216.由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算．作业课本本节练习A 组 3,4；练习B 组 3,4,5.设计感想 本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．备课资料一、密位制度量角度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的16 000所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所以1°＝6 000密位360≈16.7密位，1密位＝360°6 000＝0.06°＝3.6′≈216″. 密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．二、备用习题1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A.π3B.π6 C ．1 D ．π 2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍3．下列表示的为终边相同的角的是( )A ．kπ＋π4与2kπ＋π4(k ∈Z ) B.kπ2与kπ＋π2(k ∈Z )C ．kπ－2π3与kπ＋π3(k ∈Z ) D ．(2k ＋1)π与3kπ(k ∈Z )4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________.5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形的中心角的弧度数．6．若α∈(－π2，0)，β∈(0，π2)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在的象限．7．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图5所示)．图58．(1)角α，β的终边关于直线y ＝x 对称，写出α与β的关系式； (2)角α，β的终边关于直线y ＝－x 对称，写出α与β的关系式． 参考答案：1．A 2.B 3.C 4.π3，2π3，π，4π3，5π35．解：设扇形所在圆的半径为R ，扇形的中心角为α，依题意有 αR ＋2R ＝6，且12αR 2＝2，∴R ＝1，α＝4或R ＝2，α＝1. ∴α＝4或1.6．解：－π2<α＋β<π2，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x 轴的非负半轴上．－π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y 轴的非正半轴上． 7．解：(1){θ|2kπ－π6<θ<2kπ＋5π12，k ∈Z }；(2){θ|2kπ－3π4<θ<2kπ＋3π4，k ∈Z }； (3){θ|2kπ＋π6<θ<2kπ＋π2，k ∈Z }∪{θ|2kπ＋7π6<θ<2kπ＋3π2，k ∈Z }＝{θ|nπ＋π6<θ<nπ＋π2，n ∈Z }．8．解：(1)β＝π2－α＋2kπ，k ∈Z ；(2)β＝3π2－α＋2kπ，k ∈Z .三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，π30(rad)，π1 800(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．例题 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x 弧度，则分针转过了2π＋x 弧度，而时针走1弧度相当于经过6π h ＝360π min ，分针走1弧度相当于经过30π min ，故有360πx ＝30π(2π＋x)，得x ＝2π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π11＋2π＝24π11(rad)． 乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π11(rad)． 点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．。
高中数学必修四《弧度制》教学设计
苏教版必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制第二课时弧度制江苏省盐城中学何莹《弧度制》教学设计深入挖掘数学学科的核心价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程——这是我教学设计的根本宗旨．本节课教学的重点就是弧度制概念．一．教学内容解析弧度制在本章的位置：本节知识结构：《弧度制》是必修4第一章第一节第二课时的内容，教学重点是弧度制的概念．本节内容起着承上启下的作用，在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为三角函数奠定基础．二．教学目标设置首先，理解1弧度的角及弧度制的定义；掌握角度和弧度的换算公式；了解角的集合和实数集之间一一对应的关系；理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．其次，以本节数学知识作为载体，为渗透类比的思想、转化化归的思想及数形结合的思想，还有提高学生数学抽象，逻辑推理，直观想像，数学运算和数据分析能力都提供了很好的契机．另外，探究新概念时，树立敢于质疑，善于思考，严谨求实的科学精神；从进制的不统一，认知的冲突引入新的度量制的必要性；从度量的角度引导学生探究从测量长度去度量角，并让学生感受到角的大小仅仅只与弧长和半径的比有关，与半径大小无关，理解弧度制的合理性；推导弧长公式，扇形的面积公式和角与实数的对应，认识到弧度制的优越性；同时，培养学生自主学习习惯，增强同学间相互交流的意识，取长补短，形成良好课堂学习氛围，达到学生主动、全面、健康发展．三．学生学情分析学生已有知识储备上，其一学生熟知角度制，其二学生能体会不同的单位制会给解决问题带来方便，其三学生已经学习了任意角的概念，这是本节课的知识基础．能力上，学生经过高中半个学期的数学思维训练，已经具有一定的学习能力和探索意识，本节课要学习和探究的内容都在学生的最近发展区内．弧度制的概念教学是重点也是难点，在概念的教学中引导学生分析概念生成的必要性、合理性、优越性．四．教学方法分析本节课采用问题驱动式教学，学生探究与教师讲授相结合，结合多媒体辅助教学，提出问题引发学生探究性思维活动，使学生在思考、讨论、交流中经历每个知识点的产生和发展过程．五．教学过程设计分为以下四个教学环节：（一） 创设情境1.角的研究，回顾角度制．设计意图：有人提出，60进制的角度制给运算带来不便，考虑给出新的度量角的单位制度．给出弧度制引入的必要性． 2.角的大小的测量思考1：角的概念推广后，我们如何去测量一个角？问１：测量一个角的大小，除量角器外还能用的工具是什么?问2：能用直尺（有刻度）测量一个角吗？用直尺测量角———用一条线段长来刻画（表示）一个角．设计意图：从测量的角度去引发学生的思考：最简单有效的工具是直尺，用直尺只能量线段的长，如何构造一条线段去刻画角的大小？（二）新课导入----弧度制的建构思考2：用来表示角的大小的这条线段怎样去构造？ 问1:它的两个端点如何选择？问2：这条线段的两个端点都在角的一条边上选显然是不行的，一定是在两条边上各取一点，怎样选呢？（以60角为例）问3：在两条边上，距角的顶点等距离的地方选两点．设计意图：让学生进行一系列尝试，找到初步符合要求的线段．问4：这种方法对于锐角而言可以建立起一一对应，即每一个锐角的大小都可以用对应的线段长之比刻画.对于任意角可行吗？问5：对于1200和2400的这两个角，相对应的线段长是一样的？对于00、3600等终边相同的角，它们对应的线段都一样？设计意图：在肯定部分学生尝试的合理性的同时，引导学生发现其局限性，引发认知冲突，激发学生进一步探究的欲望．思考3：用线段来刻画任意角的大小是不行的，那么用什么量才能反映任意角的大小？问1：能否利用弧线？为什么？