七年级数学下册第2章《整式的乘法》2.1 整式的乘法 2.1.2 幂的乘方与积的乘方第1课时幂

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《整式的乘法》主要知识点解读

《整式的乘法》主要知识点解读-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《整式的乘法》主要知识点解读1．同底数幂的乘法：法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

公式： (,)m n m n a a a m n +=为正整数。

解读：（1）法则的条件必须是底数相同的幂相乘（幂的个数不限），而不是相加，法则的结论是底数不变，指数相加，要注意指数是相加而不是相乘。

（2）底数不同的幂相乘，不能用此法则；不要忽视指数是1的因数，如606c c c +≠。

（3）底数是和、差或其他形式的幂相乘，应将这些和或差看成一个整体，勿犯232233()()()()x y x y x y x y ++=++的错误。

2．幂的乘方：法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

公式：()(,)m n mn a a m n =为正整数解读：（1）幂的乘方的底数指的是幂的底数，而不是乘方的底数，法则中的结论“指数相乘”是指幂的指数与乘方的指数相乘。

（2）不要把幂的乘方的性质与同底数幂的乘法性质混淆。

幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算（底数不变）。

3．积的乘方：法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

公式：()().m m m ab a b m =为正整数解读：（1）法则中的积里的每一个因式是指组成积的所有因式，不能漏掉，且各自乘方后还是乘法运算。

（2）三个或三个以上的积的乘方也具有同样的性质，即().m m m m abc a b c =（3）幂的以上三种运算性质都可以逆用，并且逆用之后解决问题往往会很方便，请大家在学习中体会。

一、整式的乘法：1．单项式乘以单项式：法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

解读：（1）单项式的乘法可分为三步：①把它们的系数相乘，包括符号的计算；②同底数幂相乘；③单独字母的处理。

七年级数学下册全部知识点归纳

第一章：整式的运算单项式式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

（2）按去括号法则去括号。

（3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简。

（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

七年级下册数学各章知识点总结

北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结第一章整式的运算单项式整式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、幂的运算性质： 1、同底数幂的乘法：a m﹒a n =am+n(m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（am）n=amn(m,n 都是正整数）； 3、积的乘方：（ab ）n=a n bn(n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：am÷a n=am-n(m,n 都是正整数,a ≠0) ；整式的运算六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：a=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：p 是正整数。

七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

湘教版初一数学下册2.1.1同底数幂的乘法PPT课件(3)

5.计算：(-b)4·(-b)3·(-b)5=_______. 【解析】(-b)4·(-b)3·(-b)5=(-b)4+3+5=(-b)12=b12. 答案：b12
6.计算：(1)xn·x2=_______.
(2)(b-a)3·(a-b)5=_______.
【解析】(1)xn·x2=xn+2.
(2)(b-a)3·(a-b)5=-(a-b)3·(a-b)5=-(a-b)8.
知识点 2 同底数幂的乘法公式的应用【例2】若xm+2n=16，xn=2，求xm+n的值. 【解题探究】(1)由am·an=am+n，可知xm+n可表示为哪两个幂的积？提示：xm+n=xm·xn. (2)由(1)可得，xm+2n可以看作哪些幂的积？提示：xm+2n=xm·xn·xn.
(3)由(2)可解，因为xm+2n=16，xn=2，所以xm×_2_×_2_=16，所以xm=_4_，
题组二：同底数幂的乘法公式的应用
1.若am=3,an=2,则am+n=( )
A.5
B.6
C.8
D.9
【解析】选B.因为am=3,an=2,
所以am+n=am·an=3×2=6.
【变式备选】已知2m=a,2n=b,则2m+n的结果是( )
A.a+b
B.ab
C.2ab
D.a-b
【解析】选B.因为2m+n=2m×2n,2m=a,2n=b,所以2m+n=ab.
所以xm+n=_x_m_·__x_n =_4_×__2_=_8_.
【互动探究】除上述方法外，你还有其他解法吗？提示：由xm+2n=xm·xn·xn=xm+n·xn，所以xm+n×2=16，所以xm+n=8.

