2021年高中数学《1.3弧度制》教学案新人教版必修4

2021年高中数学《1.3弧度制》教学案新人教版必修4

【学习目标】

1.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；

2.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 ； 【重点、难点】

弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 【温故而知新】 1.复习填空

（1）角度制规定，将一个圆周分成 份，每一份叫做 1 度，故一周等于 度，平角等于 度，直角等于 度.

（2）所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 .

【教材助读】

1.认真阅读课本P9—11，理解弧度制，并思考完成以下问题 (1)角的弧度制是如何引入的？

(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？ (3)弧度是如何定义的？

(4)规定：周角 为1度的角； 叫做1弧度的角. (5)角度制与弧度制相互换算： 1弧度= （度）；1度= （弧度） (6)弧长公式：

(7)扇形面积公式： lr r r n S 2

1

2136022=⋅==απ 【预习自测】

1.将下列表格中特殊角的度数转化为弧度制

2、下列说法中，叙述错误的是( D ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C ．根据弧度的定义，一定等于弧度

D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 3、求半径为，圆心角为所对应的弧长和扇形的面积。 【我的疑惑】

二、课堂互动探究

【例1】1.把下列各角从度化为弧度：

（1） （2） （3） （4） （5） 解：(1) (2) (3) (4) (5)

2.把下列各角从弧度化为角度：

（1） （2） （3） （4） （5） 解：（1） （2） （3） （4） （5）

【例2】将下列各角化成)20,(2πααπ<≤∈+Z k k 的形式,并确定其所在的象限．

； ．

解: (1) 而是第三象限的角,是第三象限角.

(2) 6

31,656631π

πππ-

∴+-=-

是第二象限角. 【变式训练1】用弧度制分别表示终边在轴的非正、非负半轴，轴的非正、非负半轴，轴上

的角的集合。

【例3】在平面直角坐标系中，，角的终边与角的终边分别有如下关系时，求角. （1）若，两角的终边关于轴对称； （2）若，两角的终边关于轴对称； （3）若，两角的终边关于原点对称；

（4）若，两角的终边关于对称； 【例4】（1）已知半径为的圆上，有一条弧的长为,求该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值。

（2）知扇形的周长为，圆心角为，，求该扇形的面积。 解：（1）（弧度） （2）由题意有：即 则：)(4222

1

21222cm r S =⨯⨯=⋅=α

【我的收获】

三、课后知能检测

1.弧度化为角度是( C )

A ．110°

B ．160°

C ．108°

D ．218° 2. －105°转化为弧度数为( B )

A.712π B ．－712π C ．－76π D ．－73

π 3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( B ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π

4.若圆的半径变成原来的2倍，扇形的弧长也增加到原来的2倍，则( B ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变

C ．扇形的面积增加到原来的2倍

D ．扇形的圆心角增加到原来的2倍 5.半径为1 cm ，中心角为150°的角所对的弧长为( D ) A.23cm B.2π3cm C.56cm D.5π6cm 6.在半径为1的圆中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

7．若α＝3，则角α的终边所在的象限为__第二象限______．

8．若角α的终边在如右图所示的阴影部分，则用弧度制表示角α的取值范围是_{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋7π

6

，k ∈Z } 9．在与2 010°角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是___－5π

6_____．

10.已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧的长；(2)扇形所含弓形的面积．

解：(1)∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝|α|·r ＝6×2

3

π＝4π，

∴AB 的长为4π.

(2)∵S 扇形OAB ＝12＝1

2

×4π×6＝12π，

如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，

于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝1

2

×2×6cos 30°×3＝9 3.

∴弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.

∴弓形的面积是12π－9 3. 11.已知α＝－800°.

(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；

(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈(－π2，π

2)．

解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14

9

π.

∴α＝－800°＝14

9

π＋(－3)×2π.

∵角α与14

9

π终边相同，∴角α是第四象限角．

（2）∵与角α终边相同的角可写为2k π＋14

9π，k ∈Z 的形式，

由γ与α终边相同，∴γ＝2k π＋14π

9

，k ∈Z .

又∵γ∈(－π2，π2)，∴－π2<2k π＋14π9<π

2，k ∈Z ，解得k ＝－1，

∴γ＝－2π＋14π9＝－4π

9

.

12.已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .

∵l ＝20－2r

∴S ＝12＝12

(20－2r )· r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2

＋25(0＜r ＜10)．

∴当半径r ＝5 cm 时，，扇形的面积最大，为25 cm 2

.

此时α＝l r ＝20－2×5

5

＝2(rad)．

∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2

.

13. 如图，圆心在原点，半径为R 的圆交x 轴正半轴于A 点，P ，Q 是圆上的两个动点，它

们同时从点A 出发沿圆周做匀速运动．OP 逆时针方向每秒转π3，OQ 顺时针方向每秒转π

6

.

试求P ，Q 出发后每五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长． 解：易知，动点P ，Q 由第k 次相遇到第k ＋1次相遇所走过的弧长之和恰好等于

圆的一个周长，因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为.

设动点P ，Q 自A 点出发到第五次相遇走过的时间为t 秒，走过的弧长分别为，

，则＝π3，l 2＝|－π6|·＝π

6

.

因此＋＝π3＋π

6＝，

所以t ＝10πR

π3＋π6

R ＝20(秒)，

＝203，＝103

. 由此可知，P 转过的弧度数为20π3，Q 转过的弧度数为10π3，P ，Q 走过的弧长分别为

20π

3

R 和10π3R .