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53双因素方差分析

§5.3 双因素方差分析

I 无交互作用的双因素方差分析

(1) 数学模型 现在考虑影响试验指标的因素有两个：A, B 。因素A 有水平r 个；有水平s 个；因素A, B 的各种组合水平均只作一次试验；两因素之间无交互作用。 数据结构表

假设：(1*) {:1;1}ij Y i r j s ≤≤≤≤独立；

(2*) 2~(,)ij ij Y N μσ，即具有相同的方差； (3*) ij ij ij Y e μ=+，其中 2~(0,)ij e N σ，且{}ij e 独立； 数学模型： ij i j ij ij Y e μαβγ=++++ ， 其中：111()r s ij i j rs μμ-===∑∑—总平均值； 11s i ij j s μμ-⋅==∑; 11r j ij i r μμ-⋅==∑;

i i αμμ⋅=-—因素A 在水平Ai 下对试验指标的效应值；

j j βμμ⋅=-—因素

B 在水平Bj 下对试验指标的效应值；

10r i i α==∑; 10s j j β==∑;

ij ij i i γμμαβ=---—因素A, B 的交互效应值；

因素B s B

r A 12r r rs

Y Y Y r Y ⋅

12

..s Y Y Y ⋅⋅⋅

{}ij e —随机部分，假定：独立同正态分布；

注： “无交互作用”等价于：0ij γ=，即

ij i i μμαβ=++；

(2) 方差分析

(i) 假设检验问题 两种因素分别进行检验：

0112:0r H ααα==

==

即因素A 对试验指标影响不显著；

0212:0s H βββ==

==

即因素B 对试验指标影响不显著；

注：当01H 和02H 成立时，

,(1;1)ij i r j s μμ=≤≤≤≤.

(ii) 构造F-统计量及否定域 设

()

1

11r s

ij

i j Y rs Y

-===∑∑

；

11s

i ij j Y s Y -⋅==∑；

11r

j ij i Y r Y -⋅==∑；

2211()r

s

T ij i j S Y Y ===-∑∑；

221()r

A i i S s Y Y ⋅==-∑； 221()s

B j j S r Y Y ⋅==-∑； 2211()r

s E ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑；

注：注意，

2

211()r

s

E ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑

2

11()r s

ij ij i i j j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===+----++∑∑

211[()()]r s

ij i j ij i j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===--++--+∑∑

211()r

s

ij i j i j e e e e ⋅⋅===--+∑∑.

这里利用了“无交互效应”的假设条件：

0ij ij i j γμμμμ⋅⋅=--+=.

由此可见，2E S 与α⋅及β⋅无关，即与假设01H 和02H 是否成立无关。“无交互效应”的假设条件就是这里提出来的！！

* 引理： 设 n rs =，则

(1*) 分解式：2222T A B E S S S S =++；

(2*) 独立性：{2A S ，2B S ， 2E S }是两两独立的，且2

A S +2

B S 与2E S

独立；

(3*) 统计特性：

当01H 和02H 同时成立时，有 2

22

1~T n S χ-；

当01H 成立时，有2

221~A r S χ-； 当02H 成立时，有2

221~B

s S σχ-；

对任意情形，有

2

222(1)(1)(1)(1)(1)~E n r s r s S σχχ-------=.

注：2

[(1)(1)]E

S r s --是2σ的一个无偏估计.

证 2211[()()()]r s T ij i j i j i j S Y Y Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅⋅===--++-+-∑∑

221111()()r

s

r

s

ij i j i i j i j Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅=====--++-∑∑∑∑

211()r

s

j i j Y Y ⋅==+-∑∑112()()r

s

i j i j Y Y Y Y ⋅⋅==+--∑∑

112()()r

s

ij i j i i j Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅==+--+-∑∑

112()()r

s

ij i j j i j Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅==+--+-∑∑.

易见, 此式中的三个混合项均为零. 故(1*)成立. 独立性(2*)的证明如下： 注意，

(,)0k ij i j Cov Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅--+=；

(,)0ij i j Cov Y Y Y Y Y ⋅⋅--+=. （**）

而这两个等式的成立只要展开即知. 于是，

k Y ⋅与ij i j Y Y Y Y ⋅⋅--+独立；

Y

与ij i j Y Y Y Y ⋅⋅--+独立；

从而，

j Y Y ⋅- 与211()s

r

ij i j j i Y Y Y Y ⋅⋅==--+∑∑独立；

故2

A S 与 2E S 独立；同理，可证：2

B S 与 2E S 独立； 按抽样分布定理，Y 与2A S 和2B S 均独立，而i Y ⋅与j Y ⋅独立是假设条件的结果.

故2A S 与2B S 独立；显然，2A S +2B S 与2E S 独立.

结论(3*)是抽样分布定理和结论(2*)的推论.

* 构造

F-统计量如下：

2

2(1)~(1,(1)(1))[(1)(1)]A

A E S r F F r r s S r s -=-----，当01H 成立时；

22(1)~(1,(1)(1))[(1)(1)]

B

A E S s F F s r s S r s -=-----，当02H 成立时；

注：上面的分析表明：对假设01H 和02H 可以分别进行检

验。

* 否定域的结构 解释:

当0i α≈时，2

A S 应接近零；