新湘教版七年级数学下册《2章整式的乘法 2.1 整式的乘法 2.1.2幂的乘方与积的乘方(2)》教案_25

3、小结：会进行幂的乘方的运算。
四、布置作业：
P99习题4.2 A组 3题
补充：计算 (1)
(2)
(3) [（m－n）3]5
教学（后记）反思：
教学用具：多媒体
教学方法：
自主探究、合作交流、启发
教学过程
一、知识准备
1、复习同底数幂的运算法则及作业讲评
2、计算：（23）2（32）2
3、64表示___4___个___6___相乘。(62)4表示__4__个___62__相乘。
二、探究新知
1、P90做一做
（1）计算（a3）4＝a3·a3· a3·a3乘方的意义
课题：幂的乘方第1课时总序第教案
课型：新授课编写时间：年月日执行时间：年月日
教学目标：
批注：
1、经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能
力和有条理的表达能力。
2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
教学重点：
会进行幂的乘方的运算。
教学难点：
幂的乘方习题
2、判断题，错误的予以改正。
（1）a5+a5=2a10（）
（2）（s3）3=x6（）
（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36（）
（4）x3+y3=（x+y）3（）
（5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0 （）
学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。在此基础上加深知识的应用。
=a3+3+3+3同底数幂相乘的法则
=a3×4
=a12
（2）归纳法则（am）n＝=amn(m、n为正整数)
（3）语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

湘教版七年级数学下册第二章--整式的乘法知识点

湘教版七年级数学下册第二章--整式的乘法知识点(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除七年级下册第二章整式的乘法1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

a n a m=a m+n(m,n是正整数)例：2.幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(a n)m=a mn(m,n是正整数)例：3.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

(ab)n=a n b n(m,n是正整数)例：4.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。

例：5.单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

a（m+n）=am+an6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn例：7.平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

