三维势箱中粒子能量的表达式为当a=bc时,

1.27 当粒子处在三维立方势箱中(a=b

解：

三维势箱中粒子能量的表达式为 当a=b

（二重简并态） ii. 1,3x y z n n n ===

（非简并态） 当 即

时为i 情况； 当

即

时为ii 情况； 当

即 时体系为三重简并。

1.28. 写出一个被束缚在半径为a 的圆周上运动的质量为m 的粒子的薛定锷方程，求其解。 解：

22

22222

111[()(sin )]()2sin sin r V r E m r r r r r θψψψθθθθφ∂∂∂∂∂-+++=∂∂∂∂∂ 其中(,,)()()()r R r ψθφθφ=ΘΦ

()0;;2V r r a πθ===

∴()R r ，()θΘ均为实数函数 ∴ 22222E ma ψψφ∂-=∂ 即222220ma E ψψφ

∂+=∂ 上式即为满足题意的薛定锷方程。

上式属于二阶齐次线性微分方程，其特解为：(cos sin )i n Ae A n i n φψφφ±==±

2222222()8y x z x y z n h n n E E E E m a b c =++=++22222(2())8x z h a E n n ma c =+22

02248h h E ma mc =+(1)a c <2212242h h E ma mc =+22

222588h h E ma mc

=+22222

94h h E ma '=+22E E '<1a <<22E E '>c <22E E '=a c =2

2()2H T V V r m =+=-

∇+2222222222222222

2111cot sin x y z r r r r r r θθθθφ∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++=++++∂∂∂∂∂∂∂∂

通过波函数归一化可求得

A 值，即：

222222000()21i n i n i n i n d A

e e d

A e e d A π

ππφφφφφφφπ±±±**ΦΦ====

⎰⎰⎰

故：A =

由边界条件知：()(2)ψφψφπ=+

sin )(2)sin (2)]n i n n i

n φφφπφπ±=+±+

∴必须有0,1,2,n =

，即n 必须为整数。

综上，方程的解为：i n φψ±= (0,1,2)n =±± 又

2n = ∴222

2n E ma = (0,1,2)n =±± 1.30 一个氧分子封闭在一个盒子里，按一维势阱计算（势阱宽度10cm ）

（1）氧分子的基态能量是多少

（2）设该分子T ＝300K 时平均热运动能量等于3/2kT ，相应量子数n 为多少？

(3) 第n 激发态与第n+1激发态能量相差多少？

解：⑴一维势阱的能量表达式为 其中： 当 时，体系处于基态，能量为

⑵ T ＝

故 (3)

1.32 若用二维箱中粒子模型, 将蒽(C 14H 10)的π电子限制在长700pm, 宽400pm 的长方箱中,计算基态跃迁到第一激发态的波长.

解： 二维势箱中粒子能量的表达式为： 对于蒽分子共有14个π电子，基态要占据能量最低的7个轨道，那么基态跃迁到第一

激发态即为轨道78→的跃迁。

22222222224()[()]887

y x x y x y n h n h E E E n n m a b mb =+=+=+22

28n h E ml

=260.1,32 5.352510p l m m m kg -===⨯1n =401.02510E J -=⨯23213 1.5 1.38110300 6.2145102E kT J --==⨯⨯⨯=⨯97.78510n ==⨯2222

3022[(1)](21) 1.61088n n h n h E J ml ml -+-+∆===⨯

根据粒子能量表达式，可以得到蒽分子在二维箱中，能级图为：

22109392c h h mb

λ=即

22222872244109[()51()94]877392h h E E E mb mb ∆=-=⨯+-⨯-=c E h λ∆

=∴2311028

7343923929.1110(410) 2.99810 2.3710237109109 6.62610mb c m nm h λ----⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