问2：角的动态生成过程中，射线上任意一点（顶点除外）绕端点旋转都可以生成一段弧，仅仅利用弧长能否准确刻画角的大小呢？ 学生猜想用弧长与半径的比来刻画角的大小 设计意图：放手让学生探究、尝试，引导学生从角的动态生成过程中观察、抽象，找到“弧线”来刻画角的大小，引导学生利用弧长与半径的比来刻画角的大小． 问3：能否给出你的猜想一个合理的解释呢? 从180n rl p =出发得到180l n r p =?由此可知，弧长与半径的比决定圆心角的大小，欧拉提出：用圆的半径作单位去度量弧．设计意图：给出弧度制的合理性，同时渗透数学史． 思考4:如何定义这种度量角的制度？问:类比角度制，能否给出1弧度角的定义，得出弧度制的相关概念． 设计意图：让学生尝试、完善用准确的数学语言描述数学概念．（三）探索新知，数学运用1.弧度制的相关概念规定：1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角，记作1rad.用弧度作为单位来度量角的单位制叫弧度制．设计意图：明确给出1弧度角的定义．让学生直观感受1弧度角的大小,了解角度的单位不能省略，弧度的单位可以省略；初步感受弧度制下角与实数的对应．2.总结角度与弧度的互化，明确核心公式180π=，以及变形公式：10.01745180rad rad π=≈180157.3rad π=≈练习：特殊角的度数与弧度数的对应表：弧度制下，任意角的集合和实数集建立了一一对应的关系，即每个角都有唯一的实数与它对应，同时每个实数也都有唯一的一个角与它对应。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 弧度制学案 北师大版必修4(2021年整理)
高中数学第一章三角函数1.3 弧度制学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.3 弧度制学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
3 弧度制知识梳理1。
弧度制(1）定义:以弧度为单位度量角大小的制度叫弧度制.（2）度量方法：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小叫做1弧度的角。
（3）记法:弧度单位用符号“rad”表示，或用弧度两个字表示。
在用弧度制表示角的大小时，通常单位省略不写.2。
弧度制与角度制的换算（1）换算公式：1 rad=（π180）°，1°=180πrad 。
（2）特殊角的弧度数 角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°弧度0 12π 6π 4π 3π 125π 2π 32π 43π 65π 角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°弧度 π 67π 45π 34π 23π 35π 47π 611π 2π3.弧度制下的公式如图1—3-1所示，l 、r 、α分别是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数.图1—3-1(1)弧度数公式：｜α｜=r1； （2）弧长公式：l=｜α｜r ；（3)扇形面积公式:S=21lr=21|α｜r 2.知识导学学习过程中一定要努力突破单一按角度制思考问题的习惯，力求能通过弧度来认识任意角。
高中数学第一章三角函数第1节任意角和弧度制(第1课时)任意角教案(含解析)新人教A版必修4
高中数学第一章三角函数第1节任意角和弧度制（第1课时）任意角教案（含解析）新人教A版必修4[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P5的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．(2)体操中有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1 080°”(即“转体3周”)这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA 绕O旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向．利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°～360°范围的角，无法描述以上现象．(3)阅读教材P3“探究”的内容，请思考：对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系？提示：不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k·360°(k∈Z)．2．归纳总结，核心必记(1)角的有关概念有关概念描述定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形图示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α①②按角的终边位置(ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角；(ⅱ)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[问题思考](1)你能说出角的三要素吗？提示：角的三要素是顶点、终边、始边．(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等．(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小．(4)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？提示：不正确，在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°.(5)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定．(6)初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？提示：不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角．[课前反思](1)角的概念：；(2)角的分类：；(3)终边相同的角： .终边相同的角及区域角的表示知识点1[思考1] 终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？名师指津：不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．可以用集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}表示．[思考2] 区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，区域角如何表示？名师指津：区域角可以看作是某一范围内的终边相同角的集合．故可把区域的起始、终止边界表示出来，然后组成集合即可．讲一讲1．(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[尝试解答] (1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1 910°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k ·360°＜360°，31136≤k ＜61136. 故k ＝4,5,6，k ＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.k ＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.k ＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z }，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k ·360°，k ∈Z }，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·180°，k ∈Z }．