（a+b）（a-b）=a2-b2 (公式右边：符号相同项的平方-符号相反项的平方) 例：8.完全平方公式口诀：头平方和尾平方，头尾两倍在中央，中间符号是一样。

（a+b）2=a2+2ab+b2 =a2+b2+2ab （a-b）2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab例：9.公式的灵活变形：（a+b）2+（a-b）2=（a2+2ab+b2）+（a2-2ab+b2）=2a2+2b2，（a+b）2-（a-b）2=（a2+2ab+b2）-（a2-2ab+b2）=2ab+2ab=4ab，a2+b2=（a+b）2-2ab，④a2+b2= （a-b）2+2ab，⑤（a+b）2=（a-b）2+4ab,⑥（a-b）2=（a+b）2-4ab01各个击破命题点1幂的运算【例1】若a m＋n·a m＋1＝a6，且m＋2n＝4，求m，n的值．【思路点拨】已知m＋2n＝4，只要再找到一个关于m，n的二元一次方程即可组成方程组求解．可根据同底数幂的乘法法则，由等式左右两边a的指数相等即可得到．【解答】【方法归纳】对于乘方结果相等的两个数，如果底数相等，那么指数也相等．1．(徐州中考)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．若2x＝3，4y＝2，则2x＋2y的值为________．命题点2多项式的乘法【例2】化简：2(x－1)(x＋2)－3(3x－2)(2x－3)．【解答】【方法归纳】在计算多项式乘法时，要注意不漏项，不重项．多项式与多项式相乘，结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积．3．(佛山中考)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝( )A．1 B．－2C．－1 D．24．下列各式中，正确的是( )A．(－x＋y)(－x－y)＝－x2－y2B．(x2－1)(x－2y2)＝x3－2x2y2－x＋2y2C．(x＋3)(x－7)＝x2－4x－4D．(x－3y)(x＋3y)＝x2－6xy－9y2命题点3适用乘法公式运算的式子的特点【例3】下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是( )A．(2a＋b)(2a－3b) B．(x＋1)(1＋x)C．(x－2y)(x＋2y) D．(－x－y)(x＋y)【方法归纳】能用平方差公式进行计算的两个多项式，其中一定有完全相同的项，剩下的是互为相反数的项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．5．下列多项式相乘，不能用平方差公式的是( )A．(－2y－x)(x＋2y)B．(x－2y)(－x－2y)C．(x－2y)(2y＋x)D．(2y－x)(－x－2y)6．下列各式：①(3a－b)2；②(－3a－b)2；③(－3a＋b)2；④(3a＋b)2，适用两数和的完全平方公式计算的有________(填序号)．命题点4利用乘法公式计算【例4】先化简，再求值：(2a－b)(b＋2a)－(a－2b)2＋5b2.其中a＝－1，b＝2.【思路点拨】把式子的前两部分分别运用平方差公式和完全平方公式化简．【解答】【方法归纳】运用平方差公式时，要看清两个因式中的相同项和相反数项，其结果是相同项的平方减去相反数项的平方．7．下列等式成立的是( )A．(－a－b)2＋(a－b)2＝－4abB．(－a－b)2＋(a－b)2＝a2＋b2C．(－a－b)(a－b)＝(a－b)2D．(－a－b)(a－b)＝b2－a28．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝15，那么a2＋b2的值是________．9．计算：(1)(a＋b)2－(a－b)2－4ab；(2)[(x＋2)(x－2)]2；(3)(a＋3)(a－3)(a2－9)．命题点5乘法公式的几何背景【例5】(1)如图，请用两种不同的方式表示图中的大正方形的面积；(2)你根据上述结果可以得到一个什么公式？(3)利用这个公式计算：1022.【思路点拨】根据图形可以得到：图形的面积有两种计算方法，一种是根据正方形的面积等于边长的平方计算；另一种方法是图形中两个长方形面积与两个正方形的面积的和，即可得到公式；然后利用公式计算即可．【解答】【方法归纳】根据同一个图形的面积的两种表示，所得到的代数式的值相等，由此可得到对应的代数恒等式．10．将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为( )图 1 图2A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2D．a(a－b)＝a2－ab11．(枣庄中考)图1是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )A．2ab B．(a＋b)2C．(a－b)2D．a2－b202整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．(钦州中考)计算(a3)2的结果是( )A．a9B．a6C．a5D．a2．(巴彦淖尔中考)下列运算正确的是( )A．x3·x2＝x5B．(x3)2＝x5C．(x＋1)2＝x2＋1 D．(2x)2＝2x23．如果a2n－1·a n＋5＝a16，那么n的值为( )A．3 B．4C ．5D ．64．下列各式中，与(1－a)(－a －1)相等的是( )A ．a 2－1B ．a 2－2a ＋1C ．a 2－2a －1D ．a 2＋15．如果(x －2)(x ＋3)＝x 2＋px ＋q ，那么p 、q 的值为( )A ．p ＝5，q ＝6B ．p ＝－1，q ＝6C ．p ＝1，q ＝－6D ．p ＝5，q ＝－66．(－x ＋y)( )＝x 2－y 2，其中括号内的是( )A ．－x －yB ．－x ＋yC ．x －yD ．x ＋y7．