数学分析课件：9_5绝对收敛与条件收敛

1
1) 2m
ln
2
S3' m
(1
1 2
1) (1 43
1 6
1) ( 1
8
2m 1
1 4m
2
1) 4m
由于 1 1 1 1 1 1 2k 1 4k 2 4k 2k 1 2(2k 1) 2 2k
1( 1 1 ) 2 2k 1 2k
S3' m
1 2
1
1 2
同样，将 an看成是 bn更序所得，知S B.
S B
⑵ 对任意级数 an
①
记a
n
an
2
an
an 0
an 0 ,
an 0
正部
an 显然：0
an
2
an
an 0
an an ，0 an
an 0 负部
an an
0 ，且 an
an
an an an an
an收敛 an， an收敛.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 102k
)
0.86
3m
k 1
(
1 2k
1 10k
)
0.986
2m
k 1
(
1 2 2 k 1
1 22k
1 10k
)
1.047
12 30
60
1.0486 1.11086
1.1111101 （5位）
1.0955 1.111107
1.1111111102 （8位）
1.1072 1.11111105 1.1111111111102 （11位）
1 102 k 1
1 102k
)
10 9
1 22m
1 9 104m
误差：
R6m
S
S6m
1 23m
1 9 103m
R6' m
S
S6' m
1 22m
1 9 104m
R6' m 2n
R6m
第一种方法要收敛快得多！
计算实例：
S 10 1.111 9
6m
6
2m
k 1
(
1 2k
1 102 k 1
⑶
(
1)n(1
1 )n2
n1 2
n
an
1 2n
(1
1 )n2 n
lim n
n
an
lim 1 (1 1 )n n 2 n
e 1 2
由于an 不 0，an不 0， 发散
例2.
(1)n1
n1
n
p
(1)n1
( p 1)
当p 1时, an
np
1 (1)n1
~
1 np
当p 1时,
an
n
1 (1)n1
——将较大的项向前调整，会使计算加速.
例5. 已知1 1 1 1 1 (1)n1 1 ln 2
2345
n1
n
求 : 1 1 1 1 1 1 1 条件收敛
243685
1 1 1 的和.
解：
2k 1 4k 2 4k
设S2m
(1
1) 2
(1 3
1) 4
(1 2m
n1
n1
n1
注意：⑴ 绝对收敛的级数具有交换律（与结合律）
⑵
an条件收敛知:
n1
an
, an
n1
lnim an 0
2.条件收敛的更序定理（Riemann）
设条an 件收敛,则适当交换各项的次序,可以
收敛到任意指定的实数S,也可以发散到 +∞,-∞.
例4. 更序对计算速度的影响：
1 21
2n
2n
an 发散. 故条件收敛.
二、更序问题——（加法交换律推广）
⒈更序定理：设 an收敛,任意交换an的各项
的次序所得 bn也绝对收敛,且和不变.
n1
证明：⑴ 考虑正项级数 an 设 an S.
n1
n1
bn的部分和: Bn (b1 b2 bn ) an S,
n1
bn收敛,且其和B S.
2011年12月21日
§9.5 绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 任意项级数的各项取绝对值
任意项级数
正项级数
问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？
一、绝对收敛
⒈ 若 an 收敛,则 an也收敛.
反之不真
n1
n1
证法1：
an 收敛，
0,N ,n
N时，
n1
n p
an1 an p ak ,对p N *成立.
k n1
n p
| an1 an p | ak , 对p N *成立. k n1
an收敛. n1
证法2：an an ( an an ), 0 an an 2 an
( an an )也收敛. 又 an 收敛,
~1 n
绝对收敛 不绝对收敛
但是，an
n
(1)n1 (1)n1
an收敛.法,
但这里不能用 Leibneiz判别法
p 1时绝对收敛; p 1时条件收敛.
例3. 证 (1)n sin2 n 条件收敛.
n1
n
解： 收敛易见
an
sin2 n n
1 cos 2n 2n
由 1 发散； cos 2n收敛；
且 an an an , an an an .
② 对更序级数 bn
bn , bn分别是由 an , an更序所得,
n1
n1
bn收敛且等于
a
n
;
bn收敛且等于
an .
n1
n1
n1
n1
bn (bn bn ) an an an 收敛.
n1
n1
1 101
1 22
1 102
k 1
(
1 2k
1 10k
)
更序为：
1 21
1 101
1 102
1 22
1 103
1 104
k 1
(
1 2k
1 102 k 1
1 102k
)
原级数部分和：
S6m
3m 1
k 1
(
2k
1 10k
)
10 9
1 23m
1 9 103m
更序后：
S6' m
2m
k 1
(
1 2k
例：讨论下列级数的条件收敛还是绝对收敛
1n
收敛 p q;
如p q, 级数发散到 ;
如p q, 级数发散到 ;
先取p个正项, 再取q个负项.
S(pq)n 1
1 3
1 1 2p1 2
1 2q
1 1 1 1
2p1
4 p 1 2q 2
4q
1
1
2np (2 p 1)
2np 1
1
1
2nq (2q 2)
2nq
1 3
1 4
1 2m
1
1 2m
1 2 S2m
1 ln 2 2
S' 3m1
S3' m
1 4m
1 ln 2 2
S' 3m2
S3' m
1 4m
2
1 4m
1 2
ln
2
S
' n
1 2
ln
2.
例6.
级数
(1)n1
1
1
1
1
1
1
n1
n
2345
条件收敛.
级数重排：先取p个正项, 再取q个负项.
再依次进行, 则所得新级数:
an收敛. n1
⒉ 设
a
n收敛,
如n1
an 收敛 称“绝对收敛”
n1
如
n1
an
发散
称“条件收敛”
例1. ⑴
sin n!
n1
n2
an
1 n2
绝对收敛.
⑵ (1)n1 ln(1 1)
n1
n
由莱法,知
an收敛.
但
ln(1 1 ) ~ 1 , nn
所 以 an 发 散.
条件收敛