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }．③终边在直线y ＝x 上的角的集合为{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }，结合②知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{β|β＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．(3)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }．故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．类题·通法(1)在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法①把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．②要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．(2)区域角的写法可分三步①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；③用不等式表示区域内的角，组成集合．练一练1．已知角α＝2 018°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.解：(1)由2 018°除以360°，得商为5，余数为218°，∴取k＝5，β＝218°，α＝5×360°＋218°.(2)与2 018°角终边相同的角为k·360°＋2 018°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2 018°<720°，k∈Z，∴k取－6，－5，－4，将k的值代入k·360°＋2 018°中，得角θ的值为－142°，218°，578°.象限角的判断知识点2[思考1] 若α为第一象限角，则α的顶点、始边、终边各有什么特点？提示：若α为第一象限角，则α的顶点为坐标原点、始边与x轴的正半轴重合，终边处在第一象限．[思考2] 如何判定象限角？提示：(1)根据图形判定；(2)根据终边相同的角的概念判定．讲一讲2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[尝试解答] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．类题·通法给定角α所处象限的判定方法法一：第一步，将α写成α＝k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．法二：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．练一练2．(1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④(2)若β是第四象限角，则180°－β是第________象限角．解析：(1)－120°角是第三象限角；－240°角是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°角是第二象限角．(2)因为β是第四象限角，所以取β＝－20°，则180°－β＝200°，为第三象限角． 答案：(1)D (2)三知识点3nα或αn 所在象限的判定 讲一讲3．若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？ [尝试解答] (1)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴180°＋k ·720°<2α<360°＋k ·720°，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )． 法一：①当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第一象限角；②当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )， 即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角． 法二：∵45°＋k ·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k ·180°(k ∈Z )表示终边为y 轴的角，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角． 类题·通法(1)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(2)αn 所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn 所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．练一练 3．若角α是第一象限角，则－α，2α，α3分别是第几象限角？ 解：∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )．(1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．(2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边落在y 轴非负半轴上的角．(3)法一(分类讨论)：k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )． 当k ＝3n (n ∈Z )时， n ·360°<α3<n ·360°＋30°，∴α3是第一象限角； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°，∴α3是第三象限角． 综上可知，α3是第一、第二或第三象限角． 法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3角的终边落在的区域，故α3为第一、第二或第三象限角．[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及αn 所在象限的判定．2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示，见讲1；(2)象限角及nα、αn所处象限的判断，见讲2和讲3.3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k·360°，得到所求．课下能力提升(一)[学业水平达标练]题组1 终边相同的角及区域角的表示1．与－457°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k ∈Z}．2．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是( )A．A＝B＝C B．A＝B∩CC．A∪B＝C D．A⊆B⊆C解析：选D ∵90°∈C,90°∉B,90°∉A，∴选项A，C错误；又∵180°∈C,180°∈B,180°∉A，∴选项B错误．故选D.3．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是( )A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称解析：选C 由α＝n·360°＋θ，n∈Z可知α与θ是终边相同的角，由β＝m·360°－θ，m∈Z可知β与－θ是终边相同的角．因为θ与－θ两角终边关于x轴对称，所以α与β两角终边关于x轴对称．