一个长方体的长、宽、高分别是3a －4、2a 、a ，它的体积等于( )A ．3a 3－4a 2B ．a 2C ．6a 3－8aD ．6a 3－8a 28．已知a ＝814，b ＝275，c ＝97，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．a ＜b ＜cD ．b ＞c ＞a 二、填空题(每小题4分，共16分)9．若a x ＝2，a y ＝3，则a 2x ＋y＝________．10．计算：3m 2·(－2mn 2)2＝________．11．(福州中考)已知有理数a ，b 满足a ＋b ＝2，a －b ＝5，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是________．12．多项式4x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，请写出所有可能的单项式为________．三、解答题(共60分) 13．(12分)计算：(1)(－2a 2b)3＋8(a 2)2·(－a)2·(－b)3； (2)a(a ＋4b)－(a ＋2b)(a －2b)－4ab ； (3)(2x －3y ＋1)(2x ＋3y －1)．14．(8分)已知a ＋b ＝1，ab ＝－6，求下列各式的值．(1)a 2＋b 2；(2)a 2－ab ＋b 2.15．(10分)先化简，再求值：(1)(常州中考)(x ＋1)2－x(2－x)，其中x ＝2； (2)(南宁中考)(1＋x)(1－x)＋x(x ＋2)－1，其中x ＝12.16．(10分)四个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，这个记号就叫做2阶行列式. 例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝1×4－2×3＝－2 . 若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 x ＋1＝10，求x 的值．17．(10分)如图，某校有一块长为(3a ＋b)米，宽为(2a ＋b)米的长方形地块，学校计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)用含a 、b 的代数式表示绿化面积并化简； (2)求出当a ＝5米，b ＝2米时的绿化面积．18．(10分)小华和小明同时计算一道整式乘法题(2x ＋a)(3x ＋b)．小华把第一个多项式中的“a”抄成了－a ，得到结果为6x 2＋11x －10；小明把第二个多项式中的3x 抄成了x ，得到结果为2x 2－9x ＋10.(1)你知道式子中a ，b 的值各是多少吗？(2)请你计算出这道题的正确结果．参考答案各个击破【例1】由已知得a 2m ＋n ＋1＝a 6，所以2m ＋n ＋1＝6，即2m ＋n ＝5.又因为m ＋2n ＝4，所以m ＝2，n ＝1.【例2】原式＝2(x 2＋2x －x －2)－3(6x 2－9x －4x ＋6)＝－16x 2＋41x －22. 【例3】 C【例4】原式＝(4a 2－b 2)－(a 2－4ab ＋4b 2)＋5b 2＝3a 2＋4ab.当a ＝－1，b ＝2时，原式＝3×(－1)2＋4×(－1)×2＝－5.【例5】 (1)方法一：(a ＋b)2.方法二：a 2＋2ab ＋b 2.(2)(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2.(3)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10 404. 题组训练1．C 2.6 3.C 4.B 5.A 6.②④ 7.D 8.49.(1)原式＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2－4ab ＝0.(2)原式＝(x 2－4)2＝x 4－8x 2＋16.(3)原式＝(a 2－9)(a 2－9)＝a 4－18a 2＋81. 10.C 11.C 整合集训1．B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.A 7.D 8.A 9.12 10.12m 4n 411.1 000 12.±4x 或4x 413.(1)原式＝－8a 6b 3－8a 6b 3＝－16a 6b 3.(2)原式＝a 2＋4ab －(a 2－4b 2)－4ab ＝a 2＋4ab －a 2＋4b 2－4ab ＝4b 2.(3)原式＝[2x －(3y －1)][2x ＋(3y －1)]＝4x 2－(3y －1)2＝4x 2－(9y 2－6y ＋1)＝4x 2－9y 2＋6y －1.14.(1)原式＝(a ＋b)2－2ab ＝1＋12＝13.(2)原式＝(a ＋b)2－3ab ＝12－3×(－6)＝1＋18＝19.15.(1)原式＝x 2＋2x ＋1－2x ＋x 2＝2x 2＋1.当x ＝2时，原式＝8＋1＝9. (2)原式＝1－x 2＋x 2＋2x －1＝2x.当x ＝12时，原式＝2×12＝1.16.(x ＋1)2－(x －2)(x ＋2)＝2x ＋5＝10，解得x ＝2.5. 17.(1)S 阴影＝(3a ＋b)(2a ＋b)－(a ＋b)2＝6a 2＋3ab ＋2ab ＋b 2－a 2－2ab －b 2＝5a 2＋3ab(平方米)．(2)当a ＝5，b ＝2时，5a 2＋3ab ＝5×25＋3×5×2＝125＋30＝155(平方米)．18.(1)根据题意，得(2x －a)(3x ＋b)＝6x 2＋(2b －3a)x －ab ＝6x 2＋11x －10；(2x ＋a)(x ＋b)＝2x 2＋(a ＋2b)x ＋ab ＝2x 2－9x ＋10，所以⎩⎪⎨⎪⎧2b －3a ＝11，a ＋2b ＝－9. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－2.(2)正确的算式为：(2x －5)(3x －2)＝6x 2－19x ＋10.。

