波利亚解题实例

用波利亚的解题方法解题 在△ABC 中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是c b a ,,，且,43
cos cos ,10===a b
B A
c p 为
ABC V 内切圆上的动点.求点p 到顶点C B A ,,的距离的平方和的最小值与最大值。

【分析】：
第一步：理解题意。

本题的条件是(i)c=10,(ii),43
cos cos ==a b
B A
(iii)P 是ABC V 内切圆上的动点，所
求的结论是要求出P 点到A ，B ，C 三顶点的距离的平方和的最值。

由此可得，这是一道关于图形的最值问题。

第二步：拟订计划．
设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与此密切相关的两类问题： 第一，已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。

第二，在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离和平方和的最小值。

于是原问题可分列为两个较为简单的问题：
① a ，b ，c 为ABC V 的三边，且c=10，,43
cos cos ==a b B A ，试确定△ABC 的形
状及其大小。

② 确定的ABC V 的内切圆上有一动点P ，试求PA 2+PB 2+PC 2的最小值与最大
值。

对①小题，ABC V 已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来．对于②小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。

至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。

第三步：实现计划： 由,cos cos a b B A
=用正弦定理做代换，得,sin sin cos cos A B
B A =
即B B A A cos sin cos sin ⋅=⋅或A B 2sin 2sin =， 因为,34
cos cos =B A
知B A ≠，且B A ,是三角形内角，
所以,22B A -=π即,2π
=+A B
所以ABC V 是直角三角形.
再由c=10，43
=a b 及222c b a =+，可解得a=6,b=8.
如图1，建立直角坐标系，使直角△ABC 的三个顶点
为A （8，0），B （0，6），C （0，0）.在直角ABC V 中，有,2,2=+=+r r c b a
所以，内切圆的圆心为),2,2(O '方程为4)2()2(22=-+-y x .
设圆上的任一点为P （x,y ）,则有 S=222PC PB PA ++
因P 是内切圆上的点，故o ≤z ≤4，于是当z=4时，有最小值72，当x=o 时，有最大值88。

第四步：回顾讨论．
对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑：
x=O 时，P 点运动到BC 上的M ，此时的所求平方和最大值为88；当x=4时，P 点运动到过M 的直径的另一端点N ，此时得所求平方和最小值为72．
此外，能否用别的方法来导出结果呢对第①小题也可一开始用余弦定理作代换，对第②小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P 也可以利用参数式表示，于是有好几种解法(略)．
本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也会从中获得一些有益的经验．
(1)如果本题前部分不用正弦或余弦定理作代换，后半部分不使用解析法，虽仍能设法确定三角形并推导出目标函数，但解题过程的繁杂呈度明显上升．这说明，对于同样的素材(题设条件)，选用不同的加工方法(解题方法)，其繁简程度是有显着区别的．
(2)从上题的解答中，我们可以认识到图形中的最值常在动点位于某些特殊位置时产生．
(3)数形结合，会使计算大为简化，并且可能揭露问题.。