4.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°<α<150°或210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．答案：{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来．解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.(2)终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为：－45°，135°.题组2 象限角的判断6．－1 120°角所在象限是( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D 由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．7．下列叙述正确的是( )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．第四象限角一定是负角D．钝角比第三象限角小解析：选B 90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A 错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B ∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°.∴180°＋α在第二象限，故选B.题组3 nα或αn 所在象限的判定9．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角解析：选C 由条件知k ·360°<2α<k ·360°＋180°，(k ∈Z )，∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k ∈Z )，当k 为偶数时，α在第一象限，当k 为奇数时，α在第三象限．10.若角α是第三象限角，则角α2的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)( )A ．③⑦B ．④⑧C ．②⑤⑧D ．①③⑤⑦解析：选A ∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )，∴k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°<α2<n ·360°＋135°，对应区域③；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°<α2<n ·360°＋315°，对应区域⑦.∴角α2的终边所在的区域为③⑦. [能力提升综合练]1．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对解析：选D 小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A ∩B 是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.2．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．若α是第一象限角，则2α是第二象限角D ．钝角比第三象限角小解析：选B －330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A 错；若α是第一象限角，则k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，所以2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，所以2α不一定是第二象限角，故C 错；－135°是第三象限角，135°是钝角，而135°>－135°，故D 错．3．终边与坐标轴重合的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }解析：选C 终边在x 轴上的角的集合M ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合P ＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }，则终边与坐标轴重合的角的集合S ＝M ∪P ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }＝{α|α＝2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·90°，n ∈Z }，故选C.4．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( )A ．α＋β＝k ·360°，k ∈ZB ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈ZC ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈ZD ．α－β＝k ·360°，k ∈Z解析：选B 法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y 轴对称，∴β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.答案：－5 －606．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z.得 4α＝k·360°，当k＝3时，α＝270°.答案：270°7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.。
高中数学必修四《弧度制》教学设计
《弧度制》教学设计教材分析“弧度制”是普通高中实验教科书苏教版必修4第一章第一单元第二节内容。
一般在高一函数学完以后上。
前面所学的任意角为本节课的学习起到铺垫作用。
应用弧度制，能使三角的有关计算大大简化；弧度的扇形模型体现了把线段和弧的度量单位统一的思想，为今后学习三角函数带来很大的方便。
通过本节课的学习学生可以认识到角度制的产生和弧度制的产生过程十分相似，都是利用等分圆周得到单位弧长，从而定义单位角的大小。
不同点在于把圆周按不同方式进行等分。
教学目标1．理解弧度的意义,能够正确进行角度与弧度的换算． 2．能熟记特殊角的弧度．3．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并且能够解决一些简单实际问题．教学重点理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算.教学难点理解弧度制定义. 教学方法在自主学习中通过类比角度制得到弧度制。
学情分析同学们在初中已经学过角度制并在上一节课学过任意角，也已经掌握了一些基本单位的转化方式，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便。
一、引入新课1. 1磅等于多少公斤？设计意图：通过介绍郎平的体重说明一个量可以有多种度量制度。
2.设计意图：通过比较大小让学生发现 是实数，是十进制，而 是角度，是六十进制，单位不统一，不能直接比较大小，要想比较大小，必须将单位统一，一个是角度的六十进制运算，一个是实数的十进制运算，那种更简单？从而引入本节课的主题—角的新的度量方式二、探索新知问题：1．将射线OB 绕着O 点进行旋转，我们可以发现什么？ 2． ）的角是如何定义的？度（︒11比大小？和︒︒3030sin 2130sin =︒︒30历史资料:早在公元前300多年，古巴比伦人是受“黄道12星座”和“春秋分日，太阳划过半个周天的轨迹，恰好等于180个太阳直径”的启发，把圆周定义分为360个等份，每一份为1度，每一份所对的圆心角为1度的角。
3．你认为角度制是为了度量什么而出现的呢？设计意图：哈尔莫斯说过“问题是数学的心脏”。