教学课件：七下湘教2.幂的乘方与积的乘方(第1课时幂的乘方)

知识讲授
做一做请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，
视察计算结果，你能发现什么规律？
2
3
2
3
( 2 ) = ___________ ；
( ) = ___正整数）.
2
知识讲授
2
3
2
2
2
2+2+2
( 2 ) = 2 ·2 ·2 = 2

m n
知识讲授
练一练：
20
10
2
5
2
2
y
(y
)
[(y ) ] =______=________；
x5mn
(x5m)n
[(x5)m]n=______=______.
知识讲授
幂的乘方法则的逆用
a
mn
(a ) (a )
m n
n m
(m，n都是正整数）
幂的乘方的逆运算：
(1)13·7=（20）=( 4 )5=( 5 )4=( 2 )10
随堂训练
1. 下列各式中，与 5+1相等的是（
A.（ 5)+1
B.（+1)5
C.·( 5)
D. · 5 ·
2. 14不可以写成（
c
c
）
）
A. 5·( 3)3
B. (-) ·(- 2) ·(- 3) ·(- 8)
C.( 7)7
D. 3 · 4 · 5 · 2
解： (1) (103)5=103×5 =1015 ;
(2) (4)4=4×4=16;
(3) ()2=×2= 2 ;
(4) -(4)3 =-4×3=-12 .
(4)-(4)3.

七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算习题课件新版湘教版

2.2.3 运用乘法公式进行计算
一、平方差公式 1.公式表示：(a+b)(a-b)=_a_2_-_b_2 . 2.说明：字母a,b不仅可以代表单个的数或字母，也可代表一个单项式或一个_多__项__式__. 3.特征：左边两个多项式相乘，在这两个多项式中，一部分项 _完__全__相__同__，另一部分项互为相反数.右边等于_完__全__相__同__的__项__的平方减去_互__为__相__反__数__的__项__的平方.
4.计算：(1)592=_____.(2)712=_____. 【解析】(1)592=(60-1)2=3 600-120+1=3 481. (2)712=(70+1)2=4 900+140+1=5 041. 答案：(1)3 481 (2)5 041
乘法公式的综合运用【例2】(6分)计算:(m-2n+3t)(m+2n-3t). 【规范解答】原式=［m-(2n-3t)］［m+(2n-3t)］ ……………………………………………………………………1分 =m2-(2n-3t)2 ……………………………………………………4 分 =m2-(4n212nt+9t2) ……………………………………………5分 =m2-4n2+12nt-9t2. ……………………………………………6
【规律总结】完全平方公式适用的前提是两项式的平方，故在利用完全平
方公式时，有时需把一项拆成两项的和或差，有时需把某几项结合在一起，当作一项，只有把题目变形，具备完全平方公式的特征时，才可使用.
【跟踪训练】 1.(2012·白银中考)如图，边长为(m+3)的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是( )

新湘教版第二章整式的乘法教案

第二章整式的乘法2.1.1 同底数幂的乘法教学目的：1．学问与技能：理解同底数幂的乘法法则的由来，驾驭同底数幂的乘法法则；能娴熟地运用同底数幂的乘法法则进展计算。

2．过程与方法：在探究同底数幂的乘法法则的过程中，培育学生视察、概括与抽象的实力。

3．情感、看法与价值观：进一步理解从特殊到一般与从一般到特殊的重要数学思想，培育学生良好的思维习惯和主动的学习看法。

教学重点、难点：重点：驾驭同底数幂的乘法法则及其简洁应用。

难点：理解同底数幂的乘法法则的推导过程。

教学方法：引导发觉法、合作探究法、练习稳固法。

教具打算：多媒体课件教学过程：一、创设情境，引入新课：1、出示问题 “2008年，中国奥委会为了把奥运会办成一个环保的奥运会，确定大面积采纳太阳能，据统计：一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 810千克煤所产生的能量。

那么 510 平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克？列式为：108×105那么108×105等于多少呢？由此引出新课。

通过问题情境创设，激发学生的求知欲望，把留意力集中到如何解决同底数幂的乘法问题上，为探究新学问创建良好的开端。

2、学问回忆：回忆乘方的意义、幂、底数、指数的概念。

通过学问回忆，让学生把旧学问重新调用出来，为本节课效劳。

到达激发学生的学习爱好摆脱掉数学课枯燥乏味的课堂气氛的目的。

二、合作学习，建立模型1、各学习小组合作探究以下几个问题。

52×54＝（底数、指数都是数字的状况）a4×a3＝（底数改为字母，指数依旧是数字的状况）a m·a n（m、n为正整数）= （底数、指数都改为字母的状况）引导学生剖析法则（1）等号左边是什么运算？（2）等号两边的底数有什么关系？（3）等号两边的指数有什么关系？（4）运算结果有什么规律？这一环节主要是通过探究发觉新知的过程，培育学生的视察、概括与抽象的实力。

教学课件：七下湘教2.幂的乘方与积的乘方(第2课时积的乘方)

( ×)
(2) (3xy)3=9x3y3
( ×)
(3) (-2a2)2=-4a4
(× )
(4) -(-ab2)2=a2b4
(×)
7
7
3
5 3 5
5
×
(5) ( ) ( ) (
) 1 ( √ )
3 7
3 7
随堂训练
3.计算：
(1)（-223)3
(2) (-332)4
解：(1)原式=(-2)3 ·(2)3 ·(3)3
3n=9 ，3m+3=15，
n=3，m=4.
随堂训练
提高题：
已知=5,=3,求(-)的值.
课堂小结
1、积的乘方法则
(ab)n = anbn （n为正整数）
积的乘方，等于把积的每一个因式分别_____，再
语言表述：
乘方
把所得的幂________.
相乘
2.积的乘方公式的推广
(abc)n = anbncn （n为正整数）
3.积的乘方法则的逆用
anbn = (ab)n （n为正整数）
第二章整式的乘法
2.1 整式的乘法
2.1.2
幂的乘方与积的乘方
第2课时积的乘方
学习目标
1 经历探索积的乘方运算性质的过程，理解并掌握
积的乘方法则.（重点）
2 会运用积的乘方法则进行运算.（难点）
新课导入
想一想：
若已知一个正方体的棱长为2×103 cm,
你能计算出它的体积是多少吗？
V (2 103 )3 (cm3 )
16
知识讲授
例2
计算：
3
3 2
2( ) - 3( ) .

湘教版初中七年级下册数学第2章整式的乘法知识点梳理

第二章整式的乘法1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n，底数不变，指数相加.2．幂的乘方与积的乘方：(a m)n=a mn，底数不变，指数相乘； (ab)n=a n b n，积的乘方等于各因式乘方的积.3．单项式的乘法：系数相乘，相同字母相乘，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里.4．单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.5．多项式的乘法：(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd ，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.6．乘法公式：（1）平方差公式：(a+b)(a-b)= a2-b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；（2）完全平方公式：① (a+b)2=a2+2ab+b2, 两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍；② (a-b)2=a2-2ab+b2, 两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍；※③ (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，略.7．配方：（1）若二次三项式x 2+px+q 是完全平方式,则有关系式：q 2p 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛； ※ （2）二次三项式ax 2+bx+c 经过配方，总可以变为a(x-h)2+k 的形式，利用a(x-h)2+k①可以判断ax 2+bx+c 值的符号； ②当x=h 时，可求出ax 2+bx+c 的最大（或最小）值k.※（3）注意：2x 1x x 1x 222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+. 8．同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n ，底数不变，指数相减.9．零指数与负指数公式:（1）a 0=1 (a ≠0)； a -n =n a 1,(a ≠0). 注意：00，0-2无意义；（2）有了负指数，可用科学记数法记录小于1的数，例如：0.0000201=2.01×10-5 .。