高中数学第一章三角函数1.3弧度制学案北师大版必修4(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.3 弧度制学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.3 弧度制学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.3 弧度制学案北师大版必修4的全部内容。
§3弧度制学习目标 1.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数（重点)。
2。
掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题（难点)．知识点1 弧度制（1)角度制与弧度制的定义角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定1度的角等于周角的错误!弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制（2如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝错误!.【预习评价】（正确的打“√”，错误的打“×”)（1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位（√）(2)1°的角是周角的错误!,1 rad的角是周角的错误!（√)(3）1°的角比1 rad的角要大（×）(4）1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关（×）知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝错误!rad≈0。
高二数学必修四《任意角和弧度制》教案
高二数学必修四《任意角和弧度制》教案高二数学必修四《任意角和弧度制》教案什么是教案？教案是老师为顺当而有效地开展教学活动，依据课程标准，教学大纲和教科书要求及同学的实际状况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的详细设计和支配的一种有用性教学文书。
教案包括教材简析和同学分析、教学目的、重难点、教学预备、教学过程及练习设计等。
高二数学必修四《任意角和弧度制》教案作为一位无私奉献的人民老师，往往需要进行教案编写工作，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？以下是我帮大家整理的高二数学必修四《任意角和弧度制》教案，供大家参考借鉴，期望可以帮忙到有需要的朋友。
高二数学必修四《任意角和弧度制》教案1教学目标一、学问与技能（1）理解并把握弧度制的定义;（2）领悟弧度制定义的合理性;（3）把握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;（4）娴熟地进行角度制与弧度制的换算;（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系。
（6）使同学通过弧度制的学习，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
二、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并把握弧度制的定义，领悟定义的合理性。
依据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。
以详细的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器。
三、情态与价值通过本节的学习，使同学们把握另一种度量角的单位制———弧度制，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系：即每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好预备。
教学重难点重点：理解并把握弧度制定义;娴熟地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用。
新人教版高中数学1-1弧度制教案1必修四
课 题：1.1.2弧度制（一）教学目的：1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.教学过程：一、问题情境：1．复习：角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180r n l π= 二、学生活动：探究：30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比。
结论：圆心角不变，则比值不变，因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制。
三、理论建构：1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究： ⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0⑶角α的弧度数的绝对值 rl =α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。
高中数学必修4教案弧度制(一)
弧度制（一）教学目标知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集 R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数． 过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算， 能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式， 并能 运用公式解决一些实际问题 情感与态度目标通过新的度量角的单位制 (弧度制 )的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、 扇形面积公式的对比， 让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点 弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的 ?1规定把周角的 360作为 1 度的角 ,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入：由角度制的定义我们知道 ,角度是用来度量角的 , 角度制的度量是 60 进制的 ,运用起来不太方便 .在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义我们规定 ,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下 , 1 弧度记做 1rad ．在实际运算中，常常将 rad 单位省略． 3．思考：（ 1）一定大小的圆心角 所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（ 2）引导学生完成 P6 的探究并归纳： 弧度制的性质：r2 r;2 .①半圆所对的圆心角为 r ②整圆所对的圆心角为r③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．l .⑤零角的弧度数是零．⑥角α的弧度数的绝对值|α |= r4．角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：n n ra d180； ； ； 180 ． ②将弧度化为角度：1ra d = 180 ) 盎 57.30 ? ? ￠ 2p = 360?； ( 57 18p = 180?； p；．5．常规写法：① 用弧度数表示角时 ,常常把弧度数写成多少π 的形式 , 不必写成小数．② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 度° ° ° ° ° °°°°°°弧 0 2 2 度6 37．弧长公式a = l? l r ?a r弧长等于弧所对应的圆心角 (的弧度数 )的绝对值与半径的积． 例 1．把 67° 30＇化成弧度．3 rad例 2．把 5化成度． 例 3．计算：(1) sin4 ； ( 2) tan1.5 ． 例 4．将下列各角化成0 到 2π的角加上 2k π （ k ∈ Z ）的形式：(1) 19 ； (2) 3153 ． 例 5．将下列各角化成 2k π + α (k ∈ Z,0≤ α ＜ 2π)的形式 ,并确定其所在的象限． (1) 19 (2) 313 ； 6 ． R l19 27 ,O 解: 36(1)719p而6 是第三象限的角,3 是第三象限角 .31p 5p 31p- = - 6p + , -(2) 6 6 6 是第二象限角.1例 6. 利用弧度制证明扇形面 积公式 S lR, 其中 l 是扇形弧长 , R 是圆的半径 .2证法一 :∵圆的面积为 R 2 ,∴圆心角为 1rad 的扇形面积为 1 R 2 2,又扇形弧长为 l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为l Rrad, ∴扇形面积12345x f (x) 5 a ,a ,a v =a 0v=v x 0+a5-n ．证法二 :设圆心角的度数为 n ，则在角度制下的扇形面积公式为 ，又此时弧长程 辗转相除法与更相减损术 序 框 图 秦九韶算法 算法算 排序法，∴ 语．句进位制可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化， 而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．终端框（起止框） 输入 . 输出框 处理框 判断框7．课堂小结①什么叫 1 弧度角 ? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别． 8．课后作业：①阅读教材 P6 –P8；②教材 P9 练习第 1、 2、 3、6 题；③教材 P10 面 7、 8 题及 B2、 3 题．。
高中数学必修4(人教A版)教案—1.1.2弧度制
1. 1.2 弧度制【教学目标】① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【教学重难点】重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 【教学过程】 （一）复习引入.复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题：①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ ② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？ ③ 角的范围是什么？如何分类的？ （二）概念形成初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： (1)角的弧度制是如何引入的？(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？ (3)弧度是如何定义的？(4)角度制与弧度制的区别与联系? 2．学生动手画图来探究： (1)平角、周角的弧度数(2)角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ (3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？ 3．角度制与弧度制如何换算？3602π=o rad 180π=o rad1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈o 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是： 一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整 30° 90° 120° 150° 270°4π3π43πππ2例1、把下列各角从度化为弧度：(1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067︒解：(1)π57 （2）π0625.0 (3) π61(4) π375.0 变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º 解：(1)π81 （2）π67- (3) π320例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π 解：（1）108 º (2)200.5 º (3)114.6 º (4)45 º 变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π （2）—34π （3）103π解：（1）15 º （2）-240 º （3）54 º弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.弧度下的弧长公式和扇形面积公式弧长公式：||l rα=⋅ 因为||l rα=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为．||l r α=⋅扇形面积公式：．说明：以上公式中的α必须为弧度单位．例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
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2021年高中数学《1.3弧度制》教学案新人教版必修4
【学习目标】
1.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；
2.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 ； 【重点、难点】
弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 【温故而知新】 1.复习填空
（1）角度制规定，将一个圆周分成 份，每一份叫做 1 度，故一周等于 度，平角等于 度，直角等于 度.
（2）所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 .
【教材助读】
1.认真阅读课本P9—11，理解弧度制，并思考完成以下问题 (1)角的弧度制是如何引入的？
(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？ (3)弧度是如何定义的？
(4)规定：周角 为1度的角； 叫做1弧度的角. (5)角度制与弧度制相互换算： 1弧度= （度）；1度= （弧度） (6)弧长公式：
(7)扇形面积公式： lr r r n S 2
1
2136022=⋅==απ 【预习自测】
1.将下列表格中特殊角的度数转化为弧度制
2、下列说法中，叙述错误的是( D ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C ．根据弧度的定义，一定等于弧度
D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 3、求半径为，圆心角为所对应的弧长和扇形的面积。
【我的疑惑】
二、课堂互动探究
【例1】1.把下列各角从度化为弧度：
（1） （2） （3） （4） （5） 解：(1) (2) (3) (4) (5)
2.把下列各角从弧度化为角度：
（1） （2） （3） （4） （5） 解：（1） （2） （3） （4） （5）
【例2】将下列各角化成)20,(2πααπ<≤∈+Z k k 的形式,并确定其所在的象限．
； ．
解: (1) 而是第三象限的角,是第三象限角.