2022春七年级数学下册第2章《整式的乘法》2.1 整式的乘法 2.1.2 幂的乘方与积的乘方第

＝(12)2·34 ＝841. (2)当 ab＝12，m＝5，n＝3 时，求(ambm)n 的值．解：原式＝2115.
18. 若 59＝a，95＝b，用 a，b 表示 4545 的值．
解：因为 a5＝(59)5＝545，b9＝(95)9＝945，所以 4545＝545·945＝a5b9.
19. (2018·长安区一模)图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答题方法解答下面的问题：
小明的作业计算：(－4)7×0.257 解：(－4)7×0.257＝(－4×0.25)7
＝(－1)7 ＝－1
(1)计算：①82008×(－0.125)2008；
②15211×－5613×1212； (2)若 2·4n·16n＝219，求 n 的值．
解：(1)①82008×(－0.125)2008 ＝(－8×0.125)2008＝(－1)2008＝1；
A．23100·－32100＝－1 B．110100·10101＝110 C．110101·10100＝10 D．2599·－52100＝52
6. x 为正整数，且满足 3x＋1·2x－3x·2x＋1＝66，则 x 等
于( C )
A．2
B．3
C．6
D．12
【解析】 3x ＋ 1·2x － 3x·2x ＋ 1 ＝ 3x·3·2x － 3x·2x·2 ＝ (3 － 2)·3x·2x＝(3×2)x＝66，则 x＝6.
(3)110×19×18×…×21×110×(10×9×8×…×2×1)10.
解：原式＝11010×1910×…×110×1010×910×…×110 ＝110×1010×19×910×18×810×…×(1×1)10 ＝1.
17. (1)若 n 为正整数，a2n＝21，bn＝3.求(ab)4n 的值．解：原式＝(a2n)2·(bn)4

2.1.2 幂的乘方与积的乘方第2课时积的乘方

（1）− 3 2 3 4 ;
[答案] −81 8 12
（2） −22
2
⋅ −22 3 ；
[答案] −3210 5
（3）[ + 4 ]3 ⋅ [ + 3 ]2 ；
[答案] +
18
（4）−82 023 × −0.125
[答案]
1
−
8
2 024
.
能力提升
[答案] −3
3
（2） 2 3
⋅ − 3 ；
2
[答案] 2 3
− 7 9 2 .
2
= −3 3 3 3 = −27 3 3 .
⋅ −
3
= 2
2
3 2 2 ⋅ − 3 3 = −4 6 2 ⋅ 3 3 =
（3） 3 4 2
C. 6 8
D. 9 16
C ) .
1 6 3
1 6 3
B.
C.−
8
8
= 89 15 成立，则，的值为(
1 5 3
D.−
8
D ) .
A. = 3， = 9 B. = 6， = 2 C. = 2， = 5 D. = 3， = 2
4.若，，都是正整数，则 ⋅ 等于( B ) .
2
[答案] 3 4 2
+ −2 2 4 .
2
+ −2 2
8 4 + 16 8 4 = 25 8 4 .
4
= 32 4
2
2
2
+ −2
4
2 44 = 9
方法感悟
1.在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为−1时的

湘教版数学七年级下册期末知识点复习+各章节培优题

七年级下册总复习第一章二元一次方程【知识点归纳】1.含有个未知数，并且项的次数都是的方程叫做二元一次方程。

2.把个含有未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来组成的方程组，叫做二元一次方程组。

3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程两边的值都的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。

4.由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有的代数式表示，再代入另一方程，便得到一个一元一次方程。

这种解方程组的方法叫做消元法，简称代入法。

5.两个二元一次方程中同一未知数的系数或时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。

这种解方程组的方法叫做消元法，简称加减法。

6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找。

【典型例题】1．已知方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心，把c给看错了，解得，求abc的值．2．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．3．先阅读，然后解方程组．解方程组时，可由①得x﹣y=1③，然后再将③代入②得4×1﹣y=5，求得y=﹣1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解方程组．4．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．解方程组解：由①﹣②得2x +2y=2即x +y=1③ ③×16得16x +16y=16④ ②﹣④得x=﹣1，从而可得y=2 ∴方程组的解是．（1）请你仿上面的解法解方程组．（2）猜测关于x 、y 的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证．5．南山植物园以其优美独特的自然植物景观，现已成为重庆市民春游踏青、赏四季花卉、观山城夜景的重要旅游景区．若该植物园中现有A 、B 两个园区，已知A 园区为矩形，长为（x +y ）米，宽为（x ﹣y ）米；B 园区为正方形，边长为（x +3y ）米．（1）请用代数式表示A 、B 两园区的面积之和并化简；（2）现根据实际需要对A 园区进行整改，长增加（11x ﹣y ）米，宽减少（x ﹣2y ）米，整改后A 区的长比宽多350米，C D 投入（元/平方米） 13 16 收益（元/平方米）1826且整改后两园区的周长之和为980米．若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：求整改后A、B两园区旅游的净收益之和．（净收益=收益﹣投入）6．江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A种原料3吨/件，B种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨．（1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？（2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是1375千元，A，B两种原料还剩下多少吨？7．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？第二章整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘，不变，相加。

七年级数学下册第2章整式的乘法 2.1 整式的乘法 2.1.2 幂的乘方与积的乘方课件

第十页，共三十五页。
【学霸提醒】
幂的乘方运算的“两点注意”
(1)同底数幂的乘法与幂的乘方的区别:前者指数相加,后者指数相乘. (2)幂的乘方中底数可以(kěyǐ)是一个数字,也可以是字母或式子
等.
第十一页，共三十五页。
【题组训练】
1.计算(jìsuàn)(-x3)8·(-x4)2的结果为 (
A.x32
第二十七页，共三十五页。
★★4.化简:
(·(1aa3+3nnbbmm+11))22.
4
世纪(shìjì)金榜导学号
解:原式= a6-2nb2m-2·a6+2nb2m+2
= a12b4m. 1
16 1
16
第二十八页，共三十五页。
★★5.先化简,再求值: (-3a3)2·a3+(-4a)2·a7-(5a3)3,其中(qízhōng)a=-1. 世纪金榜导学号解:原式=9a6·a3+16a2·a7-125a9 =9a9+16a9-125a9=-100a9. 当a=-1时,原式=-100×(-1)9=-100×(-1)=100.
第四页，共三十五页。
2.计算下列各式:
(1)(ab)3=______a_3b_3;(2)(2y)4=________; 16y4
(3)(3x2y)4=______8_1_x_8y_4.
观察上述各式和计算结果,得乘到方(dé dào)的结论是:
相乘(xiānɡ
把积的每个因式分别_______,再把所得的幂_______.
第二十九页，共三十五页。
【火眼金睛(huǒ yǎn jīn 】 jīng) 计算(-x3y)2.
第三十页，共三十五页。
【正解】原式=(-1)2·(x3)2·y2=x6y2.

七年级数学下册第2章《整式的乘法》2.1 整式的乘法 2.1.4 多项式的乘法第1课时单项式乘

解：原式＝19x3y4，当 x＝－112，y＝－2 时，原式＝－6.
17. 解方程：3x(7－2x)＋5x(2x－1)＝4x(x－3)＋56.
解：化简，得 21x－6x2＋10x2－5x＝4x2－12x＋56，所以 28x＝56，所以 x＝2.
18. 如图，把边长分别为 a 和 b 的两个正方形并排放在一起，请你计算出图中阴影部分的面积．
则它的体积等于( D )
A．21x3＋42x2
B．15x3＋18x2
C．36x2＋72x
D．36x3＋72x2
7. 当 x＝1，y＝15时，3x(2x＋y)－2x(x－y)＝_5_.
8. 适合 2x(x－1)－x(2x－5)＝12 的 x 的值为( D )
A．2
B．1
C．－3
D．4
9. 下列计算错误的是( C ) A．－3x(2－x)＝－6x＋3x2 B．(2m2n－3mn2)(－mn)＝－2m3n2＋3m2n3 C．xy(x2y－3xy2－1)＝x3y2－x2y3
2. 计算(－3x)·(2x2－5x－1)的结果是( B )
A．－6x3－15x2－3x B．－6x3＋15x2＋3x
C．－6x3＋15x2
D．－6x3＋15x2－1
3. 计算：(－2a)·14a3－1＝_－__12_a_4_＋__2_a___．
知识点单项式与多项式乘法的应用
4. 要使(x2＋ax＋1)(－6x3)的展开式中不含 x4 项，
(2)－4x2·12xy－y2－3x·(xy2－2x2y)．解：原式＝4x3y＋x2y2.
16. 化简求值： (1)2x(x2＋xy－y2)－y(2x2－2xy－2y2)，其中 x＝－2， y＝3. 解：原式＝2x3＋2y3，当 x＝－2，y＝3 时，原式＝38.