(2) 6
31,656631π
πππ-
∴+-=-
是第二象限角. 【变式训练1】用弧度制分别表示终边在轴的非正、非负半轴，轴的非正、非负半轴，轴上
的角的集合。
【例3】在平面直角坐标系中，，角的终边与角的终边分别有如下关系时，求角. （1）若，两角的终边关于轴对称； （2）若，两角的终边关于轴对称； （3）若，两角的终边关于原点对称；
（4）若，两角的终边关于对称； 【例4】（1）已知半径为的圆上，有一条弧的长为,求该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值。
（2）知扇形的周长为，圆心角为，，求该扇形的面积。
解：（1）（弧度） （2）由题意有：即 则：)(4222
1
21222cm r S =⨯⨯=⋅=α
【我的收获】
三、课后知能检测
1.弧度化为角度是( C )
A ．110°
B ．160°
C ．108°
D ．218° 2. －105°转化为弧度数为( B )
A.712π B ．－712π C ．－76π D ．－73
π 3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( B ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π
4.若圆的半径变成原来的2倍，扇形的弧长也增加到原来的2倍，则( B ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变
C ．扇形的面积增加到原来的2倍
D ．扇形的圆心角增加到原来的2倍 5.半径为1 cm ，中心角为150°的角所对的弧长为( D ) A.23cm B.2π3cm C.56cm D.5π6cm 6.在半径为1的圆中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．若α＝3，则角α的终边所在的象限为__第二象限______．
8．若角α的终边在如右图所示的阴影部分，则用弧度制表示角α的取值范围是_{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋7π
6
，k ∈Z } 9．在与2 010°角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是___－5π
6_____．
10.已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧的长；(2)扇形所含弓形的面积．
解：(1)∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝|α|·r ＝6×2
3
π＝4π，
∴AB 的长为4π.
(2)∵S 扇形OAB ＝12＝1
2
×4π×6＝12π，
如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，
于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝1
2
×2×6cos 30°×3＝9 3.
∴弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.
∴弓形的面积是12π－9 3. 11.已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈(－π2，π
2)．
解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14
9
π.
∴α＝－800°＝14
9
π＋(－3)×2π.
∵角α与14
9
π终边相同，∴角α是第四象限角．
（2）∵与角α终边相同的角可写为2k π＋14
9π，k ∈Z 的形式，
由γ与α终边相同，∴γ＝2k π＋14π
9
，k ∈Z .
又∵γ∈(－π2，π2)，∴－π2<2k π＋14π9<π
2，k ∈Z ，解得k ＝－1，
∴γ＝－2π＋14π9＝－4π
9
.
12.已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .
∵l ＝20－2r
∴S ＝12＝12
(20－2r )· r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2
＋25(0＜r ＜10)．
∴当半径r ＝5 cm 时，，扇形的面积最大，为25 cm 2
.
此时α＝l r ＝20－2×5
5
＝2(rad)．
∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2
.
13. 如图，圆心在原点，半径为R 的圆交x 轴正半轴于A 点，P ，Q 是圆上的两个动点，它
们同时从点A 出发沿圆周做匀速运动．OP 逆时针方向每秒转π3，OQ 顺时针方向每秒转π
6
.
试求P ，Q 出发后每五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长． 解：易知，动点P ，Q 由第k 次相遇到第k ＋1次相遇所走过的弧长之和恰好等于
圆的一个周长，因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为.
设动点P ，Q 自A 点出发到第五次相遇走过的时间为t 秒，走过的弧长分别为，
，则＝π3，l 2＝|－π6|·＝π
6
.
因此＋＝π3＋π
6＝，
所以t ＝10πR
π3＋π6
R ＝20(秒)，
＝203，＝103
. 由此可知，P 转过的弧度数为20π3，Q 转过的弧度数为10π3，P ，Q 走过的弧长分别为
20π
3
R 和10π3R .。